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Kegelstumpf

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Kegelstumpf

Ein Kegel ist eine geometrische Figur, die wie eine Eiswaffel aussieht.

Kegelstumpf Kegel StudySmarter

Was ein Kegelstumpf ist und wie sein Volumen und Oberflächeninhalt berechnet werden, erfährst Du in diesem Artikel.

Kegelstumpf – Eigenschaften und Definition

Stell Dir vor, ein gerader Kegel ist gegeben.

Kegelstumpf gerader Kegel StudySmarterAbbildung 1: gerader Kegel

Wenn Du jetzt die Spitze parallel zur Grundfläche abschneidest, erhältst Du einen Kegelstumpf. Die abgeschnittene Spitze entspricht dabei einem kleinen Kegel. Dieser wird als Ergänzungskegel E bezeichnet.

Ein Kegelstumpf ist ein Kegel, bei dem die Spitze abgeschnitten wurde. Er wird deshalb auch abgeschnittener Kegel oder stumpfer Kegel genannt.

Das Netz eines Kegelstumpfes besteht aus 3 Flächen: Einer kreisförmigen Grundfläche G mit dem Radius R, einer kleineren kreisförmigen Deckfläche D mit dem Radius r und einer Mantelfläche M. Außerdem gibt es auch hier, wie beim Kegel, die Mantellinie s.

Das Netz eines Körpers besteht aus allen Flächen, die diesen Körper bilden. Du kannst Dir das so vorstellen, als würde der Körper aufgeschnitten und aufgerollt werden.

Volumen eines Kegelstumpfes berechnen

Im Folgenden findest Du die Formel für das Volumen eines Kegelstumpfes sowie Beispielaufgaben.

Zur Erinnerung: Das Volumen ist der räumliche Inhalt eines Körpers. Das Volumen gibt z. B. an, welche Menge an Wasser oder Luft in einen Körper passt.

Für das Volumen V eines Kegelstumpfes gilt:

V = 13 · π · h · (R2 + R · r + r2)

R ist dabei der Radius des größeren Kreises, während r der Radius des kleineren Kreises ist.

Aufgabe

Berechne das Volumen V eines Kegelstumpfes mit h = 5 cm, R = 8 cm und r = 6 cm.

Lösung

Als Erstes notierst Du die Formel zur Berechnung des Volumens V eines Kegelstumpfes:

V = 13 · π · h · (R2 + R · r + r2)

Dann setzt Du die gegebenen Werte in die Formel ein. Achte dabei darauf, dass Du R und r nicht verwechselst und auch die Klammern nicht vergisst:

V = 13 · π · 5 cm · ((8 cm)2 + 8 cm · 6 cm + (6 cm)2)

Zum Schluss berechnest Du noch das Ergebnis mit dem Taschenrechner:

V = 13 · π · 5 cm · (64 cm2 + 48 cm2 + 36 cm2)V = 13 · π · 5 cm · 148 cm2V = 13 · π · 740 cm3V 774,9 cm3

Das Volumen des Kegelstumpfes beträgt ungefähr 774,9 cm3.

Mantelfläche eines Kegelstumpfes berechnen

Im Folgenden erfährst Du, wie man die Mantelfläche berechnet und die dazugehörige Formel herleitet.

Mantelfläche Formel Herleitung

Für Kreisausschnitte gilt folgende Formel:

M = b · rK2

rK ist dabei der Radius des Kreisausschnittes und b die Bogenlinie. Die Bogenlinie b entspricht bei einem Kegelstumpf dem Umfang U des Kreises. Für diesen gilt wiederum:

U = 2 · π · r

Man kann also b mit der Formel für den Umfang U ersetzen. Da ein Kegelstumpf aber zwei verschiedene Radien hat, müssen beide addiert werden, um den Gesamtradius zu erhalten:

M = 2 · π · (r + R) · rk2

Der Radius des Kreisausschnittes entspricht der Mantellinie s und kann deshalb ersetzt werden:

M = 2 · π · (r + R) · s2

Die 2 lässt sich wegkürzen. Es entsteht folgende Formel:

M = π · s · (r + R)

Und schon hat man die fertige Formel zur Berechnung der Mantelfläche M.

Anwendung der Formel

Im folgenden Abschnitt wird die Formel für die Mantelfläche an einem Beispiel veranschaulicht.

Für die Mantelfläche M eines Kegelstumpfes gilt:

M = π · s · (R + r)

R steht dabei für den größeren Radius, während r für den kleineren Radius steht.

Diese Formel kann in folgendem Beispiel angewendet werden.

Aufgabe

Berechne die Mantelfläche M eines Kegelstumpfes mit s = 4 cm, R = 2 cm und r = 1 cm.

Lösung

Als Erstes schreibst Du Dir die Formel zur Berechnung der Mantelfläche M auf.

M = π · s · (R + r)

Als Nächstes setzt Du die gegebenen Werte in die Formel ein.

M = π · 4 cm · (2 cm + 1 cm)

Als Letztes rechnest Du das Ergebnis mit dem Taschenrechner aus.

M = π · 4 cm · 3 cmM = π · 12 cm2M 37,7 cm2

Die Mantelfläche des Kegelstumpfes ist ungefähr 37,7 cm2 groß.

Oberflächeninhalt eines Kegelstumpfes berechnen

Der Oberflächeninhalt einer geometrischen Figur besteht aus allen äußeren Flächen einer Figur. Im folgenden Abschnitt lernst Du nicht nur die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts eines Kegelstumpfes kennen, sondern auch die Herleitung dieser Formel.

Oberflächeninhalt Formel Herleitung

Der Oberflächeninhalt einer geometrischen Figur setzt sich immer aus der Summe seiner einzelnen Außenflächen zusammen.

Deshalb gilt für den Oberflächeninhalt eines Kegelstumpfes:

O = M + G + D

Die Mantelfläche M wird wie folgt berechnet:

M = π · s · (R + r)

Die Grundfläche G eines Kegelstumpfes ist ein Kreis und kann dementsprechend wie der Flächeninhalt eines Kreises berechnet werden. Da die Grundfläche im Gegensatz zur Deckfläche immer größer ist, wird hier R für den Radius verwendet:

G = A = π · R2

Die Deckfläche D ist ebenfalls ein Kreis. Sie ist jedoch immer die kleinere Fläche, weshalb hier r als Radius verwendet wird:

D= A = π · r2

Diese Einzelgleichungen können jetzt in die allgemeine Gleichung von oben eingesetzt werden:

O = π · s · (R + r) + π · R2 + π · r2

So ergibt sich die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts eines Kegelstumpfes.

Anwendung der Formel

Im folgenden Abschnitt wird die Formel für den Oberflächeninhalt an einem Beispiel veranschaulicht.

Für den Oberflächeninhalt O eines Kegelstumpfes gilt:

O = π · s · (R + r) + π · R2 + π · r2

beziehungsweise

O = π · (s · (R + r) + R2 + r2)

Diese Formel kannst Du an folgendem Beispiel verwenden.

Aufgabe

Berechne den Oberflächeninhalt O eines Kegelstumpfes mit R = 6 cm, r = 3 cm und s = 4 cm.

Lösung

Als Erstes notierst Du Dir die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts O eines Kegelstumpfes:

O = π · R2 + π · r2 + (R + r) · π · s

Als Nächstes setzt Du die bekannten Werte von oben in die Formel ein:

O = π · (6 cm)2 + π · 3 cm2 + (6 cm + 3 cm) · π · 4 cm

Zum Schluss rechnest Du das Ergebnis mit dem Taschenrechner aus. Beachte dabei die Punkt-vor-Strich-Regel:

O = π · 36 cm2 + π · 9 cm2 + 9 cm · π · 4 cmO = π · 36 cm2 + π · 9 cm2 + π · 36 cm2O = π · (36 cm2 + 9 cm2 + 36 cm2)O = π · 81 cm2O 254,5 cm2

Der Oberflächeninhalt des Kegelstumpfes beträgt ungefähr 245,5 cm2.

Höhe h eines Kegelstumpfes mit einem Winkel berechnen

Dieser Teil des Artikels basiert auf der Trigonometrie, also Sinus, Kosinus und Tangens. Falls Du das noch nicht gelernt hast, kannst Du diesen Abschnitt überspringen.

Sollst Du die Höhe eines Kegelstumpfes berechnen, ist es hilfreich,die Figur in Form einer Skizze aufzuzeichnen.

Aus der Höhe h, der Seite p und der Mantellinie s entsteht ein rechtwinkliges Dreieck.

Mithilfe des Winkels φ und den Seiten p und h kann folgende Formel für den Tangens aufgestellt werden:

tanφ = ph

Da hier nach der Formel für die Höhe h gefragt ist, muss die Formel umgestellt werden:

tanφ = ph |· hp = tanφ · h |÷tanφh = ptanφ

Die Strecke p ist ein Teil des Radius und setzt sich aus der Differenz des großen Radius mit dem kleinen Radius zusammen. Für diese Seite gilt also:

p = R - r

Für die Höhe h eines Kegelstumpfes gilt:

h = R - rtan φ

Übungsaufgaben zum Kegelstumpf

Im Folgenden findest Du noch einige Übungsaufgaben, um Dein Wissen zu testen.

Aufgabe

1. Berechne die Mantellinie s eines Kegelstumpfes mit M = 40 m2, r = 2 m und R = 3 m.

2. Berechne die Höhe h eines Kegelstumpfes mit V = 800 cm3, r = 3 cm und R = 7 cm.

3. Berechne den Oberflächeninhalt O mit s = 5 cm, r = 4 cm und R = 6 cm.

Lösung

Zu 1.

Da Du die Mantelfläche gegeben hast und auch alle Werte für diese Formel vorhanden sind, kannst Du die entsprechende Formel wählen:

M = π · s · (R + r)

Da in der Aufgabenstellung aber nach der Mantellinie s und nicht nach der Mantelfläche M gefragt ist, kannst Du die Formel nach s umstellen:

M = π · s · (R + r) |÷(π · (R + r))s = Mπ · (R + r)

Im nächsten Schritt setzt Du dann die bekannten Werte in die Formel ein:

s = 40 m2π · (3 m + 2 m)

Zum Schluss rechnest Du das Ergebnis mit dem Taschenrechner aus:

s = 40 m2π · 5 ms = 8 mπs 25,5 m

Die Mantellinie s hat eine Länge von 25,5 m.

Zu 2.

Da Du in dieser Aufgabenstellung das Volumen gegeben hast, kannst Du die Volumenformel des Kegels wählen:

V = 13 · π · h · (R2 + R · r + r2)

Da in der Aufgabenstellung aber nach der Höhe h und nicht nach dem Volumen V gefragt ist, musst Du die Formel nach h umstellen:

V = 13 · π · h · (R2 + R · r + r2) |÷(π · (R2 + R · r + r2))13 · h = Vπ · (R2 + R · r + r2) |·3h = 3 · Vπ · (R2 + R · r + r2)

Im nächsten Schritt kannst Du die bekannten Werte in die Formel einsetzen:

h = 3 · 800 cm3π · ((7 cm)2 + 7 cm · 3 cm + (3 cm)2)

Zum Schluss rechnest Du das Ergebnis mit dem Taschenrechner aus:

h = 2400 cm3π · (48 cm2 + 21 cm2 + 9 cm2)h = 2400 cm3π · 78 cm2h 9,8 cm

Die Höhe des Kegelstumpfes beträgt knapp 10 cm.

Zu 3.

Notiere die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts eines Kegelstumpfes:

O = π · s · (R + r) + π · R2 + π · r2

Als Nächstes schreibst Du die oben gegebenen Werte auf:

O = π · 5 cm · (6 cm + 4 cm) + π · (6 cm)2 + π · (4 cm)2

Zum Schluss kannst Du das Ergebnis mit dem Taschenrechner ausrechnen:

O = π · 5 cm · 10 cm + π · 36 cm2 + π · 16 cm2O = π · 50 cm2 + π · 36 cm2 + π · 16 cm2O = π · (50 cm2 + 36 cm2 + 16 cm2)O = π · 102 cm2O 320,4 cm2

Der Oberflächeninhalt O des Kegelstumpfes beträgt ungefähr 320,4 cm2.

Kegelstumpf – Das Wichtigste auf einen Blick

  • Ein Kegelstumpf ist ein Kegel, bei dem die Spitze abgeschnitten wurde.
  • Ein Kegelstumpf besteht aus 3 Flächen: Einer kreisförmigen Grundfläche G mit dem Radius R, einer kleineren kreisförmigen Deckfläche D mit dem Radius r und einer Mantelfläche M.
  • Der Radius der Mantelfläche M entspricht der Mantellinie s.
  • Die Bogenlinie b der Mantelfläche M entspricht der Summe der Umfänge der Grundfläche G und der Deckfläche D.
  • Für die Mantelfläche M gilt: M = π · s · (R + r)
  • Für das Volumen V gilt: V = 13 · π · h · (R2 + R · r + r2)
  • Der Oberflächeninhalt eines geometrischen Körpers setzt sich aus der Summe der Einzelflächen zusammen.
  • Für den Oberflächeninhalt O gilt: O = π · s · (R + r) + π · R2 + π · r2

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kegelstumpf

Das Volumen V eines Kegelstumpfes wird mit folgender Formel berechnet:


V = 1/3 · π · h · (R^2 + R · r + r^2)


R ist dabei der Radius des größeren Kreises, während r der Radius des kleineren Kreises ist.

Ein Kegel ohne Spitze wird Kegelstumpf genannt. Ein Kegelstumpf besteht aus 3 Flächen: Einer kreisförmigen Grundfläche G mit dem Radius R, einer kleineren kreisförmigen Deckfläche D mit dem Radius r und einer Mantelfläche M. Außerdem gibt es auch hier, wie beim Kegel, die Mantellinie, welche mit s bezeichnet wird.

Hier hast du 2 Möglichkeiten:

1. Du stellst die Formel für das Volumen nach h um. Dafür musst du aber die verschiedenen Radien und das Volumen selbst kennen.

Dann gilt:

h = (3 · V) / (π · (R^2 + R · r + r^2))


2. Wenn du schon Trigonometrie gelernt hast und dich mit dem Sinus, Kosinus und Tangens auskennst, kannst du auch mit folgender Formel rechnen:

h = (R - r) / tan (phi)

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