Vom Geodreieck zu Verkehrsschildern, hierbei handelt es sich bei beiden Figuren um Dreiecke, denn sie alle sind geschlossene Figuren und haben drei Ecken, drei Seiten und drei Winkel. Welche charakteristischen Eigenschaften jedoch ein stumpfwinkliges Dreieck aufweist, erfährst Du in den folgenden Abschnitten.
Stumpfwinkliges Dreieck – Definition
Was genau ist ein stumpfwinkliges Dreieck und was macht dieses besonders?
Ein stumpfwinkliges Dreieck ist ein Dreieck, bei welchem ein Winkel größer als , aber kleiner als ist.
In der Abbildung 1 wird ein stumpfwinkliges Dreieck dargestellt. Dieses besitzt am zugehörigen Winkel des Eckpunktes A einen stumpfen Winkel. Es gilt also:
Abbildung 1: Das stumpfwinklige Dreieck
Ein Blick in die Tabelle der Dreiecksarten zeigt, dass sowohl das gleichschenklige Dreieck als auch das allgemeine Dreieck stumpfwinklig sein können. Es gibt also folgende spezielle Ausprägungsformen:
Besondere stumpfwinklige Dreiecksarten |
| Gleichschenkliges stumpfwinkliges Dreieck | Allgemeines stumpfwinkliges Dreieck |
 Abbildung 2: Gleichschenkliges stumpfwinkliges Dreieck
| Abbildung 3 Allgemeines stumpfwinklige Dreieck |
| |
Den Kern dieses Beitrags werden die Eigenschaften des allgemeinen stumpfwinkligen Dreiecks darstellen, auf welchen nun in folgenden Abschnitten eingegangen wird.
Möchtest Du Dich mit den Eigenschaften des allgemeinen oder gleichschenkligen Dreiecks befassen, dann sieh Dir unbedingt die Artikel allgemeines Dreieck und gleichschenkliges Dreieck an.
Stumpfwinkliges Dreieck – Eigenschaften
In den folgenden Abschnitten werden die wichtigsten Eigenschaften des stumpfwinkligen Dreiecks im Detail beschrieben.
Stumpfwinkliges Dreieck – Seiten, Winkel und Höhen
Wie bereits in Abbildung 2 und Abbildung 3 geschildert, gibt es zwei Ausprägungsformen des stumpfwinkligen Dreiecks. Ein stumpfwinkliges Dreieck kann sowohl drei unterschiedlich lange Seiten haben, als auch gleichschenklig sein.
Für die Seiten eines allgemeinen stumpfwinkligen Dreiecks gilt:
Für die Seiten eines gleichschenklig stumpfwinkligen Dreiecks gilt:
Wie bereits der Name des stumpfwinkligen Dreiecks vermuten lässt, muss ein Winkel zwingend größer als und kleiner als sein. Die beiden anderen Winkel sind dann zusammen entsprechend kleiner als .
Im stumpfwinkligen Dreieck besitzt ein Winkel (hier α) einen stumpfen Winkel.
Der stumpfe Winkel kann sowohl α, β als auch γ sein.
Des Weiteren hat das stumpfwinklige Dreieck jeweils eine Höhe pro Seite, also insgesamt drei Höhen.
Eine Höhe h in einem Dreieck ist die Senkrechte auf die Grundlinie, welche zum gegenüberliegenden Eckpunkt verläuft. Insgesamt gibt es drei Höhen , und .
Folgende Abbildung stellt ein stumpfwinkliges Dreieck mitsamt den Seiten, Winkel und Höhen dar.
Abbildung 4: Der Höhenschnittpunkt
H steht in dieser Abbildung für den sogenannten Höhenschnittpunkt, also jenem Punkt, an welchem sich alle Höhen kreuzen.
Stumpfwinkliges Dreieck – Seitenhalbierende
Was genau sind die Seitenhalbierenden und welche Rolle spielen diese im stumpfwinkligen Dreieck?
Die Seitenhalbierende ist die Strecke vom Mittelpunkt einer Seite zur gegenüberliegenden Ecke. Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden P ergibt den Schwerpunkt des Dreiecks.
Da ein Dreieck drei Seiten besitzt, gibt es dort auch drei Seitenhalbierende. Sieh Dir dazu das folgende Beispiel an.
Abbildung 5: Seitenhalbierende
Die Seitenhalbierenden werden mit dem Buchstaben S bezeichnet, gefolgt von der Beschriftung der Seiten im Index.
Stumpfwinkliges Dreieck – Winkelhalbierende, Inkreis und Umkreis
Was genau sind die Winkelhalbierenden und welche Rolle spielen diese im stumpfwinkligen Dreieck?
Unter dem Begriff der Winkelhalbierenden wird ein Strahl verstanden, welcher in den Eckpunkten entspringt und den Winkel in zwei gleich große Teile teilt. Der Schnittpunkt stellt zugleich den Mittelpunkt M des Inkreises dar.
In dieser Abbildung stellt Beta den stumpfen Winkel dar. Natürlich kann die Figur auch anders aussehen und somit entweder der Winkel Alpha oder Gamma stumpf sein.
Abbildung 6:Winkelhalbierende
Die Winkelhalbierenden werden mit dem Buchstaben W, gefolgt von der Beschriftung der Winkel im Index, bezeichnet. M steht für den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
Wird nun ein Kreis innerhalb des Dreiecks eingezeichnet, wessen Mittelpunkt der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden darstellt, ergibt sich der sogenannte Inkreis, welcher wie folgt definiert ist:
Der Inkreis ist der größtmögliche Kreis innerhalb der Figur, welcher alle Seiten der Figur berührt. Der Mittelpunkt des Inkreises entspricht dem Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
Abbildung 7: Der Inkreis
Die Strecke r steht hierbei für den Radius des Inkreises.
Abgesehen vom Inkreis gibt es auch noch den sogenannten Umkreis, welcher wie folgt definiert ist:
Der Umkreis stellt einen Kreis dar, welcher die Figur umschließt und dabei alle Eckpunkte berührt. Der Mittelpunkt des Umkreises entspricht dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.
Ein Beispiel für einen Umkreis im stumpfwinkligen Dreieck würde wie folgt aussehen:
Abbildung 8: Umkreis
Die Mittelsenkrechte ist eine Senkrechte auf den Mittelpunkt einer Seite. Die Strecke r steht hierbei für den Radius des Umkreises.
Stumpfwinkliges Dreieck – Symmetrie
Was genau wird unter der Symmetrie verstanden?
Unter dem Begriff Symmetrie wird verstanden, dass sich eine Figur an einem bestimmten Punkt oder einer Linie spiegelt. Diese Linie wird auch als Symmetrieachse bezeichnet.
Im stumpfwinkligen Dreieck gibt es keine Linie oder keinen Punkt, an welchem dieses gespiegelt werden kann, bzw. symmetrisch ist.
Hingegen die Ausprägungen des gleichschenkligen stumpfwinkligen Dreiecks hat eine Symmetrieachse, wie Du in dieser Abbildung 9 feststellen kannst.
Abbildung 9: Symmetrie - Gleichschenkliges stumpwinkliges Dreieck
Doch wie können nun im stumpfwinkligen Dreieck die Fläche A, der Umfang U oder die Seiten a, b, c berechnet werden?
Stumpfwinkliges Dreieck berechnen
Die folgenden Abschnitte zeigen wird gezeigt, wie in einem stumpfwinkligem Dreieck die Fläche und der Umfang berechnet werden können.
Stumpfwinkliges Dreieck – Flächeninhalt
Was ist grundsätzlich eine Fläche und wie kann der Flächeninhalt A des stumpfwinkligen Dreiecks berechnet werden?
Eine Fläche gibt an, wie groß etwas im zweidimensionalen Raum ist. Die Formeln für die Berechnung der Fläche des stumpfwinkligen Dreiecks lauten:
oder
Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts A mit einer Seite und einer Höhe kann mit jeder beliebigen Seite berechnet werden. Wichtig dabei ist nur, dass Du immer die Höhe verwenden musst, die senkrecht auf der verwendeten Seite steht.
Weiter geht's mit der Berechnung des Umfangs im stumpfwinkligen Dreieck.
Stumpfwinkliges Dreieck – Umfang
Was genau unter dem Umfang verstanden wird und wie dieser berechnet werden kann, soll folgende Definition klären.
Unter dem Umfang U wird die Summe aller Seitenlängen verstanden, welche die Figur begrenzen. Die Umfangsformel für das rechtwinklige Dreieck lautet:
Den Umfang benötigst Du im täglichen Leben öfter, als Du vielleicht denkst. Stell Dir vor, Du musst Deine Wiese einzäunen und möchtest wissen, wie viel Meter Zaun insgesamt benötigst werden. Genau hier kommt der Umfang ins Spiel.
Doch nun auf zu den Übungsbeispielen, um das Erlernte überprüfen zu können!
Stumpfwinkliges Dreieck – Aufgaben
Folgende Aufgabe werden Dich zum Meister des stumpfwinkligen Dreiecks machen! Auf geht's!
Aufgabe 1
Berechne den Umfang U und die Fläche A eines stumpfwinkligen Dreiecks mit folgenden Werten:
Lösung
Berechnung des Umfangs
Um den Umfang des Dreiecks auszurechnen, wird die Formel verwendet. Auf dieses Beispiel bezogen, sieht die Berechnung des Umfangs also wie folgt aus:
Somit beträgt der Umfang des Dreiecks .
Berechnung der Fläche
Für die Berechnung der Fläche wird folgende Formel verwendet:
Nun können die Werte aus der Angabe in die Formel eingesetzt werden. Dies sieht wie folgt aus:
Die Fläche dieser Figur beträgt somit .
Beachte, dass die Einheit der Fläche immer mit hoch 2 versehen wird, da es sich um eine Figur im zweidimensionalen Raum handelt.
Aufgabe 2
Folgende Seiten eines stumpfwinkligen Dreiecks sind gegeben:
Berechne den Umfang und die Fläche!
Lösung
Berechnung des Umfangs
Um den Umfang des Dreiecks ausrechnen zu können, wird die Umfangsformel aller Dreiecke verwendet. Es werden also alle Seitenlinien, welche die Figur begrenzen, zusammengezählt.
Konkret auf dieses Beispiel bezogen, sieht dies wie folgt aus:
Somit beträgt der Umfang der Figur .
Berechnung der Fläche
Da in diesem Beispiel bereits alle für die Berechnung der Fläche benötigten Variablen einen Wert aufweisen, können die Werte direkt in die Formel eingesetzt werden. Dies sieht wie folgt aus:
Das gegebene stumpfwinklige Dreieck hat also eine Fläche von insgesamt .
Beachte, dass die Einheit der Fläche immer mit hoch " 2 " versehen wird, da sich die Figur im Zweidimensionalen Raum befindet.
Aufgabe 3
Folgende Seiten eines stumpfwinkligen Dreiecks sind gegeben:
Berechne den Umfang und die Fläche!
Lösung
Berechnung des Umfangs
Für die Berechnung des Umfangs wird erneut die Formel verwendet.
Werden die Werte des Beispiels in die Formel eingesetzt, ergibt sich Folgendes:
Das Dreieck hat also einen Umfang von insgesamt .
Berechnung der Fläche
Beachte, dass bei diesem Beispiel die Höhe nicht bestimmt wurde, was bedeutet, dass die Formel von Heron herangezogen werden muss, um das Beispiel lösen zu können. Dabei muss zuerst die neue Variable "s" bestimmt werden, welche die Hälfte des Umfangs darstellt.
Als Nächstes kann der Wert für s in die Formel von Heron eingesetzt werden:
Das Dreieck hat somit einen Umfang von und eine Fläche von .
Stumpfwinkliges Dreieck – Das Wichtigste auf einen Blick
- Ein Dreieck hat immer drei Seiten, drei Winkel, drei Höhen und drei Eckpunkte.
- Das Stumpfwinklige hat immer einen Winkel zwischen 90° und 180°, welchen man als stumpf bezeichnet.
- Die anderen zwei Winkel des stumpfwinkligen Dreiecks sind immer spitz, also zwischen 0° und 90°.
- Das stumpfwinklige Dreieck kann sowohl unregelmäßig (allgemein) als auch gleichschenklig sein.
- Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ergibt den Mittelpunkt des Umkreises.
- Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden ergibt den Schwerpunkt der Figur und den Mittelpunkt des Inkreises.
- Die Fläche des Dreiecks kann auf drei verschiedene Weisen berechnet werden, nämlich
- Die Umfangsformel lautet:
Nachweise
- Ludwig (2015).Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen. Springer-Verlag
- Shafarevich; Reid (1994). Basic algebraic geometry. Springer-Verlag.
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