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Stumpfwinkliges Dreieck

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Stumpfwinkliges Dreieck

Vom Geodreieck zu Verkehrsschildern, hierbei handelt es sich bei beiden Figuren um Dreiecke, denn sie alle sind geschlossene Figuren und haben drei Ecken, drei Seiten und drei Winkel. Welche charakteristischen Eigenschaften jedoch ein stumpfwinkliges Dreieck aufweist, erfährst Du in den folgenden Abschnitten.

Stumpfwinkliges Dreieck – Definition

Was genau ist ein stumpfwinkliges Dreieck und was macht dieses besonders?

Ein stumpfwinkliges Dreieck ist ein Dreieck, bei welchem ein Winkel größer als , aber kleiner als ist.

In der Abbildung 1 wird ein stumpfwinkliges Dreieck dargestellt. Dieses besitzt am zugehörigen Winkel des Eckpunktes A einen stumpfen Winkel. Es gilt also:

Stumpfwinkliges Dreieck Stumpfwinkliges Dreieck StudySmarterAbbildung 1: Das stumpfwinklige Dreieck

Ein Blick in die Tabelle der Dreiecksarten zeigt, dass sowohl das gleichschenklige Dreieck als auch das allgemeine Dreieck stumpfwinklig sein können. Es gibt also folgende spezielle Ausprägungsformen:

Besondere stumpfwinklige Dreiecksarten
Gleichschenkliges stumpfwinkliges DreieckAllgemeines stumpfwinkliges Dreieck

Stumpfwinkliges Dreieck Gleichschenkliges stumpfwinkliges Dreieck StudySmarterAbbildung 2: Gleichschenkliges stumpfwinkliges Dreieck

Stumpfwinkliges Dreieck Allgemeines stumpfwinkliges Dreieck StudySmarterAbbildung 3 Allgemeines stumpfwinklige Dreieck

Den Kern dieses Beitrags werden die Eigenschaften des allgemeinen stumpfwinkligen Dreiecks darstellen, auf welchen nun in folgenden Abschnitten eingegangen wird.

Möchtest Du Dich mit den Eigenschaften des allgemeinen oder gleichschenkligen Dreiecks befassen, dann sieh Dir unbedingt die Artikel allgemeines Dreieck und gleichschenkliges Dreieck an.

Stumpfwinkliges Dreieck – Eigenschaften

In den folgenden Abschnitten werden die wichtigsten Eigenschaften des stumpfwinkligen Dreiecks im Detail beschrieben.

Stumpfwinkliges Dreieck – Seiten, Winkel und Höhen

Wie bereits in Abbildung 2 und Abbildung 3 geschildert, gibt es zwei Ausprägungsformen des stumpfwinkligen Dreiecks. Ein stumpfwinkliges Dreieck kann sowohl drei unterschiedlich lange Seiten haben, als auch gleichschenklig sein.

Für die Seiten eines allgemeinen stumpfwinkligen Dreiecks gilt:

Stumpfwinkliges Dreieck Formel Seiten allgemein StudySmarter

Für die Seiten eines gleichschenklig stumpfwinkligen Dreiecks gilt:

Stumpfwinkliges Dreieck Formel Seiten gleichschenklig StudySmarter

Wie bereits der Name des stumpfwinkligen Dreiecks vermuten lässt, muss ein Winkel zwingend größer als und kleiner als sein. Die beiden anderen Winkel sind dann zusammen entsprechend kleiner als .

Im stumpfwinkligen Dreieck besitzt ein Winkel (hier α) einen stumpfen Winkel.

Stumpfwinkliges Dreieck Formel Winkel StudySmarter

Der stumpfe Winkel kann sowohl α, β als auch γ sein.

Des Weiteren hat das stumpfwinklige Dreieck jeweils eine Höhe pro Seite, also insgesamt drei Höhen.

Eine Höhe h in einem Dreieck ist die Senkrechte auf die Grundlinie, welche zum gegenüberliegenden Eckpunkt verläuft. Insgesamt gibt es drei Höhen , und .

Folgende Abbildung stellt ein stumpfwinkliges Dreieck mitsamt den Seiten, Winkel und Höhen dar.

Stumpfwinkliges Dreieck Höhenschnittpunkt Stumpfwinkliges Dreieck StudySmarterAbbildung 4: Der Höhenschnittpunkt

H steht in dieser Abbildung für den sogenannten Höhenschnittpunkt, also jenem Punkt, an welchem sich alle Höhen kreuzen.

Stumpfwinkliges Dreieck – Seitenhalbierende

Was genau sind die Seitenhalbierenden und welche Rolle spielen diese im stumpfwinkligen Dreieck?

Die Seitenhalbierende ist die Strecke vom Mittelpunkt einer Seite zur gegenüberliegenden Ecke. Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden P ergibt den Schwerpunkt des Dreiecks.

Da ein Dreieck drei Seiten besitzt, gibt es dort auch drei Seitenhalbierende. Sieh Dir dazu das folgende Beispiel an.

Stumpfwinkliges Dreieck Höhenschnittpunkt Seitenhalbierende Stumpfwinkliges Dreieck StudySmarterAbbildung 5: Seitenhalbierende

Die Seitenhalbierenden werden mit dem Buchstaben S bezeichnet, gefolgt von der Beschriftung der Seiten im Index.

Stumpfwinkliges Dreieck – Winkelhalbierende, Inkreis und Umkreis

Was genau sind die Winkelhalbierenden und welche Rolle spielen diese im stumpfwinkligen Dreieck?

Unter dem Begriff der Winkelhalbierenden wird ein Strahl verstanden, welcher in den Eckpunkten entspringt und den Winkel in zwei gleich große Teile teilt. Der Schnittpunkt stellt zugleich den Mittelpunkt M des Inkreises dar.

In dieser Abbildung stellt Beta den stumpfen Winkel dar. Natürlich kann die Figur auch anders aussehen und somit entweder der Winkel Alpha oder Gamma stumpf sein.

Stumpwinkliges Dreieck Winkelhalbierende StudySmarterAbbildung 6:Winkelhalbierende

Die Winkelhalbierenden werden mit dem Buchstaben W, gefolgt von der Beschriftung der Winkel im Index, bezeichnet. M steht für den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.

Wird nun ein Kreis innerhalb des Dreiecks eingezeichnet, wessen Mittelpunkt der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden darstellt, ergibt sich der sogenannte Inkreis, welcher wie folgt definiert ist:

Der Inkreis ist der größtmögliche Kreis innerhalb der Figur, welcher alle Seiten der Figur berührt. Der Mittelpunkt des Inkreises entspricht dem Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.

Stumpwinkliges Dreieck Inkreis StudySmarterAbbildung 7: Der Inkreis

Die Strecke r steht hierbei für den Radius des Inkreises.

Abgesehen vom Inkreis gibt es auch noch den sogenannten Umkreis, welcher wie folgt definiert ist:

Der Umkreis stellt einen Kreis dar, welcher die Figur umschließt und dabei alle Eckpunkte berührt. Der Mittelpunkt des Umkreises entspricht dem Schnittpunkt der Mittelsenkrechten.

Ein Beispiel für einen Umkreis im stumpfwinkligen Dreieck würde wie folgt aussehen:

Stumpwinkliges Dreieck Umkreis StudySmarterAbbildung 8: Umkreis

Die Mittelsenkrechte ist eine Senkrechte auf den Mittelpunkt einer Seite. Die Strecke r steht hierbei für den Radius des Umkreises.

Stumpfwinkliges Dreieck – Symmetrie

Was genau wird unter der Symmetrie verstanden?

Unter dem Begriff Symmetrie wird verstanden, dass sich eine Figur an einem bestimmten Punkt oder einer Linie spiegelt. Diese Linie wird auch als Symmetrieachse bezeichnet.

Im stumpfwinkligen Dreieck gibt es keine Linie oder keinen Punkt, an welchem dieses gespiegelt werden kann, bzw. symmetrisch ist.

Hingegen die Ausprägungen des gleichschenkligen stumpfwinkligen Dreiecks hat eine Symmetrieachse, wie Du in dieser Abbildung 9 feststellen kannst.

Stumpwinkliges Dreieck Symmetrie gleichschenkliges stumpfwinkliges Dreieck StudySmarterAbbildung 9: Symmetrie - Gleichschenkliges stumpwinkliges Dreieck

Doch wie können nun im stumpfwinkligen Dreieck die Fläche A, der Umfang U oder die Seiten a, b, c berechnet werden?

Berechnungen im stumpfwinkligen Dreieck

Die folgenden Abschnitte zeigen wird gezeigt, wie in einem stumpfwinkligem Dreieck die Fläche und der Umfang berechnet werden können.

Stumpfwinkliges Dreieck – Flächeninhalt

Was ist grundsätzlich eine Fläche und wie kann der Flächeninhalt A des stumpfwinkligen Dreiecks berechnet werden?

Eine Fläche gibt an, wie groß etwas im zweidimensionalen Raum ist. Die Formeln für die Berechnung der Fläche des stumpfwinkligen Dreiecks lauten:

oder Stumpfwinkliges Dreieck Flächenformel StudySmarter

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts A mit einer Seite und einer Höhe kann mit jeder beliebigen Seite berechnet werden. Wichtig dabei ist nur, dass Du immer die Höhe verwenden musst, die senkrecht auf der verwendeten Seite steht.

Weiter geht's mit der Berechnung des Umfangs im stumpfwinkligen Dreieck.

Stumpfwinkliges Dreieck – Umfang

Was genau unter dem Umfang verstanden wird und wie dieser berechnet werden kann, soll folgende Definition klären.

Unter dem Umfang U wird die Summe aller Seitenlängen verstanden, welche die Figur begrenzen. Die Umfangsformel für das rechtwinklige Dreieck lautet:

Stumpfwinkliges Dreieck Umfangsformel StudySmarter

Den Umfang benötigst Du im täglichen Leben öfter, als Du vielleicht denkst. Stell Dir vor, Du musst Deine Wiese einzäunen und möchtest wissen, wie viel Meter Zaun insgesamt benötigst werden. Genau hier kommt der Umfang ins Spiel.

Doch nun auf zu den Übungsbeispielen, um das Erlernte überprüfen zu können!

Übungsaufgaben zum allgemeinen stumpfwinkligen Dreieck

Folgende Aufgabe werden Dich zum Meister des stumpfwinkligen Dreiecks machen! Auf geht's!

Aufgabe 1

Berechne den Umfang U und die Fläche A eines stumpfwinkligen Dreiecks mit folgenden Werten:

Lösung

Berechnung des Umfangs

Um den Umfang des Dreiecks auszurechnen, wird die Formel Stumpfwinkliges Dreieck Umfangsformel StudySmarter verwendet. Auf dieses Beispiel bezogen, sieht die Berechnung des Umfangs also wie folgt aus:

Somit beträgt der Umfang des Dreiecks .

Berechnung der Fläche

Für die Berechnung der Fläche wird folgende Formel verwendet:

Stumpfwinkliges Dreieck Flächenformel StudySmarter

Nun können die Werte aus der Angabe in die Formel eingesetzt werden. Dies sieht wie folgt aus:

Stumpfwinkliges Dreieck Flächenformel StudySmarter

Die Fläche dieser Figur beträgt somit .

Beachte, dass die Einheit der Fläche immer mit hoch 2 versehen wird, da es sich um eine Figur im zweidimensionalen Raum handelt.

Aufgabe 2

Folgende Seiten eines stumpfwinkligen Dreiecks sind gegeben:

Berechne den Umfang und die Fläche!

Lösung

Berechnung des Umfangs

Um den Umfang des Dreiecks ausrechnen zu können, wird die Umfangsformel aller DreieckeStumpfwinkliges Dreieck Umfangsformel StudySmarter verwendet. Es werden also alle Seitenlinien, welche die Figur begrenzen, zusammengezählt.

Konkret auf dieses Beispiel bezogen, sieht dies wie folgt aus:

Stumpwinkliges Dreieck Umfang StudySmarter

Somit beträgt der Umfang der Figur Stumpwinkliges Dreieck Beispiel Lösung StudySmarter.

Berechnung der Fläche

Da in diesem Beispiel bereits alle für die Berechnung der Fläche benötigten Variablen einen Wert aufweisen, können die Werte direkt in die Formel Stumpfwinkliges Dreieck Flächenformel StudySmarter eingesetzt werden. Dies sieht wie folgt aus:

Stumpfwinkliges Dreieck Flächenformel StudySmarter

Das gegebene stumpfwinklige Dreieck hat also eine Fläche von insgesamt .

Beachte, dass die Einheit der Fläche immer mit hoch " 2 " versehen wird, da sich die Figur im Zweidimensionalen Raum befindet.

Aufgabe 3

Folgende Seiten eines stumpfwinkligen Dreiecks sind gegeben:

Berechne den Umfang und die Fläche!

Lösung

Berechnung des Umfangs

Für die Berechnung des Umfangs wird erneut die Formel Stumpfwinkliges Dreieck Umfangsformel StudySmarterverwendet.

Werden die Werte des Beispiels in die Formel eingesetzt, ergibt sich Folgendes:

Stumpwinkliges Dreieck Beispiel zum Umfang StudySmarter

Das Dreieck hat also einen Umfang von insgesamt .

Berechnung der Fläche

Beachte, dass bei diesem Beispiel die Höhe nicht bestimmt wurde, was bedeutet, dass die Formel von Heron herangezogen werden muss, um das Beispiel lösen zu können. Dabei muss zuerst die neue Variable "s" bestimmt werden, welche die Hälfte des Umfangs darstellt.

Stumpfwinkliges Dreieck Formel nach Heron StudySmarter

Als Nächstes kann der Wert für s in die Formel von Heron eingesetzt werden:

Stumpfwinkliges Dreieck Formel nach Heron StudySmarter

Das Dreieck hat somit einen Umfang von und eine Fläche von .

Stumpfwinkliges Dreieck – Das Wichtigste auf einen Blick

  • Ein Dreieck hat immer drei Seiten, drei Winkel, drei Höhen und drei Eckpunkte.
  • Das Stumpfwinklige hat immer einen Winkel zwischen 90° und 180°, welchen man als stumpf bezeichnet.
  • Die anderen zwei Winkel des stumpfwinkligen Dreiecks sind immer spitz, also zwischen 0° und 90°.
  • Das stumpfwinklige Dreieck kann sowohl unregelmäßig (allgemein) als auch gleichschenklig sein.
  • Der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden ergibt den Mittelpunkt des Umkreises.
  • Der Schnittpunkt der Seitenhalbierenden ergibt den Schwerpunkt der Figur und den Mittelpunkt des Inkreises.
  • Die Fläche des Dreiecks kann auf drei verschiedene Weisen berechnet werden, nämlichStumpwinkliges Dreieck Flächenformel StudySmarter
  • Die Umfangsformel lautet:Stumpwinkliges Dreieck Umfangsformel StudySmarter

Nachweise

  1. Ludwig (2015).Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen. Springer-Verlag
  2. Shafarevich; Reid (1994). Basic algebraic geometry. Springer-Verlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Stumpfwinkliges Dreieck

Nein, denn ein stumpfer Winkel ist bereits größer als 90°. Dies bedeutet, die anderen beiden Winkel sind zusammen kleiner als 90° (somit spitz), da die Winkelsumme 180° beträgt.

Nein, lediglich einer davon ist stumpf, die anderen beiden müssen spitz sein, da die Winkelsumme im Dreieck 180° ergibt und nicht überschritten wird.

Ja, insofern beide Katheten, welche den stumpfen Winkel umschließen, gleich lang sind.

Es hat einen stumpfen und zwei spitze Winkel und drei Seiten, welche beliebig lang sein können.

Finales Stumpfwinkliges Dreieck Quiz

Frage

Welche Aussagen des stumpfwinkligen Dreiecks sind korrekt:

Antwort anzeigen

Antwort

Alle Seiten sind immer unterschiedlich lang

Frage anzeigen

Frage

Ein stumpfwinkliges Dreieck hat:

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei verschiedene Ausprägungsformen

Frage anzeigen

Frage

Überprüfe folgende Aussage:

"Alle Winkel im stumpfwinkligen Dreieck können kleiner als 90° sein !"


Antwort anzeigen

Antwort

Richtig

Frage anzeigen

Frage

Überprüfe folgende Aussage:

"Ein stumpfwinkliges Dreieck kann entweder gleichschenklig oder allgemein sein!"


Antwort anzeigen

Antwort

Richtig

Frage anzeigen

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