Kreislinie

Vielleicht gehörst Du auch zu den Leuten, die gerne Pizza essen. Von Pizza Margherita über Salami bis hin zur umstrittenen Pizza Hawaii. Dabei gibt es oft den breiten Rand, an dem es keinen Belag, sondern nur den Pizzateig gibt. Die einen mögen es, die anderen eher weniger. Genau um diesen Rand soll es allerdings in dieser Erklärung gehen. Denn den Rand kannst Du auch als Kreislinie eines Pizzakreises betrachten.

Kreislinie Kreislinie

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Kreislinie Pizza mit Pizzarand als Kreislinie StudySmarter

    Wie bei einem normalen Kreis schließt dieser einen Kreis ab. Was es nun also mit einer Kreislinie, einem Radius und dem Abstand der Punkte auf der Kreislinie zum Mittelpunkt auf sich hat, erfährst Du nun. Viel Spaß!

    Kreislinie Mathematik – Wiederholung

    Die Kreislinie wird neben der Mittelsenkrechten oder der Winkelhalbierenden als geometrischer Ort bezeichnet. Zu Beginn sollen Dir diese geometrischen Orte aus der Geometrie für einen Kreis erläutert werden.

    In der Mathematik gibt es für die Menge an Punkten, die eine Eigenschaft besitzen, verschiedene geometrische Orte. So können Punkte gemeinsam von einem Punkt M aus einen festen Abstand besitzen. Diese Punkte bilden dann einen Kreis mit dem Mittelpunkt M und den Radius r, wobei dieser auch eine Kreislinie besitzt.

    In dieser Erklärung tauchen neben der Kreislinie auch noch die geometrischen Orte Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende auf.

    Wie Du diese zwei Konzepte geometrisch mit einem Geodreieck oder Zirkel lösen kannst, wirst Du im Folgenden erfahren.

    Geometrischer Ort – Mittelsenkrechte

    Die Mittelsenkrechte einer Strecke wird in einem späteren Kapitel auch noch interessant, wenn es um einen sogenannten Inkreis geht. Deshalb wird Dir dieses Konzept hierbei kurz wiederholt.

    Die Mittelsenkrechte beschreibt die Menge an Punkten, die jeweils dieselbe Entfernung zu zwei Punkten P und Q besitzen. Es handelt sich also um die senkrechte Gerade durch den Mittelpunkt an einer Strecke [PQ].

    Dabei kannst Du eine Mittelsenkrechte mit einem Geodreieck oder einem Zirkel ermitteln. Möchtest Du die Mittelsenkrechte über ein Geodreieck bestimmen, so misst Du die Hälfte der Strecke ab und gehst von einem Endpunkt diese Hälfte weiter. Damit hast Du den Mittelpunkt ermittelt. Danach setzt Du die 0-Linie des Geodreiecks an, um eine Senkrechte zu zeichnen.

    Mit dem Zirkel gehst Du wie folgt vor:

    • Du zeichnest von beiden Endpunkten P und Q einen Kreis mit einem Radius, der mindestens so lange ist wie die Hälfte der Strecke.
    • Die Schnittpunkte der Kreise sind Punkte auf der Mittelsenkrechten.
    • Du zeichnest die Gerade durch die Punkte.

    Kreislinie Mittelsenkrechte mit Zirkel ermittelt StudySmarter

    Abbildung 1: Mittelsenkrechte mit Zirkel ermittelt

    Geometrischer Ort – Winkelhalbierende

    Ein weiteres Konzept für einen geometrischen Ort ist die Winkelhalbierende, die auch in einem späteren Kapitel noch wichtig wird.

    Bei einer Winkelhalbierenden handelt sich um einen Strahl, der einen Winkel in zwei gleich große Winkelfelder teilt. Jeder Punkt auf der Winkelhalbierenden ist dabei von den beiden Schenkel, die den Winkel bilden, gleich weit entfernt.

    Die Winkelhalbierende wird an die geometrische Hälfte eines Winkels gesetzt. Besitzt zum Beispiel ein Dreieck einen Winkel von 60°, so teilt die Winkelhalbierende diesen Winkel in zweimal 30°. Dabei kannst Du sowohl mit einem Geodreieck, als auch mit einem Zirkel vorgehen.

    Mit Deinem Geodreieck misst Du zuerst den Winkel ab, und markierst an der Hälfte dieses Winkels einen Punkt, durch den die Gerade zum Eckpunkt hin verlaufen soll.

    In dem Beispiel wird eine Winkelhalbierende mit einem Zirkel konstruiert.

    Hier soll die Winkelhalbierende zum Winkel β im folgenden blauen Dreieck gebildet.

    Kreislinie Winkelhalbierende Dreieck (Angabe) StudySmarter

    Abbildung 2: Dreieck mit dem Winkel beta

    Dabei kannst Du wie folgt vorgehen.

    ErklärungsschrittKonstruktion
    Zeichne einen Kreis am Punkt B, da Du an diesem Punkt die Winkelhalbierende bestimmen möchtest. Nutze dabei einen beliebigen Radius, sodass der Kreis die beiden Schenkel in den erzeugten Schnittpunkten D und E schneidet.

    Kreislinie Winkelhalbierende Dreieck (1) StudySmarter

    Abbildung 3: Winkelhalbierende Dreieck (1)
    An den Schnittpunkten D und E zeichnest Du jeweils zwei gleich große Kreise, die sich gegenseitig wiederum in den Punkten F und G schneiden.

    Kreislinie Winkelhalbierende Dreieck (2) StudySmarter

    Abbildung 4: Winkelhalbierende Dreieck (2)
    Jetzt zeichnest Du eine Gerade, die durch die Punkte B, F und C geht. Dies ist Deine Winkelhalbierende, die den Winkel an Punkt B in zwei Teile teilt.

    Kreislinie Winkelhalbierende Dreieck (3) StudySmarterKreislinie Winkelhalbierende Dreieck (2) StudySmarter

    Weitere Informationen zu den Wiederholungen aus den Unterkapiteln findest Du unter folgenden Erklärungen:

    • Geometrischer Ort
    • Mittelsenkrechte
    • Winkelhalbierende
    • Mittelparallele

    Kreislinie Mathematik – Erklärung

    Die Kreislinie als Teil eines Kreises zählt zu einem wichtigen geometrischen Ort, wobei Du Dir in diesem Fall auch gerne wieder die Pizza vor Augen führen kannst.

    Kreislinie k – Definition

    Die Kreislinie ist ein Bestandteil des Kreises.

    Die Kreislinie k beschreibt die Begrenzungslinie eines Kreises. Dabei ist jeder Punkt auf der Kreislinie, die auch als Kurve bezeichnet werden kann, vom Mittelpunkt M des Kreises gleich weit entfernt, und zwar um den Radius r.

    Kreislinie Kreis mit Radius StudySmarter

    Abbildung 6: Kreis mit Radius

    Die Kreislinie wird dabei auch als Kreisrand bzw. Kreisperipherie bezeichnet. Peripherie bezeichnet in der Geografie den äußersten Rand eines Stadtteils, genauso handelt es sich hierbei um den Umfang von einem Kreis.

    Kreislinie Formel

    Um die Kreislinie zu berechnen, benötigt es das Wissen um weitere Formeln wie den Radius oder den Durchmesser.

    Kreislinie Formel – Radius und Durchmesser

    Für die Kreislinie benötigst Du unter anderem den Radius eines Kreises.

    Der Radius beschreibt den Abstand vom Mittelpunkt von einem Kreis zu allen Punkten auf der Kreislinie. Verglichen mit dem Radius ist dieser also die Hälfte des Durchmessers, kurz:

    r =12 · d

    Bei der Pizzeria Deines Vertrauens holst Du Dir gerne eine leckere Salamipizza. Dabei kannst Du sie als Standard mit 20 cm oder als Jumbo mit 25 cm Radius bestellen, doch was bedeutet das?

    Der Durchmesser eines Kreises bzw. der Pizza ist dabei das Doppelte des Radius. Der Durchmesser lässt sich also hiermit berechnen.

    d=2 · rdStandard=2 · 20=40dJumbo=2 · 25 =50

    Das bedeutet also, dass Du Deine Pizza im Durchmesser 40 cm oder 50 cm bestellen kannst.

    Hier kannst Du den Zusammenhang von dem Radius und dem Durchmesser der Pizzen im Koordinatensystem sehen.

    Kreislinie Kreis mit Radius und Durchmesser für zwei Pizzen StudySmarterAbbildung 7: Kreis mit Radius und Durchmesser für zwei Pizzen

    Kreislinie Formel – Umfang

    Bei dem Umfang eines Kreises handelt es sich tatsächlich um die Formel für eine Kreislinie. Dabei kannst Du bereits das Wissen über den Radius und den Durchmesser verwenden. Um den Umfang der Kreislinie zu berechnen, benötigst Du zusätzlich die Kreiszahl Pi, die mit den Zahlen 3,1415... startet und für die mittlerweile bereits schätzungsweise 62,8 Billionen Stellen berechnet wurden.

    Zusammen mit dem Radius eines Kreises berechnest Du den Umfang folgendermaßen:

    U =2 · r · π

    Wie Du bereits erfahren hast, ist der Durchmesser der doppelte Radius. Somit kannst Du den Umfang auch mit dieser Formel berechnen.

    U =d · π

    Die Kreiszahl Pi kannst Du näherungsweise ermitteln. Falls Du mehr über dieses Verfahren erfahren möchtest, kannst Du gerne bei der Erklärung Kreiszahl Pi vorbeisehen.

    Gesucht ist der Umfang U eines Kreises, welcher einen Radius r von 3 cm hat.

    Dazu setzt Du 3 cm für den Radius r in die Formel ein und berechnest das Produkt.

    U = 2 · r · π= 2 · 3 · π= 6π= 18,8495...= 18,85 (cm)

    Kreislinie im Dreieck – Inkreis

    Du kannst von einem Dreieck jeweils zwei Kreise ermitteln. Dabei gibt es den sogenannten Inkreis und auch den Umkreis. Du kannst für diese jeweils eine Konstruktion anfertigen.

    Für einen Inkreis kannst Du für jedes Eck eines Dreiecks die Winkelhalbierende ermitteln. Grundsätzlich würden auch zwei reichen, um den Schnittpunkt dieser Geraden als den Mittelpunkt des Inkreises anzugeben. Der Radius des Inkreises ist dabei der kürzeste Abstand zu den Dreiecksseiten.

    Erstelle den Inkreis zu folgendem Dreieck.

    Kreislinie Inkreis eines Dreiecks mit Kreislinie Angabe StudySmarter

    Abbildung 8: Inkreis eines Dreiecks mit Kreislinie (Angabe)
    ErklärungsschrittKonstruktion

    1. Schritt:

    Zuerst ermittelst Du über das Verfahren, wie Du es in der Wiederholung bereits erfahren hast, die Winkelhalbierende. Dazu zeichnest Du von einem Eckpunkt, in diesem Fall C, einen Kreis. Dieser schneidet das Dreieck in zwei Punkten D und E. Nun zeichnest Du von diesen Punkten wiederum zwei Kreisbogen. Durch deren Schnittpunkte verläuft nun Deine Winkelhalbierende.

    Kreislinie Inkreis 1. Winkelhalbierende StudySmarter

    Abbildung 9: Inkreis (1. Winkelhalbierende)

    2. Schritt:

    Wiederhole den ersten Schritt für eine weitere Ecke.

    Kreislinie Inkreis 2. Winkelhalbierende StudySmarter

    Abbildung 10: Inkreis (2. Winkelhalbierende)
    3. Schritt:

    Nun kannst Du von dem Schnittpunkt dieser Geraden den Mittelpunkt M des Inkreises einzeichnen.

    Kreislinie Inkreis Mittelpunkt StudySmarter

    Abbildung 11: Inkreis (Mittelpunkt)

    4. Schritt:

    Im vierten Schritt gilt es, den kürzesten Abstand vom Mittelpunkt M zu einem der Dreieckskanten zu finden. Dazu erzeugst Du eine Senkrechte durch M und die Strecke AC.

    Erstelle einen Kreis mit dem schon erzeugten Mittelpunkt M. Von den beiden Schnittpunkten F und G mit der Strecke AC aus erzeugst Du wieder zwei Kreise. Deren Schnittpunkte sind zwei Punkte auf der Senkrechten, die Du zu einer Geraden verbindest. Der Abstand von M zu dem Punkt H ist nun der Radius des Inkreises.

    Kreislinie Inkreis in violett StudySmarterAbbildung 12: Inkreis in Violett

    Das Ergebnis wurde Dir nun noch einmal ohne die Hilfslinie angegeben. Der hellblaue Kreis entspricht nun also Deinem Inkreis.

    Kreislinie Inkreis eines Dreiecks mit Kreislinie Lösung ohne Hilfslinien StudySmarterAbbildung 13: Inkreis eines Dreiecks mit Kreislinie (Lösung ohne Hilfslinien)

    Auch hier kann über die Formel

    U =2 · r · π

    der Umfang des Kreises berechnet werden.

    Wenn Du den Radius mit einem Geodreieck misst, kommst Du ungefähr auf den Wert 1,65 cm. Mit der Formel kannst Du die Länge der Kreislinie des Inkreises berechnen.

    U =2 · r · π =2 · 1,65 · π 10,38 (cm)

    Nähere Informationen zum Umkreis und wie Du diesen ermitteln kannst, findest Du in den Erklärungen Umkreis eines Dreiecks und Umkreis eines Dreiecks konstruieren. Für dieses Konzept werden die Winkelhalbierenden verwendet.

    Kreislinie berechnen – Übungen

    Um Dein Wissen praktisch anzuwenden, sind Dir die nachfolgenden kleinen Übungsaufgaben gestellt. Viel Spaß!

    Aufgabe 1

    Ein Kreis besitzt einen Durchmesser von 7,5 cm.

    a) Erkläre den Begriff Umfang eines Kreises.

    b) Berechne diesen Umfang.

    Lösung

    a) Der Umfang eines Kreises beschreibt auch den Begriff der Kreislinie. Dabei ist die Kreislinie die Begrenzung eines Kreises. Jeder Punkt auf der Kreislinie ist gleich weit vom Mittelpunkt entfernt.

    b) Für den Umfang eines Kreises benötigst Du folgende Formel:

    U =d · π

    Da in dieser Aufgabe explizit der Durchmesser des Kreises gegeben ist, wird auch diese Formel mit dem Durchmesser eines Kreises verwendet.

    U =7,5 · π= 23,561...23,56 (cm)

    Aufgabe 2

    Ein Kreis besitzt den Umfang 8 · π.

    a) Bestimme den Radius dieses Kreises.

    b) Wie weit ist der Mittelpunkt zu den Kanten eines Dreiecks entfernt, falls es sich bei dem Kreis um einen Inkreis handelt?

    Lösung

    a) Bei der Angabe aus dem Text handelt es sich um die Formel

    U=d · π.

    Dementsprechend beschreibt die Zahl 8 den Durchmesser. Der Radius ist dabei die Hälfte des Durchmessers, also ist der Radius dieses Kreises 4 cm groß.

    b) Der Inkreis ist der Kreis, bei dem dieser die drei Seiten des Dreiecks jeweils in einem Punkt schneidet. Also ist der nächste Abstand zu den Seiten der Radius. Die Ecken sind weiter entfernt. Siehe Dir dazu gerne das letzte Kapitel an.

    Kreislinie – Das Wichtigste

    • Zu einem geometrischen Ort zählt unter anderem die Winkelhalbierende, aber auch die Mittelsenkrechte. Außerdem ist die Kreislinie auch ein geometrischer Ort.
    • Die Winkelhalbierende kannst Du mit dem Zirkel ermitteln, indem Du von einem Eckpunkt einen Kreis zeichnest. Die Schnittpunkte mit den Dreieckskanten werden als Mittelpunkte von zwei Kreisen verwendet und die Schnittpunkte dieser Kreise liegen auf der Winkelhalbierenden. Du ziehst also durch diese eine Gerade, die Winkelhalbierende.
    • Die Kreislinie ist die Menge an Punkten, die jeweils gleich weit vom Mittelpunkt M entfernt sind.
    • Die Länge der Kreislinie kann mit dem Umfang eines Kreises berechnet werden über die Formel U =2 · r · π =d · π.
    • Der Radius eines Inkreises ist der kürzeste Abstand zu den jeweiligen Kanten des Dreiecks.

    Nachweise

    1. Erbrecht et al. (2012). Das große Tafelwerk interaktiv Formelsammlung für die Sekundarstufe I und II. Cornelsen Verlag, Berlin
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Kreislinie

    Wie berechnet man die Kreislinie? 

    Um die Kreislinie zu berechnen, verwendest Du die Formel für den Umfang U eines Kreises. Dieser wird berechnet, indem Du zweimal den Radius mit der Kreiszahl Pi multiplizierst. Falls in einer Aufgabe der Durchmesser eines Kreises gegeben ist, so multiplizierst Du den Durchmesser mit Pi.

    Was ist eine Kreislinie? 

    Eine Kreislinie ist die Begrenzungslinie eines Kreises. Dabei besitzen alle Punkte auf der Kreislinie denselben Abstand zum Mittelpunkt des Kreises.

    Wie heißt die Linie vom Mittelpunkt zur Kreislinie? 

    Die Verbindungslinie zwischen Mittelpunkt und Kreislinie wird als Radius eines Kreises bezeichnen. Dieser Radius spielt eine entscheidende Rolle für den Umfang eines Kreises. Aber auch für den Flächeninhalt eines Kreises wird dieser verwendet.

    Wie nennt man eine Kreislinie? 

    Eine Kreislinie ist der Umfang eines Kreises, auch als Kreisrand oder Kreisperipherie bezeichnet. Eine Kreislinie ist dabei die Begrenzungslinie eines Kreises.

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