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Quader

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Mathe

Im Alltag triffst Du oft auf Objekte, die die Form eines Quaders haben. Dazu gehören zum Beispiel Pakete oder Dein Kleiderschrank.

Quader Schrank StudySmarter Quader Paket StudySmarter

Was die mathematische Definition eines Quaders ist und wie Du sein Volumen sowie den Oberflächeninhalt berechnen kannst, erfährst Du in diesem Artikel.

Die Eigenschaften eines Quaders

Der Quader ist ein geometrischer, dreidimensionaler Körper mit 6 rechteckigen Flächen, 8 rechtwinkligen Ecken und 12 Kanten, von denen jeweils 4 immer gleich lang sind. Die gegenüberliegenden Flächen im Quader sind immer gleich groß und parallel zueinander.

Spezialfall: Würfel

Würfel sind ein Spezialfall von Quadern. Bei ihnen sind alle Seiten alle gleich lang, wodurch sich die Formel zur Berechnung des Volumens und des Oberflächeninhalts vereinfacht.

Daraus ergibt sich, dass alle Würfel Quader sind, aber nicht alle Quader sind Würfel.

Für das Volumen V eines Würfels gilt:

V = a · a · a = a3

Da alle Seiten gleich lang sind, müssen nicht alle Seiten einzeln multipliziert werden. Stattdessen kann eine Seitenlänge einfach dreimal mit sich selbst multipliziert werden.

Da alle Seiten gleich lang sind, sind auch alle Flächen gleich groß. Ein Quader besteht aus 6 Rechtecken, deshalb wird der Flächeninhalt des Quadrats versechsfacht, um den Oberflächeninhalt eines Würfels zu erhalten.

Für den Oberflächeninhalt O eines Würfels gilt:

O = 6a2

Um mehr zum Thema "Würfel" zu erfahren, lies Dir unseren Artikel dazu durch.

Das Netz eines Quaders

Wenn Du einen Quader aufklappst und auf eine flache Ebene legst, erhältst Du das sogenannte Netz eines Körpers.

Mithilfe dieses Netzes kannst Du die Rechtecke erkennen, aus denen ein Quader besteht. Ein Quader besteht aus folgenden 6 Rechtecken:

  • einer Deckfläche D
  • einer Grundfläche G
  • zwei Seitenflächen S1 und S2
  • einer Vorderseite V
  • und einer Rückseite R

Gegenüberliegende Seiten sind dabei immer gleich groß.

Das Netz eines Körpers hilft Dir dabei, Dir besser vorstellen zu können, wie der Oberflächeninhalt eines Körpers berechnet werden kann. Insgesamt gibt es 45 verschiedene Netze für Quader, also 45 verschiedene Wege, einen Quader aufzuschneiden und auszurollen.

Arten von Quadern

Es gibt zwei Arten von Quadern:

  1. gerade Quader
  2. schiefe Quader

1. Gerade Quader

Gerade Quader haben rechtwinklige Ecken. In diesem Artikel ist meist ein gerader Quader gemeint, wenn von einem Quader die Rede ist.

2. Schiefe Quader - Volumen und Oberflächeninhalt

Bei schiefen Quadern sind die Ecken nicht rechtwinklig, die gegenüberliegenden Seiten sind aber trotzdem parallel. Dadurch wirken sie schief.

Die Ermittlung der Höhe erfolgt bei einem schiefen Quader etwas anders. Hier ist die Höhe das Lot, die die Deckfläche mit der Grundfläche verbindet und nicht mehr die Länge der Seite c.

Die folgende Zeichnung verdeutlicht dies:

Das Volumen und der Oberflächeninhalt eines schiefen Quaders werden genau wie die eines geraden Quaders berechnet. Das liegt daran, dass Du bei der überstehenden Seite, in unserem Beispiel der rechten Seite, den Überstand senkrecht "abschneiden" und an der gegenüberliegenden Seite wieder hinzufügen könntest. So erhältst Du wieder einen geraden Quader.

Die Seite c muss, wie bereits erwähnt, durch die Höhe h ersetzt werden. Deshalb ergibt sich folgende Formel für schiefe Quader:

Für das Volumen V eines schiefen Quaders gilt:

V = a · b · h

Das Schrägbild eines Quaders zeichnen

In diesem Abschnitt erfährst Du, wie Du einen Quader dreidimensional, also sein Schrägbild, zeichnen kannst.

Zeichnung
Anleitung
Als Erstes kannst Du ein Rechteck, also noch zwei-dimensional, mit der entsprechenden Höhe c und Breite a zeichnen.
Anschließend zeichnest Du eine weitere Linie mit der Länge b in einem 45° Winkel an die untere rechte Ecke.Tipp: Wenn Du in Deinem Schulheft zeichnest, kannst Du einfach die Ecken der Kästchen verbinden. So erhältst Du immer einen 45° Winkel.

Wenn Du eine Linie schräg zeichnest, dann halbiert sich ihre Länge.

Im nächsten Schritt kannst Du am Ende dieser schrägen Linie das Rechteck aus dem ersten Schritt noch einmal zeichnen. Dabei ist das Ende dieser Linie auch die untere rechte Ecke des Rechtecks.

Um die Räumlichkeit der Figur anzuzeigen, kannst Du die verdeckten Teile des Quaders mit gestrichelten Linien zeichnen.

Zum Schluss musst Du noch die Ecken des zweiten Rechtecks mit den entsprechenden Ecken des ersten Rechtecks verbinden.

Volumen eines Quaders berechnen

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Quaders setzt sich zusammen aus dem Produkt der Länge, Breite und Höhe des Körpers.

Die Formel zur Berechnung des Volumens V eines Quaders lautet:

V = a · b · c

Dabei stet V für das Volumen, während a die Breite, b die Länge und c die Höhe des Quaders angeben. Das Ergebnis dieser Rechnung wird in m³ angegeben.

Um mehr zum Thema Volumen eines Quaders zu erfahren, lies Dir unseren Artikel dazu durch. Dort findest Du weitere Informationen und Anwendungsbeispiele.

Die Mantelfläche eines Quaders

Wenn man einen Quader in seine Einzelteile zerlegt, erhält man unter anderem seine Mantelfläche.

Die Mantelfläche eines Quaders setzt sich aus den vier seitlichen Rechtecken zusammen und wird in Formeln mit dem Großbuchstaben M abgekürzt. Die Deck- und Grundfläche D und G ergeben zusammen mit der Mantelfläche M den Oberflächeninhalt O.

In einer Abbildung sieht die Mantelfläche M so aus:

Für die Mantelfläche M eines Quaders gilt:

M = 2 · (a · c + b · c)

Um Beispielaufgaben zur Mantelfläche zu berechnen, lies Dir unseren Artikel zum Thema Oberflächeninhalt eines Quaders durch.

Oberflächeninhalts eines Quaders berechnen

Die Formel für den Oberflächeninhalt setzt sich zusammen aus der Summe der Einzelflächen des Quaders. Ein Quader besteht aus drei Flächen: Der Mantelfläche M, der Grundfläche G und der Deckfläche D. Wenn Du den Flächeninhalt dieser Flächen addierst, erhältst Du die Formel für den Oberflächeninhalt.

Für den Oberflächeninhalt O eines Quaders gilt:

O = M + AG + ADO = AV + AR + AG + AD + AS1 + AS2

Diese Formel kann umgeschrieben werden:

O = 2ac + 2ab + 2bc

Dabei ist O der Oberflächeninhalt, während M die Mantelfläche, a die Länge, b die Breite und c die Höhe des Quaders angeben. Das Ergebnis dieser Rechnung wird in m² angegeben.

Um mehr zum Thema Oberflächeninhalt eines Quaders erfahren, lies Dir unseren Artikel dazu durch.

Formelsammlung zum Quader

Zur Übersicht sind in der folgenden Tabelle alle Formeln zur Berechnung eines Quaders zusammengefasst. In der Abbildung findest Du nochmal alle Seiten und Diagonalen eines Quaders.

Formel
Grundfläche G/Deckfläche DG/D = a · b
Vorderseite V/Rückseite RV/R = a · c
Seitenflächen S1/2 = b · c
Mantelfläche MM = 2ac + 2bc
Oberflächeninhalt OO = 2ab + 2ac + 2bc
Volumen VV = a · b · c
Raumdiagonale ee = a2 + b2 + c2
Flächendiagonale dabdab = a2 + b2
Flächendiagonale dbcdbc = b2 + c2
Flächendiagonale dacdac = a2 + c2

Berechnung der Flächen- und Raumdiagonalen

Um die Diagonalen im Quader berechnen zu können, wird der Satz des Pythagoras benötigt.

Eine Raumdiagonale beginnt an einer beliebigen Ecke der Grundfläche und endet an der am weitesten entfernten Ecke der Deckfläche. Alle Raumdiagonalen haben die gleiche Länge, da die Seitenkanten alle senkrecht stehen und somit jeder Punkt der Grundfläche den gleichen Abstand zur Deckfläche hat.

Es gibt 4 Raumdiagonalen, die alle mit e bezeichnet werden.

Wenn Du eine der vier Raumdiagonalen in einen Quader einzeichnest, bildet die Raumdiagonale e mit der Höhe c und der Flächendiagonalen d der Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck. Bei rechtwinkligen Dreiecken kann immer der Satz des Pythagoras angewendet werden. Es gilt also:

e2 = c2 + d2

Zur Erinnerung: Beim Satz des Pythagoras gilt:

(Hypotenuse)² = (Kathete 1)² + (Kathete 2)²

Diese Gleichung kannst Du jetzt so umstellen, dass die Raumdiagonale nicht quadriert und alleine auf einer Seite der Gleichung steht.

e2 = c2 + d2 e = c2 + d2

Um eine solche Aufgabe dann letztendlich berechnen zu können, musst die Höhe c gegeben oder berechnet sein, sowie und die Flächendiagonale d.

Eine Flächendiagonale beginnt in einer beliebigen Ecke und endet an der am weitesten entfernten Ecke beziehungsweise der gegenüberliegenden Ecke derselben Fläche. Da nicht alle Flächen gleich groß sind, sind auch nicht alle Flächendiagonalen, bis auf die gegenüberliegenden, gleich lang. Es gibt drei unterschiedliche Flächendiagonalen, die mit d bezeichnet werden.

Um die Länge einer Flächendiagonalen zu berechnen, kannst Du sie erst einmal in einen Quader einzeichnen. In diesem Fall nehmen wir die Flächendiagonale der Grundfläche.

Auch hier entsteht ein rechtwinkliges Dreieck zwischen der Flächendiagonale d, der Seite b und der Seite a. Aufgrund der Rechtwinkligkeit des Dreiecks kann auch hier der Satz des Pythagoras angewendet werden.

d2 = a2 + b2

Nun muss die Gleichung noch nach d aufgelöst werden, damit Du die Flächendiagonale berechnen kannst.

d2 = a2 + b2 d = a2 + b2

Je nachdem, auf welcher Fläche die Flächendiagonale liegt, gibt es verschiedene Möglichkeiten für die Gleichung zur Berechnung der Flächendiagonale.

Formeln zur Berechnung der Flächendiagonalen d:

dab = a2 + b2dac = a2 + c2dbc = b2 + c2

Die passende Gleichung für die Flächendiagonale d kannst Du in die Gleichung für die Raumdiagonale e einsetzten. In diesem Fall passt die erste Gleichung von d.

Formel zur Berechnung der Raumdiagonalen e:

e = c2 + a2 + b2

Es macht also keinen Unterschied, welche der Raumdiagonalen und damit auch Flächendiagonalen Du verwendest, da die Raumdiagonalen alle gleich lang sind. Das Ergebnis bleibt immer das Gleiche.

Quader – Das Wichtigste auf einen Blick

  • Ein Quader hat 6 rechteckigen Flächen, 8 rechtwinkligen Ecken und 12 Kanten.
  • Die gegenüberliegenden Flächen im Quader sind immer gleich groß und parallel zueinander.
  • Ein Würfel ist ein Spezialfall des Quaders, bei dem alle Seiten gleich lang sind.
  • Schiefe Quader haben keine rechtwinkligen Ecken, aber parallele Seiten.
  • Die Höhe eines schiefen Quaders ist das Lot von der Grundfläche G zur Deckfläche D.
  • Für das Volumen V eines Quaders gilt: V = a · b · c
  • Die Mantelfläche eines Quaders besteht aus allen seitlichen Flächen.
  • Für die Mantelfläche M gilt: M = 2 · (ac + bc)
  • Für den Oberflächeninhalt O eines Quaders gilt: O = 2ab +2ac + 2bc
  • Die Raumdiagonale e und die Flächendiagonale d leiten sich aus dem Satz des Pythagoras her.

Quader

Jeder Würfel ist ein Quader, aber nicht jeder Quader ist ein Würfel. Ein Würfel ist ein Spezialfall des Quaders, bei dem alle Seiten die gleiche Länge haben.

Ein Körper ist ein Quader, wenn er 6 rechteckige Flächen, 8 rechtwinklige Ecken und 12 Kanten hat. Die gegenüberliegenden Flächen müssen dabei gleich groß und parallel sein.

Es gibt 45 verschiedene Netze für einen Quader.

Die Seitenflächen eines Quaders werden einfach Seitenflächen genannt. In diesem Artikel werden sie mit Sund S2 bezeichnet.

Finales Quader Quiz

Frage

Wie ist ein Würfel aufgebaut? 

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Wie ist ein Quader aufgebaut? 

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man das Volumen eines Würfels?

Antwort anzeigen

Antwort

V = a³


mit a = Seitenlänge 

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Oberfläche eines Würfels?

Antwort anzeigen

Antwort

O = 6 * a²

mit a = Seitenlänge 

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Raumdiagonale eines Würfels?

Antwort anzeigen

Antwort

d = a * 3^0,5

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man das Volumen eines Quaders?

Antwort anzeigen

Antwort

V = a * b * c

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnet man die Raumdiagonale eines Quaders?

Antwort anzeigen

Antwort

d = (a² + b² + c²)^0,5

Frage anzeigen

Frage

Welche Eigenschaften besitzt ein Quader?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Quader hat 6 Rechtecke, die rechtwinklig zueinander sind. Es gibt 8 rechtwinklige Ecken und 12 Kanten, von denen jeweils 4 immer gleich lang sind.

Frage anzeigen

Frage

Welche Größen gibt es in einem Quader?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Quader hat drei Größen. Meistens stehen a für die Länge, b für die Breite und c für die Höhe.

Frage anzeigen

Frage

Wie nennt man den Körper wenn alle drei Größen (a,b,c) gleich lang sind?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn alle Seiten gleich lang sind, handelt es sich um einen Würfel.

Frage anzeigen

Frage

Ein Quader ist 60 cm lang, 40 cm breit und 34 cm hoch. Wie groß ist das Volumen des Quaders?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Formel für die Oberfläche eines Quaders?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Ein Quader ist 3 Meter lang, 80 Zentimeter breit und 2,43 Meter hoch. Wie groß ist Oberfläche von diesem Quader?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Formel für den Umfang U eines Quaders? 


Antwort anzeigen

Antwort


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Frage

Wie lautet die Formel für die Grundfläche eines Quaders?

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen
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