Im Alltag triffst Du oft auf Objekte, die die Form eines Quaders haben. Dazu gehören zum Beispiel Pakete oder Dein Kleiderschrank.
Was die mathematische Definition eines Quaders ist und wie Du sein Volumen sowie den Oberflächeninhalt berechnen kannst, erfährst Du in diesem Artikel.
Die Eigenschaften eines Quaders
Der Quader ist ein geometrischer, dreidimensionaler Körper mit 6 rechteckigen Flächen, 8 rechtwinkligen Ecken und 12 Kanten, von denen jeweils 4 immer gleich lang sind. Die gegenüberliegenden Flächen im Quader sind immer gleich groß und parallel zueinander.
Spezialfall: Würfel
Würfel sind ein Spezialfall von Quadern. Bei ihnen sind alle Seiten alle gleich lang, wodurch sich die Formel zur Berechnung des Volumens und des Oberflächeninhalts vereinfacht.
Daraus ergibt sich, dass alle Würfel Quader sind, aber nicht alle Quader sind Würfel.
Für das Volumen V eines Würfels gilt:
Da alle Seiten gleich lang sind, müssen nicht alle Seiten einzeln multipliziert werden. Stattdessen kann eine Seitenlänge einfach dreimal mit sich selbst multipliziert werden.
Da alle Seiten gleich lang sind, sind auch alle Flächen gleich groß. Ein Quader besteht aus 6 Rechtecken, deshalb wird der Flächeninhalt des Quadrats versechsfacht, um den Oberflächeninhalt eines Würfels zu erhalten.
Für den Oberflächeninhalt O eines Würfels gilt:
Um mehr zum Thema "Würfel" zu erfahren, lies Dir unseren Artikel dazu durch.
Das Netz eines Quaders
Wenn Du einen Quader aufklappst und auf eine flache Ebene legst, erhältst Du das sogenannte Netz eines Körpers.
Mithilfe dieses Netzes kannst Du die Rechtecke erkennen, aus denen ein Quader besteht. Ein Quader besteht aus folgenden 6 Rechtecken:
- einer Deckfläche D
- einer Grundfläche G
- zwei Seitenflächen S1 und S2
- einer Vorderseite V
- und einer Rückseite R
Gegenüberliegende Seiten sind dabei immer gleich groß.
Das Netz eines Körpers hilft Dir dabei, Dir besser vorstellen zu können, wie der Oberflächeninhalt eines Körpers berechnet werden kann. Insgesamt gibt es 45 verschiedene Netze für Quader, also 45 verschiedene Wege, einen Quader aufzuschneiden und auszurollen.
Arten von Quadern
Es gibt zwei Arten von Quadern:
- gerade Quader
- schiefe Quader
1. Gerade Quader
Gerade Quader haben rechtwinklige Ecken. In diesem Artikel ist meist ein gerader Quader gemeint, wenn von einem Quader die Rede ist.
2. Schiefe Quader - Volumen und Oberflächeninhalt
Bei schiefen Quadern sind die Ecken nicht rechtwinklig, die gegenüberliegenden Seiten sind aber trotzdem parallel. Dadurch wirken sie schief.
Die Ermittlung der Höhe erfolgt bei einem schiefen Quader etwas anders. Hier ist die Höhe das Lot, die die Deckfläche mit der Grundfläche verbindet und nicht mehr die Länge der Seite c.
Die folgende Zeichnung verdeutlicht dies:
Das Volumen und der Oberflächeninhalt eines schiefen Quaders werden genau wie die eines geraden Quaders berechnet. Das liegt daran, dass Du bei der überstehenden Seite, in unserem Beispiel der rechten Seite, den Überstand senkrecht "abschneiden" und an der gegenüberliegenden Seite wieder hinzufügen könntest. So erhältst Du wieder einen geraden Quader.
Die Seite c muss, wie bereits erwähnt, durch die Höhe h ersetzt werden. Deshalb ergibt sich folgende Formel für schiefe Quader:
Für das Volumen V eines schiefen Quaders gilt:
Das Schrägbild eines Quaders zeichnen
In diesem Abschnitt erfährst Du, wie Du einen Quader dreidimensional, also sein Schrägbild, zeichnen kannst.
Zeichnung | Anleitung |
| Als Erstes kannst Du ein Rechteck, also noch zwei-dimensional, mit der entsprechenden Höhe c und Breite a zeichnen. |
| Anschließend zeichnest Du eine weitere Linie mit der Länge b in einem 45° Winkel an die untere rechte Ecke.Tipp: Wenn Du in Deinem Schulheft zeichnest, kannst Du einfach die Ecken der Kästchen verbinden. So erhältst Du immer einen 45° Winkel.Wenn Du eine Linie schräg zeichnest, dann halbiert sich ihre Länge. |
| Im nächsten Schritt kannst Du am Ende dieser schrägen Linie das Rechteck aus dem ersten Schritt noch einmal zeichnen. Dabei ist das Ende dieser Linie auch die untere rechte Ecke des Rechtecks.Um die Räumlichkeit der Figur anzuzeigen, kannst Du die verdeckten Teile des Quaders mit gestrichelten Linien zeichnen. |
| Zum Schluss musst Du noch die Ecken des zweiten Rechtecks mit den entsprechenden Ecken des ersten Rechtecks verbinden. |
Volumen eines Quaders berechnen
Die Formel zur Berechnung des Volumens eines Quaders setzt sich zusammen aus dem Produkt der Länge, Breite und Höhe des Körpers.
Die Formel zur Berechnung des Volumens V eines Quaders lautet:
Dabei stet V für das Volumen, während a die Breite, b die Länge und c die Höhe des Quaders angeben. Das Ergebnis dieser Rechnung wird in m³ angegeben.
Um mehr zum Thema Volumen eines Quaders zu erfahren, lies Dir unseren Artikel dazu durch. Dort findest Du weitere Informationen und Anwendungsbeispiele.
Die Mantelfläche eines Quaders
Wenn man einen Quader in seine Einzelteile zerlegt, erhält man unter anderem seine Mantelfläche.
Die Mantelfläche eines Quaders setzt sich aus den vier seitlichen Rechtecken zusammen und wird in Formeln mit dem Großbuchstaben M abgekürzt. Die Deck- und Grundfläche D und G ergeben zusammen mit der Mantelfläche M den Oberflächeninhalt O.
In einer Abbildung sieht die Mantelfläche M so aus:
Für die Mantelfläche M eines Quaders gilt:
Um Beispielaufgaben zur Mantelfläche zu berechnen, lies Dir unseren Artikel zum Thema Oberflächeninhalt eines Quaders durch.
Oberflächeninhalts eines Quaders berechnen
Die Formel für den Oberflächeninhalt setzt sich zusammen aus der Summe der Einzelflächen des Quaders. Ein Quader besteht aus drei Flächen: Der Mantelfläche M, der Grundfläche G und der Deckfläche D. Wenn Du den Flächeninhalt dieser Flächen addierst, erhältst Du die Formel für den Oberflächeninhalt.
Für den Oberflächeninhalt O eines Quaders gilt:
Diese Formel kann umgeschrieben werden:
Dabei ist O der Oberflächeninhalt, während M die Mantelfläche, a die Länge, b die Breite und c die Höhe des Quaders angeben. Das Ergebnis dieser Rechnung wird in m² angegeben.
Um mehr zum Thema Oberflächeninhalt eines Quaders erfahren, lies Dir unseren Artikel dazu durch.
Formelsammlung zum Quader
Zur Übersicht sind in der folgenden Tabelle alle Formeln zur Berechnung eines Quaders zusammengefasst. In der Abbildung findest Du nochmal alle Seiten und Diagonalen eines Quaders.
| Formel |
| Grundfläche G/Deckfläche D | |
| Vorderseite V/Rückseite R | |
| Seitenflächen | |
| Mantelfläche M | |
| Oberflächeninhalt O | |
| Volumen V | |
| Raumdiagonale e | |
| Flächendiagonale | |
| Flächendiagonale | |
| Flächendiagonale | |
Berechnung der Flächen- und Raumdiagonalen
Um die Diagonalen im Quader berechnen zu können, wird der Satz des Pythagoras benötigt.
Eine Raumdiagonale beginnt an einer beliebigen Ecke der Grundfläche und endet an der am weitesten entfernten Ecke der Deckfläche. Alle Raumdiagonalen haben die gleiche Länge, da die Seitenkanten alle senkrecht stehen und somit jeder Punkt der Grundfläche den gleichen Abstand zur Deckfläche hat.
Es gibt 4 Raumdiagonalen, die alle mit e bezeichnet werden.
Wenn Du eine der vier Raumdiagonalen in einen Quader einzeichnest, bildet die Raumdiagonale e mit der Höhe c und der Flächendiagonalen d der Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck. Bei rechtwinkligen Dreiecken kann immer der Satz des Pythagoras angewendet werden. Es gilt also:
Zur Erinnerung: Beim Satz des Pythagoras gilt:
(Hypotenuse)² = (Kathete 1)² + (Kathete 2)²
Diese Gleichung kannst Du jetzt so umstellen, dass die Raumdiagonale nicht quadriert und alleine auf einer Seite der Gleichung steht.
Um eine solche Aufgabe dann letztendlich berechnen zu können, musst die Höhe c gegeben oder berechnet sein, sowie und die Flächendiagonale d.
Eine Flächendiagonale beginnt in einer beliebigen Ecke und endet an der am weitesten entfernten Ecke beziehungsweise der gegenüberliegenden Ecke derselben Fläche. Da nicht alle Flächen gleich groß sind, sind auch nicht alle Flächendiagonalen, bis auf die gegenüberliegenden, gleich lang. Es gibt drei unterschiedliche Flächendiagonalen, die mit d bezeichnet werden.
Um die Länge einer Flächendiagonalen zu berechnen, kannst Du sie erst einmal in einen Quader einzeichnen. In diesem Fall nehmen wir die Flächendiagonale der Grundfläche.
Auch hier entsteht ein rechtwinkliges Dreieck zwischen der Flächendiagonale d, der Seite b und der Seite a. Aufgrund der Rechtwinkligkeit des Dreiecks kann auch hier der Satz des Pythagoras angewendet werden.
Nun muss die Gleichung noch nach d aufgelöst werden, damit Du die Flächendiagonale berechnen kannst.
Je nachdem, auf welcher Fläche die Flächendiagonale liegt, gibt es verschiedene Möglichkeiten für die Gleichung zur Berechnung der Flächendiagonale.
Formeln zur Berechnung der Flächendiagonalen d:
Die passende Gleichung für die Flächendiagonale d kannst Du in die Gleichung für die Raumdiagonale e einsetzten. In diesem Fall passt die erste Gleichung von d.
Formel zur Berechnung der Raumdiagonalen e:
Es macht also keinen Unterschied, welche der Raumdiagonalen und damit auch Flächendiagonalen Du verwendest, da die Raumdiagonalen alle gleich lang sind. Das Ergebnis bleibt immer das Gleiche.
Quader – Das Wichtigste auf einen Blick
- Ein Quader hat 6 rechteckigen Flächen, 8 rechtwinkligen Ecken und 12 Kanten.
- Die gegenüberliegenden Flächen im Quader sind immer gleich groß und parallel zueinander.
- Ein Würfel ist ein Spezialfall des Quaders, bei dem alle Seiten gleich lang sind.
- Schiefe Quader haben keine rechtwinkligen Ecken, aber parallele Seiten.
- Die Höhe eines schiefen Quaders ist das Lot von der Grundfläche G zur Deckfläche D.
- Für das Volumen V eines Quaders gilt:
- Die Mantelfläche eines Quaders besteht aus allen seitlichen Flächen.
- Für die Mantelfläche M gilt:
- Für den Oberflächeninhalt O eines Quaders gilt:
- Die Raumdiagonale e und die Flächendiagonale d leiten sich aus dem Satz des Pythagoras her.
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