Flächeninhalt Drachenviereck

Du freust Dich sich bestimmt auf den windigen Herbst, um endlich Deinen Drachen wieder steigen zu lassen. Hast Du Dich schon einmal gefragt, wie viel Stoff Du benötigst, um selbst einen Drachen herzustellen? Dafür musst Du den Flächeninhalt des Drachenvierecks berechnen. Wie das geht, erfährst Du in dieser Erklärung.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Wichtig sind zunächst das Allgemeinwissen und die Grundlagen zum Drachenviereck. Sieh Dir dazu auch die jeweiligen Artikel genauer an.

    Drachenviereck – Grundlagenwissen

    Das Drachenviereck ist eine wichtige Figur der Geometrie. Drachenvierecke sind Vierecke mit besonderen Eigenschaften.

    Ein Drachenviereck hat vier Winkel und vier Seiten, wobei jeweils zwei aneinandergrenzende Seiten gleich lang und zwei Winkel gleich groß sind. Es gilt also immer folgendes:

    β = δ oder α = γ

    Ein vollständig beschriftetes Drachenviereck inklusive der Winkel und Diagonalen, welche zugleich die Symmetrieachsen darstellen, sieht beispielsweise wie in Abbildung 1 aus.

    Diagonale Drachenviereck Drachenviereck StudySmarterAbbildung 2: Das Drachenviereck

    Die Teilstrecke vom Schnittpunkt der Diagonalen zur Spitze wird als x, jene hin zum Eckpunkt A als y bezeichnet.

    Doch wie kann nun die Fläche dieser Figur bestimmt werden?

    Flächeninhalt Drachenviereck – Herleitung und Formel

    Der Flächeninhalt einer geometrischen Figur hängt von dessen Form ab und gibt an, wie groß diese ist. In der Mathematik wird der Flächeninhalt mit einem großen A gekennzeichnet.

    Um jetzt den Flächeninhalt eines Drachenvierecks zu bestimmen, hast Du verschiedene Möglichkeiten:

    1. Flächeninhalt Drachenviereck – Abzählen Koordinatensystem

    Kann eine maßstäbliche Skizze angefertigt werden, so kannst Du die Fläche des Drachenvierecks manchmal auch durch Abzählen im Koordinatensystem bestimmen.

    Das Drachenviereck korrekt ins Koordinatensystem eingezeichnet sieht wie folgt aus:

    Flächeninhalt Drachenviereck Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 3: Drachenviereck - Koordinatensystem

    Folgendes Beispiel zeigt, wie die Fläche eines Drachenvierecks im Koordinatensystem händisch abgezählt werden kann.

    Aufgabe 1

    Wie groß ist die Fläche des Drachenvierecks, wenn die Teilstrecke x =2 LE und dessen Diagonale f=4 LE (Längeneinheiten) und die Diagonale e=6 LElang sind? Ein Kästchen hat hierbei eine Fläche von A = 1 FE.

    Der Ausdruck FE beschreibt die Größe der Fläche in Flächeneinheiten. Dabei wird keine konkrete Längeneinheit wie beispielsweise cm, mm oder m festgelegt.

    Flächeninhalt Drachenviereck Fläche händisch abzählen StudySmarterAbbildung 4: Fläche - Händisch abzählen

    Lösung – Abzählen

    Die Fläche A eines roten Quadrats ist in dieser Aufgabe vorgegeben. Um die Fläche des gesamten Drachenvierecks zu ermitteln, kann zunächst abgezählt werden, wie viele dieser roten Quadrate in das Drachenviereck hineinpassen.

    Hierfür müssen jene Teile gefunden werden, welche zusammen ein vollständiges Quadrat ergeben.

    Flächeninhalt Drachenviereck Fläche händisch abzählen StudySmarterAbbildung 5: Fläche - Händisch abzählen

    Insgesamt sind 12 Quadrate in der Figur möglich. Um die Fläche A des Drachenvierecks auch in FE angeben zu können, muss nun die Anzahl der Quadrate mit der Fläche dieser Quadrate multipliziert werden.

    A =1 FE · 12 =12 FE

    Somit beträgt die Fläche der gesamten Figur A =12 FE.

    Nicht immer ist jedoch die Fläche eines kleinen Quadrats gegeben und die Fläche eines Drachenvierecks lässt sich nicht immer über Abzählen bestimmen. Deshalb kann der Flächeninhalt auch über eine Formel berechnet werden.

    2. Flächeninhalt Drachenviereck berechnen

    Bei einem Drachenviereck benötigst Du zur Berechnung der Fläche lediglich die beiden Diagonalen. Wie in Abbildung 4 zu sehen ist, können diese allgemein als Diagonalen e und f bezeichnet werden.

    Flächeninhalt Drachenviereck Drachenviereck StudySmarterAbbildung 6: Das Drachenviereck

    Die beiden Diagonalen werden miteinander multipliziert, welches ein Rechteck ergibt. Anschließend wird dieses durch zwei dividiert, da, wie in der folgenden Abbildung ersichtlich, die Fläche des Drachenvierecks genau die Hälfte der Rechtecksfläche darstellt.

    Flächeninhalt Drachenviereck Beweis Herleitung Flächenformel StudySmarterAbbildung 7: Herleitung Flächenformel

    Für ein Drachenviereck gilt somit:

    Der Flächeninhalt eines Drachenvierecks mit den Seitenlängen a, b und den Diagonalen e, f wird wie folgt berechnet:

    A = e f2

    Aufgrund des Kommutativgesetzes kannst Du die beiden Diagonalen auch vertauschen und A= f · e2verwenden.

    Zeit für die Anwendung dieser Formeln in konkreten Beispielen.

    Aufgabe 1

    Wie groß ist die Fläche des Drachenvierecks, wenn die Teilstrecke x =2 LE, dessen Diagonale f=4 LE (Längeneinheiten) und die Diagonale e=6 LElang sind? Ein Kästchen hat hierbei eine Fläche von A = 1 FE.

    Lösung – Formel

    Statt dem Abzählen von Kästchen, kann hier direkt die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts verwendet werden. Es gilt:

    A = e · f2

    Durch Einsetzen der Werte für die Diagonalen e und f ergibt sich:

    A = 6 LE · 4 LE2A = 24 FE2A =12 FE

    Auch über die Berechnung mithilfe der Formel ergibt sich wieder für den Flächeninhalt des blauen Drachenvierecks eine Fläche von A = 12 FE.

    Mithilfe der Fläche können auch andere Variablen berechnet werden, indem die Formel umgestellt wird.

    Flächeninhalt Drachenviereck – Formel umstellen

    Sollten nicht beide Diagonalen in der Aufgabe einen Wert aufweisen, können diese berechnet werden, indem die Flächenformel umgestellt wird oder auch andere Formeln verwendet werden.

    DiagonaleAus der FlächeMit den Teilstrecken x, y und Seiten a, b
    ee = 2 · Afe = a2 - f22 + x e = b2 - f22 + y
    ff = 2 · Aef =b2 - x2 · 2

    Möchtest Du genaueres zur Herleitung und Definition der Formeln erfahren oder Dich an Übungsbeispiele hierzu herantasten, sieh Dir unbedingt den Beitrag zum Thema Diagonale Drachenviereck auf StudySmarter an!

    Bist Du bereit für den praktischen Teil? Dann auf geht's zu den praktischen Übungsbeispielen!

    Flächeninhalt Drachenviereck – Aufgaben

    Folgende Aufgaben werden das neu angeeignete theoretische Wissen zur Berechnung des Flächeninhalts des Drachenvierecks vertiefen.

    Aufgabe 3

    Gegeben sind folgende Werte eines Drachenvierecks:

    e =7 cm und f = 10 cm

    Berechne die Fläche dieser Figur!

    Lösung

    Um diese Aufgabe lösen zu können, muss die Flächenformel des Drachenvierecks hingeschrieben, die Werte eingesetzt und im Anschluss die Gleichung gelöst werden.

    A = e · f 2A =7 cm · 10 cm2A = 70 cm22A = 35 cm2

    Die Fläche des Drachenvierecks beträgtA = 35 cm2.

    Soweit alles verstanden? Super, dann auf zur nächsten Aufgabe!

    Aufgabe 4

    Ein Drachenviereck weist folgende Werte auf:

    x =5 cm , a = 16 cm und f =14 cm

    Berechne die Fläche dieser Figur!

    Lösung

    Um diese Aufgabe zu lösen, muss zuerst die Diagonale e berechnet werden, welche für die Berechnung der Fläche zwingend notwendig ist. Hierfür müssen die Werte für x, f und a in die Berechnungsformel der Diagonale e eingesetzt und anschließend die Gleichung gelöst werden.

    e = a2 - f22 + x | setze die Werte anstelle der Buchstaben eine =16 cm2 - 14 cm22 + 5 cm | löse den Bruch auf, indem du 14 durch 2 dividierste =16 cm2 - 7 cm2 + 5 cm | berechne die Potenz von 16 cm und 7 cme =256 cm2 - 49 cm2 + 5 cm | addiere 256 cm2 und 49 cm2e = 305 cm2 - 5 cm | berechne die Wurzel aus 305 cm2e = 17,46 cm - 5 cm | subtrahiere 5 cm von 17,46 cme = 12,46 cm

    Die Diagonale e des Drachenvierecks ist somit e =12,46 cm lang.

    Als letzten Schritt werden nun beide Werte der Diagonalen in die Flächenformel eingesetzt:

    A =e · f2A = 12,46 cm · 14 cm2A = 174,44 cm22A = 87,22 cm2

    Die Fläche des Drachenvierecks beträgt A =87,22 cm2.

    Sieh Dir den folgenden DeepDive an, wenn Du Dich gerne kniffligen Herausforderungen stellst!

    Aufgabe 5

    Dein Mathematiklehrer zeigt Dir eine Abbildung eines selbst-gebastelten Drachens und behauptet: „Die Fläche dieser Figur können nur die Wenigsten herausfinden“.

    Die Abbildung mitsamt den gegebenen Werten sieht wie folgt aus:

    U = 36 cm a =10 cm x = 4 cm

    Flächeninhalt Drachenviereck Skizze StudySmarterAbbildung 8: Skizze

    Hinweis: Die Diagonale f stellt die gesamte Strecke von Eckpunkt A bis C und die Diagonale e die gesamte Strecke von B bis D dar.

    Lösung

    Für solche komplexe Aufgaben empfiehlt sich am Zielpunkt anzufangen und sich schrittweise zum Ausgangspunkt vorzuarbeiten. Gesucht ist der Flächeninhalt, welcher wie folgt berechnet wird:

    A =e · f2 e = ? f =?

    Da weder die Werte der Diagonale e noch der Diagonale f in der Angabe enthalten sind, müssen diese zuerst berechnet werden. Eine Skizze hilft festzustellen, ob ein rechtwinkliges Dreieck innerhalb der Figur mindestens zwei Seiten aufweist, wodurch mithilfe des Satzes nach Pythagoras die übrige Seite berechnet werden könnte.

    Flächeninhalt Drachenviereck Satz des Pythagoras StudySmarterAbbildung 9: Satz des Pythagoras

    Da keines der rechtwinkligen Dreiecke zwei bekannte Seiten aufweist, muss versucht werden, mithilfe des Umfangs die Seite b zu berechnen. Hierzu wird die Umfangsformel nach b freigestellt, die Werte eingesetzt und die Gleichung gelöst.

    Berechnung der Seite b

    U = 2 · a + 2 · b | Subtrahiere 2 · a U - 2 · a = 2 · b | Dividiere die Gleichung durch 2U - 2 · a2 = b | Setze die Werte in die Gleichung ein36 cm - 2 · 10 cm2 = b | Berechne 2 · 10 cm36 cm - 20 cm2 = b | Subtrahiere 20 cm von 36 cm 16 cm2 = b | Dividiere 16 cm durch zwei8 cm =b

    Die Seite b beträgt somit 8 cm.

    Wird nun das folgende rechtwinklige Dreieck untersucht, wird festgestellt, dass mithilfe des Satzes nach Pythagoras nun die fehlende Seite, f2 berechnet werden kann.

    Flächeninhalt Drachenviereck Satz des Pythagoras StudySmarterAbbildung 10: Satz des PythagorasFlächeninhalt Drachenviereck Satz des Pythagoras StudySmarterAbbildung 11: Satz des Pythagoras

    Als Erstes wird der Lehrsatz nach Pythagoras nach K2 freigestellt und die Variablen eingesetzt. Dies sieht wie folgt aus:

    K12 + K22 = H2 | Subtrahiere K12K22 = H2 - K12 | Ziehe die WurzelK2 = H2 - K12 | Setze die Variable anstelle von K1, K2 und H einf2 = 8 cm2 - 4 cm2 | Multipliziere die Gleichung mit 2f =8 cm2 - 4 cm2 · 2 | Berechne die Potenz von 8 cm und 4 cmf =64 cm2 - 16 cm2 · 2 | Subtrahiere 16 cm2 von 64 cm2f =48 cm2 · 2 | Ziehe die Wurzel von 48 cm2f =6,93 cm · 2 | Multipliziere 6,93 cm mit zweif = 13,86 cm

    Unter Anwendung des Satzes nach Pythagoras kann mithilfe der Diagonale f, der Strecke x und der Seite a jetzt die Teilstrecke y berechnet werden. Im Anschluss daran kann die Diagonale e berechnet werden, welche sich aus der Summe der beiden Teilstrecken x und y ergibt.

    Flächeninhalt Drachenviereck Satz des Pythagoras StudySmarterAbbildung 12: Satz des Pythagoras

    Hierbei wird die gelernte Formel verwendet, die Werte eingesetzt und die Gleichung gelöst:

    e = a2 - f22 + x | Setze die Werte anstelle der Variablen eine = 10 cm2 - 13,86 cm22 + 4 cm | Löse den Bruch auf; Dividiere 13,86 durch zweie = 10 cm2 - 6,93 cm2 + 4 cm | Berechne die Potenzen von 10 cm und 6,93 cme =100 cm2 - 47,61 cm2 + 4 cm | Subtrahiere 47,61 cm2 von 100 cm2e = 52,49 cm2 + 4 cm | Ziehe die Wurzel von 52,49 cm2e= 7,24 cm + 4 cm | Addiere 7,24 cm und 4 cme = 11,24 cm

    Als letzten Schritt werden die Werte der beiden Diagonalen in die Flächenformel eingesetzt und die Gleichung berechnet.

    A =e · f2 | Setze die Werte für e und f einA =11,24 cm · 13,86 cm2 | Multipliziere die beiden WerteA =155,79 cm22 | Dividiere durch zweiA = 77,895 cm2

    Die Fläche der Figur beträgt somit A =77,895 cm2. Gut gemacht!

    Flächeninhalt Drachenviereck – Das Wichtigste auf einen Blick

    • Jeweils zwei angrenzende Seiten des Drachenvierecks sind immer gleich lang, wobei die Diagonalen jedoch unterschiedlich lang sind.
    • Der Winkelβ und der Winkelδ sind immer gleich groß
    • Die Flächenformel des Drachenvierecks lautet: A = e · f 2
    • Die Diagonale e wird wie folgt berechnet: e = a2 - f22 + x oder e = b2 - f22 + y
    • Die Diagonale f wird wie folgt berechnet: f =b2 - x2 · 2
    • Die Strecke e kann in x und y unterteilt werden: e =x + y

    Nachweise

    1. Ludwig et al. (2015). Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen. Springer Verlag.
    2. Benölken et al. (2018). Leitfaden Geometrie: Für Studierende der Lehrämter. Springer Verlag.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Flächeninhalt Drachenviereck

    Wie berechnet man den Flächeninhalt von einem Drachenviereck? 

    Mithilfe der Formel    A = (e·f) / 2

    Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt von einem Drachenviereck?

    Die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes des Drachenvierecks lautet A = (e·f) / 2 

    Wie hängt der Flächeninhalt des Rechtecks mit dem des Drachens zusammen? 

    Werden die beiden Diagonalen des Drachenvierecks miteinander multipliziert, ergibt sich eine Rechtecksfläche. Wird diese nun durch zwei dividiert, ergibt sich die Fläche des Drachenvierecks.

    Wie berechnet man die Diagonale eines Drachenvierecks? 

    Die Diagonale kann je nachdem, welche Variablen gegeben sind, mithilfe einer der folgenden Formeln berechnet werden:


    e = √ (a2 - (f/2)2) + x  

    e = √ (b2 - (f/2)2) + y

    f = √ (b2 - x2) · 2


    Ebenso kann die Flächenformel nach einer der Diagonalen freigestellt werden:


    e = (2 · A) / f   

    f = (2 · A) / e


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