Wie berechnet man den Flächeninhalt von einem Drachenviereck?

Mithilfe der Formel A = (e·f) / 2

Wie lautet die Formel für den Flächeninhalt von einem Drachenviereck?

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhaltes des Drachenvierecks lautet A = (e·f) / 2

Wie hängt der Flächeninhalt des Rechtecks mit dem des Drachens zusammen?

Werden die beiden Diagonalen des Drachenvierecks miteinander multipliziert, ergibt sich eine Rechtecksfläche. Wird diese nun durch zwei dividiert, ergibt sich die Fläche des Drachenvierecks.

Wie berechnet man die Diagonale eines Drachenvierecks?

Die Diagonale kann je nachdem, welche Variablen gegeben sind, mithilfe einer der folgenden Formeln berechnet werden: e = √ (a 2 - (f/2) 2 ) + x e = √ (b 2 - (f/2) 2 ) + y f = √ (b 2 - x 2 ) · 2 Ebenso kann die Flächenformel nach einer der Diagonalen freigestellt werden: e = (2 · A) / f f = (2 · A) / e

Was ist der Flächeninhalt eines Drachenvierecks?

Der Flächeninhalt eines Drachenvierecks ist ein Maß für die Größe einer Fläche. Er ist abhängig von der Länge der Diagonalen des Drachenvierecks, welche als e und f bezeichnet werden.

In welcher Einheit wird der Flächeninhalt angegeben?

Eine Fläche wird meistens in mm² (Quadratmillimeter), cm² ( Quadrat zentimeter), m² ( Quadratm eter) oder km² ( Quadratk ilometer) angegeben.

Was ist der Unterschied zwischen einem Rechteck und einem Drachenviereck?

Im Rechteck sind alle vier Winkel 90° und jeweils die gegenüberliegenden Seiten gleich lang. (Nicht die aneinandergrenzenden)

Was ist der Unterschied zwischen dem Umfang und dem Flächeninhalt?

Die eingeschlossene Fläche beschreibt den Flächeninhalt, während der Umfang das äußerlich Umschließende angibt (Sprich die Länge des Randes der Figur).

Flächeninhalt Drachenviereck: Formel & Berechnen

Flächeninhalt Drachenviereck

Du freust Dich sich bestimmt auf den windigen Herbst, um endlich Deinen Drachen wieder steigen zu lassen. Hast Du Dich schon einmal gefragt, wie viel Stoff Du benötigst, um selbst einen Drachen herzustellen? Dafür musst Du den Flächeninhalt des Drachenvierecks berechnen. Wie das geht, erfährst Du in dieser Erklärung.

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Wichtig sind zunächst das Allgemeinwissen und die Grundlagen zum Drachenviereck. Sieh Dir dazu auch die jeweiligen Artikel genauer an.

Drachenviereck – Grundlagenwissen

Das Drachenviereck ist eine wichtige Figur der Geometrie. Drachenvierecke sind Vierecke mit besonderen Eigenschaften.

Ein Drachenviereck hat vier Winkel und vier Seiten, wobei jeweils zwei aneinandergrenzende Seiten gleich lang und zwei Winkel gleich groß sind. Es gilt also immer folgendes:

$β = δ o d e r α = γ$

Ein vollständig beschriftetes Drachenviereck inklusive der Winkel und Diagonalen, welche zugleich die Symmetrieachsen darstellen, sieht beispielsweise wie in Abbildung 1 aus.

Diagonale Drachenviereck Drachenviereck StudySmarter Abbildung 2: Das Drachenviereck

Die Teilstrecke vom Schnittpunkt der Diagonalen zur Spitze wird als x, jene hin zum Eckpunkt A als y bezeichnet.

Doch wie kann nun die Fläche dieser Figur bestimmt werden?

Flächeninhalt Drachenviereck – Herleitung und Formel

Der Flächeninhalt einer geometrischen Figur hängt von dessen Form ab und gibt an, wie groß diese ist. In der Mathematik wird der Flächeninhalt mit einem großen A gekennzeichnet.

Um jetzt den Flächeninhalt eines Drachenvierecks zu bestimmen, hast Du verschiedene Möglichkeiten:

1. Flächeninhalt Drachenviereck – Abzählen Koordinatensystem

Kann eine maßstäbliche Skizze angefertigt werden, so kannst Du die Fläche des Drachenvierecks manchmal auch durch Abzählen im Koordinatensystem bestimmen.

Das Drachenviereck korrekt ins Koordinatensystem eingezeichnet sieht wie folgt aus:

Flächeninhalt Drachenviereck Koordinatensystem StudySmarter Abbildung 3: Drachenviereck - Koordinatensystem

Folgendes Beispiel zeigt, wie die Fläche eines Drachenvierecks im Koordinatensystem händisch abgezählt werden kann.

Aufgabe 1

Wie groß ist die Fläche des Drachenvierecks, wenn die Teilstrecke $x = 2 L E$ und dessen Diagonale $f = 4 L E$ (Längeneinheiten) und die Diagonale $e = 6 L E$ lang sind? Ein Kästchen hat hierbei eine Fläche von $A = 1 F E$ .

Der Ausdruck FE beschreibt die Größe der Fläche in Flächeneinheiten. Dabei wird keine konkrete Längeneinheit wie beispielsweise cm, mm oder m festgelegt.

Flächeninhalt Drachenviereck Fläche händisch abzählen StudySmarter Abbildung 4: Fläche - Händisch abzählen

Lösung – Abzählen

Die Fläche A eines roten Quadrats ist in dieser Aufgabe vorgegeben. Um die Fläche des gesamten Drachenvierecks zu ermitteln, kann zunächst abgezählt werden, wie viele dieser roten Quadrate in das Drachenviereck hineinpassen.

Hierfür müssen jene Teile gefunden werden, welche zusammen ein vollständiges Quadrat ergeben.

Flächeninhalt Drachenviereck Fläche händisch abzählen StudySmarter Abbildung 5: Fläche - Händisch abzählen

Insgesamt sind 12 Quadrate in der Figur möglich. Um die Fläche A des Drachenvierecks auch in FE angeben zu können, muss nun die Anzahl der Quadrate mit der Fläche dieser Quadrate multipliziert werden.

$A = 1 F E \cdot 12 = 12 F E$

Somit beträgt die Fläche der gesamten Figur $A = 12 F E$ .

Nicht immer ist jedoch die Fläche eines kleinen Quadrats gegeben und die Fläche eines Drachenvierecks lässt sich nicht immer über Abzählen bestimmen. Deshalb kann der Flächeninhalt auch über eine Formel berechnet werden.

2. Flächeninhalt Drachenviereck berechnen

Bei einem Drachenviereck benötigst Du zur Berechnung der Fläche lediglich die beiden Diagonalen. Wie in Abbildung 4 zu sehen ist, können diese allgemein als Diagonalen e und f bezeichnet werden.

Flächeninhalt Drachenviereck Drachenviereck StudySmarter Abbildung 6: Das Drachenviereck

Die beiden Diagonalen werden miteinander multipliziert, welches ein Rechteck ergibt. Anschließend wird dieses durch zwei dividiert, da, wie in der folgenden Abbildung ersichtlich, die Fläche des Drachenvierecks genau die Hälfte der Rechtecksfläche darstellt.

Flächeninhalt Drachenviereck Beweis Herleitung Flächenformel StudySmarter Abbildung 7: Herleitung Flächenformel

Für ein Drachenviereck gilt somit:

Der Flächeninhalt eines Drachenvierecks mit den Seitenlängen a, b und den Diagonalen e, f wird wie folgt berechnet:

$A = \frac{e \cdot f}{2}$

Aufgrund des Kommutativgesetzes kannst Du die beiden Diagonalen auch vertauschen und $A = \frac{f \cdot e}{2}$ verwenden.

Zeit für die Anwendung dieser Formeln in konkreten Beispielen.

Aufgabe 1

Wie groß ist die Fläche des Drachenvierecks, wenn die Teilstrecke $x = 2 L E$ , dessen Diagonale $f = 4 L E$ (Längeneinheiten) und die Diagonale $e = 6 L E$ lang sind? Ein Kästchen hat hierbei eine Fläche von $A = 1 F E$ .

Lösung – Formel

Statt dem Abzählen von Kästchen, kann hier direkt die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts verwendet werden. Es gilt:

$A = \frac{e \cdot f}{2}$

Durch Einsetzen der Werte für die Diagonalen e und f ergibt sich:

$A = \frac{6 L E \cdot 4 L E}{2} A = \frac{24 F E}{2} A = 12 F E$

Auch über die Berechnung mithilfe der Formel ergibt sich wieder für den Flächeninhalt des blauen Drachenvierecks eine Fläche von $A = 12 F E$ .

Mithilfe der Fläche können auch andere Variablen berechnet werden, indem die Formel umgestellt wird.

Flächeninhalt Drachenviereck – Formel umstellen

Sollten nicht beide Diagonalen in der Aufgabe einen Wert aufweisen, können diese berechnet werden, indem die Flächenformel umgestellt wird oder auch andere Formeln verwendet werden.

Diagonale	Aus der Fläche	Mit den Teilstrecken x, y und Seiten a, b
e	$e = \frac{2 \cdot A}{f}$	$e = \sqrt{a^{2} - {(\frac{f}{2})}^{2}} + x$ $e = \sqrt{b^{2} - {(\frac{f}{2})}^{2}} + y$
f	$f = \frac{2 \cdot A}{e}$	$f = \sqrt{b^{2} - x^{2}} \cdot 2$

Möchtest Du genaueres zur Herleitung und Definition der Formeln erfahren oder Dich an Übungsbeispiele hierzu herantasten, sieh Dir unbedingt den Beitrag zum Thema Diagonale Drachenviereck auf StudySmarter an!

Bist Du bereit für den praktischen Teil? Dann auf geht's zu den praktischen Übungsbeispielen!

Flächeninhalt Drachenviereck – Aufgaben

Folgende Aufgaben werden das neu angeeignete theoretische Wissen zur Berechnung des Flächeninhalts des Drachenvierecks vertiefen.

Aufgabe 3

Gegeben sind folgende Werte eines Drachenvierecks:

$e = 7 c m u n d f = 10 c m$

Berechne die Fläche dieser Figur!

Lösung

Um diese Aufgabe lösen zu können, muss die Flächenformel des Drachenvierecks hingeschrieben, die Werte eingesetzt und im Anschluss die Gleichung gelöst werden.

$A = \frac{e \cdot f}{2} A = \frac{7 c m \cdot 10 c m}{2} A = \frac{70 c m^{2}}{2} A = 35 c m^{2}$

Die Fläche des Drachenvierecks beträgt $A = 35 c m^{2}$ .

Soweit alles verstanden? Super, dann auf zur nächsten Aufgabe!

Aufgabe 4

Ein Drachenviereck weist folgende Werte auf:

$x = 5 c m, a = 16 c m u n d f = 14 c m$

Berechne die Fläche dieser Figur!

Lösung

Um diese Aufgabe zu lösen, muss zuerst die Diagonale e berechnet werden, welche für die Berechnung der Fläche zwingend notwendig ist. Hierfür müssen die Werte für x, f und a in die Berechnungsformel der Diagonale e eingesetzt und anschließend die Gleichung gelöst werden.

$\begin{array}{rcl} e & = & \sqrt{a^{2} - {(\frac{f}{2})}^{2}} + x | s e t z e d i e W e r t e a n s t e l l e d e r B u c h s t a b e n e i n \\ e & = & \sqrt{{(16 c m)}^{2} - {(\frac{14 c m}{2})}^{2}} + 5 c m | l ö s e d e n B r u c h a u f, i n d e m d u 14 d u r c h 2 d i v i d i e r s t \\ e & = & \sqrt{{(16 c m)}^{2} - {(7 c m)}^{2}} + 5 c m | b e r e c h n e d i e P o t e n z v o n 16 c m u n d 7 c m \\ e & = & \sqrt{256 c m^{2} - 49 c m^{2}} + 5 c m | a d d i e r e 256 c m^{2} u n d 49 c m^{2} \\ e & = & \sqrt{305 c m^{2}} - 5 c m | b e r e c h n e d i e W u r z e l a u s 305 c m^{2} \\ e & = & 17, 46 c m - 5 c m | s u b t r a h i e r e 5 c m v o n 17, 46 c m \\ e & = & 12, 46 c m \end{array}$

Die Diagonale e des Drachenvierecks ist somit $e = 12, 46 c m$ lang.

Als letzten Schritt werden nun beide Werte der Diagonalen in die Flächenformel eingesetzt:

$A = \frac{e \cdot f}{2} A = \frac{12, 46 c m \cdot 14 c m}{2} A = \frac{174, 44 c m^{2}}{2} A = 87, 22 c m^{2}$

Die Fläche des Drachenvierecks beträgt $A = 87, 22 c m^{2}$ .

Sieh Dir den folgenden DeepDive an, wenn Du Dich gerne kniffligen Herausforderungen stellst!

Aufgabe 5

Dein Mathematiklehrer zeigt Dir eine Abbildung eines selbst-gebastelten Drachens und behauptet: „Die Fläche dieser Figur können nur die Wenigsten herausfinden“.

Die Abbildung mitsamt den gegebenen Werten sieht wie folgt aus:

$U = 36 c m a = 10 c m x = 4 c m$

Flächeninhalt Drachenviereck Skizze StudySmarter Abbildung 8: Skizze

Hinweis: Die Diagonale f stellt die gesamte Strecke von Eckpunkt A bis C und die Diagonale e die gesamte Strecke von B bis D dar.

Lösung

Für solche komplexe Aufgaben empfiehlt sich am Zielpunkt anzufangen und sich schrittweise zum Ausgangspunkt vorzuarbeiten. Gesucht ist der Flächeninhalt, welcher wie folgt berechnet wird:

$A = \frac{e \cdot f}{2} e = ? f = ?$

Da weder die Werte der Diagonale e noch der Diagonale f in der Angabe enthalten sind, müssen diese zuerst berechnet werden. Eine Skizze hilft festzustellen, ob ein rechtwinkliges Dreieck innerhalb der Figur mindestens zwei Seiten aufweist, wodurch mithilfe des Satzes nach Pythagoras die übrige Seite berechnet werden könnte.

Flächeninhalt Drachenviereck Satz des Pythagoras StudySmarter Abbildung 9: Satz des Pythagoras

Da keines der rechtwinkligen Dreiecke zwei bekannte Seiten aufweist, muss versucht werden, mithilfe des Umfangs die Seite b zu berechnen. Hierzu wird die Umfangsformel nach b freigestellt, die Werte eingesetzt und die Gleichung gelöst.

Berechnung der Seite b

$U = 2 \cdot a + 2 \cdot b | S u b t r a h i e r e 2 \cdot a U - 2 \cdot a = 2 \cdot b | D i v i d i e r e d i e G l e i c h u n g d u r c h 2 \frac{U - 2 \cdot a}{2} = b | S e t z e d i e W e r t e i n d i e G l e i c h u n g e i n \frac{36 c m - 2 \cdot 10 c m}{2} = b | B e r e c h n e 2 \cdot 10 c m \frac{36 c m - 20 c m}{2} = b | S u b t r a h i e r e 20 c m v o n 36 c m \frac{16 c m}{2} = b | D i v i d i e r e 16 c m d u r c h z w e i 8 c m = b$

Die Seite b beträgt somit $8 c m$ .

Wird nun das folgende rechtwinklige Dreieck untersucht, wird festgestellt, dass mithilfe des Satzes nach Pythagoras nun die fehlende Seite, $\frac{f}{2}$ berechnet werden kann.

Flächeninhalt Drachenviereck Satz des Pythagoras StudySmarter Abbildung 10: Satz des PythagorasAbbildung 11: Satz des Pythagoras

Als Erstes wird der Lehrsatz nach Pythagoras nach K2 freigestellt und die Variablen eingesetzt. Dies sieht wie folgt aus:

$K 1^{2} + K 2^{2} = H^{2} | S u b t r a h i e r e K 1^{2} K 2^{2} = H^{2} - K 1^{2} | Z i e h e d i e W u r z e l K 2 = \sqrt{H^{2} - K 1^{2}} | S e t z e d i e V a r i a b l e a n s t e l l e v o n K 1, K 2 u n d H e i n \frac{f}{2} = \sqrt{{(8 c m)}^{2} - {(4 c m)}^{2}} | M u l t i p l i z i e r e d i e G l e i c h u n g m i t 2 f = \sqrt{{(8 c m)}^{2} - {(4 c m)}^{2}} \cdot 2 | B e r e c h n e d i e P o t e n z v o n 8 c m u n d 4 c m f = \sqrt{64 c m^{2} - 16 c m^{2}} \cdot 2 | S u b t r a h i e r e 16 c m^{2} v o n 64 c m^{2} f = \sqrt{48 c m^{2}} \cdot 2 | Z i e h e d i e W u r z e l v o n 48 c m^{2} f = 6, 93 c m \cdot 2 | M u l t i p l i z i e r e 6, 93 c m m i t z w e i f = 13, 86 c m$

Unter Anwendung des Satzes nach Pythagoras kann mithilfe der Diagonale f, der Strecke x und der Seite a jetzt die Teilstrecke y berechnet werden. Im Anschluss daran kann die Diagonale e berechnet werden, welche sich aus der Summe der beiden Teilstrecken x und y ergibt.

Flächeninhalt Drachenviereck Satz des Pythagoras StudySmarter Abbildung 12: Satz des Pythagoras

Hierbei wird die gelernte Formel verwendet, die Werte eingesetzt und die Gleichung gelöst:

$e = \sqrt{a^{2} - {(\frac{f}{2})}^{2}} + x | S e t z e d i e W e r t e a n s t e l l e d e r V a r i a b l e n e i n e = \sqrt{{(10 c m)}^{2} - {(\frac{13, 86 c m}{2})}^{2}} + 4 c m | L ö s e d e n B r u c h a u f; D i v i d i e r e 13, 86 d u r c h z w e i e = \sqrt{{(10 c m)}^{2} - {(6, 93 c m)}^{2}} + 4 c m | B e r e c h n e d i e P o t e n z e n v o n 10 c m u n d 6, 93 c m e = \sqrt{100 c m^{2} - 47, 61 c m^{2}} + 4 c m | S u b t r a h i e r e 47, 61 c m^{2} v o n 100 c m^{2} e = \sqrt{52, 49 c m^{2}} + 4 c m | Z i e h e d i e W u r z e l v o n 52, 49 c m^{2} e = 7, 24 c m + 4 c m | A d d i e r e 7, 24 c m u n d 4 c m e = 11, 24 c m$

Als letzten Schritt werden die Werte der beiden Diagonalen in die Flächenformel eingesetzt und die Gleichung berechnet.

$A = \frac{e \cdot f}{2} | S e t z e d i e W e r t e f ü r e u n d f e i n A = \frac{11, 24 c m \cdot 13, 86 c m}{2} | M u l t i p l i z i e r e d i e b e i d e n W e r t e A = \frac{155, 79 c m^{2}}{2} | D i v i d i e r e d u r c h z w e i A = 77, 895 c m^{2}$

Die Fläche der Figur beträgt somit $A = 77, 895 c m^{2}$ . Gut gemacht!

Flächeninhalt Drachenviereck – Das Wichtigste auf einen Blick

Jeweils zwei angrenzende Seiten des Drachenvierecks sind immer gleich lang, wobei die Diagonalen jedoch unterschiedlich lang sind.
Der Winkel $β$ und der Winkel $δ$ sind immer gleich groß
Die Flächenformel des Drachenvierecks lautet: $A = \frac{e \cdot f}{2}$
Die Diagonale e wird wie folgt berechnet: $e = \sqrt{a^{2} - {(\frac{f}{2})}^{2}} + x o d e r e = \sqrt{b^{2} - {(\frac{f}{2})}^{2}} + y$
Die Diagonale f wird wie folgt berechnet: $f = \sqrt{b^{2} - x^{2}} \cdot 2$
Die Strecke e kann in x und y unterteilt werden: $e = x + y$

Nachweise

Ludwig et al. (2015). Geometrie zwischen Grundbegriffen und Grundvorstellungen. Springer Verlag.
Benölken et al. (2018). Leitfaden Geometrie: Für Studierende der Lehrämter. Springer Verlag.

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Drachenviereck – Grundlagenwissen

Flächeninhalt Drachenviereck – Herleitung und Formel

1. Flächeninhalt Drachenviereck – Abzählen Koordinatensystem

2. Flächeninhalt Drachenviereck berechnen

Flächeninhalt Drachenviereck – Formel umstellen

Flächeninhalt Drachenviereck – Aufgaben

Flächeninhalt Drachenviereck – Das Wichtigste auf einen Blick

Nachweise

Karteikarten in Flächeninhalt Drachenviereck 11

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