Inkreis Dreieck konstruieren

Inkreis Dreieck – Definition

Doch was hat der Inkreis des Dreiecks mit der Winkelhalbierenden zu tun?

Hier siehst du den Inkreis an einem Beispiel:

Inkreis Dreieck – Inkreismittelpunkt

Den Mittelpunkt des Inkreises findest du dort, wo sich die Winkelhalbierenden des Dreiecks ABC schneiden. Er hat zu den drei Seiten des Dreiecks ABC denselben Abstand. Es gilt also: 

$\overline{Ma}=\overline{Mb}=\overline{Mc}=r$

Abbildung 2: Inkreis i mit Radius r

Anders als beim Mittelpunkt des Umkreises liegt der Inkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks. Das liegt daran, dass der Inkreis selbst auch gänzlich innerhalb des Dreiecks liegt.

Abbildung 4: Stumpfwinkliges Dreieck

Inkreis Dreieck – Inkreisradius

Messen kannst Du den Radius des Umkreises, wie oben beschrieben, indem Du den Abstand des Mittelpunktes M und den Seiten a, b oder c misst. Es gibt aber auch eine Formel, mit welcher Du den Radius des Inkreises i schnell und einfach berechnen kannst.

Abbildung 5: Spitzwinkliges Dreieck

Um den Radius mit dieser Formel zu berechnen, teilst du also den doppelten Flächeninhalt des Dreiecks ABC durch den Umfang des Dreiecks ABC.

Inkreis Dreieck konstruieren – Winkelhalbierende

Wie oben erwähnt, ist es besonders wichtig, dass Du weißt, wie man die Winkelhalbierenden eines Dreiecks konstruiert. 

Um den Inkreis i eines Dreiecks ABC zu konstruieren, gehst Du in folgenden Schritten vor: 

1. Konstruiere die Winkelhalbierenden wα, wβ und wγ der Winkel α, β und γ.
2. Bestimme den Schnittpunkt M der drei Winkelhalbierenden.
3. Fälle ein Lot l von M auf eine der drei Seiten a,b oder c.
4. Der Mittelpunkt des Inkreises i ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Der Radius des Inkreises i ist der Abstand zwischen Mittelpunkt M und den Berührungspunkten des Inkreises i mit den Seiten a, b und c des Dreiecks. Mit diesen Daten kannst Du den Inkreis i konstruieren.

Inkreis Dreieck konstruieren – Konstruktionsanleitung 

Oben konntest Du jetzt schon sehen, wie es Schritt für Schritt aussieht, wenn der Umkreis eines Dreiecks konstruiert wird. Diese Konstruktionsschritte zum Umkreis eines Dreiecks wollen wir auch formal festhalten:

1. k(A;r) → Punkte X1 und X2
2. k(X;r) und k(X;r) → Punkte x1 und x2
3. wα = $\overline{x_1{x}_2}$
4. k(B;r) → Punkte Y1 und Y2
5. k(Y;r) und k(Y;r) → Punkte y1 und y2
6. wα = $\overline{x_1{x}_2}$ 
7. wβ = $\overline{y_1{y}_2}$ → Punkt M
8. k(M;r) = Inkreis i

 Abbildung 11: Dreieck ABC

Abbildung 12: Konstruktion der Winkelhalbierenden

Inkreis rechtwinkliges Dreieck

Wie auch für den Umkreis, gibt es bei dem Einkreisen einige besondere Fälle, welche Du im Folgenden kennenlernst.

Beim rechtwinkligen Dreieck vereinfacht sich die Formel zur Berechnung des Radius wie folgt:

$r=\frac{a·b}{(a+b+c)}$ 

a, b und c sind die Seiten des Dreiecks, wobei c die Hypotenuse ist.

Abbildung 14: Inkreis i im rechtwinkligen Dreieck

Inkreis gleichseitiges Dreieck

Der Radius des Inkreises i eines gleichseitigen Dreiecks ABC entspricht einem Drittel der Höhe dieses Dreiecks. Also:

$r=\frac{h}{3}$ .

Außerdem ist der Mittelpunkt M des Inkreises i auch der Mittelpunkt des Umkreises u, da die Mittelsenkrechten und die Winkelhalbierenden übereinstimmen.

• wα = ma
• wβ = mb
• wγ = mc

Abbildung 15: Inkreis i und Umkreis u des gleichseitigen Dreiecks ABC

Inkreis Dreieck konstruieren – Zeichnen und Übungen