Select your language

Suggested languages for you:
Log In Anmelden
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|

Die All-in-one Lernapp:

  • Karteikarten
  • NotizenNotes
  • ErklärungenExplanations
  • Lernpläne
  • Übungen
App nutzen

Inkreis Dreieck konstruieren

Save Speichern
Print Drucken
Edit Bearbeiten
Melde dich an und nutze alle Funktionen. Jetzt anmelden
Inkreis Dreieck konstruieren

Stell dir vor, du möchtest einen Kreis so in ein Dreieck ABC zeichnen, so dass dieser möglichst groß ist. Wie wählst du den Mittelpunkt M des Kreises und wie groß ist sein Radius r? Wo berührt der Kreis die drei Seitenflächen des Dreiecks ABC?

Winkelhalbierende Grundlagenwissen

Winkelhalbierende sind für die Inkreise von Dreiecken besonders wichtig. Hier findest du nochmal eine Auffrischung zu Winkelhalbierende:

Die Winkelhalbierende ist diejenige Gerade zum Winkel , die durch den Scheitelpunkt S des Winkels geht und diesen in zwei kongruente Winkelfelder – also in zwei gleich große Winkel – teilt.

Beide dabei entstehende Winkel entsprechen dem Wert .

Willst du nochmal genauer wiederholen, was die Winkelhalbierende ist? Dann schau dir am besten den Artikel dazu an!

Inkreis Dreieck Definition

Doch was hat der Inkreis des Dreiecks mit der Winkelhalbierenden zu tun?

Der Inkreis eines Dreiecks ist der Kreis i, welcher innerhalb des Dreiecks ABC liegt und alle drei Seiten a, b und c an einer Stelle von innen berührt, aber nicht schneidet.

Der Mittelpunkt M des Inkreises ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden und .

Hier siehst du den Inkreis an einem Beispiel:

Der Kreis i ist der Inkreis des Dreiecks ABC.

Inkreis Dreieck konstruieren, Inkreis Beispiel, StudySmarter

Abbildung 1: Inkreis i eines Dreiecks ABC

Inkreis Dreieck Inkreismittelpunkt

Den Mittelpunkt des Inkreises findest du dort, wo sich die Winkelhalbierenden des Dreiecks ABC schneiden. Er hat zu den drei Seiten des Dreiecks ABC denselben Abstand. Es gilt also:

Inkreis Dreieck konstruieren, Inkreis Radius Beispiel, StudySmarter

Abbildung 2: Inkreis i mit Radius r

Anders als beim Mittelpunkt des Umkreises liegt der Inkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks. Das liegt daran, dass der Inkreis selbst auch gänzlich innerhalb des Dreiecks liegt.

Inkreis Dreieck konstruieren, Stumpfwinkliges Dreieck, StudySmarter

Inkreis Dreieck konstruieren, Rechtwinkliges Dreieck, StudySmarterAbbildung 4: Stumpfwinkliges Dreieck

Abbildung 5: Spitzwinkliges Dreieck

Inkreis Dreieck Inkreisradius

Messen kannst du den Radius des Umkreises, wie oben beschrieben, indem du den Abstand des Mittelpunktes M und den Seiten a, b oder c misst. Es gibt aber auch eine Formel, mit welcher du den Radius des Inkreises i schnell und einfach berechnen kannst.

Den Radius r des Inkreises i eines Dreiecks ABC kannst du mit folgender Formel berechnen:

Inkreis Dreieck konstruieren Radius des Inkreises StudySmarter

In der obigen Formel steht für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. a, b und c sind die Seiten des Dreiecks ABC.

Um den Radius mit dieser Formel zu berechnen, teilst du also den doppelten Flächeninhalt des Dreiecks ABC durch den Umfang des Dreiecks ABC.

Inkreis Dreieck konstruieren Winkelhalbierende

Wie oben erwähnt, ist es besonders wichtig, dass du weißt, wie man die Winkelhalbierenden eines Dreiecks konstruiert.

Solltest du dir damit noch unsicher sein, schau gerne im Artikel Winkelhalbierende konstruieren nach, wie du dabei vorgehst.

Um die Winkelhalbierenden zu konstruieren, zeichnest du einen Kreis um die Eckpunkte A, B und C. Der Radius dieser sollte weder zu groß noch zu klein gewählt sein. Dort, wo diese Kreise die Seiten des Dreiecks ABC schneiden, trägst du Punkte ein. Um diese Punkte wiederum zeichnest du jeweils Halbkreise, welche sich pro Winkel an zwei Stellen schneiden sollten. Durch diese zwei Schnittpunkte zeichnest du die Winkelhalbierende.

Um den Inkreis i eines Dreiecks ABC zu konstruieren, gehst du in folgenden Schritten vor:

  1. Konstruiere die Winkelhalbierenden wα, wβ und wγ der Winkel α, β und γ.
  2. Bestimme den Schnittpunkt M der drei Winkelhalbierenden.
  3. Fälle ein Lot l von M auf eine der drei Seiten a,b oder c.
  4. Der Mittelpunkt des Inkreises i ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Der Radius des Inkreises i ist der Abstand zwischen Mittelpunkt M und den Berührungspunkten des Inkreises i mit den Seiten a, b und c des Dreiecks. Mit diesen Daten kannst du den Inkreis i konstruieren.

Es genügt auch, wenn du nur zwei Winkelhalbierende und dessen Schnittpunkt bestimmst.Der Vollständigkeit halber siehst du in den folgenden Beispielen alle drei Winkelhalbierenden.

Aufgabe

Konstruiere den Inkreis des Dreiecks ABC.

Inkreis Dreieck konstruieren, Beispiel Dreieck ABC konstruieren, StudySmarter

Abbildung 6: Dreieck ABC

Lösung

1. Schritt: Winkelhalbierende konstruieren

2. Schritt: der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden
Zunächst konstruierst du mithilfe deines Zirkels die Winkelhalbierenden wα, wβ und wγ der Winkel α, β und γ.

Inkreis Dreieck konstruieren, Inkreis konstruieren Beispiel, StudySmarter

Abbildung 7: Winkelhalbierende des Dreiecks ABC
Die Winkelhalbierenden wα, wβ und wγ sollten sich alle in einem Punkt M schneiden. Ist das nicht der Fall, musst du nochmal deine Winkelhalbierenden kontrollieren.

Inkreis Dreieck konstruieren, Inkreis konstruieren Beispiel, StudySmarter

Abbildung 8: Schnittpunkt M der Winkelhalbierenden

3. Schritt: Das Lot l vom M auf eine Seite fällen

Fälle ein Lot von M auf eine der Seiten, um den minimalen Abstand zwischen dem Punkt M und den Seiten des Dreiecks zu erhalten.

Inkreis Dreieck konstruieren, Inkreis konstruieren Beispiel, StudySmarter

Abbildung 9: Lot l von M auf die Seite c

Mit diesen Voraussetzungen kannst du nun den Inkreis i konstruieren. Setze dafür deinen Zirkel im Schnittpunkt M der Winkelhalbierenden, dem Mittelpunkt des Inkreises i, an. Stelle den Radius auf den Abstand ein.

Inkreis Dreieck konstruieren, Inkreis konstruieren Beispiel, StudySmarter

Abbildung 10: Inkreis i des Dreiecks AB

Inkreis Dreieck konstruieren Konstruktionsanleitung

Oben konntest du jetzt schon sehen, wie es Schritt für Schritt aussieht, wenn der Umkreis eines Dreiecks konstruiert wird. Diese Konstruktionsschritte zum Umkreis eines Dreiecks wollen wir auch formal festhalten:

  1. k(A;r) → Punkte X1 und X2
  2. k(X;r) und k(X;r) → Punkte x1 und x2
  3. wα =
  4. k(B;r) → Punkte Y1 und Y2
  5. k(Y;r) und k(Y;r) → Punkte y1 und y2
  6. wα =
  7. wβ = → Punkt M
  8. k(M;r) = Inkreis i

Inkreis Dreieck konstruieren, Inkreis konstruieren Beispiel, StudySmarterInkreis Dreieck konstruieren, Inkreis konstruieren Beispiel, StudySmarter

Abbildung 11: Dreieck ABC Abbildung 12: Konstruktion der Winkelhalbierenden

Inkreis Dreieck konstruieren Inkreis konstruieren Beispiel StudySmarter

Abbildung 13: Inkreis i

Inkreis rechtwinkliges Dreieck

Wie auch für den Umkreis, gibt es bei den Einkreisen einige besondere Fälle, welche du im Folgenden kennenlernst.

Beim rechtwinkligen Dreieck vereinfacht sich die Formel zur Berechnung des Radius wie folgt:

a, b und c sind die Seiten des Dreiecks, wobei c die Hypotenuse ist.

Inkreis Dreieck konstruieren Inkreis im rechtwinkligen Dreieck StudySmarter

Abbildung 14: Inkreis i im rechtwinkligen Dreieck

Inkreis gleichseitiges Dreieck

Der Radius des Inkreises i eines gleichseitigen Dreiecks ABC entspricht einem Drittel der Höhe dieses Dreiecks. Also

.

Außerdem ist der Mittelpunkt M des Inkreises i auch der Mittelpunkt des Umkreises u, da die Mittelsenkrechten und die Winkelhalbierenden übereinstimmen.

  • wα = ma
  • wβ = mb
  • wγ = mc

Inkreis Dreieck konstruieren, Inkreis im gleichseitigen Dreieck, StudySmarter

Abbildung 15: Inkreis i und Umkreis u des gleichseitigen Dreiecks ABC

Inkreis Dreieck konstruieren Zeichnen und Übungen

Aufgabe 1

Konstruiere den Inkreis des Dreiecks ABC.

Inkreis Dreieck konstruieren, Inkreis Dreieck Übungsaufgabe, StudySmarter

Abbildung 16: Dreieck ABC

Lösung

Um den Inkreis i des Dreiecks ABC zu konstruieren, zeichnest du zunächst die Winkelhalbierenden ein. An ihrem Schnittpunkt legst du den Mittelpunkt M des Inkreises i fest. Um diesen Mittelpunkt kannst du den Inkreis i zeichnen. Du wählst als Radius den Abstand zwischen Mittelpunkt und Seiten a, b und c.

Inkreis Dreieck konstruieren Inkreis Dreieck Übungsaufgabe StudySmarter

Abbildung 17: Inkreis i des Dreiecks ABC

Aufgabe 2

Handelt es sich hier um ein gleichseitiges Dreieck?

Inkreis Dreieck konstruieren Inkreis Dreieck Übungsaufgabe StudySmarter

Abbildung 18: Dreieck ABC

Lösung

Es handelt sich nicht um ein gleichseitiges Dreieck, da die Winkelhalbierenden nicht mit den Mittelsenkrechten der drei Seiten des Dreiecks ABC übereinstimmen.

Inkreis Dreieck konstruieren Inkreis Dreieck Übungsaufgabe StudySmarter

Abbildung 19: Mittelsenkrechten und Winkelhalbierende des Dreiecks ABC

Inkreis Dreieck konstruieren Das Wichtigste

  • Der Inkreis i ist der Kreis, welcher innerhalb des Dreiecks liegt und alle drei Seiten des Dreiecks ABC an einer Stelle berührt.
  • Für die Konstruktion des Inkreises sind die Winkelhalbierenden sehr wichtig.
  • Der Mittelpunkt M des Inkreises i ist der chnittpunkt der Winkelhalbierenden.
  • Der Radius r des Inkreises ist der Abstand zwischen dem Mittelpunkt M und den Seiten a, b und c des Dreiecks ABC.
  • Die Formel zur Berechnung des Radius r des Inkreises ist .
  • In einem gleichseitigen Dreieck entspricht der Radius r einem Drittel der Höhe des Dreiecks ABC.
  • In einem gleichseitigen Dreieck stimmen Winkelhalbierende und Mittelsenkrechten überein.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Inkreis Dreieck konstruieren

Den Inkreis eines Dreiecks konstruiert man, indem man zunächst die Winkelhalbierenden einzeichnet. Den Schnittpunkt dieser nennen wir M und nehmen ihn als Mittelpunkt unseres Inkreises. Nun können wir um den Mittelpunkt M unseren Inkreis zeichnen. Als Radius wählen wir den Abstand vom Mittelpunkt zu einer der Seiten.

Den Inkreismittelpunkt bekommt man, indem man den Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Dreiecks ABC ermittelt.

Einen Innenkreis zeichnet man am  besten mit einem Zirkel. Stehe diesen im Mittelpunkt M an und stelle den Radius auf den Abstand zu einer der Seiten. Wenn du nun den Innenkreis zeichnest dürftest du nicht über eine der Seiten kommen.

Mehr zum Thema Inkreis Dreieck konstruieren
60%

der Nutzer schaffen das Inkreis Dreieck konstruieren Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Gerade angemeldet?

Ja
Nein, aber ich werde es gleich tun

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.