Stell dir vor, Du möchtest einen Kreis so in ein Dreieck ABC zeichnen, so dass dieser möglichst groß ist. Wie wählst Du den Mittelpunkt M des Kreises und wie groß ist sein Radius r? Wo berührt der Kreis die drei Seitenflächen des Dreiecks ABC?
Winkelhalbierende – Grundlagenwissen
Winkelhalbierende sind für die Inkreise von Dreiecken besonders wichtig. Hier findest Du noch mal eine Auffrischung zu Winkelhalbierende:
Die Winkelhalbierende ist diejenige Gerade zum Winkel , die durch den Scheitelpunkt S des Winkels geht und diesen in zwei kongruente Winkelfelder – also in zwei gleich große Winkel – teilt.
Beide dabei entstehende Winkel entsprechen dem Wert .
Willst Du nochmal genauer wiederholen, was die Winkelhalbierende ist? Dann schau dir am besten den Artikel dazu an!
Inkreis Dreieck – Definition
Doch was hat der Inkreis des Dreiecks mit der Winkelhalbierenden zu tun?
Der Inkreis eines Dreiecks ist der Kreis i, welcher innerhalb des Dreiecks ABC liegt und alle drei Seiten a, b und c an einer Stelle von innen berührt, aber nicht schneidet.
Der Mittelpunkt M des Inkreises ist der Schnittpunkt der drei Winkelhalbierenden und .
Hier siehst du den Inkreis an einem Beispiel:
Der Kreis i ist der Inkreis des Dreiecks ABC.
Abbildung 1: Inkreis i eines Dreiecks ABC
Inkreis Dreieck – Inkreismittelpunkt
Den Mittelpunkt des Inkreises findest du dort, wo sich die Winkelhalbierenden des Dreiecks ABC schneiden. Er hat zu den drei Seiten des Dreiecks ABC denselben Abstand. Es gilt also:
Abbildung 2: Inkreis i mit Radius r
Anders als beim Mittelpunkt des Umkreises liegt der Inkreismittelpunkt immer innerhalb des Dreiecks. Das liegt daran, dass der Inkreis selbst auch gänzlich innerhalb des Dreiecks liegt.
Abbildung 3:
Rechtwinkliges
Dreieck
Abbildung 4: Stumpfwinkliges Dreieck
Inkreis Dreieck – Inkreisradius
Messen kannst Du den Radius des Umkreises, wie oben beschrieben, indem Du den Abstand des Mittelpunktes M und den Seiten a, b oder c misst. Es gibt aber auch eine Formel, mit welcher Du den Radius des Inkreises i schnell und einfach berechnen kannst.
Abbildung 5: Spitzwinkliges Dreieck
Den Radius r des Inkreises i eines Dreiecks ABC kannst Du mit folgender Formel berechnen:
In der obigen Formel steht für den Flächeninhalt des Dreiecks ABC. a, b und c sind die Seiten des Dreiecks ABC.
Um den Radius mit dieser Formel zu berechnen, teilst du also den doppelten Flächeninhalt des Dreiecks ABC durch den Umfang des Dreiecks ABC.
Inkreis Dreieck konstruieren – Winkelhalbierende
Wie oben erwähnt, ist es besonders wichtig, dass Du weißt, wie man die Winkelhalbierenden eines Dreiecks konstruiert.
Um die Winkelhalbierenden zu konstruieren, zeichnest Du einen Kreis um die Eckpunkte A, B und C. Der Radius dieser sollte weder zu groß noch zu klein gewählt sein. Dort, wo diese Kreise die Seiten des Dreiecks ABC schneiden, trägst Du Punkte ein. Um diese Punkte wiederum zeichnest Du jeweils Halbkreise, welche sich pro Winkel an zwei Stellen schneiden sollten. Durch diese zwei Schnittpunkte zeichnest Du die Winkelhalbierende.
Um den Inkreis i eines Dreiecks ABC zu konstruieren, gehst Du in folgenden Schritten vor:
- Konstruiere die Winkelhalbierenden wα, wβ und wγ der Winkel α, β und γ.
- Bestimme den Schnittpunkt M der drei Winkelhalbierenden.
- Fälle ein Lot l von M auf eine der drei Seiten a,b oder c.
- Der Mittelpunkt des Inkreises i ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Der Radius des Inkreises i ist der Abstand zwischen Mittelpunkt M und den Berührungspunkten des Inkreises i mit den Seiten a, b und c des Dreiecks. Mit diesen Daten kannst Du den Inkreis i konstruieren.
Es genügt auch, wenn Du nur zwei Winkelhalbierende und dessen Schnittpunkt bestimmst.Der Vollständigkeit halber siehst Du in den folgenden Beispielen alle drei Winkelhalbierenden.
Aufgabe
Konstruiere den Inkreis des Dreiecks ABC.
Abbildung 6: Dreieck ABC
Lösung
1. Schritt: Winkelhalbierende konstruieren | 2. Schritt: der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden |
| Zunächst konstruierst Du mithilfe deines Zirkels die Winkelhalbierenden wα, wβ und wγ der Winkel α, β und γ.  Abbildung 7: Winkelhalbierende des Dreiecks ABC
| Die Winkelhalbierenden wα, wβ und wγ sollten sich alle in einem Punkt M schneiden. Ist das nicht der Fall, musst Du noch mal deine Winkelhalbierenden kontrollieren.  Abbildung 8: Schnittpunkt M der Winkelhalbierenden
|
3. Schritt: Das Lot l vom M auf eine Seite fällen |
Fälle ein Lot von M auf eine der Seiten, um den minimalen Abstand zwischen dem Punkt M und den Seiten des Dreiecks zu erhalten.  Abbildung 9: Lot I von M auf die Seite c
|
Mit diesen Voraussetzungen kannst Du nun den Inkreis i konstruieren. Setze dafür deinen Zirkel im Schnittpunkt M der Winkelhalbierenden, dem Mittelpunkt des Inkreises i, an. Stelle den Radius auf den Abstand ein.
Abbildung 10: Inkreis i des Dreiecks AB
Inkreis Dreieck konstruieren – Konstruktionsanleitung
Oben konntest Du jetzt schon sehen, wie es Schritt für Schritt aussieht, wenn der Umkreis eines Dreiecks konstruiert wird. Diese Konstruktionsschritte zum Umkreis eines Dreiecks wollen wir auch formal festhalten:
- k(A;r) → Punkte X1 und X2
- k(X;r) und k(X;r) → Punkte x1 und x2
- wα =
- k(B;r) → Punkte Y1 und Y2
- k(Y;r) und k(Y;r) → Punkte y1 und y2
- wα =
- wβ = → Punkt M
- k(M;r) = Inkreis i
Abbildung 11: Dreieck ABC
Abbildung 12: Konstruktion der Winkelhalbierenden
Abbildung 13: Inkreis i
Inkreis rechtwinkliges Dreieck
Wie auch für den Umkreis, gibt es bei dem Einkreisen einige besondere Fälle, welche Du im Folgenden kennenlernst.
Beim rechtwinkligen Dreieck vereinfacht sich die Formel zur Berechnung des Radius wie folgt:
a, b und c sind die Seiten des Dreiecks, wobei c die Hypotenuse ist.
Abbildung 14: Inkreis i im rechtwinkligen Dreieck
Inkreis gleichseitiges Dreieck
Der Radius des Inkreises i eines gleichseitigen Dreiecks ABC entspricht einem Drittel der Höhe dieses Dreiecks. Also:
.
Außerdem ist der Mittelpunkt M des Inkreises i auch der Mittelpunkt des Umkreises u, da die Mittelsenkrechten und die Winkelhalbierenden übereinstimmen.
Abbildung 15: Inkreis i und Umkreis u des gleichseitigen Dreiecks ABC
Inkreis Dreieck konstruieren – Zeichnen und Übungen
Aufgabe 1
Konstruiere den Inkreis des Dreiecks ABC.
Abbildung 16: Dreieck ABC
Lösung
Um den Inkreis i des Dreiecks ABC zu konstruieren, zeichnest du zunächst die Winkelhalbierenden ein. An ihrem Schnittpunkt legst du den Mittelpunkt M des Inkreises i fest. Um diesen Mittelpunkt kannst du den Inkreis i zeichnen. Du wählst als Radius den Abstand zwischen Mittelpunkt und Seiten a, b und c.
Abbildung 17: Inkreis i des Dreiecks ABC
Aufgabe 2
Handelt es sich hier um ein gleichseitiges Dreieck?
Abbildung 18: Dreieck ABC
Lösung
Es handelt sich nicht um ein gleichseitiges Dreieck, da die Winkelhalbierenden nicht mit den Mittelsenkrechten der drei Seiten des Dreiecks ABC übereinstimmen.
Abbildung 19: Mittelsenkrechten und Winkelhalbierende des Dreiecks ABC
Inkreis Dreieck konstruieren – Das Wichtigste
- Der Inkreis i ist der Kreis, welcher innerhalb des Dreiecks liegt und alle drei Seiten des Dreiecks ABC an einer Stelle berührt.
- Für die Konstruktion des Inkreises sind die Winkelhalbierenden sehr wichtig.
- Der Mittelpunkt M des Inkreises i ist der chnittpunkt der Winkelhalbierenden.
- Der Radius r des Inkreises ist der Abstand zwischen dem Mittelpunkt M und den Seiten a, b und c des Dreiecks ABC.
- Die Formel zur Berechnung des Radius r des Inkreises ist .
- In einem gleichseitigen Dreieck entspricht der Radius r einem Drittel der Höhe des Dreiecks ABC.
- In einem gleichseitigen Dreieck stimmen Winkelhalbierende und Mittelsenkrechten überein.
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