Jeder hat schon mal den Satz gehört, „Ihr seht Euch aber ähnlich“. Doch was hat es damit auf sich? Ähnlich sind sich Personen oder Dinge, die in einem oder mehreren Merkmalen übereinstimmen. Wichtig ist jedoch, sie stimmen nicht in allen Merkmalen überein. Ein Beispiel: Geschwister sehen sich oft sehr ähnlich, aufgrund von Haarfarbe oder Augenfarbe, aber sie können sich in Geschlecht und Größe unterscheiden. Sie sind also nicht die gleiche Person, sondern sind sich in einem Merkmal, dem Aussehen, ähnlich. Diese Logik lässt sich in die Mathematik übertragen. In der Geometrie können Figuren kongruent oder ähnlich sein. Wie Du Ähnlichkeit bei Dreiecken erkennst, erfährst Du hier.
Ähnlichkeit Dreiecke – Grundlagenwissen
Dreiecke und Ähnlichkeit sind beides ebenfalls einzelne Themengebiete und Du solltest über beide ein Vorwissen besitzen, bevor Du mit der Ähnlichkeit von Dreiecken beginnst.
Mehr zum Dreieck und zur Ähnlichkeit in den Erklärungen „Dreieck“ und „Ähnlichkeit“.
Dreiecke
Du kennst viele verschiedene Dreiecke. Sie werden nach ihren Winkeln und nach ihren Seiten unterschieden. Trotz dieser Unterschiede haben sie alle eine gemeinsame allgemeine Definition.
Das Dreieck ABC ist eine geometrische Figur, bei welcher drei Punkte verbunden werden. Die drei Punkte dürfen dabei nicht auf einer Geraden liegen. Die Verbindungsstrecken zwischen den Punkten heißen Dreiecksseiten a, b und c.
Abbildung 2: Definition Dreieck
Die Verbindungsstrecken werden nach dem gegenüberliegendem Eckpunkt benannt.
Ein Dreieck besitzt drei Winkel, die mit Buchstaben aus dem griechischen Alphabet benannt sind. Die drei Winkel ergeben zusammen 180°. Diese Aussage steht im Innenwinkelsatz des Dreiecks.
Mehr zum Innenwinkelsatz eines Dreiecks erfährst Du in der Erklärung „Innenwinkelsumme eines Dreiecks“.
Ähnlichkeit
Wie zu Beginn erklärt, sehen sich Geschwister ähnlich, weil sie gleiche und unterschiedliche Eigenschaften besitzen. Wenn Du nun Ähnlichkeit in der Mathematik betrachtest, geht es darum, dass zwei geometrische Figuren in ihrer Form gleich sind, sich aber in ihrer Größe unterscheiden.
Zwei Figuren heißen zueinander ähnlich, wenn sie durch Kongruenzabbildungen und/oder zentrische Streckungen ineinander übergehen.
Die zentrische Streckung definiert sich wie folgt:
Eine zentrische Streckung vergrößert oder verkleinert eine Figur. Dabei bleiben die Streckenverhältnisse und die Winkel unverändert. Der Ausgangspunkt zentrischer Streckungen ist das Streckungszentrum Z.
In der Abbildung siehst Du ein zentrisch gestrecktes Dreieck. Das blaue und grüne Dreieck sind also ähnlich zueinander, da sie sich nur in ihrer Größe, aber nicht ihrer Form, unterscheiden.
Abbildung 3: zentrische Streckung
Neben dem Ähnlichkeitsbegriff gibt es auch noch den Kongruenzbegriff in der Mathematik.
Zwei Figuren heißen kongruent, wenn sie durch eine Kongruenzabbildung (Spiegelung, Verschiebung, Drehung oder deren Verkettung) ineinander übergehen.
Kongruenz an Dreiecken erkennst Du anhand der Kongruenzsätze. Diese lauten Seite-Seite-Seite, Winkel-Seite-Winkel, Seite-Winkel-Seite und Seite-Seite-Winkel.
Mehr zu den Kongruenzabbildungen, den Kongruenzsätzen und der zentrischen Streckung erfährst Du in den jeweiligen Erklärungen.
Ähnlichkeit Dreiecke – Seitenverhältnisse
Bei den Ähnlichkeitssätzen betrachtest Du immer die Seitenverhältnisse und prüfst, ob diese übereinstimmen. Bei den Kongruenzsätzen hingegen werden direkt die Längen der Seiten verglichen.
Hauptähnlichkeitssatz für Dreiecke
Der Hauptähnlichkeitssatz für Dreiecke ist der Winkel-Winkel Ähnlichkeitssatz. Er wird auch kurz „WW“ genannt.
Zwei Dreiecke sind ähnlich zueinander, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen.
Es gilt:
und
Der dritte Winkel eines Dreiecks lässt sich über die Innenwinkelsumme von Dreiecken berechnen und ist ebenfalls in beiden Dreiecken gleich groß.
Abbildung 4: Hauptähnlichkeitssatz
Es gibt keinen äquivalenten Kongruenzsatz zu dem Hauptähnlichkeitssatz. Für Dreiecke, die in ihren Winkeln übereinstimmen, gilt nicht immer, dass sie auch im Flächeninhalt übereinstimmen. Um Kongruenz nachzuweisen, benötigst Du immer mindestens eine Seite des Dreiecks.
Aufgabe 1
Wie groß sind die Winkel des Dreiecks ABC, wenn das ähnliche Dreieck A'B'C' die Winkel und besitzt?
Lösung
Die Winkel von ähnlichen Dreiecken sind nach dem Hauptähnlichkeitssatz gleich groß.
Um den dritten Winkel zu ermitteln, musst Du über die Innenwinkelsumme eines Dreiecks diesen berechnen.
Das Dreieck ABC besitzt die Winkel und .
Ähnlichkeitssätze für Dreiecke
Neben dem Hauptähnlichkeitssatz existieren noch drei weitere Ähnlichkeitssätze. Diese haben immer einen entsprechenden Satz in den Kongruenzsätzen von Dreiecken.
Seite-Seite-Seite Satz
Alle Dreieckseiten stehen in einem bestimmten Verhältnis zu den Dreiecksseiten des anderen Dreiecks. Der Seite-Seite-Seite Satz wird auch kurz „SSS“ genannt.
Zwei Dreiecke sind ähnlich zueinander, wenn sie in allen drei Seiten das gleiche Verhältnis haben.
Es gilt:
Die zusammengehörigen Strecken ergeben ein Seitenverhältnis. Das Dreieck ist ähnlich, wenn alle drei Seitenverhältnisse gleich sind.
Abbildung 5: Seite-Seite-Seite Satz
Aufgabe 2
Berechne die fehlende Seite des Dreiecks ABC. Das Dreieck hat die Seitenlängen und . Es existiert ein ähnliches Dreieck A'B'C' mit den Seitenlängen , und .
Lösung
Als Erstes setzt Du die Seiten in das passende Verhältnis.
Nun stellst Du nach b um und berechnest die Seitenlänge.
Die Seite b von dem Dreieck ABC ist 4 cm lang.
Seite-Winkel-Seite Satz
Der Seite-Winkel-Seite Satz wird kurz „SWS“ genannt. Auch dieser Satz sollte Dir von den Kongruenzsätzen bekannt sein.
Zwei Dreiecke sind ähnlich zueinander, wenn sie in zwei Seiten das gleiche Verhältnis haben und der von den Seiten eingeschlossene Winkel gleich groß ist.
Es gilt:
und
Neben dem eingeschlossenen Winkel müssen die beiden Seitenverhältnisse übereinstimmen.
Beachte, dass die Seiten des gleichen Dreiecks immer beide im Nenner bzw. beide im Zähler stehen müssen. Wenn b' im Nenner steht, muss auch a' im Nenner stehen.
Abbildung 6: Seite-Winkel-Seite Satz
Aufgabe 3
Entscheide, ob es sich bei den Dreiecken um ähnliche Dreiecke handelt. Begründe Deine Entscheidung.
Abbildung 7: Beispiel Seite-Winkel-Seite Satz
Lösung
Um zu überprüfen, ob es sich um ähnliche Dreiecke handelt, solltest Du den Ähnlichkeitssatz Seite-Winkel-Seite anwenden.
Der eingeschlossene Winkel zwischen den beiden Seiten a und b muss gleich groß sein.
Die Winkel stimmen überein.
Als Nächstes überprüfst Du, ob die Seitenverhältnisse übereinstimmen.
Die Seitenverhältnisse stimmen ebenfalls überein.
Die beiden Dreiecke erfüllen den Ähnlichkeitssatz Seite-Winkel-Seite und sind dementsprechend ähnlich.
Seite-Seite-Winkel Satz
Ähnlich zu dem letzten Satz gibt es auch den Seite-Seite-Winkel Satz oder kurz „SsW“. Für diesen Satz benötigst Du einen anderen Winkel als bei SWS.
Zwei Dreiecke sind ähnlich zueinander, wenn sie in zwei Seiten das gleiche Verhältnis haben und der Winkel, welcher der größeren Seite gegenüberliegt, gleich groß ist.
Es gilt:
und
Du musst in diesem Ähnlichkeitssatz die beiden Winkel auf Gleichheit überprüfen und die Seitenverhältnisse berechnen, wie bei den anderen Ähnlichkeitssätzen.
Aufgabe 4
Sind die beiden Dreiecke ähnlich? Begründe Deine Entscheidung.
Abbildung 8: Seite-Seite-Winkel Satz
Lösung
Als Erstes überprüfst Du, ob der Winkel gleich groß ist.
Die Winkel sind gleich groß.
Jetzt überprüfe die Seitenverhältnisse.
Die beiden Seitenverhältnisse stimmen überein. Es handelt sich bei den beiden Dreiecken um ähnliche Dreiecke laut dem Seite-Seite-Winkel Satz.
Ähnliche Dreiecke Strahlensatz
Aus den beiden Strahlensätzen lassen sich die Ähnlichkeitssätze herleiten.
Wenn Du bei den Strahlensätzen unsicher bist, schau einmal bei den Erklärungen „erster Strahlensatz“ und „zweiter Strahlensatz“ vorbei.
Zur Anwendung der beiden Strahlensätze gibt es zwei Voraussetzungen.
- Zwei Geraden oder Strahlen müssen sich in einem Punkt Z schneiden. Der Punkt Z wird als Zentrum bezeichnet.
- Die beiden Geraden oder Strahlen werden von zwei weiteren parallelen Geraden geschnitten.
1. Strahlensatz
Werden zwei durch den Punkt Z verlaufende Strahlen von zwei weiteren parallel verlaufenden Geraden g und h in den Punkten A, A', B und B' geschnitten, so gilt für die Verhältnisse der Strecken a, a+a', b und b+b':
Abbildung 9: Strahlensätze
Neben dem ersten Strahlensatz gibt es den zweiten Strahlensatz. Dieser rechnet nicht nur mit den Längen von Punkt Z, sondern mit den Strecken der parallelen Geraden, die die beiden Strahlen aus Z schneiden.
2. Strahlensatz
Werden zwei durch den Punkt Z verlaufende Strahlen von zwei weiteren parallel verlaufenden Geraden g und h in den Punkten A, A', B und B' geschnitten, so gilt für die Verhältnisse der Strecken a, a', b, b', x und y:
und
Abbildung 10: Strahlensätze
Beide Strahlensätze ergeben ähnliche Dreiecke, welche auf verschiedene Art berechnet werden. Dabei gilt, dass laut den Winkelsätzen alle Winkel gleich groß sind. Es können alle Ähnlichkeitssätze mithilfe der Strahlensätze bewiesen werden.
Ähnliche Dreiecke Flächeninhalt
Du möchtest von einem Dreieck den Flächeninhalt berechnen, jedoch hast Du nur Angaben zum Flächeninhalt von einem ähnlichen Dreieck. Dann ist es Dir mit folgendem Zusammenhang möglich, von dem ähnlichen Dreieck das Ursprungsdreieck zu berechnen.
Zur Erinnerung: Der Flächeninhalt berechnet sich mit der Formel. Dabei ist g die Grundseite und h die Höhe des Dreiecks.
Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist abhängig von den Seitenlängen eines Dreiecks. Das Verhältnis zwischen den beiden Flächeninhalten der Dreiecke ist das Seitenverhältnis quadriert.
Es gilt:
Wenn Du bei einem Dreieck das Seitenverhältnis von zwei hast, ist das ähnliche Dreieck doppelt so groß wie das Ausgangsdreieck. In der Abbildung siehst Du, dass sich zwar die Seitenlängen nur verdoppeln, aber das Ausgangsdreieck nicht nur zweimal, sondern viermal in das ähnliche Dreieck passt.
Abbildung 11: Flächeninhalt
Aufgabe 6
Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks A'B'C'. Die Seite a' ist 5 cm lang. Das Dreieck ABC ist ein ähnliches Dreieck und hat die Seitenlängen , und . Die Höhe des Dreiecks beträgt .
Lösung
Der Flächeninhalt des Dreiecks A'B'C' und des Dreiecks ABC stehen im gleichen Verhältnis wie das quadrierte Verhältnis der Seiten der Dreiecke.
Als Erstes berechnest Du den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
Jetzt stellst Du das Verhältnis nach A' um.
Zum Schluss setzt Du die Werte ein und berechnest A'.
Der Flächeninhalt des Dreiecks A'B'C' beträgt 9,915 cm2. Das ist ein Viertel von dem Flächeninhalt des ähnlichen Dreiecks ABC.
Ähnlichkeit Dreieck – Aufgaben
Jetzt kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.
Aufgabe 7
Das Dreieck ABC mit den Seiten , und hat einen Flächeninhalt von . Das ähnliche Dreieck A'B'C' hat die Seitenlänge . Wie groß ist der Flächeninhalt von dem Dreieck A'B'C'?
Lösung
Als Erstes stellst Du das Verhältnis zwischen den Flächeninhalten und den Seiten auf.
Jetzt stellst Du die Gleichung nach A' um und berechnest A'.
Das Dreiecks A'B'C' hat einen Flächeninhalt von 35,21 cm2.
Aufgabe 8
Berechne die Seite c des Dreiecks ABC.
Abbildung 12: Aufgabe Seite-Seite-Seite
Lösung
Über den Ähnlichkeitssatz Seite-Seite-Seite kannst Du die Seite c berechnen. Stelle dafür das Seitenverhältnis der Dreiecke auf.
Jetzt stellst Du das Seitenverhältnis nach c und berechnest c anschließend.
Die Seite c ist 5 cm lang.
Ähnlichkeit Dreiecke – Das Wichtigste
- Zwei Figuren heißen zueinander ähnlich, wenn sie durch Kongruenzabbildungen und/oder zentrische Streckungen ineinander übergehen.
- Hauptähnlichkeitssatz: Zwei Dreiecke sind ähnlich zueinander, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen.
Es gilt:
und
- Zwei Dreiecke sind ähnlich zueinander, wenn sie in allen drei Seiten das gleiche Verhältnis haben.
Es gilt:
- Zwei Dreiecke sind ähnlich zueinander, wenn sie in zwei Seiten das gleiche Verhältnis haben und der von den Seiten eingeschlossene Winkel gleich groß ist.
Es gilt:
und
- Zwei Dreiecke sind ähnlich zueinander, wenn sie in zwei Seiten das gleiche Verhältnis haben und der Winkel, welcher der größeren Seite gegenüberliegt, gleich groß ist.
Es gilt:
und
- Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist abhängig von den Seitenlängen eines Dreiecks. Das Verhältnis zwischen den beiden Flächeninhalten der Dreiecke ist das Seitenverhältnis quadriert.
Es gilt:
Nachweise
- Wellstein, Kirsche. (2009). Elementargeometrie. Vieweg+Teubner.
- Scheid, Schwarz. (2007). Elemente der Geometrie. Spektrum Akademischer Verlag.
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