Ähnlichkeit Dreiecke

Jeder hat schon mal den Satz gehört, „Ihr seht Euch aber ähnlich“. Doch was hat es damit auf sich? Ähnlich sind sich Personen oder Dinge, die in einem oder mehreren Merkmalen übereinstimmen. Wichtig ist jedoch, sie stimmen nicht in allen Merkmalen überein. Ein Beispiel: Geschwister sehen sich oft sehr ähnlich, aufgrund von Haarfarbe oder Augenfarbe, aber sie können sich in Geschlecht und Größe unterscheiden. Sie sind also nicht die gleiche Person, sondern sind sich in einem Merkmal, dem Aussehen, ähnlich. Diese Logik lässt sich in die Mathematik übertragen. In der Geometrie können Figuren kongruent oder ähnlich sein. Wie Du Ähnlichkeit bei Dreiecken erkennst, erfährst Du hier.

Ähnlichkeit Dreiecke Ähnlichkeit Dreiecke

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Ähnlichkeit Dreiecke Geschwister StudySmarter

    Ähnlichkeit Dreiecke – Grundlagenwissen

    Dreiecke und Ähnlichkeit sind beides ebenfalls einzelne Themengebiete und Du solltest über beide ein Vorwissen besitzen, bevor Du mit der Ähnlichkeit von Dreiecken beginnst.

    Mehr zum Dreieck und zur Ähnlichkeit in den Erklärungen „Dreieck“ und „Ähnlichkeit“.

    Dreiecke

    Du kennst viele verschiedene Dreiecke. Sie werden nach ihren Winkeln und nach ihren Seiten unterschieden. Trotz dieser Unterschiede haben sie alle eine gemeinsame allgemeine Definition.

    Das Dreieck ABC ist eine geometrische Figur, bei welcher drei Punkte verbunden werden. Die drei Punkte dürfen dabei nicht auf einer Geraden liegen. Die Verbindungsstrecken zwischen den Punkten heißen Dreiecksseiten a, b und c.

    Ähnlichkeit Dreiecke Definition Dreieck StudySmarterAbbildung 2: Definition Dreieck

    Die Verbindungsstrecken werden nach dem gegenüberliegendem Eckpunkt benannt.

    Ein Dreieck besitzt drei Winkel, die mit Buchstaben aus dem griechischen Alphabet benannt sind. Die drei Winkel ergeben zusammen 180°. Diese Aussage steht im Innenwinkelsatz des Dreiecks.

    Mehr zum Innenwinkelsatz eines Dreiecks erfährst Du in der Erklärung „Innenwinkelsumme eines Dreiecks“.

    Ähnlichkeit

    Wie zu Beginn erklärt, sehen sich Geschwister ähnlich, weil sie gleiche und unterschiedliche Eigenschaften besitzen. Wenn Du nun Ähnlichkeit in der Mathematik betrachtest, geht es darum, dass zwei geometrische Figuren in ihrer Form gleich sind, sich aber in ihrer Größe unterscheiden.

    Zwei Figuren heißen zueinander ähnlich, wenn sie durch Kongruenzabbildungen und/oder zentrische Streckungen ineinander übergehen.

    Die zentrische Streckung definiert sich wie folgt:

    Eine zentrische Streckung vergrößert oder verkleinert eine Figur. Dabei bleiben die Streckenverhältnisse und die Winkel unverändert. Der Ausgangspunkt zentrischer Streckungen ist das Streckungszentrum Z.

    In der Abbildung siehst Du ein zentrisch gestrecktes Dreieck. Das blaue und grüne Dreieck sind also ähnlich zueinander, da sie sich nur in ihrer Größe, aber nicht ihrer Form, unterscheiden.

    Ähnlichkeit Dreiecke zentrische Streckung StudySmarterAbbildung 3: zentrische Streckung

    Neben dem Ähnlichkeitsbegriff gibt es auch noch den Kongruenzbegriff in der Mathematik.

    Zwei Figuren heißen kongruent, wenn sie durch eine Kongruenzabbildung (Spiegelung, Verschiebung, Drehung oder deren Verkettung) ineinander übergehen.


    Kongruenz an Dreiecken erkennst Du anhand der Kongruenzsätze. Diese lauten Seite-Seite-Seite, Winkel-Seite-Winkel, Seite-Winkel-Seite und Seite-Seite-Winkel.

    Mehr zu den Kongruenzabbildungen, den Kongruenzsätzen und der zentrischen Streckung erfährst Du in den jeweiligen Erklärungen.

    Ähnlichkeit Dreiecke – Seitenverhältnisse

    Bei den Ähnlichkeitssätzen betrachtest Du immer die Seitenverhältnisse und prüfst, ob diese übereinstimmen. Bei den Kongruenzsätzen hingegen werden direkt die Längen der Seiten verglichen.

    Hauptähnlichkeitssatz für Dreiecke

    Der Hauptähnlichkeitssatz für Dreiecke ist der Winkel-Winkel Ähnlichkeitssatz. Er wird auch kurz „WW“ genannt.

    Zwei Dreiecke sind ähnlich zueinander, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen.

    Es gilt:

    α=α' und β=β'

    Der dritte Winkel eines Dreiecks lässt sich über die Innenwinkelsumme von Dreiecken berechnen und ist ebenfalls in beiden Dreiecken gleich groß.

    Ähnlichkeit Dreiecke Hauptähnlichkeitssatz StudySmarterAbbildung 4: Hauptähnlichkeitssatz

    Es gibt keinen äquivalenten Kongruenzsatz zu dem Hauptähnlichkeitssatz. Für Dreiecke, die in ihren Winkeln übereinstimmen, gilt nicht immer, dass sie auch im Flächeninhalt übereinstimmen. Um Kongruenz nachzuweisen, benötigst Du immer mindestens eine Seite des Dreiecks.

    Aufgabe 1

    Wie groß sind die Winkel des Dreiecks ABC, wenn das ähnliche Dreieck A'B'C' die Winkel α'=50° und β'=70° besitzt?

    Lösung

    Die Winkel von ähnlichen Dreiecken sind nach dem Hauptähnlichkeitssatz gleich groß.

    α=α'=50°

    β=β'=70°

    Um den dritten Winkel γ zu ermitteln, musst Du über die Innenwinkelsumme eines Dreiecks diesen berechnen.

    α+β+γ=180°γ=180°-α-βγ=180°-50°-70°γ=60°

    Das Dreieck ABC besitzt die Winkel α=50°, β=70° und γ=60°.

    Ähnlichkeitssätze für Dreiecke

    Neben dem Hauptähnlichkeitssatz existieren noch drei weitere Ähnlichkeitssätze. Diese haben immer einen entsprechenden Satz in den Kongruenzsätzen von Dreiecken.

    Seite-Seite-Seite Satz

    Alle Dreieckseiten stehen in einem bestimmten Verhältnis zu den Dreiecksseiten des anderen Dreiecks. Der Seite-Seite-Seite Satz wird auch kurz „SSS“ genannt.

    Zwei Dreiecke sind ähnlich zueinander, wenn sie in allen drei Seiten das gleiche Verhältnis haben.

    Es gilt:

    aa'=bb'=cc'

    Die zusammengehörigen Strecken ergeben ein Seitenverhältnis. Das Dreieck ist ähnlich, wenn alle drei Seitenverhältnisse gleich sind.

    Ähnlichkeit Dreiecke Seite Seite Seite Satz StudySmarterAbbildung 5: Seite-Seite-Seite Satz

    Aufgabe 2

    Berechne die fehlende Seite des Dreiecks ABC. Das Dreieck hat die Seitenlängen a=3 cm und c=5 cm. Es existiert ein ähnliches Dreieck A'B'C' mit den Seitenlängen a'=9 cm, b'=12 cm und c'=15 cm.

    Lösung

    Als Erstes setzt Du die Seiten in das passende Verhältnis.

    aa'=bb'39=b12

    Nun stellst Du nach b um und berechnest die Seitenlänge.

    39=b12|·12b=13·12b=4 cm

    Die Seite b von dem Dreieck ABC ist 4 cm lang.

    Seite-Winkel-Seite Satz

    Der Seite-Winkel-Seite Satz wird kurz „SWS“ genannt. Auch dieser Satz sollte Dir von den Kongruenzsätzen bekannt sein.

    Zwei Dreiecke sind ähnlich zueinander, wenn sie in zwei Seiten das gleiche Verhältnis haben und der von den Seiten eingeschlossene Winkel gleich groß ist.

    Es gilt:

    aa'=bb' und γ=γ'

    Neben dem eingeschlossenen Winkel müssen die beiden Seitenverhältnisse übereinstimmen.

    Beachte, dass die Seiten des gleichen Dreiecks immer beide im Nenner bzw. beide im Zähler stehen müssen. Wenn b' im Nenner steht, muss auch a' im Nenner stehen.

    Ähnlichkeit Dreiecke Seite Winkel Seite Satz StudySmarterAbbildung 6: Seite-Winkel-Seite Satz

    Aufgabe 3

    Entscheide, ob es sich bei den Dreiecken um ähnliche Dreiecke handelt. Begründe Deine Entscheidung.

    Ähnlichkeit Dreiecke Seite Winkel Seite Satz StudySmarterAbbildung 7: Beispiel Seite-Winkel-Seite Satz

    Lösung

    Um zu überprüfen, ob es sich um ähnliche Dreiecke handelt, solltest Du den Ähnlichkeitssatz Seite-Winkel-Seite anwenden.

    Der eingeschlossene Winkel γ zwischen den beiden Seiten a und b muss gleich groß sein.

    γ=γ'46,57°=46,57°

    Die Winkel stimmen überein.

    Als Nächstes überprüfst Du, ob die Seitenverhältnisse übereinstimmen.

    aa'=bb'21,33=42,661,5=1,5

    Die Seitenverhältnisse stimmen ebenfalls überein.

    Die beiden Dreiecke erfüllen den Ähnlichkeitssatz Seite-Winkel-Seite und sind dementsprechend ähnlich.

    Seite-Seite-Winkel Satz

    Ähnlich zu dem letzten Satz gibt es auch den Seite-Seite-Winkel Satz oder kurz „SsW“. Für diesen Satz benötigst Du einen anderen Winkel als bei SWS.

    Zwei Dreiecke sind ähnlich zueinander, wenn sie in zwei Seiten das gleiche Verhältnis haben und der Winkel, welcher der größeren Seite gegenüberliegt, gleich groß ist.

    Es gilt:

    aa'=cc' und γ=γ'

    Du musst in diesem Ähnlichkeitssatz die beiden Winkel auf Gleichheit überprüfen und die Seitenverhältnisse berechnen, wie bei den anderen Ähnlichkeitssätzen.

    Aufgabe 4

    Sind die beiden Dreiecke ähnlich? Begründe Deine Entscheidung.

    Ähnlichkeit Dreiecke Seite Seite Winkel Satz StudySmarterAbbildung 8: Seite-Seite-Winkel Satz

    Lösung

    Als Erstes überprüfst Du, ob der Winkel gleich groß ist.

    γ=γ'104,48°=104,48°

    Die Winkel sind gleich groß.

    Jetzt überprüfe die Seitenverhältnisse.

    bb'=cc'37,5=4100,4=0,4

    Die beiden Seitenverhältnisse stimmen überein. Es handelt sich bei den beiden Dreiecken um ähnliche Dreiecke laut dem Seite-Seite-Winkel Satz.

    Ähnliche Dreiecke Strahlensatz

    Aus den beiden Strahlensätzen lassen sich die Ähnlichkeitssätze herleiten.

    Wenn Du bei den Strahlensätzen unsicher bist, schau einmal bei den Erklärungen „erster Strahlensatz“ und „zweiter Strahlensatz“ vorbei.

    Zur Anwendung der beiden Strahlensätze gibt es zwei Voraussetzungen.

    1. Zwei Geraden oder Strahlen müssen sich in einem Punkt Z schneiden. Der Punkt Z wird als Zentrum bezeichnet.
    2. Die beiden Geraden oder Strahlen werden von zwei weiteren parallelen Geraden geschnitten.

    1. Strahlensatz

    Werden zwei durch den Punkt Z verlaufende Strahlen von zwei weiteren parallel verlaufenden Geraden g und h in den Punkten A, A', B und B' geschnitten, so gilt für die Verhältnisse der Strecken a, a+a', b und b+b':

    ab=a+a'b+b'

    Ähnlichkeit Dreiecke Strahlensätze StudySmarterAbbildung 9: Strahlensätze

    Neben dem ersten Strahlensatz gibt es den zweiten Strahlensatz. Dieser rechnet nicht nur mit den Längen von Punkt Z, sondern mit den Strecken der parallelen Geraden, die die beiden Strahlen aus Z schneiden.

    2. Strahlensatz

    Werden zwei durch den Punkt Z verlaufende Strahlen von zwei weiteren parallel verlaufenden Geraden g und h in den Punkten A, A', B und B' geschnitten, so gilt für die Verhältnisse der Strecken a, a', b, b', x und y:

    ax=a+a'y und bx=b+b'y

    Ähnlichkeit Dreiecke Strahlensätze StudySmarterAbbildung 10: Strahlensätze

    Beide Strahlensätze ergeben ähnliche Dreiecke, welche auf verschiedene Art berechnet werden. Dabei gilt, dass laut den Winkelsätzen alle Winkel gleich groß sind. Es können alle Ähnlichkeitssätze mithilfe der Strahlensätze bewiesen werden.

    Ähnliche Dreiecke Flächeninhalt

    Du möchtest von einem Dreieck den Flächeninhalt berechnen, jedoch hast Du nur Angaben zum Flächeninhalt von einem ähnlichen Dreieck. Dann ist es Dir mit folgendem Zusammenhang möglich, von dem ähnlichen Dreieck das Ursprungsdreieck zu berechnen.

    Zur Erinnerung: Der Flächeninhalt berechnet sich mit der FormelA=12·g·h. Dabei ist g die Grundseite und h die Höhe des Dreiecks.

    Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist abhängig von den Seitenlängen eines Dreiecks. Das Verhältnis zwischen den beiden Flächeninhalten der Dreiecke ist das Seitenverhältnis quadriert.

    Es gilt:

    AA'=aa'2

    Wenn Du bei einem Dreieck das Seitenverhältnis von zwei hast, ist das ähnliche Dreieck doppelt so groß wie das Ausgangsdreieck. In der Abbildung siehst Du, dass sich zwar die Seitenlängen nur verdoppeln, aber das Ausgangsdreieck nicht nur zweimal, sondern viermal in das ähnliche Dreieck passt.

    Ähnlichkeit Dreiecke Ähnliche Dreiecke Flächeninhalt StudySmarterAbbildung 11: Flächeninhalt

    Aufgabe 6

    Berechne den Flächeninhalt des Dreiecks A'B'C'. Die Seite a' ist 5 cm lang. Das Dreieck ABC ist ein ähnliches Dreieck und hat die Seitenlängen a=10cm, b=8 cm und c=12 cm. Die Höhe des Dreiecks beträgt h=6,61 cm.

    Lösung

    Der Flächeninhalt des Dreiecks A'B'C' und des Dreiecks ABC stehen im gleichen Verhältnis wie das quadrierte Verhältnis der Seiten der Dreiecke.

    A'A=a'a2

    Als Erstes berechnest Du den Flächeninhalt des Dreiecks ABC.

    A=12·g·hA=12·12·6,61A=39,66 cm2

    Jetzt stellst Du das Verhältnis nach A' um.

    A'A=a'a2|·AA'=a'a2·A

    Zum Schluss setzt Du die Werte ein und berechnest A'.

    A'=a'a2·AA'=5102·39,66A'=9,915 cm2

    Der Flächeninhalt des Dreiecks A'B'C' beträgt 9,915 cm2. Das ist ein Viertel von dem Flächeninhalt des ähnlichen Dreiecks ABC.

    Ähnlichkeit Dreieck – Aufgaben

    Jetzt kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.

    Aufgabe 7

    Das Dreieck ABC mit den Seiten a=6 cm, b=4 cm und c=7 cm hat einen Flächeninhalt von A=11,98 cm2. Das ähnliche Dreieck A'B'C' hat die Seitenlänge c'=12 cm. Wie groß ist der Flächeninhalt von dem Dreieck A'B'C'?

    Lösung

    Als Erstes stellst Du das Verhältnis zwischen den Flächeninhalten und den Seiten auf.

    A'A=c'c2A'11,98=1272

    Jetzt stellst Du die Gleichung nach A' um und berechnest A'.

    A'11,98=1272|·11,98A'=14449·11,98A'=35,21 cm2

    Das Dreiecks A'B'C' hat einen Flächeninhalt von 35,21 cm2.

    Aufgabe 8

    Berechne die Seite c des Dreiecks ABC.

    Ähnlichkeit Dreiecke Aufgabe Seite Seite Seite StudySmarterAbbildung 12: Aufgabe Seite-Seite-Seite

    Lösung

    Über den Ähnlichkeitssatz Seite-Seite-Seite kannst Du die Seite c berechnen. Stelle dafür das Seitenverhältnis der Dreiecke auf.

    aa'=bb'=cc'34,5=46=c7,5

    Jetzt stellst Du das Seitenverhältnis nach c und berechnest c anschließend.

    c7,5=46|·7,5c=23·7,5c=5 cm

    Die Seite c ist 5 cm lang.

    Ähnlichkeit Dreiecke – Das Wichtigste

    • Zwei Figuren heißen zueinander ähnlich, wenn sie durch Kongruenzabbildungen und/oder zentrische Streckungen ineinander übergehen.
    • Hauptähnlichkeitssatz: Zwei Dreiecke sind ähnlich zueinander, wenn sie in zwei Winkeln übereinstimmen.

      Es gilt:

      α=α' und β=β'

    • Zwei Dreiecke sind ähnlich zueinander, wenn sie in allen drei Seiten das gleiche Verhältnis haben.

      Es gilt:

      aa'=bb'=cc'

    • Zwei Dreiecke sind ähnlich zueinander, wenn sie in zwei Seiten das gleiche Verhältnis haben und der von den Seiten eingeschlossene Winkel gleich groß ist.

      Es gilt:

      aa'=bb' und γ=γ'

    • Zwei Dreiecke sind ähnlich zueinander, wenn sie in zwei Seiten das gleiche Verhältnis haben und der Winkel, welcher der größeren Seite gegenüberliegt, gleich groß ist.

      Es gilt:

      aa'=cc' und γ=γ'

    • Der Flächeninhalt eines Dreiecks ist abhängig von den Seitenlängen eines Dreiecks. Das Verhältnis zwischen den beiden Flächeninhalten der Dreiecke ist das Seitenverhältnis quadriert.

      Es gilt:

      AA'=aa'2


    Nachweise

    1. Wellstein, Kirsche. (2009). Elementargeometrie. Vieweg+Teubner.
    2. Scheid, Schwarz. (2007). Elemente der Geometrie. Spektrum Akademischer Verlag.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Ähnlichkeit Dreiecke

    Wann sind Dreiecke ähnlich?

    Dreiecke sind ähnlich, wenn sie einen der Ähnlichkeitssätze erfüllen. Also, wenn beide Dreiecke gleiche Winkel haben, die Seitenverhältnisse aller Seiten übereinstimmen, zwei Seitenverhältnisse und der eingeschlossene Winkel übereinstimmen oder zwei Seitenverhältnisse und der Winkel, welcher der größeren Seite gegenüberliegt, übereinstimmen.

    Wie berechnet man die Ähnlichkeit von Dreiecken?

    Du kannst die Ähnlichkeit von Dreiecken nicht direkt berechnen. Die Ähnlichkeit von Dreiecken wird über die Ähnlichkeitssätze bewiesen. In einem Teil der Ähnlichkeitssätze berechnest Du die Seitenverhältnisse der Dreiecke. Dafür dividierst Du die Dreiecksseite a mit der Dreiecksseite a' des anderen Dreiecks. Äquivalent kannst Du das für die anderen Dreiecksseiten durchführen.

    Sind alle Dreiecke zueinander ähnlich?

    Nicht alle Dreiecke sind einander ähnlich. Dreiecke sind sich nur dann ähnlich, wenn sie einen der Ähnlichkeitssätze erfüllen.

    Sind gespiegelte Dreiecke ähnlich?

    Gespiegelte Dreiecke sind ähnlich, da sie aus einer Kongruenzabbildung hervorgehen. Die Dreiecke sind also kongruent und jedes kongruente Dreieck ist auch ein ähnliches Dreieck.

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