Login Anmelden

Select your language

Suggested languages for you:
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|

Abstand Punkt Ebene

Abstand Punkt Ebene

Wenn Du einen Ball in die Luft hältst, hat dieser einen bestimmten Abstand zum Fußboden. Fällt der Ball, verkleinert sich der Abstand. Wenn Du den Ball aufhebst, wird der Abstand wieder größer. In der analytischen Geometrie kannst Du den Abstand zwischen dem Fußboden und dem Ball, dann sogar berechnen. Dafür nimmst Du an, dass der Fußboden eine Ebene und der Ball ein Punkt ist. Mit welcher Formel Du in der Vektorrechnung den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene berechnen kannst, erfährst Du jetzt.

Mathe Abstand Punkt Ebene – Grundlagenwissen

Bevor Du den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene berechnen kannst, benötigst Du einige Grundlagen.

Es existieren drei Ebenengleichungen, die Parameterform, die Normalenform und die Koordinatenform. Diese solltest Du ineinander umrechnen können.

Koordinatenform
\(E: \vec{x} = \overrightarrow{OA} +s \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{v}\)
\(E:[\vec{x}-\vec{p}]\cdot \vec{n}=0 \,\, \text{mit}\,\, \vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \)
\(E: ax+by+cz=d\)

Wie Du die Ebenengleichungen umrechnest, erfährst Du in der Erklärung „Ebenengleichung umformen“.

Die Lagebeziehungen zwischen den verschiedenen geometrischen Objekten zu kennen, ist wichtig, um den Abstand zwischen nicht identischen oder sich nicht schneidenden Objekten zu berechnen.

In der Erklärung „Lagebeziehung“ erfährst Du alle möglichen Lagebeziehungen zwischen Punkt, Gerade und Ebene.

Abstand Punkt Ebene – berechnen

Wenn Du den Abstand zwischen zwei geometrischen Objekten berechnest, ist immer nach dem minimalen Abstand gefragt. Der minimale Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene lässt sich auf zwei Weisen berechnen. Einerseits kannst Du die hessesche Normalform nutzen, andererseits lässt sich der Abstand auch über das Lotfußpunktverfahren berechnen.

Abstand Punkt Ebene Abstand Punkt Ebene berechnen StudySmarterAbb. 1 - Abstand Punkt Ebene berechnen

Abstand Punkt Ebene – hessesche Normalform

Die hessesche Normalform ist eine spezielle Ebenengleichung.

Die Hessesche Normalform einer Ebene \(E\) ist \[E: \frac{Ax+By+Cz+d}{|\vec{n}|}=0\]

Dabei ist \(ax+by+cz+d=0\) die Koordinatenform der Ebenengleichung und \(\vec{n}\) der Normalenvektor der Ebene \(E\).

Abstand Punkt Ebene hessesche Normalform StudySmarterAbb. 2 - hessesche Normalform

Gleichzeitig ist die hessesche Normalform auch eine Möglichkeit, mit der Du den Abstand zwischen einer Ebene und einem Punkt berechnen kannst.

Den Abstand zwischen einem Punkt \(P\) und einer Ebene \(E\) berechnest Du mithilfe der hesseschen Normalform folgendermaßen:

  1. Schreibe die Ebenengleichung der Ebene \(E\) in die hessesche Normalform \(E: \frac{Ax+By+Cz+d}{|\vec{n}|}=0\) um.
  2. Setze den Punkt \(P\) in die hessesche Normalform der Ebene \(E\) ein.
  3. Berechne zum Schluss die Gleichung und Du erhältst den Abstand des Punktes \(P\) zur Ebene \(E\).

Mit dieser Reihenfolge kannst Du auch den Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen oder einer Ebene zu einer parallelen Geraden berechnen.

Schau Dir dafür auch die Erklärungen „Lagebeziehung Gerade Ebene“ und „Abstand paralleler Ebenen“ an.

Wenn Du nun den Abstand zwischen einer Ebene und einem Punkt berechnen möchtest, überprüfe vorher, ob der Punkt in der Ebene liegt. Sobald der Punkt in der Ebene liegt, ist deren Abstand gleich null.

Wie Du eine Punktprobe durchführst, erfährst Du in der Erklärung „Punktprobe“.

Aufgabe 1

Jetzt hältst Du den Ball in dem Punkt \(P(-3|1|4)\) fest. Der Fußboden hat die Ebenengleichung \(E:2x+3y-1z=-4\). Du fragst Dich, wie tief der Ball fallen würde, wenn Du ihn loslässt.

Berechne also den Abstand des Balls zum Fußboden.

Lösung

Als Erstes stellst Du die Ebenengleichung in die hessesche Normalform um.

\begin{align}\frac{2x+3y-1z+4}{\sqrt{2^2+3^2+(-1)^2}}&=0 \\[0.2cm] \frac{2x+3y-1z+4}{\sqrt{14}}&=0 \end{align}

Jetzt setzt Du den Punkt \(P(-3|1|4)\) in die hessesche Normalform ein

\begin{align} d&=\frac{|2x+3y-1z+4|}{\sqrt{14}} \\[0.2cm] d&=\frac{|2\cdot (-3)+3\cdot 1-1\cdot 4+4|}{\sqrt{14}} \end{align}

Zum Schluss berechnest Du die Gleichung und erhältst den Abstand zwischen der Ebenen und dem Punkt.

\begin{align} d&=\frac{|-6+3-4+4|}{\sqrt{14}}\\[0.2cm] d&=\frac{|-3|}{\sqrt{14}}\\[0.2cm] d&=\frac{3}{\sqrt{14}}\,[LE]\approx \text{0,8018}\,[LE] \end{align}

Der Abstand zwischen dem Ball und dem Fußboden beträgt rund \(\text{0,8018}\,[LE]\).

Abstand Punkt Ebene – Lotfußpunkt

Das Lotfußpunktverfahren beruht auf dem Lot, welches Du immer dann fällst, wenn eine Gerade durch einen Punkt senkrecht auf der Ebene stellen sollst.

Ein Lot ist eine Gerade \(l\), die durch einen Punkt \(P\) senkrecht zu einer Ebene \(E\) verläuft. Die Gerade \(l\) steht im rechten Winkel auf der Ebene \(E\).

Der Schnittpunkt \(S\) des Lotes mit der Ebene \(E\) wird Lotfußpunkt genannt.

Abstand Punkt Ebene Lotfußpunkt StudySmarterAbb. 3 - Lotfußpunkt

Beim Lotfußpunktverfahren berechnest Du den Abstand zwischen dem Punkt \(P\) und dem Punkt \(S\), also dem Lotfußpunkt.

Wie Du den Abstand zwischen zwei Punkten berechnest, erfährst Du in der Erklärung „Abstand zweier Punkte“.

Mithilfe dieser Schritte berechnest Du den Abstand zwischen einer Ebene \(E\) und einem Punkt \(P\).

  1. Stelle die Lotgerade \(l\) auf. Der Stützvektor ist der Punkt \(P\). Der Richtungsvektor ist der Normalenvektor \(\vec{n}\) der Ebene \(E\).
  2. Berechne den Schnittpunkt \(S\) der Ebene \(E\) mit der Lotgeraden \(l\).
  3. Ermittle den Abstand zwischen dem Punkt \(P\) und dem Lotfußpunkt \(S\). Nutze dafür den Betrag des Vektors \(\overrightarrow{PS}\).

Merke: Der Richtungsvektor der Lotgeraden \(l\) ist der Normalenvektor der Ebene \(E\), weil der Normalenvektor immer senkrecht auf der Ebene steht.

Diese Schrittfolge kannst Du auch bei anderen Abstandsberechnungen, wie dem Abstand von parallelen Ebenen, anwenden.

Mehr zum Lotfußpunktverfahren erfährst Du in der Erklärung „Lotfußpunktverfahren“.

Aufgabe 2

Berechne den Abstand der Ebene \(E:5y+2z=1\) zum Punkt \(P(-2|-1|-5)\).

Lösung

Zunächst stellst Du die Lotgerade \(l\) aus dem Punkt \(P\) auf, mit dem Normalenvektor der Ebene \(E\) als Richtungsvektor.

\[l:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ -5 \end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 2 \end{array}\right)\]

Danach berechnest Du den Schnittpunkt \(S\) der Ebene \(E\) mit der Lotgerade \(l\). Setze die allgemeinen Punkte der Lotgerade dafür in die Ebenengleichung ein und berechne \(\lambda\).

Wenn Du Dein Wissen zur Schnittpunktberechnung auffrischen willst, schau einmal in der Erklärung „Schnittpunkt Gerde Ebene“ vorbei.

\begin{align} 5y+2z&=1 \\ 5\cdot(-1+5\lambda)+2\cdot(-5+2\lambda)&=1 \\ -5+25\lambda-10+4\lambda&=1 \\ -15+29\lambda&=1 &|&+15 \\ 29\lambda&=16 &|&:29 \\ \lambda&=\frac{16}{29} \end{align}

Anschließend setzt Du \(\lambda\) in die Geradengleichung ein und berechnest den Schnittpunkt und Lotfußpunkt \(S\).

\begin{align} l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ -5 \end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 2 \end{array}\right) \\[0.2cm] l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ -5 \end{array}\right)+\frac{16}{29} \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 2 \end{array}\right) \\[0.2cm] l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} -2 \\ \frac{51}{29} \\ -\frac{113}{29} \end{array}\right) \rightarrow S\left(-2\left|\frac{51}{29}\right|-\frac{113}{29}\right) \end{align}

Zum Schluss berechnest Du den Abstand zwischen den Punkten \(P\) und \(S\). Bilde dafür den Vektor \(\overrightarrow {PS}\) und dann dessen Betrag..

\begin{align} d(\overrightarrow{PS})&=\sqrt{(-2-(-2))^2+\left(\frac{51}{29}-(-1)\right)^2+\left(-\frac{113}{29}-(-5)\right)^2} \\[0.2cm]d(\overrightarrow{PS})&=\sqrt{0+\left(\frac{80}{29}\right)^2+\left(\frac{32}{29}\right)^2} \\[0.2cm]d(\overrightarrow{PS})&=\sqrt{\frac{6400}{841}+\frac{1024}{841}} \\[0.2cm] d(\overrightarrow{PS})&=\sqrt{\frac{256}{19}}\,[LE] \approx\text{2,9711}\,[LE] \end{align}

Der Abstand zwischen der Ebene \(E\) und dem Punkt \(P\) beträgt rund \(\text{2,9711}\,[LE]\).

Abstand Punkt Ebene – Aufgaben

Mit diesen Aufgaben kannst Du Dein eben erworbenes Wissen testen.

Aufgabe 3

Berechne den Abstand des Punktes \(P(-1|-2|1)\) zur Ebene \(E:3x-1y=6\). Nutze die hessesche Normalform.

Lösung

Als Erstes stellst Du die Ebenengleichung in die hessesche Normalform um.

\begin{align}\frac{3x-y-6}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}&=0 \\[0.2cm] \frac{2x-y-6}{\sqrt{10}}&=0 \end{align}

Jetzt setzt Du den Punkt \(P(-3|1|4)\) in die hessesche Normalform ein

\begin{align} d&=\frac{|3x-y-6|}{\sqrt{10}} \\[0.2cm] d&=\frac{|3\cdot(-1)-(-2)-6|}{\sqrt{10}} \end{align}

Zum Schluss berechnest Du die Gleichung und erhältst den Abstand zwischen der Ebenen und dem Punkt.

\begin{align} d&=\frac{|-3+2-6|}{\sqrt{10}}\\[0.2cm] d&=\frac{|-7|}{\sqrt{10}}\\[0.2cm] d&=\frac{7}{\sqrt{10}}\,[LE]\approx \text{2,2136}\,[LE] \end{align}

Der Abstand zwischen der Ebene \(E\) und dem Punkt \(P\) beträgt rund \(\text{2,2136}\,[LE]\).

Aufgabe 4

Berechne den Abstand des Punktes \(P(-4|2|3)\) zur Ebene \(E:-x+5y-2z=3\). Nutze das Lotfußpunktverfahren.

Lösung

Zunächst stellst Du die Lotgerade \(l\) aus dem Punkt \(P\) auf, mit dem Normalenvektor der Ebene \(E\) als Richtungsvektor.

\[l:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 5 \\ -2 \end{array}\right)\]

Danach berechnest Du den Schnittpunkt der Ebene \(E\) mit der Lotgerade. Setze die allgemeinen Punkte der Lotgerade dafür in die Ebenengleichung ein und berechne \(\lambda\).

\begin{align} -x+5y-2z&=3 \\ -(-4-1\lambda)+5\cdot(2+5\lambda)-2\cdot(3-2\lambda)&=3 \\ 4+\lambda+10+25\lambda-6+4\lambda&=3 \\ 8+30\lambda&=3 &|&-8 \\ 30\lambda&=-5 &|&:30 \\ \lambda&=-\frac{1}{6} \end{align}

Anschließend setzt Du \(\lambda\) in die Geradengleichung ein und berechnest den Schnittpunkt und Lotfußpunkt \(S\).

\begin{align} l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 5 \\ -2 \end{array}\right) \\[0.2cm] l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)-\frac{1}{6} \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 5 \\ -2 \end{array}\right) \\[0.2cm] l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} -\frac{23}{6} \\ \frac{7}{6} \\ \frac{10}{3} \end{array}\right) \rightarrow S\left(-\frac{23}{6}\left|\frac{7}{6}\right|\frac{10}{3}\right) \end{align}

Zum Schluss berechnest Du den Abstand zwischen den Punkten \(P\) und \(S\). Bilde dafür den Vektor \(\overrightarrow {PS}\) und dann den Betrag dessen.

\begin{align} d(\overrightarrow{PF})&=\sqrt{\left(-\frac{23}{6}-(-4)\right)^2+\left(\frac{7}{6}-2\right)^2+\left(\frac{10}{3}-3\right)^2} \\[0.2cm]d(\overrightarrow{PF})&=\sqrt{\left(\frac{1}{6}\right)^2+\left(-\frac{5}{6}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2} \\[0.2cm]d(\overrightarrow{PF})&=\sqrt{\frac{1}{36}+\frac{25}{36}+\frac{1}{9}} \\[0.2cm] d(\overrightarrow{PF})&=\sqrt{\frac{5}{6}}\,[LE] \approx\text{0,9129}\,[LE] \end{align}

Der Abstand zwischen der Ebene \(E\) und dem Punkt \(P\) beträgt rund \(\text{0,9129}\,[LE]\).

Abstand Punkt Ebene – Das Wichtigste

  • Wenn Du den Abstand zwischen zwei geometrischen Objekten berechnest, ist immer nach dem minimalen Abstand gefragt. Den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene kannst Du mithilfe der hesseschen Normalform oder dem Lotfußpunktverfahren berechnen.
  • Hessesche Normaform:
    • Den Abstand zwischen einem Punkt \(P\) und einer Ebene \(E\) berechnest Du mithilfe der hesseschen Normalform folgendermaßen:
      1. Schreibe die Ebenengleichung der Ebene \(E\) in die hessesche Normalform \(E: \frac{Ax+By+Cz+d}{|\vec{n}|}=0\) um.
      2. Setze den Punkt \(P\) in die hessesche Normalform der Ebene \(E\) ein.
      3. Berechne zum Schluss die Gleichung und Du erhältst den Abstand des Punktes \(P\) zur Ebenen \(E\).
  • Lotfußpunktverfahren:
    • Mithilfe dieser Schritte berechnest Du den Abstand zwischen einer Ebene \(E\) und einem Punkt \(P\).
      1. Stelle die Lotgerade \(l\) auf. Der Stützvektor ist der Punkt \(P\). Der Richtungsvektor ist der Normalenvektor \(\vec{n}\) der Ebene \(E\).
      2. Berechne den Schnittpunkt \(S\) der Ebene \(E\) mit Lotgeraden \(l\).
      3. Ermittle den Abstand zwischen dem Punkt \(P\) und dem Lotfußpunkt \(S\). Nutze dafür den Betrag des Vektors \(\overrightarrow{PS}\).

Nachweise

  1. Kowalewski. (1953) Einführung in die analytische Geometrie. De Gruyter. Berlin

Häufig gestellte Fragen zum Thema Abstand Punkt Ebene

Unter dem Abstand eines Punktes von einer Ebene wird der minimale Abstand verstanden. Den minimalen Abstand erreichst Du, indem Du eine Senkrechte auf die Ebene stellst, welche durch den Punkt verläuft.

Den Lotfußpunkt berechnest Du, indem Du die Lotgerade aufstellst. Der Stützvektor ist der Punkt P. Der Richtungsvektor ist der Normalenvektor der Ebene E. Danach berechnest Du den Schnittpunkt S der Ebene E mit der Lotgeraden l. Dieser Schnittpunkt wird auch Lotfußpunkt genannt.

Mithilfe der hesseschen Normalform kannst Du neben der Darstellung einer Ebene auch den Abstand zwischen einer Ebene und einem Punkt berechnen.

In der Parameterform und der Normalenform findest Du einen Punkt der Ebene als Stützvektor. Bei einer Ebene in Koordinatenform musst Du ausprobieren, welche Koordinaten die Gleichung erfüllen.

Finales Abstand Punkt Ebene Quiz

Frage

Nenne die Möglichkeiten zur Berechnung des Abstandes eines Punktes zu einer Ebene.

Antwort anzeigen

Antwort

Lotfußpunktverfahren, hessesche Normalform

Frage anzeigen

Frage

Gib die hessesche Normalform an.

Antwort anzeigen

Antwort

\[\frac{Ax+By+Cz+d}{|\vec{n}|}=0\]

Frage anzeigen

Frage

Forme die Ebenengleichung \(E:3x-4y+1z=-5\) um. Entscheide, welche der folgenden hesseschen Normalformen die Ebene repräsentiert. 

Antwort anzeigen

Antwort

\[\frac{3x-4y+1z+5}{\sqrt{3^2+(-4)^2+1^2}}=0\]

Frage anzeigen

Frage

Erläutere das Verfahren der Abstandsberechnung zwischen einer Ebene und einem Punkt unter Nutzung der hesseschen Normalform.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Schreibe die Ebenengleichung der Ebene \(E\) in die hessesche Normalform \(E:\frac{Ax+By+Cz+d}{|\vec{n}|}=0\) um.
  2. Setze den Punkt \(P\) in die hessesche Normalform der Ebene \(E\) ein.
  3. Berechne zum Schluss die Gleichung und Du erhältst den Abstand des Punktes \(P\) zur Ebenen \(E\).


Frage anzeigen

Frage

Definiere das Lot.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Lot ist eine Gerade \(l\), die durch einen Punkt \(P\) senkrecht zu einer Ebene \(E\) verläuft. Die Gerade \(l\) steht im rechten Winkel auf der Ebene \(E\).

Der Schnittpunkt \(S\) des Lotes mit der Ebene \(E\) wird Lotfußpunkt genannt.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe das Vorgehen zur Berechnung des Abstandes von Punkt und Ebene mithilfe des Lotfußpunktverfahrens.

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Stelle die Lotgerade \(l\) auf. Der Stützvektor ist der Punkt \(P\). Der Richtungsvektor ist der Normalenvektor \(\vec{n}\) der Ebene \(E\).
  2. Berechne den Schnittpunkt \(S\) der Ebene \(E\) mit Lotgeraden \(l\).
  3. Ermittle den Abstand zwischen dem Punkt \(P\) und dem Lotfußpunkt \(S\). Nutze dafür den Betrag des Vektors \(\overrightarrow{PS}\).

Frage anzeigen

Frage

Begründe, warum der Richtungsvektor der Lotgeraden auch der Normalenvektor der Ebene ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Richtungsvektor der Lotgeraden \(l\) ist der Normalenvektor der Ebene \(E\), weil der Normalenvektor immer senkrecht auf der Ebene steht und die Lotgerade ebenfalls senkrecht auf der Ebene steht.

Frage anzeigen

Frage

Wie wird der Schnittpunkt der Ebene mit der Lotgeraden genannt?

Antwort anzeigen

Antwort

Lotfußpunkt

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Abstand zwischen dem Punkt \(P(2|2|3)\) und der Ebene \(E:8x-4y+2y=6\) mithilfe der hesseschen Normalform.

Antwort anzeigen

Antwort

Zuerst schreibe die Ebenengleichung in die der hesseschen Normalform um.

\begin{align} \frac{8x-4y+2z-6}{\sqrt{8^2+(-4)^2+2^2}}&=0 \\ \frac{8x-4y+2z-6}{\sqrt{64+16+4}}&=0 \\ \frac{8x-4y+2z-6}{\sqrt{84}}&=0 \end{align}

Als Nächstes setzt Du den Punkt \(P\) in die Gleichung ein und berechnest anschließend.

\begin{align} d(P,E)&=\frac{8\cdot 2-4\cdot 2+2\cdot 3-6}{\sqrt{84}} \\ d(P,E)&=\frac{16-8+6-6}{\sqrt{84}} \\ d(P,E)&=\frac{8}{\sqrt{84}}\,[LE]\approx 0{,}8729\,[LE] \end{align}

Der Abstand zwischen der Ebene und dem Punkt beträgt rund \(0{,}8729\,[LE]\).

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Abstand zwischen dem Punkt \(P(-4|1|4)\) und der Ebene \(7x-5y=3\) mithilfe des Lotfußpunktverfahrens.

Antwort anzeigen

Antwort

Als Erstes stellst Du die Lotgerade auf. 

\[l:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} -4 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 7 \\ -5 \\ 0 \end{array}\right)\]

Danach berechnest Du den Schnittpunkt der Ebene \(E\) mit der Lotgerade. Setze die Lotgerade dafür in die Ebenengleichung ein und berechne \(\lambda\).

\begin{align} 7x-5y&=3 \\ 7\cdot (-4+7\lambda)- 5\cdot(1-5\lambda)+0\cdot(4)&=3 \\ -28+49\lambda-5+25\lambda&=3 \\ -33+74\lambda&=3 &|&+33 \\ 74\lambda&=36 &|&:74 \\ \lambda&=\frac{18}{37} \end{align}

Anschließend setzt Du \(\lambda\) in die Geradengleichung ein und berechnest den Schnittpunkt und Lotfußpunkt \(S\).

\begin{align} l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} -4 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 7\\ -5 \\ 0 \end{array}\right) \\[0.2cm] l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} -4 \\ 1 \\ 4 \end{array}\right)+\frac{18}{37} \cdot \left(\begin{array}{c} 7 \\ -5 \\ 0 \end{array}\right) \\[0.2cm] l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} -\frac{22}{37} \\ -\frac{53}{37} \\ 4 \end{array}\right) \rightarrow S\left(-\frac{22}{37}\left|-\frac{53}{37}\right|4\right) \end{align}

Zum Schluss berechnest Du den Abstand zwischen den Punkten \(P\) und \(S\). Bilde dafür den Vektor \(\overrightarrow {PS}\) und dann den Betrag dessen.

\begin{align} d(\overrightarrow{PS})&=\sqrt{\left(-\frac{22}{37}-(-4)\right)^2+\left(-\frac{53}{37}-1\right)^2+(4-4)^2} \\[0.2cm] d(\overrightarrow{PS})&=\sqrt{\left(\frac{126}{37}\right)^2+\left(-\frac{90}{37}\right)^2}\approx4,1849\,[LE] \\ \end{align}

Der Abstand zwischen der Ebene \(E\) und dem Punkt \(P\) beträgt rund \(\text{4,1849}\,[LE]\).

Frage anzeigen

Frage

Gib an, bei welcher Lagebeziehung des Punktes zur Ebene der Abstand gleich null ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Punkt liegt innerhalb der Ebene.

Frage anzeigen

Mehr zum Thema Abstand Punkt Ebene
60%

der Nutzer schaffen das Abstand Punkt Ebene Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.

Get FREE ACCESS to all of our study material, tailor-made!

Over 10 million students from across the world are already learning smarter.

Get Started for Free
Illustration