Wenn Du einen Ball in die Luft hältst, hat dieser einen bestimmten Abstand zum Fußboden. Fällt der Ball, verkleinert sich der Abstand. Wenn Du den Ball aufhebst, wird der Abstand wieder größer. In der analytischen Geometrie kannst Du den Abstand zwischen dem Fußboden und dem Ball, dann sogar berechnen. Dafür nimmst Du an, dass der Fußboden eine Ebene und der Ball ein Punkt ist. Mit welcher Formel Du in der Vektorrechnung den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene berechnen kannst, erfährst Du jetzt.
Mathe Abstand Punkt Ebene – Grundlagenwissen
Bevor Du den Abstand von einem Punkt zu einer Ebene berechnen kannst, benötigst Du einige Grundlagen.
Es existieren drei Ebenengleichungen, die Parameterform, die Normalenform und die Koordinatenform. Diese solltest Du ineinander umrechnen können.
| | Koordinatenform |
\(E: \vec{x} = \overrightarrow{OA} +s \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{v}\) | \(E:[\vec{x}-\vec{p}]\cdot \vec{n}=0 \,\, \text{mit}\,\, \vec{n} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \) | \(E: ax+by+cz=d\) |
Die Lagebeziehungen zwischen den verschiedenen geometrischen Objekten zu kennen, ist wichtig, um den Abstand zwischen nicht identischen oder sich nicht schneidenden Objekten zu berechnen.
In der Erklärung „Lagebeziehung“ erfährst Du alle möglichen Lagebeziehungen zwischen Punkt, Gerade und Ebene.
Abstand Punkt Ebene – berechnen
Wenn Du den Abstand zwischen zwei geometrischen Objekten berechnest, ist immer nach dem minimalen Abstand gefragt. Der minimale Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene lässt sich auf zwei Weisen berechnen. Einerseits kannst Du die hessesche Normalform nutzen, andererseits lässt sich der Abstand auch über das Lotfußpunktverfahren berechnen.
Abb. 1 - Abstand Punkt Ebene berechnen
Abstand Punkt Ebene – hessesche Normalform
Die hessesche Normalform ist eine spezielle Ebenengleichung.
Die Hessesche Normalform einer Ebene \(E\) ist \[E: \frac{Ax+By+Cz+d}{|\vec{n}|}=0\]
Dabei ist \(ax+by+cz+d=0\) die Koordinatenform der Ebenengleichung und \(\vec{n}\) der Normalenvektor der Ebene \(E\).
Abb. 2 - hessesche Normalform
Gleichzeitig ist die hessesche Normalform auch eine Möglichkeit, mit der Du den Abstand zwischen einer Ebene und einem Punkt berechnen kannst.
Den Abstand zwischen einem Punkt \(P\) und einer Ebene \(E\) berechnest Du mithilfe der hesseschen Normalform folgendermaßen:
- Schreibe die Ebenengleichung der Ebene \(E\) in die hessesche Normalform \(E: \frac{Ax+By+Cz+d}{|\vec{n}|}=0\) um.
- Setze den Punkt \(P\) in die hessesche Normalform der Ebene \(E\) ein.
- Berechne zum Schluss die Gleichung und Du erhältst den Abstand des Punktes \(P\) zur Ebene \(E\).
Mit dieser Reihenfolge kannst Du auch den Abstand zwischen zwei parallelen Ebenen oder einer Ebene zu einer parallelen Geraden berechnen.
Schau Dir dafür auch die Erklärungen „Lagebeziehung Gerade Ebene“ und „Abstand paralleler Ebenen“ an.
Wenn Du nun den Abstand zwischen einer Ebene und einem Punkt berechnen möchtest, überprüfe vorher, ob der Punkt in der Ebene liegt. Sobald der Punkt in der Ebene liegt, ist deren Abstand gleich null.
Wie Du eine Punktprobe durchführst, erfährst Du in der Erklärung „Punktprobe“.
Aufgabe 1
Jetzt hältst Du den Ball in dem Punkt \(P(-3|1|4)\) fest. Der Fußboden hat die Ebenengleichung \(E:2x+3y-1z=-4\). Du fragst Dich, wie tief der Ball fallen würde, wenn Du ihn loslässt.
Berechne also den Abstand des Balls zum Fußboden.
Lösung
Als Erstes stellst Du die Ebenengleichung in die hessesche Normalform um.
\begin{align}\frac{2x+3y-1z+4}{\sqrt{2^2+3^2+(-1)^2}}&=0 \\[0.2cm] \frac{2x+3y-1z+4}{\sqrt{14}}&=0 \end{align}
Jetzt setzt Du den Punkt \(P(-3|1|4)\) in die hessesche Normalform ein
\begin{align} d&=\frac{|2x+3y-1z+4|}{\sqrt{14}} \\[0.2cm] d&=\frac{|2\cdot (-3)+3\cdot 1-1\cdot 4+4|}{\sqrt{14}} \end{align}
Zum Schluss berechnest Du die Gleichung und erhältst den Abstand zwischen der Ebenen und dem Punkt.
\begin{align} d&=\frac{|-6+3-4+4|}{\sqrt{14}}\\[0.2cm] d&=\frac{|-3|}{\sqrt{14}}\\[0.2cm] d&=\frac{3}{\sqrt{14}}\,[LE]\approx \text{0,8018}\,[LE] \end{align}
Der Abstand zwischen dem Ball und dem Fußboden beträgt rund \(\text{0,8018}\,[LE]\).
Abstand Punkt Ebene – Lotfußpunkt
Das Lotfußpunktverfahren beruht auf dem Lot, welches Du immer dann fällst, wenn eine Gerade durch einen Punkt senkrecht auf der Ebene stellen sollst.
Ein Lot ist eine Gerade \(l\), die durch einen Punkt \(P\) senkrecht zu einer Ebene \(E\) verläuft. Die Gerade \(l\) steht im rechten Winkel auf der Ebene \(E\).
Der Schnittpunkt \(S\) des Lotes mit der Ebene \(E\) wird Lotfußpunkt genannt.
Abb. 3 - Lotfußpunkt
Beim Lotfußpunktverfahren berechnest Du den Abstand zwischen dem Punkt \(P\) und dem Punkt \(S\), also dem Lotfußpunkt.
Wie Du den Abstand zwischen zwei Punkten berechnest, erfährst Du in der Erklärung „Abstand zweier Punkte“.
Mithilfe dieser Schritte berechnest Du den Abstand zwischen einer Ebene \(E\) und einem Punkt \(P\).
- Stelle die Lotgerade \(l\) auf. Der Stützvektor ist der Punkt \(P\). Der Richtungsvektor ist der Normalenvektor \(\vec{n}\) der Ebene \(E\).
- Berechne den Schnittpunkt \(S\) der Ebene \(E\) mit der Lotgeraden \(l\).
- Ermittle den Abstand zwischen dem Punkt \(P\) und dem Lotfußpunkt \(S\). Nutze dafür den Betrag des Vektors \(\overrightarrow{PS}\).
Merke: Der Richtungsvektor der Lotgeraden \(l\) ist der Normalenvektor der Ebene \(E\), weil der Normalenvektor immer senkrecht auf der Ebene steht.
Diese Schrittfolge kannst Du auch bei anderen Abstandsberechnungen, wie dem Abstand von parallelen Ebenen, anwenden.
Mehr zum Lotfußpunktverfahren erfährst Du in der Erklärung „Lotfußpunktverfahren“.
Aufgabe 2
Berechne den Abstand der Ebene \(E:5y+2z=1\) zum Punkt \(P(-2|-1|-5)\).
Lösung
Zunächst stellst Du die Lotgerade \(l\) aus dem Punkt \(P\) auf, mit dem Normalenvektor der Ebene \(E\) als Richtungsvektor.
\[l:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ -5 \end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 2 \end{array}\right)\]
Danach berechnest Du den Schnittpunkt \(S\) der Ebene \(E\) mit der Lotgerade \(l\). Setze die allgemeinen Punkte der Lotgerade dafür in die Ebenengleichung ein und berechne \(\lambda\).
Wenn Du Dein Wissen zur Schnittpunktberechnung auffrischen willst, schau einmal in der Erklärung „Schnittpunkt Gerde Ebene“ vorbei.
\begin{align} 5y+2z&=1 \\ 5\cdot(-1+5\lambda)+2\cdot(-5+2\lambda)&=1 \\ -5+25\lambda-10+4\lambda&=1 \\ -15+29\lambda&=1 &|&+15 \\ 29\lambda&=16 &|&:29 \\ \lambda&=\frac{16}{29} \end{align}
Anschließend setzt Du \(\lambda\) in die Geradengleichung ein und berechnest den Schnittpunkt und Lotfußpunkt \(S\).
\begin{align} l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ -5 \end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 2 \end{array}\right) \\[0.2cm] l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} -2 \\ -1 \\ -5 \end{array}\right)+\frac{16}{29} \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ 5 \\ 2 \end{array}\right) \\[0.2cm] l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} -2 \\ \frac{51}{29} \\ -\frac{113}{29} \end{array}\right) \rightarrow S\left(-2\left|\frac{51}{29}\right|-\frac{113}{29}\right) \end{align}
Zum Schluss berechnest Du den Abstand zwischen den Punkten \(P\) und \(S\). Bilde dafür den Vektor \(\overrightarrow {PS}\) und dann dessen Betrag..
\begin{align} d(\overrightarrow{PS})&=\sqrt{(-2-(-2))^2+\left(\frac{51}{29}-(-1)\right)^2+\left(-\frac{113}{29}-(-5)\right)^2} \\[0.2cm]d(\overrightarrow{PS})&=\sqrt{0+\left(\frac{80}{29}\right)^2+\left(\frac{32}{29}\right)^2} \\[0.2cm]d(\overrightarrow{PS})&=\sqrt{\frac{6400}{841}+\frac{1024}{841}} \\[0.2cm] d(\overrightarrow{PS})&=\sqrt{\frac{256}{19}}\,[LE] \approx\text{2,9711}\,[LE] \end{align}
Der Abstand zwischen der Ebene \(E\) und dem Punkt \(P\) beträgt rund \(\text{2,9711}\,[LE]\).
Abstand Punkt Ebene – Aufgaben
Mit diesen Aufgaben kannst Du Dein eben erworbenes Wissen testen.
Aufgabe 3
Berechne den Abstand des Punktes \(P(-1|-2|1)\) zur Ebene \(E:3x-1y=6\). Nutze die hessesche Normalform.
Lösung
Als Erstes stellst Du die Ebenengleichung in die hessesche Normalform um.
\begin{align}\frac{3x-y-6}{\sqrt{3^2+(-1)^2}}&=0 \\[0.2cm] \frac{2x-y-6}{\sqrt{10}}&=0 \end{align}
Jetzt setzt Du den Punkt \(P(-3|1|4)\) in die hessesche Normalform ein
\begin{align} d&=\frac{|3x-y-6|}{\sqrt{10}} \\[0.2cm] d&=\frac{|3\cdot(-1)-(-2)-6|}{\sqrt{10}} \end{align}
Zum Schluss berechnest Du die Gleichung und erhältst den Abstand zwischen der Ebenen und dem Punkt.
\begin{align} d&=\frac{|-3+2-6|}{\sqrt{10}}\\[0.2cm] d&=\frac{|-7|}{\sqrt{10}}\\[0.2cm] d&=\frac{7}{\sqrt{10}}\,[LE]\approx \text{2,2136}\,[LE] \end{align}
Der Abstand zwischen der Ebene \(E\) und dem Punkt \(P\) beträgt rund \(\text{2,2136}\,[LE]\).
Aufgabe 4
Berechne den Abstand des Punktes \(P(-4|2|3)\) zur Ebene \(E:-x+5y-2z=3\). Nutze das Lotfußpunktverfahren.
Lösung
Zunächst stellst Du die Lotgerade \(l\) aus dem Punkt \(P\) auf, mit dem Normalenvektor der Ebene \(E\) als Richtungsvektor.
\[l:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 5 \\ -2 \end{array}\right)\]
Danach berechnest Du den Schnittpunkt der Ebene \(E\) mit der Lotgerade. Setze die allgemeinen Punkte der Lotgerade dafür in die Ebenengleichung ein und berechne \(\lambda\).
\begin{align} -x+5y-2z&=3 \\ -(-4-1\lambda)+5\cdot(2+5\lambda)-2\cdot(3-2\lambda)&=3 \\ 4+\lambda+10+25\lambda-6+4\lambda&=3 \\ 8+30\lambda&=3 &|&-8 \\ 30\lambda&=-5 &|&:30 \\ \lambda&=-\frac{1}{6} \end{align}
Anschließend setzt Du \(\lambda\) in die Geradengleichung ein und berechnest den Schnittpunkt und Lotfußpunkt \(S\).
\begin{align} l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)+\lambda \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 5 \\ -2 \end{array}\right) \\[0.2cm] l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} -4 \\ 2 \\ 3 \end{array}\right)-\frac{1}{6} \cdot \left(\begin{array}{c} -1 \\ 5 \\ -2 \end{array}\right) \\[0.2cm] l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} -\frac{23}{6} \\ \frac{7}{6} \\ \frac{10}{3} \end{array}\right) \rightarrow S\left(-\frac{23}{6}\left|\frac{7}{6}\right|\frac{10}{3}\right) \end{align}
Zum Schluss berechnest Du den Abstand zwischen den Punkten \(P\) und \(S\). Bilde dafür den Vektor \(\overrightarrow {PS}\) und dann den Betrag dessen.
\begin{align} d(\overrightarrow{PF})&=\sqrt{\left(-\frac{23}{6}-(-4)\right)^2+\left(\frac{7}{6}-2\right)^2+\left(\frac{10}{3}-3\right)^2} \\[0.2cm]d(\overrightarrow{PF})&=\sqrt{\left(\frac{1}{6}\right)^2+\left(-\frac{5}{6}\right)^2+\left(\frac{1}{3}\right)^2} \\[0.2cm]d(\overrightarrow{PF})&=\sqrt{\frac{1}{36}+\frac{25}{36}+\frac{1}{9}} \\[0.2cm] d(\overrightarrow{PF})&=\sqrt{\frac{5}{6}}\,[LE] \approx\text{0,9129}\,[LE] \end{align}
Der Abstand zwischen der Ebene \(E\) und dem Punkt \(P\) beträgt rund \(\text{0,9129}\,[LE]\).
Abstand Punkt Ebene – Das Wichtigste
- Wenn Du den Abstand zwischen zwei geometrischen Objekten berechnest, ist immer nach dem minimalen Abstand gefragt. Den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene kannst Du mithilfe der hesseschen Normalform oder dem Lotfußpunktverfahren berechnen.
- Hessesche Normaform:
- Den Abstand zwischen einem Punkt \(P\) und einer Ebene \(E\) berechnest Du mithilfe der hesseschen Normalform folgendermaßen:
- Schreibe die Ebenengleichung der Ebene \(E\) in die hessesche Normalform \(E: \frac{Ax+By+Cz+d}{|\vec{n}|}=0\) um.
- Setze den Punkt \(P\) in die hessesche Normalform der Ebene \(E\) ein.
- Berechne zum Schluss die Gleichung und Du erhältst den Abstand des Punktes \(P\) zur Ebenen \(E\).
- Lotfußpunktverfahren:
- Mithilfe dieser Schritte berechnest Du den Abstand zwischen einer Ebene \(E\) und einem Punkt \(P\).
- Stelle die Lotgerade \(l\) auf. Der Stützvektor ist der Punkt \(P\). Der Richtungsvektor ist der Normalenvektor \(\vec{n}\) der Ebene \(E\).
- Berechne den Schnittpunkt \(S\) der Ebene \(E\) mit Lotgeraden \(l\).
- Ermittle den Abstand zwischen dem Punkt \(P\) und dem Lotfußpunkt \(S\). Nutze dafür den Betrag des Vektors \(\overrightarrow{PS}\).
Nachweise
- Kowalewski. (1953) Einführung in die analytische Geometrie. De Gruyter. Berlin
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