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Abstand Punkt Ebene

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Abstand Punkt Ebene

In diesem Artikel erklären wir dir, wie der Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene durch das Lotfußpunktverfahren berechnet werden kann. Das Thema der Abstandsbestimmungen erweitert den Themenbereich Lagebeziehungen in der Geraden Ebene gehört zu dem Hauptthema Lineare Algebra des Faches Mathe.

Viel Spass beim Lernen!

Wie kann man den Abstand zwischen zwei Punkten bestimmen?

  1. Zuerst erstellst du eine Lotgerade I, die durch den Punkt P geht und senkrecht zur Ebene steht.

    via mathelike.de

  2. Es ist wichtig zu wissen, dass der Punkt P als Stützvektor und der Normalenvektor der Ebene E als Richtungsvektor der Gerade verwendet wird.
  3. Im nächsten Schritt berechnest du den Schnittpunkt S der Lotgeraden und der Ebene —> Das heißt, du musst eine Punktprobe von der Lotgeraden in der Ebene machen.
  4. Im letzten Schritt berechnest du den Abstand des Punktes P zu dem Schnittpunkt S.

Zuerst möchten wir dir erklären, wie man den Abstand zwischen zwei Punkten berechnet, damit du diesen Schritt später bei dem Lotfußpunktverfahren anwenden kannst:

Abstand zwischen zwei Punkten

Um den Abstand zwischen zwei Punkten zu berechnen, musst du den Betrag des Verbindungsvektors berechnen:

d ( P, Q ) = l PQ l = √(q1-p1)^2+(q2-p2)^2+(q3-p3)^2

Beispiel 1 zu Abstand zwischen zwei Punkten in einer Ebene:

Gegeben ist der Punkt P ( -2 l 4 l 3 ) und der Punkt Q ( 1 l 4 l 7 )

Dd ( P, Q ) = √(1 – (-2))2 + (4-4)2 + (7-3)2

= √9 + 0 + 16

= √25

= 5 LE

Beispiel 2 zu Abstand zwischen zwei Punkten in einer Ebene:

Da du jetzt weißt, wie der Abstand zwischen zwei Punkten berechnet wird, zeigen wir dir im nächsten Beispiel, wie man das Lotfußpunktverfahren anwendet und dadurch den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene berechnet:

Gegeben ist der Punkt P ( 7 I 4 I -5 ) und Ebene E : 2x + y – 2z = 1

  • Du erstellst die Lotgerade l, indem du den Punkt P ( 7 l 4 l -5 ) als Stützvektor und den Normalenvektor der Ebene E 2 1 -2 als Richtungsvektor verwendest. Dadurch entsteht die Lotgerade l : x = 7 4 -5 + r 2 1 -2
  • Du berechnest jetzt den Schnittpunkt S der Lotgeraden und der Ebene E durch eine Punktprobe von der Lotgeraden in der Ebene E:

2 x (7 + 2r) + 1 x (4 + r) -2 x (-5 – 2r) = 1

14 + 4r + 4 + r + 10 + 4r = 1 I -28

9r = -27 I :9

r = -3

  • Setze r = -3 in die Lotgerade l ein:

I : x = 7 4 -5 -3 x 2 1 -2 =7-6 4-3 -5+6 =1 1 1 ==> S ( 1 l 1 l 1 )

  • Zuletzt berechnest du den Abstand zwischen dem eben berechneten Schnittpunkt S ( 1 l 1 l 1 ) und dem bereits gegebenen Punkt P ( 7 l 4 l -5 ):

I PS I =| 1-7 1-4 1--5 |=|-6 -3 6 |

Der Abstand zwischen dem Punkt P zur Ebene E beträgt 9 LE.

Abstand Punkt Ebene – Alles Wichtige auf einen Blick!

  • Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene zu berechnen, musst du das Lotfußpunktverfahren anwenden.
  • Dafür stellst du eine Lotgerade mit dem gegebenen Punkt und dem Normalenvektor der Ebene auf.

  • Danach wird der Schnittpunkt zwischen der Ebene und der Lotgeraden berechnet.

  • Zum Schluss ermittelst du den Abstand zwischen dem zu Beginn gegeben Punkt und dem ausgerechneten Schnittpunkt.

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