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In diesem Artikel erklären wir dir, wie der Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene durch das Lotfußpunktverfahren berechnet werden kann. Das Thema der Abstandsbestimmungen erweitert den Themenbereich Lagebeziehungen in der Geraden Ebene gehört zu dem Hauptthema Lineare Algebra des Faches Mathe.
Viel Spass beim Lernen!
via mathelike.de
Zuerst möchten wir dir erklären, wie man den Abstand zwischen zwei Punkten berechnet, damit du diesen Schritt später bei dem Lotfußpunktverfahren anwenden kannst:
Um den Abstand zwischen zwei Punkten zu berechnen, musst du den Betrag des Verbindungsvektors berechnen:
d ( P, Q ) = l PQ l = √(q1-p1)^2+(q2-p2)^2+(q3-p3)^2
Gegeben ist der Punkt P ( -2 l 4 l 3 ) und der Punkt Q ( 1 l 4 l 7 )
Dd ( P, Q ) = √(1 – (-2))2 + (4-4)2 + (7-3)2
= √9 + 0 + 16
= √25
= 5 LE
Da du jetzt weißt, wie der Abstand zwischen zwei Punkten berechnet wird, zeigen wir dir im nächsten Beispiel, wie man das Lotfußpunktverfahren anwendet und dadurch den Abstand zwischen einem Punkt und einer Ebene berechnet:
Gegeben ist der Punkt P ( 7 I 4 I -5 ) und Ebene E : 2x + y – 2z = 1
2 x (7 + 2r) + 1 x (4 + r) -2 x (-5 – 2r) = 1
14 + 4r + 4 + r + 10 + 4r = 1 I -28
9r = -27 I :9
r = -3
I : x = 7 4 -5 -3 x 2 1 -2 =7-6 4-3 -5+6 =1 1 1 ==> S ( 1 l 1 l 1 )
I PS I =| 1-7 1-4 1--5 |=|-6 -3 6 |
Der Abstand zwischen dem Punkt P zur Ebene E beträgt 9 LE.
Dafür stellst du eine Lotgerade mit dem gegebenen Punkt und dem Normalenvektor der Ebene auf.
Danach wird der Schnittpunkt zwischen der Ebene und der Lotgeraden berechnet.
Zum Schluss ermittelst du den Abstand zwischen dem zu Beginn gegeben Punkt und dem ausgerechneten Schnittpunkt.
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