Das Rechteck ist eine der einfachsten geometrischen Figuren und sein Umfang kann leicht berechnet werden.
Stell dir vor, du willst beispielsweise anhand dieser Karte erkennen, wie weit es mit dem Fahrrad ist, einmal um den Ammersee zu fahren. Dann könntest du beispielsweise ein Rechteck um den See zeichnen und dessen Umfang bestimmen, um eine grobe Länge der Strecke zu erhalten.
Abbildung 1: Ammersee
Wie weit die Seerunde ist und ob das mit dem Fahrrad möglich ist, lösen wir ganz unten im Artikel auf.
Wiederholung – Eigenschaften des Rechtecks
Zuerst wollen wir aber wiederholen, was du über Rechtecke wissen solltest.
Ein Rechteck ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten jeweils parallel und gleich lang sind. Außerdem hat ein Rechteck vier rechte Winkel.
In der Skizze unten siehst du ein typisches Rechteck mit den richtigen Bezeichnungen:
Teilweise werden die Seiten des Rechtecks auch mit a, b, c und d bezeichnet. Da die gegenüberliegenden Seiten wegen der Rechteckseigenschaft allerdings gleich lang sind, entspricht die Seite c der Seite a und die Seite d der Seite b.
Eine Kennzeichnung wie unten erleichtert viele Rechenschritte, beispielsweise auch die Berechnung des Umfangs.
Abbildung 2: Klassisches Rechteck mit den üblichen Bezeichnungen
Umfang Rechteck Erklärung
In der Geometrie ist der Umfang eine Größe, die für viele ebene Figuren berechnet werden kann.
Bevor wir uns an die Berechnung machen, klären wir, was der Umfang ist.
Der Umfang einer Figur
Wahrscheinlich kennst du den Begriff des Umfangs aus dem Alltag. Bei Gesundheitschecks beim Arzt wird beispielsweise manchmal der Bauchumfang von Personen gemessen.
Abbildung 3: Messung Bauchumfang
Der Umfang einer ebenen Figur ist die Länge ihrer Randlinie.
Im oberen Bild wäre die Figur, deren Umfang mit dem Maßband gemessen wird, annähernd ein Kreis (auf Höhe des Maßbandes). Die Länge, die der Arzt misst, entspricht dabei der Randlinie des Kreises. Er kann sie direkt am Maßband ablesen.
Abbildung 4: Randlinie eines Kreises in "abgewickelter Form" als Strecke
Unten im Bild siehst du die Randlinie in "abgewickelter Form" als Strecke dargestellt. Die Länge der Strecke entspricht der Länge der Randlinie und damit auch dem Umfang des Kreises.
Beim Umfang kannst du dir immer vorstellen, dass du eine Schnur genau auf die Randlinien des geometrischen Objekts legst. Wenn du das Objekt einmal ganz umgelegt hast, kannst du die Schnur abschneiden und ihre Länge messen. So erhältst du den Umfang einer Figur.
Der Umfang des Rechtecks
Betrachte dazu noch einmal das Rechteck, das oben schon skizziert wurde:
Abbildung 5: Klassisches Rechteck mit den üblichen Bezeichnungen
Um den Umfang des Rechtecks zu bestimmen, musst du also herausfinden, wie lang seine Randlinie ist.
Hier eine einfache Darstellung des Rechtecks, auf der nur die Seiten des Rechtecks mit ihren Längen eingezeichnet sind. Wie lässt sich nun die Länge der Randlinie des Rechtecks bestimmen?
Abbildung 6: Rechteck mit Seiten und Seitenlängen
Der Trick ist, die einzelnen Seiten einfach aneinanderzulegen. Die beiden Seiten der Länge a musst du dazu drehen. Die Strecke, die sich aus den vier Teilstrecken ergibt, hat damit die Länge der Randlinie des Rechtecks.
Abbildung 7: Berechnung des Umfangs/der Länge der Randlinie
Da beide Strecken im Rechteck doppelt vorkommen, kannst du für die Berechnung des Umfangs also jede Strecke doppelt addieren.
Die Formel für die Berechnung wird oft noch vereinfacht. Mit dem Kommutativgesetz folgt:
Der Umfang eines Rechtecks mit den Seitenlängen a und b beträgt:
Umfang Rechteck berechnen
Nun zeigen wir dir noch einige Aufgaben, für die du den Umfang eines Rechtecks benötigst.
Einfache Aufgaben zum Rechtecksumfang
Aufgabe 1
Betrachte das gegebene Rechteck mit den Seitenlängen und . Berechne den Umfang des Rechtecks:
Abbildung 8: Rechteck zu Aufgabe 1
Lösung
Verwende zur Berechnung die Formel für den Umfang des Rechtecks:
Anschaulich werden auch hier die Seiten aneinander gelegt und ihre Längen addiert.
Damit folgt:
Aufgabe 2
Du weißt, dass euer rechteckiges Trampolin eine Breite von 4 m hat. Der 20 m lange Segeltau, den du in der Garage hast, reicht genau einmal um die Fläche des Trampolins herum. Wie lang ist euer Trampolin?
Lösung
Für solche Aufgaben ist es immer hilfreich, zunächst eine Skizze anzufertigen.
Das Anfertigen einer Skizze ist, vor allem bei Aufgaben in der Geometrie, fast immer eine sehr hilfreiche Lösungsstrategie und erleichtert dir das Verständnis von Aufgabenstellung, Lösungsidee und Lösungsweg.
Da das Trampolin rechteckig ist, darfst du ein Rechteck skizzieren. Die Breite ist mit gegeben, die Länge willst du berechnen. Daher ist die Breite in dieser Aufgabe die Unbekannte x:
Abbildung 9: Rechteck zu Aufgabe 2
Du weißt außerdem, dass das Seil mit Länge 20 m genau einmal um die Trampolinfläche herumreicht. Das bedeutet, dass der Umfang der Trampolinfläche 20 m beträgt.
Daher gilt:
Außerdem kannst du mit der Formel berechnen:
Setzt man diese beiden Informationen gleich, erhält man:
Per Gleichungsumformung oder mit logischem Ausprobieren erhältst du:
Nun weißt du, dass euer Trampolin 6 m lang ist.
Falls du schon weißt, wie man den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet, kannst du auch die nächste Aufgabe schon lösen. Die beiden Größen Flächeninhalt und Umfang werden in Aufgaben oft kombiniert.
Aufgabe 3
Von einem Rechteck weißt du, dass sein Flächeninhalt beträgt. Außerdem weißt du, dass es 3 cm breit ist. Was ist der Umfang des Rechtecks?
Lösung
Erstelle wieder zunächst eine Skizze:
Abbildung 10: Rechteck zu Aufgabe 3
Jetzt benötigst du die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks.Sie lautet für ein Rechteck mit Seitenlängen a und b:
Damit lässt sich der Flächeninhalt mit a und b wie folgt ausdrücken:
Aus der Angabe wissen wir:
Durch Gleichsetzen erhält man:
Mit Division (durch 3) folgt:
Das heißt, dass das Rechteck 7 cm lang ist.
Den Umfang berechnest du nun mit der üblichen Formel:
Komplexe Aufgaben zum Rechtecksumfang
Waren die ersten drei Aufgaben zu leicht für dich? Dann kannst du mit den folgenden Aufgaben erneut richtig durchstarten!
Aufgabe 4
Dein älterer Bruder stellt dir ein Zahlenrätsel:
"Mein Schreibtisch ist dreimal so lang, wie er breit ist. Sein Umfang beträgt 4 m. Was sind die Maße meines Schreibtischs?"
Versuche, das Rätsel zu lösen.
Lösung
Erstelle zunächst wieder eine Skizze der Situation:
Abbildung 11: Rechteck zu Aufgabe 4
Bislang weißt du nur, dass die Strecke b dreimal so lang ist wie die Strecke a.
Mathematisch lässt sich das ausdrücken mit .
Um eine sinnvolle Berechnung anzustellen, müssen wir nun eine Variable x einführen und die zu berechnenden Seiten a und b mit x ausdrücken. Dafür verwenden wir die Beziehung von a und b.
Setze:
Dann gilt:
Mit der Formel für den Rechtecksumfang ergibt sich dadurch:
Laut Angabe gilt außerdem:
Daher gilt:
Division durch 8 ergibt:
Daraus folgt:
Die Länge b berechnet sich durch:
Nun wollen wir letztendlich noch das Einstiegsbeispiel auflösen:
Aufgabe 5
Du willst anhand der folgenden Karte herausfinden, welchen Umfang der Ammersee hat und ob es möglich ist, ihn mit dem Fahrrad zu umfahren:
Abbildung 12: Ammersee
Lösung
Zeichne zunächst ein Hilfsrechteck in die Skizze ein.
Abbildung 13: Ammersee mit Hilfsrechteck
Anhand des Maßstabes müssen nun für das Rechteck die entsprechenden Seitenlängen a und b bestimmt werden.
Die Strecke b ist im Original 5 km lang, die Strecke a ist 8 km lang.
Der Umfang des Rechtecks berechnet sich damit zu:
Daraus folgt dann, dass auch der Umfang des Ammersees in etwa 38 km beträgt.
Verfahren dieser Art liefern in der Regel einen groben Richtwert, sind allerdings nicht immer ganz genau. Trotzdem werden sie in der Mathematik oft verwendet, um Rechnungen zu vereinfachen.
Je nach Fitness kann man den Ammersee mit seinen circa 40 km Umfang gut an einem Tag mit dem Fahrrad umrunden.
Umfang Rechteck - Das Wichtigste
- Der Umfang einer Figur entspricht der Länge der Randlinie.
- Den Umfang eines Rechtecks mit gegebenen Seitenlängen kann man leicht berechnen.
- Formel für den Umfang eines Rechtecks mit Seitenlängen a und b:
- Von einigen Figuren kann der Umfang näherungsweise berechnet werden, indem ein passendes Rechteck eingefügt wird
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