Wenn Geraden und Ebenen in einem dreidimensionalen Koordinatensystem liegen, dann kommen Begriffe wie Koordinatenebenen und Spurpunkte ins Spiel. Spurpunkte können sowohl von Geraden, als auch von Ebenen berechnet werden. Doch was genau sind Spurpunkte eigentlich?
Spurpunkte – Definition
Spurpunkte tauchen bei der Untersuchung von Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Koordinatensystem auf. Es gibt einen Unterschied zwischen Spurpunkten von Geraden und Spurpunkten von Ebenen. Um das Prinzip von Spurpunkten im Allgemeinen zu verstehen, solltest Du zunächst einen Blick auf das dreidimensionale Koordinatensystem werfen.
Abbildung 1: dreidimensionales Koordinatensystem
Das dreidimensionale Koordinatensystem hat drei Achsen:
Weil es drei Koordinatenachsen gibt, gibt es auch drei Koordinatenebenen. Es gibt die xy-Ebene, die yz-Ebene und die xz-Ebene. Die xy-Ebene ist in dieser Abbildung hellgrau und bildet die Grundfläche. Die yz-Ebene ist hier blau und die xz-Ebene ist orange.
Liegt ein Punkt auf der xy-Ebene, so entspricht die z-Koordinate bei allen Punkten, die auf dieser Koordinatenebene liegen, gleich null: ![]()
Liegt ein Punkt auf der yz-Ebene, so entspricht die x-Koordinate aller Punkte, die auf dieser Koordinatenebene liegen, gleich null: ![]()
Liegt ein Punkt auf der xz-Ebene, so entspricht die y-Koordinate jedes Punkts, der auf dieser Koordinatenebene liegt, gleich null: ![]()
Spurpunkte – Gerade
Du hast Dir die drei Koordinatenebenen angeschaut. Verläuft jetzt eine Gerade durch das dreidimensionale Koordinatensystem, so muss sie mindestens eine der drei Koordinatenebenen xy, yz und xz durchschneiden oder durchstoßen. Das heißt, die Gerade hat Schnittpunkte mit mindestens einer dieser Koordinatenebenen.
Abbildung 2: Gerade mit Spurpunkten
Hier sieht man eine Gerade, die die Koordinatenebene xy im Punkt ![]()
, die Koordinatenebene xz im Punkt ![]()
und die Koordinatenebene yz im Punkt ![]()
schneidet. Diese drei Punkte sind die Spurpunkte der Gerade g.
Wie Du diese Spurpunkte berechnest, erfährst Du im Abschnitt "Spurpunkte berechnen".
Spurpunkte – Ebene
Die Spurpunkte einer Ebene sind die Punkte, an denen eine Ebene die Koordinatenachsen schneidet. Diese Spurpunkte können in jeder Form der Ebenengleichung berechnet werden.
Die Berechnung der Spurpunkte einer Ebene findest Du ebenfalls im Abschnitt "Spurpunkte berechnen".
Abbildung 3: Ebene mit Spurpunkten
Wie Du siehst, schneidet die Ebene die Koordinatenachsen an den Punkten ![]()
. Das ist mit dem Dreieck dargestellt. Dieses hat seine Eckpunkte an den Punkten, an denen die Ebene jeweils die Achsen schneidet.
Spurpunkte berechnen
Jetzt geht es ans Rechnen. Dabei greifen die Beispiele die oben aufgeführten Abbildungen wieder auf.
Spurpunkte einer Geraden berechnen
Die Spurpunkte einer Geraden berechnest Du mit der Parameterform der Geradengleichung. Allgemein gehst Du folgendermaßen vor:
Schritt 1: Parameter s berechnen
Eine Koordinate gleich null setzen, da der gesuchte Spurpunkt immer eine Koordinatenebene nicht berührt und somit die Koordinaten dieser Ebene gleich 0 sind, und nach Parameter s auflösen.
Schritt 2: s in Geradengleichung einsetzen
Den berechneten Wert für Parameter s in die Geradengleichung der Gerade einsetzen.
Schritt 3: Koordinaten berechnen
Die Koordinaten für den gesuchten Spurpunkt S berechnen.
Und welche Koordinate setzt Du wann gleich null?
In Schritt 1 ist beschrieben, dass Du eine Koordinate gleich null setzt, um nach Parameter s aufzulösen. Welche Koordinate Du gleich null setzt, kommt auf den gesuchten Spurpunkt an.
Für Spurpunkt ![]()
setzt Du die erste Zeile der Geradengleichung gleich null. In der ersten Zeile stehen nämlich die x-Koordinaten. Weil die Gerade an diesem Spurpunkt nur die yz-Ebene durchstößt, ist die x-Koordinate gleich null.
Für Spurpunkt ![]()
setzt Du die zweite Zeile der Geradengleichung gleich null.
Für Spurpunkt ![]()
setzt Du die dritte Zeile der Geradengleichung gleich null.
Abbildung 4: Gerade mit Spurpunkten
Die Gerade hat die Geradengleichung
![]()
.
Wenn Du jetzt die Spurpunkte von der Geraden g berechnen willst, gehst Du folgendermaßen vor:
Schritt 1: Parameter s berechnen
Du weißt, dass der Spurpunkt ![]()
auf der yz-Ebene liegt. Das heißt, der Punkt ![]()
hat in seiner x-Koordinate einen Wert von null, da der Punkt die Koordinatenebene von x in keinem Punkt berührt. Demnach kannst Du für x null einsetzen. Das heißt, Du nimmst die erste Zeile der Geradengleichung und setzt sie gleich null.
Die erste Zeile der Geradengleichung ist Folgende:
![]()
![]()
Jetzt hast Du einen Wert für den Parameter s und kannst den Wert in die Geradengleichung einsetzen, um die Koordinaten von Punkt ![]()
zu berechnen.
Schritt 2: s in die Geradengleichung einsetzen
![]()
Schritt 3: Koordinaten berechnen
![]()
Nun hast Du den Spurpunkt ![]()
mit den Koordinaten ![]()
berechnet.
In gleicher Weise gehst Du jetzt auch mit den anderen Spurpunkten ![]()
und ![]()
vor.
Um ![]()
zu berechnen, musst Du dieses Mal nicht die erste Zeile der Geradengleichung gleich null setzen, sondern die Zweite.
Das liegt daran, dass der Spurpunkt ![]()
die Koordinatenebene der y-Achse nicht berührt, denn der Punkt ![]()
schneidet die xz-Ebene. Weil die y-Koordinatenebene nicht berührt wird, kannst Du die zweite Zeile, also die Zeile mit den y-Koordinaten, gleich null setzen. Die zweite Zeile ist orange markiert:
![]()
Schritt 1: Parameter s berechnen
![]()
Schritt 2: Parameter s in Geradengleichung einsetzen
![]()
Schritt 3: Koordinaten berechnen
![]()
Der Spurpunkt ![]()
hat die Koordinaten ![]()
.
Für den Spurpunkt ![]()
gehst Du genauso vor.
Den Spurpunkt ![]()
berechnest Du mit der gleichen Vorgehensweise von ![]()
und ![]()
, nur dass Du in diesem Fall die dritte Zeile gleich null setzen musst. Denn der Spurpunkt ![]()
berührt nur die xy-Ebene. Deshalb kannst Du die Zeile, in der die z-Koordinaten stehen, gleich null setzen. Die dritte Zeile ist hellgrau markiert:
![]()
Schritt 1: Parameter s berechnen
![]()
Schritt 2: Parameter s in Geradengleichung einsetzen
![]()
Schritt 3: Koordinaten berechnen
![]()
Der Spurpunkt ![]()
hat die Koordinaten ![]()
.
Somit gibt es drei Schritte, die Du immer anwenden kannst, um die Spurpunkte einer Gerade zu berechnen.
Spurpunkte einer Ebene bestimmen
Um die Spurpunkte einer Ebene zu bestimmen, benötigst Du eine Gleichung, die die Ebene beschreibt. In diesem Beispiel wird zur Veranschaulichung mit der Parameterform und der Koordinatenform gerechnet, denn Du kannst die Spurpunkte in jeder Form von Ebenengleichung berechnen.
Abbildung 5: Ebene mit Spurpunkten
Die Parameterform dieser Ebene ist
![]()
.
Die Koordinatenform dieser Ebene ist
![]()
.
Da die Spurpunkte einer Ebene gleich den Schnittpunkten der Achsen sind, werden sie nach den Achsen benannt (![]()
).
Um jetzt die Spurpunkte zu berechnen, musst Du nur für alle anderen Werte, außer dem gesuchten Wert, null einsetzen. Dadurch erhältst Du ein Gleichungssystem, das Du nach den Parametern s und t lösen kannst, um den Koordinatenwert zu ermitteln.
Spurpunkt ![]()
Parameterform:
![]()
Die Koordinaten des Spurpunkts ![]()
sind demnach ![]()
.
Koordinatenform:
![]()
Spurpunkt ![]()
Parameterform:
![]()
Die Koordinaten des Spurpunkts ![]()
sind demnach ![]()
.
Koordinatenform:
![]()
Spurpunkt ![]()
Parameterform:
![]()
Die Koordinaten des Spurpunkts ![]()
sind![]()
.
Koordinatenform:
![]()
Die Spurpunkte einer Ebene entsprechen den Schnittpunkten der Ebene mit den Koordinatenachsen. Demzufolge hat ein Spurpunkt einer Ebene immer nur einen Koordinatenwert. Die restlichen Koordinaten entsprechen null.
Spurpunkte Vektoren – Aufgaben
Wie Du die Spurpunkte einer Geraden und einer Ebene berechnest, hast Du oben gesehen. Jetzt bist Du dran mit Rechnen!
Solltest Du an einer Stelle hängen bleiben oder nicht mehr weiterkommen, scrolle gerne hoch und schaue Dir die Schritte noch einmal genau an.
Aufgabe 1
Gegeben ist die Geradengleichung der Gerade
![]()
.
Berechne die Spurpunkte der Gerade f und zeichne die Gerade mit den berechneten Spurpunkten in ein dreidimensionales Koordinatensystem ein.
Lösung
Um die Spurpunkte zu berechnen, musst Du die jeweilige Zeile gleich null setzen, die nicht mit dem gesuchten Spurpunkt zusammenhängt. Bei Spurpunkt ![]()
ist das die erste Zeile, da dieser Spurpunkt den Stoßpunkt der Gerade durch die yz-Ebene darstellt und die x-Koordinate demnach gleich null ist.
![]()
Somit hast Du den Parameter s für den Spurpunkt ![]()
berechnet und kannst ihn nun in die Geradengleichung von der Gerade f einsetzen, um die Koordinaten des Spurpunkts zu ermitteln.
![]()
Der Spurpunkt ![]()
hat die Koordinaten ![]()
.
Zur Berechnung von Spurpunkt ![]()
setzt Du die zweite Zeile gleich null, um den Parameter s für diesen Spurpunkt zu ermitteln.
![]()
Den errechneten Wert für Parameter s setzt Du wieder in die Geradengleichung für f ein, um die Koordinaten des Spurpunkts zu berechnen.
![]()
Der Spurpunkt ![]()
hat die Koordinaten ![]()
.
Bei Spurpunkt ![]()
gehst Du genauso vor, nur dass Du jetzt die dritte Zeile gleich null setzt, da die z-Koordinate dieses Spurpunkts gleich 0 ist.
![]()
Diesen Wert für Parameter s setzt Du dann in die Geradengleichung für Gerade f ein, um die Koordinaten des Spurpunkts ![]()
zu berechnen.
![]()
Die Koordinaten von Spurpunkt ![]()
sind ![]()
. Mithilfe dieser drei Spurpunkte kannst Du jetzt die Gerade in ein dreidimensionales Koordinatensystem einzeichnen.
Abbildung 6: Gerade mit Spurpunkten
Somit kannst Du den drei Schritten zur Berechnung von Spurpunkten immer so folgen.
Aufgabe 2
Gegeben ist die Geradengleichung der Gerade
![]()
.
Berechne die Koordinaten der Spurpunkte dieser Gerade und zeichne die Gerade mit den berechneten Spurpunkten in ein dreidimensionales Koordinatensystem ein.
Lösung
Zuerst berechnest Du die Spurpunkte. Als Erstes wird der Spurpunkt ![]()
errechnet. Dazu setzt Du die erste Zeile gleich null und löst nach dem Parameter auf.
![]()
Danach setzt Du den Wert für Parameter s in die Geradengleichung ein und berechnest damit die Koordinaten des Spurpunkts ![]()
.
![]()
Der Spurpunkt ![]()
hat die Koordinaten ![]()
.
Anschließend berechnest Du die Koordinaten des Spurpunkts ![]()
. Dafür setzt Du die zweite Zeile gleich null und löst nach Parameter s auf.
![]()
Den Wert für Parameter s setzt Du in die Geradengleichung von h ein und berechnest dann die Koordinaten des Spurpunkts ![]()
.
![]()
Der Spurpunkt ![]()
liegt bei der Koordinate ![]()
.
Jetzt bist Du beim letzten gesuchten Spurpunkt angelangt – und zwar ![]()
. Dafür setzt Du die dritte Zeile gleich null und löst nach Parameter s auf.
![]()
Den Wert für Parameter s setzt Du in die Geradengleichung von h ein und berechnest somit die Koordinaten des Spurpunkts ![]()
.
![]()
Wie Du siehst, sind Spurpunkt ![]()
und Spurpunkt ![]()
![]()
identisch. Mithilfe der drei berechneten Spurpunkte kannst Du jetzt die Gerade h in ein dreidimensionales Koordinatensystem einzeichnen.
Abbildung 7: Gerade mit Spurpunkten
Spurpunkte – Das Wichtigste
- Spurpunkte gibt es sowohl bei Geraden als auch bei Ebenen im dreidimensionalen Raum.
- Bei Geraden stellen sie die Schnittpunkte mit den drei Koordinatenebenen (yz, xz, xy) dar.
- Bei Ebenen sind Spurpunkte die Schnittpunkte der Ebene mit den drei Koordinatenachsen.
![]()
ist der Spurpunkt auf der yz-Ebene, ![]()
der Spurpunkt auf der xz-Ebene und ![]()
der Spurpunkt auf der xy-Ebene. Du berechnest sie in drei Schritten:- 1. Die jeweilige Zeile der Geradengleichung gleich null setzen (bei
![]()
die erste, bei ![]()
die zweite und bei ![]()
die dritte Zeile) und nach Parameter s auflösen. - 2. Den berechneten Wert für Parameter s in die Geradengleichung einsetzen.
- 3. Die Koordinaten des Spurpunkts berechnen.
![]()
sind die Spurpunkte einer Ebene. Du berechnest sie folgendermaßen:- 1. Gleichungssystem aus Ebenengleichung aufstellen.
- 2. Für die Koordinaten, dessen Achsen nicht geschnitten werden, in der Ebenengleichung null einsetzen.
- 3. Nach gesuchter Koordinate auflösen.
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