Kosinussatz

Tom hat einen kleinen See bei sich in der Nähe, in dem er gerne schwimmen geht. Am liebsten schwimmt er einmal quer durch. Gerne möchte Tom wissen, wie viele Meter er dabei zurücklegt. Da er die Strecke im See nicht messen kann, überlegt sich Tom einen Plan. Er legt eine lange Schnur von der Einstiegsstelle zu einem Punkt, den er gut erreichen kann und von dort zu seiner Ausstiegsstelle. Dann misst er die Länge der Abschnitte und bestimmt mit einem großen Geodreieck den Winkel zwischen den Schnüren. Mithilfe des Kosinussatzes für beliebige Dreiecke kann Tom mit diesen Werten seine Schwimmstrecke berechnen. Die Schwimmstrecke und die beiden Schnüre ergeben zusammen nämlich ein Dreieck.

Abbildung 1: Skizze des Sees

Kosinussatz – Erklärung

Der Kosinussatz ist – gemeinsam mit dem Sinussatz – ein wichtiger Satz der Trigonometrie. Du kannst ihn verwenden, um eine fehlende Seite oder einen Winkel in einem beliebigen Dreieck auszurechnen. Er drückt den Zusammenhang zwischen den drei Seiten eines Dreiecks und einem Winkel aus. Der Kosinussatz gilt in jedem beliebigen Dreieck.

Formeln

Wenn zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel gegeben sind, kannst Du die dritte Seite mithilfe des Kosinussatzes berechnen. Die dritte Seite ist die gegenüberliegende Seite des Winkels. Sind alle drei Seiten gegeben, kannst Du jeden Winkel berechnen.

Dabei gilt zu merken: Wenn Du zum Beispiel die Seite a berechnen willst, benötigst Du die Seiten b und c sowie den von b und c eingeschlossenen Winkel $\alpha$. Das ist immer der gegenüberliegende Winkel der gesuchten Seite.

Diese Formel des Kosinussatzes kannst Du anwenden, um zum Beispiel die Schwimmstrecke aus dem Einstiegsbeispiel mit Toms Schwimmstrecke zu berechnen.

Kosinussatz als Satz des Pythagoras in rechtwinkligen Dreiecken

In rechtwinkligen Dreiecken ABC mit $\gamma =90°$entspricht der Kosinussatz $c^2=a^2+b^2-2ab·\cos \left(\gamma \right)$ genau dem Satz des Pythagoras. Für einen 90°-Winkel ist der Kosinus dieses Winkels genau 0, es gilt $\cos \left(90\right)=0$. Deswegen ist:

$\begin{array}{rcl}{c}^2& =& a^2+b^2-2ab·\cos \left(90\right)\\ & =& a^2+b^2-2ab·0\\ & =& a^2+b^2\end{array}$

Die Gleichung entspricht dann genau dem Satz des Pythagoras, der in allen rechtwinkligen Dreiecken gilt.

Kosinussatz umstellen

Manchmal ist es sinnvoll, den Kosinussatz umzustellen. Vor allem dann, wenn Du keine Seite des Dreiecks, sondern einen Winkel des Dreiecks berechnen willst.

Kosinussatz nach Winkel umstellen

Wenn alle drei Seiten eines beliebigen Dreiecks gegeben sind, kannst Du mithilfe des Kosinussatzes einen Winkel berechnen. Dazu stellst Du den Kosinussatz nach dem Winkel um. Je nachdem, welchen Winkel im Dreieck Du berechnen möchtest, wählst Du den Kosinussatz so, dass dieser Winkel auch in ihm auftaucht.

Willst Du zum Beispiel den Winkel $\alpha$ berechnen, verwendest Du den Kosinussatz, der $a^2$ ausrechnet. Die Seite $a$ist stets die gegenüberliegende Seite des Winkels $\alpha$. Dort kommt, im Gegensatz zu den anderen Varianten, der Winkel $\alpha$ vor:

$a^2=b^2+c^2-2bc·\cos \left(\alpha \right)$

Jetzt formst Du den Kosinussatz so um, dass $\alpha$ alleine steht. Es gilt:

$\begin{array}{ccc}{a}^2=b^2+c^2-2bc·\cos \left(\alpha \right)& & |-b^2-c^2\\ & & \\ a^2-b^2-c^2=-2bc·\cos \left(\alpha \right)& & |:(-2bc)\\ & & \\ \frac{-a^2+b^2+c^2}{2bc}=\cos \left(\alpha \right)& & \end{array}$

Nun hast Du den Kosinus des Winkels berechnet. Da aber der Winkel berechnet werden soll und nicht der Kosinus, musst Du diesen noch umkehren:

$$\begin{gathered} \beta ={\cos }^{-1}\left(\frac{-b^2+a^2+c^2}{2ac}\right) \\ \gamma ={\cos }^{-1}\left(\frac{-c^2+a^2+b^2}{2ac}\right) \end{gathered}$$

Kosinussatz nach Seite umstellen

Es ist nicht sinnvoll, den Kosinussatz nach einer anderen Seite des Dreiecks umzustellen. Wenn Du zum Beispiel den Kosinussatz $b^2=a^2+c^2-2ac·\cos \left(\beta \right)$ gewählt hast, Dir aber auffällt, dass Du a berechnen willst, kannst Du den Kosinussatz nicht umformen. In dieser Variante kommt a sowohl als Quadrat als auch einfach vor. Deswegen kannst Du nicht nach a umformen. Stattdessen wählst Du eine andere Variante des Kosinussatzes. Ist die gesuchte Seite nicht gegenüberliegend zum gegebenen Winkel, kannst Du auch nicht einen anderen Kosinussatz verwenden und ihn umstellen. Hier kann der Kosinussatz dann nicht angewendet werden.

Kosinussatz – Herleitung und Beweis

Um zu prüfen, ob Du die richtige Formel für eine Rechnung ausgewählt hast, kannst Du sie beweisen und mit einer Herleitung überprüfen, wie Du überhaupt zu dieser Formel kommst. So kannst Du beispielsweise den Kosinussatz herleiten.

Um den Kosinussatz zu beweisen, kannst Du als Grundlage den Satz des Pythagoras verwenden. Er gilt aber nur in rechtwinkligen Dreiecken. Wenn Du in ein beliebiges spitzwinkliges Dreieck eine Höhe $h_c$ wie in Abbildung 4 einzeichnest, erhältst Du zwei rechtwinklige Dreiecke. Die Höhe $h_c$ teilt die Seite $c$ in die Abschnitte $c_1$ und $c_2$.

Im rechtwinkligen Dreieck kannst Du jetzt den Satz des Pythagoras anwenden:

Im Kosinussatz kommen $c_2$ und $h_c$ aber gar nicht vor. Um diese Ausdrücke zu ersetzen, kannst Du die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus nutzen:

$\begin{array}{rcl}\sin \left(\alpha \right)& =& \frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}\\ & & \\ \cos \left(\alpha \right)& =& \frac{Ankathete}{Hypotenus}\end{array}$

Daraus ergibt sich für den Winkel $\alpha$:

$\sin \left(\alpha \right)=\frac{h_c}{b}$

Das kannst Du nach $h_c$ umstellen und erhältst:

$h_c=b·\sin \left(\alpha \right)$

Genauso kannst Du auch für $c_1$ und den Kosinus vorgehen:

$\begin{array}{ccc}& \cos \left(\alpha \right)=\hspace{0.17em}\frac{c_1}{b}& |·b\\ \Rightarrow & b·\cos \left(\alpha \right)=c_1& \end{array}$

Mithilfe von $c_1$ kannst Du auch $c_2$ ausdrücken und dann $c_1$ ersetzen:

$\begin{array}{cc}& c_2=c-c_1\\ \Rightarrow & c_2=c-b·cos\left(\alpha \right)\end{array}$

Jetzt hast Du je eine Gleichung, die nach $h_c$ bzw. $c_2$ aufgelöst ist. Du kehrst wieder zum Satz des Pythagoras $a^2={c_2}^2+{h_c}^2$ zurück und ersetzt $c_2$ sowie $h_c$ mithilfe dieser Gleichungen.

$$\begin{gathered} a^2={c_2}^2+{h_c}^2 \\ {a}^2=(c-b·cos{\left(\alpha \right))}^2+(b·sin{\left(\alpha \right))}^2 \end{gathered}$$

Als Nächstes rechnest Du die rechte Seite der Gleichung weiter aus und formst um. Neben den Umformungsschritten ist aufgelistet, wieso hier umgeformt wurde.

$\begin{array}{rcl}& & \begin{array}{ccc}{a}^2=(c-b·cos{\left(\alpha \right))}^2+(b·sin{\left(\alpha \right))}^2& & |BinomischeFormelbzw.Potenzgesetz\\ =c^2-2cb·\cos \left(\alpha \right)+(b·\cos {\left(\alpha \right))}^2+b^2·{\sin }^2(\alpha )& & |Potenzgesetz\\ =c^2-2cb·\cos \left(\alpha \right)+b^2·{\cos }^2\left(\alpha \right)+b^2·\sin {\left(\alpha \right)}^2& & |b^{2}ausklammern\\ =c^2-2cb·\cos \left(\alpha \right)+b^2·({\cos }^2\left(\alpha \right)+\sin {}^2\left(\alpha \right))& & |{\cos }^2\left(\alpha \right)+{\sin }^2(\alpha )=1\\ =c^2-2cb·\cos \left(\alpha \right)+b^2·1& & |Reihenfolgeändern\\ =b^2+c^2-2cb·\cos \left(\alpha \right)& & \end{array}\\ & & \end{array}$

Durch die Umformungsschritte erhältst Du zusammengefasst den Kosinussatz:

$a^2=b^2+c^2-2cb·\cos \left(\alpha \right)$

Wenn Du zu Beginn eine andere Höhe des Dreiecks wählst, kannst Du mit dem gleichen Weg die anderen Formeln des Kosinussatzes herleiten.

Am Anfang des Beweises wurde angenommen, dass alle Winkel des Dreiecks spitzwinklig sind. Der Kosinussatz lässt sich aber auch für ein stumpfwinkliges Dreieck beweisen.

Kosinussatz und Sinussatz – Anwendungsunterschied

Sowohl der Kosinussatz als auch der Sinussatz gelten in jedem beliebigen Dreieck. Beiden Sätze kannst Du nutzen, um fehlende Seiten oder Winkel zu berechnen. Doch wann wendest Du den Kosinussatz an und wann den Sinussatz an?

Den Kosinussatz kannst Du gut anwenden, wenn:

• zwei Seiten sowie der davon eingeschlossene Winkel gegeben sind und Du die dem Winkel gegenüberliegende Seite berechnen möchtest.

• alle drei Seiten des Dreiecks gegeben sind und Du einen Winkel berechnen möchtest.

Den Sinussatz kannst Du gut anwenden, wenn:

• zwei Winkel und eine Seite gegeben sind. Dabei liegt diese Seite einem gegebenen Winkel gegenüber und Du möchtest die Seite berechnen, die dem anderen Winkel gegenüberliegt.

• zwei Seitenlängen sowie der Winkel, der der längeren Seite gegenüberliegt, gegeben sind und Du den Winkel berechnen möchtest, der der kürzeren Seite gegenüberliegt.

Kosinussatz – Aufgaben

Mit den folgenden Aufgaben kannst Du das Anwenden des Kosinussatzes in beliebigen Dreiecken üben.