Wie geht der Kosinussatz?

Der Kosinussatz für ein Dreieck ABC lautet a2=b2+c2-2bc·cos(α).

Kosinussatz

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Tom hat einen kleinen See bei sich in der Nähe, in dem er gerne schwimmen geht. Am liebsten schwimmt er einmal quer durch. Gerne möchte Tom wissen, wie viele Meter er dabei zurücklegt. Da er die Strecke im See nicht messen kann, überlegt sich Tom einen Plan. Er legt eine lange Schnur von der Einstiegsstelle zu einem Punkt, den er gut erreichen kann und von dort zu seiner Ausstiegsstelle. Dann misst er die Länge der Abschnitte und bestimmt mit einem großen Geodreieck den Winkel zwischen den Schnüren. Mithilfe des Kosinussatzes für beliebige Dreiecke kann Tom mit diesen Werten seine Schwimmstrecke berechnen. Die Schwimmstrecke und die beiden Schnüre ergeben zusammen nämlich ein Dreieck.

Kosinussatz Breite des Sees StudySmarter Abbildung 1: Skizze des Sees

Kosinussatz – Erklärung

Der Kosinussatz ist – gemeinsam mit dem Sinussatz – ein wichtiger Satz der Trigonometrie. Du kannst ihn verwenden, um eine fehlende Seite oder einen Winkel in einem beliebigen Dreieck auszurechnen. Er drückt den Zusammenhang zwischen den drei Seiten eines Dreiecks und einem Winkel aus. Der Kosinussatz gilt in jedem beliebigen Dreieck.

Formeln

Wenn zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel gegeben sind, kannst Du die dritte Seite mithilfe des Kosinussatzes berechnen. Die dritte Seite ist die gegenüberliegende Seite des Winkels. Sind alle drei Seiten gegeben, kannst Du jeden Winkel berechnen.

Für ein beliebiges Dreieck ABC mit den Beschriftungen wie in Abbildung 2 gilt der Kosinussatz:

$\begin{array}{rcl} a^{2} & = & b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot \cos (α) \\ b^{2} & = & a^{2} + c^{2} - 2 a c \cdot \cos (β) \\ c^{2} & = & a^{2} + b^{2} - 2 a b \cdot \cos (γ) \end{array}$

Kosinussatz Beschriftungen Dreieck StudySmarter Abbildung 2: Beschriftungen eines Dreiecks

Dabei gilt zu merken: Wenn Du zum Beispiel die Seite a berechnen willst, benötigst Du die Seiten b und c sowie den von b und c eingeschlossenen Winkel $α$ . Das ist immer der gegenüberliegende Winkel der gesuchten Seite.

Diese Formel des Kosinussatzes kannst Du anwenden, um zum Beispiel die Schwimmstrecke aus dem Einstiegsbeispiel mit Toms Schwimmstrecke zu berechnen.

Gegeben sind in dem Dreieck die Seiten $b = 40 m$ und $c = 50 m$ . Die Schwimmstrecke $a$ ist gesucht und ist die gegenüberliegende Seite des gegebenen Winkels. Der von $b$ und $c$ eingeschlossene Winkel ist $α$ . Es gilt $α = 80 °$ .

Kosinussatz Anwendungsaufgabe Dreieck StudySmarter Abbildung 3: See und Dreieck

Zuerst ziehst Du die Wurzel, damit Du mit dem Kosinussatz nicht $a^{2}$ sondern $a$ berechnest. Es gilt:

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot \cos (α) & | \sqrt{} \\ a = \sqrt{b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot \cos (α)} \end{matrix} \end{array}$

Jetzt kannst Du die Werte einsetzen:

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} a = \sqrt{40^{2} + 50^{2} - 2 \cdot 40 \cdot 50 \cdot \cos (80}) \\ a = 58, 36 \end{matrix} \end{array}$

Toms Schwimmstrecke ist also 58,36 Meter lang.

Mit dem Kosinussatz berechnest Du Seitenlängen von Dreiecken. Dabei gibt es nur eine Lösung, obwohl Du eine Wurzel gezogen hast. Die Lösung muss immer positiv sein, da eine negative Zahl für Seitenlängen keinen Sinn ergibt.

Kosinussatz als Satz des Pythagoras in rechtwinkligen Dreiecken

In rechtwinkligen Dreiecken ABC mit $γ = 90 °$ entspricht der Kosinussatz $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cdot \cos (γ)$ genau dem Satz des Pythagoras. Für einen 90°-Winkel ist der Kosinus dieses Winkels genau 0, es gilt $\cos (90) = 0$ . Deswegen ist:

$\begin{array}{rcl} c^{2} & = & a^{2} + b^{2} - 2 a b \cdot \cos (90) \\ = & a^{2} + b^{2} - 2 a b \cdot 0 \\ = & a^{2} + b^{2} \end{array}$

Die Gleichung entspricht dann genau dem Satz des Pythagoras, der in allen rechtwinkligen Dreiecken gilt.

Kosinussatz umstellen

Manchmal ist es sinnvoll, den Kosinussatz umzustellen. Vor allem dann, wenn Du keine Seite des Dreiecks, sondern einen Winkel des Dreiecks berechnen willst.

Kosinussatz nach Winkel umstellen

Wenn alle drei Seiten eines beliebigen Dreiecks gegeben sind, kannst Du mithilfe des Kosinussatzes einen Winkel berechnen. Dazu stellst Du den Kosinussatz nach dem Winkel um. Je nachdem, welchen Winkel im Dreieck Du berechnen möchtest, wählst Du den Kosinussatz so, dass dieser Winkel auch in ihm auftaucht.

Willst Du zum Beispiel den Winkel $α$ berechnen, verwendest Du den Kosinussatz, der $a^{2}$ ausrechnet. Die Seite $a$ ist stets die gegenüberliegende Seite des Winkels $α$ . Dort kommt, im Gegensatz zu den anderen Varianten, der Winkel $α$ vor:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot \cos (α)$

Jetzt formst Du den Kosinussatz so um, dass $α$ alleine steht. Es gilt:

$\begin{matrix} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot \cos (α) & | - b^{2} - c^{2} \\ a^{2} - b^{2} - c^{2} = - 2 b c \cdot \cos (α) & | : (- 2 b c) \\ \frac{- a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2 b c} = \cos (α) \end{matrix}$

Nun hast Du den Kosinus des Winkels berechnet. Da aber der Winkel berechnet werden soll und nicht der Kosinus, musst Du diesen noch umkehren:

$\begin{matrix} \frac{- a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2 b c} = \cos (α) & | \cos^{- 1} \\ \cos^{- 1} (\frac{- a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2 b c}) = α \end{matrix}$

Genauso funktioniert das für die anderen Winkel im Dreieck mit den anderen Varianten des Kosinussatzes. Es gilt:

$β = \cos^{- 1} (\frac{- b^{2} + a^{2} + c^{2}}{2 a c}) γ = \cos^{- 1} (\frac{- c^{2} + a^{2} + b^{2}}{2 a c})$

Kosinussatz nach Seite umstellen

Es ist nicht sinnvoll, den Kosinussatz nach einer anderen Seite des Dreiecks umzustellen. Wenn Du zum Beispiel den Kosinussatz $b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cdot \cos (β)$ gewählt hast, Dir aber auffällt, dass Du a berechnen willst, kannst Du den Kosinussatz nicht umformen. In dieser Variante kommt a sowohl als Quadrat als auch einfach vor. Deswegen kannst Du nicht nach a umformen. Stattdessen wählst Du eine andere Variante des Kosinussatzes. Ist die gesuchte Seite nicht gegenüberliegend zum gegebenen Winkel, kannst Du auch nicht einen anderen Kosinussatz verwenden und ihn umstellen. Hier kann der Kosinussatz dann nicht angewendet werden.

Kosinussatz – Herleitung und Beweis

Um zu prüfen, ob Du die richtige Formel für eine Rechnung ausgewählt hast, kannst Du sie beweisen und mit einer Herleitung überprüfen, wie Du überhaupt zu dieser Formel kommst. So kannst Du beispielsweise den Kosinussatz herleiten.

Um den Kosinussatz zu beweisen, kannst Du als Grundlage den Satz des Pythagoras verwenden. Er gilt aber nur in rechtwinkligen Dreiecken. Wenn Du in ein beliebiges spitzwinkliges Dreieck eine Höhe $h_{c}$ wie in Abbildung 4 einzeichnest, erhältst Du zwei rechtwinklige Dreiecke. Die Höhe $h_{c}$ teilt die Seite $c$ in die Abschnitte $c_{1}$ und $c_{2}$ .

Kosinussatz Herleitung Pythagoras StudySmarter

Abbildung 4: Dreieck mit eingezeichneter Höhe

Im rechtwinkligen Dreieck kannst Du jetzt den Satz des Pythagoras anwenden:

a^{2} = {c_{2}}^{2} + {h_{c}}^{2}

Im Kosinussatz kommen $c_{2}$ und $h_{c}$ aber gar nicht vor. Um diese Ausdrücke zu ersetzen, kannst Du die trigonometrischen Funktionen Sinus und Kosinus nutzen:

$\begin{array}{rcl} \sin (α) & = & \frac{G e g e n k a t h e t e}{H y p o t e n u s e} \\ \cos (α) & = & \frac{A n k a t h e t e}{H y p o t e n u s} \end{array}$

Daraus ergibt sich für den Winkel $α$ :

$\sin (α) = \frac{h_{c}}{b}$

Das kannst Du nach $h_{c}$ umstellen und erhältst:

$h_{c} = b \cdot \sin (α)$

Genauso kannst Du auch für $c_{1}$ und den Kosinus vorgehen:

$\begin{matrix} \cos (α) = \frac{c_{1}}{b} & | \cdot b \\ \Rightarrow & b \cdot \cos (α) = c_{1} \end{matrix}$

Mithilfe von $c_{1}$ kannst Du auch $c_{2}$ ausdrücken und dann $c_{1}$ ersetzen:

$\begin{matrix} c_{2} = c - c_{1} \\ \Rightarrow & c_{2} = c - b \cdot c o s (α) \end{matrix}$

Jetzt hast Du je eine Gleichung, die nach $h_{c}$ bzw. $c_{2}$ aufgelöst ist. Du kehrst wieder zum Satz des Pythagoras $a^{2} = {c_{2}}^{2} + {h_{c}}^{2}$ zurück und ersetzt $c_{2}$ sowie $h_{c}$ mithilfe dieser Gleichungen.

$a^{2} = {c_{2}}^{2} + {h_{c}}^{2} a^{2} = (c - b \cdot c o s {(α))}^{2} + (b \cdot s i n {(α))}^{2}$

Als Nächstes rechnest Du die rechte Seite der Gleichung weiter aus und formst um. Neben den Umformungsschritten ist aufgelistet, wieso hier umgeformt wurde.

$\begin{array}{rcl} \begin{matrix} a^{2} = (c - b \cdot c o s {(α))}^{2} + (b \cdot s i n {(α))}^{2} & | B i n o m i s c h e F o r m e l b z w . P o t e n z g e s e t z \\ = c^{2} - 2 c b \cdot \cos (α) + (b \cdot \cos {(α))}^{2} + b^{2} \cdot \sin^{2} (α) & | P o t e n z g e s e t z \\ = c^{2} - 2 c b \cdot \cos (α) + b^{2} \cdot \cos^{2} (α) + b^{2} \cdot \sin {(α)}^{2} & | b^{2} a u s k l a m m e r n \\ = c^{2} - 2 c b \cdot \cos (α) + b^{2} \cdot (\cos^{2} (α) + \sin^{2} (α)) & | \cos^{2} (α) + \sin^{2} (α) = 1 \\ = c^{2} - 2 c b \cdot \cos (α) + b^{2} \cdot 1 & | R e i h e n f o l g e ä n d e r n \\ = b^{2} + c^{2} - 2 c b \cdot \cos (α) \end{matrix} \end{array}$

Durch die Umformungsschritte erhältst Du zusammengefasst den Kosinussatz:

$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 c b \cdot \cos (α)$

Wenn Du zu Beginn eine andere Höhe des Dreiecks wählst, kannst Du mit dem gleichen Weg die anderen Formeln des Kosinussatzes herleiten.

Am Anfang des Beweises wurde angenommen, dass alle Winkel des Dreiecks spitzwinklig sind. Der Kosinussatz lässt sich aber auch für ein stumpfwinkliges Dreieck beweisen.

Im letzten Umformungsschritt wurde davon ausgegangen, dass stets $\cos^{2} (α) + \sin^{2} (α) = 1$ gilt. Dies kannst Du an einem rechtwinkligen Dreieck im Einheitskreis erkennen. In Abbildung 5 findest Du ein solches Dreieck.

Kosinussatz Trigonometrie im Einheitskreis StudySmarter Abbildung 5: rechtwinkliges Dreieck im Einheitskreis

Aufgrund des Einheitskreises mit dem Radius $r = 1$ ist die Hypotenuse des Dreiecks 1 und wegen der trigonometrischen Funktionen im rechtwinkligen Dreieck entspricht der Sinus von $α$ gleich der Gegenkathete geteilt durch die Hypotenuse. Die Hypotenuse ist aber 1. Deswegen gilt:

$\sin (α) = G e g e n k a t h e t e$

Für die Ankathete und den Kosinus folgt identisch:

$\cos (α) = A n k a t h e t e$

Jetzt kannst Du den Satz des Pythagoras anwenden und erhältst:

$\sin^{2} (α) + \cos^{2} (α) = 1$

Diese Gleichung wird auch "Trigonometrischer Pythagoras" genannt.

Kosinussatz und Sinussatz – Anwendungsunterschied

Sowohl der Kosinussatz als auch der Sinussatz gelten in jedem beliebigen Dreieck. Beiden Sätze kannst Du nutzen, um fehlende Seiten oder Winkel zu berechnen. Doch wann wendest Du den Kosinussatz an und wann den Sinussatz an?

Den Kosinussatz kannst Du gut anwenden, wenn:

zwei Seiten sowie der davon eingeschlossene Winkel gegeben sind und Du die dem Winkel gegenüberliegende Seite berechnen möchtest.
alle drei Seiten des Dreiecks gegeben sind und Du einen Winkel berechnen möchtest.

Den Sinussatz kannst Du gut anwenden, wenn:

zwei Winkel und eine Seite gegeben sind. Dabei liegt diese Seite einem gegebenen Winkel gegenüber und Du möchtest die Seite berechnen, die dem anderen Winkel gegenüberliegt.
zwei Seitenlängen sowie der Winkel, der der längeren Seite gegenüberliegt, gegeben sind und Du den Winkel berechnen möchtest, der der kürzeren Seite gegenüberliegt.

Kosinussatz – Aufgaben

Mit den folgenden Aufgaben kannst Du das Anwenden des Kosinussatzes in beliebigen Dreiecken üben.

Aufgabe 1

Gegeben ist ein beliebiges Dreieck ABC mit $a = 6 c m, b = 4, 5 c m$ und $γ = 50 °$ . Berechne die Länge der Seite $c$ .

Lösung

Zu Beginn kannst Du eine Skizze wie in Abbildung 6 machen.

Kosinussatz Dreieck Skizze StudySmarter Abbildung 6: Skizze des Dreiecks aus Aufgabe 1

Die Skizze verdeutlicht, dass die gesuchte Seite $c$ die gegenüberliegende Seite des gegebenen Winkels $γ$ ist. Du kannst daher gut den Kosinussatz anwenden. Es gilt:

$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cdot \cos (γ)$

In dieser Formel ziehst Du die Wurzel, setzt die gegebenen Werte ein und erhältst:

$\begin{array}{rcl} c & = & \sqrt{6^{2} + 4, 5^{2} - 2 \cdot 6 \cdot 4, 5 \cdot \cos (50)} \\ = & 4, 64 c m \end{array}$

Die gesuchte Seite c des Dreiecks ist 4,64 cm lang.

Aufgabe 2

Gegeben ist ein Dreieck ABC mit den Seiten $a = 4 c m, b = 5 c m, c = 6 c m$ . Berechne alle Winkel des Dreiecks.

Lösung

Im Dreieck ABC sind alle Seiten gegeben. Du kannst daher gut den Kosinussatz anwenden. Als Erstes kannst Du zum Beispiel die Formel $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot \cos (α)$ verwenden und sie nach $α$ umstellen. Es gilt:

$\begin{matrix} a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot \cos (α) & | - b^{2} - c^{2} \\ a^{2} - b^{2} - c^{2} = - 2 b c \cdot \cos (α) & | : (- 2 b c) \\ \frac{- a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2 b c} = \cos (α) & | \cos^{- 1} \\ \cos^{- 1} (\frac{- a^{2} + b^{2} + c^{2}}{2 b c}) = α \end{matrix}$

Jetzt kannst Du Werte in die umgestellte Formel einsetzen und $α$ berechnen. Alternativ hättest Du auch zuerst Werte einsetzen und dann umformen können.

$\begin{array}{rcl} α & = & \cos^{- 1} (\frac{- 4^{2} + 5^{2} + 6^{2}}{2 \cdot 5 \cdot 6}) = \cos^{- 1} (0, 75) = 41, 41 ° \end{array}$

Der Winkel $α$ im Dreieck ist $41, 41 °$ groß. Genauso kannst Du auch für den Winkel $β$ vorgehen. Dazu verwendest Du den Kosinussatz $b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cdot \cos (β)$ . Wenn Du zuerst die Seitenlängen einsetzt und dann umformst, siehtder Rechenweg wie folgt aus:

$\begin{matrix} 5^{2} = 4^{2} + 6^{2} - 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \cos (β) \\ 25 = 52 - 48 \cos (β) & | - 52 \\ - 27 = - 48 \cos (β) & | : (- 48) \\ \frac{27}{48} = \cos (β) & | \cos^{- 1} \\ \cos^{- 1} (\frac{27}{48}) = β \\ 55, 77 ° = β \end{matrix}$

Der Winkel beträgt $β = 55, 77 °$ .

Um den letzten Winkel des Dreiecks zu berechnen, brauchst Du den Kosinussatz nicht mehr. Du kannst Dir zunutze machen, dass die Innenwinkelsumme in einem Dreieck immer genau $180 °$ ist und kannst so $γ$ berechnen.

$y = 180 ° - 41, 41 ° - 55, 77 ° = 82, 82 °$

Kosinussatz — Das Wichtigste

Der Kosinussatz gilt in jedem beliebigen Dreieck ABC.
Die Formeln des Kosinussatzes sind:
- $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cdot \cos (α)$
- $b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cdot \cos (β)$
- $c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cdot \cos (γ)$
Du kannst den Kosinussatz anwenden, wenn:
- zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel gegeben sind und Du die dem Winkel gegenüberliegende Seite berechnen möchtest.
- alle drei Seiten des Dreiecks gegeben sind und Du einen Winkel berechnen möchtest.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kosinussatz

Der Kosinussatz für ein Dreieck ABC lautet a²=b²+c²-2bc·cos(α).

Den Kosinussatz kannst Du in einem beliebigen Dreieck anwenden, wenn Du eine Seite berechnen möchtest und die zwei anderen Seiten, sowie der davon eingeschlossene Winkel gegeben sind.

Außerdem kannst Du ihn anwenden, wenn in einem Dreieck alle Seiten gegeben sind und Du einen Winkel berechnen möchtest.

Mit dem Kosinussatz kannst Du in einem Dreieck eine fehlende Seitenlänge oder einen Winkel berechnen.

Um den Kosinussatz anwenden zu können, müssen zwei Seitenlängen eines Dreiecks, sowie der davon eingeschlossene Winkel gegeben sein.

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