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Dreieck

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Dreieck

In diesem Artikel erklären wir dir, was es mit dem Dreieck auf sich hat. Dieser Artikel gehört zum Fach Mathematik und erweitert das Thema Geometrie.

Was ist ein Dreieck?

Die Verbindungsstrecken zwischen drei Punkten A, B und C bilden ein Dreieck. Hierbei ist vor allem darauf zu achten, dass die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen dürfen.

Die Beschriftung eines Dreiecks ist immer gleich:

  • Die Beschriftung der Eckpunkte erfolgt mit Großbuchstaben und gegen den Uhrzeigersinn: A,B,C
  • Die Beschriftung der Seiten erfolgt mit Kleinbuchstaben entsprechend den gegenüberliegenden Eckpunkten: a,b,c
  • Die Beschriftung der Innenwinkel erfolgt mit α bei A, β bei B und γ bei C. Sie können alle unterschiedlich groß sein, jedoch muss die Innenwinkelsumme eines Dreiecks immer 180°ergeben.

Zu jedem Dreieck kann ein Um- und ein Inkreis angegeben werden:

Was brauche ich, um ein Dreieck zu konstruieren?

Damit du ein Dreieck eindeutig konstruieren kannst, brauchst du mindestens drei Angaben. Aber Vorsicht: Es kommt darauf an welche Angaben du gegeben hast, denn nicht immer ist ein Dreieck eindeutig konstruierbar oder existiert überhaupt.

Um zu überprüfen ob deine Angaben ein eindeutiges Dreieck beschreiben, musst du dir die Kongruenzsätze ansehen.

Die Kongruenzsätze eines Dreiecks

SSS-Satz

Alle drei Seiten eines Dreiecks sind gegeben

SWS-Satz

Es sind zwei Seiten und der dazwischen eingeschlossene Winkel des Dreiecks gegeben

SsW-Satz

Es sind zwei Seiten und der, der längeren Seite gegenüberliegende Winkel des Dreiecks gegeben

WSW-Satz

Es sind zwei Winkel und die Seite dazwischen gegeben

Trifft einer dieser Sätze zu, dann kannst du das Dreieck eindeutig konstruieren.Es gibt jedoch noch zwei weitere Kongruenzsätze:

WWW-Satz

Es sind alle drei Winkel des Dreiecks gegeben

sSW-Satz

Es sind zwei Seiten und der, der kleineren Seite gegenüberliegende Winkel des Dreiecks gegeben

Die Kongruenzsätze kannst du auch verwenden, um zu überprüfen ob zwei Dreiecke kongruent, also deckungsgleich, sind. Hierfür muss einer der Kongruenzsätze bei beiden Dreiecken übereinstimmen.

IMPORTANT TO KNOW!

Um zu überprüfen ob zwei Dreiecke ähnlich sind, muss eine der folgenden Bedingungen erfüllt sein:

  • Alle drei Seiten haben ein gleiches Längenverhältnis
  • Zwei Seiten haben ein gleiches Längenverhältnis und der, der der größeren Seite gegenüberliegende Winkel stimmt überein
  • Zwei Seiten haben ein gleiches Längenverhältnis und der von ihnen eingeschlossene Winkel stimmt überein
  • Zwei Winkel stimmen überein

Eigenschaften eines Dreiecks

Bei einem Dreieck gibt es einige mathematische Eigenschaften zu beachten, die dir helfen können das Große ganze zu verstehen. Keine Panik - du bekommst das hin!

Besondere Linien in einem Dreieck

Jedes Dreieck hat für jede Seite/Winkel 4 wichtige Geraden:

Höhengerade eines Dreiecks

Diese Gerade startet bei einem Eckpunkt des Dreiecks und endet senkrecht auf der gegenüberliegenden Seite bzw. ihrer Verlängerung. Dieser Endpunkt wird als Lotfußpunkt bezeichnet. Die Höhengeraden der drei Seiten schneiden sich in einem Punkt.

Mittelsenkrechte eines Dreiecks

Diese Gerade verläuft senkrecht zu einer der Seiten des Dreiecks und teilt diese in der Hälfte.

Seitenhalbierende eines Dreiecks

Diese Gerade verbindet eine Ecke des Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite

Winkelhalbierende eines Dreiecks

Diese Halbgerade läuft durch den Scheitelpunkt eines Winkels des Dreiecks und teilt das Winkelfeld in zwei deckungsgleiche Teile

Besondere Punkte in einem Dreieck

Jedes Dreieck hat 4 besondere Punkte, die sich konstruieren lassen. Alle diese Punkte liegen auf der sogenannten “Eulerschen” Gerade.

🡪 Der SchwerpunktDer Schnittpunkt aller drei Seitenhalbierenden wird Schwerpunkt des Dreiecks genannt. Die Seitenhalbierenden werden vom Schwerpunkt im Verhältnis 2:1 geteilt.

🡪 Der MittelpunktDer Schnittpunkt aller drei Mittelsenkrechten wird Mittelpunkt des Dreiecks genannt. Er ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.

🡪 Der Mittelpunkt des InkreisesDer Schnittpunkt aller drei Winkelhalbierenden ergibt den Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks genannt.

🡪 Der HöhenschnittpunktDer Schnittpunkt aller drei Höhengeraden wird Höhenschnittpunkt eines Dreiecks genannt.

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks

Wie du den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest, kannst du hier nachlesen.

Den Umfang eines Dreiecks kannst du ganz leicht berechnen, indem alle drei Seiten summiert werden: U = a+b +c

Innen-, Außen- und Wechselwinkel eines Dreiecks

Die Innenwinkel α, β und γ kennst du ja bereits. Als Außenwinkel des Dreiecks werden die Nebenwinkel α*, β* und γ* der Innenwinkel bezeichnet. Die Außenwinkel sind jeweils so groß wie die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel.Mathematisch bedeutet das: α* = 180° - α = β + γ (das gilt natürlich für alle Winkel)

Die Summe der Außenwinkel eines Dreiecks beträgt 360°.

Die Wechselwinkel eines Dreiecks erhältst du, indem eine Parallele zu einer Strecke durch den gegenüberliegenden Eckpunkt gelegt wird. Der Winkel α und sein Wechselwinkel α’ sowie β und β’ sind gleich groß. Zusammen mit dem Winkel γ ergeben alle drei 180°. Hier sieht man auch nochmal deutlich den Zusammenhang zur Innenwinkelsumme eines Dreiecks.

IMPORTANT TO KNOW!

Es gelten in allen Dreiecken drei weitere Bedingungen, die du im Hinterkopf behalten solltest:

  • Die größeren Seiten liegen in jedem Dreieck den größeren Winkel gegenüber.Es gilt also: a > b → α > β

  • Die Summe zweier Seitenlängen in jedem Dreieck ist größer als die Länge der Dritten.Es gilt also: a + b > c a + c > b b +c > a

  • Die Differenz zweier Seitenlängen in jedem Dreieck ist kleiner als die Länge der Dritten.

Es gilt also: |a - b| < c |a - c| < b |b - c| < a

Besondere Dreiecke

Jetzt müssen wir uns noch die besonderen Dreiecke anschauen.

Das Gleichseitige Dreieck

Hier ist der Name Programm: alle Seiten des Dreiecks haben die gleiche Länge. Was du dir auch noch unbedingt merken solltest ist, dass die jeder Innenwinkel 60° beträgt und die vier besonderen Punkte, die wir vorhin behandelt haben, sich in einem Punkt vereinen.

Wichtige Formeln siehst du hier in der Tabelle:

Das Gleichschenklige Dreieck

Hier sind zwei Seiten a und b gleich lang und ihre Basiswinkel α und β gleich groß. Wenn du einen Winkel gegeben hast, kannst du mit Hilfe dieser Beziehung den oder die fehlenden Winkel des Dreiecks berechnen: 2α + γ = 180 ° - logisch, oder?

Wichtige Formeln siehst du hier in der Tabelle:

Flächeninhalt

A = 0,5 ⋅ c ⋅ h

Umfang

U = 2 ⋅ a + c

Das rechtwinklige Dreieck

Last but definitely not least: das rechtwinklige Dreieck. Hier beträgt einer der drei Innenwinkel des Dreiecks 90°, heißt natürlich, dass die Summe der zwei anderen auch 90° ergeben muss. Hier solltest du noch beachten, dass wenn die anderen beiden Winkel 45° betragen, von einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck gesprochen wird.

Das rechtwinklige Dreieck ist auch das einzige Dreieck, bei dem die Begriffe Hypotenuse und Kathete verwendet werden. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite gegenüber dem rechten Winkel. Die Gegenkathete liegt dem Winkel α gegenüber, wobei die Ankathete an ihm anliegt.

Wichtige Formeln siehst du hier in der Tabelle:

Flächeninhalt

A = 0,5 ⋅ c ⋅ h = 0,5 ⋅ a ⋅ b

Umfang

U = a +b + c

Im Zusammenhang mit den rechtwinkligen Dreiecken solltest du unbedingt auch an den Satz des Pythagoras denken! Wenn du den nochmal nachlesen möchtest, dann kannst du das gerne hier tun.

Mathematische Funktionen, Formeln und Anwendungen, die sich im Kern auf die geometrischen Eigenschaften eines Dreiecks beziehen, werden mit Sicherheit im weiteren Verlauf deiner Schulausbildung oder deines Studiums auf dich zukommen!

Das Wichtigste zum Dreieck auf einen Blick!

Ein Dreieck besitzt 3 Seiten, 3 Ecken und somit auch 3 Winkel. Ein Dreieck hat eindeutige mathematische Eigenschaften, was die Konstruktion, die Ermittlung des Flächeninhalts oder des Umfangs betrifft. Es gibt besondere Dreiecke, mit denen leichter zu rechnen ist, als mit anderen.

Hast du alles verstanden? Hier ist eine Checkliste, mit den zentralen Punkten, die für dich relevant sind im Überblick:

  • Ein Dreieck: 3 Seiten, 3 Ecken, 3 Winkel
  • Für ein Dreieck gelten bestimmte mathematische Eigenschaften wie beispielsweise die Berechnung des Flächeninhalts oder des Umfangs
  • Jedes Dreieck hat sowohl einen Umkreis als auch einen Inkreis
  • Die Summe der Innenwinkel ergibt 180°, die der Außenwinkel 360°
  • Es gibt 4 besondere Linien pro Seite/Winkel: Winkelhalbierende, Seitenhalbierende, Höhengerade und Mittelsenkrechte.
  • Es gibt 4 besondere Punkte: Schwerpunkt, Mittelpunkt, Höhenschnittpunkt und Mittelpunkt des Inkreises
  • Es gibt besondere Formen des Dreiecks: gleichseitiges, gleichschenkliges oder rechtwinkliges Dreieck

Finales Dreieck Quiz

Frage

Berechne den Umfang des folgenden gleichseitigen Dreiecks:

a = 6cm

Antwort anzeigen

Antwort

18cm

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Umfang des folgenden gleichseitigen Dreiecks: 

Seite a = 13cm

Antwort anzeigen

Antwort

39cm

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Seite "a" des folgenden gleichseitigen Dreiecks: 

Umfang = 27cm

Antwort anzeigen

Antwort

9

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Seite "a" des folgenden gleichseitigen Dreiecks:

Umfang = 42cm

Antwort anzeigen

Antwort

13cm

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Fläche des folgenden gleichseitigen Dreiecks:

Seite a = 6cm

Höhe = 5cm

Antwort anzeigen

Antwort

15cm

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Fläche des folgenden gleichseitigen Dreiecks:

Seite a = 9cm

Höhe = 4cm

Antwort anzeigen

Antwort

18cm

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Höhe des folgenden gleichseitigen Dreiecks:

Seite a = 6cm

Fläche= 12cm²

Antwort anzeigen

Antwort

4cm

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Höhe des folgenden gleichseitigen Dreiecks:

Seite a =10cm

Fläche = 30cm²

Antwort anzeigen

Antwort

Höhe = 6 cm

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Seite "a" des folgenden gleichseitigen Dreiecks:

Fläche = 15cm²

Höhe = 5cm

Antwort anzeigen

Antwort

6cm

Frage anzeigen

Frage

Überprüfe folgende Aussage:

"Alle Winkel des gleichseitigen Dreiecks sind immer spitz"

Antwort anzeigen

Antwort

ja

Frage anzeigen

Frage

Überprüfe folgende Aussage:

" Alle Winkel des gleichseitigen Dreiecks sind 60° "

Antwort anzeigen

Antwort

Ja

Frage anzeigen

Frage

Überprüfe folgende Aussage:

"Das gleichseitige Dreieck hat keine Symmetrieachse!"

Antwort anzeigen

Antwort

Nein

Frage anzeigen

Frage

Überprüfe folgende Aussage:

"Im gleichseitigen Dreieck müssen nicht alle Seiten gleich lang sein!"

Antwort anzeigen

Antwort

Nein

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Umfang des folgenden gleichseitigen Dreiecks:

Fläche = 15cm²

Höhe = 6cm

Antwort anzeigen

Antwort

15cm

Frage anzeigen

Frage

Überprüfe folgende Aussage:

"Die Höhenlinie stellt zugleich die Symmetrieachse dar!"

Antwort anzeigen

Antwort

Ja

Frage anzeigen

Frage

Überprüfe folgende Aussage:

"Die Höhenlinie der Hypotenuse stellt zugleich die Symmetrieachse dar!"

Antwort anzeigen

Antwort

Ja

Frage anzeigen

Frage

Überprüfe folgende Aussage:

"Beim gleichschenkligen Dreieck können alle Seiten gleich lang sein!"

Antwort anzeigen

Antwort

Nein

Frage anzeigen

Frage

Überprüfe folgende Aussage:

"Beim gleichschenkligen Dreieck sind beide Katheten immer gleich lang !"

Antwort anzeigen

Antwort

Ja

Frage anzeigen

Frage

Überprüfe folgende Aussage:

"Ein gleichschenkliges Dreieck kann zugleich stumpf, rechtwinklig oder spitz sein !"


Antwort anzeigen

Antwort

Ja

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Fläche des folgenden gleichschenkligen Dreiecks:

Seite a = 10cm

Höhe = 5cm

Antwort anzeigen

Antwort

25cm²

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Fläche des folgenden gleichschenkligen Dreiecks:

Seite a = 8cm

Höhe = 4cm

Antwort anzeigen

Antwort

16cm²

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Seite "b" des folgenden gleichschenkligen Dreiecks:

Seite a = 8cm

Umfang = 18cm


Antwort anzeigen

Antwort

5cm

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Seite "b" des folgenden gleichschenkligen Dreiecks:

Seite a = 15cm

Umfang = 27cm


Antwort anzeigen

Antwort

6cm

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Seite "a" des folgenden gleichschenkligen Dreiecks:

Seite b = 8cm

Umfang = 18cm

Antwort anzeigen

Antwort

2cm

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Seite "a" des folgenden gleichschenkligen Dreiecks:

Seite b = 3cm

Umfang = 18cm

Antwort anzeigen

Antwort

12cm

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Umfang des folgenden gleichschenkligen Dreiecks:

Seite a = 8cm

Seite b = 14cm

Antwort anzeigen

Antwort

36cm

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Umfang des folgenden gleichschenkligen Dreiecks:

Seite a = 2cm

Seite b= 5cm

Antwort anzeigen

Antwort

12cm

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Höhe "a" des folgenden gleichschenkligen Dreiecks:

Seite a = 8cm

Fläche = 20cm²

Antwort anzeigen

Antwort

4cm

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Höhe "b" des folgenden gleichschenkligen Dreiecks:

Seite b = 10cm

Fläche = 50cm²

Antwort anzeigen

Antwort

10cm

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Seite "a" des folgenden gleichschenkligen Dreiecks:

Höhe a = 4cm

Fläche = 20cm²

Antwort anzeigen

Antwort

10cm

Frage anzeigen

Frage

Überprüfe folgende Aussage:

"Im rechtwinkligen Dreieck müssen nicht alle Seiten gleich lang sein!"

Antwort anzeigen

Antwort

Ja

Frage anzeigen

Frage

Überprüfe folgende Aussage:

"Im rechtwinkligen Dreieck sind zwei Winkel immer spitz!"

Antwort anzeigen

Antwort

Ja

Frage anzeigen

Frage

Überprüfe folgende Aussage:

"Im rechtwinkligen muss es immer eine rechten Winkel geben!"

Antwort anzeigen

Antwort

Ja

Frage anzeigen

Frage

Überprüfe folgende Aussage:

"Im rechtwinkligen Dreieck befindet sich die längste Seite immer gegenüber des rechten Winkels!"

Antwort anzeigen

Antwort

Ja

Frage anzeigen

Frage

Überprüfe folgende Aussage:

"Ein rechtwinkliges Dreieck kann zugleich gleichschenklig sein!"

Antwort anzeigen

Antwort

Ja

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Fläche des folgenden gleichseitigen Dreiecks:

Seite a = 9cm

Höhe = 4cm

Antwort anzeigen

Antwort

18cm²

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Fläche des folgenden gleichseitigen Dreiecks:

Seite a = 15cm

Höhe = 4cm

Antwort anzeigen

Antwort

30cm²

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Seite "c" (Hypotenuse) des folgenden gleichseitigen Dreiecks mithilfe des Pythagoras - Satzes:

Seite a = 9cm

Seite b = 4cm

Antwort anzeigen

Antwort

9,8486

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Seite "c" (Hypotenuse) des folgenden gleichseitigen Dreiecks mithilfe des Pythagoras - Satzes:

Seite a = 4cm

Seite b = 2cm


Antwort anzeigen

Antwort

4,4721

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Seite "a" (Kathete) des folgenden gleichseitigen Dreiecks mithilfe des Pythagoras - Satzes:

Seite c = 8cm

Seite b = 2cm

Antwort anzeigen

Antwort

7,7459

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Seite "b" (Kathete) des folgenden gleichseitigen Dreiecks mithilfe des Pythagoras - Satzes:

Seite c = 4cm

Seite b = 2cm

Antwort anzeigen

Antwort

3,464

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Umfang des folgenden rechtwinkligen Dreiecks:

Seite a = 5cm

Seite b = 6cm

Seite c = 9cm

Antwort anzeigen

Antwort

20cm

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Umfang des folgenden rechtwinkligen Dreiecks:

Seite a = 8cm

Seite b = 3cm

Seite c = 13cm

Antwort anzeigen

Antwort

24cm

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Seite "a" des folgenden rechtwinkligen Dreiecks:

Umfang = 20cm

Seite b = 6cm

Seite c = 9cm

Antwort anzeigen

Antwort

5cm

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Fläche des folgenden rechtwinkligen Dreiecks:

Höhe c = 5cm

Seite c = 9cm

Antwort anzeigen

Antwort

22,5cm²

Frage anzeigen

Frage

Überprüfe folgende Aussage:

"Alle Winkel im spitzwinkligen Dreieck müssen spitz sein !"

Antwort anzeigen

Antwort

Ja

Frage anzeigen

Frage

Überprüfe folgende Aussage:

"Ein spitzwinkliges Dreieck kann auch gleichseitig, gleichschenklig oder unregelmäßig sein !"

Antwort anzeigen

Antwort

Ja

Frage anzeigen

Frage

Überprüfe folgende Aussage:

"Ein spitzwinkliges Dreieck ist immer symmetrisch!"

Antwort anzeigen

Antwort

Nein

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Umfang des folgenden spitzwinkligen Dreiecks: 

Seite a = 13cm

Seite b = 20cm

Seite c = 10cm

Antwort anzeigen

Antwort

43cm

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Umfang des folgenden spitzwinkligen Dreiecks: 

Seite a = 6cm

Seite b = 10cm

Seite c = 18cm

Antwort anzeigen

Antwort

34cm

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Fläche des folgenden spitzwinkligen Dreiecks: 

Seite a = 13cm

Höhe a = 5cm

Antwort anzeigen

Antwort

32,5cm²

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Fläche des folgenden spitzwinkligen Dreiecks: 

Seite a = 13cm

Höhe a = 4

Antwort anzeigen

Antwort

26cm²

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Höhe "a" des folgenden spitzwinkligen Dreiecks: 

Seite a = 13cm

Fläche = 19,5cm²

Seite c = 10cm

Antwort anzeigen

Antwort

3cm

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Seite "a" des folgenden spitzwinkligen Dreiecks: 

Umfang= 43cm

Seite b = 20cm

Seite c = 10cm

Antwort anzeigen

Antwort

13cm

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Winkel "alpha" des folgenden spitzwinkligen Dreiecks: 

Winkel Beta = 75°

Winkel Gamma = 80°

Seite c = 10cm

Antwort anzeigen

Antwort

25°

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Winkel "alpha" des folgenden spitzwinkligen Dreiecks: 

Winkel Beta = 45°

Winkel Gamma = 70°

Antwort anzeigen

Antwort

65°

Frage anzeigen

Frage

Überprüfe folgende Aussage:

"Ein Winkel kann größer als 90° sein !"

Antwort anzeigen

Antwort

Falsch

Frage anzeigen

Frage

Überprüfe folgende Aussage:

"Für die Berechnung der Fläche verwendet man folgende Formel: a * ha !"

Antwort anzeigen

Antwort

Nein

Frage anzeigen

Frage

Überprüfe folgende Aussage:

"Für die Berechnung des Umfangs rechnet man einfach alle Seiten zusammen!"

Antwort anzeigen

Antwort

Ja

Frage anzeigen

Frage

Überprüfe folgende Aussage:

"Ein gleichseitiges Dreieck ist immer zugleich ein spitzwinkliges Dreieck!"

Antwort anzeigen

Antwort

Ja

Frage anzeigen
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