Dreieck

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Dreieck


In diesem Artikel erklären wir dir, was es mit dem Dreieck auf sich hat. Dieser Artikel gehört zum Fach Mathematik und erweitert das Thema Geometrie.



Was ist ein Dreieck?


Die Verbindungsstrecken zwischen drei Punkten A, B und C bilden ein Dreieck. Hierbei ist vor allem darauf zu achten, dass die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen dürfen.


     

Die Beschriftung eines Dreiecks ist immer gleich:


  • Die Beschriftung der Eckpunkte erfolgt mit Großbuchstaben und gegen den Uhrzeigersinn: A,B,C


  • Die Beschriftung der Seiten erfolgt mit Kleinbuchstaben entsprechend den gegenüberliegenden Eckpunkten: a,b,c


  • Die Beschriftung der Innenwinkel erfolgt mit α bei A, β bei B und γ bei C. Sie können alle unterschiedlich groß sein, jedoch muss die Innenwinkelsumme eines Dreiecks immer 180°ergeben.


Zu jedem Dreieck kann ein Um- und ein Inkreis angegeben werden:


 


Was brauche ich, um ein Dreieck zu konstruieren?


Damit du ein Dreieck eindeutig konstruieren kannst, brauchst du mindestens drei Angaben. Aber Vorsicht: Es kommt darauf an welche Angaben du gegeben hast, denn nicht immer ist ein Dreieck eindeutig konstruierbar oder existiert überhaupt.


Um zu überprüfen ob deine Angaben ein eindeutiges Dreieck beschreiben, musst du dir die Kongruenzsätze ansehen:



Die Kongruenzsätze eines Dreiecks


SSS-Satz

Alle drei Seiten eines Dreiecks sind gegeben


SWS-Satz

Es sind zwei Seiten und der dazwischen eingeschlossene Winkel des Dreiecks gegeben

SsW-Satz

Es sind zwei Seiten und der, der längeren Seite gegenüberliegende Winkel des Dreiecks gegeben


WSW-Satz

Es sind zwei Winkel und die Seite dazwischen gegeben


Trifft einer dieser Sätze zu, dann kannst du das Dreieck eindeutig konstruieren.
Es gibt jedoch noch zwei weitere Kongruenzsätze:


WWW-Satz

Es sind alle drei Winkel des Dreiecks gegeben


sSW-Satz

Es sind zwei Seiten und der, der kleineren Seite gegenüberliegende Winkel des Dreiecks gegeben


Die Kongruenzsätze kannst du auch verwenden, um zu überprüfen ob zwei Dreiecke kongruent, also deckungsgleich, sind. Hierfür muss einer der Kongruenzsätze bei beiden Dreiecken übereinstimmen.



IMPORTANT TO KNOW!


Um zu überprüfen ob zwei Dreiecke ähnlich sind, muss eine der folgenden Bedingungen erfüllt sein:


  • Alle drei Seiten haben ein gleiches Längenverhältnis
  • Zwei Seiten haben ein gleiches Längenverhältnis und der, der der größeren Seite gegenüberliegende Winkel stimmt überein
  •  Zwei Seiten haben ein gleiches Längenverhältnis und der von ihnen eingeschlossene Winkel stimmt überein
  • Zwei Winkel stimmen überein



Eigenschaften eines Dreiecks


Bei einem Dreieck gibt es einige mathematische Eigenschaften zu beachten, die dir helfen können das Große ganze zu verstehen. Keine Panik - du bekommst das hin!



Besondere Linien in einem Dreieck


Jedes Dreieck hat für jede Seite/Winkel 4 wichtige Geraden:


Höhengerade eines Dreiecks


Diese Gerade startet bei einem Eckpunkt des Dreiecks und endet senkrecht auf der gegenüberliegenden Seite bzw. ihrer Verlängerung. Dieser Endpunkt wird als Lotfußpunkt bezeichnet. Die Höhengeraden der drei Seiten schneiden sich in einem Punkt.



Mittelsenkrechte eines Dreiecks


Diese Gerade verläuft senkrecht zu einer der Seiten des Dreiecks und teilt diese in der Hälfte.



Seitenhalbierende eines Dreiecks


Diese Gerade verbindet eine Ecke des Dreiecks mit dem Mittelpunkt der gegenüberliegenden Seite



Winkelhalbierende eines Dreiecks


Diese Halbgerade läuft durch den Scheitelpunkt eines Winkels des Dreiecks und teilt das Winkelfeld in zwei deckungsgleiche Teile




Besondere Punkte in einem Dreieck


Jedes Dreieck hat 4 besondere Punkte, die sich konstruieren lassen. Alle diese Punkte liegen auf der sogenannten “Eulerschen” Gerade.

 

🡪    Der Schwerpunkt
Der Schnittpunkt aller drei Seitenhalbierenden wird Schwerpunkt des Dreiecks genannt. Die Seitenhalbierenden werden vom Schwerpunkt im Verhältnis 2:1 geteilt.

🡪    Der Mittelpunkt
Der Schnittpunkt aller drei Mittelsenkrechten wird Mittelpunkt des Dreiecks genannt. Er ist der Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.

🡪    Der Mittelpunkt des Inkreises
Der Schnittpunkt aller drei Winkelhalbierenden ergibt den Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks genannt.

🡪    Der Höhenschnittpunkt
Der Schnittpunkt aller drei Höhengeraden wird Höhenschnittpunkt eines Dreiecks genannt.

 

 

Flächeninhalt und Umfang eines Dreiecks


Wie du den Flächeninhalt eines Dreiecks berechnest, kannst du hier nachlesen.


Den Umfang eines Dreiecks kannst du ganz leicht berechnen, indem alle drei Seiten summiert werden: U = a+b +c



Innen-, Außen- und Wechselwinkel eines Dreiecks


Die Innenwinkel  α, β und γ kennst du ja bereits. Als Außenwinkel des Dreiecks werden die Nebenwinkel α*, β* und γ* der Innenwinkel bezeichnet. Die Außenwinkel sind jeweils so groß wie die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel.
Mathematisch bedeutet das: α* = 180° - α = β + γ (das gilt natürlich für alle Winkel)

Die Summe der Außenwinkel eines Dreiecks beträgt 360°.



Die Wechselwinkel eines Dreiecks erhältst du, indem eine Parallele zu einer Strecke durch den gegenüberliegenden Eckpunkt gelegt wird. Der Winkel α und sein Wechselwinkel α’ sowie β und β’ sind gleich groß. Zusammen mit dem Winkel γ ergeben alle drei 180°. Hier sieht man auch nochmal deutlich den Zusammenhang zur Innenwinkelsumme eines Dreiecks.




IMPORTANT TO KNOW!


Es gelten in allen Dreiecken drei weitere Bedingungen, die du im Hinterkopf behalten solltest:


  • Die größeren Seiten liegen in jedem Dreieck den größeren Winkel gegenüber.
    Es gilt also:    a > b    →    α > β



  • Die Summe zweier Seitenlängen in jedem Dreieck ist größer als die Länge der Dritten.
    Es gilt also: a + b > c a + c > b b +c > a

  • Die Differenz zweier Seitenlängen in jedem Dreieck ist kleiner als die Länge der Dritten.


Es gilt also:    |a - b| < c    |a - c| < b    |b - c| < a



Besondere Dreiecke


Jetzt müssen wir uns noch die besonderen Dreiecke anschauen.



Das Gleichseitige Dreieck


Hier ist der Name Programm: alle Seiten des Dreiecks haben die gleiche Länge. Was du dir auch noch unbedingt merken solltest ist, dass die jeder Innenwinkel 60° beträgt und die vier besonderen Punkte, die wir vorhin behandelt haben, sich in einem Punkt vereinen.



Wichtige Formeln siehst du hier in der Tabelle:




Das Gleichschenklige Dreieck

 

Hier sind zwei Seiten a und b gleich lang und ihre Basiswinkel α und β gleich groß. Wenn du einen Winkel gegeben hast, kannst du mit Hilfe dieser Beziehung den oder die fehlenden Winkel des Dreiecks berechnen: 2α + γ = 180 ° - logisch, oder?


 

Wichtige Formeln siehst du hier in der Tabelle:

 


Flächeninhalt

A = 0,5 ⋅ c ⋅ h

Umfang

U = 2 ⋅ a + c


 

 

Das rechtwinklige Dreieck

 

Last but definitely not least: das rechtwinklige Dreieck. Hier beträgt einer der drei Innenwinkel des Dreiecks 90°, heißt natürlich, dass die Summe der zwei anderen auch 90° ergeben muss. Hier solltest du noch beachten, dass wenn die anderen beiden Winkel 45° betragen, von einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck gesprochen wird.

 

Das rechtwinklige Dreieck ist auch das einzige Dreieck, bei dem die Begriffe Hypotenuse und Kathete verwendet werden. Die Hypotenuse ist immer die längste Seite gegenüber dem rechten Winkel. Die Gegenkathete liegt dem Winkel α gegenüber, wobei die Ankathete an ihm anliegt.


 

Wichtige Formeln siehst du hier in der Tabelle:

 


Flächeninhalt

A = 0,5 ⋅ c ⋅ h = 0,5 ⋅ a ⋅ b

Umfang

U =  a +b + c


 

Im Zusammenhang mit den rechtwinkligen Dreiecken solltest du unbedingt auch an den Satz des Pythagoras denken! Wenn du den nochmal nachlesen möchtest, dann kannst du das gerne hier tun.

 

Mathematische Funktionen, Formeln und Anwendungen, die sich im Kern auf die geometrischen Eigenschaften eines Dreiecks beziehen, werden mit Sicherheit im weiteren Verlauf deiner Schulausbildung oder deines Studiums auf dich zukommen!

 


 

Das Wichtigste zum Dreieck auf einen Blick!


Ein Dreieck besitzt 3 Seiten, 3 Ecken und somit auch 3 Winkel. Ein Dreieck hat eindeutige mathematische Eigenschaften, was die Konstruktion, die Ermittlung des Flächeninhalts oder des Umfangs betrifft. Es gibt besondere Dreiecke, mit denen leichter zu rechnen ist, als mit anderen. 


Hast du alles verstanden? Hier ist eine Checkliste, mit den zentralen Punkten, die für dich relevant sind im Überblick:


  • Ein Dreieck: 3 Seiten, 3 Ecken, 3 Winkel
  • Für ein Dreieck gelten bestimmte mathematische Eigenschaften wie beispielsweise die Berechnung des Flächeninhalts oder des Umfangs
  • Jedes Dreieck hat sowohl einen Umkreis als auch einen Inkreis
  • Die Summe der Innenwinkel ergibt 180°, die der Außenwinkel 360°
  • Es gibt 4 besondere Linien pro Seite/Winkel: Winkelhalbierende, Seitenhalbierende, Höhengerade und Mittelsenkrechte.
  • Es gibt 4 besondere Punkte: Schwerpunkt, Mittelpunkt, Höhenschnittpunkt und Mittelpunkt des Inkreises
  • Es gibt besondere Formen des Dreiecks: gleichseitiges, gleichschenkliges oder rechtwinkliges Dreieck


Finales Dreieck Quiz

Frage

Wann heißt ein Dreieck spitzwinklig?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Dreieck heißt spitzwinklig, wenn jeder Winkel kleiner als 90° ist.

Frage anzeigen

Frage

Wie heißen die beiden Seiten die den rechten Winkel eines Dreiecks einschließen?

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Antwort

Beim rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel gleich 90°. Die beiden Seiten (hier: a und b), die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten.

Frage anzeigen

Frage

Was besagt der Satz des Thales?

Antwort anzeigen

Antwort

Satz des Thales
Errichtet man über AB einen Kreis, so bildet jeder Punkt Cn auf der Kreislinie zusammen mit A und B ein rechtwinkliges Dreieck ABCn mit dem rechten Winkel bei C. Dieser Kreis mit dem Durchmesser AB wird Thaleskreis genannt.

Frage anzeigen

Frage

Wie groß ist der Winkel bei einem stumpfwinkligen Dreieck?

Antwort anzeigen

Antwort

Im stumpfwinkligen Dreieck ist ein Winkel größer als 90°.

Frage anzeigen

Frage

Wie lang sind die Seiten bei einem gleichschenkligen Dreieck?

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Antwort

Im gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten („Schenkel“ genannt) gleich lang.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Mittelsenkrechte?

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Antwort

Die Mittelsenkrechten der Seiten eines Dreiecks schneiden sich in
einem Punkt, der von allen Eckpunkten des Dreiecks gleich weit
entfernt ist, dem Mittelpunkt des
Umkreises des Dreiecks.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Winkelhalbierende?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Winkelhalbierenden der Winkel
eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der von allen Seiten des Dreiecks gleich weit entfernt ist, dem Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Seitenhalbierende?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt S des Dreiecks. Der Schwerpunkt S teilt die Längen der Seitenhalbierenden jeweils im Verhältnis 2 : 1.

Frage anzeigen

Frage

Was besagt der Kongruenzasatz sss?

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie in
drei Seiten übereinstimmen.

Frage anzeigen

Frage

Was besagt der Kongruenzsatz sws?

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem von den Seiten eingeschlossenen Zwischenwinkel übereinstimmen.

Frage anzeigen

Frage

Was besagt der Kongurenzsatz wsw?

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen.

Frage anzeigen

Frage

Was besagt der Kongruenzsatz Ssw?

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem der längeren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen.

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