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Linearkombination

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Mathe

Zuerst beantworten wir dir einmal die Frage, was denn eine Linearkombination überhaupt ist. Eine Linearkombination erhältst du, wenn du die Summe des Vielfachen von Vektoren bildest.

Folgende Formel sagt aus, dass der Vektor die Linearkombination aus den Vielfachen der Vektoren ist.

Du kannst diese Formel nicht nur für zwei Vektoren verwenden, sondern auch für beispielsweise drei oder vier Vektoren:

Lineare (Un-)Abhängigkeit

Sicherlich hast du schon mal etwas über lineare Abhängigkeit bzw. lineare Unabhängigkeit gehört:

Die beiden Vektoren sind genau dann linear unabhängig, wenn ist.

In die Formel eingesetzt gilt also, wenn die Summe aus den Vektor ergibt, dann sind die Vektoren linear unabhängig. Falls gilt, dann sind die Vektoren linear abhängig.

Das kannst du natürlich auch auf mehr als zwei Vektoren anwenden. Dies gestaltet sich allerdings etwas schwieriger. Im nächsten Schritt zeigen wir dir, wie du das trotzdem ganz easy lösen kannst. ☺

Linearkombinationen und das lineare Gleichungssystem

Falls du mehr als zwei Vektoren auf lineare (Un-)Abhängigkeit prüfen musst, dann musst du ein Lineares Gleichungssystem (LGS) aufstellen.

Wir zeigen dir jetzt, wie das funktioniert. Ein konkretes Beispiel findest du im nächsten Abschnitt.

Die Gleichung lautet:

Bzw.

Schritt 1: Wir stellen ein LGS auf.

Schritt 2: Wir lösen das LGS.

Schritt 3: Wir schauen uns die Lösung an:

Falls wir als einzige Lösung g=h=i=0 erhalten, dann sind die Vektoren linear unabhängig. Ist das nicht der Fall, dann sind die Vektoren linear abhängig.

Beispielaufgaben

In den folgenden Beispiel erklären wir dir alles nochmal an einem Beispiel. Zugegeben, das klingt alles erstmal sehr kompliziert. Wenn du den Dreh raus hast, dann ist es eigentlich ganz einfach.

Beispielaufgabe 1

Die Aufgabe lautet:

Prüfe bei der folgenden Aufgabe ob die drei Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind.

Die drei Vektoren lauten:

Lösung:

Wir versuchen zunächst den Nullvektor als Linearkombination der anderen Vektoren darzustellen.

Schritt 1: Wir stellen ein LGS auf und schreiben die Zeilen einzeln auf.

Schritt 2: Wir lösen das LGS.Aus der zweiten Gleichung des LGS können wir lesen, dass 2*h=0 gilt. Damit gilt h=0.

Diese Information setzen wir jetzt in die erste und in die letzte Gleichung des Gleichungssystems ein. Wir erhalten g=0 und i=0. Da die einzige Lösung des LGS g=h=i=0 ist, wissen wir, dass die Vektoren linear abhängig sind.

Schritt 3: Wir schauen uns die Lösung an:

Wir erhalten g=0 und i=0. Da die einzige Lösung des LGS g=h=i=0 ist, wissen wir, dass die Vektoren linear unabhängig sind.

Beispielaufgabe 2

Die Aufgabe lautet:

Du hast zwei Vektoren gegeben. Bestimme den dritten Vektor so, dass dieser von den anderen beiden linear abhängig ist.

Lösung:

Du kannst sehr einfach einen weiteren linear abhängigen Vektor finden, indem du das Vielfache von einem anderen Vektor bildest.

Linearkombination - Alles Wichtige auf einen Blick

  • Eine Linearkombination erhältst du, wenn du die Summe des Vielfachen von Vektoren bildest.
  • In der folgenden Formel ist der Vektor die Linearkombination aus den Vielfachen der Vektoren :
  • Vektoren können linear abhängig oder linear unabhängig voneinander sein.
  • Falls gilt, dann sind die Vektoren linear unabhängig.

Wusstest du schon?

Schön, dass du auf unsere Seite gestoßen bist. Jetzt kennst du dich sicherlich hervorragend mit den Linearkombinationen aus und weißt, was es bedeutet, wenn Vektoren linear abhängig oder linear unabhängig sind. Kennst du schon unsere Karteikartenfunktion? Mit dieser kannst du dich die gerade gelernten Inhalte abfragen.

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