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StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
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Linearkombination

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Linearkombination

Du gehst für einen gemütlichen Abend mit Deinen Freunden einkaufen. Im Einkaufswagen befinden sich die folgenden Produkte:

  • 2 Cola- und 2 Limonade-Flaschen zu je 1,80 €

  • 4 verschiedene Chips-Tüten zu je 1,50 €

  • 3 unterschiedliche Süßigkeiten-Packungen zu je 2,00 € und schließlich

  • eine große Snack-Packung für 6,50 €

Um zu bestimmen, was Du an der Kasse genau zahlen wirst, rechnest Du

Was genau ist hier geschehen? Du kannst Dir die Preise als mathematische Objekte vorstellen, die eigenständig sind. Es spielt keine Rolle, ob das nun 1,80 € für eine Cola-Flasche sind oder für ein anderes Produkt; 1,80 € sind 1,80 €. Diese Preise hast Du jeweils mit Zahlen multipliziert (z. B. die 1,80 € mit der Zahl 4). Anschließend hast Du die Ergebnisse der Produkte addiert.

Und hiermit hast Du bereits den Kern hinter dem Konzept der Linearkombination kennengelernt: eine Kombination aus Multiplikation und Addition, die aus Objekten eines Typs ein weiteres Objekt desselben Typs produziert.

Wenn Dir das noch zu abstrakt ist oder es Dir zu schnell ging, keine Sorge: Im Folgenden wirst Du schrittweise durch die Details geführt.

Linearkombination – Grundlagenwissen

Bevor es losgeht, ein kurzer Hinweis: Das Konzept der linearen Abhängigkeit wird in dieser Erklärung nicht behandelt. Es gibt dazu eine ausführliche Erklärung, die Du Dir ansehen kannst, sofern Du Dich dafür interessierst.

Stattdessen geht es hier nur um das Konzept der Linearkombination an sich: Was ist eine Linearkombination mathematisch? Wie lässt sich eine Linearkombination bildlich veranschaulichen? Was wird benötigt, um überhaupt erst über eine Linearkombination zu sprechen? Und wie wird eine Linearkombination bestimmt?

Das einleitende Beispiel hat Dir schon erste Hinweise darauf gegeben, was Du zur Bildung von Linearkombinationen benötigst: Du musst Objekte addieren und mit Zahlen multiplizieren können.

Objekte, mit denen Du das machen kannst, heißen Vektoren. Und Vektoren leben an Orten, die sich Vektorräume nennen.

Wenn Dir das zu "mathematisch" klingt, kannst Du jederzeit an Pfeile in der Ebene denken. Die Ebene ist eines der wichtigsten Beispiele für einen Vektorraum, und die darin lebenden Pfeile entsprechend Beispiele für Vektoren. Aber Vektoren sind im Allgemeinen mathematische Objekte, die Bewohner eines Vektorraums sind. Dieser Sprung auf eine abstraktere Stufe ist notwendig, wenn Du dann beispielsweise über Linearkombinationen von Funktionen reden möchtest.

Vektoren addieren und skalieren

Ein Vektorraum ist zunächst eine Menge (wie die Preise in der Einleitung oder die Pfeile in der Ebene). Was diese Menge so besonders macht, sind die Operationen, die Du mit den Elementen der Menge ausführen kannst.

Vektorraum und Vektoren

Du hast eine Menge M von Objekten gegeben. Auf dieser Menge führst Du zwei Operationen ein: die Addition von zwei Objekten und die Multiplikation eines Objekts mit einer Zahl.

Erfüllen diese Operationen bestimmte Eigenschaften, so bildet die Menge M gemeinsam mit den beiden Operationen einen Vektorraum. Die Elemente eines Vektorraums heißen Vektoren.

Die Addition von Vektoren heißt auch Vektoraddition. Diese Vektoraddition muss bestimmte Eigenschaften erfüllen, wie das Kommutativ- und Assoziativgesetz.

Die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl wird als Skalarmultiplikation bezeichnet; die Bezeichnung Skalar selbst wird für reine Zahlen verwendet, um sie von den Vektoren zu unterscheiden. Wenn Du einen Vektor mit einer Zahl multiplizierst, so sagen wir dazu auch, dass Du den Vektor um diese Zahl skaliert hast.

Auch die Skalarmultiplikation muss gewisse Eigenschaften erfüllen. Dazu zählen unter anderem das Assoziativ- und zwei verschiedene Distributivgesetze.

Die Menge der Preise bildet einen Vektorraum

Zwei Preise kannst Du miteinander addieren, indem Du Dir zuerst das Eurozeichen wegdenkst. Die Zahlen addierst Du dann wie gewohnt und anschließend ergänzt Du das Eurozeichen wieder. Diese "Addition von Preisen" übernimmt die Eigenschaften der gewöhnlichen Addition. Also ist sie auf jeden Fall kommutativ und assoziativ.

Einen Preis kannst Du mit einer reinen Zahl multiplizieren, dadurch, dass Du wieder zunächst das Eurozeichen ausblendest. Du multiplizierst dann die Zahlen wie gewohnt und blendest schließlich das Eurozeichen wieder ein. Auch diese "Skalarmultiplikation eines Preises mit einer Zahl" übernimmt alle Eigenschaften der gewöhnlichen Multiplikation.

Bei den Operationen ist es wichtig, dass sie den "Typ" beibehalten. Würdest Du zum Beispiel bei den Preisen nach der Addition ein Dollarzeichen ergänzen, so wäre das eine "inkorrekte" Operation: Aus Preisen in Euro (ein Typ) werden Preise in Dollar (ein anderer Typ).

Einführung von neuen Operationen

Geben wir den beiden Operationen jeweils eine Bezeichnung: Die Vektoraddition soll mit dem Symbol ("Kringel Plus") und die Skalarmultiplikation mit ("Kringel Mal") notiert werden.

Bei den Preisen in Euro waren diese beiden Operationen folgendermaßen definiert:

und

Die "Kringel"-Operationen wurden also auf die gewohnten Operationen der Addition und Multiplikation (ohne Kringel) zurückgeführt.

Bei den Pfeilen in der Ebene geschieht etwas Ähnliches:

und

Eigenschaften, die für einen Vektorraum erfüllt werden müssen

Die Eigenschaften beziehen sich immer auf die Operationen an sich und nicht, was die konkreten Objekte sind. So spielt es keine Rolle, ob das nun Preise sind oder Pfeile in der Ebene.

Die genauen Details der Eigenschaften spielen für diese Erklärung keine entscheidende Rolle. Deshalb werden sie nur bei ihrem gängigen Namen erwähnt.

Bei der Vektoraddition sind es die folgenden Eigenschaften:

  • Kommutativgesetz
  • Assoziativgesetz
  • Neutrales Element
  • Inverse Elemente

Für die Skalarmultiplikation (gemeinsam mit der Vektoraddition) hingegen:

  • Assoziativgesetz
  • Distributivgesetz #1 (Skalar über zwei Vektoren aufteilen)
  • Distributivgesetz #2 (Zwei Skalare über einen Vektor aufteilen)
  • Einselement

Die beiden Distributivgesetze verknüpfen die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation. Wenn Du Dir die Eigenschaften merken möchtest, hilft die Merkregel:

Das "U" kommt daher, dass im Englischen für "Einselement" oft auch "unit element" (oder einfach nur "unit") verwendet wird.

Vektorräume und Vektoren – Zusammenfassung

Von allem, was bisher erwähnt wurde, solltest Du zwei Sachen mitnehmen:

  • Vektoren sind mehr als Pfeile: Im Allgemeinen ist ein Objekt ein Vektor, wenn es Element eines Vektorraums ist. Wenn Du zum Beispiel gefragt wirst, ob ein bestimmter Pfeil ein Vektor ist, so wäre die korrekte Antwort: keine Ahnung. Würdest Du stattdessen gefragt werden, ob dieser Pfeil als Bewohner der Ebene (mit entsprechender Vektoraddition und Skalarmultiplikation) ein Vektor ist, so lautet die richtige Antwort: Ja. Das heißt, ohne Vektorräume keine Vektoren.

  • Vektoren lassen sich addieren und skalieren: Wenn Dir bewusst ist, dass die gegebenen Objekte Vektoren sind, so weißt Du direkt, dass Du sie addieren und skalieren kannst (und auch dass die ganzen Eigenschaften erfüllt sind).

Der erste Punkt wird erwähnt, damit Du Dich dann später nicht wunderst, wieso es dann plötzlich die Linearkombination auch für Funktionen, Matrizen oder - wie bereits gesehen - für Preise gibt. Der Grund ist der, dass das alles Beispiele für Vektoren sind. Wenn wir einmal das Konzept der Linearkombination von Vektoren eingeführt haben, so gilt das für alle "Arten" an Vektoren.

Der zweite Punkt soll Dir ins Bewusstsein rufen, weshalb die Linearkombination von Vektoren diese ganz bestimmte Definition hat: Ohne weitere Ergänzungen kannst Du innerhalb eines Vektorraums Vektoren nur addieren und skalieren; mehr nicht.

Du benötigst also eine weitere Struktur, um mit Vektoren arbeiten zu können.

Linearkombination von Vektoren – Definition & Beispiele

Vielleicht ist bei Dir allmählich schon ein Bild darüber entstanden, wie die Linearkombination von Vektoren definiert sein wird. Insbesondere wenn Du daran denkst, dass die beiden Operationen immer nur zwei Objekte gleichzeitig betroffen haben: Bei der Vektoraddition waren es zwei Vektoren, bei der Skalarmultiplikation eine Zahl und ein Vektor.

Wieso sich aber nur auf zwei Objekte beschränken? Diese Einschränkung wird durch die Einführung von Linearkombinationen aufgehoben.

Linearkombination von Vektoren

Sei n eine natürliche Zahl größer Null. Seien weiterhin n Vektoren , bis gegeben; sowie n Zahlen , bis . Den Ausdruck

Linearkombination Linearkombination von Vektoren StudySmarter

nennen wir eine Linearkombination der Vektoren

Überlege kurz, wieso Du diesen Ausdruck bilden darfst. Zunächst ist jede der n Skalarmultiplikationen eine klar definierte Operation. Anschließend kannst Du dann schrittweise die skalierten Vektoren miteinander addieren, denn die Addition von zwei Vektoren ist ebenfalls eine klar definierte Operation. Insgesamt kannst Du also jede endliche Anzahl an Vektoren mit Skalaren multiplizieren und die Ergebnisse miteinander addieren. Und damit wurde die Einschränkung auf zwei Objekte erfolgreich aufgehoben.

Sobald Dir also eine Vektoraddition und eine Skalarmultiplikation zur Verfügung stehen, hast Du automatisch auch das Konzept der Linearkombination.

Linearkombination von zwei Vektoren in der Ebene

Als erstes Beispiel einer Linearkombination betrachte die beiden Vektoren

und

Mit diesen beiden Vektoren kannst Du nun anstellen, was immer Du möchtest (unter der Berücksichtigung natürlich, dass Du nur die Vektoraddition und Skalarmultiplikation zur Verfügung hast).

Du könntest sie zum Beispiel addieren, ohne sie vorher zu skalieren:

Beachte hier zwei Sachen:

  1. Das erste Plus zwischen den beiden Vektoren ist das Plus, das wir weiter oben als "Kringel Plus" bezeichnet haben. Weil aber diese Art von Vektoraddition so vertraut ist, lassen wir diesen Kringel hier fallen.
  2. Diese komponentenweise Addition macht aus zwei Vektoren der Ebene einen weiteren Vektor der Ebene. Das muss sie auch, sonst wäre sie keine Vektoraddition.

Der Summen-Vektor ist die Linearkombination der Vektoren und zu den Skalaren 1 und 1.

Etwas spannender wird es, wenn Du die Vektoren vorher skalierst. So kannst Du etwa die Linearkombination

bilden. Die beiden Skalare sind hier 2 und 3.

Linearkombination Konkrete Linearkombination zweier Vektoren in der Ebene StudySmarterAbbildung 1: Konkrete Linearkombination zweier Vektoren in der Ebene.

Da die Vektoraddition stets kommutativ ist, spielt die Reihenfolge keine Rolle. Wenn Du Dir Abbildung 1 ansiehst, bedeutet das geometrisch folgendes: ob Du nun zunächst in Richtung gehst und dann in Richtung (linker Weg in Abbildung 1) oder zuerst in Richtung und dann in Richtung (rechter Weg in Abbildung 1), am Ende erreichst Du dieselbe Stelle.

Da die Linearkombination als Konzept für allgemeine Vektoren definiert ist, bist Du nicht nur auf Pfeile der Ebene begrenzt.

Linearkombination von drei Vektoren im Raum

Du hast die folgenden drei Vektoren

sowie die drei Zahlen

und

gegeben. Damit kannst Du die Linearkombination

Lineare Unabhängigkeit und lineare Abhängigkeit von zwei Vektoren Eine konkrete Linearkombination StudySmarter

bilden. Diese Linearkombination wird in Abbildung 2 veranschaulicht. Die gestrichelten Pfeile stellen die skalierten und verschobenen Versionen der durchgezogenen Vektoren dar.

Linearkombination Konkrete Linearkombination von drei Vektoren im Raum StudySmarterAbbildung 2: Konkrete Linearkombination (gelb) von drei Vektoren im Raum (blau, rot, türkis)

Bisher hattest Du sowohl die Vektoren als auch die entsprechenden Skalare gegeben und konntest damit die Linearkombination berechnen. Du kannst aber auch "rückwärts" gehen: Du hast Vektoren gegeben und fragst Dich, wie Du einen dieser Vektoren als Linearkombination der restlichen Vektoren schreiben kannst. Du suchst also nach den Skalaren.

Linearkombination aufstellen – von Vektoren zu Gleichungssystemen

Bei diesem Weg "rückwärts" beginnen wir zunächst bei Vektoren der Ebene und untersuchen verschiedene Fälle. Der konzeptionelle Sprung zu Vektoren im Raum sollte dann angenehmer stattfinden.

Vektoren der Ebene als Linearkombination darstellen – Zwei Vektoren

Theoretisch kannst Du bereits einen Vektor als Linearkombination von sich selbst darstellen. Wenn Du zum Beispiel den Vektor

gegeben hast, so ist

eine Linearkombination von .

Das gilt nicht nur für Vektoren der Ebene, sondern für Vektoren im Allgemeinen.

Interessant wird es also erst ab zwei Vektoren. Angenommen Du hast zwei Vektoren und gegeben und, Du kannst als Linearkombination von zum Skalar schreiben. also:

Was bedeutet das geometrisch? Der Vektor ist nur eine skalierte Version des Vektors . Je nach Vorzeichen des Skalars zeigt dabei in dieselbe oder entgegengesetzte Richtung (siehe Abbildung 3).

Linearkombination skalares Vielfaches eines Vektors StudySmarterAbbildung 3: Der blaue Vektor ist ein skalares Vielfaches des roten Vektors. Im oberen Teil wird der Vektor verlängert, während seine Richtung beibehalten wird. Im unteren Teil wird der Vektor verkürzt und seine Richtung invertiert.

Das Bild teilt Dir geometrisch auch mit, wann Du bei zwei Vektoren in der Lage bist, einen Vektor als Linearkombination des anderen Vektors zu schreiben: genau dann, wenn sich die beiden Vektoren auf derselben Ursprungsgeraden befinden.

Linearkombination Vektoren auf einer Ursprungsgeraden und Vektoren auf unterschiedlichen Ursprungsgeraden StudySmarterAbbildung 4: Links liegen die beiden Vektoren auf derselben Ursprungsgeraden. Du kannst daher einen der Vektoren als Linearkombination des anderen Vektors schreiben. Rechts hingegen ist das nicht der Fall.

Rechnerisch kannst Du das folgendermaßen feststellen: Du möchtest, dass die Gleichung

erfüllt ist. In Komponenten sieht die Gleichung so aus:

Die Komponenten von unterscheiden sich also von denen von nur um den gemeinsamen Faktor . Du brauchst daher nur durch die einzelnen Komponenten durchzugehen und zu untersuchen, ob Du einen solchen gemeinsamen Faktor finden kannst.

Gemeinsamen Faktor bei zwei Vektoren finden

Betrachte die beiden Vektoren

und

Die ersten beiden Komponenten unterscheiden sich um den Faktor

und die letzten beiden Komponenten um

Du hast also den gemeinsamen Faktor . Damit kannst Du schreiben als

Damit ist der Fall für zwei Vektoren vollständig beschrieben. In der Tat gilt das nicht nur für Vektoren der Ebene, sondern für allgemeine Vektoren.

Ein kleines Detail fehlt noch: der Fall, bei dem einer der Vektoren der Nullvektor ist. Du kannst zwar den Nullvektor immer als Linearkombination des anderen Vektors schreiben, denn dafür musst Du als Skalar nur die Zahl Null verwenden. Aber umgekehrt lässt sich der andere Vektor nicht als Linearkombination des Nullvektors schreiben, außer der andere Vektor selbst ist wieder der Nullvektor.

Vektoren der Ebene als Linearkombination darstellen – Drei Vektoren

Wenn Du drei Vektoren der Ebene gegeben hast, gibt es im Wesentlichen zwei Fälle:

  • Einer oder mehrere der Vektoren ist der Nullvektor: Ist es nur einer, dann bist Du im Fall von zwei Vektoren (siehe vorherigen Abschnitt). Sind es hingegen mehrere, so bist Du effektiv bei einem oder keinem Vektor (siehe auch den vorherigen Hinweis). Dabei meint "effektiv", dass Du mit dem Nullvektor nichts zu einer Linearkombination beitragen kannst.

  • Keiner der Vektoren ist der Nullvektor: In diesem Fall kannst Du mit Sicherheit mindestens einen der Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren schreiben. Liegen zusätzlich keine der drei Vektoren auf derselben Ursprungsgeraden, so kannst Du sogar jeden der Vektoren als Linearkombination der anderen beiden schreiben.

Bei drei Vektoren schaust Du Dir zwar wieder die einzelnen Komponenten an, aber Du musst etwas systematischer an die Sache rangehen, um möglichst schnell an eine Lösung zu kommen (oder festzustellen, dass es keine Lösung gibt).

Aber Lösung von was? Hier kommt ein konkretes Beispiel

Linearkombination mit Hilfe eines Gleichungssystems finden

Du hast die drei Vektoren

und

gegeben und interessierst Dich dafür, ob Du den Vektor als Linearkombination der beiden anderen Vektoren und schreiben kannst. Dafür musst Du Skalare und finden, sodass die Gleichung

erfüllt ist. Mit den entsprechenden Komponenten sieht die Gleichung so aus:

Du kannst die Vektor-Notation auch fallen lassen und erhältst dadurch das Gleichungssystem

Durch die erste Gleichung bekommst Du direkt, dass

sein muss. Dieses Ergebnis setzt Du dann in die zweite Gleichung ein

wodurch Du für den Wert

findest.

Insgesamt lautet damit die Linearkombination:

Linearkombination Drei Vektoren in der Ebene mit Linearkombination StudySmarterAbbildung 5: Drei Vektoren der Ebene, die alle auf unterschiedlichen Ursprungsgeraden liegen. Du kannst daher jeden der drei Vektoren als Linearkombination der anderen beiden Vektoren schreiben. Hier wurde das für den blauen Vektor gemacht.

Es geht also um die Lösungen des Gleichungssystems, das Du durch die Komponenten erhältst.

Im obigen Beispiel lagen alle drei Vektoren auf unterschiedlichen Ursprungsgeraden (siehe Abbildung 5). Deshalb war es egal, welchen der drei Vektoren Du Dir ausgesucht hast. Du hättest ihn auf jeden Fall als Linearkombination der beiden anderen Vektoren schreiben können.

Das muss aber nicht immer der Fall sein.

Drei Vektoren der Ebene, wobei keine Linearkombination existiert

Die drei Vektoren sind dieses Mal

und

Im Vergleich zum vorherigen Beispiel wurde also nur der Vektor geändert. Genauso wie vorhin fragst Du Dich, ob es Skalare und gibt, sodass

gilt. In Komponenten hast Du die folgende Gleichung:

Du bekommst also das Gleichungssystem

Dafür gibt es keine Lösung, denn welchen Zahlen auch immer die beiden Skalare sein mögen, der Ausdruck kann nicht gleichzeitig 1 und 2 sein.

Du kannst das auch daran erkennen, indem Du die erste Gleichung von der zweiten Gleichung abziehst. Du erhältst dadurch

Das ist ein Widerspruch, also kann es keine Skalare und geben, die das Gleichungssystem erfüllen. Damit kann der Vektor nicht als Linearkombination der beiden anderen Vektoren und geschrieben werden.

Linearkombination Ursprungsgerade StudySmarterAbbildung 6: Während der türkise und rote Vektor auf derselben Ursprungsgeraden liegen, ist das für den blauen Vektor nicht der Fall. Damit kannst Du ihn auch nicht als Linearkombination der beiden anderen Vektoren schreiben.

Mit den beiden Vektoren und kannst Du nur Vektoren erreichen, die auf derselben Ursprungsgerade liegen (siehe Abbildung 6). Egal, mit welchen Skalaren Du diese beiden Vektoren multiplizierst, sie können ihre Ursprungsgerade nicht verlassen.

Der Fall für Vektoren in der Ebene ist damit erledigt. Und das unabhängig davon, ob das vielleicht sogar mehr als drei Vektoren sind. Jetzt kannst Du eine Stufe höher gehen.

Vektoren des Raums als Linearkombination darstellen – Drei Vektoren

Bei Vektoren im Raum beginnen wir direkt mit dem Fall, dass Du drei Vektoren gegeben hast. Bei zwei Vektoren gehst Du wie im vorherigen Abschnitt vor. Du musst nur eine Komponente mehr untersuchen.

Bei drei Vektoren im Raum erhältst Du wieder durch die Komponenten ein Gleichungssystem.

Linearkombination bei drei Vektoren im Raum

Betrachte die drei Vektoren

und

Wie auch in den vorherigen Beispielen möchtest Du den Vektor als Linearkombination der beiden anderen Vektoren schreiben. Du suchst also nach Skalaren und derart, dass

gilt. Ausgeschrieben in Komponenten sieht dies Gleichung folgendermaßen aus

oder als Gleichungssystem

Mit den beiden ersten Gleichungen erhältst Du direkt

und

Diese beiden Werte erfüllen auch die dritte Gleichung. Damit hast Du die Lösung des Gleichungssystems gefunden und die gesuchte Linearkombination lautet:

Linearkombination Linearkombination im Raum StudySmarterAbbildung 7: Linearkombination im Raum.

Wenn Du Dir Abbildung 7 sorgfältig ansiehst, erkennst Du, dass der Vektor innerhalb der Ebene liegt, die von den beiden Vektoren und aufgespannt wird. Mit diesen beiden Vektoren kannst Du auch nur Vektoren erreichen, die innerhalb der von ihnen aufgespannten Ebene liegen. Würde der Vektor etwa aus der Ebene hinauszeigen, hättest Du keine Linearkombination gefunden.

Vektoren des Raums als Linearkombination darstellen – Vier Vektoren

Sobald Du im Raum vier Vektoren (oder mehr) gegeben hast, lohnt es sich, das Gleichungssystem mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren zu lösen.

Bis zur Erstellung des Gleichungssystems gehst Du dabei genauso vor, wie bisher. Das Gleichungssystem selbst löst Du dann aber nicht mehr durch "bloßes Hinsehen".

Linearkombination mithilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens finden

Als Beispiel sind vier Vektoren gegeben, die Dir schon einmal begegnet sind:

und

Du suchst nach Skalaren und mit der Eigenschaft, dass

gilt. Verwendest Du die entsprechenden Komponenten, so lautet die Gleichung

oder als Gleichungssystem

Um das Gaußsche Eliminationsverfahren anzuwenden, notierst Du Dir das Gleichungssystem als eine Matrix

In die erste Spalte kommen die Koeffizienten, die vor dem Skalar stehen; in die zweite Spalte entsprechend die Koeffizienten vor dem Skalar und gleiches für die dritte Spalte.

Ziel des Gaußschen Eliminationsverfahren ist es, die Matrix durch Zeilenoperationen so umzuformen, dass Du die Lösung - sofern eine existiert - mehr oder weniger direkt ablesen kannst.

Dazu beginnst Du bei der ersten Zeile und nimmst Dir das erste Element heraus, das ungleich Null ist. In diesem Fall ist es die Zahl 1. Mit dieser Zahl versuchst Du nun, alle Zahlen direkt darunter zu Null werden zu lassen.

Da Du hier die Zahl 1 hast und sich direkt darunter ebenfalls nur Einsen befinden, erreichst Du das, indem Du die erste Zeile von der zweiten und von der dritten Zeile abziehst:

Nun gehst Du über zur zweiten Zeile und suchst Dir erneut das erste Element heraus, das ungleich Null ist. Dieses Mal ist es die Zahl -2. Weil die Zahl ungleich 1 ist, dividierst Du die gesamte zweite Zeile durch -2:

Jetzt versuchst Du erneut, alle Zahlen unterhalb der markierten 1 zu Null zu machen. Dazu musst Du hier die zweite Zeile zur dritten Zeile addieren:

Theoretisch bist Du an dieser Stelle fertig, denn die letzte Zeile liest sich als

und Du kannst den Koeffizienten berechnen. Anschließend gehst Du in die zweite Zeile, um den Koeffizienten zu bestimmen. Und schließlich mit den beiden bereits berechneten Koeffizienten in die erste Zeile für den fehlenden Koeffizienten .

Zum Gaußschen Eliminationsverfahren selbst gibt es eine ausführliche Erklärung mit weiteren Beispielen. Schaue also dort vorbei, wenn Du Dich dafür interessierst.

Du kannst aber noch ein wenig mit der Matrix herumspielen und auch alle Zahlen oberhalb Null werden lassen. Der einzige Unterschied zum bisherigen Weg ist der, dass Du "unten rechts" beginnst und Dich nach "oben links" hocharbeitest.

Wenn Du das machst, bekommst Du die Matrix:

Damit erhältst Du als Lösung für die Skalare

und

Die gesuchte Linearkombination lautet daher

Das war das letzte Beispiel zu Pfeilen als Vektoren (weitere findest Du dann weiter unten in Form von Aufgaben). Jetzt kommt der Sprung in etwas abstrakteres Territorium.

Konvexe Linearkombination

Die Skalare einer Linearkombinationen können an sich beliebig gewählt werden. Für bestimmte Wahlen gibt es konkrete Namen.

Konvexe Linearkombination

Eine Linearkombination heißt konvexe Linearkombination, wenn die Skalare der Linearkombination aus dem Intervall (das heißt, alle Zahlen von 0 bis 1 inklusive der Randwerte 0 und 1) stammen, mit der Eigenschaft, dass ihre Summe gleich 1 ist.

Wenn Du zwei Vektoren und gegeben hast und mit ihnen alle möglichen konvexen Linearkombinationen berechnest, wanderst Du bildlich gesprochen von der Spitze des einen Vektors auf direktem Wege zur Spitze des anderen Vektors (siehe Abbildung 8).

Linearkombination Veranschaulichung der konvexen Linearkombinationen zweier Vektoren der Ebene StudySmarterAbbildung 8: Entlang der Strecke in türkis liegen die Spitzen aller Vektoren, die Du durch konvexe Linearkombinationen der gegebenen Vektoren u und v erhältst. Die Vektoren u und v selbst kannst Du auch als konvexe Linearkombinationen auffassen.

Linearkombination von Funktionen

Damit auch bei Funktionen über Linearkombinationen gesprochen werden kann, müssen für Funktionen die Operationen der Vektoraddition und Skalarmultiplikation definiert werden.

Vektoraddition und Skalarmultiplikation für Funktionen

Die Vektoraddition von zwei Funktionen und sei definiert als

und die Skalarmultiplikation der Funktion mit einem Skalar als

Auf der linken Seite hast Du eine Operation mit zwei Funktionen bzw. einem Skalar und einer Funktion. Auf der rechten Seite, nachdem die Zahl x eingesetzt wurde, hast Du nur noch gewöhnliche Zahlen. Entsprechend stellen das Plus- und Malzeichen auf der rechten Seite die gewöhnliche Addition und Multiplikation dar.

Die Menge der Funktionen gemeinsam mit diesen beiden Operationen bildet einen Vektorraum. Du kannst also auch Funktionen als Vektoren bezeichnen. Und damit hast Du automatisch für Funktionen das Konzept der Linearkombination.

Linearkombination zweier Funktionen

Du hast die beiden Funktionen und mit

und

sowie die Skalare

und

Damit kannst Du die Linearkombination

bilden.

Wie bei den Pfeilen kannst Du auch bei den Funktionen für vorgegebene Funktionen eine Linearkombination aufstellen.

Linearkombination für Funktionen aufstellen

Betrachte die drei Funktionen und mit

und

Du möchtest die Funktion als Linearkombination der beiden anderen Funktionen schreiben, das heißt, Du suchst nach Skalaren und , sodass

gilt. Verwendest Du die konkreten Funktionsvorschriften, so lautet die Gleichung

Daraus erkennst Du, dass

und

gelten muss. Die Linearkombination ist also

Linearkombination – Aufgaben

Bei der Linearkombination gibt es zwei Wege:

  • Die "Vorwärtsrichtung": Hier hast Du die Vektoren und Skalare gegeben und musst die entsprechende Linearkombination berechnen.

  • Die "Rückwärtsrichtung": Hier hast Du Vektoren gegeben und Dein Ziel ist es, einen der Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren zu schreiben. Dazu suchst Du die entsprechenden Skalare.

Die folgenden zwei Aufgaben spiegeln diese beiden Wege wider.

Linearkombination berechnen

Du hast die drei Vektoren

und

gegeben, sowie die drei Skalare

und

Berechne die folgende Linearkombination

Lösung

Im Wesentlichen musst Du nur die Komponenten einsetzen. Dann skalierst Du elementweise und addierst schließlich die skalierten Vektoren:

Linearkombination aufstellen

Betrachte die vier Vektoren

und

Bestimme die Skalare und , sodass

gilt.

Lösung

Du schreibst zunächst die gewünschte Linearkombination in Komponenten auf:

Daraus extrahierst Du dann das entsprechende Gleichungssystem:

Um das Gaußsche Eliminationsverfahren anwenden zu können, fasst Du das Gleichungssystem kompakt als eine Matrix:

Durch das Gaußsche Eliminationsverfahren erhältst Du:

Die Skalare, die das Gleichungssystem lösen, sind also

und

Damit bekommst Du für die gesuchte Linearkombination

Linearkombination – Das Wichtigste

  • Bei Vektoren hast Du insbesondere zwei Operationen: die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation.
  • Beide Operationen betreffen immer nur zwei Objekte gleichzeitig: bei der Vektoraddition sind es zwei Vektoren, bei der Skalarmultiplikation ein Vektor und eine Zahl.
  • Durch die Einführung von Linearkombinationen wird diese Einschränkung aufgehoben. Bei einer Linearkombination kannst Du jede endliche Anzahl an Vektoren wahlweise skalieren und anschließend die skalierten Vektoren miteinander addieren.
  • Bei zwei Vektoren kannst Du einen der Vektoren als Linearkombination des anderen Vektors schreiben, wenn die beiden Vektoren auf derselben Ursprungsgeraden liegen. Das ist unabhängig davon, ob es Vektoren der Ebene oder des Raums sind.
  • Hast Du drei Vektoren in der Ebene gegeben, von denen keiner der Nullvektor ist, so gibt es zwei Fälle:
    • Jeder Vektor liegt auf einer anderen Ursprungsgeraden: In diesem Fall kannst Du jeden der drei Vektoren als Linearkombination der beiden anderen Vektoren schreiben.
    • Zwei Vektoren liegen auf derselben Ursprungsgeraden: Hier kannst Du den Vektor, der nicht auf dieser Ursprungsgerade liegt, nicht als Linearkombination der anderen beiden Vektoren schreiben.
  • Im Raum hast Du neben Ursprungsgeraden auch noch die Ebenen, die durch die Vektoren aufgespannt werden. Jeder Vektor, der sich innerhalb der Ebene befindet, kann als Linearkombination der aufspannenden Vektoren geschrieben werden.
  • Bei vier Vektoren im Raum verwendest Du das Gaußsche Eliminationsverfahren, um das Gleichungssystem zu lösen, das Du durch die Komponenten der Vektoren erhältst.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Linearkombination

Die Linearkombination von Vektoren beinhaltet zwei Operationen: die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation. Dabei nimmst Du eine endliche Anzahl an Vektoren, skalierst sie wahlweise mit Zahlen und schließlich addierst Du die skalierten (oder nicht skalierten) Versionen der Vektoren.

Im Kern ist eine Linearkombination eine Operation auf Vektoren, die aus gegebenen Vektoren und Zahlen einen (im Allgemeinen) neuen Vektor produziert. Dabei werden die gegebenen Vektoren zunächst mit den gegebenen Zahlen skaliert. Anschließend werden die skalierten Versionen der Vektoren addiert.

Ohne zusätzliche Ergänzungen kannst Du Vektoren nur miteinander addieren oder Vektoren mit einer Zahl multiplizieren. Entsprechend hast Du bei einer Linearkombination auch nur diese beiden Operationen zur Verfügung. Wenn Du also einen Ausdruck siehst, bei dem die Vektoren skaliert und addiert werden, dann ist es eine Linearkombination (beachte, dass die Skalare auch negativ sein können; es dürfen also auch Minuszeichen vorhanden sein). Hast Du hingegen einen Ausdruck, bei dem etwa die Vektoren quadriert werden, dann ist es keine Linearkombination.

Für eine Linearkombination stehen Dir zwei Operationen zur Verfügung: die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation. Wenn Du also einen Ausdruck mit Vektoren gegeben hast, der nur diese beiden Operationen beinhaltet, ist dieser Ausdruck eine Linearkombination. Die Skalare dürfen dabei auch negativ sein, das heißt, es können Minuszeichen vorkommen.

Finales Linearkombination Quiz

Frage

Beschreibe in eigenen Worten, was ein Vektorraum ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Vektorraum ist ein mathematischer Ort, dessen Bewohner (Vektoren genannt) Du addieren und mit einer Zahl multiplizieren kannst.

Frage anzeigen

Frage

Wie wird die Addition von zwei Vektoren ebenfalls genannt?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Addition zweier Vektoren heißt auch Vektoraddition. Damit soll betont werden, dass es sich nicht um die gewöhnliche Addition handelt.

Frage anzeigen

Frage

Wie wird die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl auch genannt?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl wird oft kurz als Skalarmultiplikation bezeichnet (nicht zu verwechseln mit Skalarprodukt). Dabei ist "Skalar" die gängige Bezeichnung für reine Zahlen, um sie von den Vektoren zu unterscheiden. Ähnlich wie mit der Bezeichnung Vektoraddition soll durch den Begriff Skalarmultiplikation angedeutet werden, dass Du es hier mit einer "neuen Art" an Multiplikation zu tun hast.

Frage anzeigen

Frage

Du hast eine Menge von Objekte gegeben und möchtest auf dieser Menge eine Vektoraddition definieren. Worauf musst Du unbedingt achten?

Antwort anzeigen

Antwort

Zunächst musst Du sicherstellen, dass die von Dir definierte Operation aus zwei Objekten eines Typs ein weiteres Objekt desselben Typs produziert. Ist das garantiert, so musst Du als Nächstes überprüfen, ob Deine Operation die Eigenschaften K A N I erfüllt. 

Frage anzeigen

Frage

Du hast einen Vektorraum ohne weitere Struktur gegeben. Was kannst Du mit den Vektoren dieses Vektorraums anstellen?

Antwort anzeigen

Antwort

Ohne weitere Ergänzungen kannst Du die Vektoren nur addieren und mit einer Zahl multiplizieren. Das Multiplizieren eines Vektors mit einer Zahl wird oft auch als Skalierung des Vektors mit dieser Zahl bezeichnet.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe in eigenen Worten, was genau hinter dem Konzept der Linearkombination steht.

Antwort anzeigen

Antwort

Bei der Vektoraddition und Skalarmultiplikation bist Du auf zwei Objekte gleichzeitig beschränkt. Die Einführung von Linearkombinationen hebt diese Einschränkung auf. Bei einer Linearkombination skalierst Du die Vektoren wahlweise und addierst anschließend die skalierten Versionen der Vektoren.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die mathematische Definition einer allgemeinen Linearkombination von n Vektoren?

Antwort anzeigen

Antwort

Du hast n Vektoren  sowie n Skalare  gegeben. Die Linearkombination dieser n Vektoren zu den n Skalaren lautet dann .

Frage anzeigen

Frage

Wie wird die Vektoraddition und die Skalarmultiplikation von Pfeilen als Vektoren üblicherweise definiert?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei Pfeilen als Vektoren werden beide Operationen elementweise definiert. Zum Beispiel ist die Vektoraddition zweier Vektoren der Ebene  und  gegeben durch: 

Frage anzeigen

Frage

Gegeben sind die beiden Vektoren


 und


Berechne die Linearkombination




Antwort anzeigen

Antwort

Um die Linearkombination zu den gegebenen Vektoren und Skalaren zu berechnen, musst Du im Wesentlichen nur die Komponenten einsetzen:



Frage anzeigen

Frage

Welche zwei "Wege" gibt es bei Linearkombinationen und wie gehst Du bei diesen im Allgemeinen vor?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt die "Vorwärtsrichtung": Hier hast Du die Vektoren und Skalare gegeben und berechnest durch Einsetzen direkt die Linearkombination. Dann gibt es die "Rückwärtsrichtung": Hier hast Du Vektoren gegeben und möchtest einen dieser Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren schreiben; Du suchst also nach Skalaren. Häufig löst Du dazu ein Gleichungssystem.

Frage anzeigen

Frage

Du hast zwei Vektoren gegeben, die beide nicht der Nullvektor sind. Wann kannst Du einen der Vektoren als Linearkombination des anderen schreiben?

Antwort anzeigen

Antwort

Damit Du einen der Vektoren als Linearkombination des anderen Vektors schreiben kannst, müssen sich die Vektoren auf derselben Ursprungsgeraden befinden. Rechnerisch kannst Du das daran feststellen, dass sich die Komponenten jeweils um denselben Faktor unterscheiden.

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Betrachte die beiden Vektoren


 und


Lässt sich  als Linearkombination von  schreiben? Falls Ja, gebe die konkrete Linearkombination an.

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Ja, Du kannst  als Linearkombination von  schreiben, denn die Komponenten unterscheiden sich jeweils um denselben Faktor. Als Linearkombination bekommst Du .

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Wie gehst Du im Allgemeinen vor, wenn Du mehr als 2 Vektoren gegeben hast und feststellen möchtest, ob Du einen der Vektoren als Linearkombination der anderen Vektoren schreiben kannst?

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Auch bei mehr als 2 Vektoren schaust Du Dir die einzelnen Komponenten an. Da Du hier schnell die Übersicht verlieren kannst, ist es geschickt, mit den Komponenten ein Gleichungssystem aufzustellen. Dieses Gleichungssystem kannst Du dann etwa mit dem Gaußschen Eliminationsverfahren lösen.

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Betrachte die drei Vektoren


 und


Bestimme Skalare  und , sodass



gilt.


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Die Linearkombination lautet .

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Du hast die vier Vektoren


 und


gegeben. Bestimme die Skalare  und  mit der Eigenschaft, dass



gilt.

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Die Skalare lauten  und .

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