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Was hat eine Treppe mit Winkeln zu tun? Eine Treppe hat viele Stufenwinkel. Jede Stufe einer Treppe steht in einem bestimmten Winkel zu der nächsten Stufe. Wie Stufenwinkel sich definieren und wie Du Stufenwinkel erkennst, erfährst Du in dieser Erklärung.
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Jetzt kostenlos anmeldenWas hat eine Treppe mit Winkeln zu tun? Eine Treppe hat viele Stufenwinkel. Jede Stufe einer Treppe steht in einem bestimmten Winkel zu der nächsten Stufe. Wie Stufenwinkel sich definieren und wie Du Stufenwinkel erkennst, erfährst Du in dieser Erklärung.
Es gibt vier für Dich wichtige Winkelsätze. Diese bauen teilweise aufeinander auf und werden auch in anderen Bereichen der Geometrie häufig gebraucht.
Wenn Du mehr über die anderen Winkelsätze erfahren willst, schau einmal in den jeweiligen Erklärungen nach.
Besonders gut beherrschen solltest Du die Sätze des Nebenwinkels und Scheitelwinkels. Auf diesen beiden Sätzen bauen der Wechselwinkel und Stufenwinkel auf.
Zwei Winkel sind Nebenwinkel voneinander, wenn sie an einer Geradenkreuzung nebeneinander liegen.
Schneiden sich zwei Geraden, so heißen benachbarte Winkelpaare Nebenwinkel. Nebenwinkel ergeben zusammen immer 180°.
Es gilt:
Ein 180° Winkel wird auch gestreckter Winkel genannt.
Die beiden Geraden schneiden sich und es entstehen vier Winkel. Die beiden Winkel und sowie und bilden zusammen Winkelpaare, welche 180° ergeben. Auch und sowie und bilden Winkelpaare, welche zusammen 180° ergeben.
Zwei Winkel sind Scheitelwinkel, wenn sie an einer Geradenkreuzung gegenüber voneinander liegen.
Schneiden sich zwei Geraden, so heißen gegenüberliegende Winkelpaare Scheitelwinkel. Scheitelwinkel sind immer gleich groß.
Es gilt:
Die beiden Geraden schneiden sich und es entstehen vier Winkel. Die beiden Winkel und sind gleich groß. Auch und sind gleich groß.
Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind immer gleich groß.
Wenn zwei Geraden parallel sind und eine dritte Gerade f die beiden Parallelen schneidet, so sind die Winkel, welche sich gegenüberliegen, aber nicht auf der gleichen Parallelen liegen, gleich groß. Dieses Winkelpaar heißt Wechselwinkel.
Es gilt:
Der Wechselwinkel wird auch „Z-Winkel“ genannt. Die Geraden bilden zusammen ein Z. In den Nischen des Z liegen dann die Wechselwinkel.
In den Winkelsätzen vom Scheitelwinkel und Nebenwinkel schneiden sich zwei Geraden. Dagegen werden beim Wechselwinkel zwei parallele Geraden von einer dritten Geraden geschnitten. Auch beim Stufenwinkel geht es um parallele Geraden, die von einer Dritten geschnitten werden.
Wenn zwei Geraden parallel sind und eine dritte Gerade die beiden Parallelen schneidet, so sind die Winkel auf einer Seite gleich groß. Dieses Winkelpaar heißt Stufenwinkel.
Es gilt:
Du kannst Dir das auch so vorstellen, als würden die Geraden mit den Winkeln den Buchstaben F bilden. Die Stufenwinkel sind dann jeweils an den Schnittpunkten der Striche. Aufgrund dessen werden Stufenwinkel manchmal auch als „F-Winkel“ bezeichnet.
Die Voraussetzung in dieser Definition ist es, dass die Geraden parallel sind. Hier kannst Du auch die Umkehrung des Satzes anwenden.
Wenn Stufenwinkel gleich groß sind, so sind die Geraden parallel.
Wenn die Geraden nicht parallel sind, darfst Du den Stufenwinkelsatz nicht anwenden.
Aufgabe 1
Berechne den Winkel , wenn beträgt.
Lösung
Es handelt sich bei den Winkeln und um Stufenwinkel. Zusätzlich sind g und h parallel, weshalb Du den Wechselwinkelsatz anwenden darfst. Es gilt .
Der Winkel beträgt 30°.
Ob Du den Stufenwinkelsatz anwenden darfst, ist neben der Parallelendbedingung auch von weiteren Bedingungen abhängig.
Folgende Bedingungen müssen erfüllt sein, damit es sich um Stufenwinkel handelt:
Für gleiche Farben gilt in dieser Abbildung, der Stufenwinkelsatz darf angewendet werden. Die jeweiligen Winkel bilden zusammen immer ein Stufenwinkelpaar.
Aufgabe 2
Betrachte das Bild genau. Darf der Stufenwinkelsatz hier angewendet werden?
Lösung
Der Stufenwinkelsatz darf angewendet werden. Die beiden Geraden erfüllen die Bedingung der Parallelität.
Um zu überprüfen, ob die Geraden parallel sind, kannst Du die Geraden verlängern oder messen, ob an beiden Seiten die Geraden den gleichen Abstand haben. Dafür nimmst Du ein Lineal oder Geodreieck und misst den Abstand auf der rechten und der linken Seite.
Über den Stufenwinkelsatz lässt sich die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beweisen.
Die Summe aller Winkel in einem Dreieck beträgt 180°.
Es gilt:
Für den Beweis legst Du eine parallele Gerade zu c durch den Punkt C an. Anschließend verlängerst Du die Seiten a und b. Es entstehen drei Winkel. Der rechte Winkel ist der Stufenwinkel von . Der linke Winkel ist der Stufenwinkel von . In der Mitte befindet sich der Scheitelwinkel von .
Zusammen ergeben die Winkel einen gestreckten Winkel, welcher immer 180° groß ist.
Du kannst den Innenwinkelsatz auch mit dem Wechselwinkelsatz beweisen.
Der Wechselwinkelsatz und der Stufenwinkelsatz haben die Gemeinsamkeit, dass sie beide an parallelen Geraden liegen. Durch diesen Zusammenhang kannst Du den Stufenwinkelsatz mithilfe des Wechselwinkelsatzes herleiten.
Dafür nimmst Du als Grundlage den Wechselwinkel. Für diesen gilt , wenn g und h parallel sind.
Der Stufenwinkel von ist der Scheitelwinkel von . Dementsprechend wendest Du den Scheitelwinkelsatz auf an und erhältst . Dieser ist genauso groß wie und demzufolge auch wie . Für die Schlussfolgerung bedeutet dies, dass der Stufenwinkel an parallelen Geraden gleich groß sein muss mit dem Ausgangswinkel .
In den folgenden Aufgaben kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.
Aufgabe 3
Berechne die folgenden Winkel und gebe an, welchen Winkelsatz Du genutzt hast. Der Winkel beträgt 70°.
Lösung
Damit Du nicht den Überblick verlierst, solltest Du Dir eine Reihenfolge festlegen, wann Du welchen Winkel berechnest. Am besten beginnst Du oben und arbeitest Dich nach unten.
Als Erstes berechnest Du den Nebenwinkel von . Nebenwinkel ergeben zusammen immer 180°. Um zu berechnen, musst Du den Nebenwinkelsatz nach umstellen.
Als Nächstes ermittelst Du den Winkel . Dieser ist der Stufenwinkel von .
Zum Schluss kannst Du über den Wechselwinkelsatz ermitteln. Der Winkel ist der dazugehörige Wechselwinkel.
Aufgabe 4
Berechne den Winkel . Der Winkel beträgt 130°.
Abbildung 14: Winkel erkennen und berechnen
Lösung
Es gibt keinen Winkelsatz, welcher einen Zusammenhang zwischen und darstellt. Deshalb musst Du, bevor Du berechnest, einen Hilfswinkel berechnen. Dieser Hilfswinkel ist und ist Nebenwinkel von .
Als Erstes berechnest Du den Nebenwinkel von . Nebenwinkel ergeben zusammen immer 180°. Um zu berechnen, musst Du den Nebenwinkelsatz nach umstellen.
Der Winkel ist der Stufenwinkel von . Ermittle jetzt .
Der Winkel beträgt 50°.
Es gilt:
Die Umkehrung des Satzes gilt: Wenn Stufenwinkel gleich groß sind, so sind die Geraden parallel.
Der Stufenwinkel wird auch „Z-Winkel“ genannt.
Stufenwinkel sind nur dann gleich groß, wenn die dritte Gerade zwei Parallelen schneidet. Wenn die Geraden nicht parallel sind, sind die Stufenwinkel nicht gleich groß.
Ein Stufenwinkel entsteht, wenn zwei (parallele) Geraden von einer dritten Geraden geschnitten werden. Dabei ist ein Stufenwinkelpaar die Winkel, welche auf der gleichen Seite der Schnittgeraden und auf der gleichen Seite der Parallelen liegt.
Folgende Bedingungen müssen erfüllt sein, damit es sich um Stufenwinkel handelt:
Wie werden Stufenwinkel noch genannt?
F-Winkel
Wie lautet die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes?
Wenn Stufenwinkel gleich groß sind, so sind die Geraden parallel.
Mithilfe welcher Bedingungen erkennst Du Stufenwinkel?
Sind Stufenwinkel immer gleich groß?
Stufenwinkel sind nur dann gleich groß, wenn die dritte Gerade zwei Parallelen schneidet. Wenn die Geraden nicht parallel sind, sind die Stufenwinkel nicht gleich groß.
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