Stufenwinkel

Was hat eine Treppe mit Winkeln zu tun? Eine Treppe hat viele Stufenwinkel. Jede Stufe einer Treppe steht in einem bestimmten Winkel zu der nächsten Stufe. Wie Stufenwinkel sich definieren und wie Du Stufenwinkel erkennst, erfährst Du in dieser Erklärung.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Stufenwinkel & Winkelarten – Grundlagenwissen

    Es gibt vier für Dich wichtige Winkelsätze. Diese bauen teilweise aufeinander auf und werden auch in anderen Bereichen der Geometrie häufig gebraucht.

    Wenn Du mehr über die anderen Winkelsätze erfahren willst, schau einmal in den jeweiligen Erklärungen nach.

    Besonders gut beherrschen solltest Du die Sätze des Nebenwinkels und Scheitelwinkels. Auf diesen beiden Sätzen bauen der Wechselwinkel und Stufenwinkel auf.

    Nebenwinkelsatz

    Zwei Winkel sind Nebenwinkel voneinander, wenn sie an einer Geradenkreuzung nebeneinander liegen.

    Schneiden sich zwei Geraden, so heißen benachbarte Winkelpaare Nebenwinkel. Nebenwinkel ergeben zusammen immer 180°.

    Es gilt:

    α+β=180°

    Ein 180° Winkel wird auch gestreckter Winkel genannt.

    Die beiden Geraden schneiden sich und es entstehen vier Winkel. Die beiden Winkel α und β sowie γ und δbilden zusammen Winkelpaare, welche 180° ergeben. Auch α und δ sowie β und γ bilden Winkelpaare, welche zusammen 180° ergeben.

    Stufenwinkel Nebenwinkel StudySmarterAbbildung 1: Nebenwinkel

    Scheitelwinkelsatz

    Zwei Winkel sind Scheitelwinkel, wenn sie an einer Geradenkreuzung gegenüber voneinander liegen.

    Schneiden sich zwei Geraden, so heißen gegenüberliegende Winkelpaare Scheitelwinkel. Scheitelwinkel sind immer gleich groß.

    Es gilt:

    α=α'

    Die beiden Geraden schneiden sich und es entstehen vier Winkel. Die beiden Winkel α und γ sind gleich groß. Auch β und δ sind gleich groß.

    Stufenwinkel Scheitelwinkel StudySmarterAbbildung 2: Scheitelwinkel

    Wechselwinkelsatz

    Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind immer gleich groß.

    Wenn zwei Geraden gh parallel sind und eine dritte Gerade f die beiden Parallelen schneidet, so sind die Winkel, welche sich gegenüberliegen, aber nicht auf der gleichen Parallelen liegen, gleich groß. Dieses Winkelpaar heißt Wechselwinkel.

    Es gilt:

    α=α'

    Stufenwinkel Wechselwinkel StudySmarterAbbildung 3: Wechselwinkel

    Der Wechselwinkel wird auch „Z-Winkel“ genannt. Die Geraden bilden zusammen ein Z. In den Nischen des Z liegen dann die Wechselwinkel.

    Stufenwinkel Z-Winkel StudySmarterAbbildung 4: Z-Winkel

    Stufenwinkel an parallelen Geraden – Stufenwinkelsatz

    In den Winkelsätzen vom Scheitelwinkel und Nebenwinkel schneiden sich zwei Geraden. Dagegen werden beim Wechselwinkel zwei parallele Geraden von einer dritten Geraden geschnitten. Auch beim Stufenwinkel geht es um parallele Geraden, die von einer Dritten geschnitten werden.

    Wenn zwei Geraden parallel gh sind und eine dritte Gerade die beiden Parallelen schneidet, so sind die Winkel auf einer Seite gleich groß. Dieses Winkelpaar heißt Stufenwinkel.

    Es gilt:

    α=α'

    Du kannst Dir das auch so vorstellen, als würden die Geraden mit den Winkeln den Buchstaben F bilden. Die Stufenwinkel sind dann jeweils an den Schnittpunkten der Striche. Aufgrund dessen werden Stufenwinkel manchmal auch als „F-Winkel“ bezeichnet.

    Stufenwinkel F-Winkel StudySmarterAbbildung 5: F-Winkel

    Die Voraussetzung in dieser Definition ist es, dass die Geraden parallel sind. Hier kannst Du auch die Umkehrung des Satzes anwenden.

    Wenn Stufenwinkel gleich groß sind, so sind die Geraden parallel.


    Stufenwinkel Stufenwinkel StudySmarterAbbildung 6: Stufenwinkel

    Wenn die Geraden nicht parallel sind, darfst Du den Stufenwinkelsatz nicht anwenden.

    Aufgabe 1

    Berechne den Winkel α', wenn α=30° beträgt.

    Stufenwinkel Stufenwinkel StudySmarterAbbildung 7: Stufenwinkel

    Lösung

    Es handelt sich bei den Winkeln α und α'um Stufenwinkel. Zusätzlich sind g und h parallel, weshalb Du den Wechselwinkelsatz anwenden darfst. Es gilt α=α'.

    α=α'α'=30°

    Der Winkel α' beträgt 30°.

    Stufenwinkel erkennen

    Ob Du den Stufenwinkelsatz anwenden darfst, ist neben der Parallelendbedingung auch von weiteren Bedingungen abhängig.

    Folgende Bedingungen müssen erfüllt sein, damit es sich um Stufenwinkel handelt:

    1. Sie liegen auf der gleichen Seite der Schnittgeraden f.
    2. Sie liegen auf der gleichen Seite der Parallelen g und h.

    Für gleiche Farben gilt in dieser Abbildung, der Stufenwinkelsatz darf angewendet werden. Die jeweiligen Winkel bilden zusammen immer ein Stufenwinkelpaar.

    Stufenwinkel Stufenwinkel erkennen StudySmarterAbbildung 8: Stufenwinkel erkennen

    Aufgabe 2

    Betrachte das Bild genau. Darf der Stufenwinkelsatz hier angewendet werden?

    Stufenwinkel parallel Geraden StudySmarterAbbildung 9: parallele Geraden

    Lösung

    Der Stufenwinkelsatz darf angewendet werden. Die beiden Geraden erfüllen die Bedingung der Parallelität.

    Um zu überprüfen, ob die Geraden parallel sind, kannst Du die Geraden verlängern oder messen, ob an beiden Seiten die Geraden den gleichen Abstand haben. Dafür nimmst Du ein Lineal oder Geodreieck und misst den Abstand auf der rechten und der linken Seite.

    Stufenwinkel im Dreieck

    Über den Stufenwinkelsatz lässt sich die Innenwinkelsumme eines Dreiecks beweisen.

    Die Summe aller Winkel in einem Dreieck beträgt 180°.

    Es gilt:

    α+β+γ=180°

    Für den Beweis legst Du eine parallele Gerade zu c durch den Punkt C an. Anschließend verlängerst Du die Seiten a und b. Es entstehen drei Winkel. Der rechte Winkel ist der Stufenwinkel von α. Der linke Winkel ist der Stufenwinkel von β. In der Mitte befindet sich der Scheitelwinkel von γ.

    Zusammen ergeben die Winkel einen gestreckten Winkel, welcher immer 180° groß ist.

    Stufenwinkel Innenwinkelsumme StudySmarterAbbildung 10: Innenwinkelsumme

    Du kannst den Innenwinkelsatz auch mit dem Wechselwinkelsatz beweisen.

    Zusammenhang zwischen Stufenwinkel und Wechselwinkel

    Der Wechselwinkelsatz und der Stufenwinkelsatz haben die Gemeinsamkeit, dass sie beide an parallelen Geraden liegen. Durch diesen Zusammenhang kannst Du den Stufenwinkelsatz mithilfe des Wechselwinkelsatzes herleiten.

    Dafür nimmst Du als Grundlage den Wechselwinkel. Für diesen gilt α=α', wenn g und h parallel sind.

    Stufenwinkel Stufenwinkel Herleitung StudySmarterAbbildung 11: Stufenwinkel Herleitung

    Der Stufenwinkel von α ist der Scheitelwinkel von α'. Dementsprechend wendest Du den Scheitelwinkelsatz auf α' an und erhältst α''. Dieser ist genauso groß wie α' und demzufolge auch wie α. Für die Schlussfolgerung bedeutet dies, dass der Stufenwinkel an parallelen Geraden gleich groß sein muss mit dem Ausgangswinkel α.

    Stufenwinkel Stufenwinkel Herleitung StudySmarterAbbildung 12: Stufenwinkel Herleitung

    Stufenwinkel – Aufgaben zum Üben

    In den folgenden Aufgaben kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.

    Aufgabe 3

    Berechne die folgenden Winkel und gebe an, welchen Winkelsatz Du genutzt hast. Der Winkel γ beträgt 70°.

    Stufenwinkel Winkel erkennen und berechnen StudySmarterAbbildung 13: Winkel erkennen und berechnen

    Lösung

    Damit Du nicht den Überblick verlierst, solltest Du Dir eine Reihenfolge festlegen, wann Du welchen Winkel berechnest. Am besten beginnst Du oben und arbeitest Dich nach unten.

    Als Erstes berechnest Du den Nebenwinkel von γ. Nebenwinkel ergeben zusammen immer 180°. Um β zu berechnen, musst Du den Nebenwinkelsatz nach β umstellen.

    β+γ=180°|-γβ=180°-70°β=110°

    Als Nächstes ermittelst Du den Winkel α. Dieser ist der Stufenwinkel von γ.

    α=γ=70°

    Zum Schluss kannst Du δ über den Wechselwinkelsatz ermitteln. Der Winkel β ist der dazugehörige Wechselwinkel.

    δ=β=110°

    Aufgabe 4

    Berechne den Winkel β. Der Winkel α beträgt 130°.

    Stufenwinkel Winkel erkennen und berechnen StudySmarter

    Abbildung 14: Winkel erkennen und berechnen

    Lösung

    Es gibt keinen Winkelsatz, welcher einen Zusammenhang zwischen α und β darstellt. Deshalb musst Du, bevor Du β berechnest, einen Hilfswinkel berechnen. Dieser Hilfswinkel ist α' und ist Nebenwinkel von α.

    Stufenwinkel Winkel berechnen StudySmarterAbbildung 14: Winkel berechnen

    Als Erstes berechnest Du den Nebenwinkel von α. Nebenwinkel ergeben zusammen immer 180°. Um α' zu berechnen, musst Du den Nebenwinkelsatz nach α umstellen.

    α+α'=180°|-αα'=180°-130°α'=50°

    Der Winkel α' ist der Stufenwinkel von β. Ermittle jetzt β.

    β=α'=50°

    Der Winkel β beträgt 50°.

    Stufenwinkel – Das Wichtigste

    • Wenn zwei Geraden parallel gh sind und eine dritte Gerade die beiden Parallelen schneidet, so sind die Winkel auf einer Seite gleich groß. Dieses Winkelpaar heißt Stufenwinkel.

      Es gilt:α=α'

    • Die Umkehrung des Satzes gilt: Wenn Stufenwinkel gleich groß sind, so sind die Geraden parallel.

    • Der Stufenwinkel wird auch „Z-Winkel“ genannt.

    Nachweise

    1. Ernst (1977). Geometrie 1. Ehrenwirth Verlag, München.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Stufenwinkel

    Was ist ein Stufenwinkel?

    Wenn zwei Geraden parallel g||h sind und eine dritte Gerade die beiden Parallelen schneidet, so sind die Winkel auf einer Seite gleich groß. Dieses Winkelpaar heißt Stufenwinkel.

    Es gilt: α=α' 

    Sind Stufenwinkel immer gleich groß?

    Stufenwinkel sind nur dann gleich groß, wenn die dritte Gerade zwei Parallelen schneidet. Wenn die Geraden nicht parallel sind, sind die Stufenwinkel nicht gleich groß.

    Wie entsteht ein Stufenwinkel?

    Ein Stufenwinkel entsteht, wenn zwei (parallele) Geraden von einer dritten Geraden geschnitten werden. Dabei ist ein Stufenwinkelpaar die Winkel, welche auf der gleichen Seite der Schnittgeraden und auf der gleichen Seite der Parallelen liegt.

    Wie erkennt man ein Stufenwinkelpaar?

    Folgende Bedingungen müssen erfüllt sein, damit es sich um Stufenwinkel handelt:


    1. Die geschnittenen Geraden müssen parallel sein.
    2. Sie liegen auf der gleichen Seite der Schnittgeraden f.
    3. Sie liegen auf der gleichen Seite der Parallelen g und h.

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