Stufenwinkel

Nebenwinkelsatz

Zwei Winkel sind Nebenwinkel voneinander, wenn sie an einer Geradenkreuzung nebeneinander liegen.

Die beiden Geraden schneiden sich und es entstehen vier Winkel. Die beiden Winkel $\alpha$ und $\beta$ sowie $\gamma$ und $\delta$bilden zusammen Winkelpaare, welche 180° ergeben. Auch $\alpha$ und $\delta$ sowie $\beta$ und $\gamma$ bilden Winkelpaare, welche zusammen 180° ergeben.

Abbildung 1: Nebenwinkel

Scheitelwinkelsatz

Zwei Winkel sind Scheitelwinkel, wenn sie an einer Geradenkreuzung gegenüber voneinander liegen.

Die beiden Geraden schneiden sich und es entstehen vier Winkel. Die beiden Winkel $\alpha$ und $\gamma$ sind gleich groß. Auch $\beta$ und $\delta$ sind gleich groß.

Abbildung 2: Scheitelwinkel

Wechselwinkelsatz

Wechselwinkel an geschnittenen Parallelen sind immer gleich groß.

Abbildung 3: Wechselwinkel

Der Wechselwinkel wird auch „Z-Winkel“ genannt. Die Geraden bilden zusammen ein Z. In den Nischen des Z liegen dann die Wechselwinkel.

Abbildung 4: Z-Winkel

Stufenwinkel an parallelen Geraden – Stufenwinkelsatz

In den Winkelsätzen vom Scheitelwinkel und Nebenwinkel schneiden sich zwei Geraden. Dagegen werden beim Wechselwinkel zwei parallele Geraden von einer dritten Geraden geschnitten. Auch beim Stufenwinkel geht es um parallele Geraden, die von einer Dritten geschnitten werden.

Du kannst Dir das auch so vorstellen, als würden die Geraden mit den Winkeln den Buchstaben F bilden. Die Stufenwinkel sind dann jeweils an den Schnittpunkten der Striche. Aufgrund dessen werden Stufenwinkel manchmal auch als „F-Winkel“ bezeichnet.

Abbildung 5: F-Winkel

Die Voraussetzung in dieser Definition ist es, dass die Geraden parallel sind. Hier kannst Du auch die Umkehrung des Satzes anwenden.

Abbildung 6: Stufenwinkel

Wenn die Geraden nicht parallel sind, darfst Du den Stufenwinkelsatz nicht anwenden.

Stufenwinkel erkennen

Ob Du den Stufenwinkelsatz anwenden darfst, ist neben der Parallelendbedingung auch von weiteren Bedingungen abhängig.

Für gleiche Farben gilt in dieser Abbildung, der Stufenwinkelsatz darf angewendet werden. Die jeweiligen Winkel bilden zusammen immer ein Stufenwinkelpaar.

Abbildung 8: Stufenwinkel erkennen

Stufenwinkel im Dreieck

Zusammenhang zwischen Stufenwinkel und Wechselwinkel

Der Wechselwinkelsatz und der Stufenwinkelsatz haben die Gemeinsamkeit, dass sie beide an parallelen Geraden liegen. Durch diesen Zusammenhang kannst Du den Stufenwinkelsatz mithilfe des Wechselwinkelsatzes herleiten.

Dafür nimmst Du als Grundlage den Wechselwinkel. Für diesen gilt $\alpha =\alpha \text{'}$, wenn g und h parallel sind.

Abbildung 11: Stufenwinkel Herleitung

Der Stufenwinkel von $\alpha$ ist der Scheitelwinkel von $\alpha \text{'}$. Dementsprechend wendest Du den Scheitelwinkelsatz auf $\alpha \text{'}$ an und erhältst $\alpha \text{'}\text{'}$. Dieser ist genauso groß wie $\alpha \text{'}$ und demzufolge auch wie $\alpha$. Für die Schlussfolgerung bedeutet dies, dass der Stufenwinkel an parallelen Geraden gleich groß sein muss mit dem Ausgangswinkel $\alpha$.

Abbildung 12: Stufenwinkel Herleitung

Stufenwinkel – Aufgaben zum Üben

In den folgenden Aufgaben kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.