So eine Situation hast Du bestimmt zumindest in ähnlicher Weise bereits erlebt. Du stehst gerade vor einem Spiegel, um die Kleidungsstücke anzuprobieren, die Du Dir von einem Onlineshop bestellt hast. Oder Du probst gerade kurz Deine Gestik, wenn Du in Deinem Referat einen kleinen Witz oder eine spannende Überleitung einbauen möchtest.
Dabei ist Dir bekannt, dass Du in diesem Spiegel genau die Gegenstände sehen kannst, die sich direkt vor diesem befinden. Zusätzlich handelt es sich hierbei allerdings auch um eine Achsenspiegelung, mit dem Spiegel als Spiegelachse. Und genau dasselbe kannst Du auch in der Mathematik mit geometrischen Figuren machen.
Achsenspiegelung – Grundlagenwissen
Grundkonstruktionen sind in der Mathematik und insbesondere in der Geometrie verschiedene Verfahren zur Konstruktion mit einem Zirkel oder einem Lineal bzw. Geodreieck. Dabei kannst Du zum Beispiel von Strecken den Mittelpunkt bestimmen, oder auch den Abstand zu einem Punkt einzeichnen. Dazu kannst Du Geraden als Spiegelachse verwenden und somit eine Spiegelung durchführen.
Achsenspiegelung – allgemeine Konstruktion
Unter anderem ist es möglich, den Mittelpunkt einer Geraden grafisch zu bestimmen. Mit einem Geodreieck oder einem normalen Lineal kannst Du von einem Punkt die Hälfte der Länge dieser Strecke abgehen und als Mittelpunkt M mit den Koordinaten x und y einzeichnen. Mit einem Zirkel gehst Du wie folgt vor:
- Du erstellst von den beiden Endpunkten (hier P und Q) einer Strecke jeweils einen Halbkreis mit einem Radius, der größer ist als die Hälfte der Strecke. Dabei sollen sich diese beiden Kreisbögen in zwei Punkten schneiden.
- Nun erstellst Du eine Gerade, die durch beide Punkte geht. Folglich wird auch die ursprüngliche Strecke geschnitten. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt der Strecke.
Abbildung 1: Mittelpunkt einer Strecke mit Zirkel ermitteln
Diese und weitere Konstruktionen kannst Du in anderen Erklärungen lernen oder wiederholen. Möchtest Du näheres zur Konstruktion eines Lotes mit einem Zirkel oder Geodreieck erfahren, so sieh doch gerne bei der Erklärung Lot konstruieren vorbei. Auch etwas weiter in Deinem Lernfortschritt kannst Du Näheres zu einem Schwerpunkt eines Dreiecks erfahren in der Erklärung Schwerpunkt eines Dreiecks konstruieren. Eine ausführliche Zusammenfassung vieler Konstruktionen findest Du unter Grundkonstruktionen.
Achsenspiegelung – Senkrechte in einem Punkt
Möchtest Du nicht explizit den Mittelpunkt bestimmen, sondern einen beliebigen Punkt auf einer Strecke bzw. Geraden, so bietet sich die nachfolgende Methode an.
Eine Variante, um ein Lot durch einen Punkt auf einer Geraden zu fällen, ist derselbe Schritt, wie zuvor. Allerdings nutzt Du einen Kreis mit einem beliebigen Radius um diesen Punkt, damit Du zwei Punkte auf dieser Geraden als Zwischenmarkierung erhältst. Danach kannst Du genauso wie in der letzten Grafik vorgehen.
In diesem Beispiel erstellst Du einen Kreis mit einem gewissen Radius, damit zwei Schnittpunkte auf der Geraden entstehen. Von diesen Punkten R und S bildest Du wieder Kreise bzw. Halbkreise, wobei deren neue Schnittpunkte als Ausgang für die Lotgerade dienen.
Abbildung 2: Lot durch Punkt auf Gerade mit Zwischenmarkierung
Möchtest Du hingegen von einem Punkt aus, der sich nicht auf dieser Geraden befindet, ein Lot fällen, so zeichnest Du zuvor einen Kreis von diesem Punkt aus, sodass zwei Schnittpunkte auf der Geraden entstehen. Danach verwendest Du wieder den zweiten Schritt. Wie das im Detail mit dem Zirkel für Geraden funktioniert, wirst Du später noch erfahren. Dieses Vorgehen wird nun interessant für die Achsenspiegelung an einer Geraden als Spiegelachse.
Achsenspiegelung – Eigenschaften
Du stehst also vor einem Spiegel und stellst fest, dass Du darin Dich selbst und alles, was hinter Dir tatsächlich im Raum steht, sehen kannst. Dieses Phänomen der Achsenspiegelung wird Dir jetzt näher erläutert.
Achsenspiegelung – Definition
Allerdings ist das Prinzip des Spiegels nicht ganz das, was Du im Matheunterricht näher betrachten wirst. Du wirst nämlich nur zweidimensional diese Achsenspiegelung nutzen, indem ein Punkt oder eine Fläche an einer Geraden gespiegelt wird.
Die Achsenspiegelung ist eine Spiegelung eines Punktes oder mehrerer Punkte, bzw. Formen an einer Geraden als Spiegelachse. Insgesamt ordnet eine Achsenspiegelung einem Punkt P einen Bildpunkt P' zu, wobei die Verbindungsstrecke rechtwinklig zu dieser Geraden ist. Dabei ist der Abstand beider Strecken vom Urpunkt zur Geraden bzw. von der Geraden zum Bildpunkt identisch.
Eine Achsenspiegelung ist somit definiert, wobei Punkte auf der Geraden selbst als sogenannte Fixpunkte ihre Position beibehalten. In gewisser Weise "klappst" Du also die Figur an der Spiegelachse "um", dafür könntest Du auch einen Spiegel verwenden.
So konntest Du vielleicht im Kunstunterricht die Hälfte eines Schmetterlings mit Wasserfarben malen, das Blatt an der Spiegelachse falten und somit die andere Seite des Schmetterlings durch die noch nassen Farben kopieren. Nur wahrscheinlich hat es in der Praxis nicht ganz so gut funktioniert, wie es sein sollte...
Achsenspiegelung – Merkmale
Es gelten insgesamt vier verschiedene Eigenschaften. Diese sind, dass eine Achsenspiegelung längen-, winkel- und geradentreu ist.
Das bedeutet, dass die Strecken zum einen von dem jeweiligen Urpunkt und Bildpunkt zur Spiegelachse identisch sind, allerdings auch die Strecken von mindestens zwei gespiegelten Punkten. Außerdem bleiben die Winkel identisch.
Also nutzt Du etwa ein Dreieck mit den Punkten A, B und C, so bleibt Folgendes mit Bezug auf das Dreieck identisch:
- Die Strecken [AB], [AC] und [BC] bleiben identisch und gleich lang. Genauso wie der Abstand dieser drei Punkte zur Spiegelachse.
- Die Winkel an den Punkten A, B und C, zum Beispiel als α, β und γ bezeichnet, bleiben gleich groß.
Außerdem gilt die sogenannte Geradentreue bei einer Spiegelung, gespiegelt an einer Spiegelachse. Das bedeutet, dass Geraden wiederum zu einer Geraden gespiegelt werden und nicht zu einer anderen Form werden. Beziehungsweise bleiben auch parallele oder orthogonale Geraden in dieser Form erhalten.
Eine Änderung ist allerdings der Umlaufsinn. Während normalerweise in der Mathematik Punkte gegen den Uhrzeigersinn beschriftet werden, so kehrt sich dies bei einer Achsenspiegelung um. Die beiden sind entgegengesetzt orientiert. Im Gegensatz dazu bleibt bei einer Punktspiegelung dieser Umlaufsinn erhalten.
| Achsenspiegelung | Erklärung | Punktspiegelung |
| Längentreu | Längen von Strecken bleiben bei Spiegelung gleich. | Längentreu |
| Geradentreu | Geraden bleiben Geraden. | Geradentreu |
| Winkeltreu | Winkel bleiben gleich groß. | Winkeltreu |
| Umlaufsinn verändert | Punkte von Flächen können gegen oder mit dem Uhrzeigersinn verlaufen. | Umlaufsinn bleibt erhalten |
Eine Besonderheit nimmt in diesem Zusammenhang für eine Achsenspiegelung der Kreis ein, welcher unendlich viele Symmetrieachsen besitzt, da Du unendlich viele Geraden durch den Mittelpunkt geben kannst, wobei die zweite Hälfte die Spiegelung der ersten ist. Dabei handelt es sich um kongruente Figuren, die also dieselbe Form besitzen.
Abbildung 3: Eigenschaften der Achsenspiegelung
Achsenspiegelung konstruieren
In diesem Kapitel wird Dir die Konstruktion der Achsenspiegelung anhand von einem Punkt mit einer Geraden erläutert. Dazu benötigst Du einen Stift und ein Geodreieck oder einen Zirkel.
Achsenspiegelung mit Geodreieck
Wichtig für die Konstruktion mit dem Geodreieck ist, dass Du ein gewisses Verständnis besitzt, wie Du rechte Winkel bestimmen kannst.
Sehe Dir dazu gerne die Erklärung Winkel abtragen an.
Oftmals wird Dir in einer Aufgabe eine Gerade und eine zu spiegelnde Figur oder ein Punkt gegeben sein. Ansonsten erstellst Du Dir selbst eine Gerade und das Objekt dazu. Nun gibt es einen möglichen Schritt, wie Du diesen Punkt spiegeln kannst.
- Lege das Geodreieck mit der Mittellinie auf die Gerade g und markiere eine Linie, die auch durch den Punkt P reicht.
- Dann misst Du den Abstand zwischen dem Schnittpunkt mit der Gerade und dem zu spiegelnden Punkt.
- Diesen Abstand gehst Du auf der Geraden in die gegenüberliegende Seite von der Geraden weiter. An dieser Stelle kannst Du Deinen Bildpunkt markieren. Ein Beispiel für die Bezeichnung dieses Bildpunkts ist P' für den Punkt P.
Abbildung 4: Achsenspiegelung mit Geodreieck
Achsenspiegelung mit Zirkel
Um eine Achsenspiegelung an einer Spiegelachse mit einem Zirkel durchzuführen, kannst Du Dich auch schon ein wenig an dem Wiederholten orientieren. Das Verfahren ist nämlich ähnlich zu dem Fällen eines Lotes durch einen Punkt auf eine Gerade, allerdings wird dies noch um weitere Schritte ergänzt.
Erstelle eine Achsenspiegelung mit einem Zirkel.
Schritt 1:
Erstelle einen Kreis um den zu spiegelnden Punkt, sodass dieser in zwei Punkten die Gerade schneidet. Benenne diese Punkte zum Beispiel mit A und B.
Abbildung 5: Achsenspiegelung mit Zirkel Schritt 1
Schritt 2:
Von Punkt A und von Punkt B aus erstellst Du zwei Kreise, die einen Radius haben, der so groß ist wie der Abstand zwischen dem Punkt A und dem Punkt P, oder auch B und P. Der Abstand ist derselbe.
Schritt 3:
Du erhältst zwei Kreise mit zwei Schnittpunkten. Der eine Schnittpunkt ist der Punkt P, der gespiegelt werden soll. Der andere Schnittpunkt ist Dein Bildpunkt, also der gespiegelte Punkt. Markiere diesen und beschrifte ihn als P'.
Abbildung 6: Achsenspiegelung mit Zirkel Vorgehensweise komplett
Achsenspiegelung – Übungen
Im Folgenden kannst Du das Vorgehen der Achsenspiegelung mit Geodreieck und Zirkel selbst erproben. Viel Spaß!
Aufgabe 1
Löse die nachfolgende Zeichnung mit dem Geodreieck, um die Achsenspiegelung durchzuführen.
Abbildung 7: Achsenspiegelung mit Geodreieck
Um diese Aufgabe zu bearbeiten, kannst Du Dir dieses Bild entweder ausdrucken, oder die Punkte in Dein eigenes Koordinatensystem übertragen.
Wie Du siehst, sind folgende Figuren gegeben:
- Punkt P (3, -4)
- Punkt Q (0, -4)
- Punkt R (0, -8)
- Spiegelachse mit Gerade
Lösung
Wenn Du nicht mehr genau weißt, wie Du eine Geradengleichung erstellst und im Koordinatensystem eine Gerade einzeichnen kannst, kannst Du Dir die Erklärung "Geradengleichung aufstellen" ansehen.
Im Folgenden nutzt Du diese Schritte:
Schritt 1:
Setze Dein Geodreieck mit der Mittellinie an, sodass Du eine Senkrechte zur Geraden erstellst, die durch den jeweiligen Punkt geht. Das machst Du für jeden einzelnen Punkt.
Schritt 2:
Danach misst Du den ab und gehst mit diesem Abstand an der Gerade auf der anderen Seite der Spiegelachse weiter.
Abbildung 8: Achsenspiegelung eines Dreiecks an einer Geraden
Schritt 3:
Dort befinden sich Deine Punkte P', Q', R', die zusammen das gespiegelte Dreieck ergeben.
Hier siehst Du das Ergebnis ohne die Hilfslinien:
Abbildung 9: Achsenspiegelung eines Dreiecks an einer Geraden ohne Markierungen
Aufgabe 2
Führe die Achsenspiegelung für diese Form durch. Nutze dazu Deinen Zirkel.
Abbildung 10: Achsenspiegelung mit Zirkel
Auch hier ist Dir wieder als Hilfestellung das Koordinatensystem in der Angabe angegeben, damit Du diese Aufgabe auch auf Papier lösen kannst. Folgende Punkte und Geraden sind gegeben:
- Punkt A (-6, -7)
- Punkt B (2, -5)
- Spiegelachse mit Gerade
Lösung
Schritt 1:
Im ersten Schritt erstellst Du zwei Kreise, einen für den Punkt A und einen für den Punkt B. Sie haben in diesem Fall zwar denselben Radius, ist aber nicht zwingend notwendig. Wichtiger wird der Radius in Schritt 2.
Abbildung 11: Achsenspiegelung einer Strecke AB an einer Geraden (Teil 1)
Schritt 2:
Zeichne zwei Kreise von C und D mit dem Radius sieben durch den Punkt A. Der weitere Schnittpunkt ergibt A'. Selbiges gilt für den Punkt B. Du zeichnest zwei Kreise durch den Punkt E und F und erhältst als deren Schnittpunkt B'. Das Resultat ist die blaue Strecke.
Abbildung 12: Achsenspiegelung einer Strecke AB an einer Geraden (Teil 2)
Die gespiegelte Strecke sieht also so aus:
Abbildung 13: Achsenspiegelung einer Strecke AB an einer Geraden (Teil 3)
Achsenspiegelung - Das Wichtigste
- Den Mittelpunkt einer Strecke konstruierst Du, indem Du von den zwei Endpunkten der Strecke zwei Kreise mit demselben Radius erstellst. Dabei sind die Schnittpunkte der Ausgang einer weiteren Gerade. Der Schnittpunkt mit der Anfangsgeraden ist der Mittelpunkt.
- Die Senkrechte oder das Lot auf eine Gerade fällst Du, indem Du von dem Punkt auf der Geraden einen Kreis zeichnest. Die zwei Schnittpunkte mit der Geraden sind die Ausgangspunkte für zwei gleich große Kreise mit Radius mindestens der Hälfte der Strecke. Durch deren Schnittpunkte zeichnest Du die Lotgerade.
- Eine Achsenspiegelung ist die Spiegelung eines Punktes oder mehrerer Punkte an einer Spiegelachse.
- Die Achsenspiegelung ist längen-, winkel- und geradentreu. Allerdings ändert sich der Umlaufsinn einer gespiegelten Form.
- Die Achsenspiegelung mit Geodreieck ist möglich, indem Du die Senkrechte durch den jeweiligen Punkt ziehst. Danach ermittelst Du die Länge der Strecke von dem Punkt P zum Schnittpunkt S in der Geraden und misst denselben Abstand ab zum Punkt P'.
- Die Achsenspiegelung mit Zirkel funktioniert, indem Du einen Kreis um den Punkt ziehst, der die Gerade in zwei Punkten schneidet. Du erstellst zwei Kreise von diesen Punkten, wobei der Radius derselbe ist, als zuvor. Die Schnittpunkte sind der Punkt P und sein Bildpunkt P'.
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