In einem dreidimensionalen Koordinatensystem werden unter anderem geometrische Formen dargestellt. Eines davon ist der Spat. Um diese Form zu berechnen, benötigst Du Vektoren, genauer gesagt, das Spatprodukt. Wie das geht und was Du dabei beachten solltest, lernst Du in diesem Artikel.
Spatprodukt Definition
Doch was ist eigentlich ein Spat?
Ein Spat ist ein geometrischer Körper, der sechs Parallelogramme als Seitenflächen besitzt. Die gegenüberliegende Parallelogramme sind immer kongruent zueinander und liegen in parallelen Ebenen.
Zwei Figuren sind zueinander kongruent, wenn Du die eine Figur mit der anderen zur Deckung bringen kannst.
Mithilfe des Spatprodukts kannst Du das Volumen von einem Spat, der von drei Vektoren aufgespannt wird, berechnen.
Formel eines Spatprodukts:
Die drei Vektoren ![]()
, ![]()
und ![]()
spannen den Spat auf. Das Volumen berechnest Du mit der Formel:
![]()
Spatprodukt berechnen
Bisher ging es nur um das Theoretische, in diesem Teil wirst Du deshalb lernen, wie diese Formel in der Praxis, also in der Berechnung von Volumen, verwendet wird und auf welche Art Du das Spatprodukt noch berechnen kannst.
Spatprodukt berechnen – Kreuzprodukt und skalare Multiplikation
In dieser Methode das Spatprodukt zu berechnen, wird die Formel so ausgerechnet, wie sie in der Definition steht.
Bedenke, bevor Du weiterliest, dass dieses Thema darauf beruht, dass Du weißt, was Kreuz- und Skalarprodukte sind und wie Du mit ihnen umgehen musst. Wenn das nicht der Fall sein sollte, kannst Du Dir, bevor Du weiterliest, die Artikel zum Skalarprodukt und Kreuzprodukt anschauen.
Aufgabe 1
Ein Spat wird von den drei Vektoren ![]()
, ![]()
und ![]()
aufgespannt. Berechne das Volumen des Spats!
Abbildung 1: Spat
Lösung
1. Schritt:
Die allgemeine Formel für das Spatprodukt lautet ![]()
. Wenn Du das in Vektorschreibweise aufschreibst, sieht das dann entsprechend so aus:
![]()
In diese Form setzt Du jetzt Deine gegebenen Vektoren ein:
![]()
2. Schritt:
Nachdem Du die Werte für die Formel eingesetzt hast, rechnest Du jetzt als Erstes das Kreuzprodukt aus:
![]()
Wenn Du mit der Rechnung fertig bist, sollte für das Kreuzprodukt ein neuer Vektor entstehen.
3. Schritt:
Jetzt fehlt noch das Skalarprodukt zwischen Deinem Kreuzprodukt und Deinem Vektor ![]()
:
![]()
Da ein Volumen nicht negativ sein kann, musst Du noch den Betrag von Deinem Ergebnis bilden:
![]()
Der Spat hat demnach ein Volumen von 19 VE.
Spatprodukt berechnen mit Determinante
Neben der klassischen Formel kann das Spatprodukt auch mit der Determinante berechnet werden. Wie das geht, siehst Du hier.
Dir ist das Wort Determinante noch kein Begriff? Dann lies Dich vorher doch einmal durch den Artikel Determinante, bevor Du weitermachst.
Aufgabe 2
Ein Spat wird von den drei Vektoren ![]()
, ![]()
und ![]()
aufgespannt. Berechne das Volumen des Spats!
Lösung
Hier musst Du die gleiche Aufgabe wie vorher lösen, doch diesmal mithilfe einer Determinante.
1. Schritt:
Um das Spatprodukt zu berechnen, wird die Determinante von einer ![]()
Matrix gebildet, die entsteht, wenn Du die drei Vektoren einzeln in die Matrix schreibst. Das sieht wie folgt aus:
![]()
Wenn Du jetzt die Werte für Dein Beispiel einsetzt, bekommst Du folgende Matrix:
![]()
2. Schritt:
Jetzt, wo Du Deine Matrix hast, musst Du noch die Determinante berechnen. In diesem Beispiel wird dazu der Satz von Sarrus verwendet:
Beim Satz des Sarrus kannst Du die Determinante für 3 × 3 Matrizen berechnen, indem Du die erste und die zweite Spalte noch mal hinter die Matrix schreibst und die Diagonalen bildest. Die Diagonalen von links unten bis rechts oben werden einzeln multipliziert und dann addiert, die Diagonalen von links oben nach rechts unten werden auch multipliziert und dann subtrahiert. Genaueres zur Ausführung findest Du in der Erklärung Determinanten.
![]()
Auch hier muss noch der Betrag von Deinem Ergebnis gebildet werden:
![]()
Wie Du siehst, kommt hier das gleiche Ergebnis, 19 VE, wie in der oberen Rechnung raus.
Spatprodukt Herleitung
Du hast jetzt zwar die Formel angewendet, aber woher kommt diese Formel eigentlich? Hier siehst Du, wie Du die Formel Schritt für Schritt herleitest.
Als Grundlage für die Herleitung dient die allgemeine Formel für das Volumen eines Spats. Diese lautet:
![]()
Abbildung 2: Grundfläche und Höhe eines Spats
![]()
ist dabei die Grundflächen und h die darauf stehende Höhe.
Diese Formel hilft Dir bei der Rechnung mit Vektoren bisher jedoch noch nicht weiter. Deshalb musst Du jetzt die Formel in eine Vektorschreibweise übersetzen.
Um die Grundfläche ![]()
zu erhalten, kannst Du das Kreuzprodukt zur Hilfe nehmen. Die Grundfläche des Spats ist ein Parallelogramm, das von den Vektoren ![]()
und ![]()
aufgespannt wird. Wenn Du das Kreuzprodukt ![]()
dieser beiden Vektoren bildest, dann erhältst Du den Normalenvektor auf der aufgespannten Grundfläche. Wenn Du davon wiederum den Betrag ![]()
bildest, bekommst Du das Volumen:
![]()
Jetzt brauchst Du nur noch die Höhe auf der Grundfläche. Diese berechnet sich, indem Du den Vektor ![]()
auf die Richtung des Normalenvektors projizierst. Das erreichst Du, indem Du Deinen Vektor ![]()
mit dem Kreuzprodukt ![]()
, also dem Normalenvektor ![]()
, skalar multiplizierst. Da der Normalenvektor und der Vektor ![]()
den Winkel ![]()
einschließen, lässt sich außerdem schreiben:
![]()
Wenn Du das jetzt zusammenführst, bekommst Du für das Volumen eines Spats:
![]()
Jetzt hast Du hier jedoch einen Winkel stehen, der nicht immer gegeben sein wird. Diesen Winkel kannst Du jedoch rauskürzen, indem Du die Formeln zur Winkelberechnung verwendest:
Die Formel für die Winkelberechnung lautet:
![]()
Wie Du oben gesehen hast, kannst Du den Normalenvektor auch durch die Vektoren ![]()
und ![]()
beschreiben, zusammengesetzt ergibt das dann für die Winkelberechnung:
![]()
Wenn Du das jetzt für ![]()
in der Formel für das Volumen des Spats einsetzt, erhältst Du:
![]()
Diesen Term kannst Du jetzt kürzen und bekommst für das Volumen:
![]()
Und damit hast Du das Spatprodukt hergeleitet.
Spatprodukt Anwendung
Das Spatprodukt kannst Du nicht nur zur Berechnung von Spats benutzen. Du kannst die Formel des Spatprodukt auch leicht abändern, um das Volumen anderer Formen zu berechnen.
Spatprodukt dreieckiges Prisma
Wenn Du ein Spat in zwei gleiche Teile teilst, erhältst Du zwei volumengleiche dreieckige Prismen. In anderen Worten, das Volumen eines dreieckigen Prismas, das durch die gleichen Vektoren aufgespannt wird, wie der Spat, ist halb so groß wie das des Spats.
Ein dreieckiges Prisma ist ein geometrischer Körper, deren Grundfläche einem Dreieck entspricht. Zudem sind alle Kanten, die die Höhe des Prismas beschreiben, parallel zueinander und gleich lang. Deck- und Grundfläche von Prismen sind parallel zueinander und kongruent. 
Abbildung 3: Unterteilung Spat in dreieckiges Prisma
Daraus folgt dann für die Formel des Prismas:
Das Volumen eines Prismas erhältst Du durch:
![]()
Spatprodukt Pyramide
Nach dem gleichen Schema kannst Du auch das Volumen einer Pyramide berechnen, denn wenn Du ein Prisma in drei gleiche Teile teilst, bekommst Du drei volumengleiche Pyramiden.
Abbildung 4: Unterteilung dreieckiges Prisma in Pyramiden
Entsprechend ist die Formel für das Volumen einer Pyramide ein Drittel des Volumens für das Prismas:
Das Volumen einer Pyramide berechnet sich durch:
![]()
Das Spatprodukt 0
Wie Du oben schon in der Herleitung gesehen hast, kann das Volumen des Spats auch durch die Formel ![]()
berechnet werden. Diese Formel kannst Du in vielen Fällen nicht für die Volumenberechnung verwenden, da sie einen Winkel beinhaltet, der häufig in der Aufgabe nicht gegeben ist. Warum Du ein Spatprodukt mit dem Ergebnis 0 erhältst, kann diese Formel jedoch erklären.
Stelle Dir jetzt vor, Du hast das Spatprodukt dreier Vektoren berechnet, die ungleich dem Nullvektor sind. Das Ergebnis ist aber die Zahl 0. Woran liegt das und was sagt das über die Vektoren aus? Setzte dafür zuerst die Formel gleich 0:
![]()
Wenn Du diese Formeln wieder zusammenführst, erhältst Du:
![]()
Der Vektor ![]()
ist also senkrecht zu dem Kreuzprodukt, das wiederum senkrecht zu der Grundfläche des Spats ist. Daraus folgt:
![]()
Der Vektor ![]()
ist also parallel und daher gleichzeitig in der Ebene der Grundfläche. Folglich kann kein Volumen aufgespannt werden und das Ergebnis des Spatprodukt ist 0.
Was bedeutet das für die Vektoren, die den Spat aufspannen?
Da der Vektor ![]()
in der Ebene der von den Vektoren ![]()
und ![]()
aufgespannten Ebene liegt, sind diese linear voneinander abhängig. Mit diesem Wissen, kannst Du also das Spatprodukt verwenden, um drei gegebene Vektoren auf lineare (un)abhängigkeit zu überprüfen.
Spatprodukt – Übungsaufgaben
In diesem Abschnitt kannst Du das Anwenden der Formeln ein wenig selbst üben.
Aufgabe 3
Gegeben seien die Vektoren ![]()
, ![]()
und ![]()
Berechne das Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannten Spats mit dem Spatprodukt.
Lösung
1. Schritt:
Setzte als Erstes die gegebene Vektoren in die Formel des Spatproduktes ein:
![]()
2. Schritt:
Nachdem Du die Werte eingesetzt hast, berechnest Du als Erstes das Kreuzprodukt:
![]()
3. Schritt:
Als Letztes musst Du jetzt nur noch Dein Ergebnis für das Kreuzprodukt mit dem Vektor ![]()
skalar multiplizieren:
![]()
Das Volumen beträgt 136 VE.
Aufgabe 4
Berechne das Volumen des Spats von Aufgabe 3 mithilfe der Determinante.
Lösung
1. Schritt:
Bilde die Matrix aus den drei Vektoren:
![]()
2. Schritt:
Berechne die Determinante mit dem Satz von Sarrus:
![]()
Aufgabe 5
Gegeben seien die Vektoren ![]()
, ![]()
und ![]()
, berechne das Volumen des Prismas, das von diesen Vektoren aufspannt, wird.
Lösung
1. Schritt:
Setzte die Vektoren in die Formel ein:
![]()
2. Schritt:
Berechne jetzt zuerst das Kreuzprodukt:
![]()
3. Schritt:
Als Nächstes multiplizierst Du wieder Dein Kreuzprodukt skalar mit dem Vektor ![]()
:
![]()
4. Schritt:
Jetzt musst Du nur noch den Betrag bilden und ihn durch 3 teilen:
![]()
Das Volumen des Prismas beträgt 5,66 VE.
Spatprodukt – Das Wichtigste
- Ein Spat ist ein geometrischer Körper mit sechs Parallelogrammen als Seitenflächen. Die gegenüberliegenden Parallelogramme sind kongruent zueinander und parallel
- Das Spatprodukt berechnet das Volumen eines Spats, es ist definiert durch:
![]()
- oder auch durch die Determinante der Matrix, die aus den 3 Vektoren entsteht
![]()
- Das Spatprodukt wird mithilfe der Gleichung
![]()
hergeleitet, mit ![]()
und ![]()
- Durch das Spatprodukt kannst Du auch die Volumen anderer Formen berechnen:
- Durch das Spatprodukt lassen sich Vektoren auf lineare Unabhängigkeit überprüfen. Wenn das Ergebnis des Spatprodukts gleich 0 ist, sind die Vektoren linear abhängig
Nachweise
- Wolfgang Gawronski (1996). Grundlagen der Linearen Algebra. Aula-Verlag
- ingenieurkurse.de: Das Spatprodukt (24.05.2022)
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