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In einem dreidimensionalen Koordinatensystem werden unter anderem geometrische Formen dargestellt. Eines davon ist der Spat. Um diese Form zu berechnen, benötigst Du Vektoren, genauer gesagt, das Spatprodukt. Wie das geht und was Du dabei beachten solltest, lernst Du in diesem Artikel.
Doch was ist eigentlich ein Spat?
Ein Spat ist ein geometrischer Körper, der sechs Parallelogramme als Seitenflächen besitzt. Die gegenüberliegende Parallelogramme sind immer kongruent zueinander und liegen in parallelen Ebenen.
Zwei Figuren sind zueinander kongruent, wenn Du die eine Figur mit der anderen zur Deckung bringen kannst.
Mithilfe des Spatprodukts kannst Du das Volumen von einem Spat, der von drei Vektoren aufgespannt wird, berechnen.
Formel eines Spatprodukts:
Die drei Vektoren 
, 
und 
spannen den Spat auf. Den Flächeninhalt berechnest Du mit der Formel:
Bisher ging es nur um das Theoretische, in diesem Teil wirst Du deshalb lernen, wie diese Formel in der Praxis, also in der Berechnung von Flächeninhalten, verwendet wird und auf welche Art Du das Spatprodukt noch berechnen kannst.
In dieser Methode das Spatprodukt zu berechnen, wird die Formel so ausgerechnet, wie sie in der Definition steht.
Bedenke, bevor Du weiterliest, dass dieses Thema darauf beruht, dass Du weißt, was Kreuz- und Skalarprodukte sind und wie Du mit ihnen umgehen musst. Wenn das nicht der Fall sein sollte, kannst Du Dir, bevor Du weiterliest, die Artikel zum Skalarprodukt und Kreuzprodukt anschauen.
Aufgabe 1
Ein Spat wird von den drei Vektoren 
, 
und 
aufgespannt. Berechne den Flächeninhalt des Spats!
Abbildung 1: Spat
Lösung
1. Schritt:
Die allgemeine Formel für das Spatprodukt lautet 
. Wenn Du das in Vektorschreibweise aufschreibst, sieht das dann entsprechend so aus:
In diese Form setzt Du jetzt Deine gegebenen Vektoren ein:
2. Schritt:
Nachdem Du die Werte für die Formel eingesetzt hast, rechnest Du jetzt als Erstes das Kreuzprodukt aus:
Wenn Du mit der Rechnung fertig bist, sollte für das Kreuzprodukt ein neuer Vektor entstehen.
3. Schritt:
Jetzt fehlt noch das Skalarprodukt zwischen Deinem Kreuzprodukt und Deinem Vektor 
:
Da ein Flächeninhalt nicht negativ sein kann, musst Du noch den Betrag von Deinem Ergebnis bilden:
Der Spat hat demnach ein Volumen von 19 VE.
Neben der klassischen Formel kann das Spatprodukt auch mit der Determinante berechnet werden. Wie das geht, siehst Du hier.
Dir ist das Wort Determinante noch kein Begriff? Dann lies Dich vorher doch einmal durch den Artikel Determinante, bevor Du weitermachst.
Aufgabe 2
Ein Spat wird von den drei Vektoren 
, 
und 
aufgespannt. Berechne den Flächeninhalt des Spats!
Lösung
Hier musst Du die gleiche Aufgabe wie vorher lösen, doch diesmal mithilfe einer Determinante.
1. Schritt:
Um das Spatprodukt zu berechnen, wird die Determinante von einer 
Matrix gebildet, die entsteht, wenn Du die drei Vektoren einzeln in die Matrix schreibst. Das sieht wie folgt aus:
Wenn Du jetzt die Werte für Dein Beispiel einsetzt, bekommst Du folgende Matrix:
2. Schritt:
Jetzt, wo Du Deine Matrix hast, musst Du noch die Determinante berechnen. In diesem Beispiel wird dazu der Satz von Sarrus verwendet:
Beim Satz des Sarrus kannst Du die Determinante für 3 × 3 Matrizen berechnen, indem Du die erste und die zweite Spalte noch mal hinter die Matrix schreibst und die Diagonalen bildest. Die Diagonalen von links unten bis rechts oben werden einzeln multipliziert und dann addiert, die Diagonalen von links oben nach rechts unten werden auch multipliziert und dann subtrahiert. Genaueres zur Ausführung findest Du in der Erklärung Determinanten.
Auch hier muss noch der Betrag von Deinem Ergebnis gebildet werden:
Wie Du siehst, kommt hier das gleiche Ergebnis, 19 VE, wie in der oberen Rechnung raus.
Du hast jetzt zwar die Formel angewendet, aber woher kommt diese Formel eigentlich? Hier siehst Du, wie Du die Formel Schritt für Schritt herleitest.
Als Grundlage für die Herleitung dient die allgemeine Formel für das Volumen eines Spats. Diese lautet:
Abbildung 2: Grundfläche und Höhe eines Spats
ist dabei die Grundflächen und h die darauf stehende Höhe.
Diese Formel hilft Dir bei der Rechnung mit Vektoren bisher jedoch noch nicht weiter. Deshalb musst Du jetzt die Formel in eine Vektorschreibweise übersetzen.
Um die Grundfläche 
zu erhalten, kannst Du das Kreuzprodukt zur Hilfe nehmen. Die Grundfläche des Spats ist ein Parallelogramm, das von den Vektoren 
und 
aufgespannt wird. Wenn Du das Kreuzprodukt 
dieser beiden Vektoren bildest, dann erhältst Du den Normalenvektor auf der aufgespannten Grundfläche. Wenn Du davon wiederum den Betrag 
bildest, bekommst Du den Flächeninhalt:
Jetzt brauchst Du nur noch die Höhe auf der Grundfläche. Diese berechnet sich, indem Du den Vektor 
auf die Richtung des Normalenvektors projizierst. Das erreichst Du, indem Du Deinen Vektor 
mit dem Kreuzprodukt 
, also dem Normalenvektor 
, skalar multiplizierst. Da der Normalenvektor und der Vektor 
den Winkel 
einschließen, lässt sich außerdem schreiben:
Wenn Du das jetzt zusammenführst, bekommst Du für das Volumen eines Spats:
Jetzt hast Du hier jedoch einen Winkel stehen, der nicht immer gegeben sein wird. Diesen Winkel kannst Du jedoch rauskürzen, indem Du die Formeln zur Winkelberechnung verwendest:
Die Formel für die Winkelberechnung lautet:
Wie Du oben gesehen hast, kannst Du den Normalenvektor auch durch die Vektoren 
und 
beschreiben, zusammengesetzt ergibt das dann für die Winkelberechnung:
Wenn Du das jetzt für 
in der Formel für das Volumen des Spats einsetzt, erhältst Du:
Diesen Term kannst Du jetzt kürzen und bekommst für das Volumen:
Und damit hast Du das Spatprodukt hergeleitet.
Das Spatprodukt kannst Du nicht nur zur Berechnung von Spats benutzen. Du kannst die Formel des Spatprodukt auch leicht abändern, um das Volumen anderer Formen zu berechnen.
Wenn Du ein Spat in zwei gleiche Teile teilst, erhältst Du zwei volumengleiche dreieckige Prismen. In anderen Worten, das Volumen eines dreieckigen Prismas, das durch die gleichen Vektoren aufgespannt wird, wie der Spat, ist halb so groß wie das des Spats.
Abbildung 3: Unterteilung Spat in dreieckiges Prisma
Daraus folgt dann für die Formel des Prismas:
Das Volumen eines Prismas erhältst Du durch:
Nach dem gleichen Schema kannst Du auch das Volumen einer Pyramide berechnen, denn wenn Du ein Prisma in drei gleiche Teile teilst, bekommst Du drei volumengleiche Pyramiden.
Abbildung 4: Unterteilung dreieckiges Prisma in Pyramiden
Entsprechend ist die Formel für das Volumen einer Pyramide ein Drittel des Volumens für das Prismas:
Das Volumen einer Pyramide berechnet sich durch:
Wie Du oben schon in der Herleitung gesehen hast, kann das Volumen des Spats auch durch die Formel 
berechnet werden. Diese Formel kannst Du in vielen Fällen nicht für die Volumenberechnung verwenden, da sie einen Winkel beinhaltet, der häufig in der Aufgabe nicht gegeben ist. Warum Du ein Spatprodukt mit dem Ergebnis 0 erhältst, kann diese Formel jedoch erklären.
Stelle Dir jetzt vor, Du hast das Spatprodukt dreier Vektoren berechnet, die ungleich dem Nullvektor sind. Das Ergebnis ist aber die Zahl 0. Woran liegt das und was sagt das über die Vektoren aus? Setzte dafür zuerst die Formel gleich 0:
Da die Vektoren ungleich 0 sind, muss also 
gleich 0 ergeben. Die Winkelfunktionen besagen, dass der Kosinus nur dann 0 wird, wenn der Winkel 
entweder 
oder 
entspricht. Da der Winkel 
der ist, der zwischen 
und 
eingeschlossen ist, kannst Du daraus ableiten, dass der Vektor 
senkrecht auf dem Kreuzprodukt 
steht.
Also gilt:
Wenn Du jetzt noch einmal gedanklich zur Herleitung des Spatprodukt zurückkehrst, erinnerst Du Dich vielleicht, dass das Kreuzprodukt der beiden Vektoren der Grundfläche den Normalvektor der Fläche bildet. Dieser Normalenvektor ist laut Definition senkrecht zu seiner Grundfläche. In Vektorschreibweise bedeutet das:
Wenn Du diese Formeln wieder zusammenführst, erhältst Du:
Der Vektor 
ist also senkrecht zu dem Kreuzprodukt, das wiederum senkrecht zu der Grundfläche des Spats ist. Daraus folgt:
Der Vektor 
ist also parallel und daher gleichzeitig in der Ebene der Grundfläche. Folglich kann kein Volumen aufgespannt werden und das Ergebnis des Spatprodukt ist 0.
Was bedeutet das für die Vektoren, die den Spat aufspannen?
Da der Vektor 
in der Ebene der von den Vektoren 
und 
aufgespannten Ebene liegt, sind diese linear voneinander abhängig. Mit diesem Wissen, kannst Du also das Spatprodukt verwenden, um drei gegebene Vektoren auf lineare (un)abhängigkeit zu überprüfen.
In diesem Abschnitt kannst Du das Anwenden der Formeln ein wenig selbst üben.
Aufgabe 3
Gegeben seien die Vektoren 
, 
und 
Berechne das Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannten Spats mit dem Spatprodukt.
Lösung
1. Schritt:
Setzte als Erstes die gegebene Vektoren in die Formel des Spatproduktes ein:
2. Schritt:
Nachdem Du die Werte eingesetzt hast, berechnest Du als Erstes das Kreuzprodukt:
3. Schritt:
Als Letztes musst Du jetzt nur noch Dein Ergebnis für das Kreuzprodukt mit dem Vektor 
skalar multiplizieren:
Der Flächeninhalt beträgt 136 VE.
Aufgabe 4
Berechne das Volumen des Spats von Aufgabe 3 mithilfe der Determinante.
Lösung
1. Schritt:
Bilde die Matrix aus den drei Vektoren:
2. Schritt:
Berechne die Determinante mit dem Satz von Sarrus:
Aufgabe 5
Gegeben seien die Vektoren 
, 
und 
, berechne das Volumen des Prismas, das von diesen Vektoren aufspannt, wird.
Lösung
1. Schritt:
Setzte die Vektoren in die Formel ein:
2. Schritt:
Berechne jetzt zuerst das Kreuzprodukt:
3. Schritt:
Als Nächstes multiplizierst Du wieder Dein Kreuzprodukt skalar mit dem Vektor 
:
4. Schritt:
Jetzt musst Du nur noch den Betrag bilden und ihn durch 3 teilen:
Der Flächeninhalt des Prismas beträgt 5,66 VE.
hergeleitet, mit 
und 
Das Spatprodukt sagt aus, dass Du das Volumen eines Spats mit den drei aufspannenden Vektoren berechnen kannst.
Wenn das Spatprodukt 0 ist, dann bedeutet das, dass die durch zwei Vektoren aufgespannte Ebene keinen Winkel mit dem dritten Vektor einschließt. Es sind demnach alle Vektoren in einer Ebene und linear abhängig.
Ein Spat ist ein geometrischer Körper, der sechs Parallelogramme als Seitenflächen besitzt. Die gegenüberliegende Parallelogramme sind immer kongruent zueinander und liegen in parallelen Ebenen.
Das Spatprodukt kannst Du auf zwei Arten berechnen. Entweder Du bildest erst von zwei der gegebenen Vektoren das Kreuzprodukt und multiplizierst dann das Ergebnis mit dem dritten Vektor skalar, oder Du setzt die drei Vektoren in eine 3 × 3 Matrix und berechnest davon die Determinante.
Frage
Wie lautet die Formel für das Spatprodukt?
Antwort
Die Formel lautet:
Frage
Mithilfe welcher(n) Formel(n) wird das Spatprodukt hergeleitet?
Antwort
Mit der Formel:
Frage
Wie berechnest Du das Volumen eines Prismas?
Antwort
Du berechnest das Volumen eines Prismas mit der Formel:
Frage
Wie berechnest Du das Volumen einer Pyramide?
Antwort
Du berechnest das Volumen einer Pyramide mit der Formel:
Frage
Bei welchen Winkeln wird der Kosinus gleich 0?
Antwort
Der Kosinus wird bei den Winkeln und
gleich 0
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