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Spatprodukt

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Spatprodukt

In einem dreidimensionalen Koordinatensystem werden unter anderem geometrische Formen dargestellt. Eines davon ist der Spat. Um diese Form zu berechnen, benötigst Du Vektoren, genauer gesagt, das Spatprodukt. Wie das geht und was Du dabei beachten solltest, lernst Du in diesem Artikel.

Spatprodukt Definition

Doch was ist eigentlich ein Spat?

Ein Spat ist ein geometrischer Körper, der sechs Parallelogramme als Seitenflächen besitzt. Die gegenüberliegende Parallelogramme sind immer kongruent zueinander und liegen in parallelen Ebenen.

Zwei Figuren sind zueinander kongruent, wenn Du die eine Figur mit der anderen zur Deckung bringen kannst.

Mithilfe des Spatprodukts kannst Du das Volumen von einem Spat, der von drei Vektoren aufgespannt wird, berechnen.

Formel eines Spatprodukts:

Die drei Vektoren a=a1a2a3, b=b1b2b3 und c=c1c2c3 spannen den Spat auf. Den Flächeninhalt berechnest Du mit der Formel:

a×bc

Spatprodukt berechnen

Bisher ging es nur um das Theoretische, in diesem Teil wirst Du deshalb lernen, wie diese Formel in der Praxis, also in der Berechnung von Flächeninhalten, verwendet wird und auf welche Art Du das Spatprodukt noch berechnen kannst.

Spatprodukt berechnen – Kreuzprodukt und skalare Multiplikation

In dieser Methode das Spatprodukt zu berechnen, wird die Formel so ausgerechnet, wie sie in der Definition steht.

Bedenke, bevor Du weiterliest, dass dieses Thema darauf beruht, dass Du weißt, was Kreuz- und Skalarprodukte sind und wie Du mit ihnen umgehen musst. Wenn das nicht der Fall sein sollte, kannst Du Dir, bevor Du weiterliest, die Artikel zum Skalarprodukt und Kreuzprodukt anschauen.

Aufgabe 1

Ein Spat wird von den drei Vektoren a=-432, b=11-1 und c=211 aufgespannt. Berechne den Flächeninhalt des Spats!

Spatprodukt Spat StudySmarterAbbildung 1: Spat

Lösung

1. Schritt:

Die allgemeine Formel für das Spatprodukt lautet a×bc. Wenn Du das in Vektorschreibweise aufschreibst, sieht das dann entsprechend so aus:

a1a2a3×b1b2b3c1c2c3

In diese Form setzt Du jetzt Deine gegebenen Vektoren ein:

-432×11-1211

2. Schritt:

Nachdem Du die Werte für die Formel eingesetzt hast, rechnest Du jetzt als Erstes das Kreuzprodukt aus:

-432×11-1=3·-1-2·12·1--4·-1-4·1-3·1=-3-22-4-4-3=-5-2-7

Wenn Du mit der Rechnung fertig bist, sollte für das Kreuzprodukt ein neuer Vektor entstehen.

3. Schritt:

Jetzt fehlt noch das Skalarprodukt zwischen Deinem Kreuzprodukt und Deinem Vektor c:

-5-2-7211=-5·2-2·1-7·1=-19

Da ein Flächeninhalt nicht negativ sein kann, musst Du noch den Betrag von Deinem Ergebnis bilden:

-19=19

Der Spat hat demnach ein Volumen von 19 VE.

Spatprodukt berechnen mit Determinante

Neben der klassischen Formel kann das Spatprodukt auch mit der Determinante berechnet werden. Wie das geht, siehst Du hier.

Dir ist das Wort Determinante noch kein Begriff? Dann lies Dich vorher doch einmal durch den Artikel Determinante, bevor Du weitermachst.

Aufgabe 2

Ein Spat wird von den drei Vektoren a=-432, b=11-1 und c=211 aufgespannt. Berechne den Flächeninhalt des Spats!

Lösung

Hier musst Du die gleiche Aufgabe wie vorher lösen, doch diesmal mithilfe einer Determinante.

1. Schritt:

Um das Spatprodukt zu berechnen, wird die Determinante von einer 3×3 Matrix gebildet, die entsteht, wenn Du die drei Vektoren einzeln in die Matrix schreibst. Das sieht wie folgt aus:

a1a2a3b1b2b3c1c2c3

Wenn Du jetzt die Werte für Dein Beispiel einsetzt, bekommst Du folgende Matrix:

-43211-1211

2. Schritt:

Jetzt, wo Du Deine Matrix hast, musst Du noch die Determinante berechnen. In diesem Beispiel wird dazu der Satz von Sarrus verwendet:

Beim Satz des Sarrus kannst Du die Determinante für 3 × 3 Matrizen berechnen, indem Du die erste und die zweite Spalte noch mal hinter die Matrix schreibst und die Diagonalen bildest. Die Diagonalen von links unten bis rechts oben werden einzeln multipliziert und dann addiert, die Diagonalen von links oben nach rechts unten werden auch multipliziert und dann subtrahiert. Genaueres zur Ausführung findest Du in der Erklärung Determinanten.

a×bc=-43211-1211=-4·1·1+1·1·2+2·3·-1-2·1·2--1·1·-4-1·3·1=-4+2-6-4-4-3=-19

Auch hier muss noch der Betrag von Deinem Ergebnis gebildet werden:

-19=19

Wie Du siehst, kommt hier das gleiche Ergebnis, 19 VE, wie in der oberen Rechnung raus.

Spatprodukt Herleitung

Du hast jetzt zwar die Formel angewendet, aber woher kommt diese Formel eigentlich? Hier siehst Du, wie Du die Formel Schritt für Schritt herleitest.

Als Grundlage für die Herleitung dient die allgemeine Formel für das Volumen eines Spats. Diese lautet:

V=Ag·h

Spatprodukt Grundfläche und Höhe Spat StudySmarterAbbildung 2: Grundfläche und Höhe eines Spats

Ag ist dabei die Grundflächen und h die darauf stehende Höhe.

Diese Formel hilft Dir bei der Rechnung mit Vektoren bisher jedoch noch nicht weiter. Deshalb musst Du jetzt die Formel in eine Vektorschreibweise übersetzen.

Um die Grundfläche Ag zu erhalten, kannst Du das Kreuzprodukt zur Hilfe nehmen. Die Grundfläche des Spats ist ein Parallelogramm, das von den Vektoren a und b aufgespannt wird. Wenn Du das Kreuzprodukt a×b dieser beiden Vektoren bildest, dann erhältst Du den Normalenvektor auf der aufgespannten Grundfläche. Wenn Du davon wiederum den Betrag a×b bildest, bekommst Du den Flächeninhalt:

Ag=a×b

Jetzt brauchst Du nur noch die Höhe auf der Grundfläche. Diese berechnet sich, indem Du den Vektor c auf die Richtung des Normalenvektors projizierst. Das erreichst Du, indem Du Deinen Vektor c mit dem Kreuzprodukt a×b, also dem Normalenvektor n, skalar multiplizierst. Da der Normalenvektor und der Vektor c den Winkel α einschließen, lässt sich außerdem schreiben:

h=(a×b)c=ccosα

Wenn Du das jetzt zusammenführst, bekommst Du für das Volumen eines Spats:

V=a×bccosα

Jetzt hast Du hier jedoch einen Winkel stehen, der nicht immer gegeben sein wird. Diesen Winkel kannst Du jedoch rauskürzen, indem Du die Formeln zur Winkelberechnung verwendest:

Die Formel für die Winkelberechnung lautet:

cosα=ncn·c

Wie Du oben gesehen hast, kannst Du den Normalenvektor auch durch die Vektoren a und b beschreiben, zusammengesetzt ergibt das dann für die Winkelberechnung:

n=a×bcosα=ncn·c cosα=a×bca×bc

Wenn Du das jetzt für cosα in der Formel für das Volumen des Spats einsetzt, erhältst Du:

V=a×b·c·a×bca×b·c

Diesen Term kannst Du jetzt kürzen und bekommst für das Volumen:

V=a×bc

Und damit hast Du das Spatprodukt hergeleitet.

Spatprodukt Anwendung

Das Spatprodukt kannst Du nicht nur zur Berechnung von Spats benutzen. Du kannst die Formel des Spatprodukt auch leicht abändern, um das Volumen anderer Formen zu berechnen.

Spatprodukt dreieckiges Prisma

Wenn Du ein Spat in zwei gleiche Teile teilst, erhältst Du zwei volumengleiche dreieckige Prismen. In anderen Worten, das Volumen eines dreieckigen Prismas, das durch die gleichen Vektoren aufgespannt wird, wie der Spat, ist halb so groß wie das des Spats.

Ein dreieckiges Prisma ist ein geometrischer Körper, deren Grundfläche einem Dreieck entspricht. Zudem sind alle Kanten, die die Höhe des Prismas beschreiben, parallel zueinander und gleich lang. Deck- und Grundfläche von Prismen sind parallel zueinander und kongruent.

Spatprodukt Unterteilung Spat zwei Prisma StudySmarterAbbildung 3: Unterteilung Spat in dreieckiges Prisma

Daraus folgt dann für die Formel des Prismas:

Das Volumen eines Prismas erhältst Du durch:

VPrisma=12a×bc

Spatprodukt Pyramide

Nach dem gleichen Schema kannst Du auch das Volumen einer Pyramide berechnen, denn wenn Du ein Prisma in drei gleiche Teile teilst, bekommst Du drei volumengleiche Pyramiden.

Spatprodukt Unterteilung Prisma in Pyramiden StudySmarterAbbildung 4: Unterteilung dreieckiges Prisma in Pyramiden

Entsprechend ist die Formel für das Volumen einer Pyramide ein Drittel des Volumens für das Prismas:

Das Volumen einer Pyramide berechnet sich durch:

VPyramide=13·12a×bcVPyramide=16a×bc

Das Spatprodukt 0

Wie Du oben schon in der Herleitung gesehen hast, kann das Volumen des Spats auch durch die Formel V=a×b·c·cosα berechnet werden. Diese Formel kannst Du in vielen Fällen nicht für die Volumenberechnung verwenden, da sie einen Winkel beinhaltet, der häufig in der Aufgabe nicht gegeben ist. Warum Du ein Spatprodukt mit dem Ergebnis 0 erhältst, kann diese Formel jedoch erklären.

Stelle Dir jetzt vor, Du hast das Spatprodukt dreier Vektoren berechnet, die ungleich dem Nullvektor sind. Das Ergebnis ist aber die Zahl 0. Woran liegt das und was sagt das über die Vektoren aus? Setzte dafür zuerst die Formel gleich 0:

V=a×b·c·cosα=0

Da die Vektoren ungleich 0 sind, muss also cosα gleich 0 ergeben. Die Winkelfunktionen besagen, dass der Kosinus nur dann 0 wird, wenn der Winkel α entweder 90° oder 270° entspricht. Da der Winkel α der ist, der zwischen a×b und c eingeschlossen ist, kannst Du daraus ableiten, dass der Vektor c senkrecht auf dem Kreuzprodukt a×b steht.

Also gilt:

ca×b

Wenn Du jetzt noch einmal gedanklich zur Herleitung des Spatprodukt zurückkehrst, erinnerst Du Dich vielleicht, dass das Kreuzprodukt der beiden Vektoren der Grundfläche den Normalvektor der Fläche bildet. Dieser Normalenvektor ist laut Definition senkrecht zu seiner Grundfläche. In Vektorschreibweise bedeutet das:

a×bAg

Wenn Du diese Formeln wieder zusammenführst, erhältst Du:

ca×bAg

Der Vektor c ist also senkrecht zu dem Kreuzprodukt, das wiederum senkrecht zu der Grundfläche des Spats ist. Daraus folgt:

cAg

Der Vektor c ist also parallel und daher gleichzeitig in der Ebene der Grundfläche. Folglich kann kein Volumen aufgespannt werden und das Ergebnis des Spatprodukt ist 0.

Was bedeutet das für die Vektoren, die den Spat aufspannen?

Da der Vektor c in der Ebene der von den Vektoren a und b aufgespannten Ebene liegt, sind diese linear voneinander abhängig. Mit diesem Wissen, kannst Du also das Spatprodukt verwenden, um drei gegebene Vektoren auf lineare (un)abhängigkeit zu überprüfen.

Spatprodukt – Übungsaufgaben

In diesem Abschnitt kannst Du das Anwenden der Formeln ein wenig selbst üben.

Aufgabe 3

Gegeben seien die Vektoren a=854, b=264 und c=450

Berechne das Volumen des durch die drei Vektoren aufgespannten Spats mit dem Spatprodukt.

Lösung

1. Schritt:

Setzte als Erstes die gegebene Vektoren in die Formel des Spatproduktes ein:

V=854×264450

2. Schritt:

Nachdem Du die Werte eingesetzt hast, berechnest Du als Erstes das Kreuzprodukt:

854×264=5·4-4·64·2-8·48·6-5·2=-4-2438

3. Schritt:

Als Letztes musst Du jetzt nur noch Dein Ergebnis für das Kreuzprodukt mit dem Vektor c skalar multiplizieren:

-4-2438450=-4·4-24·5+38·0=-16-120=-136V=-136=136 FE

Der Flächeninhalt beträgt 136 VE.

Aufgabe 4

Berechne das Volumen des Spats von Aufgabe 3 mithilfe der Determinante.

Lösung

1. Schritt:

Bilde die Matrix aus den drei Vektoren:

854264450

2. Schritt:

Berechne die Determinante mit dem Satz von Sarrus:

854264450=8·6·0+2·5·4+4·5·4-4·6·4-4·5·8-0·5·2=-136V=-136=136

Aufgabe 5

Gegeben seien die Vektoren a=351, b=123 und c=382, berechne das Volumen des Prismas, das von diesen Vektoren aufspannt, wird.

Lösung

1. Schritt:

Setzte die Vektoren in die Formel ein:

VPrisma=12354×123382

2. Schritt:

Berechne jetzt zuerst das Kreuzprodukt:

354×123=5·3-4·24·1-3·33·2-5·1=7-51

3. Schritt:

Als Nächstes multiplizierst Du wieder Dein Kreuzprodukt skalar mit dem Vektor c:

7-51382=7·3-5·8+1·2=-17

4. Schritt:

Jetzt musst Du nur noch den Betrag bilden und ihn durch 3 teilen:

VPrisma=13·-17VPrisma=13·17VPrisma5,66

Der Flächeninhalt des Prismas beträgt 5,66 VE.

Spatprodukt – Das Wichtigste

  • Ein Spat ist ein geometrischer Körper mit sechs Parallelogrammen als Seitenflächen. Die gegenüberliegenden Parallelogramme sind kongruent zueinander und parallel
  • Das Spatprodukt berechnet das Volumen eines Spats, es ist definiert durch:
    • V=a×bc
    • oder auch durch die Determinante der Matrix, die aus den 3 Vektoren entsteht V=a1a2a3b1b2b3c1c2c3
  • Das Spatprodukt wird mithilfe der Gleichung V=Ag·h hergeleitet, mit h=(a×b)c=c·cosα und Ag=a×b
  • Durch das Spatprodukt kannst Du auch die Volumen anderer Formen berechnen:
    • VPrisma=12a×bc
    • VPyramide=16a×bc
  • Durch das Spatprodukt lassen sich Vektoren auf lineare Unabhängigkeit überprüfen. Wenn das Ergebnis des Spatprodukts gleich 0 ist, sind die Vektoren linear abhängig

Nachweise

  1. Wolfgang Gawronski (1996). Grundlagen der Linearen Algebra. Aula-Verlag
  2. ingenieurkurse.de: Das Spatprodukt (24.05.2022)

Häufig gestellte Fragen zum Thema Spatprodukt

Das Spatprodukt sagt aus, dass Du das Volumen eines Spats mit den drei aufspannenden Vektoren berechnen kannst.

Wenn das Spatprodukt 0 ist, dann bedeutet das, dass die durch zwei Vektoren aufgespannte Ebene keinen Winkel mit dem dritten Vektor einschließt. Es sind demnach alle Vektoren in einer Ebene und linear abhängig.

Ein Spat ist ein geometrischer Körper, der sechs Parallelogramme als Seitenflächen besitzt. Die gegenüberliegende Parallelogramme sind immer kongruent zueinander und liegen in parallelen Ebenen.

Das Spatprodukt kannst Du auf zwei Arten berechnen. Entweder Du bildest erst von zwei der gegebenen Vektoren das Kreuzprodukt und multiplizierst dann das Ergebnis mit dem dritten Vektor skalar, oder Du setzt die drei Vektoren in eine 3 × 3 Matrix und berechnest davon die Determinante.

Finales Spatprodukt Quiz

Frage

Was ist ein Spat?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Spat ist ein geometrischer Körper, der sechs Parallelogramme als Seitenflächen besitzt. Die gegenüberliegende Parallelogramme sind immer kongruent zueinander und liegen in parallelen Ebenen.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Formel für das Spatprodukt?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Formel lautet:



Frage anzeigen

Frage

Was bedeutet es für die Vektoren des Spats, wenn das Ergebnis für das Spatprodukt 0 ist?  

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn, das Spatprodukt 0 ist, dann bedeutet das, dass der die durch zwei Vektoren aufgespannte Ebene keinen Winkel mit dem dritten Vektor einschließt. Es sind demnach alle Vektoren in einer Ebene und linear abhängig. 

Frage anzeigen

Frage

Wie kann das Spatprodukt berechnet werden?  


Antwort anzeigen

Antwort

Das Spatprodukt kannst Du auf zwei Arten berechnen. Entweder Du bildest erst von zwei der gegebenen Vektoren das Kreuzprodukt und multiplizierst dann das Ergebnis mit dem dritten Vektor skalar, oder Du setzt die drei Vektoren in eine 3 × 3 Matrix und berechnest davon die Determinante. 

Frage anzeigen

Frage

Mithilfe welcher(n) Formel(n) wird das Spatprodukt hergeleitet?

Antwort anzeigen

Antwort

Mit der Formel:


Frage anzeigen

Frage

Wie berechnest Du das Volumen eines Prismas?

Antwort anzeigen

Antwort

Du berechnest das Volumen eines Prismas mit der Formel:



Frage anzeigen

Frage

Wie berechnest Du das Volumen einer Pyramide?

Antwort anzeigen

Antwort

Du berechnest das Volumen einer Pyramide mit der Formel:



Frage anzeigen

Frage

In welchem Verhältnis liegen die gegenüberliegenden Seitenflächen eines Spats zueinander?

Antwort anzeigen

Antwort

Die gegenüberliegenden Seitenflächen eines Spats sind parallel zueinander

Frage anzeigen

Frage

Bei welchen Winkeln wird der Kosinus gleich 0?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Kosinus wird bei den Winkeln  und gleich 0

Frage anzeigen

Frage

Können drei Vektoren, die in der gleichen Ebene liegen, ein Volumen aufspannen?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, drei Vektoren die in der gleichen Ebene liegen können kein Volumen aufspannen. Da sie alle in der gleichen Ebene liegen, können sie nur zweidimensionale Objekte wie einen Flächeninhalt bilden.

Frage anzeigen

Frage

Welcher Satz wird bei der Berechnung von Determinanten verwendet?

Antwort anzeigen

Antwort

Bei der Berechnung von Determinanten wird der Satz von Sarrus verwendet.

Frage anzeigen
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