Wenn Du um Dein Haus herumläufst, kannst Du Deine Schritte für alle vier Seiten zählen und zusammenrechnen. So erhältst Du dann die Strecke, welche Du insgesamt gelaufen bist. Diese Strecke wird bei Vierecken als Umfang bezeichnet. In dieser Erklärung geht es dabei genauer gesagt um den Umfang im Trapez.
Du wirst lernen, mit welcher Formel der Umfang eines Trapezes berechnet werden kann, wie Du den Umfang eines gleichschenkligen, eines nicht-gleichschenkligen und eines rechtwinkligen Trapezes berechnest.
Trapez – Grundlagenwissen
Bevor Du mehr zum Thema Umfang eines Trapezes lernst, findest Du hier einen kurzen Überblick über die Grundlagen des Trapezes.
Ein Trapez ist ein spezielles Viereck, bei dem zwei gegenüberliegende Seiten parallel sind. Es gilt also:
\[a \parallel c\]
Abb. 2 – allgemeines Trapez
In der Abbildung kannst Du die Grundseiten und die Schenkel sehen. Demnach bilden die Seiten a und c die Grundseiten und die Seiten b und d hingegen die Schenkel.
Falls Du das Thema Trapez noch mal auffrischen möchtest, lies Dir doch die Erklärung Trapez durch.
Umfang Trapez Formel & Definition
Der Umfang eines Trapezes ist eine von vielen Größen, die in einem Trapez berechnet werden kann. Aber was genau ist der Umfang in einem Trapez eigentlich?
Als Umfang wird die Länge der Linie verstanden, die das Trapez umrandet, also die Summe der Seiten a, b, c und d.
Der Umfang wird mit dem Großbuchstaben U in Formeln abgekürzt.
Du kannst Dir den Umfang auch als die gesamte Seillänge vorstellen, die Du bräuchtest, um es einmal um das Trapez herum zu spannen. Dies kannst Du auch an dem türkis gefärbten Rand bei folgender Abbildung erkennen:
Abb. 3 – Umfang eines Trapezes
Die Formel zur Berechnung des Umfangs eines Trapezes ergibt sich direkt aus der Definition. Es ist die gesamte Seitenlänge, also die Summe aller Seiten a, b, c und d.
Für den Umfang U eines Trapezes mit den Seiten \(a\), \(b\), \(c\), und \(d\) gilt:
\[U = a + b + c + d\]
Diese Formel kannst Du grundsätzlich auf jedes Trapez anwenden. Wie Du bei der Berechnung vorgehst, erfährst Du im kommenden Abschnitt.
Berechnung Umfang Trapez nicht gleichschenkliges / unregelmäßiges Trapez
Egal von welcher Art von Trapez Du den Umfang U berechnen willst, das Vorgehen ist immer das Gleiche:
- Formel aufschreiben
- Die Seitenlängen für \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) in die Formel einsetzten
- Ergebnis berechnen
An einem Beispiel sieht das dann so aus:
Aufgabe 1
Berechne den Umfang U eines Trapezes mit den Seiten \(a = 2 \,\text {cm}, \, b = 4\, \text {cm}, \, c = 3 \,\text {cm} \, \, \text {und} \,\,d = 1,5 \,\text{cm}\).
Lösung
1. Schritt
Schreibe die Formel zur Berechnung des Umfangs U eines Trapezes auf.
\[U = a + b + c + d\]
2. Schritt
Setzte die gegebenen Seitenlängen in die Formel ein.
\[U = 2 \,\text{cm} + 4 \,\text {cm} + 3 \,\text{cm} + 1{,}5 \,\text {cm}\]
3. Schritt
Zum Schluss kannst Du jetzt das Ergebnis berechnen.
\[U = 10{,}5 \,\text {cm}\]
Du kannst die Formel jedoch auch, je nach Art des Trapezes, leicht verändern oder in eine andere Formel einsetzten. Ein paar Beispiele und Übungen dazu findest Du in den folgenden Abschnitten.
Umfang Trapez – Besondere Berechnungen
Es gibt noch andere Berechnungen, wofür Du die Formel für den Umfang U eines Trapezes gebrauchen kannst.
Zum einen kannst Du auch den Umfang für besondere Formen eines Trapezes berechnen. Zum Anderen kannst Du aber auch die Formel für den Umfang umstellen und so beispielsweise eine Seite eines Trapezes berechnen.
Umfang gleichschenkliges Trapez berechnen
Bei einem gleichschenkligen Trapez haben die zwei Schenkel immer die gleiche Länge. Dadurch lässt sich die Berechnung des Umfangs vereinfach, denn wenn zwei Seiten gleich lang sind, so kann die gleiche Variable verwendet werden. Ein Beispiel sieht etwa so aus:
Abb. 4 – gleichschenkliges Trapez
Hier haben d und b dieselbe Länge, weshalb gilt: \[d = b\]
Wenn du die Regel \(d = b\) in die oben gelernte Formel zur Berechnung des Umfangs U eines allgemeinen Trapezes einsetzet, so erhältst du folgende Formel zur Berechnung U eines gleichschenkligen Trapezes:
\begin{align} U & = {\color {#1478c8} a} + {\color {#00dcb4}b} + {\color{#fa3273}c} + {\color{#00dcb4}b} \\ U &= {\color{#1478c8}a} + {\color{#00dcb4}2 \cdot b} + {\color {#fa3273}c} \end{align}
An einem Beispiel kann das dann so aussehen:
Aufgabe 2
Berechne den Umfang U eines gleichschenkligen Trapezes mit den Seiten \(a = 6 \, \text{cm}, \, b = 8 \,\text{cm}, \, c = 3\, \text{cm}\).
Lösung
1. Schritt:
Schreibe die Formel zur Berechnung des Umfangs U eines Trapezes auf.
\[U = a + 2 \cdot b + c\]
2. Schritt:
Setzte die gegebenen Seitenlängen in die Formel ein.
\[U = 6 \,\text{cm} + 2 \cdot 8 \,\text {cm} + 3 \,\text{cm}\]
3. Schritt:
Zum Schluss kannst Du jetzt das Ergebnis berechnen.
\[U = 25 \,\text {cm}\]
Fun Fact: Den Umfang eines rechtwinkligen Trapezes berechnest Du genauso wie den Umfang eines nicht gleichschenkeligen/unregelmäßigen Trapezes.
Umfang Trapez mit Höhe berechnen
Du kannst aber nicht nur den Umfang U von einem Trapez mit der Formel von oben berechnen. Du kannst den Umfang U eines Trapezes auch mit seiner Höhe h berechnen.
Dafür brauchst Du aber den Flächeninhalt A eines Trapezes.
Das hast Du noch nicht gelernt? Einen kurzen Überblick findest Du in der folgenden Vertiefung.
Trapez Umfang und Flächeninhalt
Der Flächeninhalt A eines Trapezes beschreibt die gesamte Fläche, welche innerhalb der Seiten \(a,\, b, \, c\, \text{und} \, d\) eingeschlossen ist.
Abb. 5 – Flächeninhalt Trapez
Der Flächeninhalt A eines Trapezes mit der Höhe \(h\) und den Seiten \(a\) und \(c\) ist:
\[A = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (a + c)\]
Mithilfe der Formel für den Flächeninhalt A eines Trapezes kannst Du jedoch auch den Umfang U berechnen. Stelle dafür die Formel nach (\a + c\) um.
\begin{align} A &= \frac{1}{2} \cdot h \cdot (a + c) &&|\cdot 2\\[0.2 cm]2 \cdot A &= h \cdot (a + c) && |:h \\[0.2 cm]\color {#1478c8} \frac{2A}{h} &{\color {#1478c8}= (a + c)}\end{align}
Diese Formel kannst Du jetzt für \(a + c\) in die Formel für den Umfang U einsetzen.
\begin{align} U &= {\color {#1478c8}a} + b + {\color{#1478c8}c} + d \\ U &= {\color {#1478c8} \frac{2A}{h}}+b+d\end{align}
Mit dieser Formel kannst Du jetzt den Umfang U eines Trapezes mit der Höhe h berechnen.
In einem Beispiel kann das dann so aussehen:
Aufgabe 3
Berechne den Umfang U eines Trapezes mit den Werten \(A = 20 \,\text{cm}^2 ,\, h = 4\, \text{cm}, \, b = 2 \,\text{cm}\, \text{und}\, d = 6\,\text{cm}\).
Lösung
Du gehst hier genauso vor, wie bei der Berechnung mit der oberen Umfangsformel.
1. Schritt:
Schreibe die passende Formel zur Berechnung des Umfangs U eines Trapezes auf.
\[U = \frac{2A}{h} + b + d\]
2. Schritt:
Setzte die gegebenen Seitenlängen in die Formel ein.
\[U = \frac{2 \cdot 20\, \text {cm}^2}{4\,\text{cm}} + 2 \,\text {cm} + 6 \,\text{cm}\]
3. Schritt:
Zum Schluss kannst Du jetzt das Ergebnis berechnen.
\begin{align}U &= \frac{40\,\text{cm}^2}{4\,\text{cm}} + 8\,\text{cm} \\[0.2 cm] U &= 10\,\text{cm} + 8\,\text{cm}\\[0.2 cm] U &= 18\,\text{cm}\end{align}
Trapez Seite mit Umfang berechnen
Du kannst aber nicht nur den Umfang \(U\) mithilfe von anderen Größen berechnen, Du kannst auch andere Größen mithilfe des Umfangs berechnen, zum Beispiel die Länge einer Seite eines Trapezes.
\[U = a + b + c + d\]
Dafür stellst Du die Formel zur Berechnung des Umgangs \(U\) eines Trapezes nach der gesuchten Seite um. In diesem Fall wird die Formel nach \(a\) umgestellt.
\begin{align} {\color{#1478c8}U} &= {\color{#00dcb4}a} + b + c + d &&|-{\color{#00dcb4}a} \\ {\color{#1478c8}U} - {\color{#00dcb4}a} &= b + c + d &&|-{\color{#1478c8}U} \\ -{\color{#00dcb4}a} &= b + c + d - {\color{#1478c8}U} &&|·(-1) \\ {\color{#00dcb4}a} &= -b -c -d + {\color{#1478c8}U}\end{align}
In einer Aufgabe sieht das dann so aus:
Aufgabe 4
Berechne die Seite \(c\) eines Trapezes mit den Werten \(a=2\,\text{cm},\, b=4\,\text{cm}, \, d = 2{,}5\, \text{cm}\, \text{und}\, U=25\, \text{cm}\).
Lösung
Als Erstes schreibst Du wieder die Formel zur Berechnung des Umgangs \(U\) eines Trapezes auf.
\[U = a + b + c + d\]
Dann stellst Du diese Formel nach \(c\) um.
\begin{align} {\color{#1478c8}U} &= a + b + {\color{#00dcb4}c} + d &&|-{\color{#00dcb4}c} \\ {\color{#1478c8}U} - {\color{#00dcb4}c} &= a + b + d &&|-{\color{#1478c8}U} \\ -{\color{#00dcb4}c} &= a + b + d - {\color{#1478c8}U} &&|·(-1) \\ {\color{#00dcb4}c} &= -a - b -d + {\color{#1478c8}U}\end{align}
Jetzt kannst Du die gegebenen Werte in die Formel einsetzten.
\[c = -2\,\text{cm} - 4\, \text{cm} - 2{,}5\, \text {cm} + 25\, \text{cm}\]
Zum Schluss kannst Du dann noch das Ergebnis berechnen.
\begin{align} c &= -8{,}5\, \text {cm} + 25\, \text{cm} \\ c &= 16{,}5\, \text{cm}\end{align}
Umfang Trapez – Aufgaben
In den folgenden Aufgaben kannst Du Dein eben erlerntes Wissen auf die Probe stellen.
Aufgabe 5
Dein Vater möchte um Eurer Grundstück einen neuen Zaun bauen. Du willst Deinem Vater helfen, also berechnest Du den Umfang Eures Grundstücks, damit er weiß, wie viele Pakete mit Zäunen er kaufen muss.
Abb. 6 – Abbildung der Grundstücksfläche
Du gehst also mit einem Maßband nach draußen und misst alle Seiten. Dabei erhältst Du folgende Werte:
\begin{align} a = 800\, \text{m}, \, b=500\,\text{m},\,c=1\,400\,\text{m}\,\text{und}\,d=500\,\text{m}\end{align}
Lösung
1. Du kannst als Erstes anhand der Abbildung sehen, dass das Grundstück die Form eines Vierecks, speziell eines Trapezes hat. Somit kannst Du die Formel zur Umfangsberechnung eines Trapezes verwenden. Aber Du siehst auch, dass zwei Seiten gleich lang sind, also kannst Du direkt die Formel für den Umfang eines gleichschenkligen Trapezes verwenden.
\[U=a+2 \cdot b+c\]
2. Jetzt setzt Du die einzelnen Seitenlängen in die Formel ein.
\[U=800\,\text{m} + 2 \cdot 500\,\text{m} + 1\,400\,\text{m}\]
3. Zum Schluss addierst Du dann die einzelnen Seitenlängen zusammen.
\begin{align}U&=800\,\text{m} + 2 \cdot 500\,\text{m} + 1\,400\,\text{m} \\ U &= 3\,200\,\text{m}\end{align}
Der Umfang des Grundstücks beträgt insgesamt \(3\,200\,\text{m}\).
Aufgabe 6
Nachdem der Zaun um Euer Grundstück erfolgreich aufgebaut wurde, hat Deine Eltern die Lust am Renovieren gepackt. Sie möchten im Wohnzimmer neue Fußbodenleisten anbringen. Dazu messen sie die beiden Zimmer aus und bitten Dich den Umfang der Zimmer zu berechnen, da Du Dein mathematisches Können bereits beim Zaunbau gezeigt hast.
Abb. 7 – Grundriss des Wohnzimmers
Das Wohnzimmer hat folgende Seitenlängen:
\[a=8\,\text{m},\,b=3\,\text{m},\, c=5\,\text{m}\,\text{und}\, d= 3{,}5\,\text{m}\]
Lösung
1. Du siehst Dir wieder genau den Grundriss an und kannst dabei die Form eines Trapezes erkennen. Somit wendest Du folgende Formel an.
\[U = a + b+c+d\]
2. Jetzt setzt Du die Maße des Wohnzimmers ein.
\[U = 8\,\text{m} + 3\,\text{m} + 5\,\text{m} + 3{,}5\,\text{m}\]
3. Du addierst die einzelnen Seitenlängen und kommst zu folgendem Ergebnis.
\begin{align} U &= 8\,\text{m} + 3\,\text{m} + 5\,\text{m} + 3{,}5\,\text{m} \\ U &= 19{,}5 \, \text{m} \end{align}
Die Fußbodenleisten müssen also mindestens eine Gesamtlänge von \(19{,}5\,\text{m}\) haben.
Aufgabe 7
Dein Fußballverein möchte die Bande um das Fußballfeld erneuern lassen. Dabei hat der Vereinsvorstand beschlossen, dass die Bande nicht nur um das Fußballfeld, sondern auch um den Aufwärmbereich, der sich hinter den beiden Toren befindet, verlaufen soll.
Von der letzten Vermessung vor 20 Jahren ist leider nur der gesamte Umfang und die Seitenlängen von \(b,\, c\, \text{und}\, d\) bekannt. Der Vereinsvorstand beauftragt nun Dich, die Seitenlänge von \(a\) zu ermitteln.
Abb. 8 – Grundriss der Aufwärmzone und des Spielfeldes
Die bekannten Größen sind:
\[b = 160\, \text{m},\, c = 68\,\text{m}, \, d = 169\, \text{m},\, U = 478\,\text{m}\]
Lösung
1. Du gehst erst einmal wieder Schritt für Schritt vor und nimmst die Formel zur Umfangsberechnung eines Trapezes zur Hand.
\[U = a + b + c + d\]
2. Jetzt kannst Du die Formel nach \(a\) umstellen.
\begin{align} U &= a + b + c + d &&|-a \\ U-a &= b + c + d &&|-U \\ -a &= b + c + d - U &&|\cdot(-1) \\ a &= - b - c - d + U \end{align}
3. Anschließend setzt Du die einzelnen Maße in die umgestellte Formel ein.
\[a = -160\, \text{m} - 68\,\text{m} - 169\,\text{m} + 478\, \text{m}\]
4. Dann rechnest Du die einzelnen Werte zusammen.
\begin{align} a &= -160\, \text{m} - 68\,\text{m} - 169\,\text{m} + 478\, \text{m} \\ a &= -397\,\text{m} + 478\,\text{m} \\ a&= 81 \, \text{m} \end{align}
5. Die Seite a der Bande ist also \(81\,\text{m}\) lang.
Umfang Trapez – Das Wichtigste auf einen Blick
- Als Umfang \(U\) wird die Länge der Linie verstanden, die das Trapez umrandet, also die Summe der Seiten a, b, c und d.
- Formel zur Berechnung des Umfangs \(U\) mit den Seiten \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\): \[U = a + b + c + d\]
- Vorgehen bei der Berechnung des Umfangs \(U\) eines Trapezes:
- Formel aufschreiben
- Die Seitenlängen für \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) in die Formel einsetzten
- Ergebnis berechnen
Formel zur Berechnung des Umfangs \(U\) eines gleichschenkligen Trapezes, mit den Seiten \(a\), \(b = d\) und \(c\): \[U = a + 2 \cdot b + c\]
Formel zur Berechnung des Umfangs \(U\) eines Trapezes mit der Höhe \(h\) und den Seiten \(b\) und \(d\): \[ U = \frac{2A}{h}+b+d\]
Formel zur Berechnung der Seite \(a\) eines Trapezes mit den Seiten \(b\), \(c\), \(d\) und dem Umfang \(U\): \[a = -b -c -d + U\]
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