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Du kannst mit einem Dreieck einige Konstruktionen durchführen. Eine davon ist es, den Umkreis um ein Dreieck zu konstruieren.
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Jetzt kostenlos anmeldenDu kannst mit einem Dreieck einige Konstruktionen durchführen. Eine davon ist es, den Umkreis um ein Dreieck zu konstruieren.
Hast Du ein Dreieck ABC gegeben, kannst Du einen Kreis bilden, welcher durch alle Eckpunkte des Dreiecks ABC verläuft.
Der Umkreis eines Dreiecks ABC ist der Kreis, welcher durch alle drei Eckpunkte verläuft.
Sein Mittelpunkt M ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten ma, mb und mc der Dreiecksseiten a, b und c.
Hier findest Du den Umkreis eines Dreiecks in einem Beispiel:
Der Kreis u ist der Umkreis des Dreiecks ABC.
Abbildung 1: Umkreis u des Dreiecks ABC
Den Mittelpunkt M des Umkreises u findest Du, indem Du den Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten ermittelst. Er ist von allen drei Eckpunkten gleich weit entfernt. Es gilt also Folgendes:
Wie oben bereits gesehen, lässt sich der Radius r des Umkreises u einfach messen, indem Du den Abstand zwischen seinem Mittelpunkt und einem seiner Eckpunkte misst. Es gibt aber auch eine Formel, mit welcher Du den Radius des Umkreises berechnen kannst, ohne diesen vorher eingezeichnet zu haben.
Den Radius r des Umkreises u eines Dreiecks ABC kannst Du mit folgender Formel berechnen:
In der obigen Formel sind a, b, und c die Seitenlängen der drei Seiten und der Flächeninhalt des Dreiecks ABC.
Wenn Du also den Radius des Umkreises u eines Dreiecks ABC berechnen möchtest, teilst Du das Produkt der Seitenlängen durch das Vierfache des Flächeninhaltes des Dreiecks ABC.
Wenn Du den Umkreis eines Dreiecks konstruieren möchtest, solltest Du wissen, wie man Mittelsenkrechten konstruiert.
Falls Du Dir mit diesem Verfahren noch unsicher bist, schau gerne im Artikel Mittelsenkrechte konstruieren vorbei.
Die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruierst Du, indem Du um alle drei Eckpunkte Kreise zeichnest. Der Radius der Kreise sollte so gewählt werden, dass die Kreise zwei Schnittpunkte haben. Durch diese zwei Schnittpunkte je zweier Kreise zeichnest Du eine Gerade. So entstehen die drei Mittelsenkrechten des Dreiecks.
Um den Umkreis eines Dreiecks ABC zu konstruieren, gehst Du in folgenden Schritten vor:
Es genügt auch, wenn du nur zwei der drei Mittelsenkrechten einzeichnest und entsprechend deren Schnittpunkt ausmachst. Der Vollständigkeit halber zeigen wir es dir in unseren Beispielen mit allen drei Mittelsenkrechten.
Aufgabe
Konstruiere für das Dreieck ABC den Umkreis u.
Lösung
1. Schritt: Die Mittelsenkrechten konstruieren | 2. Schritt: Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten |
Zunächst konstruierst du mithilfe deines Zirkels die Mittelsenkrechten ma, mb und mc aller drei Seiten. | Die drei Mittelsenkrechten ma, mb und mc sollten sich alle in einem Punkt M schneiden. Sollte das nicht der Fall sein, kontrolliere noch einmal, ob du alle Mittelsenkrechten richtig konstruiert hast. |
Du kannst anschließend den Umkreis u konstruieren. Der Mittelpunkt des Umkreises u ist der Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten und der Radius ist der Abstand zwischen dem Schnittpunkt M und einem der drei Eckpunkte.
Um den Umkreis u also zu konstruieren, stichst du den Zirkel im Mittelpunkt M ein und stellst ihn auf den Abstand zwischen Mittelpunkt M und einer der drei Ecken ein. Anschließend kannst du den Umkreis u zeichnen.
Oben konntest Du jetzt schon sehen, wie es Schritt für Schritt aussieht, wenn der Umkreis eines Dreiecks konstruiert wird. Diese Konstruktionsschritte findest Du hier noch mal zusammengefasst:
Bei den verschiedenartigen Dreiecken sehen auch ihre Umkreise unterschiedlich aus. Im Folgenden lernst Du einige besondere Fälle kennen.
Bei rechtwinkligen Dreiecken gibt es eine Besonderheit bezüglich des Mittelpunktes M. Dieser bildet in diesem Fall nämlich nicht nur den Mittelpunkt des Umkreises u, sondern ist gleichzeitig Mittelpunkt der Hypotenuse.
In diesem beispielhaften Dreieck ABC bildet die Seite a die Hypotenuse. Es ist zu erkennen, dass der Schnittpunkt M die Hypotenuse halbiert, da die Mittelsenkrechte m durch diesen Punkt verläuft. Gleichzeitig ist M Mittelpunkt des Kreises u.
Liegt Dir ein stumpfwinkliges Dreieck ABC vor, befindet sich der Mittelpunkt M des Umkreises immer außerhalb des Dreiecks ABC.
Stumpfwinklig ist ein Dreieck, wenn es einen Winkel α besitzt, für welchen gilt 90° < α < 180°.
Ist das Dreieck ABC, zu welchem Du denn Umkreis u konstruieren sollst, ein spitzwinkliges Dreieck, kannst Du mit Sicherheit sagen, dass der Mittelpunkt M des Umkreises u innerhalb des Dreiecks ABC liegt.
Spitzwinklig ist ein Dreieck, wenn für alle Winkel α, β und γ gilt 0° < α, β, γ < 90°.
Wenn Du nicht nur wissen möchtest, wie man den Umkreis eines Dreiecks konstruiert, sondern auch welche Eigenschaften dieser hat, schau gerne in unserem Artikel "Umkreis eines Dreiecks" vorbei!
Aufgabe 1
Konstruiere den Umkreis u des rechtwinkligen Dreiecks ABC.
Lösung
Den Umkreis u des obigen Dreiecks ABC konstruierst Du, indem Du die Mittelsenkrechten der drei Seiten einzeichnest und deren Schnittpunkt M und somit den Mittelpunkt des Umkreises ausmachst. Anschließend kannst Du den Umkreis u mit Radius zeichnen.
Aufgabe 2
Konstruiere den Umkreis des Dreiecks ABC und bestimme anhand des Umkreises u, ob es sich um ein stumpfwinkliges oder spitzwinkliges Dreieck handelt.
Lösung
Den Umkreis u des obigen Dreiecks ABC konstruierst Du, indem Du die Mittelsenkrechten der drei Seiten einzeichnest und deren Schnittpunkt M und somit den Mittelpunkt des Umkreises ausmachst. Anschließend kannst Du den Umkreis u mit Radius zeichnen.
Der Mittelpunkt des Umkreises u liegt innerhalb des Dreiecks ABC, was darauf schließen lässt, dass es sich um ein spitzwinkliges Dreieck handelt.
Der Umkreismittelpunkt liegt bei spitzwinkligen Dreiecken im Dreieck.
Die Mittelsenkrechte eines Dreiecks konstruierst du, indem du um die Eckpunkte Kreise mit gleichem Radius zeichnest. Der Radius sollte so gewählt werden, dass die Kreise sich schneiden. Durch die beiden Schnittpunkte zweier Kreise zeichnest du jeweils eine Gerade. Diese drei Geraden sind die Mittelsenkrechten des Dreiecks.
Der Umkreismittelpunkt im rechtwinkligen Dreieck liegt in der Mitte der Hypotenuse.
Der Umkreis eines Kreises ist der Kreis, welcher außerhalb des Dreiecks und dabei durch alle drei Eckpunkte verläuft.
Was versteht man unter dem Umkreis eines Dreiecks?
Der Umkreis eines Dreiecks ist der Kreis, welcher durch alle drei Ecken des Kreises verläuft und zum Mittelpunkt den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten hat.
Wie findest du den Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks?
Der Mittelpunkt des Umkreises eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der drei Mittelsenkrechten des Dreiecks.
Wo liegt der Mittelpunkt M des Umkreises eines spitzwinkligen Dreiecks?
Der Mittelpunkt M des Umkreises des spitzwinkligen Dreiecks liegt innerhalb des Dreiecks.
Wo liegt der Mittelpunkt M des Umkreises eines stumpfwinkligen Dreiecks?
Der Mittelpunkt M des Umkreises eines stumpfwinkligen Dreiecks liegt außerhalb des Dreiecks.
Welche Aussagen sind richtig?
Der Umkreis eines Dreiecks verläuft immer durch alle drei Ecken des Dreiecks.
Finde die falsche Aussage.
Der Mittelpunkt des Umkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden.
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