Gegenseitige Lage von Ebenen

Stochastik

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Zwei Ebenen im Raum hört sich erst einmal sehr mathematisch an, aber das ist es gar nicht. Eine Ebene im Raum ist zum Beispiel Dein Schreibtisch oder eine Wand Deines Zimmers. Das sind alltägliche Gegenstände. Es handelt sich hier um gerade Flächen.

Gegenseitige Lage von Ebenen – Grundlagenwissen

Ebenen sind unbegrenzte, gerade Flächen und definieren sich mathematisch wie folgt:

Ebenen werden durch drei Punkte, welche nicht auf einer Geraden liegen, definiert.

Alternativ kann eine Ebene durch zwei nicht parallele Vektoren und einen Punkt dargestellt werden.

Des Weiteren lässt sich eine Ebene durch zwei parallele Geraden oder zwei sich schneidende Geraden veranschaulichen.

Die dargestellte Ebene E: x gibt Dir einen kurzen Überblick.

Gegenseitige Lage von Ebenen Ebene mit Vektoren StudySmarter Abbildung 1: Ebene mit Vektoren

Die Spannvektoren $\vec{u} und \vec{v}$ spannen von einem Punkt A aus die Ebene auf. Du kannst Dir das vorstellen, wie wenn Du zwei Stifte aneinander klebst und dann ein Blatt Papier (Ebene) darauf legst. Der Stützvektor $\vec{p}$ legt fest, an welcher Stelle sich die Spannvektoren aufspannen. Er geht immer vom Koordinatenursprung $U (0 / 0 / 0)$ zu einem Punkt der Ebene. Der Normalenvektor $\vec{n}$ ist das Kreuzprodukt der beiden Spannvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ . Der Normalenvektor $\vec{n}$ steht senkrecht auf der Ebenen.

Um die Ebene mathematisch in einer Ebenengleichung auszudrücken, gibt es verschiedene Möglichkeiten:

Parameterform	Normalenform	Koordinatenform
Die Parameterform $E : \vec{x} = \vec{O A} + s \cdot \vec{u} + t \cdot \vec{v}$ (auch Vektorgleichung genannt) setzt sich aus dem Stützvektor $\vec{O A}$ , den beiden Spannvektoren $\vec{u}$ und $\vec{v}$ und den Variablen $s$ und $t$ zusammen. Die Spannvektoren dürfen keine Parallelität aufweisen in der Parametergleichung.	Die Normalenform $E : [\vec{x} - \vec{p}] \cdot \vec{n} = 0, \vec{n} = \vec{A B} \times \vec{A C}$ besitzt den Stützvektor $\vec{p}$ und den Normalenvektor $\vec{n}$ , welcher zu allen Strecken in der Ebene senkrecht steht.	Die Koordinatenform $a x + b y + c z = d$ bildet sich aus der aus multiplizierten Normalenform.

Ein Beispiel verdeutlicht Dir die verschiedenen geometrischen Formen einer Ebene.

Die Ebene $E$ besitzt folgende Punkte: $A = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}), B = (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 8 \end{matrix}), C = (\begin{matrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{matrix})$ . Gebe alle Möglichkeiten für die Ebenengleichungen an.

Parametergleichung

Schreibe Dir zuerst die allgemeine Parametergleichung auf und berechne die Spannvektoren $\vec{A B}, \vec{A C}$ und den Stützvektor $\vec{O A}$ . Der Stützvektor entsteht aus dem Punkt $A (1 / 2 / 3)$ und dem Koordinatenursprung. Die Spannvektoren setzt Du in die allgemeine Parametergleichung mit dem Stützvektor $\vec{O A}$ ein und erhältst die erste Ebenengleichung.

$E : \vec{x} = \vec{O A} + s \cdot \vec{A B} + t \cdot \vec{A C} \vec{O A} = (\begin{matrix} 1 & - & 0 \\ 2 & - & 0 \\ 3 & - & 0 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) \vec{A B} = (\begin{matrix} 4 & - & 1 \\ 4 & - & 2 \\ 8 & - & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{matrix}) \vec{A C} = (\begin{matrix} 2 & - & 1 \\ 3 & - & 2 \\ 5 & - & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) E : \vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 2 \\ 5 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})$

Die Spannvektoren müssen vom Stützvektor aus gebildet werden.

Bei der Bildung von Vektoren der Art $\vec{A B}$ wird immer der vordere Punkt A vom hinteren Punkt B subtrahiert: $\vec{A B} = \vec{B} - \vec{A} = (\begin{matrix} b_{x} & - & a_{x} \\ b_{y} & - & a_{y} \\ b_{z} & - & a_{z} \end{matrix})$ . Achte dabei auf die Vorzeichen!

Normalenform

Für die Normalenform musst Du den Normalenvektor $\vec{n}$ berechnen, indem Du das Kreuzprodukt aus den beiden Spannvektoren $\vec{A B}$ und $\vec{A C}$ bildest.

Sollte Dir das Kreuzprodukt nichts sagen, sieh noch einmal in der Erklärung "Kreuzprodukt" nach.

$\vec{n} = \vec{A B} \times \vec{A C} \vec{n} = (\begin{matrix} 2 \cdot 2 & - & 5 \cdot 1 \\ 5 \cdot 1 & - & 2 \cdot 3 \\ 3 \cdot 1 & - & 1 \cdot 2 \end{matrix}) \vec{n} = (\begin{matrix} 4 & - & 5 \\ 5 & - & 6 \\ 3 & - & 2 \end{matrix}) \vec{n} = (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix})$

Nun brauchst Du den Normalenvektor $\vec{n}$ und einen Punkt als Ortsvektor $\vec{O A}$ der Ebene nur noch in die allgemeine Normalenform einsetzen und hast die Normalenform der Ebene.

$\begin{array}{ccl} E : & [\vec{x} - \vec{O A}] \cdot \vec{n} & = 0 \\ E : & [\vec{x} - (\begin{array}{l} 1 \\ 2 \\ 3 \end{array})] \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) & = 0 \end{array}$

Koordinatenform

Die Koordinatengleichung bildest Du durch Ausmultiplizieren der Normalenform Zeile für Zeile. Anschließend fasst Du die Werte zusammen und erhältst die Koordinatengleichung der Ebene.

$\begin{array}{lc} E : [\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix} \begin{matrix} - \\ - \\ - \end{matrix} (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 1 \end{matrix}) & = 0 \\ E : - 1 x + 1 - 1 y + 2 + 1 z - 3 & = 0 \\ E : - 1 x - 1 y + 1 z & = 0 \end{array}$

Anhand der Koordinatengleichung kann man bestimmte Eigenschaften der Ebene feststellen.

Wenn die Variable $a = 0$ ist, ist die Ebene parallel zur x-Achse und besitzt keinen Spurpunkt mit der x-Achse.
Wenn die Variable $b = 0$ ist, ist die Ebene parallel zur y-Achse und besitzt keinen Spurpunkt mit ihr.
Wenn die Variable $c = 0$ ist, ist die Ebene parallel zur z-Achse und besitzt keinen Spurpunkt mit ihr.
Wenn die Variable $d = 0$ ist, enthält die Ebene den Koordinatenursprung.
Wenn die Variablen $a = b = 0$ sind, dann ist die Ebene parallel zur xy-Ebene und besitzt nur einen Spurpunkt mit der z-Achse. Äquivalent verhält es sich mit der xz-Ebene und der yz-Ebene.

Spurpunkte sind die Schnittpunkte einer Ebene mit den Koordinatenachsen. Werden zwei Spurpunkte durch eine Gerade verbunden, nennt sich dies Spurgerade.

Gegenseitige Lage von Ebenen – Lagebeziehung

Um die Lagebeziehung von zwei Ebenen zu ermitteln, benötigst Du den Begriff der Kollinearität.

Kollineare Vektoren verlaufen parallel zueinander. Dabei ist die Länge und die Richtung der Vektoren egal.

Die Kollinearität zweier Vektoren bedeutet mathematisch, dass die Vektoren Vielfache voneinander sind.Deshalb kannst Du die Kollinearität folgendermaßen überprüfen:

Aufgabe 1

Sind die Vektoren $\vec{v} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix})$ und $\vec{w} = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{matrix})$ kollinear?

Lösung

Du überprüfst, ob die Vektoren Vielfache voneinander sind.

$\begin{array}{rcl} \vec{v} & = & k \cdot \vec{w} \\ (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) & = & k \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 6 \end{matrix}) \end{array}$

Stelle zuerst eine der Zeilen (hier die erste) nach k um.

$1 = k \cdot 2 | : 2 k = \frac{1}{2}$

Überprüfe nun in den beiden anderen Zeilen, ob die Gleichung für $k = \frac{1}{2}$ aufgeht.

2. Zeile: $2 = \frac{1}{2} \cdot 4 2 = 2$ ✔

3. Zeile: $3 = \frac{1}{2} \cdot 6 3 = 3$ ✔

Die beiden Vektoren sind also Vielfache voneinander und damit kollinear.

Die Punktprobe ist ebenfalls ein Teil der Ermittlung der Lagebeziehung.

Sollte Dir die Punktprobe nichts sagen, findest Du mehr Informationen darüber in der Erklärung "Punktprobe".

Um Dein Wissen aufzufrischen, folgt ein Beispiel zur Punktprobe.

Aufgabe 2

Liegt der Punkt $P (2 / 1 / 5)$ innerhalb der Ebenen $E : 3 x - 2 y + 6 z = 5$ ?

Lösung

Du setzt den Punkt $P$ in die Ebenengleichung von Ebene $E$ ein.

$\begin{array}{rccl} 3 x - 2 y + 6 z & = & 5 & | P u n k t e i n s e t z e n \\ 3 \cdot 2 - 2 \cdot 1 + 6 \cdot 5 & = & 5 \\ 6 - 2 + 30 & = & 5 \\ 34 & = & 5 & f a l s c h e A u s s a g e \end{array}$

Die Gleichung ergibt eine falsche Aussage. Der Punkt $P$ ist also kein Element der Ebenen $E$ .

Um die Lagebeziehung zweier Ebenen zu ermitteln, sollte die Parameterform $E : \vec{O X} = \vec{O A} + t \cdot \vec{A B} + s \cdot \vec{A C}$ in die Normalenform $E : [\vec{x} - \vec{O A}] \cdot n = 0$ oder Koordinatenform $E : a x + b y + c z = d$ umgewandelt werden.

Die Lage zweier Ebenen zueinander lässt sich jetzt mit Hilfe des folgenden Schemas herausfinden:

Gegenseitige Lage von Ebenen Schemata Lagebeziehung Ebenen StudySmarter Abbildung 2: Schema Lagebeziehung Ebenen

Gehe einfach das Schema Schritt für Schritt durch, um die Lagebeziehung von zwei Ebenen zu berechnen. Zur Veranschaulichung dieses Vorgehens folgt ein Beispiel mit Lösung.

Lagebeziehung zweier identischer Ebenen

Stelle Dir noch einmal Dein Zimmer vor. Wenn Du den Boden (eine Ebene) gleichzeitig auch als Schreibtisch (zweite Ebene) benutzt, dann sind diese Ebenen identisch.

Die identische Ebene ist eine Form der parallelen Ebenen, wobei alle Punkte der einen Ebenen ebenfalls Punkte der anderen Ebenen sind. Die Normalenvektoren sind kollinear.

Gegenseitige Lage von Ebenen identische Ebenen StudySmarter Abbildung 3: Identische Ebenen

Aufgabe 3

Die Ebenen $E_{1} : - 5 x + 2 y + 3 z = 8$ und $E_{2} : [\vec{x} - (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 7 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 15 \\ - 6 \\ - 9 \end{matrix}) = 0$ sind Dir gegeben. Ermittle die gegenseitige Lagebeziehung der beiden Ebenen.

Lösung

Schritt 1: Als Erstes überprüfst Du, ob die Normalenvektoren kollinear zueinander sind.

$\begin{array}{crcll} \begin{array}{c} I \\ I I \\ I I I \end{array} & (\begin{matrix} - 5 \\ 2 \\ 3 \end{matrix}) & = & k \cdot (\begin{matrix} 15 \\ - 6 \\ - 9 \end{matrix}) & | e i n e Z e i l e n a c h k u m s t e l l e n \\ I I & 2 & = & k \cdot (- 6) & | \div (- 6) \\ - \frac{2}{6} & = & k \\ I & - 5 & = & - \frac{1}{3} \cdot 15 & | P r o b e \\ - 5 & = & - 5 & w a h r e A u s s a g e \\ I I I & 3 & = & - \frac{1}{3} \cdot (- 9) & | P r o b e \\ 3 & = & 3 & w a h r e A u s s a g e \end{array}$

Die Normalenvektoren sind kollinear.

Schritt 2: Jetzt überprüfst Du mit Hilfe der Punktprobe, ob die beiden Ebenen einen gemeinsamen Punkt besitzen. Am einfachsten ist es, einen bereits gegebenen Punkt zu nutzen. In der Ebenengleichung $E_{2}$ ist Dir der Punkt $P (3 / 1 / 7)$ gegeben. Diesen setzt Du in die Ebenengleichung $E_{1}$ ein.

$\begin{array}{rcc} - 5 x + 2 y + 3 z & = & 8 \\ - 5 \cdot 3 + 2 \cdot 1 + 3 \cdot 7 & = & 8 \\ - 15 + 2 + 21 & = & 8 \\ 8 & = & 8 & w a h r e A u s s a g e \end{array}$

Der Punkt $P (3 / 1 / 7)$ ist in beiden Ebenen enthalten. Die beiden Ebenen sind identisch.

Lagebeziehung zweier paralleler Ebenen

In Deinem Zimmer hast Du einen Schreibtisch aufgebaut. Die Ebene Schreibtisch ist dabei parallel zur Ebene Boden oder Decke des Zimmers – es handelt sich um parallele Ebenen.

Parallele Ebenen besitzen kollineare Normalenvektoren $\vec{n}$ , die Vektoren sind also Vielfache voneinander. Du kannst den Abstand von parallelen Ebenen bestimmen.

Gegenseitige Lage von Ebenen parallele Ebenen StudySmarter Abbildung 4: parallele Ebenen

Aufgabe 4

Die Ebenen $E_{1} : 2 x - 3 y + z = 9$ und $E_{2} : [\vec{x} - (\begin{matrix} 1 \\ 5 \\ 0 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 6 \\ - 9 \\ 3 \end{matrix}) = 0$ sind Dir gegeben. Ermittle die Lagebeziehung der Ebenen zueinander.

Lösung

Schritt 1: Als Erstes überprüfst Du, ob die Normalenvektoren der Ebenen kollinear sind.

$\begin{array}{rrrl} \vec{n_{1}} & = & k \cdot \vec{n_{2}} \\ \begin{array}{r} I . \\ I I . \\ I I I . \end{array} & (\begin{array}{r} 2 \\ - 3 \\ 1 \end{array}) & = & k \cdot (\begin{matrix} 6 \\ - 9 \\ 3 \end{matrix}) \end{array}$

$\begin{array}{rrrlc} I . & 2 & = & k \cdot 6 & | \div 6 \\ \frac{1}{3} & = & k \end{array}$

$\begin{array}{crcl} I I . & - 3 & = & \frac{1}{3} \cdot (- 9) \\ - 3 & = & - 3 & w a h r e A u s s a g e \\ I I I . & 1 & = & \frac{1}{3} \cdot 3 \\ 1 & = & 1 & w a h r e A u s s a g e \end{array}$

Die Ebenen sind kollinear.

Schritt 2: Jetzt überprüfst Du mithilfe der Punktprobe, ob die Ebenen identisch sind. Den Punkt $P (1 / 5 / 0)$ aus der $E_{2}$ kannst Du dafür nutzen.

$\begin{array}{crcc} E_{1} : & 2 x - 3 y + z & = & 9 \\ 2 \cdot 1 - 3 \cdot 5 + 0 & = & 9 \\ 2 - 15 & = & 9 \\ - 13 & = & 9 & f a l s c h e A u s s a g e \end{array}$

Der Punkt $P$ liegt nicht in der Ebene $E_{1}$ . Die beiden Ebenen sind parallel.

Abstand paralleler Ebenen

Es gibt zwei Möglichkeiten, den Abstand paralleler Ebenen zu bestimmen.

Das Lotfußpunktverfahren

Du wählst einen beliebigen Punkt P aus einer der Ebenen.
Mit Hilfe des Normalenvektors $\vec{n}$ der Ebenen (Ebene $E_{1}$ und Ebene $E_{2}$ besitzen denselben Normalenvektor) und dem gewählten Punkt, dem Fußpunkt, bildest Du die Lotgerade, welche senkrecht zu beiden Ebenen verläuft.
Du berechnest den Schnittpunkt der Ebene, welche den Fußpunkt nicht enthält, mit der Lotgerade.
Du berechnest den Abstand zwischen dem Fußpunkt auf der einen Ebenen und dem Schnittpunkt der Gerade mit der anderen Ebenen.

Für dieses Verfahren kannst Du sowohl die Normalenform als auch die Koordinatenform der Ebenengleichung nutzen.

Das folgende Beispiel hilft Dir beim Verständnis der Schritte.

Aufgabe 5

Gegeben ist die Ebene $E_{1} : x + y + 2 z = 18$ und die Ebene $E_{2} : x + y + 2 z = 6$ . Berechne den Abstand der Ebenen unter Nutzung das Lotfußpunktverfahrens.

Lösung

Schritt 1: Als Erstes ermittelst Du einen beliebigen Punkt P in einer der Ebenen.

$\begin{array}{lll} E_{1} : x + y + 2 z & = 18 & | Z a h l e n f ü r m ö g l i c h e n P u n k t e i n s e t z e n \\ E_{1} : 4 + 4 + 2 \cdot 5 & = 18 \\ E_{1} : 18 & = 18 & w a h r e A u s s a g e \end{array}$

Der Punkt $P (4 / 4 / 5)$ ist in der Ebenen $E_{1}$ enthalten.

Schritt 2: Im nächsten Schritt stellst Du eine Geradengleichung (Lotgerade) mit dem Punkt $P (4 / 4 / 5)$ und dem Normalenvektor $\vec{n} = (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})$ der Ebenen auf.

$\begin{array}{lc} g : \vec{x} = & \vec{O P} + r \cdot \vec{n_{E}} \\ g : \vec{x} = & (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 5 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{array}{l} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array}) \end{array}$

Schritt 3: Als Nächstes setzt Du die Lotgerade in die Ebenengleichung, welche nicht den Punkt $P (4 / 4 / 5)$ enthält, ein und stellst nach der Variablen $r$ um.

Der Wert für die Variable $r$ wird in die Lotgerade eingesetzt und Du berechnest einen Punkt F auf der zweiten Ebene.

$\begin{array}{lll} E_{2} : x + y + 2 z & = 6 & | e i n s e t z e n d e r L o t g e r a d e \\ E_{2} : (4 + r) + (4 + r) + 2 \cdot (5 + 2 \cdot r) & = 6 & | n a c h r u m s t e l l e n \\ E_{2} : r & = - 2 & | - 2 f ü r r i n d i e L o t g e r a d e e i n s e t z e n \end{array} \begin{array}{ll} g : \vec{x} = & (\begin{matrix} 4 \\ 4 \\ 5 \end{matrix}) + (- 2) \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) \\ g : \vec{x} = & (\begin{array}{l} 4 - 2 \cdot 1 \\ 4 - 2 \cdot 1 \\ 5 - 2 \cdot 2 \end{array}) \\ g : \vec{x} = & (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 1 \end{matrix}) \to F (2 / 2 / 1) \end{array}$

Schritt 4: Zum Schluss berechnest Du den Abstand der beiden Punkte P und F und erhältst den Abstand der Ebenen.

$|\vec{P F}| = \sqrt{{(2 - 4)}^{2} + {(2 - 4)}^{2} + {(1 - 5)}^{2}} |\vec{P F}| = \sqrt{24} \approx 4, 9 [L E]$

Der Abstand der beiden parallelen Ebenen beträgt $\approx 4, 9 [L E]$ .

Die Hessesche Normalform

Du stellst eine der beiden Ebenen in die Koordinatenform in die Form $E : a x + b y + c z + d = 0$ um.
Wähle einen beliebigen Punkt $P (x_{1} / y_{1} / z_{1})$ aus den anderen Ebenen.
Setze die Koordinatenform und den Normalenvektor $\vec{n}$ in die Hessesche Normalform zur Berechnung des Abstandes $d = \frac{|a x + b y + c z + d|}{|\vec{n}|}$ ein.Zusätzlich setzt Du Deinen Punkt $P (x_{1} / y_{1} / z_{1})$ in die Gleichung ein.Die Gleichung sollte dann so aussehen $d = \frac{|a x_{1} + b y_{1} + c z_{1} + d|}{|\vec{n}|}$ .
Berechne die Gleichung.

Für dieses Verfahren brauchst Du immer mindestens eine Ebenengleichung in der Koordinatenform.

Hier noch ein Beispiel zu diesem Verfahren.

Aufgabe 6

Gegeben ist die Ebene $E_{1} : - x + 2 y + 4 z = 8$ und die Ebene $E_{2} : 3 x - 6 y - 12 z = 6$ . Diese Ebenen sind parallel. Berechne den Abstand der Ebenen unter Nutzung der Hesseschen Normalform.

Lösung

Schritt 1: Zuerst stellst Du die Koordinatengleichung um.

$\begin{array}{lll} E_{1} : - x + 2 y + 4 z & = 8 & | - 8 \\ E_{1} : - x + 2 y + 4 z - 8 & = 0 \end{array}$

Schritt 2: Dann berechnest Du einen Punkt P der anderen Ebenen.

$\begin{array}{ll} E_{2} : 3 x - 6 y - 12 z & = 6 \\ E_{2} : 3 \cdot 4 - 6 \cdot 1 - 12 \cdot 0 & = 6 \\ E_{2} : 6 & = 6 \end{array}$

Am einfachsten ist es, zwei der Variablen null zu setzen.

Der $P (4 / 1 / 0)$ ist Punkt der Ebenen $E_{2}$ .

Schritt 3: Zum Schluss setzt Du die Ebenengleichung im Zähler ein. In die verbliebenen Variablen im Zähler setzt Du die Werte für x, y und z von Punkt P ein.

Im Nenner wird der Normalenvektor der Ebene eingesetzt.

$\begin{array}{cl} d = & \frac{|- x + 2 y + 4 z - 8|}{\sqrt{{(- 1)}^{2} + 2^{2} + 4^{2}}} \\ d = & \frac{|- 4 + 2 \cdot 1 + 4 \cdot 0 - 8|}{\sqrt{1 + 4 + 16}} \\ d = & \frac{|- 10|}{\sqrt{21}} \approx 2, 182 [L E] \end{array}$

Der Abstand der parallelen Ebenen beträgt $\approx 2, 182 [L E]$ .

Schnittgerade zweier Ebenen

Rückst Du Deinen Schreibtisch nun an die Wand Deines Zimmers, schneiden sich die beiden Ebenen Schreibtisch und Wand an genau einer Kante, in der sogenannten Schnittgerade.

Sich schneidende Ebenen besitzen also immer eine Schnittgerade. Die Punkte der Schnittgeraden sind in beiden Punktmengen der Ebenen enthalten. Die Ebenen können sich in unterschiedlichen Schnittwinkeln schneiden.

Gegenseitige Lage von Ebenen sich schneidende Ebenen mit Schnittgerade StudySmarter Abbildung 5: sich schneidende Ebenen mit Schnittgerade

Aufgabe 7

Welche Lagebeziehungen haben die Ebenen $E_{1} : [\vec{x} - (\begin{matrix} 5 \\ 1 \\ 3 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 4 \\ - 2 \\ 0 \end{matrix}) = 0$ und $E_{2} : [\vec{x} - (\begin{matrix} - 3 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 5 \end{matrix}) = 0$ zueinander? Ermittle diese.

Lösung

Als Erstes überprüfst Du, ob die beiden Normalenvektoren kollinear sind.

$\begin{array}{rrrl} \vec{n_{1}} & = & t \cdot \vec{n_{2}} \\ \begin{array}{r} I . \\ I I . \\ I I I . \end{array} & (\begin{array}{r} 4 \\ - 2 \\ 1 \end{array}) & = & t \cdot (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ - 5 \end{matrix}) \\ I I . & - 2 & = & 1 \cdot t \\ t & = & - 2 \\ I I I . & 1 & = & - 2 \cdot (- 5) & | P r o b e \\ 1 & = & 10 & f a l s c h e A u s s a g e \end{array}$

Die Normalenvektoren sind nicht kollinear. Damit schneiden sich die Ebenen.

Schnittgerade berechnen – Möglichkeiten

Die Schnittgerade ist die Gerade, welche entsteht, wenn sich zwei Ebenen schneiden. Um die Schnittgerade zu berechnen, gibt es zwei Möglichkeiten.

Beide Ebenen in Koordinatenform

Die Ebenen werden durch ein Gleichungssystem addiert.

Aufgabe 8

Gegeben sind die Ebenengleichungen $E_{1} : 2 x + 6 y + 3 z = 12$ und $E_{2} : x + y + z = 4$ . Berechne die Schnittgerade.

Lösung

Die beiden Koordinatengleichungen addierst Du durch ein Gleichungssystem. Die Variable $y$ ersetzt Du durch die Variable $t$ und stellst $x$ und $z$ mithilfe dieser neuen Variablen dar.

$\begin{array}{llllrl} 2 x & + & 6 y & + & 3 z & = 12 \\ x & + & y & + & z & = 4 & | \cdot (- 2) \\ 4 y & + & z & = 4 & | y = t \\ z & = - 4 t + 4 \\ 2 x & + & 6 t & + & 3 \cdot (4 - 4 t) & = 12 \\ 2 x & - & 6 t & = 0 \\ x & = 3 t \end{array}$

Die Darstellung von $x, z$ übernimmst Du für einen Punkt. Aus dem Punkt entwickelst Du die Schnittgerade der Ebenen.

$\begin{array}{lc} \vec{x} = & (\begin{matrix} x \\ y \\ z \end{matrix}) \\ \vec{x} = & (\begin{array}{c} 3 t \\ t \\ - 4 t + 4 \end{array}) \\ \vec{x} = & (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ - 4 \end{matrix}) \end{array}$

Die Schnittgerade der Ebenen lautet $\vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ - 4 \end{matrix})$ .

Eine Ebene in Koordinatenform oder Normalform, eine in Parameterform

Die Parametergleichung wird in die Koordinatengleichung beziehungsweise Normalgleichung eingesetzt.

Aufgabe 9

Gegeben sind die Ebenen $E_{1} : \vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ - 4 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 3 \\ - 1 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{matrix})$ und $E_{2} : 3 x + 7 y - z = 37$ .

Berechne die Schnittgerade.

Lösung

Du setzt die einzelnen Zeilen der Parametergleichung (I., II., III.) in die Koordinatengleichung (in x, y und z) ein und stellst die Gleichung nach einer Variablen $t$ oder $r$ um.

$\begin{array}{rcl} 3 (3 + t + 2 r) + 7 (1 - 3 t + 4 r) - (- 4 - t) & = & 37 \\ - 17 t + 34 r & = & 37 \\ t & = & 2 r - 1 \end{array}$

Als Nächstes setzt Du für die Variable $t = 2 r - 1$ ein und stellst die Gleichung so um, dass die Schnittgeradengleichung entsteht.

$\begin{array}{ccl} \vec{x} & = & (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ - 4 \end{matrix}) + (2 r - 1) \cdot (\begin{array}{l} 1 \\ - 3 \\ - 1 \end{array}) + r \cdot (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ 0 \end{matrix}) \\ \vec{x} & = & (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ - 4 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 r - 1 \\ - 6 r + 3 \\ - 2 r + 1 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 2 r \\ 4 r \\ 0 \end{matrix}) \\ \vec{x} & = & (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ - 4 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 4 r - 1 \\ - 2 r + 3 \\ - 2 r + 1 \end{matrix}) \\ \vec{x} & = & (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ - 3 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 4 \\ - 2 \\ - 2 \end{matrix}) \end{array}$

Die Schnittgerade der Ebenen ist $\vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 4 \\ - 3 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} 4 \\ - 2 \\ - 2 \end{matrix})$ .

Schnittwinkel zweier Ebenen

Ein Schnittwinkel entsteht zwischen zwei sich schneidenden Ebenen.

Die Formel zur Berechnung des Schnittwinkels lautet:

$\cos (α) = \frac{|\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}}|}{|\vec{n_{1}}| \cdot |\vec{n_{2}}|}$

Als Schnittwinkel werden die Winkel $\leq 90 °$ bezeichnet. Wenn der Winkel größer ist, musst Du den Nebenwinkeln berechnen, da dieser der eigentliche Schnittwinkel ist.

Aufgabe 10

Berechne den Schnittwinkel der folgenden Ebenen $E_{1} = 10 x + y + 4 z = 48$ und $E_{2} = x + y - 9 z = 9$ .

Lösung

Zuerst überprüfst Du, ob die Ebenen sich schneiden.

$\begin{matrix} \begin{matrix} I . \\ I I . \\ I I I . \end{matrix} & (\begin{matrix} 10 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}) & = & t \cdot (\begin{matrix} 1 \\ 1 \\ - 9 \end{matrix}) \\ I . & 10 & = & t \cdot 1 \\ t & = & 10 \\ I I . & 1 & = & 10 \cdot 1 & f a l s c h e A u s s a g e \end{matrix}$

Es liegt keine Parallelität vor, die Ebenen schneiden sich.

Nun setze die Normalenvektoren $n_{1} und n_{2}$ in die Formel ein und berechne die Gleichung.

$\cos (α) = \frac{|\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}}|}{|\vec{n_{1}}| \cdot |\vec{n_{2}}|} \cos (α) = \frac{|10 \cdot 1 + 1 \cdot 1 + 4 \cdot (- 9)|}{\sqrt{10^{2} + 1^{2} + 4^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + 1^{2} + {(- 9)}^{2}}} \cos (α) = \frac{|- 1|}{\sqrt{117} \cdot \sqrt{83}} \cos (α) = 0, 010148 α = 89, 42 °$

Achte darauf, dass Dein Taschenrechner auf Gradmaß steht und nicht auf Bogenmaß.

Der Schnittwinkel der Ebenen ist $89, 42 °$ groß.

Lagebeziehungen drei Ebenen

Drei Ebenen können sich genauso schneiden, parallel oder identisch sein wie zwei Ebenen. Beim Schneiden von drei Ebenen gibt es Besonderheiten.

Identische Ebenen

Die drei Ebenen sind identisch. Ihre Normalvektoren $\vec{n}$ sind kollinear und jeder Punkt der einen Ebenen ist auch Punkt der anderen Ebenen.

Gegenseitige Lage von Ebenen drei identische Ebenen StudySmarter Abbildung 6: Drei identische Ebenen

Parallele Ebenen

Die drei Ebenen sind parallel. Ihre Normalvektoren $\vec{n}$ sind kollinear.

Gegenseitige Lage von Ebenen drei parallele Ebenen StudySmarter Abbildung 7: drei parallele Ebenen

Sich schneidende Ebnen

1. Die drei Ebenen können sich in einer Schnittgeraden schneiden. Alle Punkte der Schnittgeraden sind Teil der drei Ebenen.

Gegenseitige Lage von Ebenen drei sich schneidende Ebenen in einer Schnittgerade StudySmarter Abbildung 8: drei sich schneidende Ebenen in einer Schnittgerade

2. Von den zwei Ebenen können zwei parallel sein und die dritte kann die beiden Ebenen schneiden.

Gegenseitige Lage von Ebenen eine Ebene schneidet zwei parallel Ebenen StudySmarter Abbildung 9: eine Ebene schneidet zwei parallel Ebenen

3. Die drei Ebenen können sich so schneiden, dass sie einen gemeinsamen Punkt P besitzen.

Gegenseitige Lage von Ebenen drei sich schneidende Ebenen mit einem gemeinsamen Punkt StudySmarter Abbildung 10: drei sich schneidende Ebenen mit einem gemeinsamen Punkt

4. Die Ebenen können sich so schneiden, dass es keine Punkte gibt, die alle drei Ebenen gemeinsam haben.

Gegenseitige Lage von Ebenen drei sich schneidende Ebenen ohne gemeinsame Punkte StudySmarter Abbildung 11: drei sich schneidende Ebenen ohne gemeinsame Punkte

Gegenseitige Lage von Ebenen – Aufgaben mit Lösungen

Hier kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.

Aufgabe 11

Die folgenden Punkte und Vektoren bilden jeweils eine Ebene. Stelle beide Ebenengleichungen auf und bestimme die Lagebeziehung der Ebenen.

Die erste Ebene besteht aus folgenden Punkten: $E_{1} : P (1 / 4 / - 2), Q (- 2 / 0 / - 2), R (0 / 3 / 1)$ .

Die zweite Ebene hat folgenden Punkt und folgende Vektoren: $E_{2} : (3 / - 2 / 1), \vec{s} = (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}), \vec{v} = (\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix})$ .

Lösung

Zunächst stellst Du Ebenengleichung $E_{1}$ in der Parameterform auf und wandelst sie in die Koordinatenform um.

\begin{aligned} E_{1} : \vec{x} = & \vec{O P} + t \cdot \vec{P Q} + r \cdot \vec{P R} \\ \vec{P Q} = & (\begin{matrix} - 2 & - & 1 \\ 0 & - & 4 \\ - 2 & - & (- 2) \end{matrix}) \\ \vec{P Q} = & (\begin{matrix} - 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}) \\ \vec{P R} = & (\begin{matrix} 0 & - & 1 \\ 3 & - & 4 \\ 1 & - & (- 2) \end{matrix}) \\ \vec{P R} = & (\begin{array}{c} - 1 \\ - 1 \\ 3 \end{array}) \\ E_{1} : \vec{x} = & (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ - 2 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} - 3 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 1 \\ 3 \end{matrix}) \\ \vec{n} = & (\begin{matrix} - 4 \cdot 3 & - & (- 1) \cdot 0 \\ 0 \cdot (- 1) & - & 3 \cdot (- 3) \\ (- 3) \cdot (- 1) & - & (- 1) \cdot (- 4) \end{matrix}) \\ \vec{n} = & (\begin{matrix} - 12 & - & 0 \\ 0 & - & (- 9) \\ 3 & - & 4 \end{matrix}) \\ \vec{n} = & (\begin{matrix} - 12 \\ 9 \\ - 1 \end{matrix}) \\ E_{1} : 0 = & [\vec{x} - (\begin{matrix} 1 \\ 4 \\ - 2 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} - 12 \\ 9 \\ - 1 \end{matrix}) \\ E_{1} : 0 = & - 12 x + 9 y - z - 26 \end{aligned}

Für die zweite Ebene stellst Du ebenfalls die Ebenengleichungen auf.

\begin{aligned} E_{2} : \vec{x} = & \vec{O I} + t \cdot \vec{s} + r \cdot \vec{v} \\ E_{2} : \vec{x} = & (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}) + t \cdot (\begin{matrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 2 \\ 0 \\ 1 \end{matrix}) \\ \vec{n} = & (\begin{matrix} 1 \cdot 1 & - & 0 \cdot 4 \\ 4 \cdot (- 2) & - & 3 \cdot 1 \\ 3 \cdot 0 & - & (- 2) \cdot 1 \end{matrix}) \\ \vec{n} = & (\begin{matrix} 1 \\ - 5 \\ 2 \end{matrix}) \\ E_{2} : 0 = & [\vec{x} - (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 5 \\ 2 \end{matrix}) \\ E_{2} : 0 = & x - 5 y + 2 z - 15 \end{aligned}

Nun ermittelst Du, ob die beiden Normalenvektoren Vielfache voneinander sind.

$\begin{array}{ccccl} \begin{matrix} I . \\ I I . \\ I I I . \end{matrix} & (\begin{matrix} - 12 \\ 9 \\ - 1 \end{matrix}) & = & v \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 5 \\ 2 \end{matrix}) \\ I . & 1 \cdot v & = & - 12 & | e r m i t t e \ln v o n v \\ I I I . & - 1 & = & 2 \cdot v & | P r o b e i n 3 . \\ - 1 & = & 2 \cdot (- 12) & f a l s c h e A u s s a g e \end{array}$

Die Ebenen schneiden sich in einer Schnittgeraden.

Aufgabe 12

Bestimmte den Abstand der parallelen Ebenen.

Die Ebenen lauten: $E_{1} : 0 = 3 x + 6 y + 2 z - 31, E_{2} : 0 = [\vec{x} - (\begin{matrix} 5 \\ 4 \\ 6, 5 \end{matrix})] \cdot (\begin{matrix} 6 \\ 12 \\ 4 \end{matrix})$ .

Lösung

Zur Berechnung des Abstandes zweier Ebenen kannst Du folgende Formel nutzen.

$\begin{array}{cl} d = & \frac{|a x + b y + c z + d|}{|\vec{n}|} \end{array}$

Als Erstes setzt Du die Ebenengleichung und den Normalenvektor von $E_{1}$ ein.

$\begin{array}{cl} d = & \frac{|3 x + 6 y + 2 z - 31|}{\sqrt{3^{2} + 6^{2} + 2^{2}}} \end{array}$

Danach setzt Du einen Punkt aus der Ebene $E_{2}$ ein.

$\begin{array}{cl} d = & \frac{|3 \cdot 5 + 6 \cdot 4 + 2 \cdot 6, 5 - 31|}{\sqrt{9 + 36 + 4}} \end{array}$

Zum Schluss musst Du die Gleichung noch ausrechnen.

$\begin{array}{cl} d = & \frac{|15 + 24 + 13 - 31|}{\sqrt{49}} \\ d = & \frac{21}{7} \\ d = & 3 [L E] \end{array}$

Du erhältst einen Abstand von $3 [L E]$ .

Aufgabe 13

Bestimme die Schnittgerade und den Schnittwinkel bei den sich schneidenden Ebenen.

Die Gleichungen der Ebenen lauten: $E_{1} : \vec{x} = (\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 7 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ - 5 \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}), E_{2} : 0 = - 5 x - 4 y + 7 z - 15$ .

Lösung

Schnittgerade:

Als Erstes setzt Du die Parametergleichung in die Koordinatengleichung ein und stellst nach einer Variablen um.

$\begin{aligned} E_{2} : 0 = & - 5 x - 4 y + 7 z - 15 \\ 0 = & - 5 \cdot (5 - 1 r) - 4 \cdot (6 - 2 s) + 7 \cdot (7 - 5 r + s) - 15 \\ s = & 15 + 30 r \end{aligned}$

Als Nächstes ersetzt Du die Variable $s$ in der Parametergleichung von $E_{1}$ und fasst zusammen, so dass eine Geradengleichung entsteht:

$\begin{array}{cl} g : \vec{x} = & (\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 7 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ - 5 \end{matrix}) + (15 + 30 r) \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - 2 \\ 1 \end{matrix}) \\ g : \vec{x} = & (\begin{matrix} 5 \\ 6 \\ 7 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ 0 \\ - 5 \end{matrix}) + (\begin{matrix} 0 \\ - 30 - 60 r \\ 15 + 30 r \end{matrix}) \\ g : \vec{x} = & (\begin{matrix} 5 \\ - 24 \\ 22 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 60 \\ 25 \end{matrix}) \end{array}$

Somit hast Du die Schnittgerade ermittelt.

Schnittwinkel:

Als Erstes ermittelst Du den Normalenvektor von der Ebenen $E_{1}$ .

$\vec{n_{2}} = (\begin{matrix} 0 \cdot 1 - (- 5) \cdot (- 2) \\ - 5 \cdot 0 - (- 1) \cdot 1 \\ - 1 \cdot (- 2) - 0 \cdot 0 \end{matrix})$

Nun setzt Du die Normalenvektoren in die folgende Gleichung ein und rechnest die Gleichung aus.

$\cos (α) = \frac{|\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}}|}{|\vec{n_{1}}| \cdot |\vec{n_{2}}|} \begin{array}{rc} \cos (α) = & \frac{|(- 5) \cdot (- 10) + (- 4) \cdot 1 + 7 \cdot 2|}{\sqrt{{(- 5)}^{2} + {(- 4)}^{2} + 7^{2}} \cdot \sqrt{{(- 10)}^{2} + 1^{2} + 2^{2}}} \\ \cos (α) = & \frac{|50 - 4 + 14|}{\sqrt{25 + 16 + 49} \cdot \sqrt{100 + 1 + 4}} \\ \cos (α) = & \frac{60}{\sqrt{90} \cdot \sqrt{104}} \\ \cos (α) = & 0, 62 \\ α = & 51, 67 ° \end{array}$

Die Schnittgerade der beiden Ebenen lautet $g : \vec{x} = (\begin{matrix} 5 \\ - 24 \\ 22 \end{matrix}) + r \cdot (\begin{matrix} - 1 \\ - 60 \\ 25 \end{matrix})$ . Der Schnittwinkel ist $51, 67 °$ groß.

Gegenseitige Lage von Ebenen – Das Wichtigste

Ebenen können sich schneiden, parallel oder identisch sein.
Wenn der Normalenvektor kollinear ist, sind die Ebenen parallel oder identisch.
Den Abstand zweier Ebenen kannst Du über das Lotfußpunktverfahren oder über die Hessesche Normalform berechnen.
Die Schnittgerade sich schneidender Ebenen kannst Du über ein Gleichungssystem oder das Einsetzungsverfahren berechnen.
Die Formel für den Schnittwinkel lautet $\cos (α) = \frac{|\vec{n_{1}} \cdot \vec{n_{2}}|}{|\vec{n_{1}}| \cdot |\vec{n_{2}}|}$ .

Häufig gestellte Fragen zum Thema Gegenseitige Lage von Ebenen

Zwei Ebenen können parallel zu einander liegen, identisch sein oder sich schneiden. Wenn die Ebenen sich schneiden, entsteht eine Schnittgerade.

Als erstes bestimmst du die Normalvektoren und ermittelst, ob diese kollinear zueinander sind bzw. Vielfache von einander sind. Wenn sie nicht kollinear sind, dann schneiden sich die Ebenen. Wenn sie kollinear sind, dann wendest du die Punktprobe an. Ergibt die Punktprobe eine wahre Aussage, sind die Ebenen identisch. Ansonsten sind die Ebenen parallel.

Es gibt zwei Möglichkeiten zur Bestimmung der Schnittgerade. Einerseits kann man durch ein Gleichungssystem die Koordinatenform der Ebenen addieren und y beispielsweise durch eine Variable ersetzen. Danach wird x und z mit Hilfe dieser Variablen dargestellt. Dies ergibt eine Geradengleichung. Anderseits kann man auch eine Parametergleichung in eine Koordinatengleichung einsetzen und dann nach einer der Variablen umstellen. Diese setzt du in die Parametergleichung ein und bringst die Gleichung in die Form einer Geradengleichung.

Du kannst den Abstand zweier Ebenen über das Lotfußpunktverfahren ermitteln. Dafür benötigst du eine Gerade, welche senkrecht zu beiden Ebenen verläuft. Die Gerade schneidet die Ebenen in jeweils einem Punkt. Der Abstand dieser Punkte ist gleichzeitig der Abstand der Ebenen.

Eine weitere Möglichkeit ist die Hessesche Normalform. Dabei bringst du eine Ebene in die Hessesche Normalform und setzt einen Punkt der anderen Ebene ein.

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Welche Lagebeziehung können Ebenen haben?

Ebenen können sich schneiden, parallel sein oder identisch sein.

Was macht identische Ebenen aus?

Identische Ebenen besitzen kollineare Normalenvektoren. Alle Punkte der einen Ebenen sind Punkte der anderen Ebenen.

Was macht parallele Ebenen aus?

Parallele Ebenen haben kollineare Normalenvektoren und besitzen keine gemeinsamen Punkte.

Wann entsteht eine Schnittgerade?

Eine Schnittgerade entsteht bei sich schneidenden Ebenen.

Mit welchen Verfahren kann man den Abstand zweier paralleler Ebenen berechnen?

Lotfußpunktverfahren, Hessesche Normalform

Wie kann man die Schnittgerade berechnen bei sich schneidenden Ebenen?

Gleichungssystem, Einsetzungsverfahren

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