Wie berechnet man den Kreisring?

Im Kreisring können verschiedene Werte berechnet werden:Der Flächeninhalt: A = π · rg2 - π · rk2Der Umfang: U = 2π · rg + 2π · rkDie Ringbreite: b = rg - rg

Wie berechnet man den Flächeninhalt eines Kreisrings?

Für den Flächeninhalt A eines Kreisrings gilt:A = π · rg2 - π · rk2

Wie berechnet man die Fläche eines Kreises?

Für den Flächeninhalt A eines Kreises gilt:A = π · r2

Kreisring Breite berechnen

Q: Wie berechnet man den Umfang eines Kreisrings?

Für den Umfang U eines Kreisrings gilt:U = 2π · rg + 2π · rk

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Angenommen, Deiner Stadt soll ein Verkehrskreisel gebaut werden. In der Mitte dieses Kreisels soll eine Insel sein, die dann später mit Blumen bepflanzt wird. Diese Insel muss einen Durchmesser von 68 m haben. Die Fahrbahn soll mindestens 6 m breit sein. Wie groß muss die Fläche mindestens sein, auf die der Kreisel gebaut wird?

Kreisring Breite berechnen Verkehrskreisel StudySmarter

Um diese Frage beantworten zu können, musst Du die Ringbreite eines Kreisrings berechnen können.

Kreisring Breite berechnen Grundlagenwissen

Bevor Du mit der Berechnung der Ringbreite eines Kreisrings beginnen kannst, erhältst Du erst einmal eine Übersicht, was ein Kreisring überhaupt ist und was man sich unter seiner Ringbreite vorstellen kann.

Kreisring – Definition

Der Kreisring ist kommt auch im Alltagsleben vor: Der Verkehrskreisel, der oben schon erwähnt wurde, ein Donut oder ein dicker Gummi. Alle haben die Form eines Kreisrings. Ein Kreisring ist im Prinzip ein Kreis mit einem Loch in der Mitte. Er besteht aus einem großen Kreis, aus dem ein kleinerer Kreis ausgeschnitten wurde.

Ein Kreisring ist die Fläche, welche zwischen zwei unterschiedlich großen Kreisen mit demselben Mittelpunkt liegt. Aufgrund dessen hat ein Kreisring zwei verschiedene Radien: $r_{k}$ , der Radius des kleinen Innenkreises und $r_{g}$ , der Radius des größeren Außenkreises. Beide dieser Radien – und damit beide Kreise – haben den gleichen Mittelpunkt M.

In der Mathematik kann ein Kreisring beispielsweise so aussehen:

Kreisring Breite berechnen Kreisring StudySmarter Abbildung 1: Kreisring

Ringbreite – Definition

Stell Dir vor, Du möchtest Obst einlegen. Dafür hast Du unterschiedlich große Einmachgläser gekauft. Leider hast Du die Dichtungsgummis verloren. Du willst neue bestellen, aber woher weißt du, wie dick die Dichtungsgummis sein müssen?

Je nach der Dicke des Einmachglases verändert sich auch die Dicke des Dichtungsringes. Die Ringbreite gibt dabei an, wie dick ein Ring mit den Radien $r_{g} u n d r_{k}$ sein muss.

Die Ringbreite gibt an, wie groß der Abstand zwischen dem kleinen, inneren Kreis und dem größeren, äußeren Kreis ist. Dadurch ist sie abhängig von den Radien $r_{g} u n d r_{k}$ beziehungsweise den Durchmessern $d_{g} u n d d_{k}$ .

Die Ringbreite wird mit dem Kleinbuchstaben b abgekürzt und normalerweise, da es sich um eine Strecke handelt, in mm (Millimeter), cm (Zentimeter), m (Meter) oder km (Kilometer) angegeben.

Kreisring Breite berechnen Ringbreite b StudySmarter Abbildung 2: Ringbreite b

Achtung! Verwechsel nicht die Ringbreite b mit dem Kreisbogen b. Die beiden Größen werden zwar beide mit dem Kleinbuchstaben b abgekürzt, haben jedoch nichts miteinander zu tun. Aus dem Kontext wird meistens deutlich, welche der beiden jetzt gemeint ist.

Ringbreite eines Kreisrings – Formel und Herleitung

Die Ringbreite ist definiert als der Abstand zwischen dem inneren und dem äußeren Kreis. Demnach stellt sie den Unterschied zwischen den Radien der beiden Kreise dar. Um die Ringbreite b zu berechnen, muss der Radius $r_{k}$ des kleinen, inneren Kreises vom Radius $r_{g}$ des größeren, äußeren Kreises subtrahiert werden.

Für die Ringbreite b eines Kreisrings gilt:

$b = ∆ r b = r_{g} - r_{k}$

Mit der Relation zwischen Radius und Durchmesser kannst Du die Formel jetzt auch mit dem Durchmesser angeben. Es gilt dabei, dass die Länge des Radius dem halben Durchmesser entspricht.

$2 \cdot r = d \Leftrightarrow r = \frac{d}{2}$

Das nachfolgende Bild veranschaulicht dieses Wissen.

Kreisring Breite berechnen Beziehung Durchmesser und Radius StudySmarter Abbildung 3: Beziehung Durchmesser d und Radius r

Dann sieht die Formel so aus.

Für die Ringbreite b eines Kreisrings gilt:

$b = ∆ \frac{d}{2} b = \frac{d_{g}}{2} - \frac{d_{k}}{2} b = \frac{1}{2} \cdot (d_{g} - d_{k})$

Ringbreite eines Kreisrings berechnen – Erklärung

Um jetzt die Ringbreite b eines Kreisrings zu berechnen, gibt es verschiedene Möglichkeiten. Zwei davon hast Du oben jetzt schon kennengelernt.

Ringbreite eines Kreisrings mit dem Radius berechnen

In diesem Beispiel kannst Du die Ringbreite eines Kreisrings mit dem Radius und der dazu passenden Formel berechnen.

Aufgabe

Berechne die Ringbreite b eines Kreisrings mit den Radien $r_{g} = 5 c m u n d r_{k} = 2 c m$ .

Lösung

Schreibe als Erstes die Formel auf. In diesem Fall ist der Radius gegeben, daher wählt man:

$b = r_{g} - r_{k}$

Setzte als Nächstes die Werte für r, in diesem Fall $5 c m u n d 2 c m$ , in die Formel ein.

$b = 5 c m - 2 c m$

Zuletzt berechnest Du das Ergebnis.

$b = 5 c m - 2 c m b = 3 c m$

Der Kreisring hat also eine Ringbreite von $3 c m$ .

Zusammengefasst besteht diese Berechnungsart also aus drei Schritten:

Formel aufschreiben,
Werte einsetzen,
Ergebnis ausrechnen.

Ringbreite eines Kreisrings mit dem Durchmesser berechnen

In diesem Beispiel wird die Ringbreite eines Kreisrings mit dem Durchmesser und der dazu passenden Formel berechnet.

Aufgabe

Berechne die Ringbreite b eines Kreisrings mit den Durchmessern $d_{g} = 4 c m u n d d_{k} = 1, 5 c m$ .

Lösung

Als Erstes wird die passende Formel ausgesucht. Da der Durchmesser gegeben ist, wählt man folgende Formel:

$b = \frac{1}{2} \cdot (d_{g} - d_{k})$

Im nächsten Schritt werden die gegebenen Werte, also $d_{g} = 4 c m u n d d_{k} = 1, 5 c m$ , in die Formel eingesetzt.

$b = \frac{1}{2} \cdot (4 c m - 1, 5 c m)$

Zum Schluss kannst Du das Ergebnis berechnen.

$b = \frac{1}{2} \cdot (4 c m - 1, 5 c m) b = \frac{1}{2} \cdot 2, 5 c m b = 1, 25 c m$

Die Ringbreite b beträgt $1, 25 c m$ .

Zusammengefasst besteht diese Berechnungsart aus drei Schritten:

Formel aufschreiben,
Werte einsetzten,
Ergebnis berechnen.

Werte mithilfe der Ringbreite berechnen

Was machst Du, wenn Du einen Radius oder einen Durchmesser mithilfe der Ringbreite eines Kreisrings berechnen sollst? Es muss einer der Radien beziehungsweise Durchmesser und die Ringbreite gegeben sein, dann kannst Du auch diese Frage berechnen.

Radius eines Kreisrings mit der Ringbreite berechnen

In der folgenden Aufgabe wird der Radius eines Kreisrings mithilfe der Ringbreite berechnet.

Aufgabe

Gegeben ist der Radius $r_{g} = 13 c m$ und die Ringbreite $b = 7 c m$ . Berechne den Radius $r_{k}$ des inneren Kreises.

Lösung

Um diese Aufgabe lösen zu können, musst Du auch hier zunächst die Formel zur Berechnung der Ringbreite mit dem Radius aufschreiben.

$b = r_{g} - r_{k}$

Jetzt ist aber der Radius $r_{k}$ und nicht die Ringbreite b gesucht. Du musst die Formel also nach $r_{k}$ umstellen.

$\begin{array}{rcl} b & = & r_{g} - r_{k} - r_{g} \\ b - r_{g} & = & - r_{k} \cdot (- 1) \\ - b + r_{g} & = & r_{k} \\ r_{g} - b & = & r_{k} \end{array}$

An diesem Punkt musst Du nur noch die Werte einsetzen und das Ergebnis berechnen.

$r_{k} = r_{g} - b r_{g} = 13 c m - 7 c m r_{g} = 6 c m$

Der Radius $r_{k}$ des inneren Kreises beträgt demnach $6 c m$ .

Dieses Verfahren kannst Du auch anwenden, wenn Du $r_{g}$ berechnen willst.

Formel aufschreiben,
Formel umstellen,
Werte einsetzten,
Ergebnis ausrechnen.

Für die Radien $r_{g} u n d r_{k}$ eines Kreisrings gilt deshalb:

$r_{g} = b + r_{k}$

$r_{k} = r_{g} - b$

Durchmesser eines Kreisrings mit der Ringbreite berechnen

In der folgenden Aufgabe wird der Durchmesser eines Kreisrings mithilfe der Ringbreite berechnet.

Aufgabe

Gegeben ist der Durchmesser $d_{k} = 10 c m$ und die Ringbreite $b = 4 c m$ . Berechne den Durchmesser $d_{g}$ des äußeren Kreises.

Lösung

Um diese Aufgabe lösen zu können, musst Du zunächst die Formel zur Berechnung der Ringbreite mit dem Durchmesser aufschreiben.

$b = \frac{1}{2} \cdot (d_{g} - d_{k})$

Jetzt ist aber der Durchmesser $d_{g}$ und nicht die Ringbreite b gesucht. Du musst die Formel also nach $d_{g}$ umstellen.

$\begin{array}{rcl} b & = & \frac{1}{2} \cdot (d_{g} - d_{k}) \cdot 2 \\ 2 b & = & d_{g} - d_{k} + d_{k} \\ 2 b + d_{k} & = & d_{g} \end{array}$

An diesem Punkt musst Du nur noch die Werte einsetzen und das Ergebnis berechnen.

$d_{g} = 2 b + d_{k} d_{g} = 2 \cdot 4 c m + 10 c m d_{g} = 8 c m + 10 c m d_{g} = 18 c m$

Der Durchmesser $d_{g}$ des äußeren Kreises beträgt demnach $18 c m$ .

Dieses Verfahren kannst Du auch anwenden, wenn Du $d_{k}$ berechnen willst.

Formel aufschreiben,
Formel umstellen,
Werte einsetzten,
Ergebnis ausrechnen.

Für die Durchmesser $d_{g} u n d d_{k}$ eines Kreisrings gilt deshalb:

$d_{g} = 2 b + d_{k}$

$d_{k} = d_{g} + 2 b$

Weitere Berechnungsmöglichkeiten

Manchmal hast Du eventuell auch den Fall, dass Du die Ringbreite eines Kreisrings berechnen sollst, aber keine Radien oder Durchmesser gegeben hast, dafür jedoch entweder einen Flächeninhalt oder einen Umfang. Auch dann kannst Du die Ringbreite berechnen.

Ringbreite eines Kreisrings mit dem Flächeninhalt berechnen

Um auf die Formel zur Berechnung der Ringbreite b eines Kreisrings mit dem Flächeninhalt A zu kommen, musst Du als zunächst die Formel für den Flächeninhalt A eines Kreises aufschreiben.

$A = π \cdot r^{2}$

Mehr zum Flächeninhalt eines Kreises erfährst Du im zugehörigen Artikel.

Diese Formel musst Du jetzt nach dem Radius r umstellen.

$\begin{array}{rcl} A & = & π \cdot r^{2} : π \\ \frac{A}{π} & = & r^{2} \sqrt{} \\ \sqrt{\frac{A}{π}} & = & r \end{array}$

Diese Formel kannst Du jetzt für die Radien in die Formel für die Ringbreite einsetzen.

$b = r_{g} - r_{k} b = \sqrt{\frac{A_{g}}{π}} - \sqrt{\frac{A_{k}}{π}}$

Mit dieser Formel kannst Du dann die Ringbreite berechnen.

Ringbreite eines Kreisrings mit dem Umfang berechnen

Das Gleiche, was Du Gerade mit dem Flächeninhalt gesehen hast, kannst Du auch mit dem Umfang U machen.

Als Erstes schreibst Du Dir die Formel zur Berechnung des Umfangs U eines Kreises auf.

$U = 2 \cdot π \cdot r$

Mehr zum Umfang eines Kreises findest Du im zugehörigen Artikel.

Dann stellst Du die Formel nach dem Radius r um.

$\begin{array}{rcl} U & = & 2 \cdot π \cdot r : (2 π) \\ \frac{U}{2 π} & = & r \end{array}$

Diese Formel kannst Du jetzt für die Radien in die Formel für die Ringbreite einsetzen.

$b = r_{g} - r_{k} b = \frac{U_{g}}{2 π} - \frac{U_{k}}{2 π}$

Kreisring Breite berechnen – Übungsaufgaben

In den folgenden Übungsaufgaben kannst Du Dein Wissen testen.

Aufgabe

Wenn Du zurück an die Erklärung mit den Einmachgläsern denkst, dann hast Du 2 verschieden große Gläser. Du brauchst also auch 2 verschieden dicke Dichtungsringe. Die einen Gläser haben einen Innenradius von $r_{k} = 4 c m$ und einen Außenradius von $r_{g} = 5 c m$ . Die anderen Gläser haben einen Innendurchmesser von $d_{k} = 11 c m$ und einen Außendurchmesser von $d_{g} = 15 c m$ . Welche Maße müssen die Dichtungsgummis haben, die Du bestellen musst?

Lösung

1. Dichtungsring

Bei dieser Musterlösung nimmst Du Dir die einzelnen Gläsersorten nacheinander vor. Wenn Du mit der ersten Angabe beginnst, dann musst Du Dir als zunächst die Formel zur Berechnung der Ringbreite mit dem Radius aufschreiben.

$b = r_{g} - r_{k}$

Als Nächstes kannst Du dann die Werte der ersten Glassorte in die Formel einsetzen und die erste benötigte Ringbreite berechnen.

$b = r_{g} - r_{k} b = 5 c m - 4 c m b = 1 c m$

2. Dichtungsring

Für die zweite Glassorte ist der Durchmesser angegeben. Hier kannst Du die Formel zur Berechnung der Ringbreite eines Kreisrings mit dem Durchmesser verwenden.

$b = \frac{1}{2} \cdot (d_{g} - d_{k})$

Als Nächstes kannst Du dann die Werte von d in die Formel einsetzen und das Ergebnis berechnen.

$b = \frac{1}{2} \cdot (d_{g} - d_{k}) b = \frac{1}{2} \cdot (15 c m - 11 c m) b = \frac{1}{2} \cdot 4 c m b = 2 c m$

Du musst also einmal Dichtungsringe mit einem Innenradius von 4 cm, einem Außenradius von 5 cm und einer Ringbreite von 1 cm und einmal Dichtungsringe mit einem Innenradius von 11 cm, einem Außenradius von 15 cm und einer Ringbreite von 2 cm bestellen.

Aufgabe

In der Einleitung ging es darum, dass ein Kreisel mit einer Insel in der Mitte gebaut wird. Die Insel soll einen Innendurchmesser von $d_{k} = 68 m$ haben. Die Fahrbahn darf nicht kleiner als 6 m sein.

Wie viel Platz braucht man mindestens, um diesen Kreisel zu bauen?

Lösung

In der Aufgabenstellung sind der Innendurchmesser und die Ringbreite eines Kreisrings gegeben. Gesucht ist die Gesamtfläche des äußeren Kreises, also der Flächeninhalt des großen Kreises, da die Fläche in der Mitte auch von der Insel im Kreis genutzt wird. Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts A eines Kreises lautet:

$A_{○} = π \cdot {r_{g}}^{2}$

Da Du für diese Berechnung aber den Radius des großen Kreises benötigst, musst Du Dir zuerst überlegen, wie Du diesen berechnen kannst.

Dafür kannst Du die Formel zur Berechnung der Ringbreite b verwenden, da Du sowohl diese als auch den Innendurchmesser gegeben hast.

$b = \frac{1}{2} \cdot (d_{g} - d_{k})$

Hier berechnest Du jetzt erst den Außendurchmesser. Dieser Formel musst Du nach $d_{g}$ umstellen.

$\begin{array}{rcl} b & = & \frac{1}{2} \cdot (d_{g} - d_{k}) \cdot 2 \\ 2 b & = & d_{g} - d_{k} + d_{k} \\ 2 b + d_{k} & = & d_{g} \end{array}$

Jetzt kannst Du die gegebenen Werte in die Formel einsetzen und das Ergebnis berechnen.

$d_{g} = 2 b + d_{k} d_{g} = 2 \cdot 6 m + 68 m d_{g} = 12 m + 68 m d_{g} = 80 m$

Der große Durchmesser des Kreisels beträgt also $80 m$ .

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts $A$ eines Kreises hattest Du oben bereits aufgeschrieben.Jetzt hast Du zwei Möglichkeiten:

Entweder Du rechnest den Durchmesser des großen Kreises in einen Radius um, oder Du änderst die Formel für den Flächeninhalt so um, dass Du den Radius einsetzen kannst. Hier wurde die zweite Variante gewählt.

Du kannst also für $r = \frac{d}{2}$ einsetzen und so das Ergebnis berechnen.

$A_{○} = π \cdot {(\frac{d}{2})}^{2} A_{○} = π \cdot {(\frac{80 m}{2})}^{2} A_{○} = π \cdot {(40 m)}^{2} A_{○} = π \cdot 1600 m^{2} A_{○} \approx 5026, 55 m^{2}$

Es werden mindestens $5027 m^{2}$ an Fläche für den Kreisel gebraucht.

Kreisring Breite berechnen – Das Wichtigste

Die Ringbreite b eines Kreisrings ist abhängig von ihrem Außenradius $r_{g}$ und ihrem Innenradius bzw. ihrem Außendurchmesser $d_{g}$ und ihrem Innendurchmesser $d_{k}$ .
Für die Ringbreite b eines Kreisrings mit dem Radius r gilt: $b = r_{g} - r_{k}$ .
Für die Ringbreite eines Kreisrings mit dem Durchmesser d gilt: $b = \frac{1}{2} \cdot (d_{g} - d_{k})$ .
Beim Rechnen mit diesen Formeln müssen drei Schritte beachtet werden:
- Formel aufschreiben,
- Werte einsetzten,
- Ergebnis berechnen.
Für den Radius $r_{g}$ eines Kreisrings gilt: $r_{g} = b + r_{k}$ .
Für den Radius $r_{k}$ eines Kreisrings gilt: $r_{k} = r_{g} - b$ .
Für den Durchmesser $d_{g}$ eines Kreisrings gilt: $d_{g} = 2 b + d_{k}$ .
Für den Durchmesser $d_{k}$ eines Kreisrings gilt: $d_{k} = d_{k} - 2 b$ .

Häufig gestellte Fragen zum Thema Kreisring Breite berechnen

Im Kreisring können verschiedene Werte berechnet werden:

Der Flächeninhalt: A = π · r_g² - π · r_k²
Der Umfang: U = 2π · r_g + 2π · r_k
Die Ringbreite: b = r_g - r_g

Für den Flächeninhalt A eines Kreisrings gilt:

A = π · r_g² - π · r_k²

Für den Flächeninhalt A eines Kreises gilt:

A = π · r²

Für den Umfang U eines Kreisrings gilt:

U = 2π · r_g + 2π · r_k

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