Wie bestimme ich die Lagebeziehung zwischen einem Punkt und einer Ebene mit der Parameterform?

Die Lagebeziehung zwischen einem Punkt und einer Ebene mit der Parameterform bestimmst Du, indem Du die Ebenengleichung mit dem Punkt gleichsetzt. Danach wird ein Gleichungssystem mit drei Zeilen erstellt und das Einsetzungsverfahren verwendet. Danach wir auf die letzte Variable aufgelöst. Die Parameter setzt Du in eine Zeile ein und untersuchst, ob eine wahre Aussage entsteht.

Wie funktioniert eine Punktprobe für eine Gerade?

Eine Punktprobe für einen Punkt kannst Du für eine Gerade im zweidimensionalen Raum anwenden. Dazu setzt Du die x- und y-Koordinate des Punktes in die Geradengleichung der Geraden g ein und prüfst, ob auf beiden Seiten der Gleichung dasselbe steht. Ist das der Fall, liegt der Punkt P auf der Geraden g.

Was ist eine Lagebeziehung?

Eine Lagebeziehung beschreibt, wie beispielsweise Punkte, Geraden und Ebenen zueinander in Bezug stehen. So kann ein Punkt P auf einer Geraden g oder in der Ebene E liegen. Außerdem können eine Gerade g und eine Ebene E sich schneiden, die Gerade in der Ebene liegen oder beide parallel zueinander sein. Unter anderem der Schnittpunkt einer Gerade mit einer Ebene wird in dieser Erklärung behandelt.

Wann liegt ein Punkt auf einer Ebene?

Ein Punkt liegt auf einer Ebene, wenn das Ergebnis wahr wird. Falls Du einen Punkt P in die Normalenform oder auch Koordinatenform der Ebene E gibst oder auch mit der Ebene in Parameterform gleichsetzt, wird zum Schluss ein wahres Ergebnis entstehen.

Liegt ein Punkt \(P \, (1|4)\) auf einer Geraden \(g(x) = 2x + 4\)?

Nein. Setze dazu die Koordinaten des Punktes \(P\) in die Geradengleichung ein: \begin{align} 4 &= 2 \cdot 1 + 4 \\ 4 &= 2 + 4 \\ 4 &= 6 \text{ (f)} \end{align}

Beschreibe allgemein, wie herausgefunden werden kann, ob ein Punkt \(P\) im dreidimensionalen Raum auf einer Geraden \(g\) liegt.

Punkt \(P\) als Ortsvektor mit Geradengleichung gleichsetzen. Gleichungssystem erstellen Jede Zeile auf \( \lambda\) auflösen.

Es gilt nach einer bereits vorangegangenen Rechnung diese Beziehung: \begin{align} 0 &= 4 + \lambda \cdot (-4) \\ 4 &= 2 + \lambda \cdot 2 \\ 2 &= 1 + \lambda \cdot 1 \end{align} Kann ein Punkt nun auf der Geraden liegen?

Ja, da immer gilt: \( \lambda = 1\)

Lagebeziehung Punkt Gerade: Überblick

Ein kleiner Ball treibt auf einem See. Dabei kannst Du ihn insgesamt als einen Punkt betrachten, der sich auf der Wasseroberfläche befindet. Die Wasseroberfläche wiederum entspricht einer Ebene.

Schon befindest Du Dich in der Lagebeziehung Punkt Gerade und Ebene. In dieser Erklärung kannst Du unter anderem mehr zur Punktprobe für eine Gerade erfahren. Außerdem lernst Du für die Lagebeziehung Punkt–Ebene über die Geradenform Berechnungen anzustellen, aber auch den Punkt auf einer Geraden oder Ebene zu ermitteln. Alle Einzelheiten und einige Übungen gibt es im Verlauf dieser Erklärung.

Lagebeziehung Punkt Gerade – Wiederholung

Für die Lagebeziehung von Punkten, Geraden und Ebenen kannst Du verschiedene Konstellationen unterscheiden.

Lagebeziehung	Fragestellung
Punkt – Gerade	Liegt ein Punkt auf der Gerade oder nicht?
Punkt – Ebene	Liegt ein Punkt auf der Ebene oder nicht?
Gerade – Gerade	Sind beide Geraden parallel, identisch, sich schneidend oder windschief?
Gerade – Ebene	Befindet sich eine Gerade in der Ebene, ist sie parallel oder schneiden sie sich.
Ebene – Ebene	Liegt eine Ebene in einer anderen Ebene, sind sie parallel oder schneiden sie sich?

Diese Erklärung fokussiert sich vor allem auf die ersten beiden Punkte aus der Tabelle.

Dazu findest Du mehr in den dafür vorgesehenen Erklärungen:

Außerdem gibt es verschiedene Möglichkeiten Geraden und Ebenen darzustellen. Du kannst grundsätzlich die Parameterform, Normalenform und Koordinatenform unterscheiden.

Für die einzelnen Darstellungsformen kannst Du gerne bei der Erklärung Parameterform oder Normalenform vorbeisehen.

Umformungen von einer zu einer anderen Darstellung findest Du unter Geradengleichung umformen und Ebenengleichung umformen.

Lagebeziehung Punkt Gerade – Ebene Allgemein

Ein Punkt kann unterschiedlich zu einer Geraden oder auch einer Ebene liegen.

Die Lagebeziehung Punkt–Gerade–Ebene ist vor allem darüber gekennzeichnet, ob sich ein Punkt auf einer Geraden oder auf einer Ebene befindet.

Ist dies nicht der Fall, so kann der Abstand zwischen Punkt und Gerade beziehungsweise Ebene berechnet werden.

Dabei gibt es verschiedene Möglichkeiten, Berechnungen durchzuführen:

Lagebeziehungen zwischen Punkt und Gerade können im zweidimensionalen und dreidimensionalen Raum berechnet werden.

Für den zweidimensionalen Raum kann die Lagebeziehung Punkt–Gerade zum Beispiel mithilfe der Punktprobe berechnet werden.
Die Lagebeziehung Punkt–Gerade im dreidimensionalen Raum kann über das Gleichungssystem der Geradengleichung berechnet werden.

Lagebeziehungen zwischen Punkt und dem dreidimensionalen Objekt der Ebene können nur im Dreidimensionalen berechnet werden.

Die Lagebeziehung Punkt–Ebene kann über das Skalarprodukt, die Geradengleichung und Ebenengleichung berechnet werden.

Sowohl im zwei- als auch im dreidimensionalen Raum kann der Abstand zwischen einem Punkt \(P\) und einer Geraden \(g\) und einem Punkt und einer Ebene \(E\) ermittelt werden, falls sich die Punkte nicht auf diesen befinden, kurz:

\[P \notin g \lor P \notin E\]

Lagebeziehung Punkt Gerade

Die Lagebeziehung zwischen einem Punkt \(P\) und Geraden \(g\) kannst Du mit einem jeweiligen Beispiel sowohl im zweidimensionalen Raum, als auch im dreidimensionalen Raum lernen und üben.

Punktprobe Gerade

Um im zweidimensionalen Raum herauszufinden, ob ein Punkt auf einer Geraden liegt, verwendest Du ein spezielles Verfahren.

Die Punktprobe überprüft durch Rechnung, ob ein Punkt \(P\,(x|y)\) auf einer Geraden \(f(x)\) liegt oder nicht.

Dabei kannst Du bei jeder Funktionsart ähnlich Vorgehen:

Als Beispiel wird hier eine lineare Funktion \(f(x)\) und ein beliebiger Punkt \(P\) verwendet.

\[f(x) = 3x + 2; P\,(2|8)\]

Vorgehen	Beispiel anhand einer linearen Funktion
Setze die x-Koodinate von \(P\) in \(f(x)\) für \(x\) ein.	\begin{align} f(x) &= 3x + 2; P\, (2\|8) \\f(2) &= 3 \cdot 2 + 2 \end{align}
Setze die y-Koordinate statt \(f(x)\) ein und löse die Gleichung.	\begin{align} 8 &= 3 \cdot 2 + 2 \\ 8 &= 6 + 2\\ 8 &= 8 \end{align}
Der Punkt \(P\) liegt auf der Geraden \(f(x)\), falls das Ergebnis wahr ist, andernfalls nicht.	\[8 = 8 \, (\checkmark)\]

Lagebeziehung Punkt Gerade Punktprobe zweidimensionaler Raum StudySmarter Abb. 1 – Lagebeziehung Punktprobe zweidimensionaler Raum

Die Aussage ist wahr, damit liegt der Punkt \(P\) auf der Geraden \(f(x)\).

Diese Ermittlung, ob sich ein Punkt \(P\) auf einer Geraden \(f\) befindet, ist jedoch nur im zweidimensionalen Raum möglich. Nähere Informationen und viele Übungen findest Du in der Erklärung Punktprobe.

Punkt auf Gerade

Es gibt auch für den dreidimensionalen Raum eine Möglichkeit zu ermitteln, ob sich ein Punkt auf einer Geraden befindet.

Das Verfahren für einen Punkt auf einer Geraden im dreidimensionalen Raum funktioniert wie folgt:

Zunächst muss die Gerade in die Parameterform gebracht werden:

\begin{align} h: \vec{x} = \overset{ \color{#1478c8}{ \ \text{Orts} \text{vektor}} } {\overset{ \downarrow} {\color{#1478c8}{ \left( \begin{array}{c} p_1 \\ p_2\\ p_3 \end{array} \right)}}} {+} \underset{ \color{#fa3273}{ \text{Para} \text{meter}} } {\underset{ \uparrow}{ \color{#fa3273}{ \lambda} }} \color{#000000}{\cdot} \overset{ \color{#00dcb4}{ \text{Richtungs} \text{vektor}} } {\overset{ \downarrow} {\color{#00dcb4}{ \left( \begin{array}{c} u_1 \\ u_2\\ u_3 \end{array} \right)}}}\end{align}

Anschließend gehst Du folgendermaßen vor:

Punkt für \( \vec{x}\) in die Geradengleichung einsetzen
Gleichungssystem erstellen
jede Zeile auf \( \lambda \) auflösen

Dieses Verfahren funktioniert dabei immer auf dieselbe Weise.

Zur Auffrischung der Kenntnisse zu diesem Thema helfen folgende Erklärungen: Parameterform, Geradengleichung in Parameterform, Geradengleichung umformen.

Der Punkt ist dabei als Ortsvektor angegeben. Was das konkret bedeutet, kannst Du in der Erklärung Ortsvektor herausfinden.

Um dieses Verfahren zu verinnerlichen, bietet sich hierzu eine kleine Übung an.

Dir ist folgende Gerade in Parameterform gegeben:

\[f: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} -5 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \]

Außerdem gilt für den Punkt \(P\, (0| \text{3,6}| \text{1,8})\).

Im Folgenden wird überprüft, ob sich dieser Punkt \(P\) auf der Geraden \(f\) befindet.

Schritt 1:

Zuerst kannst Du den Punkt P als Ortsvektor schreiben. Dazu nimmst Du die Koordinaten \((x, y, z)\) und setzt sie in den Vektor ein. Diesen setzt Du mit der Geradengleichung gleich.

\[\left( \begin{array}{c} 0 \\ 3,6 \\ 1,8 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} -5 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \]

Schritt 2:

Nun stellst Du das Gleichungssystem auf. Dazu verwendest Du jede Zeile getrennt.

\begin{align} 0 &= 4 + \lambda \cdot (-5) \\ 3,6 &= 2 + \lambda \cdot 2 \\ 1,8 &= 1 + \lambda \cdot 1 \end{align}

Schritt 3:

Löse nun auf \( \lambda\) auf. Besitzt jede Zeile nun dasselbe \( \lambda \), so liegt der Punkt auf der Geraden. Andernfalls ist er kein Teil der Gerade.

\begin{align} 0 &= 4 + \lambda \cdot (-5) \\ -4 &= \lambda \cdot (-5) && \longrightarrow \lambda = 0,8 \\ \\ 3,6 &= 2 + \lambda \cdot 2 \\ 1,6 &= \lambda \cdot 2 &&\longrightarrow \lambda = 0,8 \\ \\ 1,8 &= 1 + \lambda \cdot 1 &&\longrightarrow \lambda = 0,8 \end{align}

Damit befindet sich der Punkt \(P\) auf der Geraden \(f\). Du kannst es auch so ausdrücken: \(P \in f\).

Lagebeziehung Punkt Gerade dreidimensionaler Raum StudySmarter Abb. 2 – Lagebeziehung Punkt auf Gerade dreidimensionaler Raum

Lagebeziehung Punkt Gerade – Abstand & Vektoren

Es ergibt sich auch manchmal, dass sich ein Punkt \(P\) nicht auf einer Geraden \(g\) befindet.

In diesem Fall kann in einer Aufgabenstellung auch gefragt werden, wie groß der Abstand zwischen Punkt und Gerade ist.

Der Abstand eines Punkts zu einer Geraden ist immer die kürzeste Entfernung der beiden.

Dabei wird ein Lot auf die Gerade gefällt, mit einem Lotfußpunkt \(F\). Die Strecke \([LF]\) ist dann der Abstand.

Abstand Punkt Gerade – Abstandsregel

Eine der Methoden, den Abstand zwischen einem Punkt \(P\) und einer Geraden \(g\) zu bestimmen, ist die Abstandsregel. Dabei spielen vor allem Richtungs- und Ortsvektoren eine entscheidende Rolle.

Der Abstand zwischen einem Punkt \(P\) und einer Geraden \(g\) ermittelst Du über diese Formel:

\[d = \frac{ \left|( \vec{p} - \vec{q}) \times \vec{u} \right| }{ \left| \vec{u} \right| }\]

Dabei entspricht \(d\) dem Abstand zwischen dem Punkt \(P \, (p_1|p_2|p_3)\) und der Geraden \(g: \vec{x} = \vec{q} + \lambda \cdot \vec{u} \).

Das bedeutet, der Richtungsvektor \( \vec{u}\) und die Ortsvektoren \( \vec{p}\) und \( \vec{q}\) werden in die Formel eingesetzt.

Du setzt also die Werte aus dem Punkt \(P\) und der Geraden \(g\) einfach in die Formel ein und kannst damit den Abstand berechnen.

Im Zähler verwendest Du das sogenannte Kreuzprodukt:

Für zwei Vektoren \( \left( \begin{array}{c} a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{array} \right) \) und \( \left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{array} \right) \) lautet dies:

\[ \left( \begin{array}{c} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 - a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{array} \right) \]

Nähere Informationen dazu findest Du in der Erklärung Kreuzprodukt.

Außerdem benötigst Du für diese Formel den Betrag eines Vektors. Schaue deshalb gerne bei der Erklärung Betrag vorbei.

Einen kleinen Einblick in die Abstandsbestimmung zwischen einem Punkt und einer Geraden erhältst Du nun für die Abstandsregel.

Gegeben ist eine Gerade \(g: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 2 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} -6 \\ -2 \\ 2 \end{array} \right)\) und ein Punkt \(P = \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) \).

Du bestimmst nun den Abstand zwischen dem Punkt \(P\) und der Geraden \(g\).

Deine Aufgabe besteht im Großen und Ganzen einmal darin, alle Werte in die Formel einzusetzen.

\[d = \frac{ \left| \left( \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 4 \\ 4 \\ 2 \end{array} \right) \right) \times \left( \begin{array}{c} -6 \\ -2 \\ 2 \end{array} \right) \right| }{ \left| \left( \begin{array}{c} -6 \\ -2 \\ 2 \end{array} \right) \right| }\]

Damit hast Du also bereits die Formel aufgestellt. Es würde nun Sinn ergeben, zuerst \( \vec{q}\) von \( \vec{p}\) abzuziehen.

\[d = \frac{ \left| \left( \begin{array}{c} -3 \\ -3 \\ 0 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} -6 \\ -2 \\ 2 \end{array} \right) \right| }{ \left| \left( \begin{array}{c} -6 \\ -2 \\ 2 \end{array} \right) \right| }\]

Im nächsten Schritt kannst Du das Kreuzprodukt anwenden.

\begin{align} d &= \frac{ \left| \left( \begin{array}{c} -6 - 0 \\ 0 - (-6) \\ 6 - 18 \end{array} \right) \right| }{ \left| \left( \begin{array}{c} -6 \\ -2 \\ 2 \end{array} \right) \right| } \\[0.5cm] &= \frac{ \left| \left( \begin{array}{c} -6 \\ 6 \\ -12 \end{array} \right) \right| }{ \left| \left( \begin{array}{c} -6 \\ -2 \\ 2 \end{array} \right) \right| } \end{align}

Wende nun jeweils den Betrag sowohl im Zähler als auch im Nenner an. Dazu quadrierst Du alle Koordinaten in den Vektoren, summierst sie auf und ziehst anschließend die Wurzel.

\begin{align} d &= \frac{ \sqrt{ (-6)^2 + 6^2 + (-12)^2} }{ \sqrt{ (-6)^2 + (-2)^2 + 2^2} } \\[0.4cm]&= \frac{ \sqrt{ 36 + 36 + 144} }{ \sqrt{ 36 + 4 + 4} } \\[0.4cm]&= \frac{6 \sqrt{6} } {2 \sqrt{11} } \\[0.4cm]&\approx 2,22 \text{ LE} \end{align}

Lagebeziehung Punkt Gerade Abstand Punkt StudySmarter Abb. 3 – Lagebeziehung Abstand Punkt Gerade

Abstand Punkt Gerade – Lotfußpunktverfahren

Eine weitere Möglichkeit besteht darin, an der Geraden \(g\) durch den Punkt \(P\) eine Lotgerade zu ziehen. Dabei entsteht ein Schnittpunkt mit der Geraden \(g\). Dieser wird als Lotfußpunkt bezeichnet. In Abhängigkeit dieses Punktes kannst Du auch den Abstand bestimmen.

Dieses Verfahren soll Dir allgemein und theoretisch in dieser Tabelle gezeigt werden.

Auch hierbei ist die Gerade \(g\) in Parameterform und der Punkt \(P\) als Ortsvektor angegeben.

\[g: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} q_1 \\ q_2 \\ q_3 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{array} \right)\]

\[P = \left( \begin{array}{c} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{array} \right) \]

Schritte	Erklärung	Allgemeines Beispiel
1	Gebe den Lotfußpunkt \(F\) in Abhängigkeit der Geraden \(g\) an.	\[ \overrightarrow {F} = (q_1 + \lambda \cdot u_1 \| q_2 + \lambda \cdot u_2 \| q_3 + \lambda \cdot u_3) \]
2	Erstelle den Vektor \( \overrightarrow {PF}\). Dazu subtrahierst Du den Punkt \(P\) von dem Lotfußpunkt \(F\).	\[\overrightarrow {PF} = \overrightarrow {F} - \overrightarrow {P} \]
3	Dieser erzeugte Vektor \( \overrightarrow {PF}\) soll senkrecht (auch orthogonal genannt) zu der Gerade stehen. Deshalb wird das Skalarprodukt zwischen dem Vektor \( \overrightarrow {PF}\) und dem Richtungsvektor der Geraden \( \overrightarrow {u}\) gebildet. Es wird auf \( \lambda\) aufgelöst.	\[ \overrightarrow {PF} \circ \overrightarrow {u} = 0\]
4	Setze das berechnete \( \lambda \) in \( \overrightarrow {PF}\) ein.	\[ \overrightarrow {PF} \text { für } \lambda \]
5	Bestimme die Länge dieses Vektors.	\[d = \left\| \overrightarrow {PF} \right\| \]

Eine viel detailliertere Erklärung zu den Abständen vom Punkt \(P\) zu einer Geraden \(g\) findest Du in der Erklärung Abstand Punkt Gerade.

Es gibt übrigens auch eine Erklärung zum Lotfußpunktverfahren.

Lagebeziehung Punkt Gerade – Ebene

Ein Punkt kann allerdings für die analytische Geometrie nicht nur auf einer Geraden liegen, oder auch nicht, sondern ebenso in einer Ebene.

Dazu gibt es verschiedene Vorgehensweisen, da eine Ebene in diesen Formen gegeben sein kann:

Punktprobe Ebene in Parameterform
Punktprobe Ebene in Normalenform
Punktprobe Ebene in Koordinatenform

Lagebeziehung Punkt Ebene Parameterform

Ist eine Ebene \(E\) in Parameterform gegeben und es soll bestimmt werden, ob ein Punkt \(P\) auf dieser liegt, ähnelt das Verfahren dem für die Parameterform einer Geraden \(g\).

Als Erinnerung wird Dir nochmals kurz erläutert, wie die Parameterform einer Ebene aussieht:

\[ \vec{e} = \vec{p} + r \cdot \vec{u} + s \cdot \vec{v}\]

Dazu wird auch hierbei ein lineares Gleichungssystem erstellt über die einzelnen Koordinaten der Ebene.

Die Punktprobe für eine Ebene in Parameterform läuft wie folgt ab:

Punkt für \( \vec{x}\) in die Ebenengleichung in Parameterform einsetzen
Gleichungssystem erstellen
Einsetzungsverfahren verwenden
Auf letzte Variable auflösen

Das bedeutet also, ein Punkt \(P\) liegt auf dieser Ebene \(E\), falls es Werte für die Parameter \(r\) und \(s\) gibt. Auch hierbei kannst Du den Ortsvektor des Punktes \(P\) einsetzen und das Gleichungssystem lösen.

Benötigst Du mehr Informationen zu Gleichungssystemen, kannst Du bei folgenden Erklärungen vorbeischauen: LGS lösen, Einsetzungsverfahren, Gleichsetzungsverfahren.

Dazu bietet sich wieder eine Übung an, um das Gleichungssystem für die Parameterform im dreidimensionalen Raum zu lösen.

Es ist nun eine Ebene in Parameterform gegeben:

\[E: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + r \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 2 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)\]

In den nächsten Schritten wird geprüft, ob der Punkt \(P\, (2|1|1)\) auf der Ebene liegt.

Schritt 1:

Setze als Erstes den Punkt als Ortsvektor für \( \vec{x}\) in die Ebenengleichung \(E\) ein.

\[\left( \begin{array}{c} 2 \\ 1 \\ 1 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) + r \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 5 \\ 2 \end{array} \right) + s \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 1 \\ 0 \end{array} \right)\]

Schritt 2:

Nun kannst Du das Gleichungssystem aufstellen. Dafür besitzt Du insgesamt drei Zeilen.

\begin{align} 2 &= 3 + 1 \cdot r + s \cdot 1 \\ 1 &= 0 + 5 \cdot r + s \\ 1 &= 0 + 2 \cdot r \end{align}

Schritt 3:

Deine Aufgabe besteht nun darin, einen Parameter zu lösen und auf den anderen zu schließen. Sieh Dir dazu die letzte Zeile an, da in diesem Fall sofort auf \(r\) aufgelöst werden kann.

\begin{align} 1 &= 2 \cdot r &&|:2 \\ \text{0,5} &= r \end{align}

Nun verwendest Du das Einsetzungsverfahren, um nun auch auf den Parameter \(s\) zu schließen. Du kannst also \(r = \text{0,5}\) in die zweite Zeile einfügen.

\begin{align} 1 &= 0 + 5 \cdot \text{0,5} + s \\ 1 &= \text{2,5} + s &&| - \text{2,5} \\ \text{- 1,5} &= s \end{align}

Schritt 4:

Teste nun mithilfe der ersten Zeile des Gleichungssystems und den erhaltenen Parametern, ob eine wahre Aussage entsteht. Setze \(r = \text{0,5}\) und \(s = \text{- 1,5}\) in die Gleichung ein.

\begin{align} 2 &= 3 + \text{0,5} \cdot 1 - \text{1,5} \\ 2 &= \text{3,5} - \text{1,5} \\ 2 &= 2 (\checkmark) \end{align}

Es handelt sich um keinen Widerspruch, sondern eine wahre Aussage. Damit gilt \(P \in E\).

Lagebeziehung Punkt Gerade Ebene Parameterform StudySmarter Abb. 4 – Lagebeziehung Punkt auf Ebene Parameterform

Lagebeziehung Punkt Gerade Ebene Skalarprodukt

Ein weiteres Verfahren gibt es, wenn eine Ebene \(E\) in Normalenform gegeben ist. Dann spielt vor allem das Skalarprodukt eine Rolle.

Falls Dir das noch nicht klar ist, kannst Du gerne bei den Erklärungen Normalenvektor, Ebenengleichung umformen oder Skalarprodukt Dein Wissen dazu auffrischen.

Besitzt Du also auch hier das Wissen darüber, wie die Ebenengleichung aussieht, ist ebenso hierbei das Einsetzen eines Punktes \(P\) entscheidend.

Das Verfahren der Punktprobe für eine Ebene \(E\) in Normalenform lautet wie folgt:

Einsetzen des Ortsvektors eines Punktes \(P\) in die Ebenengleichung.
Subtraktion innerhalb der Klammer durchführen.
Verwendung des Skalarprodukts.
Auf Aussage lediglich einer Gleichung achten.

Das Positive an dieser Form der Ebene \(E\) ist, dass lediglich eine Gleichung zu lösen ist, anstelle von dreien für die Parameterform.

Auch hierbei bietet sich eine Übung am besten an.

Im Folgenden ist eine Ebene gegeben:

\[E: \left( \left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ - 7 \\ 0 \end{array} \right) \right) \circ \left( \begin{array}{c} 5 \\ 3 \\ - 2 \end{array} \right) = 0 \]

Nun kannst Du bestimmen, ob der Punkt \(P\, (3|-3|1)\) auf der Ebene \(E\) liegt.

Schritt 1:

Setze den Punkt \(P\) in die Ebengleichung ein.

\[E: \left( \left( \begin{array}{c} 3 \\ - 3 \\ 1 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ - 7 \\ 0 \end{array} \right) \right) \circ \left( \begin{array}{c} 5 \\ 3 \\ - 2 \end{array} \right) = 0 \]

Schritt 2:

Nun wende die Subtraktion innerhalb der Klammer an.

\begin{align} E: \left( \left( \begin{array}{c} 3 \\ - 3 \\ 1 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 5 \\ - 7 \\ 0 \end{array} \right) \right) \circ \left( \begin{array}{c} 5 \\ 3 \\ - 2 \end{array} \right) &= 0 \\[0,2cm] \left( \begin{array}{c} - 2 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right) \circ \left( \begin{array}{c} 5 \\ 3 \\ - 2 \end{array} \right) &= 0\end{align}

Schritt 3+4:

Wende nun das Skalarprodukt an. Außerdem kannst Du prüfen, ob die Aussage der Gleichung wahr ist.

\begin{align} \left( \begin{array}{c} -2 \\ 4 \\ 1 \end{array} \right) \circ \left( \begin{array}{c} 5 \\ 3 \\ - 2 \end{array} \right) &= 0 \\[0,2cm] - 10 + 12 - 2 &= 0 \,(\checkmark) \end{align}

Damit liegt der Punkt \(P\) in der Ebene \(E\) in Normalenform.

Lagebeziehung Punkt Gerade Ebene Normalenform StudySmarter Abb. 5 – Lagebeziehung Punkt auf Ebene Normalenform

Lagebeziehung Punkt Ebene Koordinatenform

Wie bereits erwähnt, kann eine Ebene auch in der sogenannten Koordinatenform angegeben sein. Auch hierbei ist es möglich, zu prüfen, ob ein Punkt auf der Ebene platziert ist.

Dabei ist das Verfahren deutlich weniger umfangreich, als es bei der Parameterform der Fall ist.

Das Verfahren der Punktprobe für eine Ebene \(E\) in Koordinatenform lautet wie folgt:

Koordinaten des Punktes \(P\) in die Ebenengleichung \(E\) einsetzen.
Gleichung lösen und auf Aussage der Gleichung achten.

Wie Du also bereits erkennen solltest, ist dieses Verfahren durch nur zwei Schritte lösbar.

Schaue ansonsten gerne bei der Erklärung Koordinatenform vorbei.

Aufgabe 1

Die Ebene \(E\) lautet wie folgt: \(E: 4x - 2y + 1z = 5\).

Der Punkt P besitzt folgende Koordinaten: \(P(3|3|-1)\).

Bestimme, ob dieser Punkt auf der Ebenen liegt.

Lösung

Schritt 1:

Setze alle Koordinaten des Punktes in die Ebenengleichung \(E\) ein.

\[4 \cdot 3 - 2 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) = 5\]

Schritt 2:

Löse nun die Gleichung auf und achte darauf, ob die Aussage wahr oder falsch wird.

\begin{align} 4 \cdot 3 - 2 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) = 6 \\ 12 - 6 - 1 &= 5 \\ 5 &= 5 \, (\checkmark) \end{align}

Damit liegt der Punkt \(P\) auf der Ebene \(E\), da eine wahre Aussage entsteht.

Lagebeziehung Punkt Gerade Koordinatenform StudySmarter Abb. 6 – Lagebeziehung Punkt auf Ebene Koordinatenform

Lagebeziehung Punkt Gerade – Aufgaben

Nachdem Du ein sehr umfangreiches Bild an verschiedenen Berechnungen für die Lagebeziehung zwischen Punkt und Gerade und zwischen Punkt und Ebene erhalten hast, kannst Du dies alles üben. Dabei liegt der Fokus auf der Lagebeziehung Punkt–Gerade.

Aufgabe 2

Dir ist folgende Gerade gegeben:

\[f: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \]

Außerdem gibt es zwei Punkte.

\[A\, (0|4|2), B\, (0|3|3)\]

a) Ermittle, ob sich der Punkt \(A\) auf der Geraden \(f\) befindet, mithilfe der Parameterform.

b) Ermittle die Lagebeziehung der Geraden \(f\) im dreidimensionalen Raum mit dem Punkt \(B\) mithilfe des Abstands.

Lösung

Zunächst ist gefordert, über die Gerade \(f\) zu ermitteln, ob der Punkt \(A\) enthalten ist. Dazu verwendest Du die Parameterform.Schritt 1:Hierbei formst Du den Punkt \(A\) in einen Ortsvektor um: \(A = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 2 \end{array} \right) \).Nun setzt Du diesen mit der Geradengleichung gleich.\[\left( \begin{array}{c} 0 \\ 4 \\ 2 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \]Schritt 2:Stelle jetzt im Folgenden das Gleichungssystem auf. \begin{align} 0 &= 0 + \lambda \cdot 0 \\ 4 &= 2 + 2 \cdot \lambda \\ 2 &= 1 + 1 \cdot \lambda \end{align}Schritt 3:Du kannst nun auf \( \lambda \) auflösen. Die erste Zeile muss nicht mehr betrachtet werden, da die Zahl \(0\) multipliziert mit jeder anderen Zahl wieder \(0\) ergibt. Damit ist diese Gleichung für jede Zahl richtig.\begin{align} 2 &= 1 + 1 \cdot \lambda \,\, \rightarrow {\color{#1478c8}\lambda = 1} \\ 4 &= 2 + 2 \cdot 1 \,\, \rightarrow {\color{#1478c8}\lambda =1} \end{align}Beide \(\lambda\) sind identisch. Somit ergibt sich für die Lagebeziehung, dass der Punkt \(A\) auf der Geraden \(f\) liegt.
Bereits aus der Fragestellung kannst Du erkennen, dass nach dem Abstand zwischen Punkt \(B\) und der Geraden \(f\) gefragt wird. Dass dieser Punkt also nicht auf der Geraden liegt, brauchst Du nicht zu beweisen.\[d = \frac{ \left|( \vec{p} - \vec{q}) \times \vec{u} \right| }{ \left| \vec{u} \right| }\]Dabei entsprechen folgende Vektoren diesen Werten:\( \vec{p} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 3 \end{array} \right), \vec{q} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right), \vec{u} = \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \)Setze diese Werte ein. Anschließend kannst Du direkt subtrahieren.\begin{align} d &= \frac{ \left| \left( \left( \begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 3 \end{array} \right) - \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \right| }{ \left| \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \right| } \\[0,2cm]&= \frac{ \left| \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ 2 \end{array} \right) \times \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \right| }{ \left| \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \right| } \end{align}Wende nun das Kreuzprodukt an.\begin{align} d &= \frac{ \left| \left( \begin{array}{c} - 3 \\ 0 \\ 0 \end{array} \right) \right| }{ \left| \left( \begin{array}{c} 0 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \right| } \end{align}Nun kannst Du den Betrag des Zählers und Nenners verwenden und den Abstand final ermitteln.\begin{align} d &= \frac{ \sqrt{(-3)^2 + 0^2 + 0^2}}{ \sqrt{0^2 + 2^2 + 1^2}} \\[0,2cm] &= \frac{ 3}{ \sqrt{5} } \\[0,2cm] &\approx 1,34 \text{ LE} \end{align}

Lagebeziehung Punkt Gerade – Das Wichtigste

Die Lagebeziehung Punkt–Gerade–Ebene ist dadurch gekennzeichnet, ob sich ein Punkt \(P\) auf einer Geraden \(f\) oder Ebene \(E\) befindet oder nicht.
Dazu lässt sich die Lagebeziehung zwischen einem Punkt \(P\) und einer Geraden \(f\) über die Punktprobe einer Gerade im zweidimensionalen Raum bestimmen, indem die Koordinaten des Punktes in die Geradengleichung gegeben werden.
Die Frage nach einem Punkt auf einer Geraden \(f\) kann auch über die Parameterform der Geraden im dreidimensionalen Raum beantwortet werden, indem der Punkt \(P\) mit der Geradengleichung gleichgesetzt wird.
Den Abstand Punkt–Gerade über Vektoren bestimmst Du beispielsweise über die Abstandsregel, falls der Punkt nicht auf der Geraden \(f\) liegt.
Wenn ermittelt wird, ob sich ein Punkt \(P\) auf einer Ebene \(E\) befindet, wird entweder der Punkt mit der Parameterform der Ebene gleichgesetzt, oder die Koordinaten des Punktes in die Koordinatenform eingesetzt.
Ist die Ebene \(E\) in Normalenform gegeben, wird ebenso für die Lagebeziehung zwischen dieser und einem Punkt \(P\) der Punkt eingesetzt und das Skalarprodukt gebildet.

Lagebeziehung Punkt Gerade

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Lagebeziehung Punkt Gerade – Wiederholung

Lagebeziehung Punkt Gerade – Ebene Allgemein