Inhaltsverzeichnis▼
- Was besagt der Satz des Pythagoras?
- Katheten und Hypotenuse am Dreieck
- Hypotenuse berechnen
- Kathete berechnen (Formel umstellen)
- Pythagoras-Rechner
- Kehrsatz: Test auf Rechtwinkligkeit
- Beweis über Flächen
- Pythagoreische Tripel
- Anwendungen: Diagonale und Höhe
- Häufige Rechenfehler
- Übungsaufgaben
- Karteikarten
- Das Wichtigste
- Häufige Fragen
- Quellen
Was besagt der Satz des Pythagoras?
Der Satz des Pythagoras besagt: In jedem rechtwinkligen Dreieck ist die Summe der Quadrate über den beiden Katheten gleich dem Quadrat über der Hypotenuse. Als Formel geschrieben gilt a² + b² = c², wobei a und b die Katheten sind und c die Hypotenuse, die längste Seite gegenüber dem rechten Winkel.
Anschaulich bedeutet das: Zeichnest du über jede der drei Seiten ein Quadrat, dann sind die beiden kleineren Quadrate über den Katheten zusammen genauso groß wie das große Quadrat über der Hypotenuse. Aus dieser Flächenbeziehung folgt die Formel a² + b² = c², mit der du jede fehlende Seite berechnen kannst, sobald die beiden anderen bekannt sind.
Der Satz gilt ausschließlich im rechtwinkligen Dreieck. Er ist nach dem griechischen Gelehrten Pythagoras benannt, war aber schon lange davor bekannt: Babylonische Tontafeln wie Plimpton 322 enthalten passende Zahlentripel, und Euklid hat den Satz um 300 vor Christus in seinen Elementen als Satz 47 des ersten Buches bewiesen. Über 40 Millionen Lernende nutzen StudySmarter, um Geometrie sicher für Klassenarbeit und Prüfung zu beherrschen.
Satz des Pythagoras lernen?
Katheten und Hypotenuse am rechtwinkligen Dreieck
Im rechtwinkligen Dreieck heißen die beiden Seiten, die den rechten Winkel einschließen, Katheten (a und b). Die dritte Seite gegenüber dem rechten Winkel ist die Hypotenuse c und immer die längste Seite. Diese Zuordnung ist entscheidend, denn im Satz des Pythagoras steht die Hypotenuse allein auf der Seite c².
Bevor du rechnest, benennst du die Seiten richtig. Der rechte Winkel ist mit einem kleinen Quadrat markiert. Die beiden Seiten, die dieses Winkelfeld berühren, sind die Katheten. Die schräg gegenüberliegende Seite ist die Hypotenuse. Verwechselst du die Rollen, landet eine Kathete fälschlich bei c², und das Ergebnis stimmt nicht.
Das folgende Schaubild zeigt das klassische Bild: ein rechtwinkliges Dreieck mit den Quadraten über allen drei Seiten. Die beiden Kathetenquadrate a² und b² haben zusammen dieselbe Fläche wie das Hypotenusenquadrat c².
Wie berechnet man die Hypotenuse?
Die Hypotenuse berechnet man mit c = Wurzel aus (a² + b²). Man quadriert die beiden Katheten, addiert die Quadrate und zieht aus der Summe die Quadratwurzel. Sind beide Katheten bekannt und die Hypotenuse gesucht, ist das der direkte Weg, ganz ohne Umstellen der Formel.
Aus a² + b² = c² folgt durch Wurzelziehen sofort c = Wurzel aus (a² + b²). Wichtig ist nur, zuerst zu quadrieren und zu addieren und erst danach die Wurzel zu ziehen, nicht umgekehrt.
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten a = 3 cm und b = 4 cm. Zuerst quadrieren: a² = 9 und b² = 16. Dann addieren: 9 + 16 = 25. Zuletzt die Wurzel ziehen: c = Wurzel aus 25 = 5 cm. Die Hypotenuse ist also 5 cm lang. Das ist zugleich das bekannteste pythagoreische Tripel (3, 4, 5).
Wie berechnet man eine Kathete?
Eine fehlende Kathete berechnet man durch Umstellen der Formel: a = Wurzel aus (c² − b²). Man quadriert die Hypotenuse und die bekannte Kathete, subtrahiert die Quadrate und zieht die Wurzel. Hier wird also subtrahiert, nicht addiert, weil die Hypotenuse die größte Seite ist und schon bekannt ist.
Ist die Hypotenuse c und eine Kathete gegeben, stellst du a² + b² = c² nach der gesuchten Kathete um. Für a ziehst du b² auf die andere Seite: a² = c² − b², also a = Wurzel aus (c² − b²). Für b gilt entsprechend b = Wurzel aus (c² − a²). Der Ausdruck unter der Wurzel muss positiv sein, sonst existiert kein solches Dreieck.
Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse c = 13 cm und eine Kathete b = 5 cm. Gesucht ist a. Quadrieren: c² = 169 und b² = 25. Subtrahieren: 169 − 25 = 144. Wurzel ziehen: a = Wurzel aus 144 = 12 cm. Die zweite Kathete ist 12 cm lang, passend zum Tripel (5, 12, 13).
Suchst du die Hypotenuse (die größte Seite), addierst du die Kathetenquadrate. Suchst du eine Kathete, subtrahierst du das Quadrat der bekannten Kathete vom Hypotenusenquadrat. Wer das verwechselt, erhält eine unmögliche Wurzel aus einer negativen Zahl.
Pythagoras-Rechner: fehlende Seite berechnen
Mit dem Pythagoras-Rechner berechnest du eine fehlende Seite sofort. Gib die beiden Katheten a und b ein, um die Hypotenuse c zu erhalten, oder wechsle in den zweiten Modus und gib Hypotenuse und eine Kathete ein, um die fehlende Kathete zu bestimmen. Der Rechner zeigt dir jeweils den kompletten Rechenweg.
Was ist die Umkehrung des Satzes des Pythagoras?
Die Umkehrung des Satzes des Pythagoras, auch Kehrsatz genannt, dreht die Aussage um: Gilt in einem Dreieck a² + b² = c², dann ist das Dreieck rechtwinklig, mit dem rechten Winkel gegenüber der längsten Seite c. So prüfst du allein mit den drei Seitenlängen, ob ein Dreieck einen rechten Winkel hat.
Der Kehrsatz ist ein praktischer Test auf Rechtwinkligkeit. Du nimmst die drei Seiten, quadrierst sie, und prüfst, ob die beiden kleineren Quadrate zusammen das größte ergeben. Trifft das zu, ist das Dreieck rechtwinklig; andernfalls nicht. Handwerker nutzen dieselbe Idee mit einem Zwölf-Knoten-Seil und den Längen 3, 4 und 5, um exakte rechte Winkel abzustecken.
Ein Dreieck hat die Seiten 6 cm, 8 cm und 10 cm. Die längste Seite ist 10 cm, also prüfst du 6² + 8² = 36 + 64 = 100 und 10² = 100. Beide Werte stimmen überein, also ist das Dreieck rechtwinklig. Bei den Seiten 5, 6, 8 gilt dagegen 25 + 36 = 61 statt 64, das Dreieck ist nicht rechtwinklig.
Wie beweist man den Satz des Pythagoras?
Ein anschaulicher Beweis des Satzes des Pythagoras ist der Ergänzungsbeweis. Man legt vier gleiche rechtwinklige Dreiecke in ein großes Quadrat mit der Seitenlänge a + b. In der Mitte bleibt ein Quadrat mit der Seite c. Vergleicht man die Flächen, ergibt sich direkt a² + b² = c².
Das große Quadrat hat die Fläche (a + b)². Es besteht aus den vier Dreiecken mit je der Fläche a·b/2 und dem inneren Quadrat c². Also gilt (a + b)² = 4 · (a·b/2) + c². Ausmultipliziert wird das zu a² + 2ab + b² = 2ab + c². Zieht man auf beiden Seiten 2ab ab, bleibt a² + b² = c². Dieser Flächenvergleich geht auf Euklids Elemente zurück.
Was ist ein pythagoreisches Tripel?
Ein pythagoreisches Tripel besteht aus drei natürlichen Zahlen a, b, c mit a² + b² = c². Solche Tripel liefern rechtwinklige Dreiecke mit ganzzahligen Seiten. Das kleinste und bekannteste ist (3, 4, 5), weitere sind (5, 12, 13) und (8, 15, 17). Kennst du sie, erkennst du passende Aufgaben sofort.
Ein Tripel heißt primitiv, wenn seine drei Zahlen keinen gemeinsamen Teiler haben. Vervielfachst du ein Tripel, entsteht wieder eins: aus (3, 4, 5) wird durch Verdopplung (6, 8, 10), durch Verdreifachung (9, 12, 15). Mit der Formel von Euklid erzeugst du für ganze Zahlen m > n > 0 beliebige Tripel über a = m² − n², b = 2mn und c = m² + n².
Die folgende Tabelle zeigt die wichtigsten primitiven Tripel, die dir in Aufgaben immer wieder begegnen.
| Kathete a | Kathete b | Hypotenuse c | Probe a² + b² |
|---|---|---|---|
| 3 | 4 | 5 | 9 + 16 = 25 |
| 5 | 12 | 13 | 25 + 144 = 169 |
| 8 | 15 | 17 | 64 + 225 = 289 |
| 7 | 24 | 25 | 49 + 576 = 625 |
| 20 | 21 | 29 | 400 + 441 = 841 |
Wofür braucht man den Satz des Pythagoras?
Der Satz des Pythagoras berechnet überall dort Längen, wo ein rechter Winkel vorkommt. Typische Anwendungen sind die Diagonale eines Rechtecks, die Raumdiagonale eines Quaders, die Höhe im gleichseitigen Dreieck und Entfernungen im Koordinatensystem. Er ist damit ein Grundwerkzeug der gesamten Geometrie.
Die Diagonale d eines Rechtecks mit den Seiten a und b bildet mit ihnen ein rechtwinkliges Dreieck, also gilt d = Wurzel aus (a² + b²). Bei einem Rechteck mit 6 cm und 8 cm ist die Diagonale demnach Wurzel aus (36 + 64) = Wurzel aus 100 = 10 cm.
Auch die Höhe im gleichseitigen Dreieck folgt aus dem Satz: Sie teilt das Dreieck in zwei rechtwinklige Hälften. Mit der Seitenlänge s ergibt sich h = Wurzel aus (s² − (s/2)²). Genauso berechnet man im Koordinatensystem den Abstand zweier Punkte über die Differenzen der Koordinaten als Katheten.
| Anwendung | Formel | Bedeutung |
|---|---|---|
| Diagonale im Rechteck | d = Wurzel aus (a² + b²) | Seiten a, b als Katheten |
| Höhe im gleichseitigen Dreieck | h = Wurzel aus (s² − (s/2)²) | halbe Grundseite als Kathete |
| Abstand zweier Punkte | d = Wurzel aus (Δx² + Δy²) | Koordinatendifferenzen als Katheten |
| Raumdiagonale im Quader | d = Wurzel aus (a² + b² + c²) | Pythagoras zweimal angewendet |
Welche Rechenfehler passieren beim Pythagoras am häufigsten?
Die häufigsten Fehler beim Satz des Pythagoras sind eine falsch zugeordnete Hypotenuse, das Verwechseln von Addition und Subtraktion beim Umstellen und das zu frühe Wurzelziehen. Wer die längste Seite zuerst als c erkennt und den Rechenweg quadrieren, addieren, Wurzel ziehen einhält, umgeht fast alle davon.
Diese drei Stolperfallen kosten in Klassenarbeiten regelmäßig Punkte. Wenn du sie kennst, vermeidest du sie zuverlässig.
Die Hypotenuse c steht immer gegenüber dem rechten Winkel und ist die längste Seite. Wer eine Kathete als c behandelt, setzt in a² + b² = c² die falsche Seite ein. Prüfe zuerst, wo der rechte Winkel liegt.
Für die Hypotenuse addiert man die Kathetenquadrate, für eine Kathete subtrahiert man. Wer beim Suchen einer Kathete addiert, bekommt eine zu große Zahl; wer bei der Hypotenuse subtrahiert, zieht am Ende die Wurzel aus einer negativen Zahl.
Es gilt c = Wurzel aus (a² + b²), nicht c = a + b. Man quadriert zuerst beide Katheten, addiert die Quadrate und zieht erst aus der Summe die Wurzel. Das Auseinanderziehen der Wurzel über eine Summe ist ein klassischer Fehler.
Übungsaufgaben zum Satz des Pythagoras
Fünf Übungsaufgaben zum Satz des Pythagoras decken das Berechnen der Hypotenuse, das Umstellen auf eine Kathete, den Kehrsatz und eine Anwendung ab. Rechne jede Aufgabe zuerst selbst, klappe dann die Lösung auf und vergleiche deinen Rechenweg Schritt für Schritt mit der Musterlösung.
c = Wurzel aus (6² + 8²) = Wurzel aus (36 + 64) = Wurzel aus 100 = 10. Die Hypotenuse ist 10 Einheiten lang.
a = Wurzel aus (13² − 12²) = Wurzel aus (169 − 144) = Wurzel aus 25 = 5. Die fehlende Kathete ist 5 Einheiten lang.
Längste Seite ist 15. Prüfe 9² + 12² = 81 + 144 = 225 und 15² = 225. Beide stimmen überein, also ist das Dreieck rechtwinklig. Es ist das Dreifache von (3, 4, 5).
d = Wurzel aus (5² + 12²) = Wurzel aus (25 + 144) = Wurzel aus 169 = 13 cm. Die Diagonale ist 13 cm lang.
Längste Seite ist 8. Prüfe 5² + 6² = 25 + 36 = 61, aber 8² = 64. Da 61 ≠ 64 ist, ist das Dreieck nicht rechtwinklig.
Karteikarten zum Satz des Pythagoras
Sechs Karteikarten zu den wichtigsten Punkten rund um den Satz des Pythagoras, von der Formel über Hypotenuse und Kathete bis zum Kehrsatz und den Tripeln. Klicke auf eine Karte, um die Antwort zu sehen, und navigiere mit den Pfeilen durch das Set.
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Satz des Pythagoras, das Wichtigste
Der Satz des Pythagoras lautet a² + b² = c² und gilt nur im rechtwinkligen Dreieck. Die Hypotenuse berechnest du mit c = Wurzel aus (a² + b²), eine Kathete mit a = Wurzel aus (c² − b²). Der Kehrsatz testet mit denselben Zahlen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist.
- Formel: a² + b² = c², nur im rechtwinkligen Dreieck.
- Seiten: a und b sind Katheten, c ist die Hypotenuse gegenüber dem rechten Winkel.
- Hypotenuse: c = Wurzel aus (a² + b²), also Kathetenquadrate addieren.
- Kathete: a = Wurzel aus (c² − b²), also Quadrate subtrahieren.
- Kehrsatz: Gilt a² + b² = c², ist das Dreieck rechtwinklig.
Häufige Fragen zum Satz des Pythagoras
In jedem rechtwinkligen Dreieck gilt a² + b² = c². Die Summe der Quadrate über den beiden Katheten a und b ist gleich dem Quadrat über der Hypotenuse c, der längsten Seite gegenüber dem rechten Winkel.
Die Hypotenuse berechnet man mit c = Wurzel aus (a² + b²). Man quadriert beide Katheten, addiert sie und zieht die Wurzel. Beispiel: a = 3, b = 4 ergibt c = Wurzel aus (9 + 16) = Wurzel aus 25 = 5.
Eine fehlende Kathete berechnet man durch Umstellen: a = Wurzel aus (c² − b²). Man quadriert Hypotenuse und bekannte Kathete, subtrahiert und zieht die Wurzel. Beispiel: c = 13, b = 5 ergibt a = Wurzel aus (169 − 25) = Wurzel aus 144 = 12.
Der Kehrsatz besagt: Gilt in einem Dreieck a² + b² = c², dann ist das Dreieck rechtwinklig, mit dem rechten Winkel gegenüber c. So testet man mit den Seitenlängen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist.
Nein. Der Satz des Pythagoras gilt nur im rechtwinkligen Dreieck. In stumpf- oder spitzwinkligen Dreiecken stimmt a² + b² = c² nicht, dort verwendet man den Kosinussatz als Verallgemeinerung.
Ein pythagoreisches Tripel besteht aus drei natürlichen Zahlen a, b, c mit a² + b² = c². Bekannte Beispiele sind (3, 4, 5), (5, 12, 13) und (8, 15, 17). Sie liefern rechtwinklige Dreiecke mit ganzzahligen Seiten.
Quellen
Die fachlichen Inhalte orientieren sich an etablierter Fachliteratur und frei zugänglichen Nachschlagewerken:
- Satz des Pythagoras (Aussage, Umkehrung, Beweise und Geschichte). Wikipedia. de.wikipedia.org
- Rechtwinkliges Dreieck (Katheten, Hypotenuse, Satzgruppe des Pythagoras). Wikipedia. de.wikipedia.org
- Pythagoreisches Tripel (primitive Tripel, Euklidische Formel). Wikipedia. de.wikipedia.org