Satz des Pythagoras

Stochastik

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Was bedeutet "Vollmilch" + "Marzipan" = "Knusperflakes"? Und was hat Ritter Sport Schokolade mit dem antiken Mathematiker und Philosophen Pythagoras zu tun?

Satz des Pythagoras Werbung Ritter Sport StudySmarter Abbildung 1: Ritter Sport WerbungQuelle: dynamische-geometrie.de

Der Satz des Pythagoras ist einer der zentralen Sätze der Schulmathematik. Doch wann gilt der Satz? Und was sagt er genau aus?

In diesem Artikel erklären wir dir, was es mit dem Satz des Pythagoras auf sich hat und zeigen dir anhand von einigen Beispielen, für welche Art von Aufgaben der Satz sehr hilfreich ist.

Satz des Pythagoras Grundlagenwissen

Weil du für den Satz des Pythagoras über rechtwinklige Dreiecke Bescheid wissen musst, hier noch eine kurze Auffrischung.

In einem rechtwinkligen Dreieck – und auch nur dort – haben die Dreiecksseiten spezielle Bezeichnungen: Die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt und damit auch die längste Seite im Dreieck ist, heißt Hypotenuse. Die beiden Seiten, die dem rechten Winkel anliegen, heißen Katheten.

Satz des Pythagoras Hypotenuse und Katheten StudySmarter Abbildung 2: Bezeichnungen im rechtwinkligen Dreieck

Lies gerne im Artikel rechtwinkliges Dreieck noch einmal nach, wenn du noch mehr erfahren möchtest.

Der Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras ist ein Satz aus der Geometrie, der nur in rechtwinkligen Dreiecken gilt.

Geschichte: Pythagoras von Samos

Pythagoras von Samos ist einer der wichtigsten Mathematiker der Geschichte. Er lebte circa 500 v. Chr. und gründete unter anderem eine Art Schule. Dort beschäftigten er und seine Anhänger, die sogenannten Pythagoreer, sich neben der Mathematik auch mit astronomischen, politischen, religiösen und philosophischen Fragen. Seine Aufmerksamkeit in der Mathematik galt insbesondere den natürlichen Zahlen und der Zahlentheorie.

Satz des Pythagoras Bild Pythagoras StudySmarter Abbildung 3: Pythagoras von Samos

Wie lautet der Satz des Pythagoras?

Viele Erwachsene erinnern sich, wenn sie an ihren Matheunterricht denken, noch immer an die berühmte Pythagoras-Formel.

In einem rechtwinkligen Dreieck mit der Hypotenuse c und den Katheten a und b gilt:

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Doch was steckt genau hinter dieser berühmten Formel und den quadrierten Seitenlängen?

Der Satz des Pythagoras als Flächensatz

Die klassische Formel macht lediglich einen Zusammenhang der quadrierten Seitenlängen deutlich. Doch was bedeutet das anschaulich für das Dreieck? Als Antwort auf diese Frage wird der Satz als Flächensatz formuliert. Dies ist eine anschauliche Interpretation des Satz des Pythagoras, in dem die Quadrate über den Dreiecksseiten eine wichtige Rolle spielen.

Pythagoras-Formel im rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse c:

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Der Satz des Pythagoras (Flächensatz) besagt, dass in rechtwinkligen Dreiecken die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate ( $a^{2} + b^{2}$ ) genauso groß ist wie der Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats ( $c^{2}$ ).

Ein Kathetenquadrat ist dabei ein Quadrat mit der Seitenlänge der jeweiligen Kathete. Analog ist ein Hypotenusenquadrat ein Quadrat, dessen Seitenlänge der Länge der Hypotenuse entspricht.

Zur Veranschaulichung wurden entlang der Hypotenuse und den Katheten Quadrate eingezeichnet.

Satz des Pythagoras Skizze Flächensatz StudySmarter Abbildung 4: Satz des Pythagoras als Flächensatz

Auf verschiedene Weisen kann gezeigt werden, dass die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate in jedem rechtwinkligen Dreieck dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats entspricht. Mehr Details zum Beweis findest du weiter unten im Artikel.

Betrachte das rechtwinklige Dreieck mit den Seitenlängen $a = 3 c m$ , $b = 4 c m$ und $c = 5 c m$ .

Satz des Pythagoras Beispieldreieck StudySmarter Abbildung 5: Rechtwinkliges Dreieck

Da der rechte Winkel im Punkt C ist, ist c die Hypotenuse des Dreiecks. Damit gilt im Dreieck die Formel:

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Wenn nun die Zahlen in die Gleichung eingesetzt werden, sollte sich eine wahre Aussage ergeben.

$a^{2} + b^{2} = {(3 c m)}^{2} + {(4 c m)}^{2} = 9 c m^{2} + 16 c m^{2} = 25 c m^{2}$

$c^{2} = {(5 c m)}^{2} = 25 c m^{2} ✓$

$\Rightarrow a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Graphisch veranschaulicht bedeutet das, dass zwei Quadrate mit den Seitenlängen 3 cm und 4 cm zusammen denselben Flächeninhalt haben wie ein Quadrat mit 5 cm Seitenlänge.

Betrachte dazu noch einmal das obige Dreieck, diesmal mit farbig markierten Katheten a und b.

Satz des Pythagoras Rechtwinkliges Dreieck StudySmarter Abbildung 6: Rechtwinkliges Dreieck

Zeichnet man nun die Kathetenquadrate und das Hypotenusenquadrat, lässt sich die Pythagoras-Formel folgendermaßen darstellen:

Satz des Pythagoras Graphische Abbildung Formel StudySmarter Abbildung 7: Graphische Veranschaulichung der Pythagoras-Formel

Mit diesen Quadraten arbeitet auch die Ritter Sport Werbung aus der Einleitung.

Satz des Pythagoras Motivation Ritter Sport StudySmarter Abbildung 8: Der Flächensatz in der Ritter Sport WerbungQuelle: dynamische-geometrie.de

An die Seiten des Dreiecks passen jeweils 3, 4 und 5 Ritter Sport Täfelchen. Die passende Anzahl an Täfelchen wurde an die jeweilige Seite angelegt und zum Quadrat ergänzt. Addiert man die 9 blauen Vollmilch- zu den 16 roten Marzipantäfelchen, erhält man 25 Täfelchen, also genau so viele wie gelben Knusper-Flakes-Täfelchen. Diese Rechnung entspricht dem Satz des Pythagoras:

$3^{2} + 4^{2} = 9 + 16 = 25 = 5^{2}$

Dabei ist $a = 3$ , $b = 4$ und $c = 5$ , wobei die Zahlen für die Länge der Seiten bzw. die Anzahl der Tafeln stehen, die man dort anlegen kann. Die Pythagoras-Formel, die oben in der Rechnung verwendet wurde, lautet $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .

Satz des Pythagoras – Beweis

Beweis des Satzes des Pythagoras

Für den Beweis des Satzes gibt es zahlreiche verschiedene Möglichkeiten. Hier soll eine klassische Variante vorgestellt werden, die auf Ergänzungsgleichheit beruht.

Die Ergänzungsgleichheit ist ein wichtiges Prinzip der Mathematik. Zwei Figuren sind dabei ergänzungsgleich, wenn durch das Ergänzen von kongruenten Figuren dieselbe Figur entsteht. Zwei ergänzungsgleiche Figuren haben denselben Flächeninhalt.

Betrachte hierzu ein rechtwinkliges Dreieck mit Kathetenquadraten $a^{2}$ und $b^{2}$ und Hypotenusenquadrat $c^{2}$ .

Satz des Pythagoras Beweis StudySmarter Abbildung 9: Satz des Pythagoras als Flächensatz

Schritt	Beschreibung	Veranschaulichung (Abbildungen 10-16)
Ziel	Es soll gezeigt werden, dass die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate mit dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats übereinstimmt.
Ausgangsfiguren	Figur 1: Kathetenquadrate (a²+b²) Figur 2: Hypotenusenquadrat (c²)
Idee	Aus beiden Figuren soll durch Ergänzen von zueinander kongruenten Figuren die gleiche Figur entstehen. Die Zielform ist dabei ein Quadrat mit der Seitenlänge $a + b$ . Die Ergänzungsgleichheit liefert die Flächengleichheit der Ausgangsflächen.
Ergänzen des Hypotenusen-Quadrats	Das Hypotenusenquadrat wird so in das Quadrat mit Seitenlänge $a + b$ eingezeichnet, dass die Eckpunkte an den Berührpunkten der Teilstrecken a und b der Quadratseite liegen. Dadurch entstehen in den Ecken des Quadrats vier Dreiecke mit den Seitenlängen a, b und c. Diese Dreiecke besitzen gegenüber der Seite c aufgrund der Eigenschaften des Quadrats einen rechten Winkel. Nach dem SSS-Satz sind diese Dreiecke kongruent zum Ausgangsdreieck.
Ergänzen der Kathetenquadrate	Die beiden Kathetenquadrate werden in die Ecken des Zielquadrates eingesetzt. Die übrige Fläche (weiß), die aus zwei Rechtecken mit Seitenlängen a und b besteht, wird in vier rechtwinklige Teildreiecke aufgeteilt. Da diese Dreiecke rechtwinklig sind und jeweils die Seitenlängen a und b haben, sind sie laut dem SWS-Satz kongruent zum Ursprungsdreieck ABC. Damit beträgt die Länge der Hypotenuse, wie gewünscht, c.
Fazit	Beide Figuren, das Hypotenusenquadrat und die beiden Kathetenquadrate, können durch das Einfügen von vier zum Ursprungsdreieck kongruenten Dreiecken zu einem Quadrat von Seitenlänge $a + b$ ergänzt werden. Damit sind Hypotenusenquadrat und die beiden Kathetenquadrate ergänzungsgleich und damit auch flächengleich. Damit gilt $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ für alle rechtwinkligen Dreiecke mit Hypotenuse c.
Verallgemeinerung	Nach Umstellung der Variablen, abhängig davon, welche Dreiecksseite die Hypotenuse ist, gilt die Pythagoras-Formel für jedes rechtwinklige Dreieck.

Die Rolle der Variablen – Kathete und Hypotenuse und Formeln

Für manche rechtwinkligen Dreiecke gilt auch die Formel $a^{2} + c^{2} = b^{2}$ . An welcher Position die Variablen in der Pythagoras-Formel auftauchen, ist keinesfalls beliebig! Die Unterteilung der Dreiecksseiten in Katheten und Hypotenuse ist in jedem Dreieck eindeutig und entscheidet über die Formulierung der pythagoreischen Formel.

Wie oben beschrieben, sind in der klassischen Formel a und b die beiden Katheten und die Seite c ist die Hypotenuse des Dreiecks. Für dieses Dreieck gilt dann die Formel:

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Satz des Pythagoras Rechtwinkliges Dreieck StudySmarter

Abbildung 17: Rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse c

Ist allerdings eine andere Dreiecksseite die Hypotenuse des Dreiecks, wird dementsprechend auch die Formel angepasst. Dabei steht die Hypotenuse allein auf einer Seite der Formel. Im Dreieck, in dem $a^{2} + c^{2} = b^{2}$ gilt, ist b die Hypotenuse des Dreiecks.

In einer Tabelle sind die drei möglichen Fälle übersichtlich dargestellt.

Katheten	Hypotenuse	Pythagoras-Formel	Skizze (Abbildungen 18-20)
a und b	c	$a^{2} + b^{2} = c^{2}$
a und c	b	$a^{2} + c^{2} = b^{2}$
b und c	a	$b^{2} + c^{2} = a^{2}$

Umkehrbarkeit des Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras ist umkehrbar. Das heißt, dass sich auch eine wahre Aussage ergibt, wenn die Voraussetzung und die Folgerung vertauscht werden. Wenn in einem Dreieck für die Seitenlängen die Pythagoras-Formel gilt, kannst du also folgern, dass es sich bei dem Dreieck um ein rechtwinkliges Dreieck handelt.

Mehr zur Umkehrung des Satzes kannst du im Artikel Satz des Pythagoras Umkehrung nachlesen.

Satz des Pythagoras – Aufgaben

Zum Satz des Pythagoras gibt es verschiedene Aufgabentypen. In erster Linie wird er dazu verwendet, fehlende Seitenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen. Außerdem kann man mit ihm die Höhe in gleichseitigen und gleichschenkligen Dreiecken berechnen.

Zur Erinnerung: Im gleichseitigen Dreieck sind alle Seiten des Dreiecks gleich lang und alle Innenwinkel 60° groß.Im gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten (die Schenkel) gleich lang und die Basiswinkel, die an der Basis (dritte Seite) anliegen, sind gleich groß. Beide Dreiecke sind achsensymmetrisch, sodass die Höhe die Grundseite halbiert.Lies doch gerne noch einmal in den Artikeln Gleichseitiges Dreieck und Gleichschenkliges Dreieck die Besonderheiten der Dreiecke nach.

Der Satz des Pythagoras dient auch dazu, ein Dreieck auf Rechtwinkligkeit zu überprüfen. Denn wenn die Formel nicht gilt, kann ein Dreieck auch nicht rechtwinklig sein.

Hintergrund: Dreieck auf Rechtwinkligkeit prüfen

Diese Aussage folgt aus der allgemeinen Aussagenlogik.

Für jeden Satz der Form "Gilt A, dann folgt B" gilt gleichermaßen "Gilt B nicht, dann gilt auch A nicht".

Allgemein gilt:

$(A \Rightarrow B) \Leftrightarrow (B \Rightarrow A)$

Denn würde, wenn B nicht gilt, A gelten, würde ja B direkt folgen und laut Voraussetzung gilt B eben genau nicht.

Für den Satz des Pythagoras bedeutet das:

Dreieck ABC mit Hypotenuse c ist rechtwinklig $\Rightarrow a^{2} + b^{2} = c^{2}$ $\Leftrightarrow$ $a^{2} + b^{2} \neq c^{2} \Rightarrow$ Dreieck ABC mit Hypotenuse c ist nicht rechtwinklig

Das Dreieck kann dennoch rechtwinklig sein, mit einer anderen Dreiecksseite als Hypotenuse. Auch die anderen Formeln müssen daher überprüft werden.

Berechnung der Hypotenusenlänge – Übungen

Bei gegebenen Kathetenlängen kann in einem rechtwinkligen Dreieck mit dem Satz des Pythagoras die Länge der Hypotenuse berechnet werden.

Aufgabe 1

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Katheten $a = 6 c m$ und $b = 8 c m$ . Berechne die Länge der zugehörigen Hypotenuse c.

Satz des Pythagoras Hypotenuse berechnen Beispiel StudySmarter Abbildung 21: Dreieck zu Aufgabe 1

Lösung

Aufgrund der Rechtwinkligkeit des Dreiecks (rechter Winkel bei C), gilt der Satz des Pythagoras und damit die Formel

$a^{2} + b^{2} = c^{2}$

Durch das Einsetzen der Kathetenlängen a und b ergibt sich für die Hypotenuse c:

$c^{2} = a^{2} + b^{2} = {(6 c m)}^{2} + {(8 c m)}^{2} = 36 c m^{2} + 64 c m^{2} = 100 c m^{2}$

Wurzelziehen auf beiden Seiten der Gleichung ergibt für die Länge der Hypotenuse:

$c = 10 c m$

Die Hypotenuse c ist damit 10 cm lang.

Berechnung einer Kathetenlänge – Übungen

Auf ähnliche Weise kann man die Länge einer fehlenden Kathete des rechtwinkligen Dreiecks berechnen.

Aufgabe 2

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Hypotenuse b mit der Länge 5 cm. Eine der Katheten ist gegeben mit $a = 4 c m$ . Berechne die fehlende Kathete und zeichne das Dreieck.

Lösung

Da die Seite b die Hypotenuse des rechtwinkligen Dreiecks ist, muss die Pythagoras-Formel entsprechend umgestellt werden. Die Hypotenuse steht dabei allein auf einer Seite. Im obigen Dreieck gilt daher:

$a^{2} + c^{2} = b^{2}$

Nun muss die Formel so umgestellt werden, dass die fehlende Kathete c berechnet werden kann.

$a^{2} + c^{2} = b^{2} - a^{2}$

$c^{2} = b^{2} - a^{2}$

Durch das Einsetzen der gegebenen Längen von b und a ergibt sich:

$c^{2} = b^{2} - a^{2} = {(5 c m)}^{2} - {(4 c m)}^{2} = 25 c m^{2} - 16 c m^{2} = 9 c m^{2}$

Wurzelziehen auf beiden Seiten der Gleichung liefert:

$c = 3 c m$

Die fehlende Kathete c des Dreiecks ist damit 3 cm lang.

Zum Schluss wird das Dreieck wie gefordert skizziert.

Satz des Pythagoras rechtwinkliges Dreieck StudySmarter Abbildung 22: Dreieck zu Aufgabe 2

Überprüfen eines Dreiecks auf Rechtwinkligkeit – Übungen

Wie oben beschrieben, ist ein Dreieck nicht rechtwinklig, wenn die Pythagoras-Formel nicht gilt. Dies muss natürlich prinzipiell für alle drei Möglichkeiten (der drei Hypotenusen) überprüft werden.

Im besten Fall weißt du, dass die Hypotenuse die längste Seite des Dreiecks ist. Warum das so ist, kannst du in unserem Artikel zur Hypotenuse nachlesen. Daher musst du immer nur überprüfen, ob die längste der drei gegebenen Seiten die Hypotenuse des Dreiecks ist und ob für diese Konstellation die Pythagoras-Formel gilt.

Aufgabe 3

Überprüfe mit dem Satz des Pythagoras, ob das gegebene Dreieck rechtwinklig ist.

Satz des Pythagoras Rechtwinkligkeit überprüfen Aufgabe StudySmarter

Abbildung 23: Dreieck zu Aufgabe 3

Lösung

Die längste Seite des Dreiecks, die deshalb auch als einzige als Hypotenuse in Frage kommt, ist die Seite b. Wenn das Dreieck also rechtwinklig mit Hypotenuse b ist, muss die Formel $a^{2} + c^{2} = b^{2}$ gelten.

Dazu werden die verschiedenen Seitenlängen eingesetzt und quadriert.

$a^{2} + c^{2} = {(2, 5 c m)}^{2} + {(3, 5 c m)}^{2} = 6, 25 c m^{2} + 12, 25 c m^{2} = 18, 5 c m^{2}$

$b^{2} = {(4 c m)}^{2} = 16 c m^{2}$

$\Rightarrow a^{2} + c^{2} \neq b^{2}$

Weil der Satz des Pythagoras nicht gilt, ist damit auch das Dreieck nicht rechtwinklig.

Berechnen der Höhe im gleichseitigen Dreieck – Übungen

Im gleichseitigen und gleichschenkligen Dreieck kann durch dessen Besonderheiten die Höhe mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden. Wie man dabei genau vorgeht, siehst du hier am Beispiel des gleichseitigen Dreiecks.

Aufgabe 4

Berechne mithilfe des Satzes von Pythagoras die Höhe des gleichseitigen Dreiecks ABC.

Satz des Pythagoras gleichseitiges Dreieck Höhe berechnen StudySmarter

Abbildung 24: Dreieck zu Aufgabe 4

Lösung

Um den Satz des Pythagoras anwenden zu können, benötigst du ein rechtwinkliges Dreieck. Den rechten Winkel liefert dabei die Höhe h, die senkrecht auf der Grundseite des Dreiecks steht. Betrachte nun nur die linke Seite des gleichseitigen Dreiecks.

Satz des Pythagoras Aufgabe Höhe berechnen Pythagoras StudySmarter

Abbildung 25: Rechtwinkliges Teildreieck ADC

Es entsteht das rechtwinklige Teildreieck ADC mit rechtem Winkel bei D. Entsprechend gilt im Dreieck ADC die Formel

${(h_{c})}^{2} + {(c')}^{2} = b^{2}$

Die Länge von c' beträgt 2 cm, weil das Dreieck achsensymmetrisch ist und daher die Höhe die Seite c, die 4 cm lang ist, genau halbiert

Aufgelöst nach $h_{c}$ liefert die Formel

${(h_{c})}^{2} + {(c')}^{2} = b^{2} \Rightarrow {(h_{c})}^{2} = b^{2} - {(c')}^{2} \Rightarrow h_{c} = \sqrt{b^{2} - {(c')}^{2}}$

Einsetzen der gegebenen Längen liefert

$h_{c} = \sqrt{{(4 c m)}^{2} - {(2 c m)}^{2}} = \sqrt{16 c m^{2} - 4 c m^{2}} = \sqrt{12 c m^{2}} = 3, 5 c m$

Damit beträgt die Höhe im gleichseitigen Dreieck 3,5 cm.

Satz des Pythagoras - Das Wichtigste

In rechtwinkligen Dreiecken mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c gilt: $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ .
Der Satz kann als Flächensatz interpretiert werden: Im rechtwinkligen Dreieck entspricht die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats.
Je nachdem, welche Seite im rechtwinkligen Dreieck die Hypotenuse ist, muss die Formel umgestellt werden.
mit dem Satz können fehlende Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck berechnet werden und ein Dreieck auf Rechtwinkligkeit geprüft werden.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Satz des Pythagoras

Mit dem Satz des Pythagoras rechnet man, indem man die Formel a²+b²=c²(für ein rechtwinkliges Dreieck mit Hypotenuse c) passend nach der gesuchten Länge umstellt. So kann man fehlende Längen im rechtwinkligen Dreieck berechnen. Mit der Formel kann man auch überprüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist oder Höhen in besonderen Dreiecken ausrechnen.

Den Satz des Pythagoras brauchst du in erster Linie dazu, fehlende Längen im rechtwinkligen Dreieck zu berechnen. Du kannst aber auch ein Dreieck auf Rechtwinkligkeit prüfen oder im gleichseitigen und gleichschenkligen Dreieck die Höhe berechnen.

Du kannst mit dem Satz des Pythagoras die Länge von Hypotenuse und Katheten berechnen, indem du die Formel passend nach der gesuchten Größe umstellst. Dafür musst du die gegebenen beiden Längen in die umgestellte Formel einsetzen und am Ende die Wurzel ziehen.

Der Satz des Pythagoras ist ein wichtiger mathematischer Satz aus der Geometrie. Er macht eine Aussage über den Zusammenhang der Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck, nämlich dass die Summe der Flächeninhalte der Kathetenquadrate dem Flächeninhalt des Hypotenusenquadrats entspricht (a²+b²=c²im rechtwinkligen Dreieck mit Hypotenuse c).

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