Rechtwinklige Dreiecke sind faszinierend. Stell Dir vor, Du kennst von einem Dreieck nur die Grundseite und weißt, an welcher Stelle die Höhe diese Seite teilt.
Abbildung 1: Grundseite eines Dreiecks
Wenn Du zusätzlich weißt, dass diese Seite die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist, kannst Du die Länge der Höhe exakt berechnen. Dazu benötigst Du nur die Längen \(|\overline{AH_C}|\) und \(|\overline{H_CB}|\) .
Abbildung 2: rechtwinkliges Dreieck
In rechtwinkligen Dreiecken kannst Du viele Längen berechnen, die Du in allgemeinen Dreiecken so nicht bestimmen kannst. Grundlage für diese Rechnungen sind häufig der Satz des Pythagoras, der Kathetensatz und der Höhensatz.
Sie werden als Satzgruppe des Pythagoras zusammengefasst.
Die Grundlage für das Einstiegsbeispiel ist der Höhensatz.
Satzgruppe des Pythagoras – Grundlagen: Rechtwinklige Dreiecke
Der Satz des Pythagoras, der Kathetensatz und der Höhensatz gelten in rechtwinkligen Dreiecken. Aber was sind rechtwinklige Dreiecke eigentlich genau?
Ein Dreieck ABC, das einen rechten Winkel hat, ist ein rechtwinkliges Dreieck.
Jedes Dreieck kann nur maximal einen rechten Winkel haben, da die Winkelsumme in einem Dreieck immer 180° ist und sonst der dritte Winkel 0° wäre.
Die Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck haben besondere Namen.
In einem rechtwinkligen Dreieck ABC heißt die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, Hypotenuse. Die Hypotenuse hat immer die größte Seitenlänge.
Die Seiten, die am rechten Winkel anliegen, heißen Katheten.
Jedes rechtwinklige Dreieck hat genau eine Hypotenuse und zwei Katheten.
Abbildung 3: Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks
In rechtwinkligen Dreiecken gibt es einige Besonderheiten, die in allgemeinen Dreiecken nicht gelten.
Die Satzgruppe des Pythagoras - Erklärung
\(\definecolor{bl}{RGB}{20, 120, 200}\definecolor{gr}{RGB}{0, 220, 180}\definecolor{r}{RGB}{250, 50, 115}\definecolor{li}{RGB}{131, 99, 226}\definecolor{ge}{RGB}{255, 205, 0}\)Der Satz des Pythagoras beschreibt das Verhältnis der Seitenlängen zueinander in rechtwinkligen Dreiecken. Zusammen mit dem Höhensatz und dem Kathetensatz ist er ein wichtiger Satz für rechtwinklige Dreiecke. Die drei Sätze werden auch als Satzgruppe des Pythagoras zusammengefasst.
Satzgruppe des Pythagoras – Formeln
Die folgenden Sätze und Formeln gelten in jedem rechtwinkligen Dreieck ABC wie in Abbildung 4. Die Höhe \(\color{r}h\) unterteilt die Hypotenuse \(\color{bl}c\) in die Abschnitte \(\color{li}p\) und \(\color{gr}q\) .
Abbildung 4: Beschriftungen eines rechtwinkligen Dreiecks
Satz des Pythagoras
In einem rechtwinkligen Dreieck entspricht das Quadrat über der Hypotenuse der Summe der Quadrate über den beiden Katheten.
Sei ABC ein rechtwinkliges Dreieck. Dann gilt der Satz des Pythagoras:\[a^2+b^2= c^2\]
Du möchtest mehr über den Satz des Pythagoras lernen? Dann schau Dir unbedingt die Erklärung dazu an. Klicke einfach auf den Begriff.
Kathetensatz (des Euklids)
In einem rechtwinkligen Dreieck entspricht das Quadrat einer Kathete dem Produkt aus dem zugehörigen Hypotenusenabschnitt mit der Hypotenuse.
Sei ABC ein rechtwinkliges Dreieck. Dann gilt der Kathetensatz:\begin{align} a^2 &= c\cdot p \\ b^2&=c\cdot q\end{align}
Auch wenn Du weiteres zum Kathetensatz wissen möchtest, kannst Du auf den Begriff klicken und es öffnet sich die Erklärung dazu.
Höhensatz (des Euklids)
In einem rechtwinkligen Dreieck entspricht das Quadrat der Höhe dem Produkt der beiden Abschnitte der Hypotenuse.
Sei ABC ein rechtwinkliges Dreieck. Dann gilt der Höhensatz:\[h^2=p\cdot q\]
Klicke auch hier auf den Begriff "Höhensatz", wenn Du mehr zum Thema lernen möchtest.
In allen Sätzen steht auf mindestens einer Seite der Gleichung eine Seitenlänge im Quadrat. Möchtest Du diese Seitenlänge berechnen, ziehst Du die Wurzel.
Satzgruppe des Pythagoras – Beweise
Alle diese Sätze können bewiesen werden. Doch was ist ein Beweis überhaupt?
Mathematiker*innen und auch Mathelehrer*innen können ja theoretisch viel behaupten. Woher kannst Du wissen, dass das auch alles richtig ist?
Ein Beweis zeigt, dass eine Behauptung auch wirklich stimmt.
In den Erklärungen zum Satz des Pythagoras, dem Kathetensatz und dem Höhensatz findest Du je einen Beweis. Sie zeigen, dass diese Sätze auch wirklich richtig sind.
Satzgruppe des Pythagoras – Anwendung
Wozu werden der Satz des Pythagoras, der Kathetensatz und der Höhensatz eigentlich angewendet?
In erster Linie kannst Du diese Sätze verwenden, um fehlende Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken zu bestimmen.
Die Hypotenuse c eines rechtwinkligen Dreiecks ist 10 cm lang. Die Höhe des Dreiecks teilt die Hypotenuse in zwei Abschnitte mit den Längen 4 und 6 cm.
Abbildung 5: Skizze des Dreiecks
Mit dem Kathetensatz kannst Du nun für dieses rechtwinklige Dreieck die Seitenlängen der Katheten berechnen.
Es ist
\begin{align} a^2 &= c\cdot p \\ b^2&=c\cdot q\end{align}
In die Formeln kannst Du jetzt Werte einsetzen und die Wurzel ziehen.\begin{align}a^2&=10\, cm\cdot 6\, cm\\ &\Rightarrow a= \sqrt{10\, cm\cdot 6\, cm} = 7{,}75\,cm\\b^2&=10\, cm\cdot 4\, cm\\ &\Rightarrow a= \sqrt{10\, cm\cdot 4\, cm} = 6{,}32\, cm\end{align}
Die Sätze aus der Satzgruppe des Pythagoras werden auch häufig in Textaufgaben angewendet.
Für den Satz des Pythagoras ist etwa die Leiter-Aufgabe eine sehr typische Anwendung.
Eine 3 Meter lange Leiter wird mit einer Entfernung auf dem Boden von einem Meter an eine Wand gestellt.
Abbildung 6: Skizze der Leiter
Mit dem Satz den Pythagoras kannst Du ausrechnen, wie hoch die Leiter an der Wand reicht.
Zwischen Boden und Wand ist ein rechter Winkel. Leiter, Bodenabschnitt und Wandabschnitt bilden zusammen ein rechtwinkliges Dreieck. Die 3 Meter der Leiter sind die Länge der Hypotenuse. Der 1 Meter am Boden ist die Länge einer Kathete. Du kannst den Satz des Pythagoras umstellen und die Länge der zweiten Kathete berechnen.\begin{align} a^2+b^2 &= c^2\\\Rightarrow\quad b^2 &= c^2-a^2\\\Rightarrow \quad b &= \sqrt{c^2-a^2}\\b&=\sqrt{(3\,m)^2-(1\,m)^2}=2{,}83\, m\end{align}
Wenn eine 3 Meter lange Leiter in einem Abstand von 1 Meter an die Wand gelehnt wird, reicht sie 2,83 m hoch.
Den Satz des Pythagoras, den Kathetensatz und den Höhensatz kannst Du aber auch anwenden, um zu überprüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist. Besonders häufig verwendest Du dafür den Satz des Pythagoras. Du benötigst dazu ein Zahlentripel und überprüfst, ob für dieses Zahlentripel der Satz des Pythagoras gilt.
Ein Dreieck hat die Seitenlängen a = 3 cm, b = 4 cm, c = 5 cm. Mit dem Satz des Pythagoras kannst Du nun überprüfen, ob das Dreieck rechtwinklig ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn \(a^2+b^2=c^2\) gilt.
Es ist\begin{align} a^2+b^2&=3^2+4^2=9+16=25\\c^2&=5^2=25\end{align}
Der Satz des Pythagoras gilt in diesem Dreieck. Es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck.
Ein Zahlentripel a, b, c für das \(a^2+b^2=c^2\) gilt, heißt auch pythagoreisches Zahlentripel.
Die Satzgruppe des Pythagoras – Übungen
Mit den folgenden Aufgaben kannst Du das Verwenden der Satzgruppe des Pythagoras üben. In den einzelnen Erklärungen zu den Sätzen findest Du noch weitere Übungen.
Aufgabe 1
Gegeben ist das Dreieck ABC mit c = 8 cm, p = 5 cm wie in Abbildung 7.
Berechne die fehlenden Längen a, b, h, q.
Abbildung 7: Skizze zu Aufgabe 1
Lösung
Als Erstes bietet es sich an, die Seitenlänge der Kathete a mit dem Kathetensatz zu berechnen.
Es ist:\begin{align} a&= \sqrt{c\cdot p}\\&=\sqrt{8\, cm\cdot 5\, cm}\\&=6{,}32\,cm\end{align}
Jetzt kennst Du die Seitenlängen a und c. Du kannst mit dem Satz des Pythagoras die Seitenlänge b berechnen.\begin{align}a^2+b^2&=c^2\\\Rightarrow b^2 &= c^2 - a^2\\\Rightarrow b&=\sqrt{c^2-a^2}\\b&=\sqrt{(8\,cm)^2-(6{,}32\,cm)^2}\\b&=4{,}9\,cm\end{align}
Die Länge q kannst Du berechnen mit\begin{align}p+q &= c\\\Rightarrow q&=c-p\\q&= 8\, cm - 5\, cm \\&=3\, cm\end{align}
Es fehlt nur noch die Höhe h. Dazu verwendest Du den Höhensatz.\begin{align}h^2 = p\cdot q\\h&=\sqrt{p\cdot q}\\h&=\sqrt{5\,cm\cdot 3\, cm}\\h&=3{,}82\,cm\end{align}
Die Reihenfolge, in der Du die fehlenden Seitenlängen bestimmst, ist nicht vorgegeben. Auch gibt es manchmal mehrere Rechenmöglichkeiten. So könntest Du zum Beispiel auch zuerst q berechnen und dann mit dem Kathetensatz die Kathete b.
Aufgabe 2
Auf einem Schiff steht ein Mast. Vom Deck des Schiffes sind zwei Seile gespannt, die sich am Mast in einem rechten Winkel treffen. Der Abstand am Boden des einen Seilendes zum Mast beträgt 3 Meter, der des anderen Seilendes ist 5 Meter (siehe Abbildung 8).
Abbildung 8: Skizze des Schiffes aus Aufgabe 2
Berechne die Höhe des Mastes.
Lösung
Der Boden des Schiffes und die beiden Seile bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Der Mast entspricht der Höhe des Dreiecks. Du kennst die beiden Abschnitte der Hypotenuse. Deswegen kannst Du den Höhensatz anwenden, um die Höhe des Mastes zu berechnen. \begin{align}h^2&=p\cdot q \\ h&= \sqrt{5\,m\cdot 3\, m}\\h&= 3{,}87\,cm\end{align}
Der Mast ist 3,87 Zentimeter hoch.
Satzgruppe des Pythagoras - Das Wichtigste
- Die Satzgruppe des Pythagoras umfasst den Satz des Pythagoras, den Kathetensatz und den Höhensatz.
- Diese Sätze gelten nur in rechtwinkligen Dreiecken.
- Satz des Pythagoras: \(a^2+b^2=c^2\)
- Kathetensatz: \(a^2=c\cdot p \quad b^2=c\cdot q\)
- Höhensatz: \(h^2=p\cdot q\)
- Du kannst diese Sätze verwenden, um fehlenden Längenangaben in rechtwinkligen Dreiecken zu bestimmen oder um zu überprüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist.
Nachweise
- Böer et al. (2008). mathe live 9E, Mathematik für die Sekundarstufe I. Ernst Klett Verlag GmbH.
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