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Satzgruppe des Pythagoras

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Satzgruppe des Pythagoras

Rechtwinklige Dreiecke sind faszinierend. Stell Dir vor, Du kennst von einem Dreieck nur die Grundseite und weißt, an welcher Stelle die Höhe diese Seite teilt.

Satzgruppe des Pythagoras Grundseite Dreieck StudySmarterAbbildung 1: Grundseite eines Dreiecks

Wenn Du zusätzlich weißt, dass diese Seite die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks ist, kannst Du die Länge der Höhe exakt berechnen. Dazu benötigst Du nur die Längen AHC und HCB.

Satzgruppe des Pythagoras rechtwinkliges Dreieck StudySmarterAbbildung 2: rechtwinkliges Dreieck

In rechtwinkligen Dreiecken kannst Du viele Längen berechnen, die Du in allgemeinen Dreiecken so nicht bestimmen kannst. Grundlage für diese Rechnungen sind häufig der Satz des Pythagoras, der Kathetensatz und der Höhensatz.

Sie werden als Satzgruppe des Pythagoras zusammengefasst.

Die Grundlage für das Einstiegsbeispiel ist der Höhensatz.

Satzgruppe des Pythagoras – Grundlagen: Rechtwinklige Dreiecke

Der Satz des Pythagoras, der Kathetensatz und der Höhensatz gelten in rechtwinkligen Dreiecken. Aber was sind rechtwinklige Dreiecke eigentlich genau?

Ein Dreieck ABC, das einen rechten Winkel hat, ist ein rechtwinkliges Dreieck.

Jedes Dreieck kann nur maximal einen rechten Winkel haben, da die Winkelsumme in einem Dreieck immer 180° ist und sonst der dritte Winkel 0° wäre.

Die Seiten in einem rechtwinkligen Dreieck haben besondere Namen.

In einem rechtwinkligen Dreieck ABC heißt die Seite, die dem rechten Winkel gegenüberliegt, Hypotenuse. Die Hypotenuse hat immer die größte Seitenlänge.

Die Seiten, die am rechten Winkel anliegen, heißen Katheten.

Jedes rechtwinklige Dreieck hat genau eine Hypotenuse und zwei Katheten.

Satzgruppe des Pythagoras Hypotenuse Kathete StudySmarterAbbildung 3: Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks

In rechtwinkligen Dreiecken gibt es einige Besonderheiten, die in allgemeinen Dreiecken nicht gelten.

Die Satzgruppe des Pythagoras - Erklärung

Der Satz des Pythagoras beschreibt das Verhältnis der Seitenlängen zueinander in rechtwinkligen Dreiecken. Zusammen mit dem Höhensatz und dem Kathetensatz ist er ein wichtiger Satz für rechtwinklige Dreiecke. Die drei Sätze werden auch als Satzgruppe des Pythagoras zusammengefasst.

Satzgruppe des Pythagoras – Formeln

Die folgenden Sätze und Formeln gelten in jedem rechtwinkligen Dreieck ABC wie in Abbildung 4. Die Höhe h unterteilt die Hypotenuse c in die Abschnitte p und q.

Satzgruppe des Pythagoras Beschriftungen Dreieck StudySmarterAbbildung 4: Beschriftungen eines rechtwinkligen Dreiecks

Satz des Pythagoras

In einem rechtwinkligen Dreieck entspricht das Quadrat über der Hypotenuse der Summe der Quadrate über den beiden Katheten.

Sei ABC ein rechtwinkliges Dreieck. Dann gilt der Satz des Pythagoras:

a2+b2=c2

Du möchtest mehr über den Satz des Pythagoras lernen? Dann schau Dir unbedingt die Erklärung dazu an. Klicke einfach auf den Begriff.

Kathetensatz (des Euklids)

In einem rechtwinkligen Dreieck entspricht das Quadrat einer Kathete dem Produkt aus dem zugehörigen Hypotenusenabschnitt mit der Hypotenuse.

Sei ABC ein rechtwinkliges Dreieck. Dann gilt der Kathetensatz:

a2=c·pb2=c·q

Auch wenn Du weiteres zum Kathetensatz wissen möchtest, kannst Du auf den Begriff klicken und es öffnet sich die Erklärung dazu.

Höhensatz (des Euklids)

In einem rechtwinkligen Dreieck entspricht das Quadrat der Höhe dem Produkt der beiden Abschnitte der Hypotenuse.

Sei ABC ein rechtwinkliges Dreieck. Dann gilt der Höhensatz:

h2=p·q

Klicke auch hier auf den Begriff "Höhensatz", wenn Du mehr zum Thema lernen möchtest.

In allen Sätzen steht auf mindestens einer Seite der Gleichung eine Seitenlänge im Quadrat. Möchtest Du diese Seitenlänge berechnen, ziehst Du die Wurzel.

Satzgruppe des Pythagoras – Beweise

Alle diese Sätze können bewiesen werden. Doch was ist ein Beweis überhaupt?

Mathematiker*innen und auch Mathelehrer*innen können ja theoretisch viel behaupten. Woher kannst Du wissen, dass das auch alles richtig ist?

Ein Beweis zeigt, dass eine Behauptung auch wirklich stimmt.

In den Erklärungen zum Satz des Pythagoras, dem Kathetensatz und dem Höhensatz findest Du je einen Beweis. Sie zeigen, dass diese Sätze auch wirklich richtig sind.

Satzgruppe des Pythagoras – Anwendung

Wozu werden der Satz des Pythagoras, der Kathetensatz und der Höhensatz eigentlich angewendet?

In erster Linie kannst Du diese Sätze verwenden, um fehlende Seitenlängen in rechtwinkligen Dreiecken zu bestimmen.

Die Hypotenuse c eines rechtwinkligen Dreiecks ist 10 cm lang. Die Höhe des Dreiecks teilt die Hypotenuse in zwei Abschnitte mit den Längen 4 und 6 cm.

Satzgruppe des Pythagoras Skizze Dreieck StudySmarterAbbildung 5: Skizze des Dreiecks

Mit dem Kathetensatz kannst Du nun für dieses rechtwinklige Dreieck die Seitenlängen der Katheten berechnen.

Es ist

a2=c·pb2=c·q

In die Formeln kannst Du jetzt Werte einsetzen und die Wurzel ziehen.

a2=10 cm · 6 cm a=10 cm · 6 cm=7,75 cmb2=10 cm · 4 cm b=10 cm · 4 cm=6,32 cm

Die Sätze aus der Satzgruppe des Pythagoras werden auch häufig in Textaufgaben angewendet.

Für den Satz des Pythagoras ist etwa die Leiter-Aufgabe eine sehr typische Anwendung.

Eine 3 Meter lange Leiter wird mit einer Entfernung auf dem Boden von einem Meter an eine Wand gestellt.

Mit dem Satz den Pythagoras kannst Du ausrechnen, wie hoch die Leiter an der Wand reicht.

Zwischen Boden und Wand ist ein rechter Winkel. Leiter, Bodenabschnitt und Wandabschnitt bilden zusammen ein rechtwinkliges Dreieck. Die 3 Meter der Leiter sind die Länge der Hypotenuse. Der 1 Meter am Boden ist die Länge einer Kathete. Du kannst den Satz des Pythagoras umstellen und die Länge der zweiten Kathete berechnen.

a2+b2=c2 b2=c2-a2 b=c2-a2

b=(3 m)2-(1 m)2=2,83 m

Wenn eine 3 Meter lange Leiter in einem Abstand von 1 Meter an die Wand gelehnt wird, reicht sie 2,83 m hoch.

Den Satz des Pythagoras, den Kathetensatz und den Höhensatz kannst Du aber auch anwenden, um zu überprüfen, ob ein Dreieck rechtwinklig ist. Besonders häufig verwendest Du dafür den Satz des Pythagoras. Du benötigst dazu ein Zahlentripel und überprüfst, ob für dieses Zahlentripel der Satz des Pythagoras gilt.

Ein Dreieck hat die Seitenlängen a=3 cm, b=4 cm, c=5 cm. Mit dem Satz des Pythagoras kannst Du nun überprüfen, ob das Dreieck rechtwinklig ist. Dies ist genau dann der Fall, wenn a2+b2=c2 gilt.

Es ist

a2+b2=32+42=9+16=25c2=52=25

Der Satz des Pythagoras gilt in diesem Dreieck. Es handelt sich um ein rechtwinkliges Dreieck.

Ein Zahlentripel a, b, c für das a2+b2=c2 gilt, heißt auch pythagoreisches Zahlentripel.

Die Satzgruppe des Pythagoras – Übungen

Mit den folgenden Aufgaben kannst Du das Verwenden der Satzgruppe des Pythagoras üben. In den einzelnen Erklärungen zu den Sätzen findest Du noch weitere Übungen.

Aufgabe 1

Gegeben ist das Dreieck ABC mit c=8 cm, p=5 cm wie in Abbildung 7.

Berechne die fehlenden Längen a, b, h, q.

Satzgruppe des Pythagoras Dreieck Skizze StudySmarterAbbildung 7: Skizze zu Aufgabe 1

Lösung

Als Erstes bietet es sich an, die Seitenlänge der Kathete a mit dem Kathetensatz zu berechnen.

Es ist:

a=c·p=8 cm · 5 cm=6,32 cm

Jetzt kennst Du die Seitenlängen a und c. Du kannst mit dem Satz des Pythagoras die Seitenlänge b berechnen.

a2+b2=c2b2=c2-a2b=c2-a2b=(8 cm)2-(6,32 cm)2=4,9 cm

Die Länge q kannst Du berechnen mit

p+q=cq=c-pq=8 cm-5 cm=3 cm

Es fehlt nur noch die Höhe h. Dazu verwendest Du den Höhensatz.

h2=p·qh=p·qh=5 cm·3 cm=3,82 cm

Die Reihenfolge, in der Du die fehlenden Seitenlängen bestimmst, ist nicht vorgegeben. Auch gibt es manchmal mehrere Rechenmöglichkeiten. So könntest Du zum Beispiel auch zuerst q berechnen und dann mit dem Kathetensatz die Kathete b.

Aufgabe 2

Auf einem Schiff steht ein Mast. Vom Deck des Schiffes sind zwei Seile gespannt, die sich am Mast in einem rechten Winkel treffen. Der Abstand am Boden des einen Seilendes zum Mast beträgt 3 Meter, der des anderen Seilendes ist 5 Meter (siehe Abbildung 8).

Berechne die Höhe des Mastes.

Lösung

Der Boden des Schiffes und die beiden Seile bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Der Mast entspricht der Höhe des Dreiecks. Du kennst die beiden Abschnitte der Hypotenuse. Deswegen kannst Du den Höhensatz anwenden, um die Höhe des Mastes zu berechnen.

h2=p·qh=5 m·3 m=3,87 cm

Der Mast ist 3,87 Zentimeter hoch.

Satzgruppe des Pythagoras - Das Wichtigste

Nachweise

  1. Böer et al. (2008). mathe live 9E, Mathematik für die Sekundarstufe I. Ernst Klett Verlag GmbH.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Satzgruppe des Pythagoras

Der Kathetensatz lautet a2=c·p und b2=c·q. Er gilt in rechtwinkligen Dreiecken. a und b sind die Katheten des Dreiecks, c ist die Hypotenuse und p sowie q sind die Hypotenusenabschnitte.

Den Satz des Pythagoras kannst Du in rechtwinkligen Dreiecken anwenden. Er beschreibt das Verhältnis der Seitenlängen zueinander. Er lautet a2+b2=c2

a und b sind die Katheten, c ist die Hypotenuse. Um mit dem Satz des Pythagoras eine Seitenlänge zu berechnen, ziehst Du die Wurzel.

Der Satz des Pythagoras gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken. Das bedeutet: Hat ein Dreieck keinen rechten Winkel, gilt der Satz des Pythagoras nicht.

Den Satz des Pythagoras kannst Du beweisen, indem Du den Flächeninhalt eines Quadrats mit der Seitenlänge (a+b) betrachtet. Den Flächeninhalt dieses Quadrats berechnest Du dann auf zwei verschiedene Weisen.

Finales Satzgruppe des Pythagoras Quiz

Frage

Bestimme die Höhe h in einem rechtwinkligen Dreieck mit den Hypotenusenabschnitten p = 27cm und q= 3cm 

Antwort anzeigen

Antwort

h = 9 cm

Frage anzeigen

Frage

Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 10 cm. Die Länge des Hypotenusenabschnittes p beträgt 5 cm. Wie lang ist die Strecke q ? 


Antwort anzeigen

Antwort

q = 20cm

Frage anzeigen

Frage

Die Höhe eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 15 cm. Die Länge des Hypotenusenabschnittes q beträgt 3 cm. Wie lang ist die Strecke p?

Antwort anzeigen

Antwort

p = 75 cm

Frage anzeigen

Frage

In wie viele rechtwinklige Dreiecke wird ein rechtwinkliges Dreieck durch die Höhe h geteilt?

Antwort anzeigen

Antwort

2

Frage anzeigen

Frage

Die Höhe h eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 12 cm. Der Hypotenusenabschnitt q ist 4 cm lang.


Wie lang ist die Hypotenuse c?

Antwort anzeigen

Antwort

c = 40 cm

Frage anzeigen

Frage

In wie viele Abschnitte teilt die Höhe h eines rechtwinkligen Dreiecks die Hypotenuse?

Antwort anzeigen

Antwort

2 Abschnitte

Frage anzeigen

Frage

Die Höhe h eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 12 cm. Die Länge des Hypotenusenabschnittes p beträgt 3 cm. 


Wie lang ist die Strecke q?

Antwort anzeigen

Antwort

q = 48 cm

Frage anzeigen

Frage

Die Höhe h eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 20 cm. Die Länge des Hypotenusenabschnittes p beträgt 10 cm. Wie lang ist die Strecke q?

Antwort anzeigen

Antwort

q = 40 cm

Frage anzeigen

Frage

Die Höhe h eines rechtwinkligen Dreiecks beträgt 30 cm. Der Hypotenusenabschnitt p ist 15 cm lang.


Wie lang ist die Hypotenuse c?

Antwort anzeigen

Antwort

c = 75 cm

Frage anzeigen

Frage

Was besagt der Kathetensatz?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Kathetensatz besagt, dass das Quadrat über der Kathete genauso groß ist wie das Rechteck aus der Hypotenuse c mal dem Hypotenusenabschnitt, der an der Kathete anliegt.

Frage anzeigen

Frage

In einem rechtwinkligen Dreieck beträgt die Länge der Hypotenuse 15 cm und die Länge des Hypotenusenabschnittes p 3 cm.


Wie lang sind die beiden Katheten a und b?

Antwort anzeigen

Antwort

a = 6,71 cm


b = 13,42 cm

Frage anzeigen

Frage

In einem rechtwinkligen Dreieck ist die Länge der Hypotenuse c und die Länge des Abschnittes q gegeben.


c = 12 cm

q = 4 cm


Wie lang sind die beiden Katheten a und b?

Antwort anzeigen

Antwort

a = 9,80 cm


b = 6,93 cm

Frage anzeigen

Frage

Wodurch unterscheiden sich im Allgemeinen Satz und Kehrsatz voneinander?

Antwort anzeigen

Antwort

Sie unterscheiden sich darin, dass Voraussetzungen und Folgerungen vertauscht sind.

Lautet der Satz "Wenn XY, dann Z", dann ist der Kehrsatz von der Form "Wenn Z, dann XY".

Frage anzeigen

Frage

Nenne ein eigenes Beispiel für einen gültigen Satz, für den auch der Kehrsatz gilt.

Antwort anzeigen

Antwort

Dafür gibt es verschiedene Beispiele.
Einer davon ist ja im Artikel erwähnt (Eigenschaften von speziellen Vierecken).
Ein Beispiel aus dem Alltag wäre "Wenn man am 29. Februar Geburtstag hat, dann wird man nur alle vier Jahre ein Jahr älter". Ebenso gilt "Wenn man nur alle vier Jahre ein Jahr älter wird, dann hat man am 29. Februar Geburtstag".

Frage anzeigen

Frage

Nenne ein eigenes Beispiel für einen gültigen Satz, für den der Kehrsatz nicht gilt.


Antwort anzeigen

Antwort

Auch hierfür gibt es verschiedene Beispiele.

Ein Beispiel aus der Mathematik: "Wenn ein Viereck ein Quadrat ist, dann hat es vier rechte Winkel." Der Kehrsatz "Wenn ein Viereck vier rechte Winkel hat, dann ist es ein Quadrat" gilt allerdings nicht, da auch ein Rechteck vier rechte Winkel hat, im allgemeinen aber kein Quadrat ist.

Ein Alltagsbeispiel: "Wenn Fußball-WM ist, dann wird in vielen Stadien Fußball gespielt". Der Kehrsatz "Wenn in vielen Stadien Fußball gespielt wird, dann ist Fußball-WM" muss nicht unbedingt wahr sein (z.B. kann auch eine EM stattfinden oder ein Bundesliga-Spieltag).

Frage anzeigen

Frage

Welches der folgenden Dreiecke ist rechtwinklig? 

Antwort anzeigen

Antwort

a) a = 6cm,
b = 10cm,
c = 8cm

Frage anzeigen
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