Subtraktion

Grundlage aller Rechnungen in der Mathematik sind die vier Grundrechenarten. Die Subtraktion ist eine davon und wird wegen ihres Rechenzeichens Minus (-) auch oft als "Minusrechnung" bezeichnet.

Bei der Subtraktion zieht man etwas ab, die Zahl wird also verkleinert.

Stelle dir das am besten so vor:

Du hast fünf verschiedene Süßigkeiten bekommen. Dein Bruder liebt Zuckerstangen und nimmt dir deshalb zwei davon weg.

Wie viele hast du jetzt noch?

Abbildung 1: Beispiel Subtraktion

Hierfür benötigst du die Subtraktion.

Von deinen fünf Süßigkeiten zu Beginn musst du die zwei geklauten Zuckerstangen abziehen. Du hast also nur noch drei Süßigkeiten am Ende.

Abbildung 2: Beispiel Subtraktion

Begriffe der Subtraktion

Es gibt bestimmte Begriffe, um eine Subtraktion und ihre Bestandteile zu beschreiben.

Abbildung 3: Begriffe der Subtraktion

Die Subtraktion als Ganzes entspricht also der Berechnung aus Minuend und Subtrahend mit der Differenz als Lösung.

Schriftliche Subtraktion

Für kompliziertere Subtraktionen kann man die Rechnung nicht mehr im Kopf durchführen. In diesem Fall kannst du in deinem Heft schriftlich subtrahieren.

Abbildung 4: Schriftliches Subtrahieren

Für die schriftliche Subtraktion gibt es zwei Möglichkeiten.

Suche dir am besten eine raus, mit der du dich am leichtesten tust oder verwende die Form, die du in der Schule gelernt hast.

Entbündelungsverfahren

Du gehst dabei wie folgt vor:

• Du schreibst den Minuenden und Subtrahenden direkt untereinander (Einer unter Einer, Zehner unter Zehner und so weiter).
• Beginne dann mit den Einern und rechne die obere Zahl (des Minuenden) minus die untere Zahl (des Subtrahenden).
• Diesen Schritt wiederholst du von rechts nach links, bis du bei der letzten Zahl angekommen bist.
• Sollte bei einer der Differenzen bei der Rechnung eine negative Lösung rauskommen, nutzt du den Übertrag: Du überträgst einen Zehner von der nächst höheren Stelle dorthin, sie wird dabei um eins erniedrigt. Mit der um 10 erhöhten Zahl kannst du dann normal weiter rechnen.

Ergänzungsverfahren

Alternativ kannst du das Ergänzungsverfahren nutzen. Hier wird bei einem Übertrag der Subtrahend ergänzt.

Das Vorgehen ist grundsätzlich gleich:

• Schreibe die Zahlen direkt untereinander, sodass Einer des Minuenden unter den Einern des Subtrahenden stehen und so weiter.
• Starte dann in der rechten Spalte, rechne die Differenz der zwei untereinander stehenden Zahlen aus und schreibe das Ergebnis unter den Strich an.
• Diesen Schritt wiederholst du mit allen Spalten von links nach rechts.
• Wenn einer der Differenzen negativ wird, musst du wieder einen Übertrag machen: Du erhöhst deine obere Zahl (vom Minuenden) um zehn und ergänzt dann die Zahl des Subtrahenden eine Stelle links daneben um eins.

Deutlicher wird das schriftliche Subtrahieren mithilfe des Ergänzungsverfahrens anhand eines Beispiels:

Spezielle Subtraktionen

Im bisherigen Artikel hast du immer mit ganzen Zahlen gearbeitet. Die Subtraktion kann allerdings auch noch anders eingesetzt werden. Dabei gilt es ein paar Dinge zu beachten.

Dezimalzahlen subtrahieren

Da die Subtraktion mit Dezimalzahlen recht kompliziert sein kann, ist es sinnvoll, vor allem mit der schriftlichen Subtraktion von Dezimalzahlen vertraut zu sein.

Im Prinzip funktioniert das schriftliche Subtrahieren genauso wie mit ganzen Zahlen. Du musst nur darauf achten, dass auch die Kommas, die Einer, Zehner und so weiter untereinander stehen.

Ein Beispiel mithilfe des Entbündelungsverfahrens zeigt dir die Ähnlichkeit zur bisher gelernten Subtraktion.

Brüche subtrahieren

Auch Brüche sind keine ganzen Zahlen und daher ein Sonderfall.

Du solltest ein paar Dinge zum Ablauf der Subtraktion von Brüchen kennen.

Das setzt also voraus, dass Brüche erst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden müssen, bevor die Zähler addiert oder subtrahiert werden können.

Du gehst beim Brüche subtrahieren also folgendermaßen vor:

1. Ermittle das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner der Brüche.
2. Bringe dann jeden Bruch einzeln durch Erweitern oder Kürzen auf diesen Nenner.
3. Jetzt kannst du beide Brüche subtrahieren, indem du den gemeinsamen Nenner stehen lässt und den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs subtrahierst.

Sieh dir dazu dieses Beispiel an.

Vektoren subtrahieren

Auch das Subtrahieren von Vektoren ist ein besonderer Fall, hier wird nämlich jede Komponente extra subtrahiert.

Überlege dir zunächst einmal grafisch, was eine Subtraktion von Vektoren bedeutet.

Abbildung 5: Vektoren subtrahieren

Du möchtest $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v_1}$ darstellen.

• Du zeichnest dir die beiden Vektoren $\overrightarrow{u}$ und $\overrightarrow{v_1}$ in dein Gleichungssystem ein: Den Anfangspunkt A kannst du selbst wählen. Von dort zeichnest du $\overrightarrow{u}$ und direkt an dessen Spitze $\overrightarrow{v_1}$ ein.
• Da du ja jetzt aber $\overrightarrow{v_1}$subtrahierst, also abziehst, musst du grafisch den Gegenvektor $\overrightarrow{v_2}$ anlegen.

• Der Vektor $\overrightarrow{w}$ verbindet Anfangspunkt A und Endpunkt C und gibt die Lösung der Subtraktion an.

Gehe anschließend rechnerisch an das Ganze heran.

Du möchtest $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v_1}$ berechnen, wobei $\overrightarrow{u}=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)\mathrm{und}\overrightarrow{v_1}=\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$.

• Stelle zunächst die Differenz auf.

$\overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}3\\ 2\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}-1\\ 1\end{array}\right)$

• Subtrahiere jetzt jede Komponente einzeln.

$\overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}3-(-1)\\ 2-1\end{array}\right)$

• Es ergibt sich der Lösungsvektor $\overrightarrow{w}$. Vergleiche ihn gern noch mal mit deiner Grafik.

$\overrightarrow{w}=\left(\begin{array}{c}3-(-1)\\ 2-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}4\\ 1\end{array}\right)$.