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Subtraktion

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Subtraktion

Grundlage aller Rechnungen in der Mathematik sind die vier Grundrechenarten. Die Subtraktion ist eine davon und wird wegen ihres Rechenzeichens Minus (-) auch oft als "Minusrechnung" bezeichnet.

Bei der Subtraktion zieht man etwas ab, die Zahl wird also verkleinert.

Subtraktion Minus StudySmarter

Bei der Subtraktion wird eine Zahl von einer anderen Zahl abgezogen.

Die Ausgangszahl (Minuend) wird also um ihren Subtrahenden vermindert und es ergibt sich die Differenz.

Stelle dir das am besten so vor:

Du hast fünf verschiedene Süßigkeiten bekommen. Dein Bruder liebt Zuckerstangen und nimmt dir deshalb zwei davon weg.

Wie viele hast du jetzt noch?

Subtraktion Beispiel StudySmarterAbbildung 1: Beispiel Subtraktion

Hierfür benötigst du die Subtraktion.

Von deinen fünf Süßigkeiten zu Beginn musst du die zwei geklauten Zuckerstangen abziehen. Du hast also nur noch drei Süßigkeiten am Ende.

Subtraktion Beispiel 2 StudySmarterAbbildung 2: Beispiel Subtraktion

Begriffe der Subtraktion

Es gibt bestimmte Begriffe, um eine Subtraktion und ihre Bestandteile zu beschreiben.

Subtraktion Begriffe der Subtraktion StudySmarterAbbildung 3: Begriffe der Subtraktion

MinuendSubtrahendDifferenz
Der Minuend ist die vorderste Zahl. Vom Minuenden wird etwas weggenommen, beziehungsweise abgezogen.
Der Subtrahend ist die Zahl nach dem Minus. Dieser Wert wird abgezogen, beziehungsweise weggenommen.Die Differenz bezeichnet die Rechnung aus Minuend und Subtrahend. Der Wert der Differenz ist also der Rest, der übrig bleibt.

Die Subtraktion als Ganzes entspricht also der Berechnung aus Minuend und Subtrahend mit der Differenz als Lösung.

Verwechslungsgefahr: Minuend und Subtrahend.

Merke dir die Reihenfolge am besten so: Im Wort MINUS steht das M vor dem S, das heißt, es gilt Minuend minus Subtrahend.

Schriftliche Subtraktion

Für kompliziertere Subtraktionen kann man die Rechnung nicht mehr im Kopf durchführen. In diesem Fall kannst du in deinem Heft schriftlich subtrahieren.

Subtraktion Subtraktion Aufgabe StudySmarterAbbildung 4: Schriftliches Subtrahieren

Für die schriftliche Subtraktion gibt es zwei Möglichkeiten.

Suche dir am besten eine raus, mit der du dich am leichtesten tust oder verwende die Form, die du in der Schule gelernt hast.

Entbündelungsverfahren

Beim Entbündelungsverfahren subtrahierst du schriftlich und entbündelst/klaust beim Übertrag einen Zehner, um die Rechnung fortsetzen zu können.

Du gehst dabei wie folgt vor:

  • Du schreibst den Minuenden und Subtrahenden direkt untereinander (Einer unter Einer, Zehner unter Zehner und so weiter).
  • Beginne dann mit den Einern und rechne die obere Zahl (des Minuenden) minus die untere Zahl (des Subtrahenden).
  • Diesen Schritt wiederholst du von rechts nach links, bis du bei der letzten Zahl angekommen bist.
  • Sollte bei einer der Differenzen bei der Rechnung eine negative Lösung rauskommen, nutzt du den Übertrag: Du überträgst einen Zehner von der nächst höheren Stelle dorthin, sie wird dabei um eins erniedrigt. Mit der um 10 erhöhten Zahl kannst du dann normal weiter rechnen.

Aufgabe

Berechne den Wert der Differenz schriftlich!

Lösung

1. Schritt: Schreibe die beiden Zahlen untereinander.

Subtraktion, Schriftliche Subtraktion, StudySmarter

2. Schritt: Beginne von rechts mit den Einern und berechne. Die 1 schreibst du unter dem Strich auf der Einer-Stelle als Lösung auf.

Subtraktion, Schriftliche Subtraktion, StudySmarter

3. Schritt: Wiederhole das Ganze mit der Zehner-Stelle:.

Subtraktion, Schriftliche Subtraktion, StudySmarter


4. Schritt:
Weiter geht es mit der nächsten Stelle. Diesmal würde hier etwas Negatives herauskommen ()

Deshalb nutzt du den Übertrag:

  1. Du willst deine obere Zahl (3) um einen Zehner erhöhen, das heißt, du streichst die Zahl davor (2) durch und erniedrigst sie um eins.
  2. Die 3 wird damit um 10 erhöht zu einer 13.
  3. Damit kannst du jetzt rechnen:

Subtraktion, Schriftliche Subtraktion, StudySmarter

5. Schritt: Als Letztes nimmst du dir noch die Stelle ganz links vor. Du rechnest die verbliebene 1 minus 0, da der Subtrahend keine Tausender hat:.

Subtraktion, Schriftliche Subtraktion, StudySmarter

Ergänzungsverfahren

Alternativ kannst du das Ergänzungsverfahren nutzen. Hier wird bei einem Übertrag der Subtrahend ergänzt.

Das Vorgehen ist grundsätzlich gleich:

  • Schreibe die Zahlen direkt untereinander, sodass Einer des Minuenden unter den Einern des Subtrahenden stehen und so weiter.
  • Starte dann in der rechten Spalte, rechne die Differenz der zwei untereinander stehenden Zahlen aus und schreibe das Ergebnis unter den Strich an.
  • Diesen Schritt wiederholst du mit allen Spalten von links nach rechts.
  • Wenn einer der Differenzen negativ wird, musst du wieder einen Übertrag machen: Du erhöhst deine obere Zahl (vom Minuenden) um zehn und ergänzt dann die Zahl des Subtrahenden eine Stelle links daneben um eins.

Deutlicher wird das schriftliche Subtrahieren mithilfe des Ergänzungsverfahrens anhand eines Beispiels:

Aufgabe

Subtrahiere 3856 mit 1926 schriftlich.

Lösung

1. Schritt: Schreibe die beiden Zahlen direkt untereinander.

Subtraktion, Schriftliche Subtraktion, StudySmarter

2. Schritt: Beginne mit der Stelle ganz rechts. Berechne dir Differenz aus 6 und 6 und schreibe das Ergebnis unter dem Strich an:.

Subtraktion, Schriftliche Subtraktion, StudySmarter

3. Schritt: Die gleiche Rechnung wiederholst du mit den Zehnern: .

Subtraktion, Schriftliche Subtraktion, StudySmarter

4. Schritt: An der nächsten Stelle würde wieder eine negative Zahl herauskommen ().

Das geht natürlich nicht, deshalb behelfen wir uns wieder mit dem Übertrag:

  1. Erhöhe die obere Zahl um 10 (8 wird zu 18).
  2. Um anzuzeigen, dass du diesen Zehner jetzt "verbraucht" hast, schreibst du bei der Zahl vor der 9 (die 1) eine kleine 1 an.
  3. Mit der erhöhten Zahl kannst du dann rechnen:

Subtraktion, Schriftliche Subtraktion, StudySmarter

5. Schritt: Beende die Rechnung mit der letzten Stelle. Beachte, dass du in diesem Fall nicht nur mit 1, sondern auch mit der kleinen 1 subtrahieren musst:.

Subtraktion, Schriftliche Subtraktion, StudySmarter


Unter dem Strich steht jetzt also die Lösung der Subtraktionsaufgabe.

Subtraktionen kommen immer wieder in (komplizierteren) Rechnungen vor. Dabei solltest du einige Dinge beachten:

Vertauscht man Minuend und Subtrahend bei der Subtraktion, ergeben sich völlig neue Zahlen (, ⁣)

Auch hier darf die Reihenfolge der Rechnung der Zahlen nicht verändert werden, da sich sonst die Lösung ändert (, ⁣).

  • Zuletzt solltest du noch aufpassen, wenn ein Minus vor einer Klammer steht. Dann handelt es sich um eine sogenannte Minusklammer.

Möchtest du diese Minusklammer jetzt auflösen, musst du das Minus dabei vor alle Zahlen stellen, also vor die 2 und auch vor die -1.

Ein Rechenzeichen darf nie direkt hinter einem anderen Rechenzeichen stehen, deshalb braucht die hier eine Klammer.

Übrigens ergibt die Rechnung:.

Spezielle Subtraktionen

Im bisherigen Artikel hast du immer mit ganzen Zahlen gearbeitet. Die Subtraktion kann allerdings auch noch anders eingesetzt werden. Dabei gilt es ein paar Dinge zu beachten.

Dezimalzahlen subtrahieren

Da die Subtraktion mit Dezimalzahlen recht kompliziert sein kann, ist es sinnvoll, vor allem mit der schriftlichen Subtraktion von Dezimalzahlen vertraut zu sein.

Im Prinzip funktioniert das schriftliche Subtrahieren genauso wie mit ganzen Zahlen. Du musst nur darauf achten, dass auch die Kommas, die Einer, Zehner und so weiter untereinander stehen.

Ein Beispiel mithilfe des Entbündelungsverfahrens zeigt dir die Ähnlichkeit zur bisher gelernten Subtraktion.

Aufgabe

Lösung

1. Schritt: Du schreibst den Minuenden und Subtrahenden direkt untereinander (Einer unter Einer, Komma unter Komma, Eintel unter Eintel und so weiter).

Subtraktion, Schriftliche Subtraktion, StudySmarter

2. Schritt: Beginne dann mit der Spalte ganz rechts und rechne die obere Zahl (des Minuenden) minus die untere Zahl (des Subtrahenden).

Subtraktion, Schriftliche Subtraktion, StudySmarter

Du benötigst den Übertrag, um rechnen zu können.

3. Schritt: Diesen Schritt wiederholst du von rechts nach links, bis du bei der letzten Zahl angekommen bist. Zunächst die angestellte .

Subtraktion, Schriftliche Subtraktion, StudySmarter

4. Schritt: Weiter geht es bei der Zahl vor dem Komma, wobei das Komma im Ergebnis einfach normal an derselben Stelle übernommen wird.

Subtraktion, Schriftliche Subtraktion, StudySmarter

5. Schritt: Bald ist es geschafft, du gehst weiter wie bisher vor.

Subtraktion, Schriftliche Subtraktion, StudySmarter

Mache den Überschlag und rechne also .

6. Schritt: Im letzten Schritt rechnest du die übrig gebliebene 1 minus null, da der Subtrahend ja keine Zahl mehr besitzt.

Subtraktion, Schriftliche Subtraktion, StudySmarter

Die Lösung dieser Subtraktion ist also .

Brüche subtrahieren

Auch Brüche sind keine ganzen Zahlen und daher ein Sonderfall.

Du solltest ein paar Dinge zum Ablauf der Subtraktion von Brüchen kennen.

Brüche können nur addiert oder subtrahiert werden, wenn ihr Nenner den gleichen Wert besitzt.

Subtraktion Brüche subtrahieren StudySmarterSubtraktion, Schriftliche Subtraktion, StudySmarter

Das setzt also voraus, dass Brüche erst auf einen gemeinsamen Nenner gebracht werden müssen, bevor die Zähler addiert oder subtrahiert werden können.

Du gehst beim Brüche subtrahieren also folgendermaßen vor:

  1. Ermittle das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner der Brüche.
  2. Bringe dann jeden Bruch einzeln durch Erweitern oder Kürzen auf diesen Nenner.
  3. Jetzt kannst du beide Brüche subtrahieren, indem du den gemeinsamen Nenner stehen lässt und den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs subtrahierst.

Zur Erinnerung kannst du dir gern den Artikel kleinstes gemeinsames Vielfaches nachlesen.

Sieh dir dazu dieses Beispiel an.

Aufgabe

Lösung

1. Schritt: Das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden Nenner ermitteln, zum Beispiel mithilfe der Primfaktorzerlegung.

Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist die 16.

Natürlich kannst du auch selbst überlegen, welcher Nenner bei diesen Zahlen Sinn ergeben würde.

2. Schritt: Beide Brüche auf diesen Nenner bringen.

hat bereits den richtigen Nenner.

Ein Viertel wird mit vier erweitert, um auf den Nenner 16 zu kommen.

3. Schritt: Die Brüche subtrahieren, indem der Nenner stehen bleibt und die Zähler subtrahiert werden.

Vektoren subtrahieren

Auch das Subtrahieren von Vektoren ist ein besonderer Fall, hier wird nämlich jede Komponente extra subtrahiert.

Beim Subtrahieren von Vektoren wird jede Komponente des Vektors einzeln subtrahiert.

Subtraktion Vektoren subtrahieren StudySmarter

Überlege dir zunächst einmal grafisch, was eine Subtraktion von Vektoren bedeutet.

Subtraktion Vektoren subtrahieren StudySmarterAbbildung 5: Vektoren subtrahieren

Du möchtest darstellen.

  • Du zeichnest dir die beiden Vektoren und in dein Gleichungssystem ein: Den Anfangspunkt A kannst du selbst wählen. Von dort zeichnest du und direkt an dessen Spitze ein.
  • Da du ja jetzt aber subtrahierst, also abziehst, musst du grafisch den Gegenvektor anlegen.

Gegenvektor bedeutet: die Vorzeichen aller Komponenten (x, y, z) werden umgedreht.

Zum Beispiel:

  • Der Vektor verbindet Anfangspunkt A und Endpunkt C und gibt die Lösung der Subtraktion an.

Gehe anschließend rechnerisch an das Ganze heran.

Du möchtest berechnen, wobei .

  • Stelle zunächst die Differenz auf.

  • Subtrahiere jetzt jede Komponente einzeln.

  • Es ergibt sich der Lösungsvektor . Vergleiche ihn gern noch mal mit deiner Grafik.

.

Subtraktion - Das Wichtigste

  • Die Subtraktion ist eine der vier Grundrechenarten.
  • Bei der Subtraktion wird eine Zahl von einer anderen Zahl abgezogen.

    Die Ausgangszahl (Minuend) wird also um ihren Subtrahenden vermindert und es ergibt sich die Differenz.

  • Begriffe der Subtraktionsrechnung:

Subtraktion Begriffe der Subtraktion StudySmarterAbbildung 6: Begriffe der Subtraktion

  • Bei komplizierten Subtraktionen kannst du die schriftliche Subtraktion anwenden. Es gibt zwei Möglichkeiten, das Entbündelungsverfahren und das Ergänzungsverfahren. Du gehst dabei so vor:→ Du schreibst den Minuenden und Subtrahend direkt untereinander (Einer unter Einer, Zehner unter Zehner und so weiter).→ Beginne dann mit den Einern und rechne die obere Zahl (des Minuenden) minus die untere Zahl (des Subtrahenden).→ Diesen Schritt wiederholst du von rechts nach links, bis du bei der letzten Zahl angekommen bist.→ Sollte bei einer der Differenzen bei der Rechnung eine negative Lösung rauskommen, nutzt du den Übertrag: → Du überträgst beim Entbündelungsverfahren einen Zehner von der nächst höheren Stelle dorthin, sie wird dabei um eins erniedrigt. Mit der um 10 erhöhten Zahl kannst du dann ganz normal weiter rechnen. → Du erhöhst beim Ergänzungsverfahren deine obere Zahl (vom Minuenden) um zehn und ergänzt dann die Zahl des Subtrahenden eine Stelle links daneben um eins.
  • Sonderfälle:Brüche subtrahieren: Brüche können nur subtrahiert werden, wenn ihre Nenner den gleichen Wert besitzen.Vektoren subtrahieren: Beim Subtrahieren von Vektoren wird jede Komponente einzeln subtrahiert.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Subtraktion

Das Ergebnis einer Subtraktion wird Differenz oder genauer Wert der Differenz genannt.

Beim Subtrahieren wird von einer Zahl eine andere abgezogen. Die Zahl wird also vermindert/verkleinert.

Mit Kommazahlen wird genauso subtrahiert wie mit jeder anderen ganzen Zahl. Beim schriftlichen Subtrahieren musst du darauf achten, dass auch die Kommas, die Zehntel und Hundertstel von Minuend und Subtrahend genau untereinander stehen.

  • Du schreibst den Minuend und Subtrahend direkt untereinander (Einer unter Einer, Zehner unter Zehner und so weiter).
  • Beginne dann mit den Einern und rechne die obere Zahl (des Minuenden) minus die untere Zahl (des Subtrahenden).
  • Diesen Schritt wiederholst du von rechts nach links, bis du bei der letzten Zahl angekommen bist.


  • Sollte bei einer der Differenzen bei der Rechnung eine negative Lösung rauskommen, nutzt du den Übertrag.
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