Strahlensätze

Q: Wie lauten die beiden Strahlensätze?

Beide Strahlensätze haben folgende Voraussetzungen:Es existieren zwei Strahlen oder Geraden, die sich in einem Punkt Z dem Zentrum schneiden.Die zwei Strahlen werden von zwei parallelen Geraden geschnitten, wobei keine durch den Punkt Z verläuft.Der erste Strahlensatz besagt nun, dass das Verhältnis der Strecke a zur Strecke b gleich dem Verhältnis von Strecke a+a' zur Strecke b+b'.Der zweite Strahlensatz besagt, dass das Verhältnis der kurzen Strahlstrecke und der kurzen Parallelstrecke gleich dem Verhältnis der langen Strahlstrecke auf demselben Strahl und der langen Parallelstrecke ist.

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Stell Dir vor, Du besteigst eine Aussichtsplattform und möchtest nach dem Abstieg wissen, wie hoch diese Plattform war. Jedoch steht nirgendwo ein Schild, welches Dir Deine Frage beantworten könnte. Jetzt kannst Du aber den Strahlensatz anwenden, da die Aussichtsplattform einen Schatten auf den Boden wirft und dieser Dir bei der Berechnung helfen kann. Wie genau Du den Strahlensatz hier anwendest, erfährst Du in dieser Erklärung.

Strahlensätze Erklärung

Es existieren mehrere Strahlensätze – genauer gesagt zwei. Beide Strahlensätze beschäftigen sich mit den Verhältnissen von Teilstrecken an einer Strahlensatzfigur.

Eine Strahlensatzfigur ist eine Figur aus zwei sich treffenden Strahlen (mit einem Zentrum \(Z\)) und zwei Parallelen, die die Strahlen schneiden.

Was ist jedoch der Unterschied zwischen beiden Sätzen?

Strahlensätze Formeln – 1. Strahlensatz

Um den ersten Strahlensatz anzuwenden, muss Deine Strahlensatzfigur zwei Voraussetzungen erfüllen:

Es existieren zwei Strahlen oder Geraden, die sich in einem Punkt \(Z\) (dem Zentrum) schneiden.
Die zwei Strahlen werden von zwei parallelen Geraden geschnitten, wobei keine durch den Punkt \(Z\) verläuft.

Wenn zwei Strahlen durch den Punkt \(Z\) verlaufen und von zwei weiteren parallel verlaufenden Geraden \(g\) und \(h\) in den Punkten \(A,\, A',\, B\) und \(B'\) geschnitten werden, so ergibt sich folgendes Verhältnis zwischen den Strecken:

\[\frac{\color{#00dcb4}a}{\color{#00dcb4}b}=\frac{{\color{#00dcb4}a}+{\color{#fa3273}a'}}{{\color{#00dcb4}b}+{\color{#fa3273}b'}}\]

Das heißt, das Verhältnis zwischen den beiden Strecken \(a\) und \(b\) ist gleich dem Verhältnis zwischen den beiden Strecken \(a+a'\) und \(b+b'\).

In der Abbildung siehst Du die Einteilungen der Strecken an einer Strahlensatzfigur.

Strahlensätze erster Strahlensatz StudySmarter Abb. 1 -Erster Strahlensatz.

Der erste Strahlensatz besitzt auch eine Umkehrung. Bei dieser wird die Voraussetzung zur Behauptung.

Die Umkehrung des ersten Strahlensatzes lautet:

Wenn zwei Strahlen durch den Punkt \(Z\) verlaufen und von zwei Geraden \(g\) und \(h\) in folgendem Verhältnis \[\frac{a}{b}=\frac{a+a'}{b+b'}\] geschnitten werden, dann sind die beiden Geraden \(g\) und \(h\) parallel.

Mehr zum ersten Strahlensatz und seiner Umkehrung erfährst Du in der Erklärung „Erster Strahlensatz“.

Strahlensätze Beispiele – 1. Strahlensatz anwenden

Zu Beginn der Erklärung wolltest Du wissen, wie hoch die Aussichtsplattform ist. Dafür hast Du den Schatten der Aussichtsplattform und Deinen eignen Schatten gemessen.

Aufgabe 1

Berechne die Höhe der Aussichtsplattform. Gehe davon aus, dass Du \(1{,}8\, m\) groß bist und Dein Schatten \(1{,}2\, m\) lang war. Für die Schattenlänge der Aussichtsplattform hast Du \(15\, m\) gemessen.

Strahlensätze erster Strahlensatz anwenden StudySmarter Abb. 2 - Erster Strahlensatz anwenden.

Lösung

Wenn Du jetzt auf die Abbildung von oben schaust, solltest Du einordnen können, an welcher Stelle Du die Zahlen in die Gleichung einordnest. Nachdem Du die Gleichung aufgestellt hast, stellst Du sie nach der gesuchten Größe um.

Du kannst Dir die Gleichung bereits so aufstellen, dass das Umstellen der Gleichung nicht so schwer ist. Achte darauf, dass die gesuchte Größe im Zähler steht.

\begin{align}\frac{a}{b}&=\frac{a+a'}{b+b'} \\[0.2cm]\frac{\text{1,8}\,m}{\text{1,2}\,m}&=\frac{\overline{ZA}}{15\,m} &|&\cdot 15\,m\\[0.2cm] \overline{ZA}&=\frac{15\,m\cdot \text{1,8}\,m}{\text{1,2}\,m} \\[0.2cm] \overline{ZA}&=\text{22,5}\,m\end{align}

Die Plattform ist in einer Höhe von ungefähr \(22,5\, m\).

Strahlensätze Formeln – 2. Strahlensatz

Auch beim zweiten Strahlensatz gelten dieselben Voraussetzungen wie beim ersten Strahlensatz.

Es existieren zwei Strahlen oder Geraden, die sich in einem Punkt \(Z\) dem Zentrum schneiden.
Die zwei Strahlen werden von zwei parallelen Geraden geschnitten, wobei keine durch den Punkt \(Z\) verläuft.

\[\frac{\color{#00dcb4}a}{\color{#8363e2}x}=\frac{{\color{#00dcb4}a}+\color{#fa3273}a'}{\color{#8363e2}y}\hspace{0.4cm}\text{und}\hspace{0.4cm}\frac{\color{#00dcb4}b}{\color{#8363e2}x}=\frac{{\color{#00dcb4}b}+\color{#fa3273}b'}{\color{#8363e2}y}\]

Das heißt, das Verhältnis zwischen der kurzen Strahlstrecke und der kurzen Parallelstrecke ist gleich dem Verhältnis der langen Strahlstrecke auf demselben Strahl und der langen Parallelstrecke.

In der Abbildung siehst Du die Einteilungen der Strecken an einer Strahlensatzfigur.

Strahlensätze zweiter Strahlensatz StudySmarter Abb. 3 - Zweiter Strahlensatz.

Im Gegensatz zum ersten Strahlensatz besitzt der zweite Strahlensatz keine Umkehrung. Bei der Konstruktion der Umkehrung des zweiten Strahlensatzes gibt es keine Eindeutigkeit, denn es entstehen zwei Punkte, welche die Umkehrung des zweiten Strahlensatzes erfüllen würden.

Mehr zum ersten Strahlensatz und warum die Umkehrung nicht existiert, erfährst Du in der Erklärung „Zweiter Strahlensatz“.

Strahlensätze Beispiele – 2. Strahlensatz anwenden

Nachdem Du bereits beim ersten Strahlensatz die Höhe der Plattform vom Anfang berechnet hast, soll diese nun geschmückt werden. Dabei soll vom Geländer der Plattform eine Girlande am Ende des Schattens angebracht werden.

Aufgabe 2

Berechne die Länge der Girlande von der Plattform bis zum Ende des Schattens (Länge Schatten: \(15\, m\)), wenn die Girlande von Deinem Kopf bis zum Ende Deines Schattens (Länge Deines Schattens: \(1{,}2\, m\)) rund \(2{,}163\, m\) lang ist.

Strahlensätze zweiter Strahlensatz anwenden StudySmarter Abb. 4 - Zweiter Strahlensatz anwenden.

Lösung

Stelle den Strahlensatz nach den gegebenen Größen auf und berechne anschließend die Länge der Teilstrecke \(y\).

\begin{align}\frac{b}{x}&=\frac{b+b'}{y} \\[0.2cm]\frac{x}{b}&=\frac{y}{b+b'} \\[0.2cm]\frac{\text{2,163}\,m}{\text{1,2}\,m}&=\frac{y}{15\,m} &|&\cdot 15\,m\\[0.2cm]\frac{\text{2,163}\,m\cdot 15\,m}{\text{1,2}\,m}&=y \\[0.2cm]\text{27,038}\,m&=y\end{align}

Die Girlande muss \(27{,}038\, m\) lang sein.

Wodurch ergibt sich eigentlich der Zusammenhang zwischen den verschiedenen Strecken? Eine Antwort darauf liefert die Ähnlichkeit.

Ähnlichkeit und Strahlensätze – Strahlensätze Beweis

Den ersten und den zweiten Strahlensatz beweist Du über das Prinzip der Ähnlichkeit.

Strahlensätze Strahlensätze Beweis StudySmarter Abb. 5 - Strahlensätze Beweis.

Der erste Strahlensatz lautet: \[\frac{a}{b}=\frac{a+a'}{b+b'}\]

Der zweite Strahlensatz lautet: \[\frac{a}{x}=\frac{a+a'}{y}\hspace{0.4cm}\text{und}\hspace{0.4cm}\frac{b}{x}=\frac{b+b'}{y}\]

In der Abbildung siehst Du zwei Dreiecke \(ZAB\) und \(ZA'B'\). Bei diesen Dreiecken handelt es sich um ähnliche Dreiecke nach den Ähnlichkeitssätzen.

Welche Ähnlichkeitssätze es gibt und wie Du sie anwendest, erfährst Du in der Erklärung „Ähnlichkeit Dreiecke“.

Bei ähnlichen Dreiecken stimmen die Seitenverhältnisse der beiden Dreiecke überein. Aus dieser Aussage kannst Du den 1. und den 2. Strahlensatz herleiten.

Wie Du die beiden Strahlensätze genau herleitest, kannst Du in der Erklärung „erster Strahlensatz“ und „zweiter Strahlensatz“ nachlesen.

Ein weiteres Teilungsverhältnis bei Strecken stellt der sogenannte Goldene Schnitt dar. Aber was genau ist das?

Strahlensätze – Goldener Schnitt

Den Goldenen Schnitt gibt es nicht nur in der Kunst oder Fotografie, sondern auch in der Mathematik. Umgangssprachlich wird gesagt, dass der Goldene Schnitt ein Bild in \(\frac{1}{3}\) zu \(\frac{2}{3}\) teilen sollte. In der Mathematik verhält sich das etwas anders.

Wenn ein Punkt eine Strecke so teilt, dass das Verhältnis vom größeren Teil zur ganzen Strecke das gleiche ist, wie das vom kleineren Teil zum größeren Teil, so teilt der Punkt die Strecke im Goldenen Schnitt.

Es gilt: \[\frac{a}{a+b}=\frac{b}{a}\hspace{0.4cm}\text{oder}\hspace{0.4cm}\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}\]

Dabei wird die längere Strecke Major und die kürzere Strecke Minor genannt.

Strahlensätze goldener Schnitt StudySmarter Abb. 6 - Goldener Schnitt.

Mehr zum Goldenen Schnitt erfährst Du in der Erklärung „Goldener Schnitt Mathe“.

Strahlensätze Aufgaben

Hier kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.

Aufgabe 3

Berechne die Länge der Teilstrecke \(a'\) in Längeneinheiten. Die anderen Teilstrecken sind folgendermaßen lang: \(b'=\text{8,4};\, a=5;\, b=7\).

Strahlensätze Strahlensätze Aufgaben StudySmarter Abb. 7 - Strahlensätze Aufgaben.

Lösung

Stelle die passende Gleichung auf und stelle anschließend nach der gesuchten Größe um.

\begin{align}\frac{a}{b}&=\frac{a'}{b'} \\[0.2cm]\frac{5}{7}&=\frac{a'}{\text{8,4}} &|&\cdot \text{8,4}\\[0.2cm]a'&=\frac{5\cdot \text{8,4}}{7} \\[0.2cm]a'&=6\end{align}

Die Teilstrecke \(a'\) ist \(6\) Längeneinheiten lang.

Aufgabe 4

Berechne die Teilstrecke \(y\). Die anderen Teilstrecken sind folgendermaßen lang: \(a'=3;\, a=5;\, x=\text{2,02}\).

Strahlensätze Aufgaben StudySmarter Abb. 8 - Strahlensätze Aufgaben.

Lösung

Stelle die passende Gleichung auf und stelle anschließend nach der gesuchten Größe um.

\begin{align}\frac{a}{x}&=\frac{a'}{y} \\[0.2cm]\frac{x}{a}&=\frac{y}{a'} \\[0.2cm]\frac{\text{2,02}}{5}&=\frac{y}{3} &|&\cdot 3\\[0.2cm]\frac{\text{2,02}\cdot 3}{5}&=y \\[0.2cm]\text{1,212}&=y\end{align}

Die Teilstrecke \(y\) ist \(1{,}212\) Längeneinheiten lang.

Strahlensätze – Das Wichtigste

1. Strahlensatz:\[\frac{a}{b}=\frac{a+a'}{b+b'}\]
2. Strahlensatz:
\[\frac{a}{x}=\frac{a+a'}{y}\hspace{0.4cm}\text{und}\hspace{0.4cm}\frac{b}{x}=\frac{b+b'}{y}\]

Strahlensätze Überblick StudySmarter Abb. 9 - Strahlensätze Überblick.

Die Strahlensätze stehen in engem Zusammenhang mit der Ähnlichkeit von Dreiecken und können mithilfe dieser bewiesen werden.

Nachweise

Scheid, Schwarz (2017). Elemente der Geometrie. Springer Verlag. Berlin Heidelberg.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Strahlensätze

Beide Strahlensätze beziehen sich auf ein Streckenverhältnis zwischen bestimmten Strecken einer Strahlensatzfigur. Mithilfe dieser Streckenverhältnisse kannst Du eine fehlende Strecke ausrechnen.

Beide Strahlensätze haben folgende Voraussetzungen:

Es existieren zwei Strahlen oder Geraden, die sich in einem Punkt Z dem Zentrum schneiden.
Die zwei Strahlen werden von zwei parallelen Geraden geschnitten, wobei keine durch den Punkt Z verläuft.

Der erste Strahlensatz besagt nun, dass das Verhältnis der Strecke a zur Strecke b gleich dem Verhältnis von Strecke a+a' zur Strecke b+b'.

Der zweite Strahlensatz besagt, dass das Verhältnis der kurzen Strahlstrecke und der kurzen Parallelstrecke gleich dem Verhältnis der langen Strahlstrecke auf demselben Strahl und der langen Parallelstrecke ist.

Es gibt zwei Strahlensätze.

Der erste Strahlensatz ist umkehrbar. Der zweite Strahlensatz ist nicht umkehrbar, da er nicht eindeutig ist.

Finales Strahlensätze Quiz

Strahlensätze Quiz - Teste dein Wissen

Frage

Gib an, was die Voraussetzungen für die Anwendung des zweiten Strahlensatzes sind.

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt zwei Voraussetzungen:

Es müssen sich zwei Geraden oder zwei Strahlen an einem Punkt schneiden. Dieser Punkt wird als Punkt Z bezeichnet.
Außerdem ist es notwendig, dass die beiden Strahlen bzw. Geraden von zwei weiteren parallel zueinander verlaufenden Geraden geschnitten werden. Diese werden häufig als Geraden g und h bezeichnet. Dabei ist es wichtig, dass die Geraden g und h nicht durch den Punkt Z verlaufen.

Frage anzeigen

Frage

Bewerte folgende Aussage:

"Um den zweiten Strahlensatz anwenden zu können, ist es wichtig zu wissen, unter welchem Winkel sich die beiden Strahlen am Punkt Z schneiden."

Antwort anzeigen

Antwort

Die Aussage ist falsch. Die Größe des Winkels, unter dem sich die beiden Strahlen bzw. Geraden am Punkt Z schneiden, ist für die Anwendung des zweiten Strahlensatz nicht von Bedeutung.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, warum die beiden parallel verlaufenden Geraden g und h die beiden sich im Punkt Z schneidenden Strahlen bzw. Geraden nicht ebenfalls im Punkt Z schneiden dürfen.

Antwort anzeigen

Antwort

Würde eine der beiden Geraden g und h ebenfalls durch den Punkt Z verlaufen, so würde keine Parallelstrecke x zwischen den den beiden Strahlen entstehen. Deshalb kann der zweite Strahlensatz in einem solchen Fall nicht angewendet werden.

Frage anzeigen

Frage

Vergleiche den ersten und zweiten Strahlensatz.

Antwort anzeigen

Antwort

Gemeinsamkeiten:

Die Voraussetzungen für die Anwendung des 1. und 2. Strahlensatzes dieselben.

Unterschiede:

Beim ersten Strahlensatz werden die Teilstrecken auf den beiden sich im Punkt Z schneidenden Strahlen miteinander ins Verhältnis gesetzt. Die Länge der Parallelstrecken spielen beim ersten Strahlensatz keine Rolle.

Im Gegensatz dazu werden beim zweiten Strahlensatz die Teilstrecken auf je einem Strahl mit den beiden Parallelstrecken ins Verhältnis gesetzt.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, warum es sich beim zweiten Strahlensatz um eine Verhältnisgleichung handelt.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Quotient zweier Größen wird als Verhältnis bezeichnet. In der Formel des zweiten Strahlensatzes werden zwei Verhältnisse miteinander gleichgesetzt.

Der zweite Strahlensatz setzt verschiedene Strecken miteinander ins Verhältnis.

Deshalb handelt es sich bei dem zweiten Strahlensatz um eine Verhältnisgleichung.

Frage anzeigen

Frage

Fasse die wichtigsten Informationen zum ersten Strahlensatz kurz zusammen.

Antwort anzeigen

Antwort

Der erste Strahlensatz ist eine Verhältnisgleichung in der Geometrie. Er kann genutzt werden, um die Länge einer unbekannten Strecke zu berechnen.
Um den ersten Strahlensatz anwenden zu können, müssen sich zwei Strahlen bzw. Geraden in einem Punkt Z schneiden. Außerdem müssen sie von zwei weiteren Geraden, die parallel zueinander verlaufen, in den Punkten A, A', B und B' geschnitten werden.
Der erste Strahlensatz besagt: Das Verhältnis zwischen a und b genauso groß wie das Verhältnis zwischen a+a' und b+b'.
Der erste Strahlensatz kann umgekehrt werden und deshalb genutzt werden, um zu beurteilen, ob zwei Geraden parallel zueinander verlaufen.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die beiden Voraussetzungen für die Anwendung des ersten Strahlensatzes.

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei Geraden oder Strahlen müssen sich an einem Punkt Z schneiden.
Die beiden Strahlen bzw. Geraden werden von zwei weiteren parallel zueinander verlaufenden Geraden in den Punkten A, A', B und B' geschnitten.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wann man den ersten Strahlensatz und wann man den zweiten Strahlensatz verwendet.

Antwort anzeigen

Antwort

Beim ersten Strahlensatz werden die Teilstrecken auf den beiden sich im Punkt Z schneidenden Strahlen miteinander ins Verhältnis gesetzt. Die Länge der Parallelstrecken spielen beim ersten Strahlensatz keine Rolle. Ist man an der Länge einer dieser Teilstrecke interessiert, dann bietet sich häufig die Verwendung des ersten Strahlensatzes an.

Im Gegensatz dazu werden beim zweiten Strahlensatz die Teilstrecken auf je einem Strahl mit den beiden Parallelstrecken ins Verhältnis gesetzt. Möchtest du also die Länge einer der Parallelstrecken kennen, dann musst du in jedem Fall den zweiten Strahlensatz verwenden.

Da der erste und der zweite Strahlensatz die gleichen Anwendungsvoraussetzungen haben, ist die Wahl des Strahlensatzes davon abhängig, welche Strecke man berechnen möchte und welche anderen Streckenlängen bekannt sind.

Frage anzeigen

Frage

Stelle die Gemeinsamkeiten des ersten und zweiten Strahlensatzes dar.

Antwort anzeigen

Antwort

Die beiden Strahlensätze haben die gleichen Anwendungsvoraussetzungen.

Außerdem können sie dazu genutzt werden, die Länge von einer bisher unbekannten Strecke zu ermitteln.

Frage anzeigen

Frage

Bewerte die folgende Aussage:

"Es ist ganz egal, an welcher Stelle die Geraden g und h die beiden sich im Punkt Z schneidenden Strahlen bzw. Geraden schneiden."

Antwort anzeigen

Antwort

Die Aussage ist falsch. Die Geraden g und h dürfen die Strahlen bzw. Geraden nicht im Punkt Z schneiden, da in diesem Fall keine Parallelstrecke zwischen den beiden Strahlen bzw. Geraden entsteht.

Frage anzeigen

Frage

Beurteile folgende Aussage:

"Ein Strahl ist unendlich lang."

Antwort anzeigen

Antwort

Die Aussage ist richtig. Ein Strahl hat lediglich einen festen Startpunkt, aber keinen festen Endpunkt. Deshalb ist ein Strahl unendlich lang.

Frage anzeigen

Frage

Erläutere die Grundidee des Beweises des ersten Strahlensatzes.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Grundidee des Beweises liegt darin, dass sich, wenn alle Voraussetzungen für die Anwendung des ersten Strahlensatzes erfüllt sind, zwei ähnliche Dreiecke ZAB und ZA'B' ergeben.

Das Dreieck ZAB kann mithilfe des Streckfaktors k in das ihm ähnliche Dreieck ZA'B' überführt werden.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob der erste Strahlensatz umgekehrt werden kann.

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, der erste Strahlensatz kann umgekehrt werden.

Frage anzeigen

Frage

Nenne den ersten Strahlensatz.

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn zwei Strahlen durch den Punkt Z verlaufen und von zwei weiteren parallel verlaufenden Geraden g und h in den Punkten A, A', B und B' geschnitten werden, so ergibt sich folgendes Verhältnis zwischen den Strecken:

\[\frac{a}{b}=\frac{a+a′}{b+b′}\]

Das heißt, das Verhältnis zwischen den beiden a und b ist gleich dem Verhältnis zwischen den beiden Strecken \(a+a'\) und \(b+b'\).

Frage anzeigen

Frage

Nenne den zweiten Strahlensatz.

Antwort anzeigen

Antwort

\[\frac{a}{x}=\frac{a+a′}{y}\hspace{0.4cm}\text{und}\hspace{0.4cm}\frac{b}{x}=\frac{b+b′}{y}\]

Das heißt, das Verhältnis zwischen der kurzen Strahlstrecke und der kurzen Parallelstrecke ist gleich dem Verhältnis der langen Strahlstrecke auf demselben Strahl und der langen Parallelstrecke.

Frage anzeigen

Frage

Wie viele Strahlensätze gibt es?

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Ist der erste Strahlensatz umkehrbar?

Antwort anzeigen

Antwort

Ja, da er umgekehrt eindeutig ist.

Frage anzeigen

Frage

Gib die Umkehrung des ersten Strahlensatzes an.

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn zwei Strahlen durch den Punkt Z verlaufen und von zwei Geraden g und h in folgendem Verhältnis\[\frac{a}{b}=\frac{a+a'}{b+b'}\] geschnitten werden, dann sind die beiden Geraden g und h parallel.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe den Beweis der beiden Strahlensätze.

Antwort anzeigen

Antwort

Beide Strahlensätze lassen sich über die Ähnlichkeitssätze der Dreiecke beweisen.

Frage anzeigen

Frage

Gebe die Formel des ersten Strahlensatzes an.

Antwort anzeigen

Antwort

\[\frac{a}{b}=\frac{a+a'}{b+b'}\]

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Formel des zweiten Strahlensatzes.

Antwort anzeigen

Antwort

\[\frac{a}{x}=\frac{a+a'}{y}\]

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, welcher griechische Buchstabe für die Goldene Zahl steht.

Antwort anzeigen

Antwort

\[\phi\]

Frage anzeigen

Frage

Das latinische Wort für den Goldenen Schnitt lautet: „proportio divina“. Wie lautet die deutsche Übersetzung? Schreibe sie auf.

Antwort anzeigen

Antwort

göttliches Verhältnis

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, was der Goldenen Zahl entspricht.

Antwort anzeigen

Antwort

\[\phi\approx1{,}618\]

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Frage

Beschreibe die Konstruktionsschritte des Goldenen Schnitts nach Odom.

Antwort anzeigen

Antwort

Gleichseitiges Dreieck konstruieren.
Umkreis des gleichseitigen Dreiecks konstruieren.
Mittelpunkte der beiden Schenkel des Dreiecks bestimmen und mit \(A\) und \(T\) beschriften.
Die Punkte \(A\) und \(T\) verbinden und verlängern bis zum Schnittpunkt mit dem Umkreis. Der Schnittpunkt mit dem Umkreis ist der Punkt \(B\). Der Punkt \(T\) teilt die Strecke \(\overline{AB}\) im Goldenen Schnitt.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Besonderheit des Teilungsverhältnisses des Goldenen Schnitts.

Antwort anzeigen

Antwort

Das Verhältnis der Teilstrecken \(a\) und \(b\) entspricht dem Verhältnis der gesamten Strecke \(a+b\) zur längeren Teilstrecke \(a\).

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Bildungsregel der Fibonacci-Zahlenfolge.

Antwort anzeigen

Antwort

\[f_n=f_{n-1}+f_{n-2}\]

Frage anzeigen

Frage

Nenne die ersten 8 Zahlen der Fibonacci-Zahlenfolge.

Antwort anzeigen

Antwort

\[1,\,1,\,2,\,3,\,5,\,8,\,13,\,21\]

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe die Konstruktion eines Goldenen Schnitts mithilfe der Senkrechten.

Antwort anzeigen

Antwort

Konstruiere den Mittelpunkt \(M\) der Strecke \(\overline{AB}\), in dem Du eine Mittelsenkrechte konstruierst.

Trage nun eine senkrechte Strecke in Punkt \(B\) ab. Die Strecke \(\overline {BC}\) ist halb so lang wie die Strecke \(\overline{AB}\). Dafür konstruierst Du eine Senkrechte im Punkt \(B\) und trägst anschließend die Länge der Strecke auf der Senkrechten ab.

Jetzt verbindest Du die Punkte \(A\) und \(C\). Anschließend zeichnest Du einen Kreis um \(C\) mit dem Radius der Strecke \(\overline{BC}\).
Der Kreis schneidet die Strecke \(\overline{AC}\) im Punkt \(D\).

Danach zeichnest Du einen Kreis um den Punkt \(A\) mit dem Radius der Strecke \(\overline{AD}\).
Zum Schluss beschriftest Du den Schnittpunkt \(T\) des Kreises um \(A\) mit der Strecke \(\overline{AB}\). Der Punkt \(T\) teilt die Strecke \(\overline {AB}\) im Goldenen Schnitt.

Frage anzeigen

Frage

Die Strecke \(\overline{AB}\) wird von dem Punkt \(T\) im Goldenen Schnitt geteilt. Die längere Strecke \(\overline{AT}\) ist \(9\,cm\) lang. Berechne die Länge der anderen Teilstrecke.

Antwort anzeigen

Antwort

Zunächst stellst Du das Teilungsverhältnis auf. Dann stellst Du nach \(\overline{TB}\) um.

\begin{align}\frac{\overline{AT}}{\overline{TB}} &= \frac{1+\sqrt5}{2} \\ \frac{\overline{TB}}{9}&=\frac{2}{1+\sqrt5} &|&\cdot 9 \\ \overline{TB}&=\frac{18}{1+\sqrt5} \approx 5{,}562\,cm\end{align}

Die kürzere Strecke \(\overline{TB}\) ist rund \(5{,}562\,cm\) lang.

Frage anzeigen

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Gib an, was die Voraussetzungen für die Anwendung des zweiten Strahlensatzes sind.

Es gibt zwei Voraussetzungen:

Es müssen sich zwei Geraden oder zwei Strahlen an einem Punkt schneiden. Dieser Punkt wird als Punkt Z bezeichnet.
Außerdem ist es notwendig, dass die beiden Strahlen bzw. Geraden von zwei weiteren parallel zueinander verlaufenden Geraden geschnitten werden. Diese werden häufig als Geraden g und h bezeichnet. Dabei ist es wichtig, dass die Geraden g und h nicht durch den Punkt Z verlaufen.

Bewerte folgende Aussage:

"Um den zweiten Strahlensatz anwenden zu können, ist es wichtig zu wissen, unter welchem Winkel sich die beiden Strahlen am Punkt Z schneiden."

Die Aussage ist falsch. Die Größe des Winkels, unter dem sich die beiden Strahlen bzw. Geraden am Punkt Z schneiden, ist für die Anwendung des zweiten Strahlensatz nicht von Bedeutung.

Erkläre, warum die beiden parallel verlaufenden Geraden g und h die beiden sich im Punkt Z schneidenden Strahlen bzw. Geraden nicht ebenfalls im Punkt Z schneiden dürfen.

Vergleiche den ersten und zweiten Strahlensatz.

Gemeinsamkeiten:

Die Voraussetzungen für die Anwendung des 1. und 2. Strahlensatzes dieselben.

Unterschiede:

Im Gegensatz dazu werden beim zweiten Strahlensatz die Teilstrecken auf je einem Strahl mit den beiden Parallelstrecken ins Verhältnis gesetzt.

Erkläre, warum es sich beim zweiten Strahlensatz um eine Verhältnisgleichung handelt.

Der Quotient zweier Größen wird als Verhältnis bezeichnet. In der Formel des zweiten Strahlensatzes werden zwei Verhältnisse miteinander gleichgesetzt.

Der zweite Strahlensatz setzt verschiedene Strecken miteinander ins Verhältnis.

Deshalb handelt es sich bei dem zweiten Strahlensatz um eine Verhältnisgleichung.

Fasse die wichtigsten Informationen zum ersten Strahlensatz kurz zusammen.

Der erste Strahlensatz ist eine Verhältnisgleichung in der Geometrie. Er kann genutzt werden, um die Länge einer unbekannten Strecke zu berechnen.
Um den ersten Strahlensatz anwenden zu können, müssen sich zwei Strahlen bzw. Geraden in einem Punkt Z schneiden. Außerdem müssen sie von zwei weiteren Geraden, die parallel zueinander verlaufen, in den Punkten A, A', B und B' geschnitten werden.
Der erste Strahlensatz besagt: Das Verhältnis zwischen a und b genauso groß wie das Verhältnis zwischen a+a' und b+b'.
Der erste Strahlensatz kann umgekehrt werden und deshalb genutzt werden, um zu beurteilen, ob zwei Geraden parallel zueinander verlaufen.

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