Die Strahlensätze
Die Strahlensätze werden in der Geometrie häufig verwendet und sind eine gute Möglichkeit, verschiedene Strecken zu bestimmen. In diesem Artikel erfährst du, welche Strahlensätze es gibt und wie du sie richtig anwendest, damit du für deine nächste Prüfung in der Mathematik sehr gut vorbereitet bist.
Viel Spaß beim Lernen!
Was sind die Strahlensätze?
Mit Hilfe der Strahlensätze kann man Aussagen darüber treffen, wie sich bestimmte Strecken zueinander verhalten. Mit den Strahlensätzen ist es uns also möglich, die Länge von Strecken zu bestimmen, die in einer Relation zu uns bereits bekannten Strecken liegen. Man kann also beispielsweise die Höhe eines Turms oder die Breite eines Flusses auf diese Weise berechnen. Solche oder ähnlichen Aufgaben kommen in der Geometrie häufig vor.
Wann kann man Strahlensätze anwenden?
Um die Strahlensätze anwenden zu können, müssen zwei Geraden beziehungsweise Strahlen f und g gegeben sein, die sich in einem beliebigen Winkel schneiden. Der Schnittpunkt wird meist S genannt, oft auch Z für Zentrum. Beide Geraden werden von zwei Parallelen geschnitten, allerdings darf keine davon durch S bzw. Z verlaufen. Es macht dabei keinen Unterschied, ob die Parallelen beide auf einer Seite sind, oder auf der jeweils gegenüberliegenden Seite. Die Parallelität ist aber eine wichtige Bedingung.
Das Ganze kann man sich vorstellen wie auf der Abbildung rechts. Die Schnittpunkte der beiden Parallelen mit den beiden Strahlen bezeichnet man meist mit A und A' beziehungsweise B und B'.
Welche Strahlensätze gibt es?
Man unterscheidet in der Mathematik zwischen dem ersten und dem zweiten Strahlensatz. Die beiden Sätze sind sogenannte Verhältnisgleichungen.
Wie lautet der erste Strahlensatz?
Beim ersten Strahlensatz vergleicht man die Streckenabschnitte auf den Strahlen miteinander. Dabei ist das Verhältnis zwischen dem kleinen Streckenabschnitt auf dem einen Strahl zu dem kürzeren Streckenabschnitt auf dem anderen Strahl genau wie das Verhältnis des längeren Abschnitts auf dem ersten Strahl zum längeren Abschnitt auf dem anderen Strahl.
Der erste Strahlensatz |
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Wenn die Verhältnisse des ersten Strahlensatzes klar sind, kann man damit, je nachdem, welche Strecken gegeben sind und welche Strecke gesucht ist, die Gleichung umformen.
Schauen wir uns dazu ein Beispiel an:
Nehmen wir an, die drei folgenden Strecken sind gegeben:
Gesucht ist 
Zunächst müssen wir die Verhältnisgleichung aufstellen und nach der gesuchten Größe umstellen.
Wir erhalten somit:
Nun muss man nur noch die vorhandenen Werte für die Strecken einsetzen und kann leicht das Ergebnis berechnen:
Wie lautet der zweite Strahlensatz?
Der zweite Strahlensatz setzt die Streckenabschnitte auf den Parallelen ins Verhältnis zu den Streckenabschnitten auf einem Strahl. Dabei können beide Strahlen zum Vergleich herangezogen werden. Er besagt, dass das Verhältnis zwischen der kurzen Strecke auf der einen Parallelen zur kurzen Strecke auf einem Strahl sich genauso verhält, wie das Verhältnis zwischen dem längeren Parallelenabschnitt und der langen Strecke auf demselben Strahl.
Der zweite Strahlensatz |
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Man kann hier nicht nur die oben aufgeführte Gleichung verwenden, sondern auch einen anderen Strahl als Vergleichsmaß nutzen und somit eine zweite Gleichung verwenden:
Man kann für seine Berechnungen den Strahl auswählen, der im Hinblick auf die Angaben nützlicher ist. Wichtig ist nur, dass man sich immer auf beiden Seiten der Gleichung auf denselben Strahl bezieht.
Auch beim zweiten Strahlensatz soll ein Beispiel nicht fehlen:
Nehmen wir hier an, wir haben folgende Angaben:
Gesucht ist: 
Auch hier stellen wir die Verhältnisgleichung auf, stellen sie nach der gesuchten Größe um, setzen die Angaben ein und erhalten das Ergebnis. Das sieht dann folgendermaßen aus:
Wie kann man Strahlensätze anwenden?
Die Strahlensätze finden normalerweise bei verschiedenen Anwendungsaufgaben Anwendung. Es fällt oftmals schwer, herauszufinden, ob man die Strahlensätze bei einer Aufgabe anwenden kann oder sollte. Deswegen solltest du immer Ausschau nach zwei Strahlen und Parallelen halten, wenn die Länge von Streckenabschnitten gesucht ist.
Eine mögliche Aufgabe könnte lauten: Ein 1,70m großer Mensch steht 18 Meter von einem Turm entfernt. Wie hoch ist der Turm?
Wenn es dir dadurch leichter fällt, die Strahlen und Parallelen zu erkennen, kannst du das Szenario aufzeichnen. Dabei fällt auf, dass der Mensch eine Parallele zum Turm bildet, der eine Strahl auf dem Boden verläuft und der andere den Kopf des Menschen mit der Spitze des Turms verbindet. Die gegeben Angaben kann man direkt neben oder in die Skizze notieren, damit klar ist, wie weiter vorgegangen werden muss.
Alles Wichtige zu den Strahlensätzen auf einen Blick!
Na, alles verstanden? Das waren auch schon alle Informationen zu den beiden Strahlensätzen und ihrer Anwendung, die du dir auf jeden Fall merken solltest. Zu guter Letzt folgt jetzt noch ein Überblick über die wichtigsten Aspekte der Strahlensätze, die du in Zukunft sicherlich brauchen wirst:
- Mit Hilfe der Strahlensätze kann man Aussagen darüber treffen, wie sich bestimmte Strecken zueinander verhalten und somit die Länge von Strecken bestimmen.
- Um die Strahlensätze anwenden zu können, müssen zwei Geraden bzw. Strahlen gegeben sein, die sich in einem beliebigen Winkel schneiden.
- Beide Geraden werden von zwei Parallelen geschnitten, allerdings darf keine davon durch den Schnittpunkt verlaufen.
- Die Schnittpunkte der beiden Parallelen mit den beiden Strahlen bezeichnet man mit A und A' beziehungsweise B und B'.
- Beim ersten Strahlensatz vergleicht man die Streckenabschnitte auf den Strahlen miteinander.
- Der zweite Strahlensatz setzt die Streckenabschnitte auf den Parallelen ins Verhältnis zu den Streckenabschnitten auf einem Strahl.
- Wenn der benötigte Strahlensatz klar ist, kann man, je nachdem, welche Strecken gegeben sind und welche Strecke gesucht ist, die Gleichung nach der gesuchten Strecke umformen, die gegebenen Werte einsetzen und so die Strecke berechnen.
