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Stell Dir vor, Du besteigst eine Aussichtsplattform und möchtest nach dem Abstieg wissen, wie hoch diese Plattform war. Jedoch steht nirgendwo ein Schild, welches Dir Deine Frage beantworten könnte. Jetzt kannst Du aber den Strahlensatz anwenden, da die Aussichtsplattform einen Schatten auf den Boden wirft und dieser Dir bei der…
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Jetzt kostenlos anmeldenStell Dir vor, Du besteigst eine Aussichtsplattform und möchtest nach dem Abstieg wissen, wie hoch diese Plattform war. Jedoch steht nirgendwo ein Schild, welches Dir Deine Frage beantworten könnte. Jetzt kannst Du aber den Strahlensatz anwenden, da die Aussichtsplattform einen Schatten auf den Boden wirft und dieser Dir bei der Berechnung helfen kann. Wie genau Du den Strahlensatz hier anwendest, erfährst Du in dieser Erklärung.
Es existieren mehrere Strahlensätze – genauer gesagt zwei. Beide Strahlensätze beschäftigen sich mit den Verhältnissen von Teilstrecken an einer Strahlensatzfigur.
Eine Strahlensatzfigur ist eine Figur aus zwei sich treffenden Strahlen (mit einem Zentrum \(Z\)) und zwei Parallelen, die die Strahlen schneiden.
Was ist jedoch der Unterschied zwischen beiden Sätzen?
Um den ersten Strahlensatz anzuwenden, muss Deine Strahlensatzfigur zwei Voraussetzungen erfüllen:
Wenn zwei Strahlen durch den Punkt \(Z\) verlaufen und von zwei weiteren parallel verlaufenden Geraden \(g\) und \(h\) in den Punkten \(A,\, A',\, B\) und \(B'\) geschnitten werden, so ergibt sich folgendes Verhältnis zwischen den Strecken:
\[\frac{\color{#00dcb4}a}{\color{#00dcb4}b}=\frac{{\color{#00dcb4}a}+{\color{#fa3273}a'}}{{\color{#00dcb4}b}+{\color{#fa3273}b'}}\]
Das heißt, das Verhältnis zwischen den beiden Strecken \(a\) und \(b\) ist gleich dem Verhältnis zwischen den beiden Strecken \(a+a'\) und \(b+b'\).
In der Abbildung siehst Du die Einteilungen der Strecken an einer Strahlensatzfigur.
Abb. 1 -Erster Strahlensatz.
Der erste Strahlensatz besitzt auch eine Umkehrung. Bei dieser wird die Voraussetzung zur Behauptung.
Die Umkehrung des ersten Strahlensatzes lautet:
Wenn zwei Strahlen durch den Punkt \(Z\) verlaufen und von zwei Geraden \(g\) und \(h\) in folgendem Verhältnis \[\frac{a}{b}=\frac{a+a'}{b+b'}\] geschnitten werden, dann sind die beiden Geraden \(g\) und \(h\) parallel.
Mehr zum ersten Strahlensatz und seiner Umkehrung erfährst Du in der Erklärung „Erster Strahlensatz“.
Zu Beginn der Erklärung wolltest Du wissen, wie hoch die Aussichtsplattform ist. Dafür hast Du den Schatten der Aussichtsplattform und Deinen eignen Schatten gemessen.
Aufgabe 1
Berechne die Höhe der Aussichtsplattform. Gehe davon aus, dass Du \(1{,}8\, m\) groß bist und Dein Schatten \(1{,}2\, m\) lang war. Für die Schattenlänge der Aussichtsplattform hast Du \(15\, m\) gemessen.
Abb. 2 - Erster Strahlensatz anwenden.
Lösung
Wenn Du jetzt auf die Abbildung von oben schaust, solltest Du einordnen können, an welcher Stelle Du die Zahlen in die Gleichung einordnest. Nachdem Du die Gleichung aufgestellt hast, stellst Du sie nach der gesuchten Größe um.
Du kannst Dir die Gleichung bereits so aufstellen, dass das Umstellen der Gleichung nicht so schwer ist. Achte darauf, dass die gesuchte Größe im Zähler steht.
\begin{align}\frac{a}{b}&=\frac{a+a'}{b+b'} \\[0.2cm]\frac{\text{1,8}\,m}{\text{1,2}\,m}&=\frac{\overline{ZA}}{15\,m} &|&\cdot 15\,m\\[0.2cm] \overline{ZA}&=\frac{15\,m\cdot \text{1,8}\,m}{\text{1,2}\,m} \\[0.2cm] \overline{ZA}&=\text{22,5}\,m\end{align}
Die Plattform ist in einer Höhe von ungefähr \(22,5\, m\).
Auch beim zweiten Strahlensatz gelten dieselben Voraussetzungen wie beim ersten Strahlensatz.
Wenn zwei Strahlen durch den Punkt \(Z\) verlaufen und von zwei weiteren parallel verlaufenden Geraden \(g\) und \(h\) in den Punkten \(A,\, A',\, B\) und \(B'\) geschnitten werden, so ergibt sich folgendes Verhältnis zwischen den Strecken:
\[\frac{\color{#00dcb4}a}{\color{#8363e2}x}=\frac{{\color{#00dcb4}a}+\color{#fa3273}a'}{\color{#8363e2}y}\hspace{0.4cm}\text{und}\hspace{0.4cm}\frac{\color{#00dcb4}b}{\color{#8363e2}x}=\frac{{\color{#00dcb4}b}+\color{#fa3273}b'}{\color{#8363e2}y}\]
Das heißt, das Verhältnis zwischen der kurzen Strahlstrecke und der kurzen Parallelstrecke ist gleich dem Verhältnis der langen Strahlstrecke auf demselben Strahl und der langen Parallelstrecke.
In der Abbildung siehst Du die Einteilungen der Strecken an einer Strahlensatzfigur.
Abb. 3 - Zweiter Strahlensatz.
Im Gegensatz zum ersten Strahlensatz besitzt der zweite Strahlensatz keine Umkehrung. Bei der Konstruktion der Umkehrung des zweiten Strahlensatzes gibt es keine Eindeutigkeit, denn es entstehen zwei Punkte, welche die Umkehrung des zweiten Strahlensatzes erfüllen würden.
Mehr zum ersten Strahlensatz und warum die Umkehrung nicht existiert, erfährst Du in der Erklärung „Zweiter Strahlensatz“.
Nachdem Du bereits beim ersten Strahlensatz die Höhe der Plattform vom Anfang berechnet hast, soll diese nun geschmückt werden. Dabei soll vom Geländer der Plattform eine Girlande am Ende des Schattens angebracht werden.
Aufgabe 2
Berechne die Länge der Girlande von der Plattform bis zum Ende des Schattens (Länge Schatten: \(15\, m\)), wenn die Girlande von Deinem Kopf bis zum Ende Deines Schattens (Länge Deines Schattens: \(1{,}2\, m\)) rund \(2{,}163\, m\) lang ist.
Abb. 4 - Zweiter Strahlensatz anwenden.
Lösung
Stelle den Strahlensatz nach den gegebenen Größen auf und berechne anschließend die Länge der Teilstrecke \(y\).
\begin{align}\frac{b}{x}&=\frac{b+b'}{y} \\[0.2cm]\frac{x}{b}&=\frac{y}{b+b'} \\[0.2cm]\frac{\text{2,163}\,m}{\text{1,2}\,m}&=\frac{y}{15\,m} &|&\cdot 15\,m\\[0.2cm]\frac{\text{2,163}\,m\cdot 15\,m}{\text{1,2}\,m}&=y \\[0.2cm]\text{27,038}\,m&=y\end{align}
Die Girlande muss \(27{,}038\, m\) lang sein.
Wodurch ergibt sich eigentlich der Zusammenhang zwischen den verschiedenen Strecken? Eine Antwort darauf liefert die Ähnlichkeit.
Den ersten und den zweiten Strahlensatz beweist Du über das Prinzip der Ähnlichkeit.
Abb. 5 - Strahlensätze Beweis.
Der erste Strahlensatz lautet: \[\frac{a}{b}=\frac{a+a'}{b+b'}\]
Der zweite Strahlensatz lautet: \[\frac{a}{x}=\frac{a+a'}{y}\hspace{0.4cm}\text{und}\hspace{0.4cm}\frac{b}{x}=\frac{b+b'}{y}\]
In der Abbildung siehst Du zwei Dreiecke \(ZAB\) und \(ZA'B'\). Bei diesen Dreiecken handelt es sich um ähnliche Dreiecke nach den Ähnlichkeitssätzen.
Welche Ähnlichkeitssätze es gibt und wie Du sie anwendest, erfährst Du in der Erklärung „Ähnlichkeit Dreiecke“.
Bei ähnlichen Dreiecken stimmen die Seitenverhältnisse der beiden Dreiecke überein. Aus dieser Aussage kannst Du den 1. und den 2. Strahlensatz herleiten.
Wie Du die beiden Strahlensätze genau herleitest, kannst Du in der Erklärung „erster Strahlensatz“ und „zweiter Strahlensatz“ nachlesen.
Ein weiteres Teilungsverhältnis bei Strecken stellt der sogenannte Goldene Schnitt dar. Aber was genau ist das?
Den Goldenen Schnitt gibt es nicht nur in der Kunst oder Fotografie, sondern auch in der Mathematik. Umgangssprachlich wird gesagt, dass der Goldene Schnitt ein Bild in \(\frac{1}{3}\) zu \(\frac{2}{3}\) teilen sollte. In der Mathematik verhält sich das etwas anders.
Wenn ein Punkt eine Strecke so teilt, dass das Verhältnis vom größeren Teil zur ganzen Strecke das gleiche ist, wie das vom kleineren Teil zum größeren Teil, so teilt der Punkt die Strecke im Goldenen Schnitt.
Es gilt: \[\frac{a}{a+b}=\frac{b}{a}\hspace{0.4cm}\text{oder}\hspace{0.4cm}\frac{a+b}{a}=\frac{a}{b}\]
Dabei wird die längere Strecke Major und die kürzere Strecke Minor genannt.
Abb. 6 - Goldener Schnitt.
Mehr zum Goldenen Schnitt erfährst Du in der Erklärung „Goldener Schnitt Mathe“.
Hier kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.
Aufgabe 3
Berechne die Länge der Teilstrecke \(a'\) in Längeneinheiten. Die anderen Teilstrecken sind folgendermaßen lang: \(b'=\text{8,4};\, a=5;\, b=7\).
Abb. 7 - Strahlensätze Aufgaben.
Lösung
Stelle die passende Gleichung auf und stelle anschließend nach der gesuchten Größe um.
\begin{align}\frac{a}{b}&=\frac{a'}{b'} \\[0.2cm]\frac{5}{7}&=\frac{a'}{\text{8,4}} &|&\cdot \text{8,4}\\[0.2cm]a'&=\frac{5\cdot \text{8,4}}{7} \\[0.2cm]a'&=6\end{align}
Die Teilstrecke \(a'\) ist \(6\) Längeneinheiten lang.
Aufgabe 4
Berechne die Teilstrecke \(y\). Die anderen Teilstrecken sind folgendermaßen lang: \(a'=3;\, a=5;\, x=\text{2,02}\).
Abb. 8 - Strahlensätze Aufgaben.
Lösung
Stelle die passende Gleichung auf und stelle anschließend nach der gesuchten Größe um.
\begin{align}\frac{a}{x}&=\frac{a'}{y} \\[0.2cm]\frac{x}{a}&=\frac{y}{a'} \\[0.2cm]\frac{\text{2,02}}{5}&=\frac{y}{3} &|&\cdot 3\\[0.2cm]\frac{\text{2,02}\cdot 3}{5}&=y \\[0.2cm]\text{1,212}&=y\end{align}
Die Teilstrecke \(y\) ist \(1{,}212\) Längeneinheiten lang.
\[\frac{a}{x}=\frac{a+a'}{y}\hspace{0.4cm}\text{und}\hspace{0.4cm}\frac{b}{x}=\frac{b+b'}{y}\]
Abb. 9 - Strahlensätze Überblick.
Die Strahlensätze stehen in engem Zusammenhang mit der Ähnlichkeit von Dreiecken und können mithilfe dieser bewiesen werden.
Beide Strahlensätze beziehen sich auf ein Streckenverhältnis zwischen bestimmten Strecken einer Strahlensatzfigur. Mithilfe dieser Streckenverhältnisse kannst Du eine fehlende Strecke ausrechnen.
Beide Strahlensätze haben folgende Voraussetzungen:
Der erste Strahlensatz besagt nun, dass das Verhältnis der Strecke a zur Strecke b gleich dem Verhältnis von Strecke a+a' zur Strecke b+b'.
Der zweite Strahlensatz besagt, dass das Verhältnis der kurzen Strahlstrecke und der kurzen Parallelstrecke gleich dem Verhältnis der langen Strahlstrecke auf demselben Strahl und der langen Parallelstrecke ist.
Es gibt zwei Strahlensätze.
Der erste Strahlensatz ist umkehrbar. Der zweite Strahlensatz ist nicht umkehrbar, da er nicht eindeutig ist.
Karteikarten in Strahlensätze30
Lerne jetztGib an, was die Voraussetzungen für die Anwendung des zweiten Strahlensatzes sind.
Es gibt zwei Voraussetzungen:
Bewerte folgende Aussage:
"Um den zweiten Strahlensatz anwenden zu können, ist es wichtig zu wissen, unter welchem Winkel sich die beiden Strahlen am Punkt Z schneiden."
Die Aussage ist falsch. Die Größe des Winkels, unter dem sich die beiden Strahlen bzw. Geraden am Punkt Z schneiden, ist für die Anwendung des zweiten Strahlensatz nicht von Bedeutung.
Erkläre, warum die beiden parallel verlaufenden Geraden g und h die beiden sich im Punkt Z schneidenden Strahlen bzw. Geraden nicht ebenfalls im Punkt Z schneiden dürfen.
Würde eine der beiden Geraden g und h ebenfalls durch den Punkt Z verlaufen, so würde keine Parallelstrecke x zwischen den den beiden Strahlen entstehen. Deshalb kann der zweite Strahlensatz in einem solchen Fall nicht angewendet werden.
Gemeinsamkeiten:
Die Voraussetzungen für die Anwendung des 1. und 2. Strahlensatzes dieselben.
Unterschiede:
Beim ersten Strahlensatz werden die Teilstrecken auf den beiden sich im Punkt Z schneidenden Strahlen miteinander ins Verhältnis gesetzt. Die Länge der Parallelstrecken spielen beim ersten Strahlensatz keine Rolle.
Im Gegensatz dazu werden beim zweiten Strahlensatz die Teilstrecken auf je einem Strahl mit den beiden Parallelstrecken ins Verhältnis gesetzt.
Erkläre, warum es sich beim zweiten Strahlensatz um eine Verhältnisgleichung handelt.
Der Quotient zweier Größen wird als Verhältnis bezeichnet. In der Formel des zweiten Strahlensatzes werden zwei Verhältnisse miteinander gleichgesetzt.
Der zweite Strahlensatz setzt verschiedene Strecken miteinander ins Verhältnis.
Deshalb handelt es sich bei dem zweiten Strahlensatz um eine Verhältnisgleichung.
Fasse die wichtigsten Informationen zum ersten Strahlensatz kurz zusammen.
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