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Strahlensätze

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Strahlensätze

Die Strahlensätze werden in der Geometrie häufig verwendet und sind eine gute Möglichkeit, verschiedene Strecken zu bestimmen. In diesem Artikel erfährst du, welche Strahlensätze es gibt und wie du sie richtig anwendest, damit du für deine nächste Prüfung in der Mathematik sehr gut vorbereitet bist.

Viel Spaß beim Lernen!

Was sind die Strahlensätze?

Mit Hilfe der Strahlensätze kann man Aussagen darüber treffen, wie sich bestimmte Strecken zueinander verhalten. Mit den Strahlensätzen ist es uns also möglich, die Länge von Strecken zu bestimmen, die in einer Relation zu uns bereits bekannten Strecken liegen. Man kann also beispielsweise die Höhe eines Turms oder die Breite eines Flusses auf diese Weise berechnen. Solche oder ähnlichen Aufgaben kommen in der Geometrie häufig vor.

Wann kann man Strahlensätze anwenden?

Um die Strahlensätze anwenden zu können, müssen zwei Geraden beziehungsweise Strahlen f und g gegeben sein, die sich in einem beliebigen Winkel schneiden. Der Schnittpunkt wird meist S genannt, oft auch Z für Zentrum. Beide Geraden werden von zwei Parallelen geschnitten, allerdings darf keine davon durch S bzw. Z verlaufen. Es macht dabei keinen Unterschied, ob die Parallelen beide auf einer Seite sind, oder auf der jeweils gegenüberliegenden Seite. Die Parallelität ist aber eine wichtige Bedingung.

Das Ganze kann man sich vorstellen wie auf der Abbildung rechts. Die Schnittpunkte der beiden Parallelen mit den beiden Strahlen bezeichnet man meist mit A und A' beziehungsweise B und B'.

Welche Strahlensätze gibt es?

Man unterscheidet in der Mathematik zwischen dem ersten und dem zweiten Strahlensatz. Die beiden Sätze sind sogenannte Verhältnisgleichungen.

Wie lautet der erste Strahlensatz?

Beim ersten Strahlensatz vergleicht man die Streckenabschnitte auf den Strahlen miteinander. Dabei ist das Verhältnis zwischen dem kleinen Streckenabschnitt auf dem einen Strahl zu dem kürzeren Streckenabschnitt auf dem anderen Strahl genau wie das Verhältnis des längeren Abschnitts auf dem ersten Strahl zum längeren Abschnitt auf dem anderen Strahl.

Der erste Strahlensatz

Wenn die Verhältnisse des ersten Strahlensatzes klar sind, kann man damit, je nachdem, welche Strecken gegeben sind und welche Strecke gesucht ist, die Gleichung umformen.

Schauen wir uns dazu ein Beispiel an:

Nehmen wir an, die drei folgenden Strecken sind gegeben:

Gesucht ist

Zunächst müssen wir die Verhältnisgleichung aufstellen und nach der gesuchten Größe umstellen.

Wir erhalten somit:

Nun muss man nur noch die vorhandenen Werte für die Strecken einsetzen und kann leicht das Ergebnis berechnen:

Wie lautet der zweite Strahlensatz?

Der zweite Strahlensatz setzt die Streckenabschnitte auf den Parallelen ins Verhältnis zu den Streckenabschnitten auf einem Strahl. Dabei können beide Strahlen zum Vergleich herangezogen werden. Er besagt, dass das Verhältnis zwischen der kurzen Strecke auf der einen Parallelen zur kurzen Strecke auf einem Strahl sich genauso verhält, wie das Verhältnis zwischen dem längeren Parallelenabschnitt und der langen Strecke auf demselben Strahl.

Der zweite Strahlensatz

Man kann hier nicht nur die oben aufgeführte Gleichung verwenden, sondern auch einen anderen Strahl als Vergleichsmaß nutzen und somit eine zweite Gleichung verwenden:

Man kann für seine Berechnungen den Strahl auswählen, der im Hinblick auf die Angaben nützlicher ist. Wichtig ist nur, dass man sich immer auf beiden Seiten der Gleichung auf denselben Strahl bezieht.

Auch beim zweiten Strahlensatz soll ein Beispiel nicht fehlen:

Nehmen wir hier an, wir haben folgende Angaben:

Gesucht ist:

Auch hier stellen wir die Verhältnisgleichung auf, stellen sie nach der gesuchten Größe um, setzen die Angaben ein und erhalten das Ergebnis. Das sieht dann folgendermaßen aus:

Wie kann man Strahlensätze anwenden?

Die Strahlensätze finden normalerweise bei verschiedenen Anwendungsaufgaben Anwendung. Es fällt oftmals schwer, herauszufinden, ob man die Strahlensätze bei einer Aufgabe anwenden kann oder sollte. Deswegen solltest du immer Ausschau nach zwei Strahlen und Parallelen halten, wenn die Länge von Streckenabschnitten gesucht ist.

Eine mögliche Aufgabe könnte lauten: Ein 1,70m großer Mensch steht 18 Meter von einem Turm entfernt. Wie hoch ist der Turm?

Wenn es dir dadurch leichter fällt, die Strahlen und Parallelen zu erkennen, kannst du das Szenario aufzeichnen. Dabei fällt auf, dass der Mensch eine Parallele zum Turm bildet, der eine Strahl auf dem Boden verläuft und der andere den Kopf des Menschen mit der Spitze des Turms verbindet. Die gegeben Angaben kann man direkt neben oder in die Skizze notieren, damit klar ist, wie weiter vorgegangen werden muss.

Alles Wichtige zu den Strahlensätzen auf einen Blick!

Na, alles verstanden? Das waren auch schon alle Informationen zu den beiden Strahlensätzen und ihrer Anwendung, die du dir auf jeden Fall merken solltest. Zu guter Letzt folgt jetzt noch ein Überblick über die wichtigsten Aspekte der Strahlensätze, die du in Zukunft sicherlich brauchen wirst:

  • Mit Hilfe der Strahlensätze kann man Aussagen darüber treffen, wie sich bestimmte Strecken zueinander verhalten und somit die Länge von Strecken bestimmen.
  • Um die Strahlensätze anwenden zu können, müssen zwei Geraden bzw. Strahlen gegeben sein, die sich in einem beliebigen Winkel schneiden.
  • Beide Geraden werden von zwei Parallelen geschnitten, allerdings darf keine davon durch den Schnittpunkt verlaufen.
  • Die Schnittpunkte der beiden Parallelen mit den beiden Strahlen bezeichnet man mit A und A' beziehungsweise B und B'.
  • Beim ersten Strahlensatz vergleicht man die Streckenabschnitte auf den Strahlen miteinander.
  • Der zweite Strahlensatz setzt die Streckenabschnitte auf den Parallelen ins Verhältnis zu den Streckenabschnitten auf einem Strahl.
  • Wenn der benötigte Strahlensatz klar ist, kann man, je nachdem, welche Strecken gegeben sind und welche Strecke gesucht ist, die Gleichung nach der gesuchten Strecke umformen, die gegebenen Werte einsetzen und so die Strecke berechnen.

Finales Strahlensätze Quiz

Frage

Wie heißen die Seiten eines Dreiecks, die den rechten Winkel einschließen?

Antwort anzeigen

Antwort

Beim rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel gleich 90°. Die beiden Seiten (hier: a und b), die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten. Die Hypotenuse (hier: c) liegt dem rechten Winkel gegenüber.

Frage anzeigen

Frage

Was besagt der Kongruenzsatz sws?

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem von den Seiten eingeschlossenen Zwischenwinkel übereinstimmen.

Frage anzeigen

Frage

Wie groß und land sind Winkel und Seiten bei einem gleichseitigen Dreieck?

Antwort anzeigen

Antwort

Im gleichseitigen Dreieck sind alle
Seiten gleich lang und alle Winkel
gleich groß.

Frage anzeigen

Frage

Was ist eine zentrische Streckung? 

Antwort anzeigen

Antwort

Eine zentrische Streckung mit Streckungszentrum Z und Streckungsfaktor k ist eine Abbildung, die alle Strecken einer Figur im gleichen Verhältnis vergrößert (k > 1) oder verkleinert (0 < k < 1), sodass eine zur Originalfigur ähnliche Figur entsteht

Frage anzeigen

Frage

Was gilt für die Abbildung von Strecken? 

Antwort anzeigen

Antwort

A'B' = k * AB
A'B' II AB


Frage anzeigen

Frage

Was gilt bei der zentrischen Streckung für den Flächeninhalt A?

Antwort anzeigen

Antwort

A' = k² * A

mit k = Streckungsfaktor 

Frage anzeigen

Frage

Was gilt bei der zentrischen Streckung für das Volumen V?

Antwort anzeigen

Antwort

V' = V * k³

mit k = Streckungsfaktor k 

Frage anzeigen

Frage

Strecke das Dreieck ABC mit dem Faktor k = 2
und berechne den Flächeninhalt A des Dreiecks.

g = 1,5 cm und h = 1 cm 

Antwort anzeigen

Antwort

A = (g * h) / 2
A = 1,5 cm * 1 cm / 2
A = 0,75 cm²


Gestreckte Fläche

A' = k² * A
A' = 2² * 0,75 cm²
A' = 3 cm²

Frage anzeigen

Frage

Wann gelten die Strahlensätze? 

Antwort anzeigen

Antwort

Gehen von einem gemeinsamen Punkt Z zwei Strahlen g und h aus, die von einem Parallelenpaar geschnitten werden, gelten die Strahlensätze

Frage anzeigen

Frage

Ein Quader hat die Maße a = 10 cm, b = 6 cm und c = 5 cm. Er wird mit k = 0,4 verkleinert. Berechne das Volumen des verkleinerten Quaders.

Antwort anzeigen

Antwort

V = a * b * c
V = 10 cm * 6 cm * 5 cm
V = 300 cm³

V' = k³ * V
V' = 0,4³ * 300 cm³
V' = 19,2 cm³

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Frage

Gib an, was die Voraussetzungen für die Anwendung des zweiten Strahlensatzes sind. 

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt zwei Voraussetzungen:


  1. Es müssen sich zwei Geraden oder zwei Strahlen an einem Punkt schneiden. Dieser Punkt wird als Punkt Z bezeichnet. 
  2. Außerdem ist es notwendig, dass die beiden Strahlen bzw. Geraden von zwei weiteren parallel zueinander verlaufenden Geraden geschnitten werden. Diese werden häufig als Geraden g und h bezeichnet. Dabei ist es wichtig, dass die Geraden g und h nicht durch den Punkt Z verlaufen.



Frage anzeigen

Frage

Bewerte folgende Aussage:

"Um den zweiten Strahlensatz anwenden zu können, ist es wichtig zu wissen, unter welchem Winkel sich die beiden Strahlen am Punkt Z schneiden."

Antwort anzeigen

Antwort

Die Aussage ist falsch. Die Größe des Winkels, unter dem sich die beiden Strahlen bzw. Geraden am Punkt Z schneiden, ist für die Anwendung des zweiten Strahlensatz nicht von Bedeutung.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, warum die beiden parallel verlaufenden Geraden g und h die beiden sich im Punkt Z schneidenden Strahlen bzw. Geraden nicht ebenfalls im Punkt Z schneiden dürfen.

Antwort anzeigen

Antwort

Würde eine der beiden Geraden g und h ebenfalls durch den Punkt Z verlaufen, so würde keine Parallelstrecke x zwischen den den beiden Strahlen entstehen. Deshalb kann der zweite Strahlensatz in einem solchen Fall nicht angewendet werden. 

Frage anzeigen

Frage

Vergleiche den ersten und zweiten Strahlensatz.


Antwort anzeigen

Antwort

Gemeinsamkeiten:

Die Voraussetzungen für die Anwendung des 1. und 2. Strahlensatzes dieselben. 


Unterschiede:

Beim ersten Strahlensatz werden die Teilstrecken auf den beiden sich im Punkt Z schneidenden Strahlen miteinander ins Verhältnis gesetzt. Die Länge der Parallelstrecken spielen beim ersten Strahlensatz keine Rolle. 


Im Gegensatz dazu werden beim zweiten Strahlensatz die Teilstrecken auf je einem Strahl mit den beiden Parallelstrecken ins Verhältnis gesetzt. 

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, warum es sich beim zweiten Strahlensatz um eine Verhältnisgleichung handelt.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Quotient zweier Größen wird als Verhältnis bezeichnet. In der Formel des zweiten Strahlensatzes werden zwei Verhältnisse miteinander gleichgesetzt

Der zweite Strahlensatz setzt verschiedene Strecken miteinander ins Verhältnis. 

Deshalb handelt es sich bei dem zweiten Strahlensatz um eine Verhältnisgleichung. 


Frage anzeigen

Frage

Fasse die wichtigsten Informationen zum ersten Strahlensatz kurz zusammen. 

Antwort anzeigen

Antwort

  • Der erste Strahlensatz ist eine Verhältnisgleichung in der Geometrie. Er kann genutzt werden, um die Länge einer unbekannten Strecke zu berechnen. 
  • Um den ersten Strahlensatz anwenden zu können, müssen sich zwei Strahlen bzw. Geraden in einem Punkt Z schneiden. Außerdem müssen sie von zwei weiteren Geraden, die parallel zueinander verlaufen, in den Punkten A, A', B und B' geschnitten werden.
  • Der erste Strahlensatz besagt: Das Verhältnis zwischen a und b genauso groß wie das Verhältnis zwischen a+a' und b+b'.
  • Der erste Strahlensatz kann umgekehrt werden und deshalb genutzt werden, um zu beurteilen, ob zwei Geraden parallel zueinander verlaufen. 
Frage anzeigen

Frage

Nenne die beiden Voraussetzungen für die Anwendung des ersten Strahlensatzes

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Zwei Geraden oder Strahlen müssen sich an einem Punkt Z schneiden. 
  2. Die beiden Strahlen bzw. Geraden werden von zwei weiteren parallel zueinander verlaufenden Geraden in den Punkten A, A', B und B' geschnitten.


Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wann man den ersten Strahlensatz und wann man den zweiten Strahlensatz verwendet. 

Antwort anzeigen

Antwort

Beim ersten Strahlensatz werden die Teilstrecken auf den beiden sich im Punkt Z schneidenden Strahlen miteinander ins Verhältnis gesetzt. Die Länge der Parallelstrecken spielen beim ersten Strahlensatz keine Rolle. Ist man an der Länge einer dieser Teilstrecke interessiert, dann bietet sich häufig die Verwendung des ersten Strahlensatzes an. 


Im Gegensatz dazu werden beim zweiten Strahlensatz die Teilstrecken auf je einem Strahl mit den beiden Parallelstrecken ins Verhältnis gesetzt. Möchtest du also die Länge einer der Parallelstrecken kennen, dann musst du in jedem Fall den zweiten Strahlensatz verwenden. 


Da der erste und der zweite Strahlensatz die gleichen Anwendungsvoraussetzungen haben, ist die Wahl des Strahlensatzes davon abhängig, welche Strecke man berechnen möchte und welche anderen Streckenlängen bekannt sind.

Frage anzeigen

Frage

Stelle die Gemeinsamkeiten des ersten und zweiten Strahlensatzes dar.

Antwort anzeigen

Antwort

Die beiden Strahlensätze haben die gleichen Anwendungsvoraussetzungen. 

Außerdem können sie dazu genutzt werden, die Länge von einer bisher unbekannten Strecke zu ermitteln

Frage anzeigen

Frage

Bewerte die folgende Aussage:

"Es ist ganz egal, an welcher Stelle die Geraden g und h die beiden sich im Punkt Z schneidenden Strahlen bzw. Geraden schneiden."

Antwort anzeigen

Antwort

Die Aussage ist falsch. Die Geraden g und h dürfen die Strahlen bzw. Geraden nicht im Punkt Z schneiden, da in diesem Fall keine Parallelstrecke zwischen den beiden Strahlen bzw. Geraden entsteht. 

Frage anzeigen

Frage

Beurteile folgende Aussage:

"Ein Strahl ist unendlich lang."

Antwort anzeigen

Antwort

Die Aussage ist richtig. Ein Strahl hat lediglich einen festen Startpunkt, aber keinen festen Endpunkt. Deshalb ist ein Strahl unendlich lang. 

Frage anzeigen

Frage

Erläutere die Grundidee des Beweises des ersten Strahlensatzes.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Grundidee des Beweises liegt darin, dass sich, wenn alle Voraussetzungen für die Anwendung des ersten Strahlensatzes erfüllt sind, zwei ähnliche Dreiecke ZAB und ZA'B' ergeben

Das Dreieck ZAB kann mithilfe des Streckfaktors k in das ihm ähnliche Dreieck ZA'B' überführt werden.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob der erste Strahlensatz umgekehrt werden kann.


Antwort anzeigen

Antwort

Ja, der erste Strahlensatz kann umgekehrt werden. 

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