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Drachenviereck

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Drachenviereck

Im Herbst siehst Du sie wieder fast überall: die Flugdrachen, mit denen sich so einige Kinder und Erwachsene bei windigem Wetter gerne vergnügen. In der Mathematik lernst du die Figur des ähnlich aussehenden Drachenvierecks noch einmal auf eine ganz andere Weise kennen.

Drachenviereck Flugdrache StudySmarter

Drachenviereck – Definition und Eigenschaften

Mathematisch betrachtet, hat das Drachenviereck viel mehr zu bieten, als das Kinderspielzeug Flugdrache. Was ein Drachenviereck so besonders macht, erfährst Du nun in den nächsten Abschnitten.

Drachenviereck Definition

Ein Drachenviereck ist ein ganz bestimmtes Viereck. Die Definition zeigt Dir seine Besonderheiten.

Ein Drachenviereck ist ein Viereck, das diese drei Eigenschaften erfüllt:

  • Je zwei anliegende Seiten sind gleich lang ()
  • Die beiden Diagonalen e und f stehen senkrecht aufeinander
  • Es ist achsensymmetrisch zu einer Diagonalen (e)

Drachenviereck Definition StudySmarter

Abbildung 1: Drachenviereck Definition

Drachenviereck Eigenschaften

Sehen wir uns die Eigenschaften nochmal genauer an.

Seitenlängen

Jeweils zwei anliegende Seitenlängen sind genau gleich lang. In diesem Beispiel sind also die Seiten a und d von der Länge identisch und auch die Seiten b und c sind gleich lang. Die Seiten bilden demnach zwei Seitenpaare (orange und blau).

Drachenviereck Seitenlängen StudySmarter

Abbildung 2: Drachenviereck Seitenlängen

Es gilt also und .

Winkel

Die beiden Winkel zwischen kurzer und langer Seite sind genau gleich groß ().

Drachenviereck Winkelgrößen StudySmarterAbbildung 3: Drachenviereck Winkel

In einem Drachenviereck ergibt das also jeweils, zwischen kurzer und langer Seite, zweimal den Winkel β.

Diagonale

Die Diagonalen des Drachenvierecks sind wichtig für dessen Form. Diese Eigenschaften solltest Du zu den Diagonalen kennen:

  • Die Diagonalen e und f stehen senkrecht aufeinander und schließen einen rechten Winkel ein.
  • Die Diagonale e ist zugleich Symmetrieachse des Drachenvierecks und teilt es in zwei kongruente Dreiecke (siehe unten).
  • Demnach teilt die Diagonale e auch die Strecke der Diagonale f in zwei gleich große Abschnitte und halbiert die beiden Winkel α und γ genau mittig.

Drachenviereck Diagonalen StudySmarterAbbildung 4: Drachenviereck Diagonalen

Achsensymmetrie

Das Drachenviereck ist achsensymmetrisch zur längeren der Diagonalen. Es kann also an der Diagonale e gespiegelt werden.

Die Symmetrieachse beziehungsweiße Diagonale e teilt das Drachenviereck in zwei gleich große, kongruente Dreiecke ABC und ACD.

Drachenviereck Achsensymmetrie StudysmarterAbbildung 5: Drachenviereck Achsensymmetrie

Überblick - Eigenschaften des Drachenvierecks

Drachenviereck Überblick StudySmarterAbbildung 6: Drachenviereck Überblick

Seitenlängen:

Winkelgrößen:

Diagonalen: Senkrecht aufeinander;

Diagonale e halbiert die Winkel α und γ, sowie die Diagonale f

Achsensymmetrie: Achsensymmetrisch zur längeren Diagonale e

Drachenviereck konstruieren

Du kannst ein Drachenviereck auf viele verschiedene Arten konstruieren. Dabei nutzt Du immer die Maße, die Dir gegeben sind.

Aufgabe 7

Gegeben sind die Seite , und . Zeichne das passende Drachenviereck ABCD.

Lösung

Schritt 1:

Beginne zunächst immer mit einer Planfigur. Diese muss nicht maßstabsgetreu sein, aber alle Bezeichnungen des allgemeinen Drachenvierecks richtig wiedergeben.

Drachenviereck Planfigur Drachenviereck StudySmarterAbbildung 7: Planfigur

Schritt 2:

Anhand der Planfigur erkennst Du, welche Größen Du gegeben hast und wie diese zusammenhängen. Starte dann mit der Zeichnung.

ZeichnungErklärung

Drachenviereck konstruieren Schritt 1 StudySmarterAbbildung 8: Schritt 1

Zeichne die Strecke a in Dein Heft.

Drachenviereck konstruieren Schritt 2 StudySmarterAbbildung 9: Schritt 2

Messe dann mithilfe Deines Geodreiecks den gegebenen Winkel von am Punkt B ab.

Drachenviereck konstruieren Schritt 3 StudySmarterAbbildung 10: Schritt 3

Steche nun mit Deinem Zirkel am Punkt B ein und konstruiere einen Kreis mit der Länge der gegebenen Strecke .

Drachenviereck konstruieren Schritt 4 StudySmarterAbbildung 11: Schritt 4

An dem Punkt, an dem sich die Linie und der Kreis schneiden, befindet sich Punkt C.

Drachenviereck konstruieren Schritt 5 StudySmarterAbbildung 12: Schritt 5

Anschließend verbindest Du die Punkte C und A zu einer Diagonalen.An dieser Diagonalen legst Du dein Geodreieck im 90°-Winkel an und fällst ein Lot zur Diagonalen durch den Punkt B.

Drachenviereck konstruieren Schritt 6 StudySmarterAbbildung 13: Schritt 6

Nutze deinen Zirkel ein weiteres Mal, indem Du bei A einstichst und einen Kreis mit dem Radius einzeichnest.

Drachenviereck konstruieren Schritt 7 StudySmarterAbbildung 14: Schritt 7

Der Schnittpunkt ergibt den Punkt D.

Drachenviereck konstruieren Schritt 8 StudySmarterAbbildung 15: Schritt 8

Den Punkt D musst Du jetzt nur noch mit A und C verbinden.

Damit hast Du dieses Drachenviereck gezeichnet. Super!

Flächeninhalt Drachenviereck berechnen – Formel

Wie Du bestimmt bereits gemerkt hast, nehmen die Diagonalen eine zentrale Rolle im Drachenviereck ein. So sind sie auch von Bedeutung bei der Berechnung des Flächeninhalts des Drachenvierecks.

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts A des Drachenvierecks lautet im Allgemeinen...

Drachenviereck Drachenviereck Flächeninhalt Studysmarter

e,f = Diagonalen des Drachenvierecks

Um den Flächeninhalt A eines Drachenvierecks zu berechnen, musst Du nur noch die gegebenen Größen für die beiden Diagonalen e und f in die Formel einsetzen.

Aufgabe 1

Gegeben ist ein Drachenviereck ABCD und dessen Diagonalen und . Wie groß ist der Flächeninhalt A des Vierecks ABCD?

Lösung

Gehe dabei in diesen zwei einfachen Schritten vor.

Schritt 1:

Stelle die Formel für den Flächeninhalt A des Drachenvierecks auf. Diese lernst Du am besten auswendig.

Schritt 2:

Setze die Längen der Diagonalen und in die Formel ein und berechne den Wert des Flächeninhalts.

Der Flächeninhalt A dieses Drachenvierecks beträgt 14 cm2.

Um mehr über den Flächeninhalt des Drachenvierecks und dessen Herleitung zu erfahren, sieh dir den Artikel Flächeninhalt Drachenviereck an.

Drachenviereck Umfang berechnen – Formel

Zur Berechnung des Umfangs eines Drachenviereks sollten Dir die Eigenschaften zu den Seitenlängen des Drachenvierecks ein Begriff sein. Denn der Umfang U gibt die Länge des Seitenrandes einer Figur an.

Drachenviereck Umfang StudySmarterAbbildung 16: Drachenviereck Umfang

Legst Du um das gesamte Drachenviereck, also einmal komplett außenrum, eine Schnur und misst dann ihre Länge, kommt Folgendes zur Länge der Schnur beziehungsweise zum Umfang U des Vierecks heraus:

Erinnere Dich jedoch wieder an die Eigenschaften, denn die Seiten a und d, sowie b und c sind genau gleich lang. Deshalb sieht die Formel zur Umfangsberechnung so aus:

Die Formel zur Berechnung des Umfangs U eines allgemeinen Drachenvierecks lautet...

Drachenviereck Umfang StudySmarter

a, b = Seitenlängen des Drachenvierecks.

Rechne das Ganze anhand eines Beispiels einmal selbst durch.

Aufgabe 2

Gegeben ist das folgende Drachenviereck ABCD mit seinen Seitenlängen und .

Berechne den Umfang U dieses Vierecks.

Drachenviereck Aufgabe StudySmarterAbbildung 17: Drachenviereck Aufgabe Umfang

Lösung

In zwei Schritten bist Du am Ziel.

1. Schritt:

Stelle die Formel für den Umfang eines Drachenvierecks auf. Diese solltest Du Dir am besten auswendig lernen oder herleiten können (Umfang ist so lang wie eine Schnur um das gesamte Viereck).

In diesem Beispiel ist nur die Strecke c gegeben. Da aber die Strecken b und c gleich lang sind, kannst du in der Formel auch b durch c ersetzen.

2. Schritt:

Setze die gegebenen Werte in die Formel ein und berechne den Umfang U.

Der Umfang U dieses Drachenvierecks beträgt 16 cm.

Auch hierzu gibt es nochmal einen detaillierten Artikel "Umfang Drachenviereck" zum genaueren Nachlesen.

Drachenviereck Diagonale berechnen – Formel

Zu den Eigenschaften der Diagonalen solltest Du dir nochmal den oberen Abschnitt durchlesen. Diese Eigenschaften sind die Grundlage zum Lösen der verschiedensten Rechenaufgaben zu den Diagonalen des Drachenvierecks.

Es gibt viele verschiedene Variationen an Aufgaben zur Diagonalen. Die wichtigsten werden hier anhand von Beispielen behandelt.

Drachenviereck Überblick StudySmarterAbbildung 18: Drachenviereck Überblick

Für alle folgenden Beispielaufgaben gilt modellhaft dieses Drachenviereck.

Aufgabe 3

Gegeben ist das Drachenviereck ABCD, sein Flächeninhalt und eine der Diagonalen .

Wie lang ist die zweite Diagonale f?

Lösung

Zunächst sollten Dir die Zusammenhänge der gegebenen Größen im Drachenviereck klar sein.

In diesem Fall hängen der Flächeninhalt und die gesuchte Diagonale über die Berechnungsformel des Flächeninhalts zusammen. Diese lautet...

Die Formel kannst Du jetzt nach der gesuchten Größe umstellen.

Dann ist der Weg nicht mehr weit, Du musst nur noch die bereits gegebenen Größen einsetzen und den Wert der Diagonale berechnen.

Die Diagonale f ist 5 Zentimeter lang.

Aufgabe 4

Gegeben ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC und die Länge der Diagonale .

Wie lang ist die Diagonale f?

Lösung

Hierbei machst Du Dir die Eigenschaft zu Nutze, dass die Diagonale e das Drachenviereck in zwei kongruente Dreiecke schneidet und außerdem die Diagonale f genau mittig halbiert.

Schaue Dir also in diesem Fall zu Beginn nur das Dreieck ABC an, um die Aufgabe zu lösen.

Drachenviereck Aufgabe StudySmarterAbbildung 19: Drachenviereck Aufgabe Diagonale

Der Flächeninhalt eines Dreiecks wird mithilfe dieser Formel berechnet:

Die Höhe eines Dreiecks zu einer bestimmten Seite (hier e) ist dabei immer das senkrechte Lot zur Seite, dass durch den gegenüberliegenden Punkt verläuft. In diesem Fall steht die Hälfte der Strecke f senkrecht auf e und geht durch den Punkt B. Das heißt die Höhe lautet .

Diese Formel muss jetzt nur noch nach der gesuchten Größe (f) umgestellt werden.

Jetzt musst Du nur noch alle Werte einsetzen und f berechnen.

Die Diagonale f besitzt eine Länge von 6 cm.

Weitere wichtige Rechenaufgaben zu den Diagonalen des Drachenvierecks findest du im Artikel "Diagonale Drachenviereck".

Seitenlänge Drachenviereck berechnen – Formel

Auch hierzu ist das Basiswissen aus dem oberen Abschnitt zu den Seitenlängenpaaren wichtig. Lese Dir das nochmal durch, erst dann solltest Du Dich den folgenden Aufgaben zuwenden. Bei diesem Thema findest Du ebenfalls mehr Infos im eigenständigen Artikel "Seitenlänge Drachenviereck", jedoch werden hier die wichtigsten Aufgabentypen behandelt.

Drachenviereck Überblick StudySmarterAbbildung 20: Drachenviereck Überblick

Alle wichtigen Größen beziehen sich von der Aufteilung her auf dieses Drachenviereck.

Aufgabe 5

Gegeben sind die Größen , , und der Umfang .

Berechne alle fehlenden Größen (b,c,d,f).

Lösung

Schritt 1:

Es handelt sich um ein Drachenviereck, das heißt es gilt das Seitenlängenpaar . Damit ist ...

Schritt 2:

Um f zu erhalten, musst du die Gleichung umstellen.

Schritt 3:

Nun fehlen noch die Größen b und c. Hier musst Du den Umfang U heranziehen. Die Formel für den Umfang des Drachenvierecks lautet...

Stelle die Formel nach der gesuchten Größe b um und setze alles gegebene ein.

Da b und c gleich lang sind gilt für c ebenfalls .

Somit sind alle fehlenden Größen gefunden. Super!

Aufgabe 6

Gegeben ist der Winkel und die Seite .

Berechne die Länge der Seite c.

Lösung

Bei diesen typischen Aufgabentypen zum Drachenviereck ist das Teilgebiet der Trigonometrie von Bedeutung. Sollte Dir das nicht mehr so viel sagen, mache Dich im Artikel Trigonometrie noch einmal schlau.

Drachenviereck Überblick StudySmarterAbbildung 21: Drachenviereck Aufgabe Seitenlängen

Bei dieser Aufgabe ist das Dreieck CDM von Bedeutung. Es ist ein rechtwinkliges Dreieck, hier kann also mit Sinus, Kosinus und Tangens gerechnet werden.

Und genau das nutzt Du auch aus:

  • Du kennst den Winkel γ, der durch e genau halbiert wird.
  • Die Strecke ist in diesem Dreieck die Gegenkathete des Winkel γ. Du kannst sie Dir ausrechnen, da die Länge der Strecke f gegeben ist.

Um jetzt c zu bekommen, hilft Dir der Sinus, denn für diesen gilt...

Das entspricht in diesem Beispiel...

Jetzt muss nur noch umgestellt, eingesetzt und berechnet werden.

Die Seite c hat also eine Länge von 6 cm.

Weitere Beispielaufgaben findest du in den Übungen und Flashcards.

Drachenviereck – Das Wichtigste

  • Ein Drachenviereck ist ein Viereck, das diese drei Eigenschaften erfüllt:
  • Je zwei anliegende Seiten sind gleich lang ()
  • Die beiden Diagonalen e und f stehen senkrecht aufeinander
  • Es ist achsensymmetrisch zu einer Diagonale (e)
  • Jedes Drachenviereck besitzt folgende Eigenschaften (exemplarisch anhand dieses Drachenvierecks):Drachenviereck Eigenschaften StudySmarter
  • Seitenlängen:
  • Winkelgrößen:
  • Diagonalen:Senkrecht aufeinander;

    Diagonale e halbiert die Winkel α und γ, sowie die Diagonale f

  • Achsensymmetrie: Achsensymmetrisch zur längeren Diagonale e

  • Der Flächeninhalt A des Drachenvierecks lautet im Allgemeinen: (e, f = Diagonalen des Drachenvierecks)
  • Der Umfang eines allgemeinen Drachenvierecks lautet: (a, b = Seitenlängen des Drachenvierecks)

Häufig gestellte Fragen zum Thema Drachenviereck

Ein Drachenviereck hat folgende Eigenschaften:

  • Je zwei anliegende Seiten sind gleich lang (a = d und b = c)
  • Die beiden Diagonalen e und f stehen senkrecht aufeinander.
  • Die Winkel zwischen kurzer und langer Seite sind jeweils gleich groß.
  • Es ist achsensymmetrisch zur längeren Diagonale (e)

Ein Drachenviereck ist ein Viereck, definiert durch folgende Eigenschaften:

  • Je zwei anliegende Seiten sind gleich lang (a = d und b = c)
  • Die beiden Diagonalen e und f stehen senkrecht aufeinander
  • Es ist achsensymmetrisch zu einer Diagonale (e)

Die Raute ist eine besondere Form des Drachenvierecks, bei dem nicht nur jeweils zwei Seiten, sondern alle Seiten gleich lang sind.

Bei einem Drachenviereck sind die beiden Winkel jeweils zwischen kurzer und langer Seite gleich groß.

Finales Drachenviereck Quiz

Frage

Wie ist ein Drachenviereck definiert?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Drachenviereck ist ein Viereck, das diese drei Eigenschaften erfüllt:

  • Je zwei anliegende Seiten sind gleich lang ()
  • Die beiden Diagonalen e und f stehen senkrecht aufeinander
  • Es ist achsensymmetrisch zu einer Diagonale (e)
Frage anzeigen

Frage

Was gilt in diesem Drachenviereck für die Seitenlängen und Winkel?


Antwort anzeigen

Antwort

Die Seitenlängen a und d, sowie b und c sind gleich lang.



Die Winkelmaße  sind gleich groß.



Frage anzeigen

Frage

Von einem Dreieck ABCD sind folgende Maße gegeben:


-

-


Wie groß ist der Umfang?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Formel zur Berechnung des Umfangs des Drachenvierecks lautet:



Die kürzere Strecke a oder d ist 6 cm lang. b ist mit 13 cm gegeben. Du musst also nur noch einsetzen.



Frage anzeigen

Frage


Gegeben sind die Strecken  und . Berechne den Flächeninhalt!

Antwort anzeigen

Antwort

Die Formel für den Flächeninhalt eines Drachenvierecks lautet...



Die Werte für e und f musst Du jetzt nur noch in diese Gleichung einsetzen und den Flächeninhalt berechnen.



Frage anzeigen

Frage

Besitzt ein Drachenviereck Punkt- oder Achsensymmetrie?

Antwort anzeigen

Antwort

Das Drachenviereck ist achsensymmetrisch zur Längeren der Diagonalen e.

Es besitzt keine Punktsymmetrie.

Frage anzeigen

Frage

In einem Drachenviereck ABCD sind gegeben: 

 


Berechne den Winkel .


Antwort anzeigen

Antwort

Das Dreieck MCD ist rechtwinklig, somit gelten hier alle trigonometrischen Grundsätze. (M=Schnittpunkt von e und f)

Du hast in der Angabe die Länge der Hypothenuse c und indirekt die Länge der Gegenkathete  gegeben.




Damit kannst Du den Sinus anwenden, um  zu erhalten.

 


Frage anzeigen

Frage

Du möchtest selbst einen Flugdrachen bauen. 

Zur Verfügung hast du  Stoff und einen Stock mit 17cm Länge.


Welche Länge muss der zweite Stock haben, um einen korrekten Drachen zu erhalten?


Antwort anzeigen

Antwort

Gegeben ist der Flächeninhalt des Dreiecks als Stoff, den Du zu Verfügung hast  und eine Diagonale e.


Mithilfe der Formel zur Berechnung des Flächeninhalts, kannst Du auch die zweite Diagonale berechnen.



Du musst sie nur noch umstellen, nach der fehlenden Diagonale f auflösen und die gegebenen Werte einsetzen.


Frage anzeigen

Frage

Welche Eigenschaften haben die Diagonalen eines Drachenvierecks?

Antwort anzeigen

Antwort

Diese Eigenschaften solltest Du zu den Diagonalen kennen:

  • Die Diagonalen e und f stehen senkrecht aufeinander und bilden einen rechten Winkel.
  • Die Diagonale e ist zugleich Symmetrieachse des Drachenvierecks und teilt es in zwei kongruente Dreiecke (siehe unten).
  • Demnach teilt die Diagonale e auch die Strecke der Diagonale f in zwei gleich große Abschnitte und halbiert die beiden Winkel α und γ genau mittig.
Frage anzeigen

Frage

Um deinen Drachen auszumessen nimmst Du eine Schnur und legst sie einmal um die gesamte Form des Drachens herum aus.

Danach misst du sie. Sie ist 25cm lang.


Von deinem Vater weißt du außerdem, dass zwei Seiten des Drachens 1,5-mal so lang sind, wie die anderen beiden.


Wie lang sind die Seiten des Drachens?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Länge der Schnur gibt den Umfang  des Drachens an.


Außerdem gilt für die Seitenlängen, dass die längere Seite .


All das kannst Du jetzt in die Formel für den Umfang einsetzen und nach der Länge der gesuchten Seite auflösen.



Nachdem , gilt für .


Damit sind a und d 5cm lang. Die Länge von b und c beträgt 7,5cm-

Frage anzeigen

Frage

Die Formel für den Flächeninhalt eines Drachenvierecks lautet...

Antwort anzeigen

Antwort


Frage anzeigen
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