Im Herbst siehst Du sie wieder fast überall: die Flugdrachen, mit denen sich so einige Kinder und Erwachsene bei windigem Wetter gerne vergnügen. In der Mathematik lernst du die Figur des ähnlich aussehenden Drachenvierecks noch einmal auf eine ganz andere Weise kennen.
Drachenviereck – Definition und Eigenschaften
Mathematisch betrachtet, hat das Drachenviereck viel mehr zu bieten, als das Kinderspielzeug Flugdrache. Was ein Drachenviereck so besonders macht, erfährst Du nun in den nächsten Abschnitten.
Drachenviereck Definition
Ein Drachenviereck ist ein ganz bestimmtes Viereck. Die Definition zeigt Dir seine Besonderheiten.
Ein Drachenviereck ist ein Viereck, das diese drei Eigenschaften erfüllt:
- Je zwei anliegende Seiten sind gleich lang ()
- Die beiden Diagonalen e und f stehen senkrecht aufeinander
- Es ist achsensymmetrisch zu einer Diagonalen (e)
Abbildung 1: Drachenviereck Definition
Drachenviereck Eigenschaften
Sehen wir uns die Eigenschaften nochmal genauer an.
Seitenlängen
Jeweils zwei anliegende Seitenlängen sind genau gleich lang. In diesem Beispiel sind also die Seiten a und d von der Länge identisch und auch die Seiten b und c sind gleich lang. Die Seiten bilden demnach zwei Seitenpaare (orange und blau).
Abbildung 2: Drachenviereck Seitenlängen
Es gilt also und .
Winkel
Die beiden Winkel zwischen kurzer und langer Seite sind genau gleich groß ().
Abbildung 3: Drachenviereck Winkel
In einem Drachenviereck ergibt das also jeweils, zwischen kurzer und langer Seite, zweimal den Winkel β.
Diagonale
Die Diagonalen des Drachenvierecks sind wichtig für dessen Form. Diese Eigenschaften solltest Du zu den Diagonalen kennen:
- Die Diagonalen e und f stehen senkrecht aufeinander und schließen einen rechten Winkel ein.
- Die Diagonale e ist zugleich Symmetrieachse des Drachenvierecks und teilt es in zwei kongruente Dreiecke (siehe unten).
- Demnach teilt die Diagonale e auch die Strecke der Diagonale f in zwei gleich große Abschnitte und halbiert die beiden Winkel α und γ genau mittig.
Abbildung 4: Drachenviereck Diagonalen
Achsensymmetrie
Das Drachenviereck ist achsensymmetrisch zur längeren der Diagonalen. Es kann also an der Diagonale e gespiegelt werden.
Die Symmetrieachse beziehungsweiße Diagonale e teilt das Drachenviereck in zwei gleich große, kongruente Dreiecke ABC und ACD.
Abbildung 5: Drachenviereck Achsensymmetrie
Überblick - Eigenschaften des Drachenvierecks |
 Abbildung 6: Drachenviereck Überblick
|
Seitenlängen: |
Winkelgrößen: |
Diagonalen: Senkrecht aufeinander; Diagonale e halbiert die Winkel α und γ, sowie die Diagonale f |
Achsensymmetrie: Achsensymmetrisch zur längeren Diagonale e |
Drachenviereck konstruieren
Du kannst ein Drachenviereck auf viele verschiedene Arten konstruieren. Dabei nutzt Du immer die Maße, die Dir gegeben sind.
Aufgabe 7
Gegeben sind die Seite , und . Zeichne das passende Drachenviereck ABCD.
Lösung
Schritt 1:
Beginne zunächst immer mit einer Planfigur. Diese muss nicht maßstabsgetreu sein, aber alle Bezeichnungen des allgemeinen Drachenvierecks richtig wiedergeben.
Abbildung 7: Planfigur
Schritt 2:
Anhand der Planfigur erkennst Du, welche Größen Du gegeben hast und wie diese zusammenhängen. Starte dann mit der Zeichnung.
| Zeichnung | Erklärung |
 Abbildung 8: Schritt 1
| Zeichne die Strecke a in Dein Heft. |
 Abbildung 9: Schritt 2
| Messe dann mithilfe Deines Geodreiecks den gegebenen Winkel von am Punkt B ab. |
 Abbildung 10: Schritt 3
| Steche nun mit Deinem Zirkel am Punkt B ein und konstruiere einen Kreis mit der Länge der gegebenen Strecke . |
 Abbildung 11: Schritt 4
| An dem Punkt, an dem sich die Linie und der Kreis schneiden, befindet sich Punkt C. |
 Abbildung 12: Schritt 5
| Anschließend verbindest Du die Punkte C und A zu einer Diagonalen.An dieser Diagonalen legst Du Dein Geodreieck im 90°-Winkel an und fällst ein Lot zur Diagonalen durch den Punkt B. |
 Abbildung 13: Schritt 6
| Nutze Deinen Zirkel ein weiteres Mal, indem Du bei A einstichst und einen Kreis mit dem Radius einzeichnest. |
 Abbildung 14: Schritt 7
| Der Schnittpunkt ergibt den Punkt D. |
 Abbildung 15: Schritt 8
| Den Punkt D musst Du jetzt nur noch mit A und C verbinden. |
Damit hast Du dieses Drachenviereck gezeichnet. Super!
Flächeninhalt Drachenviereck berechnen – Formel
Wie Du bestimmt bereits gemerkt hast, nehmen die Diagonalen eine zentrale Rolle im Drachenviereck ein. So sind sie auch von Bedeutung bei der Berechnung des Flächeninhalts des Drachenvierecks.
Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts A des Drachenvierecks lautet im Allgemeinen...
e,f = Diagonalen des Drachenvierecks
Um den Flächeninhalt A eines Drachenvierecks zu berechnen, musst Du nur noch die gegebenen Größen für die beiden Diagonalen e und f in die Formel einsetzen.
Aufgabe 1
Gegeben ist ein Drachenviereck ABCD und dessen Diagonalen und . Wie groß ist der Flächeninhalt A des Vierecks ABCD?
Lösung
Gehe dabei in diesen zwei einfachen Schritten vor.
Schritt 1:
Stelle die Formel für den Flächeninhalt A des Drachenvierecks auf. Diese lernst Du am besten auswendig.
Schritt 2:
Setze die Längen der Diagonalen und in die Formel ein und berechne den Wert des Flächeninhalts.
Der Flächeninhalt A dieses Drachenvierecks beträgt 14 cm2.
Um mehr über den Flächeninhalt des Drachenvierecks und dessen Herleitung zu erfahren, sieh dir den Artikel Flächeninhalt Drachenviereck an.
Drachenviereck Umfang berechnen – Formel
Zur Berechnung des Umfangs eines Drachenviereks sollten Dir die Eigenschaften zu den Seitenlängen des Drachenvierecks ein Begriff sein. Denn der Umfang U gibt die Länge des Seitenrandes einer Figur an.
Abbildung 16: Drachenviereck Umfang
Legst Du um das gesamte Drachenviereck, also einmal komplett außenrum, eine Schnur und misst dann ihre Länge, kommt Folgendes zur Länge der Schnur beziehungsweise zum Umfang U des Vierecks heraus:
Erinnere Dich jedoch wieder an die Eigenschaften, denn die Seiten a und d, sowie b und c sind genau gleich lang. Deshalb sieht die Formel zur Umfangsberechnung so aus:
Die Formel zur Berechnung des Umfangs U eines allgemeinen Drachenvierecks lautet...
a, b = Seitenlängen des Drachenvierecks.
Rechne das Ganze anhand eines Beispiels einmal selbst durch.
Aufgabe 2
Gegeben ist das folgende Drachenviereck ABCD mit seinen Seitenlängen und .
Berechne den Umfang U dieses Vierecks.
Abbildung 17: Drachenviereck Aufgabe Umfang
Lösung
In zwei Schritten bist Du am Ziel.
1. Schritt:
Stelle die Formel für den Umfang eines Drachenvierecks auf. Diese solltest Du Dir am besten auswendig lernen oder herleiten können (Umfang ist so lang wie eine Schnur um das gesamte Viereck).
In diesem Beispiel ist nur die Strecke c gegeben. Da aber die Strecken b und c gleich lang sind, kannst du in der Formel auch b durch c ersetzen.
2. Schritt:
Setze die gegebenen Werte in die Formel ein und berechne den Umfang U.
Der Umfang U dieses Drachenvierecks beträgt 16 cm.
Auch hierzu gibt es nochmal einen detaillierten Artikel "Umfang Drachenviereck" zum genaueren Nachlesen.
Drachenviereck Diagonale berechnen – Formel
Zu den Eigenschaften der Diagonalen solltest Du dir nochmal den oberen Abschnitt durchlesen. Diese Eigenschaften sind die Grundlage zum Lösen der verschiedensten Rechenaufgaben zu den Diagonalen des Drachenvierecks.
Es gibt viele verschiedene Variationen an Aufgaben zur Diagonalen. Die wichtigsten werden hier anhand von Beispielen behandelt.
Abbildung 18: Drachenviereck Überblick
Für alle folgenden Beispielaufgaben gilt modellhaft dieses Drachenviereck.
Aufgabe 3
Gegeben ist das Drachenviereck ABCD, sein Flächeninhalt und eine der Diagonalen .
Wie lang ist die zweite Diagonale f?
Lösung
Zunächst sollten Dir die Zusammenhänge der gegebenen Größen im Drachenviereck klar sein.
In diesem Fall hängen der Flächeninhalt und die gesuchte Diagonale über die Berechnungsformel des Flächeninhalts zusammen. Diese lautet...
Die Formel kannst Du jetzt nach der gesuchten Größe umstellen.
Dann ist der Weg nicht mehr weit, Du musst nur noch die bereits gegebenen Größen einsetzen und den Wert der Diagonale berechnen.
Die Diagonale f ist 5 Zentimeter lang.
Aufgabe 4
Gegeben ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC und die Länge der Diagonale .
Wie lang ist die Diagonale f?
Lösung
Hierbei machst Du Dir die Eigenschaft zu Nutze, dass die Diagonale e das Drachenviereck in zwei kongruente Dreiecke schneidet und außerdem die Diagonale f genau mittig halbiert.
Schaue Dir also in diesem Fall zu Beginn nur das Dreieck ABC an, um die Aufgabe zu lösen.
Abbildung 19: Drachenviereck Aufgabe Diagonale
Der Flächeninhalt eines Dreiecks wird mithilfe dieser Formel berechnet:
Die Höhe eines Dreiecks zu einer bestimmten Seite (hier e) ist dabei immer das senkrechte Lot zur Seite, dass durch den gegenüberliegenden Punkt verläuft. In diesem Fall steht die Hälfte der Strecke f senkrecht auf e und geht durch den Punkt B. Das heißt die Höhe lautet .
Diese Formel muss jetzt nur noch nach der gesuchten Größe (f) umgestellt werden.
Jetzt musst Du nur noch alle Werte einsetzen und f berechnen.
Die Diagonale f besitzt eine Länge von 6 cm.
Weitere wichtige Rechenaufgaben zu den Diagonalen des Drachenvierecks findest du im Artikel "Diagonale Drachenviereck".
Seitenlänge Drachenviereck berechnen – Formel
Auch hierzu ist das Basiswissen aus dem oberen Abschnitt zu den Seitenlängenpaaren wichtig. Lese Dir das nochmal durch, erst dann solltest Du Dich den folgenden Aufgaben zuwenden. Bei diesem Thema findest Du ebenfalls mehr Infos im eigenständigen Artikel "Seitenlänge Drachenviereck", jedoch werden hier die wichtigsten Aufgabentypen behandelt.
Abbildung 20: Drachenviereck Überblick
Alle wichtigen Größen beziehen sich von der Aufteilung her auf dieses Drachenviereck.
Aufgabe 5
Gegeben sind die Größen , , und der Umfang .
Berechne alle fehlenden Größen (b,c,d,f).
Lösung
Schritt 1:
Es handelt sich um ein Drachenviereck, das heißt es gilt das Seitenlängenpaar . Damit ist ...
Schritt 2:
Um f zu erhalten, musst du die Gleichung umstellen.
Schritt 3:
Nun fehlen noch die Größen b und c. Hier musst Du den Umfang U heranziehen. Die Formel für den Umfang des Drachenvierecks lautet...
Stelle die Formel nach der gesuchten Größe b um und setze alles gegebene ein.
Da b und c gleich lang sind gilt für c ebenfalls .
Somit sind alle fehlenden Größen gefunden. Super!
Aufgabe 6
Gegeben ist der Winkel und die Seite .
Berechne die Länge der Seite c.
Lösung
Bei diesen typischen Aufgabentypen zum Drachenviereck ist das Teilgebiet der Trigonometrie von Bedeutung. Sollte Dir das nicht mehr so viel sagen, mache Dich im Artikel Trigonometrie noch einmal schlau.
Abbildung 21: Drachenviereck Aufgabe Seitenlängen
Bei dieser Aufgabe ist das Dreieck CDM von Bedeutung. Es ist ein rechtwinkliges Dreieck, hier kann also mit Sinus, Kosinus und Tangens gerechnet werden.
Und genau das nutzt Du auch aus:
- Du kennst den Winkel γ, der durch e genau halbiert wird.
- Die Strecke ist in diesem Dreieck die Gegenkathete des Winkel γ. Du kannst sie Dir ausrechnen, da die Länge der Strecke f gegeben ist.
Um jetzt c zu bekommen, hilft Dir der Sinus, denn für diesen gilt...
Das entspricht in diesem Beispiel...
Jetzt muss nur noch umgestellt, eingesetzt und berechnet werden.
Die Seite c hat also eine Länge von 6 cm.
Weitere Beispielaufgaben findest du in den Übungen und Flashcards.
Drachenviereck – Das Wichtigste
- Ein Drachenviereck ist ein Viereck, das diese drei Eigenschaften erfüllt:
- Je zwei anliegende Seiten sind gleich lang ()
- Die beiden Diagonalen e und f stehen senkrecht aufeinander
- Es ist achsensymmetrisch zu einer Diagonale (e)
- Jedes Drachenviereck besitzt folgende Eigenschaften (exemplarisch anhand dieses Drachenvierecks):
- Seitenlängen:
- Winkelgrößen:
- Diagonalen:Senkrecht aufeinander;
Diagonale e halbiert die Winkel α und γ, sowie die Diagonale f
Achsensymmetrie: Achsensymmetrisch zur längeren Diagonale e
- Der Flächeninhalt A des Drachenvierecks lautet im Allgemeinen: (e, f = Diagonalen des Drachenvierecks)
- Der Umfang eines allgemeinen Drachenvierecks lautet: (a, b = Seitenlängen des Drachenvierecks)
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