Drachenviereck

Im Herbst siehst Du sie wieder fast überall: die Flugdrachen, mit denen sich so einige Kinder und Erwachsene bei windigem Wetter gerne vergnügen. In der Mathematik lernst du die Figur des ähnlich aussehenden Drachenvierecks noch einmal auf eine ganz andere Weise kennen.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe
    Drachenviereck Flugdrache StudySmarter

    Drachenviereck – Definition und Eigenschaften

    Mathematisch betrachtet, hat das Drachenviereck viel mehr zu bieten, als das Kinderspielzeug Flugdrache. Was ein Drachenviereck so besonders macht, erfährst Du nun in den nächsten Abschnitten.

    Drachenviereck Definition

    Ein Drachenviereck ist ein ganz bestimmtes Viereck. Die Definition zeigt Dir seine Besonderheiten.

    Ein Drachenviereck ist ein Viereck, das diese drei Eigenschaften erfüllt:

    • Je zwei anliegende Seiten sind gleich lang (a=d, b=c)
    • Die beiden Diagonalen e und f stehen senkrecht aufeinander
    • Es ist achsensymmetrisch zu einer Diagonalen (e)

    Drachenviereck Definition StudySmarter

    Abbildung 1: Drachenviereck Definition

    Drachenviereck Eigenschaften

    Sehen wir uns die Eigenschaften nochmal genauer an.

    Seitenlängen

    Jeweils zwei anliegende Seitenlängen sind genau gleich lang. In diesem Beispiel sind also die Seiten a und d von der Länge identisch und auch die Seiten b und c sind gleich lang. Die Seiten bilden demnach zwei Seitenpaare (orange und blau).

    Drachenviereck Seitenlängen StudySmarter

    Abbildung 2: Drachenviereck Seitenlängen

    Es gilt also a=d und b=c.

    Winkel

    Die beiden Winkel zwischen kurzer und langer Seite sind genau gleich groß (β=δ).

    Drachenviereck Winkelgrößen StudySmarterAbbildung 3: Drachenviereck Winkel

    In einem Drachenviereck ergibt das also jeweils, zwischen kurzer und langer Seite, zweimal den Winkel β.

    Diagonale

    Die Diagonalen des Drachenvierecks sind wichtig für dessen Form. Diese Eigenschaften solltest Du zu den Diagonalen kennen:

    • Die Diagonalen e und f stehen senkrecht aufeinander und schließen einen rechten Winkel ein.
    • Die Diagonale e ist zugleich Symmetrieachse des Drachenvierecks und teilt es in zwei kongruente Dreiecke (siehe unten).
    • Demnach teilt die Diagonale e auch die Strecke der Diagonale f in zwei gleich große Abschnitte und halbiert die beiden Winkel α und γ genau mittig.

    Drachenviereck Diagonalen StudySmarterAbbildung 4: Drachenviereck Diagonalen

    Achsensymmetrie

    Das Drachenviereck ist achsensymmetrisch zur längeren der Diagonalen. Es kann also an der Diagonale e gespiegelt werden.

    Die Symmetrieachse beziehungsweiße Diagonale e teilt das Drachenviereck in zwei gleich große, kongruente Dreiecke ABC und ACD.

    Drachenviereck Achsensymmetrie StudySmarterAbbildung 5: Drachenviereck Achsensymmetrie

    Überblick - Eigenschaften des Drachenvierecks

    Drachenviereck Überblick StudySmarterAbbildung 6: Drachenviereck Überblick

    Seitenlängen:a=d, b=c

    Winkelgrößen:β=δ

    Diagonalen: Senkrecht aufeinander;

    Diagonale e halbiert die Winkel α und γ, sowie die Diagonale f

    Achsensymmetrie: Achsensymmetrisch zur längeren Diagonale e

    Drachenviereck konstruieren

    Du kannst ein Drachenviereck auf viele verschiedene Arten konstruieren. Dabei nutzt Du immer die Maße, die Dir gegeben sind.

    Aufgabe 7

    Gegeben sind die Seite a=3cm, b=5cm und β=105°. Zeichne das passende Drachenviereck ABCD.

    Lösung

    Schritt 1:

    Beginne zunächst immer mit einer Planfigur. Diese muss nicht maßstabsgetreu sein, aber alle Bezeichnungen des allgemeinen Drachenvierecks richtig wiedergeben.

    Drachenviereck Planfigur Drachenviereck StudySmarterAbbildung 7: Planfigur

    Schritt 2:

    Anhand der Planfigur erkennst Du, welche Größen Du gegeben hast und wie diese zusammenhängen. Starte dann mit der Zeichnung.

    ZeichnungErklärung

    Drachenviereck konstruieren Schritt 1 StudySmarterAbbildung 8: Schritt 1

    Zeichne die Strecke a in Dein Heft.

    Drachenviereck konstruieren Schritt 2 StudySmarterAbbildung 9: Schritt 2

    Messe dann mithilfe Deines Geodreiecks den gegebenen Winkel von β=105° am Punkt B ab.

    Drachenviereck konstruieren Schritt 3 StudySmarterAbbildung 10: Schritt 3

    Steche nun mit Deinem Zirkel am Punkt B ein und konstruiere einen Kreis mit der Länge der gegebenen Strecke b=5cm.

    Drachenviereck konstruieren Schritt 4 StudySmarterAbbildung 11: Schritt 4

    An dem Punkt, an dem sich die Linie und der Kreis schneiden, befindet sich Punkt C.

    Drachenviereck konstruieren Schritt 5 StudySmarterAbbildung 12: Schritt 5

    Anschließend verbindest Du die Punkte C und A zu einer Diagonalen.An dieser Diagonalen legst Du Dein Geodreieck im 90°-Winkel an und fällst ein Lot zur Diagonalen durch den Punkt B.

    Drachenviereck konstruieren Schritt 6 StudySmarterAbbildung 13: Schritt 6

    Nutze Deinen Zirkel ein weiteres Mal, indem Du bei A einstichst und einen Kreis mit dem Radius a=d=3cm einzeichnest.

    Drachenviereck konstruieren Schritt 7 StudySmarterAbbildung 14: Schritt 7

    Der Schnittpunkt ergibt den Punkt D.

    Drachenviereck konstruieren Schritt 8 StudySmarterAbbildung 15: Schritt 8

    Den Punkt D musst Du jetzt nur noch mit A und C verbinden.

    Damit hast Du dieses Drachenviereck gezeichnet. Super!

    Flächeninhalt Drachenviereck berechnen – Formel

    Wie Du bestimmt bereits gemerkt hast, nehmen die Diagonalen eine zentrale Rolle im Drachenviereck ein. So sind sie auch von Bedeutung bei der Berechnung des Flächeninhalts des Drachenvierecks.

    Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts A des Drachenvierecks lautet im Allgemeinen...

    A=12·e·f

    e,f = Diagonalen des Drachenvierecks

    Um den Flächeninhalt A eines Drachenvierecks zu berechnen, musst Du nur noch die gegebenen Größen für die beiden Diagonalen e und f in die Formel einsetzen.

    Aufgabe 1

    Gegeben ist ein Drachenviereck ABCD und dessen Diagonalen e=7cm und f=4cm. Wie groß ist der Flächeninhalt A des Vierecks ABCD?

    Lösung

    Gehe dabei in diesen zwei einfachen Schritten vor.

    Schritt 1:

    Stelle die Formel für den Flächeninhalt A des Drachenvierecks auf. Diese lernst Du am besten auswendig.

    A=12·e·f

    Schritt 2:

    Setze die Längen der Diagonalen e=7cm und f=4cm in die Formel ein und berechne den Wert des Flächeninhalts.

    A=12·7cm·4cm=14cm2

    Der Flächeninhalt A dieses Drachenvierecks beträgt 14 cm2.

    Um mehr über den Flächeninhalt des Drachenvierecks und dessen Herleitung zu erfahren, sieh dir den Artikel Flächeninhalt Drachenviereck an.

    Drachenviereck Umfang berechnen – Formel

    Zur Berechnung des Umfangs eines Drachenviereks sollten Dir die Eigenschaften zu den Seitenlängen des Drachenvierecks ein Begriff sein. Denn der Umfang U gibt die Länge des Seitenrandes einer Figur an.

    Drachenviereck Umfang StudySmarterAbbildung 16: Drachenviereck Umfang

    Legst Du um das gesamte Drachenviereck, also einmal komplett außenrum, eine Schnur und misst dann ihre Länge, kommt Folgendes zur Länge der Schnur beziehungsweise zum Umfang U des Vierecks heraus:

    U=a+b+c+d

    Erinnere Dich jedoch wieder an die Eigenschaften, denn die Seiten a und d, sowie b und c sind genau gleich lang. Deshalb sieht die Formel zur Umfangsberechnung so aus:

    Die Formel zur Berechnung des Umfangs U eines allgemeinen Drachenvierecks lautet...

    U=2a+2b

    a, b = Seitenlängen des Drachenvierecks.

    Rechne das Ganze anhand eines Beispiels einmal selbst durch.

    Aufgabe 2

    Gegeben ist das folgende Drachenviereck ABCD mit seinen Seitenlängen a=3cm und c=5cm.

    Berechne den Umfang U dieses Vierecks.

    Drachenviereck Aufgabe StudySmarterAbbildung 17: Drachenviereck Aufgabe Umfang

    Lösung

    In zwei Schritten bist Du am Ziel.

    1. Schritt:

    Stelle die Formel für den Umfang eines Drachenvierecks auf. Diese solltest Du Dir am besten auswendig lernen oder herleiten können (Umfang ist so lang wie eine Schnur um das gesamte Viereck).

    In diesem Beispiel ist nur die Strecke c gegeben. Da aber die Strecken b und c gleich lang sind, kannst du in der Formel auch b durch c ersetzen.

    U=2a+2b=2a+2c

    2. Schritt:

    Setze die gegebenen Werte in die Formel ein und berechne den Umfang U.

    U=2·3cm+2·5cm=6cm+10cm=16cm

    Der Umfang U dieses Drachenvierecks beträgt 16 cm.

    Auch hierzu gibt es nochmal einen detaillierten Artikel "Umfang Drachenviereck" zum genaueren Nachlesen.

    Drachenviereck Diagonale berechnen – Formel

    Zu den Eigenschaften der Diagonalen solltest Du dir nochmal den oberen Abschnitt durchlesen. Diese Eigenschaften sind die Grundlage zum Lösen der verschiedensten Rechenaufgaben zu den Diagonalen des Drachenvierecks.

    Es gibt viele verschiedene Variationen an Aufgaben zur Diagonalen. Die wichtigsten werden hier anhand von Beispielen behandelt.

    Drachenviereck Überblick StudySmarterAbbildung 18: Drachenviereck Überblick

    Für alle folgenden Beispielaufgaben gilt modellhaft dieses Drachenviereck.

    Aufgabe 3

    Gegeben ist das Drachenviereck ABCD, sein Flächeninhalt A=20cm2 und eine der Diagonalen e=8cm.

    Wie lang ist die zweite Diagonale f?

    Lösung

    Zunächst sollten Dir die Zusammenhänge der gegebenen Größen im Drachenviereck klar sein.

    In diesem Fall hängen der Flächeninhalt und die gesuchte Diagonale über die Berechnungsformel des Flächeninhalts zusammen. Diese lautet...

    A=12·e·f

    Die Formel kannst Du jetzt nach der gesuchten Größe umstellen.

    A=12·e·f |·22·A=e·f |:e2·Ae=f

    Dann ist der Weg nicht mehr weit, Du musst nur noch die bereits gegebenen Größen einsetzen und den Wert der Diagonale berechnen.

    f=2·Ae=2·20cm28cm=40cm28cm=5cm

    Die Diagonale f ist 5 Zentimeter lang.

    Aufgabe 4

    Gegeben ist der Flächeninhalt des Dreiecks ABC A=12cm2 und die Länge der Diagonale e=8cm.

    Wie lang ist die Diagonale f?

    Lösung

    Hierbei machst Du Dir die Eigenschaft zu Nutze, dass die Diagonale e das Drachenviereck in zwei kongruente Dreiecke schneidet und außerdem die Diagonale f genau mittig halbiert.

    Schaue Dir also in diesem Fall zu Beginn nur das Dreieck ABC an, um die Aufgabe zu lösen.

    Drachenviereck Aufgabe StudySmarterAbbildung 19: Drachenviereck Aufgabe Diagonale

    Der Flächeninhalt eines Dreiecks wird mithilfe dieser Formel berechnet:

    A=12·e·he

    Die Höhe eines Dreiecks zu einer bestimmten Seite (hier e) ist dabei immer das senkrechte Lot zur Seite, dass durch den gegenüberliegenden Punkt verläuft. In diesem Fall steht die Hälfte der Strecke f senkrecht auf e und geht durch den Punkt B. Das heißt die Höhe lautet he=12f .

    A=12·e·12f

    Diese Formel muss jetzt nur noch nach der gesuchten Größe (f) umgestellt werden.

    A=12·e·12f A=14·e·f |·44·A=e·f |:e4·Ae=f

    Jetzt musst Du nur noch alle Werte einsetzen und f berechnen.

    f=4·Ae=4·12cm28cm=44·3cm22cm=22·3cm=6cm

    Die Diagonale f besitzt eine Länge von 6 cm.

    Weitere wichtige Rechenaufgaben zu den Diagonalen des Drachenvierecks findest du im Artikel "Diagonale Drachenviereck".

    Seitenlänge Drachenviereck berechnen – Formel

    Auch hierzu ist das Basiswissen aus dem oberen Abschnitt zu den Seitenlängenpaaren wichtig. Lese Dir das nochmal durch, erst dann solltest Du Dich den folgenden Aufgaben zuwenden. Bei diesem Thema findest Du ebenfalls mehr Infos im eigenständigen Artikel "Seitenlänge Drachenviereck", jedoch werden hier die wichtigsten Aufgabentypen behandelt.

    Drachenviereck Überblick StudySmarterAbbildung 20: Drachenviereck Überblick

    Alle wichtigen Größen beziehen sich von der Aufteilung her auf dieses Drachenviereck.

    Aufgabe 5

    Gegeben sind die Größen a=2cm, e=8cm, 12f=1,5cm und der Umfang U=18cm.

    Berechne alle fehlenden Größen (b,c,d,f).

    Lösung

    Schritt 1:

    Es handelt sich um ein Drachenviereck, das heißt es gilt das Seitenlängenpaar a=d. Damit ist ...

    a=d=2cm

    Schritt 2:

    Um f zu erhalten, musst du die Gleichung umstellen.

    12f=1,5cm |·2f=3cm

    Schritt 3:

    Nun fehlen noch die Größen b und c. Hier musst Du den Umfang U heranziehen. Die Formel für den Umfang des Drachenvierecks lautet...

    U=2a+2b

    Stelle die Formel nach der gesuchten Größe b um und setze alles gegebene ein.

    U=2a+2b |-2aU-2a=2b |:2b=U-2a2b=18cm-2·2cm2=14cm2=7cm

    Da b und c gleich lang sind gilt für c ebenfalls c=7cm.

    Somit sind alle fehlenden Größen gefunden. Super!

    Aufgabe 6

    Gegeben ist der Winkel γ=60° und die Seite f=6cm .

    Berechne die Länge der Seite c.

    Lösung

    Bei diesen typischen Aufgabentypen zum Drachenviereck ist das Teilgebiet der Trigonometrie von Bedeutung. Sollte Dir das nicht mehr so viel sagen, mache Dich im Artikel Trigonometrie noch einmal schlau.

    Drachenviereck Überblick StudySmarterAbbildung 21: Drachenviereck Aufgabe Seitenlängen

    Bei dieser Aufgabe ist das Dreieck CDM von Bedeutung. Es ist ein rechtwinkliges Dreieck, hier kann also mit Sinus, Kosinus und Tangens gerechnet werden.

    Und genau das nutzt Du auch aus:

    • Du kennst den Winkel γ, der durch e genau halbiert wird.
    • Die Strecke 12f ist in diesem Dreieck die Gegenkathete des Winkel γ. Du kannst sie Dir ausrechnen, da die Länge der Strecke f gegeben ist.

    Um jetzt c zu bekommen, hilft Dir der Sinus, denn für diesen gilt...

    sin(α)=GegenkatheteHypothenuse

    Das entspricht in diesem Beispiel...

    sin(12γ)=12fc

    Jetzt muss nur noch umgestellt, eingesetzt und berechnet werden.

    c=12fsin(12γ)=12·6cmsin(12·60°)=3cmsin (30°)=3cm0,5=6cm

    Die Seite c hat also eine Länge von 6 cm.

    Weitere Beispielaufgaben findest du in den Übungen und Flashcards.

    Drachenviereck – Das Wichtigste

    • Ein Drachenviereck ist ein Viereck, das diese drei Eigenschaften erfüllt:
    • Je zwei anliegende Seiten sind gleich lang (a=d, b=c)
    • Die beiden Diagonalen e und f stehen senkrecht aufeinander
    • Es ist achsensymmetrisch zu einer Diagonale (e)
    • Jedes Drachenviereck besitzt folgende Eigenschaften (exemplarisch anhand dieses Drachenvierecks):Drachenviereck Eigenschaften StudySmarter
    • Seitenlängen:a=d, b=c
    • Winkelgrößen:β=δ
    • Diagonalen:Senkrecht aufeinander;

      Diagonale e halbiert die Winkel α und γ, sowie die Diagonale f

    • Achsensymmetrie: Achsensymmetrisch zur längeren Diagonale e

    • Der Flächeninhalt A des Drachenvierecks lautet im Allgemeinen: A=12·e·f (e, f = Diagonalen des Drachenvierecks)
    • Der Umfang eines allgemeinen Drachenvierecks lautet: U=2a+2b (a, b = Seitenlängen des Drachenvierecks)
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Drachenviereck

    Welche Eigenschaften hat ein Drachenviereck?

    Ein Drachenviereck hat folgende Eigenschaften:

    • Je zwei anliegende Seiten sind gleich lang (a = d und b = c)
    • Die beiden Diagonalen e und f stehen senkrecht aufeinander.
    • Die Winkel zwischen kurzer und langer Seite sind jeweils gleich groß.
    • Es ist achsensymmetrisch zur längeren Diagonale (e)

    Was macht ein Drachenviereck aus?

    Ein Drachenviereck ist ein Viereck, definiert durch folgende Eigenschaften:

    • Je zwei anliegende Seiten sind gleich lang (a = d und b = c)
    • Die beiden Diagonalen e und f stehen senkrecht aufeinander
    • Es ist achsensymmetrisch zu einer Diagonale (e)

    Ist ein Drachenviereck auch eine Raute?

    Die Raute ist eine besondere Form des Drachenvierecks, bei dem nicht nur jeweils zwei Seiten, sondern alle Seiten gleich lang sind.

    Welche Winkel sind bei einem Drachenviereck gleich?

    Bei einem Drachenviereck sind die beiden Winkel jeweils zwischen kurzer und langer Seite gleich groß.

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    Wie wird der Umfang mathematisch abgekürzt?

    Welche Eigenschaften lassen sich dem Drachenviereck zuordnen?

    Was unterscheidet ein Drachenviereck von einer Raute?

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