Du hast vermutlich Variablen und Terme schon im Unterricht kennengelernt. Variablen tauchen oft in Form von Buchstaben auf und es kann mit ihnen gerechnet werden. Doch was bedeutet es, mit Buchstaben zu rechnen? In diesem Artikel wirst du erfahren, was Variablen sind, wo sie in der Mathematik zu finden sind und wie du mit ihnen rechnen kannst.
Variablen Bedeutung
Variablen können verwendet werden, um Zusammenhänge nicht nur für bestimmte Zahlen, sondern allgemein zu beschreiben. Du kennst auch schon mehrere Beispiele, in denen Variablen verwendet wurden. Beispielsweise sind dir Variablen bereits bei den Rechengesetzen oder Rechenregeln begegnet:
Kommutativgesetz der Addition
Für die Variablen a und b können verschiedene, beliebige Zahlen eingesetzt werden.
Außerdem hast du schon kennengelernt, wie du den Flächeninhalt oder den Umfang eines Quadrats, Rechtecks oder Dreiecks berechnen kannst. Auch dabei werden Variablen verwendet.
Umfang Dreieck
Der Umfang eines Dreiecks mit den Seitenlängen a, b, c berechnet sich durch die Formel:
Abbildung 1: Dreieck
Mit dieser allgemeinen Formel kann für jedes Dreieck der Umfang berechnet werden, indem die entsprechenden Werte für die Seitenlängen in die Variablen eingesetzt werden.
Für zwei unterschiedliche Variablen kann auch die gleiche Zahl eingesetzt werden:
Allerdings solltest du beachten, dass es nicht immer möglich oder sinnvoll ist, alle Zahlen in eine Variable einzusetzen. Es macht z. B. keinen Sinn eine negative Zahl für die Länge einer Dreiecksseite einzusetzen.
Wie du später sehen wirst, wird deshalb bei Termen, Gleichungen und Funktionen eine Definitionsmenge festgelegt.
In den Beispielen hast du gesehen, dass für Variablen verschiedene Zahlenwerte eingesetzt werden können.
Variablen Definition
Eine Variable ist ein Platzhalter für eine unbekannte oder unbestimmte Zahl.
Meistens werden Variablen mit Buchstaben wie beispielsweise a, b, c oder x, y, z oder mit Symbolen beschrieben.
In den meisten Fällen steht eine Variable für eine Zahl. Eine Variable kann aber auch für einen Term oder eine Funktion stehen.
Terme mit einer Variablen
Ein Term ist ein Rechenausdruck, der Zahlen, Variablen, Klammern und Rechenoperationen ( enthalten kann.
Durch das Einsetzen von Zahlen in die auftretenden Variablen kann ein bestimmter Zahlenwert für den Term berechnet werden.
Die Menge der Zahlen, die in einen Term eingesetzt werden darf, wird Grundmenge oder Definitionsmenge genannt.
Ein Term kann auch Wurzeln und Potenzen beinhalten. Wie das genau aussieht, kannst du im Artikel zum Term nachlesen.
Terme können auch keine Variablen enthalten. Diese Art von Term wird Zahlterm genannt und der Wert des Terms kann sofort berechnet werden.
Enthält ein Term eine oder mehrere Variablen, dann kann der Term-Wert durch Einsetzen von Zahlen für die Variablen berechnet werden. Damit du eine Vorstellung für Terme mit Variablen bekommst, kannst du dir folgendes Beispiel ansehen:
Betrachten wir z. B. den Term .
- Dann ist x die Variable.
- Die Definitionsmenge ist .Für x darf nicht 0 eingesetzt werden, da sonst durch 0 geteilt wird: .
- Durch Einsetzen von Werten für die Variable x erhält man die Term-Werte:Für ist der Term-Wert
Zwei Terme können zu einer Gleichung oder Ungleichung zusammengefügt werden. Außerdem werden Terme zur Beschreibung von Funktionen verwendet.
Wenn du mehr über Terme erfahren möchtest, kannst du einiges im Artikel "Term, Variable, Termwert" nachlesen.
Variablen in Gleichungen
Variablen spielen auch in Gleichungen eine wichtige Rolle. Oft muss der Wert einer Variable bestimmt werden, bei dem die Gleichung erfüllt ist.
Eine Gleichung setzt sich aus zwei Termen zusammen, die durch ein Gleichheitszeichen verbunden sind
.
Schau dir zunächst das Beispiel an:
Aufgabe 1
Welche Lösung hat die Gleichung ?
Lösung
Vermutlich siehst du sofort, dass du 4 für x einsetzen kannst, damit die Gleichung erfüllt ist. Falls nicht, kannst du es aber auch durch Probieren oder Rechnen herausfinden:
.
Für andere Werte wie zum Beispiel 5 ist die Gleichung nicht erfüllt:
.
Bei einer Gleichung versucht man meistens alle Zahlen zu finden, für die die Gleichung erfüllt ist. Diese Zahlen heißen Lösungen der Gleichung.
Die Lösungsmenge einer Gleichung umfasst alle Werte, die eingesetzt in die Variable, die Gleichung erfüllen.
Die Lösungen von Gleichungen können durch systematisches Probieren, durch Umkehraufgaben oder Äquivalenzumformungen gefunden werden.
Es ist nicht immer möglich Lösungen für eine Gleichung zu finden. Gleichungen können keine Lösung, eine Lösung, mehrere Lösungen oder sogar unendlich viele Lösungen haben.
Variablen in Funktionen
Du kannst dir eine Funktion wie einen Automaten vorstellen. Es wird ein Wert (x) eingegeben, mit diesem Wert wird die Funktionsvorschrift (f) ausgeführt und ein anderer Wert (y) wird ausgegeben.
Mathematisch formuliert lautet die Definition der Funktion so:
Eine Funktion ist eine Zuordnung, die jedem Element x der Definitionsmenge genau ein Element y der Wertemenge zuordnet.
In Funktionen gibt es verschiedene Typen von Variablen.
Unabhängige und abhängige Variablen
Durch Funktionen werden Zusammenhänge zwischen Größen beschrieben.
Da der y-Wert in einer Funktion durch das Einsetzen eines bestimmten x-Wertes in die Funktion berechnet wird, ist er abhängig von der Wahl des x-Wertes. Deshalb wird die y-Variable auch als abhängige Variable bezeichnet.
Die x-Variable hingegen kann unabhängig gewählt werden.
Die Variable x wird als unabhängige Variable bezeichnet, da die Einsetzungen frei aus der Definitionsmenge gewählt werden dürfen.
Wenn eine Zahl in eine Funktion eingesetzt wird, wird sie in den Funktionsterm für die Variable x eingesetzt.
Die Funktion beschreibt den Preis von Schokolade.
- Für x wird die Anzahl der gekauften Tafeln Schokolade eingesetzt.
- Die Funktion gibt dann den Gesamtpreis als y-Wert aus.
Der Wert der Funktion kann entweder als f(x) oder als y-Wert bezeichnet werden.
Berechne den Preis für 3 Tafeln Schokolade.
.
Für 3 Tafeln Schokolade muss also 6 € gezahlt werden. Wie du siehst, ist der Gesamtpreis (y-Wert) von der Anzahl der Tafeln (x-Wert) abhängig.
Variable als Parameter
Eine besondere Art von Variablen sind Parameter. Durch Parameter wird eine Funktion auf eine bestimmte Art und Weise verändert.
Für Parameter kannst du einen beliebigen, aber festen Wert wählen. D. h., wenn ein Wert gewählt wurde, wird er nicht mehr verändert.
Durch Parameter in Funktionen entstehen Funktionenscharen.
Du kannst verschiedene Funktionen der Form betrachten.
- x ist die unabhängige Variable
- y ist die abhängige Variable
- m ist ein Parameter
Jetzt kann man die Funktion für verschiedene Steigungen betrachten. Der Parameter m wird dafür verändert.
Abbildung 2: Funktionenschar
Wenn du nochmal genauer wissen möchtest, was eine Funktion, Funktionenscharen oder Parameter sind, kannst du das in den entsprechenden Artikeln nachlesen.
Variablen Nutzung
Variablen können in unterschiedlichen Situationen auch unterschiedlich genutzt werden.
Werte in eine Variable einsetzen
Eine Variable kann als Platzhalter oder Leerstelle genutzt werden, für die verschiedene Zahlen eingesetzt werden können.
Aufgabe 2
Gegeben ist die Funktion . Berechne den Funktionswert an der Stelle .
Lösung
Um den Funktionswert an der Stelle zu berechnen, muss für die Variable x der Wert 4 eingesetzt werden.
Der Funktionswert ist also 6.
Veranschaulicht am Graphen der Funktion würde das dann so aussehen:
Abbildung 3: Wert für Variable in Funktionsterm einsetzen
Variablen berechnen
Der Wert einer Variable kann berechnet werden, für den eine Gleichung erfüllt ist. Oder der Funktionswert kann bei gegebenem x-Wert berechnet werden. Andersherum kann auch der x-Wert für einen gegebenen Funktionswert berechnet werden.
Schauen wir uns dies genauer an folgendem Beispiel an:
Aufgabe 3
ist wieder die Funktion, die den Preis von Schokolade in Abhängigkeit der Anzahl der Tafeln angibt. Lukas zahlt 6 €. Berechne, wie viele Tafeln Schokolade er gekauft hat.
Lösung
Lösung berechnen:
Du weißt also, dass der Funktionswert 6 ist
Wenn du die Gleichung jetzt nach x auflöst, kannst du den Wert für x berechnen und damit, wie viele Tafeln Schokolade Lukas gekauft hat.
Lukas hat 3 Tafeln Schokolade gekauft.
Graphische Lösung:
Um den x-Wert graphisch zu bestimmen, musst du einen waagrechten Strich durch den gegebenen y-Wert ziehen. Dort, wo dieser Strich den Funktionsgraphen trifft, musst du einen senkrechten Strich nach unten ziehen. Der x-Wert, bei dem die x-Achse getroffen wird, ist dann die Lösung.
Abbildung 4: Lösung grapisch bestimmen
Oft musst du in den Aufgaben die Terme vereinfachen oder Formeln umstellen. Dazu musst du mit den Variablen rechnen können. Wie das funktioniert, schauen wir uns im nächsten Abschnitt genauer an.
Variablen zusammenfassen und umformen
Mit Variablen kann genauso wie mit Zahlen gerechnet werden. Es gelten die gleichen Rechengesetze und Rechenregeln. Du musst also weiterhin Klammerregeln, Punkt-vor-Strich-Rechnung und so weiter beachten.
Variablen addieren und subtrahieren
Wenn du eine Kombination aus Zahl und Variable gegeben hast, wird die Zahl vor den Variablen Koeffizient genannt.
Wie können Kombinationen aus Zahlen und Variablen jetzt addiert oder subtrahiert werden?
Beim Zusammenfassen gleichartiger Variablen beziehungsweise Terme werden die Koeffizienten addiert oder subtrahiert und die Variable beziehungsweise der Term wird beibehalten.
Schauen wir uns das mal an verschiedenen Beispielen genauer an.
1)
2)
3)
Dass diese Rechnungen stimmen müssen, kannst du auch durch das Anwenden des Distributivgesetzes erkennen:
Genauso funktioniert es auch mit Variablen, die als Potenzen vorkommen. Variablen mit den gleichen Exponenten können zusammengefasst werden:
4)
5)
Variablen, die nicht den gleichen Exponenten haben, können nicht zusammengefasst werden:
Wie sieht das aus, wenn mehrere Variablen ins Spiel kommen?
Unterschiedliche Variablen können auch nicht zusammengefasst werden.
8)
9)
Allerdings können identische Terme zusammenfasst werden, auch wenn sie mehrere Variablen enthalten:
10)
11)
Wenn du mehr zu diesem Thema erfahren möchtest, kannst du gerne im Artikel Terme addieren und subtrahieren weiter lesen.
Multiplizieren von Variablen
Das Multiplizieren von Variablen ergibt sich durch das Anwenden der Potenzgesetze.
1)
2)
Bei Potenzen wird ähnlich wie bei Koeffizienten der Exponent 1 meistens weggelassen: .
Werden Kombinationen aus Variablen und Zahlen multipliziert, so wird Zahl mit Zahl und Variable mit Variable multipliziert:
Mit dem Kommutativgesetz können die Faktoren so umsortiert werden, dass Zahlen mit Zahlen und gleiche Variablen miteinander multipliziert werden.
3)
4)
Variablen – Das Wichtigste
- Eine Variable ist ein Platzhalter für eine unbekannte oder unbestimmte Zahl.
Meistens werden Variablen mit Buchstaben wie beispielsweise a, b, c oder x, y, z oder Symbolen beschrieben.
Variablen kommen in
Termen,
Gleichungen und
Funktionen vor.
In Funktionen gibt es die unabhängige Variable (meist x) und die abhängige Variable (meist y).
Die unabhängige Variable kann frei aus der Definitionsmenge gewählt werden.
Die abhängige Variable kann durch Einsetzen eines bestimmten Wertes für die unabhängige Variable in den Funktionsterm berechnet werden.
- Verwendung von Variablen:
Zusammenfassen gleichartiger Variablen bzw. Terme: Koeffizienten addieren/subtrahieren und die Variablen bzw. den Term beibehalten.
Multiplizieren von Kombinationen aus Variablen und Zahlen: Zahl mit Zahl und Variable mit Variable multiplizieren
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