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Mittelsenkrechte Dreieck

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Mittelsenkrechte Dreieck

Auf einer Weide gibt es drei Stellen, an denen jeweils ein Schaf seinen Schlafplatz hat. Genau in der Mitte der drei Stellen, also gleich weit entfernt von jeder Stelle, soll ein Futtertrog aufgebaut werden. Wie findest Du heraus, wo genau der Futtertrog hinkommen soll? Dabei helfen Dir die Mittelsenkrechten des Dreiecks.

Doch bevor Du erfährst, wie genau die Mittelsenkrechten des Dreiecks dafür nützlich sind, kannst Du die kurze Wiederholung zum Dreieck und den Mittelsenkrechten allgemein ansehen.

Wiederholung der Grundlagen

Die drei Schlafplätze auf der Wiese bilden ein Dreieck, bei dem Du zu jeder der Dreiecksseiten die Mittelsenkrechten bilden kannst. Deshalb ist es wichtig, zu wissen, was ein Dreieck und was eine Mittelsenkrechte ist.

Dreieck – Einfach erklärt

Ein Dreieck ist eine Figur in der Geometrie und besitzt, wie der Name es schon sagt, drei Ecken.

Die Verbindungsstrecken zwischen drei Punkten A, B und C bilden ein Dreieck. Hierbei ist darauf zu achten, dass die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen dürfen.

Die Seiten des Dreiecks heißen a, b und c und liegen immer gegenüber den entsprechenden Punkten. Die Beschriftung mit den Buchstaben erfolgt immer gegen den Uhrzeigersinn.

Mittelsenkrechte Dreieck Beispiel Dreieck StudySmarterAbbildung 1: Beispiel Dreieck

Mittelsenkrechte – Definition

Mittelsenkrechten sind ebenfalls Figuren in der Geometrie. Es sind Geraden, die senkrecht auf einer bestimmten Strecke liegen.

Die Mittelsenkrechte m einer Strecke ist diejenige Gerade, die durch den Mittelpunkt M der Strecke verläuft und senkrecht auf ihr steht.

Es wird also immer eine Strecke benötigt, durch dessen Mittelpunkt diese Gerade senkrecht zur Strecke verläuft.

Mittelsenkrechte Dreieck Beispiel Mittelsenkrechte StudySmarterAbbildung 2: Beispiel Mittelsenkrechte

Die Mittelsenkrechte ist dabei die Ortskurve aller Punkte, die den gleichen Abstand zu beiden Punkten A und B besitzen.

Eine Ortskurve ist ein geometrischer Ort, also eine Menge von Punkten, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllt. Wenn Du genaueres über Ortskurven wissen willst, erfährst Du in der Erklärung zur Ortskurve mehr darüber.

Mittelsenkrechte im Dreieck – Definition

In einem Dreieck gibt es immer drei Seiten. Auf jede der Seiten kann eine Mittelsenkrechte konstruiert werden.

In einem Dreieck gibt es zu jeder der Seiten a, b und c eine Mittelsenkrechte. Ihr Schnittpunkt ist der Punkt, der von allen Ecken gleich weit entfernt ist.

Der Schnittpunkt M hat hier also den gleichen Abstand d zu allen Eckpunkten.

Mittelsenkrechte Dreieck Mittelsenkrechten im Dreieck StudySmarterAbbildung 3: Beispiel Mittelsenkrechten im Dreieck

Das liegt daran, dass die Mittelsenkrechte zu in jedem Punkt jeweils den gleichen Abstand zu den Eckpunkten A und B hat. Die Mittelsenkrechte zu hat in allen Punkten jeweils den gleichen Abstand zu den Eckpunkten B und C und die Mittelsenkrechte zu besitzt wiederum den gleichen Abstand zu den Eckpunkten A und C.

Um auf der Wiese also den Punkt zu finden, der von allen drei Schlafplätzen gleich weit entfernt ist, können hier die drei Stellen zu einem Dreieck verbunden werden. Dazu können dann die Mittelsenkrechten gebildet werden, an dessen Schnittpunkt der Futtertrog gestellt wird. So können alle drei Schafe schnell zum Futtertrog kommen. Die passende Aufgabe dazu findest Du weiter unten.

Mittelsenkrechte im Dreieck mit dem Zirkel konstruieren

Die Konstruktion von Mittelsenkrechten des Dreiecks funktioniert nicht anders als die normale Konstruktion einer Mittelsenkrechten. Du konstruierst also jeweils die Mittelsenkrechte zu den einzelnen Strecken, die die Dreiecksseiten bilden.

Wie eine Mittelsenkrechte zu einer Strecke konstruiert wird, kannst Du in der Erklärung Mittelsenkrechte konstruieren nachsehen. Zur genauen Konstruktion wird empfohlen, die Variante mit dem Zirkel zu nutzen.

Hier findest Du eine kurze Zusammenfassung der Konstruktion:

SchrittVisualisierung
1.

Wähle die Seite des Dreiecks, zu der Du die Mittelsenkrechte konstruieren willst (z.B. die Seite c). Zeichne jeweils einen Kreis mit gleichem Radius um die anliegenden Eckpunkte (hier A und B) des Dreiecks. Beachte, dass die Kreise groß genug sind, damit sie sich schneiden.

Mittelsenkrechte Dreieck Konstruktion StudySmarterAbbildung 4: Konstruktion der Mittelsenkrechten

2.

Du erhältst zwei Schnittpunkte für die Kreise. Verbinde diese mit einem Lineal oder Geodreieck zu einer Gerade. Du erhältst die Mittelsenkrechte.

Mittelsenkrechte Dreieck Konstruktion StudySmarterAbbildung 5: Konstruktion der Mittelsenkrechten

Sind alle drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks konstruiert, kann das in etwa so aussehen:

Mittelsenkrechte Dreieck Mittelsenkrechten im Dreieck StudySmarterAbbildung 6: Mittelsenkrechten im Dreieck

Der Schnittpunkt M der drei Mittelsenkrechten des Dreiecks ist hier nun der Punkt, der die gleiche Entfernung zu den Punkten A, B und C besitzt.

Doch wie sieht das Ganze im rechtwinkligen Dreieck aus?

Bei Dreiecken kann zwischen rechtwinkligen und nicht rechtwinkligen Dreiecken unterschieden werden. Rechtwinklige Dreiecke besitzen genau einen rechten Winkel, also einen Winkel von . Die Mittelsenkrechten dieser Dreiecke haben eine Besonderheit.

Mittelsenkrechten im rechtwinkligen Dreieck

In einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten immer genau mittig auf der längsten Seite. Diese liegt gegenüber dem rechten Winkel und wird meist mit dem Buchstaben c bezeichnet.

Mittelsenkrechte Dreieck Mittelsenkrechten im rechtwinkligen Dreieck StudySmarterAbbildung 7: Mittelsenkrechten im rechtwinkligen Dreieck

Schnittpunkt der Mittelsenkrechten im Dreieck – Umkreis

Du kennst jetzt den Punkt, der von allen drei Ecken im Dreieck gleich weit entfernt ist. Was kannst Du jetzt damit anfangen?

Da der Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten den gleichen Abstand zu den Ecken hat, bildet er gleichzeitig sowohl einen geometrischen Ort als auch den Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.

Der Umkreis eines Dreiecks geht durch alle Eckpunkte und sein Radius ist genau der Abstand der Eckpunkte zum Schnittpunkt der Mittelsenkrechten des Dreiecks.

Für die zwei Dreiecke oben sehen die Umkreise so aus:

Mittelsenkrechte Dreieck Umkreis Dreieck StudySmarterAbbildung 8: Umkreis eines Dreiecks

Mittelsenkrechte Dreieck Umkreis rechtwinkliges Dreieck StudySmarterAbbildung 9: Umkreis eines rechtwinkligen Dreiecks

Zu geometrischen Örtern kannst Du Dich in der Erklärung geometrischer Ort genauer informieren. Genaueres zum Umkreis erfährst Du in der Erklärung Umkreis Dreieck.

Mittelsenkrechte im Dreieck – Aufgaben

Damit Du überprüfen kannst, ob Du das hier Gelernte verstanden hast, findest Du hier ein paar Aufgaben zum Thema der Mittelsenkrechten des Dreiecks.

Aufgabe 1

Zeichne ein beliebiges Dreieck und beschrifte die Ecken und Seiten mit den jeweiligen Buchstaben (siehe Beispiele oben). Konstruiere die Mittelsenkrechte zur Seite b.

Lösung

Die Seite b ist die Strecke . Du zeichnest also jeweils einen Kreis um die Punkte A und C, sodass zwei Schnittpunkte der Kreise entstehen. Dann verbindest Du die zwei Schnittpunkte mit einem Lineal oder Geodreieck. Die Gerade, die dabei entsteht, ist die Mittelsenkrechte zur Seite b.

Deine Zeichnung sollte ungefähr so aussehen:

Mittelsenkrechte Dreieck Lösung Aufgabe 1 StudySmarterAbbildung 10: Lösung Aufgabe 1

Aufgabe 2

Erinnerst Du Dich an die drei Schlafplätze der Schafe? Um die geht es jetzt.

Auf folgender Abbildung findest du einen Plan der Schlafplätze A, B und C. Übertrage sie in Dein Heft und finde den Platz, an den der Futtertrog gestellt werden soll.

Mittelsenkrechte Dreieck Aufgabe 2 StudySmarterAbbildung 11: Aufgabe 2

Lösung

Verbinde zunächst die drei Schlafplätze der Schafe zu einem Dreieck. Um den Platz für den Futtertrog zu finden, muss der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten dieses Dreiecks gefunden werden.

Dafür konstruierst Du zu jeder der drei Seiten die Mittelsenkrechte nach der obigen Konstruktionsanleitung. Wo sich Futtertrog F befindet, siehst Du hier:

Mittelsenkrechte Dreieck Lösung Aufgabe 2 StudySmarterAbbildung 12: Lösung Aufgabe 2

Aufgabe 3

Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck. Konstruiere den Umkreis des Dreiecks, ohne mehr als eine Mittelsenkrechte einzuzeichnen.

Lösung

Der Mittelpunkt des Umkreises liegt genau im Mittelpunkt der längsten Seite. Diese liegt immer gegenüber dem rechten Winkel. Es reicht also, die Mittelsenkrechte der längsten Seite zu konstruieren, um ihren Mittelpunkt herauszufinden. Dann kannst Du mithilfe des Zirkels einen Kreis um diesen Mittelpunkt zeichnen, indem Du als Radius den Abstand des Mittelpunktes zu einer der zwei umliegenden Ecken wählst.

Deine Zeichnung könnte in etwa so aussehen:

Mittelsenkrechte Dreieck Lösung Aufgabe 3 StudySmarterAbbildung 13: Lösung Aufgabe 3

Mittelsenkrechte Dreieck – Das Wichtigste

  • In einem Dreieck gibt es zu jeder der Seiten a, b und c eine Mittelsenkrechte. Ihr Schnittpunkt ist der Punkt, der von allen Ecken gleich weit entfernt ist.
  • Mittelsenkrechten des Dreiecks werden wie normale Mittelsenkrechten konstruiert:
    • Schritt 1

      Wähle die Seite, zu der Du die Mittelsenkrechte konstruieren willst. Zeichne jeweils einen Kreis mit gleichem Radius um die anliegenden Eckpunkte des Dreiecks. Beachte, dass die Kreise groß genug sind, damit sie sich schneiden.

    • Schritt 2

      Du erhältst zwei Schnittpunkte für die Kreise. Verbinde diese mit einem Lineal oder Geodreieck zu einer Gerade. Du erhältst die Mittelsenkrechte.

  • In einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten genau mittig auf der längsten Seite.

  • Der Umkreis eines Dreiecks geht durch alle Eckpunkte und sein Radius ist genau der Abstand der Eckpunkte zum Schnittpunkt der Mittelsenkrechten des Dreiecks.

  • Du kannst die Mittelsenkrechten der Dreiecksebene im dreidimensionalen Raum mithilfe von Vektoren berechnen, indem Du

    • den Mittelpunkt der Strecken berechnest

    • die Ebenengleichung der Dreiecksebene in Parameterform aufstellst

    • den Normalenvektor der Ebene bestimmst

    • die Geradengleichung der Dreiecksseiten in Parameterform bestimmst

    • den Normalenvektor der Gerade und des ersten Normalenvektors bestimmst

    • eine Geradengleichung aufstellst, in der der Mittelpunkt der Strecken als Ortsvektor und der zuletzt berechnete Normalenvektor als Richtungsvektor dienen

Häufig gestellte Fragen zum Thema Mittelsenkrechte Dreieck

Um eine Mittelsenkrechte im Dreieck zu konstruieren, ziehst Du jeweils einen Kreis mit gleichem Radius um zwei der Eckpunkte, sodass die Kreise sich schneiden. Die Schnittpunkte der Kreise kannst Du dann zu einer Geraden verbinden, die die Mittelsenkrechte der Strecke bildet. 

Die Mittelsenkrechte m einer Strecke AB ist diejenige Gerade, die durch den Mittelpunkt M der Strecke verläuft und senkrecht auf ihr steht.

Um eine Mittelsenkrechte im Dreieck zu konstruieren, ziehst Du jeweils einen Kreis mit gleichem Radius um zwei der Eckpunkte, sodass die Kreise sich schneiden. Die Schnittpunkte der Kreise kannst Du dann zu einer Geraden verbinden, die die Mittelsenkrechte der Strecke bildet. 

Auf der Mittelsenkrechten einer Strecke AB liegen alle Punkte, die den gleichen Abstand zu den Punkten A und B haben.

Finales Mittelsenkrechte Dreieck Quiz

Frage

Nenne, wie viele Mittelsenkrechten im Dreieck konstruierbar sind.

Antwort anzeigen

Antwort

Im Dreieck können drei Mittelsenkrechten konstruiert werden, eine zu jeder Dreiecksseite.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was das besondere am Schnittpunkt der Mittelsenkrechten in einem Dreieck ist?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten ist der Punkt, der den gleichen Abstand zu allen Ecken besitzt. Damit ist er ein geometrischer Ort und bildet den Mittelpunkt des Umkreises vom Dreieck.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wie der Umkreis eines Dreiecks konstruiert wird.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Umkreis eines Dreiecks wird über die Mittelsenkrechten konstruiert. Sein Mittelpunkt ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten und sein Radius der Abstand des Schnittpunktes zu den Ecken des Dreiecks.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wo der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten in einem rechtwinkligen Dreieck liegt.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten in einem rechtwinkligen Dreieck liegt immer mittig auf der längsten Dreiecksseite.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, was eine Mittelsenkrechte ist.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Mittelsenkrechte einer Strecke ist diejenige Gerade, die durch den Mittelpunkt der Strecke verläuft und senkrecht auf ihr steht.

Frage anzeigen

Frage

Nenne alle Punkte eines Dreiecks, die der Umkreis berührt.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Umkreis berührt alle Ecken des Dreiecks.

Frage anzeigen

Frage

Nenne alle Punkte eines Dreiecks, die der Inkreis berührt.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Inkreis berührt die Dreiecksseiten in jeweils einem Punkt.

Frage anzeigen

Frage

Erkläre, warum die Mittelsenkrechten zu einem Dreieck, welches im dreidimensionalen Raum liegt, nicht einfach mithilfe eines Normalenvektors auf die einzelnen Seiten berechnet werden können?

Antwort anzeigen

Antwort

Da das Dreieck eine Ebene im dreidimensionalen Raum ist, reicht es nicht, einen Vektor zu berechnen, der senkrecht auf einer der Dreiecksseiten steht. Dieser kann außerhalb der Dreiecksebene liegen, also in den Raum zeigen. Deshalb ist es nötig, davor einen Vektor zu berechnen, der senkrecht auf der Ebene steht. Der Vektor, der zu diesem und zur Dreiecksseite senkrecht ist, liegt dann in der Dreiecksebene.

Frage anzeigen

Frage

Bewerte die folgende Aussage:


Die Ecken eines Dreiecks werden immer im Uhrzeigersinn mit Buchstaben (z. B. A, B, C) beschriftet.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Aussage ist falsch. Die Beschriftung erfolgt immer gegen den Uhrzeigersinn.

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, welchen Radius der Umkreis eines Dreiecks besitzt.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Umkreisradius ist der Abstand der Ecken des Dreiecks zum Schnittpunkt der Mittelsenlrechten von den Dreiecksseiten.

Frage anzeigen

Frage

Bewerte folgende Aussage:


Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten besitzt den gleichen Abstand zu allen Seiten des Dreiecks.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Aussage ist falsch. Der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten besitzt den gleichen Abstand zu allen Ecken des Dreiecks.

Frage anzeigen

Frage

Bewerte folgende Aussage:


Die Konstuktion von Mittelsenkrechten in einem Dreieck funktioniert genau so, wie die normale Konstuktion einer Mittelsenkrechten.

Antwort anzeigen

Antwort

Wahr

Frage anzeigen

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