Auf einer Weide gibt es drei Stellen, an denen jeweils ein Schaf seinen Schlafplatz hat. Genau in der Mitte der drei Stellen, also gleich weit entfernt von jeder Stelle, soll ein Futtertrog aufgebaut werden. Wie findest Du heraus, wo genau der Futtertrog hinkommen soll? Dabei helfen Dir die Mittelsenkrechten des Dreiecks.
Doch bevor Du erfährst, wie genau die Mittelsenkrechten des Dreiecks dafür nützlich sind, kannst Du die kurze Wiederholung zum Dreieck und den Mittelsenkrechten allgemein ansehen.
Mittelsenkrechte Dreieck – Grundlagenwissen
Die drei Schlafplätze auf der Wiese bilden ein Dreieck, bei dem Du zu jeder der Dreiecksseiten die Mittelsenkrechten bilden kannst. Deshalb ist es wichtig, zu wissen, was ein Dreieck und was eine Mittelsenkrechte ist.
Dreieck – Einfach erklärt
Ein Dreieck ist eine Figur in der Geometrie und besitzt, wie der Name es schon sagt, drei Ecken.
Die Verbindungsstrecken zwischen drei Punkten A, B und C bilden ein Dreieck. Hierbei ist darauf zu achten, dass die drei Punkte nicht auf einer Geraden liegen dürfen.
Die Seiten des Dreiecks heißen a, b und c und liegen immer gegenüber den entsprechenden Punkten. Die Beschriftung mit den Buchstaben erfolgt immer gegen den Uhrzeigersinn.
Abbildung 1: Beispiel Dreieck
Mittelsenkrechte – Definition
Mittelsenkrechten sind ebenfalls Figuren in der Geometrie. Es sind Geraden, die senkrecht auf einer bestimmten Strecke liegen.
Die Mittelsenkrechte m einer Strecke ist diejenige Gerade, die durch den Mittelpunkt M der Strecke verläuft und senkrecht auf ihr steht.
Es wird also immer eine Strecke benötigt, durch dessen Mittelpunkt diese Gerade senkrecht zur Strecke verläuft.
Abbildung 2: Beispiel Mittelsenkrechte
Die Mittelsenkrechte ist dabei die Ortskurve aller Punkte, die den gleichen Abstand zu beiden Punkten A und B besitzen.
Eine Ortskurve ist ein geometrischer Ort, also eine Menge von Punkten, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllt. Wenn Du genaueres über Ortskurven wissen willst, erfährst Du in der Erklärung zur Ortskurve mehr darüber.
Mittelsenkrechte Dreieck – Definition
Der Schnittpunkt M hat hier also den gleichen Abstand d zu allen Eckpunkten.
Abbildung 3: Beispiel Mittelsenkrechten im Dreieck
Das liegt daran, dass die Mittelsenkrechte zu in jedem Punkt jeweils den gleichen Abstand zu den Eckpunkten A und B hat. Die Mittelsenkrechte zu hat in allen Punkten jeweils den gleichen Abstand zu den Eckpunkten B und C und die Mittelsenkrechte zu besitzt wiederum den gleichen Abstand zu den Eckpunkten A und C.
Um auf der Wiese also den Punkt zu finden, der von allen drei Schlafplätzen gleich weit entfernt ist, können hier die drei Stellen zu einem Dreieck verbunden werden. Dazu können dann die Mittelsenkrechten gebildet werden, an dessen Schnittpunkt der Futtertrog gestellt wird. So können alle drei Schafe schnell zum Futtertrog kommen. Die passende Aufgabe dazu findest Du weiter unten.
Mittelsenkrechte Dreieck konstruieren – mit dem Zirkel
Die Konstruktion von Mittelsenkrechten des Dreiecks funktioniert nicht anders als die normale Konstruktion einer Mittelsenkrechten. Du konstruierst also jeweils die Mittelsenkrechte zu den einzelnen Strecken, die die Dreiecksseiten bilden.
Wie eine Mittelsenkrechte zu einer Strecke konstruiert wird, kannst Du in der Erklärung Mittelsenkrechte konstruieren nachsehen. Zur genauen Konstruktion wird empfohlen, die Variante mit dem Zirkel zu nutzen.
Hier findest Du eine kurze Zusammenfassung der Konstruktion:
| Schritt | Visualisierung |
| 1. Wähle die Seite des Dreiecks, zu der Du die Mittelsenkrechte konstruieren willst (z.B. die Seite c). Zeichne jeweils einen Kreis mit gleichem Radius um die anliegenden Eckpunkte (hier A und B) des Dreiecks. Beachte, dass die Kreise groß genug sind, damit sie sich schneiden. |  Abbildung 4: Konstruktion der Mittelsenkrechten
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| 2. Du erhältst zwei Schnittpunkte für die Kreise. Verbinde diese mit einem Lineal oder Geodreieck zu einer Gerade. Du erhältst die Mittelsenkrechte. |  Abbildung 5: Konstruktion der Mittelsenkrechten
|
Sind alle drei Mittelsenkrechten eines Dreiecks konstruiert, kann das in etwa so aussehen:
Abbildung 6: Mittelsenkrechten im Dreieck
Der Schnittpunkt M der drei Mittelsenkrechten des Dreiecks ist hier nun der Punkt, der die gleiche Entfernung zu den Punkten A, B und C besitzt.
Doch wie sieht das Ganze im rechtwinkligen Dreieck aus?
Bei Dreiecken kann zwischen rechtwinkligen und nicht rechtwinkligen Dreiecken unterschieden werden. Rechtwinklige Dreiecke besitzen genau einen rechten Winkel, also einen Winkel von . Die Mittelsenkrechten dieser Dreiecke haben eine Besonderheit.
Mittelsenkrechten im rechtwinkligen Dreieck
In einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten immer genau mittig auf der längsten Seite. Diese liegt gegenüber dem rechten Winkel und wird meist mit dem Buchstaben c bezeichnet.
Abbildung 7: Mittelsenkrechten im rechtwinkligen Dreieck
Schnittpunkt Mittelsenkrechte Dreieck – Umkreis
Du kennst jetzt den Punkt, der von allen drei Ecken im Dreieck gleich weit entfernt ist. Was kannst Du jetzt damit anfangen?
Da der Schnittpunkt aller Mittelsenkrechten den gleichen Abstand zu den Ecken hat, bildet er gleichzeitig sowohl einen geometrischen Ort als auch den Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.
Der Umkreis eines Dreiecks geht durch alle Eckpunkte und sein Radius ist genau der Abstand der Eckpunkte zum Schnittpunkt der Mittelsenkrechten des Dreiecks.
Für die zwei Dreiecke oben sehen die Umkreise so aus:
Abbildung 8: Umkreis eines Dreiecks
Abbildung 9: Umkreis eines rechtwinkligen Dreiecks
Zu geometrischen Örtern kannst Du Dich in der Erklärung geometrischer Ort genauer informieren. Genaueres zum Umkreis erfährst Du in der Erklärung Umkreis Dreieck.
Mittelsenkrechte im Dreieck – Aufgaben
Damit Du überprüfen kannst, ob Du das hier Gelernte verstanden hast, findest Du hier ein paar Aufgaben zum Thema der Mittelsenkrechten des Dreiecks.
Aufgabe 1
Zeichne ein beliebiges Dreieck und beschrifte die Ecken und Seiten mit den jeweiligen Buchstaben (siehe Beispiele oben). Konstruiere die Mittelsenkrechte zur Seite b.
Lösung
Die Seite b ist die Strecke . Du zeichnest also jeweils einen Kreis um die Punkte A und C, sodass zwei Schnittpunkte der Kreise entstehen. Dann verbindest Du die zwei Schnittpunkte mit einem Lineal oder Geodreieck. Die Gerade, die dabei entsteht, ist die Mittelsenkrechte zur Seite b.
Deine Zeichnung sollte ungefähr so aussehen:
Abbildung 10: Lösung Aufgabe 1
Aufgabe 2
Erinnerst Du Dich an die drei Schlafplätze der Schafe? Um die geht es jetzt.
Auf folgender Abbildung findest du einen Plan der Schlafplätze A, B und C. Übertrage sie in Dein Heft und finde den Platz, an den der Futtertrog gestellt werden soll.
Abbildung 11: Aufgabe 2
Lösung
Verbinde zunächst die drei Schlafplätze der Schafe zu einem Dreieck. Um den Platz für den Futtertrog zu finden, muss der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten dieses Dreiecks gefunden werden.
Dafür konstruierst Du zu jeder der drei Seiten die Mittelsenkrechte nach der obigen Konstruktionsanleitung. Wo sich Futtertrog F befindet, siehst Du hier:
Abbildung 12: Lösung Aufgabe 2
Aufgabe 3
Zeichne ein rechtwinkliges Dreieck. Konstruiere den Umkreis des Dreiecks, ohne mehr als eine Mittelsenkrechte einzuzeichnen.
Lösung
Der Mittelpunkt des Umkreises liegt genau im Mittelpunkt der längsten Seite. Diese liegt immer gegenüber dem rechten Winkel. Es reicht also, die Mittelsenkrechte der längsten Seite zu konstruieren, um ihren Mittelpunkt herauszufinden. Dann kannst Du mithilfe des Zirkels einen Kreis um diesen Mittelpunkt zeichnen, indem Du als Radius den Abstand des Mittelpunktes zu einer der zwei umliegenden Ecken wählst.
Deine Zeichnung könnte in etwa so aussehen:
Abbildung 13: Lösung Aufgabe 3
Mittelsenkrechte Dreieck – Das Wichtigste
- In einem Dreieck gibt es zu jeder der Seiten a, b und c eine Mittelsenkrechte. Ihr Schnittpunkt ist der Punkt, der von allen Ecken gleich weit entfernt ist.
- Mittelsenkrechten des Dreiecks werden wie normale Mittelsenkrechten konstruiert:
- Schritt 1
Wähle die Seite, zu der Du die Mittelsenkrechte konstruieren willst. Zeichne jeweils einen Kreis mit gleichem Radius um die anliegenden Eckpunkte des Dreiecks. Beachte, dass die Kreise groß genug sind, damit sie sich schneiden.
- Schritt 2
Du erhältst zwei Schnittpunkte für die Kreise. Verbinde diese mit einem Lineal oder Geodreieck zu einer Gerade. Du erhältst die Mittelsenkrechte.
In einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Schnittpunkt M der Mittelsenkrechten genau mittig auf der längsten Seite.
Der Umkreis eines Dreiecks geht durch alle Eckpunkte und sein Radius ist genau der Abstand der Eckpunkte zum Schnittpunkt der Mittelsenkrechten des Dreiecks.
Du kannst die Mittelsenkrechten der Dreiecksebene im dreidimensionalen Raum mithilfe von Vektoren berechnen, indem Du
den Mittelpunkt der Strecken berechnest
die Ebenengleichung der Dreiecksebene in Parameterform aufstellst
den Normalenvektor der Ebene bestimmst
die Geradengleichung der Dreiecksseiten in Parameterform bestimmst
den Normalenvektor der Gerade und des ersten Normalenvektors bestimmst
eine Geradengleichung aufstellst, in der der Mittelpunkt der Strecken als Ortsvektor und der zuletzt berechnete Normalenvektor als Richtungsvektor dienen
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