Mittelpunktswinkel

Vielleicht kennst Du schon den einen oder anderen besonderen Winkel am Kreis. Vielleicht fragst Du Dich aber auch: „Winkel am Kreis? Aber der ist doch rund!“

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Winkel am Kreis – die gibt es wirklich. Sie entstehen zum Beispiel durch die Unterteilung eines Kreises in Kreissektoren oder Kreisbögen. Einer dieser besonderen Winkel ist der Mittelpunktswinkel. Wo der genau liegt und was ihn besonders macht, erfährst Du in dieser Erklärung.

    Mittelpunktswinkel – Grundlagenwissen

    Der Mittelpunktswinkel ist ein Winkel, der vorwiegend im Zusammenhang mit Kreisbögen oder Kreissektoren auftaucht. Daher solltest Du Dir diese kurze Zusammenfassung eines anderen wichtigen Winkels am Kreisbogen sowie des Kreissektors ansehen.

    Peripheriewinkel am Kreisbogen

    Ein Kreisbogen ist ein Teil eines Kreises. Er wird begrenzt durch zwei Punkte auf einem Kreis, der diesen in zwei Kreisbögen unterteilt. Der Peripheriewinkel ist ein am Rand des Kreisbogens anliegender Winkel.

    Der Peripheriewinkel \( \phi \), auch Umfangswinkel oder Randwinkel genannt, liegt am Rand des Kreisbogens und wird von den Strecken eingeschlossen, die von den Punkten A und B zu einem beliebigen Punkt P auf dem Kreisbogen verlaufen. Das bedeutet, dass es mehrere Peripheriewinkel gibt.

    Hier wird der Kreis k durch die Punkte A und B in zwei Kreisbögen geteilt. Einer der Peripheriewinkel \( \phi \) ist hier eingezeichnet.

    Mittelpunktswinkel Peripheriewinkel am Kreis StudySmarterAbbildung 1: Peripheriewinkel am Kreis

    Mittelpunktswinkel Kreissektor

    Der Begriff „Sektor“ bedeutet so viel wie „Bereich“. Hier handelt es sich also um einen bestimmten Bereich eines Kreises.

    Der Kreissektor ist in der Geometrie eine Teilfläche eines Kreises, welche zwischen zwei Radien des Kreises und dem dazugehörigen Kreisbogen \(d_1\) liegt.

    Der Kreissektor wird auch Kreisausschnitt genannt.

    Mittelpunktswinkel Kreissektor StudySmarterAbbildung 2: Kreissektor

    In dieser Erklärung werden die Begriffe Kreissektor und Kreisausschnitt gleichwertig benutzt. Wenn Du mehr über Kreisausschnitte erfahren willst, schau gerne in die Erklärung Kreisausschnitt.

    Mittelpunktswinkel – Definition

    Der Mittelpunktswinkel liegt, wie sein Name schon sagt, am Mittelpunkt des Kreises.

    Der Scheitel des Mittelpunktswinkels, auch Zentriwinkel genannt, liegt im Mittelpunkt des Kreises. Seine Schenkel schneiden genau die Punkte, die den Kreisbogen begrenzen.

    Die beiden Punkte A und B auf der Kreislinie unterteilen den Kreis in zwei Kreisbögen. Dabei gibt es zu jedem Kreisbogen genau einen Mittelpunktswinkel.

    Hier wird der Kreisbogen \(\overset{\frown}{AB}\) betrachtet.

    Mittelpunktswinkel Kreisbogen AB StudySmarterAbbildung 3: Mittelpunktswinkel des Kreisboges \( \overset{\frown}{AB} \)

    Hier wird der Kreisbogen \(\overset{\frown}{BA}\) betrachtet.

    Mittelpunktswinkel Kreisbogen BA StudySmarterAbbildung 4: Mittelpunktswinkel des Kreisbogens \( \overset{\frown}{BA} \)

    Mittelpunktswinkel berechnen

    Du weißt nun schon, wo der Mittelpunktswinkel liegt. Dieser kann unter bestimmten Gegebenheiten auch berechnet werden und hilft selbst bei der Berechnung anderer Größen am Kreis.

    Mittelpunktswinkel Kreisbogen – Formel

    Hast Du einen Kreisbogen gegeben, kannst Du den zugehörigen Mittelpunktswinkel ausrechnen, wenn Du die Größe der Peripheriewinkel des Kreisbogens kennst. Dafür wird jedoch ein bestimmter Satz benötigt – der

    Zentri-Peripheriewinkelsatz.

    Der Zentri-Peripheriewinkelsatz beschreibt den Zusammenhang zwischen dem Mittelpunkts- bzw. Zentriwinkel und dem Peripheriewinkel.

    Der Zentri-Peripheriewinkelsatz besagt, dass jeder Zentriwinkel/Mittelpunktswinkel über einem Kreisbogen doppelt so groß ist wie die zugehörigen Peripheriewinkel.

    Mittelpunktswinkel Zentri-Peripheriewinkelsatz StudySmarterAbbildung 5: Zentri-Peripheriewinkelsatz

    Du weißt nun also, dass der Mittelpunktswinkel doppelt so groß ist wie der Peripheriewinkel. Hast Du einen Peripheriewinkel gegeben, multiplizierst Du diesen also einfach mit \( 2 \).

    Geben ist ein Kreisbogen \( \overset{\frown}{AB} \). Seine Peripheriewinkel haben die Größe \( 45^\circ \). Berechne den entsprechenden Mittelpunktswinkel \( \mu \) des Kreisbogens.

    Mittelpunktswinkel berechnen StudySmarterAbbildung 6: Mittelpunktswinkel berechnen

    Nach dem Zentri-Peripheriewinkelsatz verdoppelst Du dafür die Peripheriewinkel.

    \begin{align}\mu &=2\phi \\ &=2 \cdot 45^\circ \\ &=90^\circ \end{align}

    Mittelpunktswinkel Kreissektor – Formel

    Hast Du einen Kreissektor, auch genannt Kreisausschnitt, gegeben, kannst Du mithilfe des Mittelpunktswinkels den Flächeninhalt des Kreisausschnitts und die Länge des zugehörigen Kreisbogens ermitteln. Der Mittelpunktswinkel eines Kreisausschnitts liegt dabei innerhalb des Kreissektors am Mittelpunkt und wird durch die zwei Radien begrenzt.

    Flächeninhalt eines Kreissektors/Kreisausschnitts

    Der Flächeninhalt \( A \) eines Kreisausschnitts ist proportional zum Mittelpunktswinkel \( \mu \). Verdoppelst Du die Größe von \( \mu \), verdoppelt sich automatisch auch die Fläche \( A \). Da ein Vollkreis einen Mittelpunktswinkel von \( 360^\circ \) besitzt, entspricht der Anteil des Winkels \( \mu \) am Vollwinkel \( 360^\circ \) dem Anteil der Fläche \( A \) des Vollkreises mit einem Flächeninhalt \( \pi \cdot r^2 \), wobei \(r\) der Radius des Kreisausschnitts ist. Deshalb gilt Folgendes:

    Den Flächeninhalt A eines Kreissektors kannst Du berechnen, indem Du den Anteil des Mittelpunktswinkels am Vollwinkel mit dem Flächeninhalt des Vollkreises multiplizierst. Dafür kannst Du folgende Formel verwenden: \[ A= \pi \cdot r^2 \cdot \frac{\mu}{360^\circ}.\]

    Mithilfe dieser Formel kannst Du also die Fläche berechnen, wenn Du einen entsprechenden Mittelpunktswinkel und Radius gegeben hast. Diese setzt Du, wie im folgenden Beispiel, in die Formel ein.

    Gegeben ist folgender Kreissektor mit Mittelpunktswinkel \(\mu = 110^\circ \) und einem Radius \(r= 10 \, cm\).

    Mittelpunktswinkel Beispiel Fläche Kreissektor StudySmarter Abbildung 7: Fläche eines Kreissektors berechnen

    Mithilfe der Formel kann der Flächeninhalt also wie folgt berechnet werden:

    \begin{align} A &= \pi \cdot r^2 \cdot \frac{\mu}{360^\circ} \\ &= \pi \cdot (10\,cm)^2 \cdot \frac{110^\circ}{360^\circ} \\ &= \pi \cdot 100\,cm^2 \cdot \frac{11}{36} \\ &\approx 96\,cm^2 \end{align}

    Der Flächeninhalt des Kreisausschnitts ist also etwa \(96\,cm^2\).

    Mehr zum Flächeninhalt von Kreisen findest Du in der Erklärung zum Flächeninhalt Kreis.

    Länge des Kreisbogens eines dazugehörigen Kreissektors/Kreisausschnitts

    Auf die ähnliche Weise wie beim Flächeninhalt kann der Teil des Kreisumfangs bestimmt werden, den die zwei Radien des Kreisausschnitts einschließen. Dieser Teil ist demnach wieder ein Kreisbogen, da er auf dem Rand des Kreises liegt und von zwei Punkten begrenzt wird. Dieser Kreisbogen wird hier \( u_1\) genannt.

    Ähnlichkeit Länge Kreisbogen StudySmarterAbbildung 8: Länge eines Kreisbogens berechnen

    Auch hier ist die Länge des Kreisbogens wieder proportional zur Größe des Mittelpunktswinkels. Ein Vollkreis besitzt den Umfang \( 2\cdot \pi \cdot r\) mit Radius \(r\).

    Die Länge \( u_1\) des Kreisbogens eines Kreissektors kannst Du berechnen, indem Du den Anteil des Mittelpunktswinkels am Vollwinkel mit dem Umfang des Vollkreises multiplizierst. Dafür kannst Du folgende Formel verwenden: \[ u_1= 2\cdot \pi \cdot r \cdot \frac{\mu}{360^\circ}\]

    Auch hier setzt Du bei gegebenem Mittelpunktswinkel und Radius wieder in die Formel ein und berechnest diese.

    Gegeben sei der Kreisausschnitt aus vorigem Beispiel mit Mittelpunktswinkel \( \mu = 110^\circ \) und einem Radius \(r= 10\, cm\).

    Mithilfe der Formel kann die Länge des Kreisbogens \(u_1\) also wie folgt berechnet werden:

    \begin{align} u_1 &= 2\cdot \pi \cdot r \cdot \frac{\mu}{360^\circ} \\ &= 2\cdot \pi \cdot 10\,cm \cdot \frac{110^\circ}{360^\circ} \\ &= 2\cdot \pi \cdot 10\,cm \cdot \frac{11}{36} \\ &\approx 19,2 \, cm. \end{align}

    Der Kreisbogen ist also etwa \(\text{19,2 cm}\) lang.

    Mittelpunktswinkel weiterer Figuren

    Nicht nur im Kreis kommen Peripheriewinkel und Mittelpunktswinkel vor. Auch andere geometrische Figuren besitzen diese Winkel.

    Mittelpunktswinkel Dreieck

    Der Mittelpunktswinkel eines Dreiecks ist der Mittelpunktswinkel des Kreisbogens, der auf dem Umkreis des Dreiecks liegt.

    Ist ein Kreisbogen gegeben, entsteht durch die Verbindungsstrecken der Eckpunkte A und B mit einem Punkt auf dem Kreisbogen genau so ein Dreieck. Der Peripheriewinkel liegt hier also in der Spitze des Dreiecks. Durch die Verbindung der Eckpunkte mit dem Mittelpunkt M entsteht ebenfalls ein Dreieck, in dessen Spitze der Mittelpunktswinkel \(\mu\) liegt.

    Mittelpunktswinkel Dreieck StudySmarterAbbildung 9: Mittelpunkswinkel Dreieck

    Wie Du siehst, entstehen im Kreisbogen \( \overset{\frown}{AB} \) die beiden Dreiecke \( \triangle ABM \) und \( \triangle ABP \).

    Mittelpunktswinkel Sechseck

    Ein regelmäßiges Sechseck besteht aus sechs gleichseitigen Dreiecken. Das bedeutet, dass auch die Mittelpunktswinkel der Dreiecksteile alle gleich groß sind.

    Mittelpunktswinkel Rechteck StudySmarterAbbildung 10: Mittelpunktswinkel Rechteck

    In einem gleichseitigen Dreieck beträgt jeder Winkel genau \( 60^\circ\). Somit beträgt der Mittelpunktswinkel \( \mu\) im Sechseck ebenfalls genau \( 60^\circ\).

    Mittelpunktswinkel Kegel

    Am Kegel kannst Du den Mittelpunktswinkel der Mantelfläche ausrechnen, da diese einen Kreisausschnitt bildet.

    Hast Du einen Kegel mit Radius \( r \) und Höhe \( h \) gegeben, so kannst Du den Mittelpunktswinkel berechnen, indem Du zunächst die Länge der Mantellinie \( s \) mithilfe des Satzes des Pythagoras berechnest. Du rechnest also

    \[s=\sqrt{r^2+h^2}.\]

    Mittelpunktswinkel Kegel StudySmarterAbbildung 11: Kegel

    Hast Du \(s \) berechnet, kannst Du damit den Mittelpunktswinkel der Mantelfläche berechnen:

    Um den Mittelpunktswinkel der Mantelfläche eines Kegels zu berechnen, kannst Du folgende Formel benutzen: \[\mu= \frac{r}{s} \cdot 360^\circ.\]

    Sie beschreibt das Verhältnis vom Radius des Kreises zur Mantellinie und nimmt genau diesen Anteil vom Vollwinkel.

    Mittelpunktswinkel Mantelfläche Kegel StudySmarterAbbildung 12: Mantelfläche des Kegels

    Gegeben ist ein Kegel mit Radius \( r=3\,cm \) und Höhe \( h=4\,cm \).

    Wie groß ist der Mittelpunktswinkel der Mantelfläche des Kegels?

    Die Mantellinie berechnest Du wie folgt:

    \begin{align}s &=\sqrt{r^2+h^2} \\ &= \sqrt{(3\,cm)^2+(4\,cm)^2} \\ &= \sqrt{9\,cm^2+16\,cm^2} \\ &= \sqrt{25\,cm^2} \\ &=5\,cm. \end{align}

    Nun kannst Du den Mittelpunktswinkel bestimmen:

    \begin{align}\mu &= \frac{r}{s} \cdot 360^\circ \\ &= \frac{3\,cm}{5\,cm} \cdot 360^\circ \\ &= 216^\circ. \end{align}

    Der gesuchte Winkel der Mantelfläche beträgt also genau \( 216^\circ \).

    Du kannst auch beide Formeln zu einer verbinden, indem Du die Formel von \(s\) in den Nenner schreibst. Du erhältst dann \(\mu= \frac{r}{\sqrt{r^2+h^2}} \cdot 360^\circ.\)

    Mittelpunktswinkel – Aufgaben

    Hier kannst Du die Anwendung der Formeln direkt anhand einiger Aufgaben üben!

    Aufgabe 1

    Gegeben ist ein Kreisbogen mit Peripheriewinkeln \( \phi =37,5^\circ \).

    Berechne den zugehörigen Mittelpunktswinkel.

    Lösung

    Mithilfe des Zentri-Peripheriesatzes gilt für den Mittelpunktswinkel \( \mu \):

    \begin{align}\mu &=2\phi \\ &=2 \cdot 37,5^\circ \\ &=75^\circ \end{align}

    Der Mittelpunktswinkel beträgt damit \(75^\circ\).

    Aufgabe 2

    Gegeben ist ein Kreissektor eines Kreises mit Radius \( r =5\, cm \). Der Mittelpunktswinkel des Kreissektors beträgt genau \( \mu =41^\circ \).

    Berechne den Flächeninhalt \( A\) des Kreissektors.

    Lösung

    Mithilfe obiger Formel kannst Du den Flächeninhalt ausrechnen, indem Du den gegebenen Radius und Mittelpunktswinkel einsetzt:

    \begin{align} A &= \pi \cdot r^2 \cdot \frac{\mu}{360^\circ} \\ &= \pi \cdot (5\,cm)^2 \cdot \frac{41^\circ}{360^\circ} \\ &= \pi \cdot 25\,cm^2 \cdot \frac{41}{360} \\ &\approx 8,94\,cm^2. \end{align}

    Der Kreissektor hat damit eine Fläche von etwa \(\text{8,94 }cm^2\).

    Aufgabe 3

    Gegeben ist ein Kegel mit Radius \( r=10\,cm \) und Höhe \( h=10\,cm \).

    Berechne den Mittelpunktswinkel der zugehörigen Mantelfläche.

    Lösung

    Du kannst die Berechnung in zwei Schritten machen (vorab \(s\) berechnen) oder direkt alles in die zusammengefasste Formel einsetzten. Zweiteres ist etwas genauer, weshalb hier die zusammengefasste Formel genutzt wird.

    Du setzt also den Radius \(r\) und die Höhe \(h\) in die obige Formel ein:

    \begin{align}\mu &= \frac{r}{\sqrt{r^2+h^2}} \cdot 360^\circ \\ &= \frac{10\,cm}{\sqrt{(10\,cm)^2+(10\,cm)^2}} \cdot 360^\circ \\ &= \frac{10\,cm^2}{\sqrt{200\,cm^2}} \cdot 360^\circ \\ &\approx 254,56^\circ. \end{align}

    Der Mittelpunktswinekl der Mantelfläche des Kegels beträgt also in etwa \(\text{254,56}^\circ\).

    Mittelpunktswinkel – Das Wichtigste

    • Der Mittelpunktswinkel, auch Zentriwinkel genannt, liegt im Kreis. Sein Scheitel liegt im Mittelpunkt des Kreises. Seine Schenkel schneiden genau die Punkte, die den Kreisbogen begrenzen.
    • Der Zentri-Peripheriewinkelsatz besagt, dass jeder Zentriwinkel/Mittelpunktswinkel über einem Kreisbogen doppelt so groß ist wie die zugehörigen Peripheriewinkel. Der Mittelpunktswinkel ist also berechenbar mithilfe des Peripheriewinkels.
    • Den Flächeninhalt \(A\) eines Kreissektors berechnest Du mit der Formel \( A= \pi \cdot r^2 \cdot \frac{\mu}{360^\circ}\), wobei \(r\) der Kreisradius und \(\mu\) der Mittelpunktswinkel des Kreissektors ist.
    • Die Länge \(u_1\) eines Kreisbogens berechnest Du mit der Formel \( u_1= 2\cdot \pi \cdot r \cdot \frac{\mu}{360^\circ}\), wobei \(r\) der Kreisradius und \(\mu\) der Mittelpunktswinkel des Kreissektors ist.
    • Der Mittelpunktswinkel eines gleichmäßigen Sechsecks \( \mu\) beträgt genau \( 60^\circ\).
    • Die Mantelfläche eines Kegels ist ein Kreissektor. Der entsprechende Mittelpunktswinkel wird mit der Formel \[\mu= \frac{r}{s} \cdot 360^\circ.\] berechnet, wobei \(r\) der Kreisradius und \(s\) die Mantellinie ist.

    Nachweise

    1. Agricola, Friedrich (2009). Elementargeometrie: Fachwissen für Studium und Mathematikunterricht. Springer-Verlag.
    2. Strick (2019). Mathematik ist schön: Anregungen zum Anschauen und Erforschen für Menschen zwischen 9 und 99 Jahren. Springer-Verlag.
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    Häufig gestellte Fragen zum Thema Mittelpunktswinkel

    Wo ist der Mittelpunktswinkel?

    Der Scheitel des Mittelpunktswinkels, auch Zentriwinkel genannt, liegt im Mittelpunkt des Kreises. Seine Schenkel schneiden genau die Punkte, die den Kreisbogen begrenzen.

    Wie berechnet man den Mittelpunktswinkel eines Kreises?

    Hast Du einen Kreisbogen oder Kreissektor gegeben, kannst Du den zugehörigen Mittelpunktswinkel ausrechnen, wenn Du die Größe der Peripheriewinkel des Kreisbogens kennst. Der Mittelpunktswinkel ist genau doppelt so groß wie der zugehörige Peripheriewinkel.

    Was ist ein Mittelpunktswinkel?

    Ein Mittelpunktswinkel ist der Winkel, der in einer Figur an ihrem Mittelpunkt anliegt und durch zwei Strecken begrenzt ist. Er kann etwa in einem Kreisbogen oder Kreissektor liegen.

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