Punkte, Gerade und Ebenen stehen in ganz bestimmten Lagebeziehungen zueinander.
Entdecke über 50 Millionen kostenlose Lernmaterialien in unserer App.
Lerne mit deinen Freunden und bleibe auf dem richtigen Kurs mit deinen persönlichen Lernstatistiken
Jetzt kostenlos anmeldenNie wieder prokastinieren mit unseren Lernerinnerungen.
Jetzt kostenlos anmeldenPunkte, Gerade und Ebenen stehen in ganz bestimmten Lagebeziehungen zueinander.
Auch in Deinem Zimmer befinden sich Ebenen (Wände, Schreibtisch), Geraden (Balken, Bodenleisten) und Punkte (Federmäppchen, Teller), die in einem bestimmten Verhältnis zueinander stehen.
Welche Verhältnisse es bei der Lagebeziehung Punkt Gerade, Punkt Ebene oder Ebene Ebene gibt und wie Du diese berechnest, erfährst Du in dieser Erklärung.
Für die Lagebeziehung von Punkten, Geraden und Ebenen in der analytischen Geometrie kannst Du verschiedene Konstellationen unterscheiden.
Lagebeziehung | Fragestellung |
Punkt – Gerade | Liegt ein Punkt auf der Gerade oder nicht? |
Punkt – Ebene | Liegt ein Punkt auf der Ebene oder nicht? |
Gerade – Gerade | Sind beide Geraden parallel, identisch, sich schneidend oder windschief? |
Gerade – Ebene | Ist die Gerade ein Teil der Ebene, ist sie parallel oder schneiden sie sich? |
Ebene – Ebene | Liegt eine Ebene in einer anderen Ebene, sind sie parallel oder schneiden sie sich? |
Bei der Bestimmung dieser Lagebeziehungen kannst Du Dich gut an den Koordinatenachsen und bestimmten Spurpunkten orientieren.
Die Erklärung "Spurpunkte" gibt eine gute Übersicht.
Die Lagebeziehung zwischen einem Punkt und einer Gerade gibt es sowohl im zweidimensionalen als auch im dreidimensionalen Raum.
Zunächst ist es wichtig herauszufinden, ob der Punkt ein Teil der Gerade ist oder nicht.
Das kann mithilfe der Punktprobe ermittelt werden.
Das Vorgehen kannst Du auf die Lagebeziehung zwischen Punkt und Gerade im Zweidimensionalen und im Dreidimensionalen anwenden.
Zweidimensionaler Raum | Dreidimensionaler Raum | |
Beispiel | \begin{align}&{\color{#00dcb4}f(x)}=3{\color{#1478c8}x}+2; \, \\[0.4cm] &P({\color{#1478c8}2}|{\color{#00dcb4}8})\end{align} | \begin{align} &f: {\color{#fa3273}\vec{x}} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} -5 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right); \, \\[0.4cm] &P\, ({\color{#fa3273}0| \text{3}| \text{1}})\end{align} |
1. Punkt in Geradengleichung einsetzen. | \begin{align} {\color{#00dcb4}8} &=3 \cdot {\color{#1478c8}2} +2 \end{align} | \[\left( {\color{#fa3273}\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array} } \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} -5 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \] |
2. Gleichung/ Gleichungssystem lösen. | \begin{align} 8 &=3 \cdot 2 +2 \\ 8 &=6+2 \\ 8&=8 \, (\checkmark) \end{align} | \begin{align} 0 &= 4 + \lambda \cdot (-5) &&\rightarrow \lambda =0,8 \\ 3 &= 2 + \lambda \cdot 2 && \rightarrow \lambda = 0,5 \, (\times)\\ 1 &= 1 + \lambda \cdot 1 &&\rightarrow \lambda = 0 \, (\times)\end{align} |
3. Ergebnis | \[P \in f(x)\] | \[P \not \in f(x)\] |
Graph |
In der Erklärung "Punktprobe" findest Du weitere Hintergründe und Beispiele.
Liegt der Punkt nicht auf der Gerade, so kann der Abstand zwischen Punkt und Gerade berechnet werden.
Der Abstand eines Punkts zu einer Geraden ist immer die kürzeste Entfernung der beiden.
Um den Abstand zu berechnen, kann die Abstandsformel oder das Lotfußpunktverfahren angewendet werden.
Nähere Infos zu diesem Thema gibt es in der Erklärung "Lagebeziehung Punkt Gerade" und "Lotfußpunktverfahren".
Auch hierfür kann eine Punktprobe angewandt werden, dafür benötigst Du den Punkt als Ortsvektor und die Ebenengleichung in Koordinatenform.
Beispiel | Liegt der Punkt \(P({\color{#1478c8}3}|{\color{#00dcb4}3}|{\color{#fa3273}-1})\) auf der Ebene \(E: 4{\color{#1478c8}x} - 2{\color{#00dcb4}y} + 1{\color{#fa3273}z} = 5\) ? |
1. Koordinaten des Punktes \(P\) in die Ebenengleichung \(E\) einsetzen. | \[4 \cdot {\color{#1478c8}3} - 2 \cdot {\color{#00dcb4}3} + 1 \cdot {\color{#fa3273}(-1)} = 5\] |
2. Gleichung lösen. | \begin{align} 4 \cdot 3 - 2 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) &= 5 \\ 12 - 6 - 1 &= 5 \\ 5 &= 5 \, (\checkmark) \end{align} |
3. Ergebnis | \[P \in E\] |
Graph |
Ist die Ebenengleichung nicht in Parameterform gegeben, musst Du sie zunächst umwandeln, hierbei hilft Dir die Erklärung "Ebenengleichung umwandeln".
Alternativ kannst Du auch noch weitere mögliche Methoden anwenden, welche Du in der Erklärung "Lagebeziehung Punkt Gerade" findest.
Geraden können auf vier verschiedene Weisen zueinander stehen:
Das sieht dann so aus.
identisch | parallel | sich schneidend | windschief |
Die Erklärung "Lagebeziehungen von Geraden" erklärt Dir genauer, wie Du die einzelnen Lagebeziehungen zwischen Geraden erkennen und berechnen kannst.
Eine Ebene \(E\) und eine Gerade \(g\) können in drei verschiedenen Beziehungen zueinander stehen:
Auch das kannst Du Dir am besten graphisch vorstellen.
\(g\) schneidet \(E\) | \(g\) liegt auf \(E\) | \(g\) parallel zu \(E\) |
Zur Berechnung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene gibt es zwei Möglichkeiten.
Zum einen kannst Du Schritt für Schritt die Lage der Gerade zur Ebene nach einem Prüfschema herausfinden.
Zum Anderen kann auch hier so etwas wie eine Punktprobe angewendet werden.
Beide Berechnungsmöglichkeiten werden genauer in der Erklärung "Lagebeziehung Gerade Ebene" erklärt.
In dem Fall, dass die Gerade die Ebene schneidet, kann der genaue Schnittpunkt berechnet werden.
Du benötigst die Geradengleichung in Parameterform und die Ebenengleichung in Koordinatenform.
Beispiel | Berechne den Schnittpunkt der Geraden \(g: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right) \) mit der Ebene \(E: -x+2y+z=1\). |
1. Schritt: Stelle die Geradengleichung als lineares Gleichungssystem nach deren Koordinaten auf. | \begin{align} {\color{#1478c8}x}&=1+\lambda \cdot (-2) \\ {\color{#00dcb4}y}&=-1+ \lambda \cdot 0 \\ {\color{#fa3273}z}&=3+ \lambda \cdot (-1) \end{align} |
2. Schritt: Setze die Koordinaten in die Koordinatengleichung der Ebene ein. | \begin{align} &E: -{\color{#1478c8}x} +2{\color{#00dcb4}y}+{\color{#fa3273}z} =1 \\ &E: -({\color{#1478c8}1-2 \lambda}) +2 \cdot ({\color{#00dcb4}-1})+({\color{#fa3273}3-1 \lambda}) =1 \end{align} |
3. Schritt: Vereinfache die entstandene Gleichung und löse nach Lambda auf. | \begin{align} E: -(1-2 \lambda) +2 \cdot (-1)+(3-1 \lambda) &=1 \\ -1 +2 \lambda -2 +3- \lambda &=1 \\ \lambda &=1+1+2-3 \\ \lambda &=1 \end{align} |
4. Schritt: Nun setzt Du \lambda in die Geradengleichung \(g\) ein und bestimmst damit den Schnittpunkt \(S\). | \begin{align} g: \vec{x} &= \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right) \\[0.2cm] &= \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right) \\[0.2cm] &= \left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right) \end{align} |
Graph | Der Schnittpunkt liegt also bei \begin{align}S\left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right) \end{align}. |
Ist die Ebene in Normalenform oder Parameterform gegeben, musst Du sie zuerst in die Koordinatenform umwandeln.
Mehr Beispiele und Hintergrundinformationen hält die Erklärung "Schnittpunkt Gerade Ebene" für Dich bereit.
Zwei Ebenen \(E_1\) und \(E_2\) können in drei verschiedenen Beziehungen zueinander stehen:
Sieh Dir diese drei Möglichkeiten einmal an.
sich schneidend | parallel | identisch |
Die Berechnung erfolgt wieder anhand eines Prüfschemas.
Für sich schneidende Ebenen entsteht an der Schnittstelle eine sogenannte Schnittgerade, die berechnet werden kann.
Alle weiteren Informationen zu diesem Themengebiet sind in den Erklärungen "Gegenseitige Lage von Ebenen" und "Schnittgerade zweier Ebenen" zu finden.
Lagebeziehung | Fragestellung |
Punkt – Gerade | Liegt ein Punkt auf der Gerade oder nicht? |
Punkt – Ebene | Liegt ein Punkt auf der Ebene oder nicht? |
Gerade – Gerade | Sind beide Geraden parallel, identisch, sich schneidend oder windschief? |
Gerade – Ebene | Ist die Gerade ein Teil der Ebene, ist sie parallel oder schneiden sie sich? |
Ebene – Ebene | Liegt eine Ebene in einer anderen Ebene, sind sie parallel oder schneiden sie sich? |
Der Schnittpunkt, in dem eine Gerade eine Ebene schneidet, kann berechnet werden.
Dazu benötigst Du die Geradengleichung in Parameterform und die Ebenengleichung in Koordinatenform.
Eine Gerade ist Teil einer Ebene, wenn sie genau auf der Ebene E liegt.
Schneidet die Gerade die Ebene oder ist sie parallel zu dieser, kann sie kein Teil der Ebene sein.
Ein Punkt liegt auf einer Ebene, wenn die Punktprobe aufgeht.
Den Schnittpunkt von Gerade und Ebene kannst Du nach folgendem Schema berechnen:
Definiere den Begriff Ebene!
Eine Ebene wird durch zwei nicht parallele Vektoren und einen Punkt eindeutig aufgespannt.
Welche Lage können zwei Ebenen zueinander einnehmen?
Nenne die Lagebeziehungen, die eine Gerade und eine Ebene im Raum haben können.
Welche Lagebeziehung können eine Gerade und eine Ebene haben, wenn das Skalarprodukt aus Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor der Gerade 0 ist?
Wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren 0 ist, stehen der Normalenvektor und der Richtungsvektor senkrecht aufeinander.
Die Gerade g kann dann entweder in der Ebene E liegen oder echt parallel zur Ebene E sein.
Welche Lagebeziehung können eine Gerade und eine Ebene haben, wenn das Skalarprodukt aus Normalenvektor der Ebene und Richtungsvektor der Gerade nicht 0 ist?
Wenn das Skalarprodukt der beiden Vektoren nicht 0 ist, stehen der Normalenvektor und der Richtungsvektor nicht senkrecht aufeinander.
Die Gerade g und die Ebene E haben dann einen Schnittpunkt.
Gegeben sind eine Gerade und eine Ebene.
Gib die Lagebeziehung an.
Der Gerade verläuft parallel zur Ebene.
Du hast bereits ein Konto? Anmelden
In der App öffnenDie erste Lern-App, die wirklich alles bietet, was du brauchst, um deine Prüfungen an einem Ort zu meistern.
Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.
Speichere Erklärungen in deinem persönlichen Bereich und greife jederzeit und überall auf sie zu!
Mit E-Mail registrieren Mit Apple registrierenDurch deine Registrierung stimmst du den AGBs und der Datenschutzerklärung von StudySmarter zu.
Du hast schon einen Account? Anmelden
Du hast bereits ein Konto? Anmelden
Die erste Lern-App, die wirklich alles bietet, was du brauchst, um deine Prüfungen an einem Ort zu meistern.
Du hast bereits ein Konto? Anmelden