In welchem Punkt schneidet eine Gerade die Ebene?

Der Schnittpunkt , in dem eine Gerade eine Ebene schneidet, kann berechnet werden. Dazu benötigst Du die Geradengleichung in Parameterform und die Ebenengleichung in Koordinatenform.

Wann ist eine Gerade in einer Ebene?

Eine Gerade ist Teil einer Ebene, wenn sie genau auf der Ebene E liegt. Schneidet die Gerade die Ebene oder ist sie parallel zu dieser, kann sie kein Teil der Ebene sein.

Wann liegt ein Punkt auf einer Ebene?

Ein Punkt liegt auf einer Ebene, wenn die Punktprobe aufgeht.

Wie berechnet man den Schnittpunkt von Gerade und Ebene?

Den Schnittpunkt von Gerade und Ebene kannst Du nach folgendem Schema berechnen: 1. Schritt: Stelle die Geradengleichung als lineares Gleichungssystem nach deren Koordinaten auf. 2. Schritt: Setze die Koordinaten in die Koordinatengleichung der Ebene ein. 3. Schritt: Vereinfache die entstandene Gleichung und löse nach Lambda auf. 4. Schritt: Nun setzt Du \lambda in die Geradengleichung \(g\) ein und bestimmst damit den Schnittpunkt \(S\).

Liegt ein Punkt \(P \, (1|4)\) auf einer Geraden \(g(x) = 2x + 4\)?

Nein. Setze dazu die Koordinaten des Punktes \(P\) in die Geradengleichung ein: \begin{align} 4 &= 2 \cdot 1 + 4 \\ 4 &= 2 + 4 \\ 4 &= 6 \text{ (f)} \end{align}

Beschreibe allgemein, wie herausgefunden werden kann, ob ein Punkt \(P\) im dreidimensionalen Raum auf einer Geraden \(g\) liegt.

Punkt \(P\) als Ortsvektor mit Geradengleichung gleichsetzen. Gleichungssystem erstellen Jede Zeile auf \( \lambda\) auflösen.

Wie lautet allgemein das Verfahren für einen Punkt auf einer Geraden mit einer Geraden \(g\) in Parameterform?

\[\left( \begin{array}{c} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \end{array} \right) = \left( \begin{array}{c} q_1 \\ q_2 \\ q_3 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} u_1 \\ u_2 \\ u_3 \end{array} \right) \]

Es gilt nach einer bereits vorangegangenen Rechnung diese Beziehung: \begin{align} 0 &= 4 + \lambda \cdot (-4) \\ 4 &= 2 + \lambda \cdot 2 \\ 2 &= 1 + \lambda \cdot 1 \end{align} Kann ein Punkt nun auf der Geraden liegen?

Ja, da immer gilt: \( \lambda = 1\)

Lagebeziehung: Punkt, Gerade & Ebene

Auch in Deinem Zimmer befinden sich Ebenen (Wände, Schreibtisch), Geraden (Balken, Bodenleisten) und Punkte (Federmäppchen, Teller), die in einem bestimmten Verhältnis zueinander stehen.

Welche Verhältnisse es bei der Lagebeziehung Punkt Gerade, Punkt Ebene oder Ebene Ebene gibt und wie Du diese berechnest, erfährst Du in dieser Erklärung.

Lagebeziehung – Übersicht

Für die Lagebeziehung von Punkten, Geraden und Ebenen in der analytischen Geometrie kannst Du verschiedene Konstellationen unterscheiden.

Lagebeziehung	Fragestellung
Punkt – Gerade	Liegt ein Punkt auf der Gerade oder nicht?
Punkt – Ebene	Liegt ein Punkt auf der Ebene oder nicht?
Gerade – Gerade	Sind beide Geraden parallel, identisch, sich schneidend oder windschief?
Gerade – Ebene	Ist die Gerade ein Teil der Ebene, ist sie parallel oder schneiden sie sich?
Ebene – Ebene	Liegt eine Ebene in einer anderen Ebene, sind sie parallel oder schneiden sie sich?

Bei der Bestimmung dieser Lagebeziehungen kannst Du Dich gut an den Koordinatenachsen und bestimmten Spurpunkten orientieren.

Die Erklärung "Spurpunkte" gibt eine gute Übersicht.

Lagebeziehung Punkt Gerade

Die Lagebeziehung zwischen einem Punkt und einer Gerade gibt es sowohl im zweidimensionalen als auch im dreidimensionalen Raum.

Punktprobe

Zunächst ist es wichtig herauszufinden, ob der Punkt ein Teil der Gerade ist oder nicht.

Das kann mithilfe der Punktprobe ermittelt werden.

Dazu wird der Punkt in die Geradengleichung eingesetzt.
Die Gleichung oder das Gleichungssystem wird gelöst.
Geht die Rechnung auf, liegt der Punkt auf der Geraden. Ist die Rechnung falsch, liegt der Punkt nicht auf der Geraden.

Das Vorgehen kannst Du auf die Lagebeziehung zwischen Punkt und Gerade im Zweidimensionalen und im Dreidimensionalen anwenden.

	Zweidimensionaler Raum	Dreidimensionaler Raum
Beispiel	\begin{align}&{\color{#00dcb4}f(x)}=3{\color{#1478c8}x}+2; \, \\[0.4cm] &P({\color{#1478c8}2}\|{\color{#00dcb4}8})\end{align}	\begin{align} &f: {\color{#fa3273}\vec{x}} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} -5 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right); \, \\[0.4cm] &P\, ({\color{#fa3273}0\| \text{3}\| \text{1}})\end{align}
1. Punkt in Geradengleichung einsetzen.	\begin{align} {\color{#00dcb4}8} &=3 \cdot {\color{#1478c8}2} +2 \end{align}	\[\left( {\color{#fa3273}\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 1 \end{array} } \right) = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} -5 \\ 2 \\ 1 \end{array} \right) \]
2. Gleichung/ Gleichungssystem lösen.	\begin{align} 8 &=3 \cdot 2 +2 \\ 8 &=6+2 \\ 8&=8 \, (\checkmark) \end{align}	\begin{align} 0 &= 4 + \lambda \cdot (-5) &&\rightarrow \lambda =0,8 \\ 3 &= 2 + \lambda \cdot 2 && \rightarrow \lambda = 0,5 \, (\times)\\ 1 &= 1 + \lambda \cdot 1 &&\rightarrow \lambda = 0 \, (\times)\end{align}
3. Ergebnis	\[P \in f(x)\]	\[P \not \in f(x)\]
Graph

In der Erklärung "Punktprobe" findest Du weitere Hintergründe und Beispiele.

Abstand

Liegt der Punkt nicht auf der Gerade, so kann der Abstand zwischen Punkt und Gerade berechnet werden.

Der Abstand eines Punkts zu einer Geraden ist immer die kürzeste Entfernung der beiden.

Um den Abstand zu berechnen, kann die Abstandsformel oder das Lotfußpunktverfahren angewendet werden.

Nähere Infos zu diesem Thema gibt es in der Erklärung "Lagebeziehung Punkt Gerade" und "Lotfußpunktverfahren".

Lagebeziehung Punkt Ebene

Auch hierfür kann eine Punktprobe angewandt werden, dafür benötigst Du den Punkt als Ortsvektor und die Ebenengleichung in Koordinatenform.

Beispiel	Liegt der Punkt \(P({\color{#1478c8}3}\|{\color{#00dcb4}3}\|{\color{#fa3273}-1})\) auf der Ebene \(E: 4{\color{#1478c8}x} - 2{\color{#00dcb4}y} + 1{\color{#fa3273}z} = 5\) ?
1. Koordinaten des Punktes \(P\) in die Ebenengleichung \(E\) einsetzen.	\[4 \cdot {\color{#1478c8}3} - 2 \cdot {\color{#00dcb4}3} + 1 \cdot {\color{#fa3273}(-1)} = 5\]
2. Gleichung lösen.	\begin{align} 4 \cdot 3 - 2 \cdot 3 + 1 \cdot (-1) &= 5 \\ 12 - 6 - 1 &= 5 \\ 5 &= 5 \, (\checkmark) \end{align}
3. Ergebnis	\[P \in E\]
Graph

Ist die Ebenengleichung nicht in Parameterform gegeben, musst Du sie zunächst umwandeln, hierbei hilft Dir die Erklärung "Ebenengleichung umwandeln".

Alternativ kannst Du auch noch weitere mögliche Methoden anwenden, welche Du in der Erklärung "Lagebeziehung Punkt Gerade" findest.

Lagebeziehung Geraden

Geraden können auf vier verschiedene Weisen zueinander stehen:

Zwei Geraden sind identisch, wenn jeder Punkt der einen Geraden auch ein Punkt der anderen Geraden ist.
Zwei Geraden sind (echt) parallel, wenn sie keinen Schnittpunkt haben und ihr Abstand überall gleich groß ist.
Zwei Geraden schneiden sich, wenn sie genau einen gemeinsamen Punkt haben.
Zwei Geraden sind windschief, wenn sie sich nicht berühren und nicht parallel sind.

Das sieht dann so aus.

identisch	parallel	sich schneidend	windschief

Um rechnerisch herauszufinden, wie Geraden zueinander stehen, kannst Du ein Prüfschema anwenden.

Lagebeziehung Prüfungsschema zwei Geraden StudySmarter Abb. 1 - Prüfungsschema Gerade Gerade.

Die Erklärung "Lagebeziehungen von Geraden" erklärt Dir genauer, wie Du die einzelnen Lagebeziehungen zwischen Geraden erkennen und berechnen kannst.

Lagebeziehung Ebene Gerade

Eine Ebene \(E\) und eine Gerade \(g\) können in drei verschiedenen Beziehungen zueinander stehen:

Eine Ebene \(E\) und eine Gerade \(g\) haben einen Schnittpunkt, wenn sie genau einen gemeinsamen Punkt haben.
Eine Gerade \(g\) liegt in der Ebene \(E\), wenn jeder Punkt der Gerade auch ein Punkt der Ebene ist.
Eine Gerade \(g\) und eine Ebene \(E\) sind parallel, wenn die Gerade und die Ebene keinen gemeinsamen Punkt haben.

Auch das kannst Du Dir am besten graphisch vorstellen.

\(g\) schneidet \(E\)	\(g\) liegt auf \(E\)	\(g\) parallel zu \(E\)

Berechnung Gerade Ebene

Zur Berechnung der Lagebeziehung zwischen Gerade und Ebene gibt es zwei Möglichkeiten.

Zum einen kannst Du Schritt für Schritt die Lage der Gerade zur Ebene nach einem Prüfschema herausfinden.

Lagebeziehung Gerade Ebene StudySmarter Abb. 2 - Prüfungsschema Gerade Ebene.

Zum Anderen kann auch hier so etwas wie eine Punktprobe angewendet werden.

Lagebeziehung Gerade Ebene StudySmarter Abb. 3 - Prüfungsschema Ebene Gerade.

Beide Berechnungsmöglichkeiten werden genauer in der Erklärung "Lagebeziehung Gerade Ebene" erklärt.

Schnittpunkt Gerade Ebene

In dem Fall, dass die Gerade die Ebene schneidet, kann der genaue Schnittpunkt berechnet werden.

Du benötigst die Geradengleichung in Parameterform und die Ebenengleichung in Koordinatenform.

Beispiel	Berechne den Schnittpunkt der Geraden \(g: \vec{x} = \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right) \) mit der Ebene \(E: -x+2y+z=1\).
1. Schritt: Stelle die Geradengleichung als lineares Gleichungssystem nach deren Koordinaten auf.	\begin{align} {\color{#1478c8}x}&=1+\lambda \cdot (-2) \\ {\color{#00dcb4}y}&=-1+ \lambda \cdot 0 \\ {\color{#fa3273}z}&=3+ \lambda \cdot (-1) \end{align}
2. Schritt: Setze die Koordinaten in die Koordinatengleichung der Ebene ein.	\begin{align} &E: -{\color{#1478c8}x} +2{\color{#00dcb4}y}+{\color{#fa3273}z} =1 \\ &E: -({\color{#1478c8}1-2 \lambda}) +2 \cdot ({\color{#00dcb4}-1})+({\color{#fa3273}3-1 \lambda}) =1 \end{align}
3. Schritt: Vereinfache die entstandene Gleichung und löse nach Lambda auf.	\begin{align} E: -(1-2 \lambda) +2 \cdot (-1)+(3-1 \lambda) &=1 \\ -1 +2 \lambda -2 +3- \lambda &=1 \\ \lambda &=1+1+2-3 \\ \lambda &=1 \end{align}
4. Schritt: Nun setzt Du \lambda in die Geradengleichung \(g\) ein und bestimmst damit den Schnittpunkt \(S\).	\begin{align} g: \vec{x} &= \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right) + \lambda \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right) \\[0.2cm] &= \left( \begin{array}{c} 1 \\ -1 \\ 3 \end{array} \right) + 1 \cdot \left( \begin{array}{c} -2 \\ 0 \\ -1 \end{array} \right) \\[0.2cm] &= \left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right) \end{align}
Graph	Der Schnittpunkt liegt also bei \begin{align}S\left( \begin{array}{c} -1 \\ -1 \\ 2 \end{array} \right) \end{align}.

Ist die Ebene in Normalenform oder Parameterform gegeben, musst Du sie zuerst in die Koordinatenform umwandeln.

Mehr Beispiele und Hintergrundinformationen hält die Erklärung "Schnittpunkt Gerade Ebene" für Dich bereit.

Lagebeziehung Ebene Ebene

Zwei Ebenen \(E_1\) und \(E_2\) können in drei verschiedenen Beziehungen zueinander stehen:

Ebene \(E_1\) und Ebene \(E_2\) schneiden sich in einer Schnittgerade.
Die beiden Ebenen \(E_1\) und \(E_2\) sind parallel, wenn sie keinen gemeinsamen Punkt haben.
Beide Ebenen \(E_1\) und \(E_2\) sind identisch, wenn jeder Punkt der einen Ebene auch ein Punkt der anderen Ebene ist.

Sieh Dir diese drei Möglichkeiten einmal an.

sich schneidend	parallel	identisch

Die Berechnung erfolgt wieder anhand eines Prüfschemas.

Für sich schneidende Ebenen entsteht an der Schnittstelle eine sogenannte Schnittgerade, die berechnet werden kann.

Alle weiteren Informationen zu diesem Themengebiet sind in den Erklärungen "Gegenseitige Lage von Ebenen" und "Schnittgerade zweier Ebenen" zu finden.

Lagebeziehung – Das Wichtigste

Lagebeziehung	Fragestellung
Punkt – Gerade	Liegt ein Punkt auf der Gerade oder nicht?
Punkt – Ebene	Liegt ein Punkt auf der Ebene oder nicht?
Gerade – Gerade	Sind beide Geraden parallel, identisch, sich schneidend oder windschief?
Gerade – Ebene	Ist die Gerade ein Teil der Ebene, ist sie parallel oder schneiden sie sich?
Ebene – Ebene	Liegt eine Ebene in einer anderen Ebene, sind sie parallel oder schneiden sie sich?

Lagebeziehung Punkt – Gerade / Punkt – Ebene: Um herauszufinden, ob ein Punkt auf einer Gerade oder Ebene liegt, wird die Punktprobe angewandt.
Lagebeziehung Gerade – Gerade:
- Zwei Geraden sind identisch, wenn jeder Punkt der einen Geraden auch ein Punkt der anderen Geraden ist.
- Zwei Geraden sind (echt) parallel, wenn sie keinen Schnittpunkt haben und ihr Abstand überall gleich groß ist.
- Zwei Geraden schneiden sich, wenn sie genau einen gemeinsamen Punkt haben.
- Zwei Geraden sind windschief, wenn sie sich nicht berühren und nicht parallel sind.
Lagebeziehung Ebene – Gerade:
- Eine Ebene \(E\) und eine Gerade \(g\) haben einen Schnittpunkt, wenn sie genau einen gemeinsamen Punkt haben.
- Eine Gerade \(g\) liegt in der Ebene \(E\), wenn jeder Punkt der Gerade auch ein Punkt der Ebene ist.
- Eine Gerade \(g\) und eine Ebene \(E\) sind parallel, wenn die Gerade und die Ebene keinen gemeinsamen Punkt haben.
Lagebeziehung Ebene – Ebene:
- Ebene \(E_1\) und Ebene \(E_2\) schneiden sich in einer Schnittgerade.
- Die beiden Ebenen \(E_1\) und \(E_2\) sind parallel, wenn sie keinen gemeinsamen Punkt haben.
- Beide Ebenen \(E_1\) und \(E_2\) sind identisch, wenn jeder Punkt der einen Ebene auch ein Punkt der anderen Ebene ist.

Lagebeziehung

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Lagebeziehung – Übersicht