Stell Dir vor, Dich fragt jemand, wie viele Winkel ein Dreieck hat. Was würdest Du antworten?
Vermutlich drei Winkel, oder?
Das ist auch vollkommen richtig, zumindest für die Innenwinkel. Ein Dreieck hat drei Innenwinkel. Aber wusstest Du, dass es noch mehr Winkel am Dreieck gibt? Außerhalb des Dreiecks entstehen Außenwinkel. Jedes Dreieck hat sechs Außenwinkel. Was genau Außenwinkel sind, welche Winkelsumme sie stets haben und was sie mit Innenwinkeln zu tun haben, erfährst Du in dieser Erklärung.
Außenwinkelsumme Dreieck – Grundlagen
Überall dort, wo sich in der Geometrie zwei Geraden schneiden bzw. sich die Enden zweier Strahlen treffen, entstehen Winkel.
Schneiden sich zwei Geraden g und h in einem Punkt S oder berühren sich zwei Strahlen g und h in diesem Punkt, so spannen sie dabei an ihrem Schnittpunkt den Winkel α auf. Der Schnittpunkt S der Geraden ist der Scheitelpunkt des Winkels. Die Geradenabschnitte werden als Schenkel bezeichnet.
Schneiden sich zwei Geraden, entstehen vier Winkel, von denen je zwei gleich groß sind. Berühren sich zwei Strahlen, entstehen zwei Winkel.
Abbildung 1: Winkel am Schnittpunkt zwei Geraden bzw. am Berührpunkt zwei Strahlen
Im Inneren eines Dreiecks existieren drei Winkel, da es drei Ecken als Scheitelpunkte gibt. Sie werden Innenwinkel genannt.
Innenwinkelsumme im Dreieck
Die Winkel in einem Dreieck können ganz unterschiedlich groß sein. Je nach Größe des größten Innenwinkels im Dreieck wird zwischen spitzwinkligen, rechtwinkligen und stumpfwinkligen Dreiecken unterschieden.
Für die Summe aller drei Innenwinkel in einem Dreieck gibt es eine Besonderheit.
Die Innenwinkelsumme in einem Dreieck ABC beträgt immer 180°.
Seien die Winkel in den Ecken des Dreiecks. Dann gilt der Innenwinkelsatz:
Abbildung 2: Dreieck ABC mit eingezeichneten Winkeln
Der Innenwinkelsatz in Dreiecken wird häufig verwendet, um einen fehlenden Winkel zu berechnen.
Im Dreieck aus Abbildung 3 sind die Größen der Winkel und gegeben.
Abbildung 3: Winkel berechnen
Mithilfe des Innenwinkelsatzes kannst Du jetzt die Größe des Winkels in der Ecke C bestimmen.
Es ist
Der Winkel ist 72,9° groß.
Nebenwinkel
Du kannst Winkelgrößen auch mithilfe des Nebenwinkelsatzes berechnen.
Schneiden sich zwei Geraden g und h, so entstehen dabei vier Winkel. Nebeneinanderliegende Winkel an dieser Geradenkreuzung heißen Nebenwinkel.
In Abbildung 4 sind Nebenwinkel.
Abbildung 4: Nebenwinkel
Nebenwinkel bilden zusammen immer einen Halbkreis.
Für Nebenwinkel gilt der Nebenwinkelsatz:
Die Winkelsumme von zwei Nebenwinkeln beträgt stets 180°.
Auch den Nebenwinkelsatz kannst Du verwenden, um einen fehlenden Winkel zu berechnen.
In Abbildung 5 ist die Winkelgröße von gegeben. Damit kannst Du berechnen.
Abbildung 5: Nebenwinkel berechnen
Es ist
Den Nebenwinkelsatz und den Innenwinkelsatz benötigst Du für das Verständnis des Außenwinkelsatzes.
Außenwinkel Dreieck – Definition, messen & berechnen
Aber was ist eigentlich ein Außenwinkel in einem Dreieck?
Außenwinkel Dreieck – Definition
Im Gegensatz zum Innenwinkel liegt der Außenwinkel, wie der Name es schon sagt, außerhalb des Dreiecks.
Wird in einem Dreieck eine Seite verlängert, so entsteht außerhalb des Dreiecks zwischen der verlängerten Außenseite und der benachbarten Dreiecksseite ein Außenwinkel.
Abbildung 6: ein Außenwinkel eines Dreiecks
An allen Ecken eines Dreiecks existieren je zwei Außenwinkel. Insgesamt gibt es daher an einem Dreieck stets sechs Außenwinkel. In Abbildung 7 kannst Du alle Außen- sowie Innenwinkel eines Dreiecks sehen.
Abbildung 7: Außen- und Innenwinkel eines Dreiecks
Dreieck – Außenwinkel messen
Die Größe eines Außenwinkels misst Du wie jeden anderen Winkel auch.
Du legst das Geodreieck an einen Schenkel des Winkels an, sodass die Mitte des Geodreiecks genau auf dem Scheitelpunkt des Winkels liegt.
Auf dem anderen Schenkel liest Du die Größe des Winkels am Geodreieck ab. Achte dabei besonders darauf, dass Du die richtige Skala verwendest. Je nachdem auf welcher Seite Du Dein Geodreieck anlegst, wählst Du die Skala, die auf dieser Seite beginnt.
Um den Winkel in Abbildung 8 zu bestimmen, wählst Du die Skala mit der schwarzen Schrift auf durchsichtigen Hintergrund. Der Winkel in Abbildung 7 ist groß.
Abbildung 8: Außenwinkel mit dem Geodreieck messen
Dreieck – Außenwinkel berechnen
In den meisten Aufgaben sollst Du den Außenwinkel aber vermutlich nicht messen, sondern berechnen.
Am einfachsten ist dies, wenn der zugehörige Innenwinkel gegeben ist.
Ist ein Innenwinkel in einem Dreieck ABC und ein danebenliegender Außenwinkel, so gilt:
Ein Außenwinkel und der dazugehörige Innenwinkel ergänzen sich stets zu 180°.
Wenn der zugehörige Innenwinkel gegeben ist, kannst Du den Außenwinkel berechnen.
In Abbildung 9 ist der Winkel gegeben.
Abbildung 9: Außenwinkel berechnen
Da Du weißt, dass die Winkel eine Winkelsumme von 180° haben, kannst Du berechnen.
Um einen Außenwinkel bei gegebenen Innenwinkel zu berechnen, subtrahierst Du immer die Größe des Innenwinkels von 180°. Das Ergebnis ist dann die Größe des Außenwinkels.
Außenwinkelsatz Dreieck
Du kannst einen Außenwinkel aber auch bestimmen, wenn die beiden nicht anliegenden Innenwinkel gegeben sind.
Für einen Außenwinkel gilt, dass er so groß ist wie die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel .
Außenwinkelsatz – Beweis
Dass ein Außenwinkel so groß ist, wie die Summe der beiden nicht anliegenden Innenwinkel, folgt bereits aus der Tatsache, dass der Innenwinkel nach dem Nebenwinkelsatz zusammen mit Außenwinkel genau 180° ergibt. Außerdem weißt Du, dass aufgrund der Summe der Innenwinkel, auch zusammen mit den beiden anderen Innenwinkeln genau 180° ergibt.
Außenwinkelsumme Dreieck
Wie bei der Innenwinkelsumme von Dreiecken gibt es auch eine stets gleiche Außenwinkelsumme.
Die Außenwinkelsumme in einem Dreieck ABC beträgt immer 360°.
Abbildung 10: Außenwinkelsumme im Dreieck
Auch für die Außenwinkel auf der anderen Seite gilt der Außenwinkelsatz. Denn die Außenwinkel und sind immer gleich groß.
Außenwinkelsatz – Beweis
Um den Außenwinkelsummensatz zu beweisen, verwendest Du den Nebenwinkelsatz und die Innenwinkelsumme. Du berechnest die Außenwinkel, indem Du von 180° den Innenwinkel abziehst.
Wenn Du jetzt die Außenwinkel addierst, ist das dasselbe, wie wenn Du stets 180° minus den Innenwinkel rechnest und die Differenzen addierst.
Die rechte Seite der Gleichung kannst Du umformen:
Jetzt weißt Du, dass die Winkelsumme so groß ist wie 540° minus . Der Satz für die Innenwinkelsumme besagt aber, dass die Summe der Innenwinkel genau 180° beträgt. Deswegen ist:
Außenwinkel gleichseitiges & gleichschenkliges Dreieck
Besondere Dreiecke sind zum Beispiel das gleichseitige Dreieck und das gleichschenklige Dreieck.
In einem gleichseitigen Dreieck ist jeder Winkel genau 60° groß. Daraus kannst Du die Außenwinkel berechnen.
In einem gleichseitigen Dreieck ist jeder Außenwinkel genau 120° groß.
Alle gleichseitigen Dreiecke sind ähnlich zueinander. In jedem gleichseitigen Dreieck ist jeder Innenwinkel immer 60° groß. Jedes gleichseitige Dreieck kann daher über eine zentrische Streckung in jedes andere gleichseitige Dreieck überführt werden. Deswegen sind auch die Außenwinkel in jedem gleichseitigen Dreieck gleich groß.
Gleichseitige Dreiecke unterscheiden sich nur durch ihre Seitenlängen. Wobei auch hier in einem Dreieck die Seiten stets gleichlang sind.
Abbildung 11: gleichseitige Dreiecke
Du möchtest mehr über ähnliche Dreiecke wissen? Dann sieh Dir die Erklärung "Ähnlichkeitssätze für Dreiecke" an.
Gleichschenklige Dreiecke hingegen sind meist nicht zueinander ähnlich. Das bedeutet, dass die Winkel des einen gleichschenkligen Dreiecks nicht identisch sind zu den Winkeln des anderen gleichschenkligen Dreiecks.
Deshalb kannst Du auch keine allgemeine Aussage über die Außenwinkel in gleichschenkligen Dreiecken treffen.
In gleichschenkligen Dreiecken sind zwei Außenwinkel an verschiedenen Ecken gleich groß. Die genaue Größe ist aber für jedes gleichschenklige Dreieck unterschiedlich.
Außenwinkelsumme Dreieck – Aufgaben
Mit den folgenden Aufgaben kannst Du das Rechnen mit Außenwinkeln üben.
Aufgabe 1
Bestimme für das Dreieck ABC aus Abbildung 12 die Größe der Außenwinkel . Berechne auch die Winkelsumme .
Abbildung 12: Dreieck ABC mit Innenwinkeln
Lösung
Die Innenwinkel sind in Abbildung 12 gegeben. Du kannst verwenden, dass Innenwinkel und Außenwinkel Nebenwinkel sind und die Winkelsumme stets 180° ist. Damit kannst Du berechnen.
Die Außenwinkelsumme ist
Mit der Berechnung der Außenwinkelsumme kannst Du Deine vorherige Rechnung überprüfen. Das Ergebnis muss sein, da es die Winkelsumme der Außenwinkel ist.
Aufgabe 2
Berechne die Größe des Außenwinkels an der Ecke C in Abbildung 13 mit nur einem Rechenschritt.
Abbildung 13: Außenwinkel berechnen
Lösung
Die Größe eines Außenwinkels entspricht der Winkelsumme der nicht angrenzenden Innenwinkel.
Du kannst daher die Winkelgröße bestimmen, indem Du und addierst.
Außenwinkelsumme Dreieck – Das Wichtigste
- Ein Außenwinkel eines Dreiecks liegt außerhalb des Dreiecks und wird von zwei verlängerten Dreiecksseiten gebildet.
- Jeder Dreieck hat sechs Außenwinkel, von denen je zwei gleich groß sind.
- Ein Außenwinkel und der angrenzende Innenwinkel haben eine Winkelsumme von 180°:
- Die Größe eines Außenwinkels entspricht der Winkelsumme der nicht angrenzenden Innenwinkel :
- Die Außenwinkelsumme der drei verschiedenen Außenwinkel beträgt 360°:
Nachweise
- Becker et al. (2016). Formelsammlung bis zum Abitur - Mathematik - Physik - Astronomie - Chemie - Biologie - Informatik. Duden Schulbuchverlag.
- Böer et al. (2007). mathe live 7, Mathematik für die Sekundarstufe I. Ernst Klett Verlagr GmbH.
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