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Erster Strahlensatz

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Mathe

Insgesamt gibt es zwei Strahlensätze in der Geometrie. Zunächst schauen wir uns an, was der erste Strahlensatz überhaupt ist. Dieses Wissen benötigst du, um den ersten Strahlensatz später in Aufgaben anwenden zu können. 


Erster Strahlensatz – Voraussetzungen


Eine Voraussetzung für die Anwendung des ersten Strahlensatzes ist, dass sich zwei Geraden oder Strahlen in einem Punkt schneiden.


1. Voraussetzung


Schneiden sich zwei Geraden oder Strahlen in einem Punkt Z, ist die erste Voraussetzung für die Anwendung des ersten Strahlensatzes erfüllt. Dieser Schnittpunkt Z wird auch als Zentrum bezeichnet.


Der erste Strahlensatz kann unabhängig von der Größe des Winkels, unter dem sich die beiden Strahlen bzw. Geraden am Punkt Z schneiden, angewandt werden. 


Zur Erinnerung: Bei einem Strahl ist nur ein fester Startpunkt gegeben, der Endpunkt hingegen ist bei einem Strahl nicht definiert. Ein Strahl ist deshalb unendlich lang. Eine andere Bezeichnung für einen Strahl lautet Halbgerade. 


Es muss aber eine zweite Voraussetzung erfüllt sein, damit der erste Strahlensatz Anwendung finden kann.


2. Voraussetzung


Eine weitere Voraussetzung für die Anwendung des ersten Strahlensatzes ist, dass die beiden Strahlen bzw. Geraden von zwei weiteren parallel zueinander verlaufenden Geraden g und h geschnitten werden. Wichtig ist hierbei, dass keiner der Schnittpunkte dem Zentrum Z entspricht.

Die Schnittpunkte der Parallelen mit den Strahlen bzw. Geraden werden als Punkte A und A' sowie B und B' bezeichnet. Dabei liegt der Punkt A' auf demselben Strahl bzw. derselben Geraden wie der Punkt A. Der Punkt B' liegt auf demselben Strahl bzw. derselben Geraden wie der Punkt B. 


Wie eine Situation aussieht, in der alle Voraussetzungen für die Anwendung des ersten Strahlensatzes bei zwei sich im Punkt Z schneidenden Strahlen erfüllt sind, siehst du in der folgenden Abbildung:


Erster Strahlensatz Erklärung Erster Strahlensatz StudySmarterAbbildung 1: Ausgangssituation bei zwei sich schneidenden Strahlen


Soll der erste Strahlensatz hingegen bei zwei sich im Punkt Z schneidenden Geraden angewendet werden, so sieht die Ausgangssituation folgendermaßen aus:



Erster Strahlensatz Erklärung Voraussetzungen StudySmarterAbbildung 2: Ausgangssituation bei zwei sich schneidenden Geraden


Zur Erinnerung: Worin unterscheiden sich Strecken, Geraden und Strahlen?


Bei einer Strecke gibt es sowohl einen festen Startpunkt als auch einen festen Endpunkt. Die Länge einer Strecke ist deshalb begrenzt. 


Bei einer Gerade gibt es weder einen Startpunkt, noch einen Endpunkt. Eine Gerade ist demnach unendlich lang. 


Bei einem Strahl ist nur ein fester Startpunkt gegeben, der Endpunkt hingegen ist nicht definiert. Ein Strahl ist deshalb ebenfalls unendlich lang. Eine andere Bezeichnung für Strahl ist Halbgerade. 


Wenn du mehr zu Geraden, Strecken und Strahlen wissen möchtest, solltest du unbedingt in den dazugehörigen Artikel Gerade Strecke Strahl reinschauen.


Erster Strahlensatz – Formel und Definition


Die beiden sich schneidenden Strahlen bzw. Geraden werden dadurch, dass sie von zwei weiteren parallel verlaufenden Geraden g und h geschnitten werden, in Teilstrecken unterteilt. 


Die entstandenen Strecken werden im ersten Strahlensatz miteinander ins Verhältnis gesetzt. Deshalb handelt es sich beim ersten Strahlensatz um eine Verhältnisgleichung.


Die Strecken Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter, Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter, Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter, Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter, Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter und Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter bei zwei sich im Zentrum Z schneidenden Strahlen können auch folgendermaßen benannt werden (siehe Abbildung 1):


Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter, Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter, Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter, Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter, Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter und Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter 


Soll der erste Strahlensatz bei zwei sich schneidenden Geraden angewandt werden, so gilt für die Strecken Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter und Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter stattdessen (siehe Abbildung 2):


Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter und Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter 

Werden zwei durch den Punkt Z verlaufende Strahlen von zwei weiteren parallel verlaufenden Geraden g und h in den Punkten A, A', B und B' geschnitten, so gilt für die Verhältnisse der Strecken a, a+a', b und b+b':


Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter 


In Worten ausgedrückt: Das Verhältnis zwischen den beiden Strecken a und b ist genauso groß, wie das Verhältnis zwischen den beiden Strecken a+a' und b+b'.


Soll der erste Strahlensatz bei zwei sich schneidenden Geraden angewandt werden, so lautet die dazugehörige Formel:


Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter 


Vielleicht hast du die Formel für den ersten Strahlensatz schon einmal in dieser Form gesehen: 


Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter


Gerade hast du aber gelernt, dass für die Formel des ersten Strahlensatzes gilt:


Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter 


Welche der beiden Formeln ist denn jetzt die richtige Formel für den ersten Strahlensatz?

Die Antwort lautet: beide.


Dadurch, dass auf beiden Seiten der Formel der Kehrwert gebildet wird, besagen beide Versionen der Formel das Gleiche. Deshalb ist es egal, welche der beiden Formeln du verwendest. Suche dir einfach die Version der Formel aus, die du dir besser merken kannst. 


Erster Strahlensatz – Verwendung


Die Gleichung des ersten Strahlensatzes kann zur Bestimmung der Länge einer Strecke genutzt werden. Dafür wird die Gleichung nach der Strecke aufgelöst, die gesucht wird. Um die Länge der gesuchten Strecke berechnen zu können, müssen alle anderen drei Streckenlängen bekannt sein. 


Der erste Strahlensatz kann nicht nur in der Geometrie verwendet werden, um die Länge von Streckenabschnitten von zwei Strahlen zu bestimmen, sondern findet auch im Alltag Verwendung. Du kannst zum Beispiel mithilfe des ersten Strahlensatzes die Entfernung von Gebäuden oder Bäumen bestimmen. 


Unterschied zwischen den 1. und 2. Strahlensatz


Wie du bereits gesehen hast, sind die Voraussetzungen für die Anwendung des 1. und 2. Strahlensatzes die selben. Nun fragst du dich sicherlich, worin der Unterschied der beiden Strahlensätze liegt. 


Die beiden Strahlensätze unterscheiden sich folgendermaßen:


Beim ersten Strahlensatz werden die Teilstrecken auf den beiden sich im Zentrum Z schneidenden Strahlen miteinander ins Verhältnis gesetzt. Die Länge der Parallelstrecken spielen beim ersten Strahlensatz keine Rolle.

 

Im Gegensatz dazu werden beim zweiten Strahlensatz die Teilstrecken auf je einem Strahl mit den beiden Parallelstrecken ins Verhältnis gesetzt. 



Ersten Strahlensatz umstellen


Wie du im letzten Abschnitt gelernt hast, lautet die Formel für den ersten Strahlensatz wie folgt:


Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter oder Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter


Abhängig davon welche Strecken dir bekannt sind und welche Strecke du berechnen möchtest, wird die Formel für den ersten Strahlensatz entsprechend umgestellt. Wie das funktioniert, lernst du in diesem Abschnitt. 


Ersten Strahlensatz nach a auflösen


Zuerst lernst du, wie man die Formel für den ersten Strahlensatz nach der Strecke a auflöst.


Erster Strahlensatz Formel umstellen StudySmarterAbbildung 3: Strecke von Z nach A

 

Dafür wird die Formel Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter mit b multipliziert.


Daraus resultiert der nach a aufgelöste erste Strahlensatz:


Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter 


Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter 

 

Ersten Strahlensatz nach a+a' auflösen


Nun soll die Formel für den ersten Strahlensatz nach der Strecke a+a' aufgelöst werden.


Erster Strahlensatz Formel umstellen StudySmarterAbbildung 4: Strecke von Z nach A'


Dazu multiplizierst du die oben aufgeführte Formel nicht mehr mit  b sondern stattdessen mit b+b'.

Du erhältst den nach a+a' aufgelösten ersten Strahlensatz:


Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter 


Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter 


Ersten Strahlensatz nach b auflösen


Als Nächstes soll die Formel für den ersten Strahlensatz nach der Strecke b aufgelöst werden.


Erster Strahlensatz Formel umstellen StudySmarterAbbildung 5: Strecke von Z nach B


Dafür bietet es sich an den Kehrwert der Formel Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter zu verwenden.


Er lautet: 


Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter


Um den Strahlensatz nun nach b aufzulösen, multiplizierst du beide Seiten der Gleichung mit a.

Als Ergebnis erhältst du den nach b aufgelösten ersten Strahlensatz:


Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter 


Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter 


Ersten Strahlensatz nach b+b' auflösen


Abschließend wird die Formel für den ersten Strahlensatz nach der Strecke b+b' aufgelöst. 


Erster Strahlensatz Formel umstellen StudySmarterAbbildung 6: Strecke von Z nach B'


Das funktioniert, indem man die für das Auflösen nach b verwendete Formel mit a+a' anstatt a multipliziert.


Der nach b+b' aufgelöste erste Strahlensatz lautet:


Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter 


Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter 



Erster Strahlensatz - Beweis


Du weißt nun, was der erste Strahlensatz ist und wie man seine Formel nach den gesuchten Strecken auflöst. Aber warum darf man den ersten Strahlensatz überhaupt verwenden und woher stammt seine Formel?

Das lernst du im folgenden Beweis des ersten Strahlensatzes. 


Um den Beweis des ersten Strahlensatzes zu veranschaulichen, wird die folgende Abbildung zweier sich schneidender Strahlen, die wiederum von zwei parallelen Geraden geschnitten werden, zur Hilfe genommen:


Erster Strahlensatz Beweis StudySmarterAbbildung 7: Beweis des ersten Strahlensatzes


 Es soll gezeigt werden, dass gilt: Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter 


Zwischen den Punkten Z, A, A', B und B' können viele Dreiecke gebildet werden. Für den Beweis des ersten Strahlensatzes benötigen wir zwei dieser Dreiecke: Das Dreieck ZAB und das Dreieck ZA'B'.


Wenn du dir die beiden Dreiecke ZAB und ZA'B' genauer anschaust, fällt dir sicher schnell auf, dass es sich um ähnliche Dreiecke handelt. 


Das liegt daran, dass sie den Winkel am Punkt Z teilen, der im Folgenden mit Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter bezeichnet wird.

Außerdem sind die Winkel, die jeweils am Punkt A bzw. A' liegen gleich groß, da es sich bei ihnen um Stufenwinkel handelt. Diese sind die Winkel Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter und Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter .


Zur Erinnerung: Zwei Dreiecke sind ähnlich zueinander, wenn sie in zwei Winkeln - und daher in allen drei Winkeln - übereinstimmen. 


Erster Strahlensatz Beweis StudySmarterAbbildung 8: Ähnliche Dreiecke ZAB und ZA'B'



Da es sich bei den beiden Dreiecken ZAB und ZA'B' um ähnliche Dreiecke handelt, gibt es einen Streckfaktor k, mit dessen Hilfe das Dreieck ZAB in das Dreieck ZA'B' überführt werden kann. 




Das bedeutet: 

Streckt man die Strecke a mit dem Faktor k, so erhält man die Strecke a+a'. 

Streckt man die Strecke b mit dem Faktor k, so erhält man die Strecke b+b'. 


Mathematisch ausgedrückt:
Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter

und

Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter


Diese beiden Gleichungen werden im nächsten Schritt jeweils nach dem Faktor k aufgelöst, indem sie durch die Strecke a bzw. durch die Strecke b dividiert werden.


Es folgt erstens:


Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter

Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter


Und zweitens:


Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter

Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter


Da nun bei beiden Gleichungen der Faktor k alleine auf einer Seite der Gleichung steht, können die beiden Gleichungen nun gleichgesetzt werden.


Es resultiert:


Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter


Als nächstes wird die entstandene Gleichung mit der Strecke a multipliziert:


Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter

Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter


Zum Schluss wird nur noch durch die Strecke b+b' dividiert:


Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter

Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter


Bei dieser Formel handelt es sich um die Formel für den ersten Strahlensatz. Der erste Strahlensatz ist hiermit bewiesen. 

q.e.d.


q. e. d. ist eine Abkürzung für den lateinischen Satz "Quod erat demonstrandum". 

Das bedeutet so viel wie "Was zu beweisen war" und steht in der Regel am Ende eines Beweises. 



Erster Strahlensatz - Umkehrung


Die Aussage des ersten Strahlensatzes kann umgekehrt werden. 


Wie du bereits gelernt hast, gilt nach dem ersten Strahlensatz, wenn zwei durch den Punkt Z verlaufende Strahlen von zwei weiteren parallel verlaufenden Geraden g und h in den Punkten A, A', B und B' geschnitten, für die Verhältnisse der Strecken a, a', b und b':


Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter


Die Umkehrung des ersten Strahlensatzes besagt folgendes:


Wenn zwei durch den Punkt Z verlaufende Strahlen von den Geraden g und h in den Punkten A, A', B und B' geschnitten werden und für die Verhältnisse der Strecken a, a+a', b und b+b' gilt, dass

 
Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter,

 

dann verlaufen g und h parallel zueinander.


Der erste Strahlensatz kann deshalb nicht nur zur Berechnung der Längen von Strecken verwendet werden, sondern kann mithilfe seiner Umkehrung auch Aufschluss darüber geben, ob Geraden parallel zueinander verlaufen.



Erster Strahlensatz – Übungsaufgaben


Nachdem du im bisherigen Verlauf des Artikels einiges über die Theorie des ersten Strahlensatzes gelernt hast, kannst du zum Abschluss dieses Artikels die praktische Anwendung des ersten Strahlensatzes anhand von drei Beispielaufgaben üben. 


Aufgabe 1


Dir liegt folgende Skizze von zwei sich im Punkt Z schneidenden Strahlen vor: 


Erster Strahlensatz Übungsaufgabe StudySmarter
Abbildung 9: Übungsaufgabe 1



Die beiden Geraden, die die Strahlen schneiden, verlaufen parallel zueinander. 


Über die Strecken a, b und a+a' ist bekannt:

Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter 


Bestimme mithilfe des ersten Strahlensatzes die Länge der Strecke b+b'.


Lösung


Löst man die Formel für den ersten Strahlensatz nach b+b' auf, so ergibt sich folgende Formel:


Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter


Um die Länge der Strecke b+b' zu bestimmen, setzt man die Werte für die drei bekannten Strecken in die umgestellte Formel ein:


Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter


Die Strecke b+b' ist demnach 9,6cm lang. 


Aufgabe 2


In der folgenden Abbildung siehst du zwei Geraden, die sich im Punkt Z schneiden. Außerdem werden sie von zwei weiteren, parallel verlaufenden Geraden in den Punkten A, A', B und B' geschnitten. 


Erster Strahlensatz Übungsaufgabe StudySmarterAbbildung 10: Übungsaufgabe 2


Bestimme die Länge der Strecke a', wenn für die anderen drei Strecken gilt:

Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter 


Lösung


Zuerst löst man die Formel für den ersten Strahlensatz nach der Strecke a+a' auf. Es ergibt sich:


Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter 


Anschließend setzt man die Werte für die drei bekannten Strecken in die nach a' aufgelöste Formel ein.

Es resultiert:


Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter 


Die Strecke a' ist also 4cm lang.


Aufgabe 3


Dir liegt folgende Skizze von zwei sich im Punkt Z schneidenden Strahlen vor: 



Erster Strahlensatz Übungsaufgabe StudySmarterAbbildung 11: Übungsaufgabe 3


Überprüfe rechnerisch, ob es sich bei den beiden Geraden g und h um Parallelen handelt, wenn für die Strecken a, b, a' und b' gilt:


Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter 

 

Lösung


Wenn gilt:

Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter


Dann gilt nach der Umkehrung des ersten Strahlensatzes, dass die beiden Geraden g und h parallel zueinander verlaufen.


Um zu überprüfen, ob es sich um Parallelen handelt, werden also die bekannten Werte für die Strecken a, b, a+a' und b+b' in die Gleichung eingesetzt. 


Wenn auf beiden Seiten der Gleichung der gleiche Wert steht, dann handelt es sich um parallele Geraden. 

Wenn allerdings die Gleichung nicht gilt, so verlaufen die beiden Geraden g und h nicht parallel zueinander. 


Durch Einsetzen der Werte ergibt sich:


Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter 


Nach Kürzen resultiert:


Erster Strahlensatz Erster Strahlensatz Formel StudySmarter 


Damit folgt, dass die beiden Geraden g und h nicht parallel zueinander verlaufen. 


Super gemacht! Du weißt nun alles, was du über den ersten Strahlensatz wissen musst und bist in der Lage, dieses Wissen auch anzuwenden. Weiter so!

Neben dem ersten Strahlensatz gibt es auch den zweiten Strahlensatz. Da du dich nun schon in das Thema der Strahlensätze eingearbeitet hast, empfehle ich dir, nach einer kurzen Pause direkt mit dem Artikel "Zweiter Strahlensatz" weiter zu lernen.


1. Strahlensatz - Das Wichtigste auf einen Blick


  • Der erste Strahlensatz ist eine Verhältnisgleichung in der Geometrie. Er kann genutzt werden, um die Länge einer unbekannten Strecke zu berechnen. 
  • Um den ersten Strahlensatz anwenden zu können, müssen sich zwei Strahlen bzw. Geraden in einem Punkt Z schneiden. Außerdem müssen sie von zwei weiteren Geraden, die parallel zueinander verlaufen, in den Punkten A, A', B und B' geschnitten werden.
  • Der erste Strahlensatz besagt: Das Verhältnis zwischen der Strecke Z zu A und der Strecke Z zu B ist genauso groß wie das Verhältnis zwischen der Strecke Z zu A' und der Strecke Z zu B'. 
  • Der erste Strahlensatz kann umgekehrt werden und deshalb genutzt werden, um zu beurteilen, ob zwei Geraden parallel zueinander verlaufen. 

Häufig gestellte Fragen zum Thema Erster Strahlensatz

Der erste Strahlensatz lautet bei zwei sich im Punkt Z schneidenden Strählen, die von zwei weiteren parallelen Geraden in den Punkten A, A', B und B' geschnitten werden: Das Verhältnis zwischen der Strecke Z zu A und der Strecke Z zu B ist genauso groß wie das Verhältnis zwischen der Strecke Z zu A' und der Strecke Z zu B'.


Man berechnet den ersten Strahlensatz, indem man das Verhältnis zwischen der Strecke Z zu A und der Strecke Z zu B sowie das Verhältnis zwischen der Strecke von Z zu A' und der Strecke von Z zu B' berechnet. Die beiden Verhältnisse sind laut dem ersten Strahlensatz gleich groß. 

Der erste Strahlensatz geht folgendermaßen:

Bei zwei sich im Punkt Z schneidenden Strählen, die von zwei weiteren parallelen Geraden in den Punkten A, A', B und B' geschnitten werden, ist das Verhältnis zwischen der Strecke Z zu A und der Strecke Z zu B genauso groß wie das Verhältnis zwischen der Strecke Z zu A' und der Strecke Z zu B'.

Den ersten Strahlensatz benutzt man, um die Länge einer unbekannten Strecke zu ermitteln. Voraussetzungen für die Verwendung des ersten Strahlensatzes sind, dass sich zwei Strähle bzw. Geraden in einem Punkt Z schneiden und diese wiederum von zwei zueinander parallel verlaufenden Geraden in den Punkten A, A', B und B' geschnitten werden. 

Finales Erster Strahlensatz Quiz

Frage

Fasse die wichtigsten Informationen zum ersten Strahlensatz kurz zusammen. 

Antwort anzeigen

Antwort

  • Der erste Strahlensatz ist eine Verhältnisgleichung in der Geometrie. Er kann genutzt werden, um die Länge einer unbekannten Strecke zu berechnen. 
  • Um den ersten Strahlensatz anwenden zu können, müssen sich zwei Strahlen bzw. Geraden in einem Punkt Z schneiden. Außerdem müssen sie von zwei weiteren Geraden, die parallel zueinander verlaufen, in den Punkten A, A', B und B' geschnitten werden.
  • Der erste Strahlensatz besagt: Das Verhältnis zwischen a und b genauso groß wie das Verhältnis zwischen a+a' und b+b'.
  • Der erste Strahlensatz kann umgekehrt werden und deshalb genutzt werden, um zu beurteilen, ob zwei Geraden parallel zueinander verlaufen. 
Frage anzeigen

Frage

Nenne die beiden Voraussetzungen für die Anwendung des ersten Strahlensatzes

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Antwort

  1. Zwei Geraden oder Strahlen müssen sich an einem Punkt Z schneiden. 
  2. Die beiden Strahlen bzw. Geraden werden von zwei weiteren parallel zueinander verlaufenden Geraden in den Punkten A, A', B und B' geschnitten.


Frage anzeigen

Frage

Erkläre, wann man den ersten Strahlensatz und wann man den zweiten Strahlensatz verwendet. 

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Antwort

Beim ersten Strahlensatz werden die Teilstrecken auf den beiden sich im Punkt Z schneidenden Strahlen miteinander ins Verhältnis gesetzt. Die Länge der Parallelstrecken spielen beim ersten Strahlensatz keine Rolle. Ist man an der Länge einer dieser Teilstrecke interessiert, dann bietet sich häufig die Verwendung des ersten Strahlensatzes an. 


Im Gegensatz dazu werden beim zweiten Strahlensatz die Teilstrecken auf je einem Strahl mit den beiden Parallelstrecken ins Verhältnis gesetzt. Möchtest du also die Länge einer der Parallelstrecken kennen, dann musst du in jedem Fall den zweiten Strahlensatz verwenden. 


Da der erste und der zweite Strahlensatz die gleichen Anwendungsvoraussetzungen haben, ist die Wahl des Strahlensatzes davon abhängig, welche Strecke man berechnen möchte und welche anderen Streckenlängen bekannt sind.

Frage anzeigen

Frage

Stelle die Gemeinsamkeiten des ersten und zweiten Strahlensatzes dar.

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Antwort

Die beiden Strahlensätze haben die gleichen Anwendungsvoraussetzungen. 

Außerdem können sie dazu genutzt werden, die Länge von einer bisher unbekannten Strecke zu ermitteln

Frage anzeigen

Frage

Bewerte die folgende Aussage:

"Es ist ganz egal, an welcher Stelle die Geraden g und h die beiden sich im Punkt Z schneidenden Strahlen bzw. Geraden schneiden."

Antwort anzeigen

Antwort

Die Aussage ist falsch. Die Geraden g und h dürfen die Strahlen bzw. Geraden nicht im Punkt Z schneiden, da in diesem Fall keine Parallelstrecke zwischen den beiden Strahlen bzw. Geraden entsteht. 

Frage anzeigen

Frage

Beurteile folgende Aussage:

"Ein Strahl ist unendlich lang."

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Antwort

Die Aussage ist richtig. Ein Strahl hat lediglich einen festen Startpunkt, aber keinen festen Endpunkt. Deshalb ist ein Strahl unendlich lang. 

Frage anzeigen

Frage

Erläutere die Grundidee des Beweises des ersten Strahlensatzes.

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Antwort

Die Grundidee des Beweises liegt darin, dass sich, wenn alle Voraussetzungen für die Anwendung des ersten Strahlensatzes erfüllt sind, zwei ähnliche Dreiecke ZAB und ZA'B' ergeben

Das Dreieck ZAB kann mithilfe des Streckfaktors k in das ihm ähnliche Dreieck ZA'B' überführt werden.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob der erste Strahlensatz umgekehrt werden kann.


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Antwort

Ja, der erste Strahlensatz kann umgekehrt werden. 

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