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Einheitsvektor

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Einheitsvektor

Auf dem Niveau von Vektoren gibt es auch solche "Einheiten". Vektoren jedoch haben nicht nur eine Größe, sondern auch eine Richtung. Ein Einheitsvektor gibt eine "Einheitsrichtung" vor. Mehr nicht.

In den folgenden Abschnitten wirst Du kennenlernen, wie Einheitsvektoren mathematisch definiert sind, welchen Nutzen sie haben und wie Du aus gegebenen Vektoren Einheitsvektoren konstruieren kannst.

Die Wahl der Namen "Hamilton" und "Gibbs" hat einen Grund. Diesen erfährst Du im Verlauf der Erklärung.

Vektoren, ihre Koordinaten und Länge – eine kurze Wiederholung

Einheitsvektoren sind Vektoren mit einer bestimmten Eigenschaft, die ihre Länge betreffen. Das heißt, um das Konzept der Einheitsvektoren zu verstehen, brauchst Du ein Verständnis über Vektoren im Allgemeinen und wie Du ihre Länge bestimmst.

Für die Details zu Vektoren wird die Erklärung "Linearkombination" empfohlen. Dort wirst Du lernen, was denn so ein Vektor überhaupt ist (Spoiler: Vektoren sind viel mehr als Pfeile).

Vektoren als Pfeile

Für beide Punkte gibt es in diesem Abschnitt eine Wiederholung der wichtigsten Aussagen, die für die Erklärung notwendig sind.

Vektoren als Pfeile | Notation für Vektoren

Ein Vektor ist ein Pfeil in der Ebene oder im Raum. Ein solcher Pfeil ist eindeutig über seine Länge und Richtung charakterisiert.

Um anzudeuten, dass es sich bei einem gegebenen Objekt um einen Vektor handelt, wird ein "Pfeil über den Namen" verwendet. Ist etwa das Objekt \(a\) ein Vektor, so wird das mit \( \vec{a}\) hervorgehoben.

Für die Vollständigkeit: Vektoren können auch an anderen Orten außer der Ebene oder dem Raum leben. So etwa gibt es auch Vektoren entlang der Zahlengeraden oder Vektoren in einem vierdimensionalen Ort. Das Folgende ist auf den Fall der Ebene beschränkt. Für Pfeile im Raum gelten dieselben Aussagen.

Ein Pfeil mit Länge und Richtung kannst Du Dir relativ mühelos vorstellen (siehe Abbildung 1). Aber, damit kannst Du nicht wirklich rechnen. Das trifft insbesondere auf die Länge von Vektoren zu. Abhilfe verschafft hier die Einführung eines Koordinatensystems.

Einheitsvektor Mehrere Vektoren in der Ebene StudySmarterAbbildung 1: Vektoren als Pfeile lassen sich bildlich gut veranschaulichen.

Konstruktion eines Koordinatensystems – erster Kontakt mit Einheitsvektoren

Ein Koordinatensystem konstruierst Du folgendermaßen: Du suchst Dir einen Punkt aus, den Du Ursprung nennst. Von diesem Ursprung aus wählst Du für die Ebene zwei Richtungen aus (für den Raum wären es drei Richtungen).

Für die Wahl der Richtungen hast Du eine einzige Einschränkung: Sie dürfen nicht auf derselben Ursprungsgeraden liegen (siehe Abbildung 2).

Einheitsvektor Richtungen die auf und nicht auf derselben Ursprungsgeraden liegen StudySmarterAbbildung 2: Die gewählten Richtungen dürfen nicht auf dersleben Ursprungsgeraden liegen.

Nun musst Du Dich nur noch dafür entscheiden, was es bedeutet, sich eine "Einheit" entlang der gegebenen Richtungen zu bewegen. Für jede Richtung kannst Du eine eigene "Einheit" definieren.

Richtungen und Einheiten für die Ebene

Für die Ebene kannst Du zum Beispiel als zwei Richtungen "Süden" und "Nordost" wählen. Entlang der Süd-Richtung bedeutet "eine Einheit", dass Du Dich um einen Zentimeter bewegt hast; entlang der Nordost-Richtung hingegen um einen Meter (siehe Abbildung 3).

Einheitsvektor Richtung und Einheiten für Ebene StudySmarterAbbildung 3: Konkrete Angabe von zwei Richtungen und "Einheiten" für die Ebene.

Wenn es dann heißt: Du bewegst Dich drei Einheiten Richtung Süden und vier Einheiten Richtung Nordost, dann bist Du drei Zentimeter in Richtung Süden und anschließend vier Meter in Richtung Nordost gegangen (oder umgekehrt).

In der Sprache, die hier schrittweise entwickelt wird, hast Du vom Ursprung aus für die Ebene zwei linear unabhängige Einheitsvektoren vorgegeben. Diese Einheitsvektoren definieren Dir Dein Koordinatensystem.

Bis auf die genannte Einschränkung darfst Du Deiner Kreativität freien Lauf lassen. Jedoch gibt es bestimmte Wahlen, die besonders einfach zum Handhaben sind. Die historisch erste Wahl war ein Koordinatensystem, das heute als kartesisches Koordinatensystem bezeichnet wird.

Das kartesische Koordinatensystem für die Ebene besteht aus zwei Richtungen, die jeweils senkrecht zueinander stehen. Und für jede Richtung bedeutet "eine Einheit" dasselbe.

Jedem Punkt der Ebene kannst Du dann zwei Zahlen zuweisen, die Dir mitteilen, wie oft Du nach "rechts" bzw. nach "oben" gehen musst, um den Punkt vom Ursprung aus zu erreichen.

Kartesisches Koordinatensystem der Ebene und Angabe von Punkten

In Abbildung 4 ist der Ursprung O hervorgehoben und zwei weitere Punkte. Da Du Dich vom Ursprung aus nicht bewegen musst, um den Ursprung zu erreichen, bekommt er die beiden Zahlen 0 und 0 zugeteilt.

Das wird kompakter als (0|0) notiert. In dieser Notation steckt die Vereinbarung, dass die erste Zahl die Schritte Richtung "rechts" und die zweite Zahl die Schritte Richtung "oben" beschreibt. Diese beiden Zahlen bilden die Koordinaten des Ursprungs bezüglich des gewählten Koordinatensystems.

Einheitsvektor Ebene mit einem kartesischen Koordinatensystem StudySmarterAbbildung 4: Ebene mit einem kartesischen Koordinatensystem.

Für den Punkt A musst Du zwei Schritte nach "rechts" und drei Schritte nach "oben" wandern. Er hat damit die Koordinaten (2|3).

Den Punkt B erreichst Du hingegen, indem Du Dich drei Schritte nach "links" und 5 Schritte nach "unten" bewegst. Um nicht neue Richtungen einzuführen, werden negative Zahlen verwendet. So sind drei Schritte nach "links" dasselbe wie "minus drei Schritte" nach "rechts". Der Punkt B hat also die Koordinaten (-3|-5).

Um das kartesische Koordinatensystem für Vektoren nützlich zu machen, wird folgende wichtige Vereinbarung getroffen: Jeden Vektor verschiebst Du so, dass sein Anfang im Ursprung liegt, ohne dabei seine Richtung zu ändern (Abbildung 5). Eine solche Verschiebung heißt auch Parallelverschiebung.

Einheitsvektor Parallelverschiebung eines Vektors zum Ursprung StudySmarterAbbildung 5: Parallelverschiebung des blauen Vektors zum rosa Vektor im Ursprung. Die Spitze des rosa Vektros hat die Koordinaten (x|y).

Nachdem Du das gemacht hast, wird die Spitze des Vektors an einem Punkt mit den Koordinaten \( (x \mid y) \) landen.

Vektoren mit Punkten identifizieren | Schreibweise für Vektoren durch Koordinaten

Diesen Vorgang kannst Du mit jedem Vektor machen. Statt geometrisch von Pfeilen zu reden, wird ein Vektor mit den Koordinaten seiner Spitze innerhalb eines kartesischen Koordinatensystems identifiziert.

Hat die Spitze des Vektors \(\vec{a}\) die Koordinaten \((x \mid y)\), so wird diese Identifizierung durch

\[\vec{a}=\left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array} \right)\]

notiert. Die Zahlen x und y heißen auch die Komponenten des Vektors \(vec{a}\) bezüglich des gewählten Koordinatensystems.

Du darfst nicht vergessen, dass links ein Vektor steht: Ein Vektor ist ein geometrisches Objekt; es interessierst sich nicht dafür, welches Koordinatensystem Du verwendest. Rechts hingegen stehen zwei Zahlen, die stark abhängig von Deiner Wahl eines Koordinatensystems sind. Wenn Du zum Beispiel Deinen Kopf nach rechts drehst und mit ihm die zwei Richtungen Deines Koordinatensystems, wird sich das Koordinatensystem ändern und damit die beiden Zahlen auf der rechten Seite. Der Vektor jedoch bleibt unverändert. Alles, was ab nun folgen wird, wird abhängig von der Wahl des Koordinatensystems sein.

Damit hast Du jedem Vektor zwei Zahlen zugewiesen. Und mit Zahlen kannst Du rechnen.

Vektoren mit Punkten identifizieren | Vektoren addieren

Betrachte Abbildung 6. Die Spitze des Vektors \(vec{a}\) liegt bei \((2 \mid 5)\) und damit hast Du

\[ \vec{a}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 5 \end{array} \right) \]

Einheitsvektor Vektoren und die Punkte ihrer Spitzen StudySmarterAbbildung 6: Vektoren werden mit den Punkten ihrer Spitzen identifziert.

Beim Vektor \(\vec{b}\) hingegen liegt die Spitze bei \((4 \mid 3\), also ist

\[\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}\right)\]

Jetzt kannst Du mit diesen beiden Vektoren rechnen. So kannst Du etwa die beiden Vektoren addieren

\[ \vec{a}+\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 2 \\ 5\end{array} \right) + \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}2 \, + \, 4 \\ 5 \, + \, 3\end{array}\right)=\left( \begin{array}{c} 6 \\ 8 \end{array} \right)\]

Vektoren kannst Du addieren und mit einer Zahl multiplizieren. Im kartesischen Koordinatensystem kannst Du auch mit einem der ältesten Sätze der Mathematik die Länge eines Vektors bestimmen.

Länge von Vektoren

Schaue Dir dazu Abbildung 7 an. Den Vektor kannst Du als Hypotenuse eines Dreiecks auffassen, dessen beiden Katheten gerade der horizontale bzw. vertikale Abstand der Vektorspitze vom Ursprung sind.

Einheitsvektor Vektor wird zu Hypotenuse eines Dreiecks StudySmarterAbbildung 7: Zur Bestimmung der Länge eines Vektors wird er zur Hypotenuse eines Dreiecks.

Dreiecke, Hypotenuse, Katheten; das klingt stark nach dem Satz des Pythagoras. Und genau das ist der Fall.

Länge eines Vektors in einem kartesischen Koordinatensystem

Sei \(\vec{a}\) ein Vektor mit

\[\vec{a}=\left( \begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right)\]

Die Länge von \(\vec{a}\), notiert als \(|\vec{a}|\), in einem kartesischen Koordinatensystem ist gegeben durch

\[ |\vec{a} = \sqrt{x^2+y^2} \]

Für die Länge eines Vektors findest Du auch die Bezeichnung Norm. Die Norm über den Satz des Pythagoras heißt dann konkreter Euklidische Norm. Statt den doppelten Strichen "" werden oft nur einfache Striche "" verwendet. Das kann jedoch zu Verwechslungen mit dem absoluten Betrag einer Zahl führen. Hättest Du einen Vektor des Raumes, so müsstest Du nur ein \(z^2\) in die Formel ergänzen; Du hättest also \(|\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2+z^2}\).

Um also in einem kartesischen Koordinatensystem die Länge eines Vektors zu bestimmen, brauchst Du nur seine Koordinaten in die Definitions-Formel einzusetzen.

Längen von konkreten Vektoren bestimmen

Du hast erneut die beiden Vektoren

\( \vec{a}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 5 \end{array} \right) \) und \(\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}\right)\)

Die entsprechenden Längen sind dann

\[|\vec{a}|=\sqrt{2^2+5^2}=\sqrt{29}\approx 5,39\]

und\[ |\vec{b}|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\]

Für ihren Summenvektor

\[ \vec{a}+\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 6 \\ 8 \end{array} \right) \]

hast Du hingegen

\[ |\vec{a}+\vec{b}|=\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{100}=10\]

Erster Einblick in die Dreiecksungleichung

Addiere mal die beiden einzelnen Längen der Vektoren

\[ |\vec{a}|+|\vec{b}|=\sqrt{29}+5 \approx 10,39\]

Ein Vergleich mit der Länge des Summenvektors zeigt Dir dann, dass

\[ |\vec{a}+\vec{b}|=10 \leq 10,39 = |\vec{a}|+|\vec{b}|\] gilt.

Die Eigenschaft

\[ |\vec{a} + \vec{b}| \leq |\vec{a]| + |\vec[b]|\]

wird als Dreiecksungleichung bezeichnet (siehe Abbildung 8). Das ist eine fundamentale Eigenschaft, die innerhalb der Mathematik von allen Normen verlangt wird.

Einheitsvektor Dreiecksungleichung in der Ebene StudySmarterAbbildung 8: Dreiecksungleichung in der Ebene veranschaulicht.

Damit ist die Wiederholung abgeschlossen. Als kurze Zusammenfassung:

  • Vektoren werden als Pfeile der Ebene interpretiert.

  • Um mit Vektoren rechnen zu können, wurden Koordinatensysteme und insbesondere kartesische Koordinatensysteme eingeführt.

  • Innerhalb eines Koordinatensystems der Ebene lassen sich jedem Punkt zwei Zahlen zuweisen.

  • Mit der Vereinbarung, dass Vektoren stets im Ursprung beginnen sollen, wurden innerhalb eines kartesischen Koordinatensystems die Vektoren mit den Koordinaten ihrer Spitze identifiziert.

  • Damit gehören zu jedem Vektor zwei Zahlen, mit denen gerechnet werden kann.

Die enorme Wichtigkeit des Satzes des Pythagoras

Wenn Du die Ebene oder den Raum mit einem kartesischen Koordinatensystem ausstattest, wirst Du unvermeidbar vom Satz des Pythagoras begrüßt.

Und genau das wird in vielen Disziplinen gemacht: Von der Architektur über die Physik und dem Bauwesen bis hin zur Spieleentwicklung; überall werden die Ebene oder der Raum mit einem kartesischen Koordinatensystem ausgestattet. Und notwendigerweise präsentiert sich der Satz des Pythagoras, sobald Längen oder Winkel gewünscht sind.

Der Begriff "Vektor" und Vektornotationen

Sir William Rowan Hamilton führte den Begriff "Vektor" ungefähr im Jahre 1843 ein. Josiah Willard Gibbs führte etwa 40 Jahre später Notationen ein, die bis heute noch in der gesamten Mathematik im Kontext von Vektoren verwendet werden. Dazu zählen insbesondere die Notation für das Skalarprodukt und Kreuzprodukt zweier Vektoren.

Einheitsvektor – Definition und Beispiele

Ein Einheitsvektor ist zunächst einmal ein Vektor. Die einzige Besonderheit, die ihn zu einem Einheitsvektor macht, ist seine Länge.

Einheitsvektor - ein Vektor mit der Länge 1 | Notation für Einheitsvektoren

Sei \(\vec{a}\) ein Vektor. Dann heißt \(\vec{a}\) Einheitsvektor, wenn er eine Länge von 1 besitzt; wenn also gilt

\[ |\vec{a}|=1\]

Um hervorzuheben, dass \(\vec{a}\) ein Einheitsvektor ist, wird die Notation\[ â\]

verwendet, gelesen als "a Hut".

Um also überhaupt von Einheitsvektoren reden zu können, musst Du dafür vorab eine Länge für Vektoren definieren.

In der Sprache der abstrakten Algebra hast Du aus einem Vektorraum, in dem Du Vektoren nur addieren und mit einer Zahl multiplizieren kannst, einen normierten Vektorraum gemacht. Dadurch hast Du nun auch die Möglichkeit jedem Vektor eine Zahl zuzuweisen, die Du seine Norm (oder eben seine Länge) nennst.

Ein Einheitsvektor verhält sich in vielerlei Hinsicht wie die Einheit Euro. Fünf Euro sind zum Beispiel fünfmal eine Einheit Euro

\[ \text{5€=1€+1€+1€+1€+1€}\]

Wenn Du einen Einheitsvektor \(ô\) in Richtung Osten hast, dann sind 5 Schritte in Richtung Osten dasselbe wie fünfmal der Einheitsvektor \(ô\)

\[ \text{Fünf Schritte Richtung Osten} = 5\cdot ô = ô + ô + ô + ô + ô\]

Hättest Du hingegen einen Vektor \(\vec{a}\), der zwar auch in Richtung Osten zeigt, aber eine Länge von 2,5 hat, so hättest Du

\[ \text{Fünf Schritte Richtung Osten} = 2\cdot \vec{a}\]

Einheitsvektoren spiegeln also das Verhalten wider, das Dir aus Deinem Alltag vertraut ist: Sei es bei Geld, bei Gewichten oder bei fps-Angaben in Videospielen.

Einer der wichtigsten Typen von Einheitsvektoren

Da die Länge eines Vektors \(\vec{a}\)in einem kartesischen Koordinatensystem durch

\[ |\vec{a}|=\sqrt{x^2+y^2}\]

gegeben ist, kannst Du daraus einen Einheitsvektor gewinnen, indem Du eine Komponente auf 1 und die andere Komponente auf 0 setzt. So bekommst Du etwa die beiden Einheitsvektoren

\(\hat{x}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right)\) und \(\hat{y}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) \)

Die Bezeichnungen " \(\hat{x}\) " und " \(\hat{y}\) " geben Dir bereits einen Eindruck, wie diese Vektoren in einem kartesischen Koordinatensystem aussehen: Der erste Vektor zeigt in x-Richtung, der zweite Vektor in y-Richtung (siehe Abbildung 9).

Einheitsvektoren Standardeinheitsvektoren der Ebene StudySmarterAbbildung 9: Die Standardeinheitsvektoren der Ebene.

Diese Art von Einheitsvektor, bei der nur eine Komponente gleich 1 und der Rest gleich null ist, ist derart von Bedeutung, dass sie einen eigenen Namen erhält.

Standardeinheitsvektoren der Ebene

Die beiden Vektoren

\(\hat{x}=\left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array}\right)\) und \(\hat{y}=\left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)\)

heißen Standardeinheitsvektoren der Ebene, die mit einem kartesischen Koordinatensystem ausgestattet ist.

Die beiden Standardeinheitsvektoren definieren Dir die x- bzw. y-Richtung des kartesischen Koordinatensystems und auch die entsprechende Schrittweite, die Du "eine Einheit" nennen möchtest.

Vektoren aus Standardeinheitsvektoren konstruieren

Wieder hast Du die beiden Vektoren

\(\vec{a}=\left(\begin{array}{c}2 \\ 5 \end{array} \right) \) und \(\vec{b}=\left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array}\right)\)

Mithilfe der Vektoraddition und Skalarmultiplikation kannst Du diese beiden Vektoren auch schreiben als

\[ \vec{a }= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right) = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) +5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right) \]

und

\[

\vec{b}= \left( \begin{array}{c} 2 \\ 5 \end{array} \right) = 2 \cdot \left( \begin{array}{c} 1 \\ 0 \end{array} \right) +5 \cdot \left( \begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array} \right)

\]

Die Komponenten eines Vektors teilen Dir also mit, wie viele Einheiten der Standardeinheitsvektoren Du brauchst, um den entsprechenden Vektor zu konstruieren (siehe auch Abbildung 10).

Einheitsvektoren Komponenten und Standardeinheitsvektoren in der Ebene StudySmarterAbbildung 10: Die Komponenten eines Vektors teilen Dir mit, wie oft Du die Standardeinheitsvektoren verwenden musst.

Beim Vektor \(\vec{b}\) sind das 4 Einheiten des ersten Standardeinheitsvektors \(\left( \begin{array}{c} 1\\ 0 \end{array} \right)\) und 3 Einheiten des zweiten Standardeinheitsvektors \(\left( \begin{array}{c} 0\\1 \end{array} \right)\).

Du kannst das mit jedem Vektor der Ebene machen, und zwar eindeutig: Den Vektor \(\vec{b}\) kannst Du mit den beiden Standardeinheitsvektoren nur auf die Weise konstruieren, wie das im Beispiel oben gemacht wurde. Die Standardeinheitsvektoren bilden damit eine Basis der Ebene, die sogenannte Standardbasis. Als wir das kartesische Koordinatensystem eingeführt haben, wurde stillschweigend genau diese Basis ausgewählt.

Der Hauptnutzen von Einheitsvektoren ist Kommunikation. Wenn Du etwa den Ausdruck \(6\cdot \hat{y}\) siehst, weißt Du sofort: Das sind 6 Schritte Richtung Norden. Das ist genauso wie mit dem Euro: 6 € sind 6 Einheiten eines Euros.

Einheitsvektoren haben keine Einheit | Kraftgesetze in der Physik

Auch wenn das Wörtchen "Einheit" in der Bezeichnung "Einheitsvektor" steckt, so besitzen Einheitsvektoren keine Einheit. Sie geben Dir nur eine Richtung vor.

Wenn Du aber eine konkrete Einheit brauchst, wie fünf Meter Richtung Osten, dann packst Du die Einheit in den Skalar, der dann mit dem Einheitsvektor multipliziert wird

\[ \text{Fünf Meter Richtung Osten} = (5m)\cdot\hat{x}\] Kräfte in der Physik werden über Vektoren dargestellt. Die Information über die Richtung der Kraft wird mit Einheitsvektoren kompakt ausgedrückt. So lautet das Newtonsche Gravitationsgesetz

\[ \vec{F}=\left(G\cdot\frac{m_1 m_2}{|r|^2}\right)\cdot\hat{r}\]

Es ist nicht entscheidend, ob Du nun diese Formel verstehst oder woher sie kommt. Aber in ihr stecken die zwei erwähnten Punkte:

  • Einheitsvektoren vereinfachen die Kommunikation: Statt von "Die Kraft wirkt entlang der Geraden, die durch die zwei Massen verläuft" zu reden, heißt es nur "Die Kraft wirkt in Richtung \(\hat{r}\)".
  • Einheitsvektoren besitzen keine Einheit: Im Newtonsche Gravitationsgesetz sorgen die Skalare innerhalb der Klammer dafür, dass der gesamte Ausdruck die Einheit Newton besitzt (Newton ist die Einheit der Kraft).

Einheitsvektor berechnen – Aus Vektoren Einheitsvektoren bilden

Wenn Du einen Vektor mit einer positiven Zahl multiplizierst, änderst Du nur seine Länge, aber nicht seine Richtung (siehe Abbildung 11).

Einheitsvektor Skalierung eines Vektors mit positiver Zahl StudySmarterAbbildung 11: Das Skalieren mit einer postivien Zahl ändert zwar die Länge, aber nicht die Richtung.

Jetzt kannst Du den Vektor so lange mit einer positiven Zahl multiplizieren, bis Du den Vektor auf die Länge 1 gebracht hast.

Die Länge eines Vektors ist aber eine Zahl L. Und zu jeder Zahl L (ungleich Null) gibt es eine andere Zahl, sodass deren Multiplikation zur Zahl 1 führt: der Kehrwert der Zahl L.

Vorgang, um aus Vektoren Einheitsvektoren zu konstruieren

Sei \(\vec{a}\) ein Vektor mit einer Länge ungleich Null,

\[ |\vec{a}|\neq 0\]

Der zu \(\vec{a}\) gehörende Einheitsvektor \(\hat{a}\) ist dann

\[ \hat{a}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|} \]

In Worten: Um den zu einem Vektor gehörenden Einheitsvektor zu bestimmen, skalierst Du den gegebenen Vektor mit dem Kehrwert seiner Länge.

Für diesen Vorgang findest Du oft die Bezeichnung "Vektor normieren". Wenn Du also einen Vektor normierst, machst Du aus ihm einen Einheitsvektor.

Zu jeder Richtung in der Ebene gibt es einen einzigen Einheitsvektor, der genau in diese Richtung zeigt (siehe Abbildung 12).

Einheitsvektor Zu jeder Richtung gibt es genau einen Einheitsvektor StudySmarterAbbildung 12: Zu jeder Richtung in der Ebene gibt es genau einen Einheitsvektor. Die Spitzen aller Einheitsvektoren bilden den Kreis mit Radius 1.

Das heißt, Vektoren, die in dieselbe Richtung zeigen, führen zum selben Einheitsvektor.

Konkreten Einheitsvektor bestimmen

Betrachte den Vektor

\[ \vec{a} = \left( \begin{array}{c} 4 \\ 3 \end{array} \right) \]

Seine Länge ist

\[ |\vec{a}|=\sqrt{4^2+3^2}=\sqrt{25}=5\] Der zu \(\vec{a}\) gehörende Einheitsvektor ist damit

\[ \hat{a}=\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}=\frac{1}{5}\cdot \left( \begin{array}{c} 4\\ 3 \end{array} \right)= \left( \begin{array}{c} \frac{4}{5}\\ \frac{3}{5} \end{array} \right)\]

Du kannst überprüfen, ob es sich dabei tatsächlich um ein Einheitsvektor handelt\[ |\hat{a}|=\sqrt{\left( \frac{4}{5} \right)^2 + \left( \frac{3}{5} \right)^2} = \sqrt{ \frac{16+9}{25} }= \sqrt{1} = 1 \]

Unterschiedliche Vektoren, aber derselbe Einheitsvektor

Du hast die beiden Vektoren

und

Ihre Längen sind

und

Für die entsprechenden Einheitsvektoren erhältst Du dann

und

Es gilt also

und damit zeigen die beiden Vektoren und in dieselbe Richtung.

Das war auch schon alles, wenn es um das Bestimmen von Einheitsvektoren zu gegebenen Vektoren geht: Du nimmst den Vektor und skalierst ihn mit dem Kehrwert seiner Länge. Die gegebenen Vektoren können aber auch etwas "spannender" sein als nur eine Sammlung von Zahlen.

Einheitsvektor in Normalenvektor umwandeln

Dafür verlassen wir die Ebene und begeben uns in den Raum. Insbesondere geht es um Ebenen im Raum. Zu jeder Ebene findest Du einen Normalenvektor. Und ein Normalenvektor ist ein Vektor. Das heißt, Du kannst aus ihm einen Einheitsvektor konstruieren.

Viele Details zu Ebenen, ihren unterschiedlichen Darstellungsformen und zu Schnittwinkeln findest Du in den Erklärungen "Winkel zwischen Ebenen" und "Winkel zwischen Gerade und Ebene".

Einheitsvektor aus Normalenvektor konstruieren

Gegeben hast Du die folgende Ebene in Parameterform

mit den beiden Richtungsvektoren

und

Um daraus den Normalenvektor zur gegebenen Ebene zu bestimmen, berechnest Du das Kreuzprodukt zwischen den beiden Vektoren

Wieso ergibt das den Normalenvektor der Ebene? Der Normalenvektor soll senkrecht auf der Ebene stehen. Die Ebene erhältst Du, indem Du alle möglichen Linearkombinationen der beiden Richtungsvektoren bildest (plus den "Aufpunkt"). Wenn Du also einen Vektor hast, der senkrecht zu den beiden Richtungsvektoren ist, ist er auch senkrecht zu allen Linearkombinationen dieser beiden Vektoren. Und das Kreuzprodukt liefert Dir gerade so einen Vektor, der gleichzeitig senkrecht zu und ist.

Die Länge des Normalenvektors ist

Damit ist er kein Einheitsvektor. Um den entsprechenden Einheitsvektor zu erhalten, skalierst Du den Normalenvektor mit dem Kehrwert seiner Länge

Nachrechnen liefert Dir

Alle Vektoren bisher waren "statisch"; sie haben sich nicht verändert. So bleibt etwa der Normalenvektor einer Ebene unverändert, egal, ob Du Deinen Kopf wendest oder morgen noch einmal nachsiehst.

Der nächste Typ Vektor ist hingegen "dynamisch": Er verändert sich mit der Zeit. Dennoch ist er ein Vektor; also kannst Du aus ihm einen Einheitsvektor basteln.

Einheitsvektor in Tangentenvektor umwandeln

Tangentenvektoren werden häufig im Zusammenhang mit Kurven behandelt. Mit einer Kurve kannst Du etwa die Flugbahn eines Vogels beschreiben. Der Tangentenvektor zu dieser Kurve gibt Dir dann die Momentangeschwindigkeit des Vogels zu jedem Zeitpunkt seines Fluges.

Einheitsvektor aus Tangentenvektor konstruieren

Betrachte die Kurve

Wenn Du Dir die Kurve einzeichnen lässt, so hast Du ein Objekt, das beim Punkt

beginnt und sich von dort aus spiralförmig nach oben bewegt (siehe Abbildung 13).

Einheitsvektor Konkrete Bahnkurve im Raum StudySmarterAbbildung 13: Konkrete Bahnkurve im Raum mit einem kartesischem Koordinatensystem.

Um daraus den Tangentenvektor zu gewinnen, leitest Du jede Komponente einzeln ab

Die Länge des Tangentenvektors ist

Hier wurde die Identität verwendet, die auch unter dem Namen Trigonometrischer Pythagoras bekannt ist.

Den entsprechenden Einheitsvektor erhältst Du dann durch

Einheitsvektor trifft auf Skalarprodukt

Wirf einen Blick auf den linken Teil der Abbildung 14. Du siehst einen Vektor. Um die Komponenten dieses Vektors zu bestimmen, könntest Du nun zählen, wie viele Schritte Du in x- bzw. y-Richtung gehen musst.

Einheitsvektor Komponenten eines Vektors durch senkrechte Projektionen StudySmarterAbbildung 14: Die Komponenten eines Vektors kannst Du durch senkrechte Projektionen erhalten.

Du kannst Dir das aber auch etwas anders vorstellen: Um etwa die erste Koordinate zu bestimmen, beleuchtest Du den Vektor senkrecht zur x-Richtung, also parallel zur y-Richtung (siehe mittleren Teil der Abbildung 14). Dadurch wirft der Vektor einen Schatten entlang der x-Richtung. Die Stelle, an der der Schatten aufhört, gibt Dir die x-Koordinate des Vektors.

Genauso gehst Du bei der y-Koordinate vor; nur leuchtest Du dieses Mal senkrecht zur y-Richtung, das heißt, parallel zur x-Richtung (siehe rechten Teil der Abbildung 14).

Diese projizierte Komponente eines Vektors entlang einer Richtung kannst Du mit Einheitsvektoren und dem Skalarprodukt kompakt schreiben.

Projizierte Komponente eines Vektors entlang eines Einheitsvektors

Sei ein Vektor und ein Einheitsvektor. Die Komponente von entlang des Einheitsvektors ist gegeben durch

Der Punkt "" stellt das Standardskalarprodukt dar.

Im Fall der Standardeinheitsvektoren bekommst Du dadurch die Komponenten eines Vektors innerhalb eines kartesischen Koordinatensystems.

Ein anderer Blick auf die Koordinaten eines Vektors

Du hast den Vektor

und die beiden Standardeinheitsvektoren

und

gegeben.

Das Standardskalarprodukt liefert Dir dann

und

Die Komponenten eines Vektors sind also gerade die Projektionen entlang der beiden Standardeinheitsvektoren.

Für jeden Einheitsvektor kannst Du mit dem Skalarprodukt bestimmen, wie viel eines gegebenen Vektors in die Richtung dieses Einheitsvektors zeigt. Ist das Skalarprodukt gleich null, so hat der Vektor keine Komponente in diese Richtung. Das ist nur möglich, wenn der Vektor senkrecht zu dieser Richtung und damit zum Einheitsvektor steht.

Einheitsvektor – Aufgaben

Zur Erinnerung: Um aus einem gegebenen Vektor einen Einheitsvektor zu konstruieren, skalierst Du den Vektor mit dem Kehrwert seiner Länge.

Möchtest Du wissen, wie viel eines Vektors in die Richtung eines gegebenen Einheitsvektors zeigt, so rechnest Du das Skalarprodukt zwischen dem Vektor und Einheitsvektor aus.

Aufgabe 1 - Einheitsvektor bestimmen

Betrachte die beiden Vektoren

und

Bestimme rechnerisch, ob diese Vektoren in dieselbe Richtung zeigen.

Lösung

Dafür gibt es mehrere Möglichkeiten. Hier wird die Aufgabe mithilfe von Einheitsvektoren gelöst.

Dazu bestimmst Du zunächst die Längen der gegebenen Vektoren. Du erhältst

und

Nun skalierst Du die Vektoren mit dem Kehrwert dieser Längen

und

Es gilt also

und damit zeigen die beiden Vektoren in dieselbe Richtung.

Aufgabe 2 - Komponente entlang Einheitsvektor bestimmen

Gegeben sind die beiden Vektoren

und

Bestimme die Komponente von in Richtung des Vektors .

Lösung

Zunächst bestimmst Du den Einheitsvektor zum Vektor . Dazu rechnest Du die Länge von aus

und skalierst ihn dann mit dem Kehrwert seiner Länge

Nun berechnest Du das Skalarprodukt zwischen dem Vektor und dem Einheitsvektor

Die Länge von ist

Ein Vergleich zur Komponente in Richtung von

zeigt Dir: Der Vektor zeigt stark in Richtung des Vektors .

Einheitsvektor – Das Wichtigste

  • Einheitsvektoren sind Vektoren mit einer Länge von 1.
  • Ein Einheitsvektor dient hauptsächlich zur Kommunikation: Mit ihm lässt sich kompakt die Information über eine Richtung darstellen.
  • Zu jeder Richtung gibt es genau einen Einheitsvektor. Die Spitzen aller Einheitsvektoren bilden den Einheitskreis. Unterschiedlichen Vektoren mit derselben Richtung führen zum selben Einheitsvektor.
  • Um aus einem Vektor einen Einheitsvektor zu konstruieren, skalierst Du den Vektor mit dem Kehrwert seiner Länge. Dieser Vorgang heißt auch den Vektor normieren.
  • Du kannst das für alle Vektoren machen, die ungleich dem Nullvektor sind. Spezielle Beispiele sind Normalenvektoren von Ebenen und Tangentenvektoren von Kurven.
  • Zusammen mit dem Skalarprodukt, kannst Du feststellen, wie viel eines gegebenen Vektors in die Richtung eines Einheitsvektors zeigt

Häufig gestellte Fragen zum Thema Einheitsvektor

Ein normierter Vektor ist ein Vektor, den Du mit dem Kehrwert seiner Länge skaliert (multipliziert) hast. Er hat dann automatisch eine Länge von 1.

Einheitsvektoren beinhalten die Information über Richtungen. Jeden Vektor kannst Du Dir in zwei Komponenten aufgeteilt vorstellen: Einer Länge und einer Richtung. Entsprechend kannst Du jeden Vektor als das Produkt einer Zahl (der Länge des Vektors) und einem Einheitsvektor (die Richtung des Vektors) schreiben. Das vereinfacht die Kommunikation und beugt Missverständnissen vor. Einheitsvektoren sind für Richtungen das, was der Euro für Geld ist (nur universeller: Es gibt bloß ein Konzept von Einheitsvektoren; nicht unterschiedliche, je nach Deinem Standort).

Wenn Du einen Vektor gegeben hast, der ungleich dem Nullvektor ist, dann musst Du ihn nur mit dem Kehrwert seiner Länge skalieren. Das bedeutet also: Zunächst berechnest Du die Länge des gegebenen Vektors und dann teilst Du jede Komponente durch diese Länge.

Ein Vektor ist genau dann normiert, wenn er eine Länge von 1 besitzt. Wenn Du also die Länge eines gegebenen Vektors berechnest und diese gleich 1 ist, so ist der Vektor normiert. Ansonsten musst Du ihn mit dem Kehrwert seiner Länge skalieren, um die entsprechende normierte Version zu erhalten.

Finales Einheitsvektor Quiz

Frage

Beschreibe in eigenen Worten, was einen Vektor charakterisiert.

Antwort anzeigen

Antwort

Geometrisch kannst Du Dir einen Vektor wie einen Pfeil vorstellen. Ein Pfeil ist durch seine Länge und Richtung charakterisiert.

Frage anzeigen

Frage

Aus welchen Bestandteilen besteht ein Koordinatensystem der Ebene?

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Für ein Koordinatensystem der Ebene brauchst Du drei Zutaten: (1) Einen Punkt, den Du Ursprung nennst. (2) Zwei Richtungen, die nicht auf derselben Ursprungsgeraden liegen. (3) Eine "Einheit" für jede der beiden Richtungen, um festzulegen, wie weit ein Schritt in die entsprechende Richtung sein soll.

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Welchen Nutzen hat die Einführung eines Koordinatensystems?

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Du kannst mit geometrischen Objekten herumspielen und Beziehungen nachweisen, ohne jemals Zahlen zu verwenden (so wie das Euklid vor über 2000 Jahren gemacht hat). Mit der Einführung eines Koordinatensystems von Descartes wurde eine Verbindung zwischen Geometrie und Algebra geschaffen. Dadurch kannst Du geometrischen Objekten Zahlen zuweisen und dann mit den Zahlen rechnen. Das öffnete die Tore für die analytische Geometrie.

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Gegeben ist ein kartesisches Koordinatensystem mit x- und y-Richtung. Was bedeutet dann die Notation (a|b)?

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Die Notation (a|b) stellt die Koordinaten eines Punktes der Ebene bezüglich dem gewählten Koordinatensystem dar. Die erste Koordinate a teilt Dir mit, wie oft Du nach rechts (positives a) bzw. nach links (negatives a) gehen musst. Ähnlich gibt Dir die zweite Koordinate b Informationen darüber, wie weit Du nach oben (positives b) bzw. nach unten (negatives b) gehen musst.

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Betrachte die folgende Abbildung:

Wie lauten die Komponenten der Punkte A und B?

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A = (4|1) und B = (3|-1)

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Beschreibe in eigenen Worten, wie Du einem Vektor der Ebene Zahlen zuweisen kannst.

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Du nimmst den Vektor und verschiebst ihn parallel, bis er im Ursprung beginnt. Seine Spitze wird dann an einem Punkt der Ebene landen. Die Koordinaten genau dieses Punktes sind dann die Komponenten des Vektors.

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Du hast einen Vektor der Ebene gegeben, dessen Spitze am Punkt (x|y) liegt. Wie wird der Vektor mit Hilfe der Punkt-Koordinaten seiner Spitze dargestellt?

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Die weitverbreitete Notation dafür ist .

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Betrachte die folgende Abbildung:

Wie lauten die Komponenten der beiden eingezeichneten Vektoren?

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Du betrachtest die Spitzen der Vektoren und bestimmt ihre Punkt-Koordinaten. Hier bekommst Du  und .

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Im Allgemeinen: Was ist mit "Länge eines Vektors" gemeint?

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Die "Länge eines Vektors" ist im Allgemeinen eine Funktion, die einen Vektor als Input nimmt und als Output eine Zahl (die Länge des Vektors) ausgibt. Diese Funktion, auch Norm genannt, muss bestimmte Eigenschaften erfüllen, um sich "Länge" oder "Norm" nennen zu dürfen. So etwa muss sie immer positiv sein und nur für den Nullvektor gleich Null werden.

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Was ist die Euklidische Norm?

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Die Euklidische Norm ist eine Norm (oder Länge) in einem kartesischen Koordinatensystem, die sich den Satz des Pythagoras zunutze macht.

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Wie ist die euklidische Norm (Länge) für Vektoren der Ebene definiert?

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Gegeben sei ein Vektor . Die euklidische Norm (oder Länge) des Vektors ist dann .

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Berechne die Länge des Vektors

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Es ist 

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Was ist ein Einheitsvektor?

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Ein Einheitsvektor ist ein Vektor der Länge 1.

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Wie kannst Du aus einem gegebenen Vektor einen Einheitsvektor konstruieren?

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Um aus einem gegebenen Vektor den dazugehörigen Einheitsvektor zu konstruieren, skalierst Du den Vektor mit dem Kehrwert seiner Länge. Deshalb darf der Vektor nicht der Nullvektor sein.

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Wahr oder falsch: Unterschiedliche Vektoren haben unterschiedliche Einheitsvektoren.

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Die Aussage ist falsch.

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Bestimme den Einheitsvektor zum Vektor

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Es ist 

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