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Viereck

Viereck

Du kennst vielleicht den Spruch „Jedes Quadrat ist ein Viereck, aber nicht jedes Viereck ist ein Quadrat“. Stimmt dieser Spruch?

Um das beantworten zu können, musst Du erst einmal verstehen, was ein Viereck ist. Die verschiedenen Arten und Eigenschaften eines allgemeinen Vierecks, aber auch die Eigenschaften von besonderen Vierecken, sowie das Haus der Vierecke lernst Du in diesem Artikel mithilfe von Tabellen, Übersichten und Zusammenfassungen kennen.

Eigenschaften Vierecke – Übersicht

Es gibt viele verschiedene Arten von Vierecken. Jede davon hat einzigartige Eigenschaften und Merkmale.

Ein allgemeines Viereck kann demnach folgendermaßen definiert werden.

Allgemein ist ein Viereck eine geometrische Figur, die durch vier Seiten und vier Eckpunkte gebildet wird.

Ein Viereck hat dabei ein paar besondere Merkmale:

  • die Eckpunkte werden in alphabetischer Reihenfolge gegen den Uhrzeigersinn mit den Großbuchstaben \(A,\, B,\, C,\, D\) gekennzeichnet
  • die vier Seiten des Vierecks werden gegen den Uhrzeigersinn mit den Kleinbuchstaben \(a,\, b,\, c,\, d\) gekennzeichnet
  • die Diagonale \(e\) verläuft zwischen den Eckpunkten \(A\) und \(C\)
  • die Diagonale \(f\) verläuft zwischen den Eckpunkten \(B\) und \(D\)
  • Die Winkel werden an den entsprechenden Eckpunkten mit den griechischen Kleinbuchstaben \( \alpha, \, \beta, \, \gamma, \, \text{und} \, \delta\) beschriftet
  • Die Summe aller Winkel innerhalb des Vierecks ergibt immer \(360^\circ \)

Genauere Infos zur Winkelsumme im Viereck findest Du im gleichnamigen Artikel.

Vierecke Eigenschaften allgemeines Viereck StudySmarterAbb. 1 - beschriftetes Viereck.

Zeichen des griechischen AlphabetsBezeichnungEckpunkt
\(\alpha\)Alpha\(A\)
\(\beta\)Beta\(B\)
\(\gamma\)Gamma\(C\)
\(\delta\)Delta\(D\)

Vierecke – Arten und Eigenschaften

Vierecke werden anhand ihrer verschiedenen Eigenschaften in allgemeine und besondere Vierecke geteilt. Im Folgenden werden Dir die verschiedenen Vierecke kurz vorgestellt und Dir zeigen, wie Du deren Umfang \(U\) und Flächeninhalt \(A\) berechnen kannst.

Dies ist nicht nur in der Schule von enormer Bedeutung, sondern Du kannst in alltäglichen Situationen diese Formeln immer wieder anwenden – sei es bei der Tapezierung Deines Zimmers oder dem Rasenmähen.

Allgemeine Vierecke – Eigenschaften

Ein allgemeines Viereck hat folgende Merkmale:

Seitenvier unterschiedlich lange Seiten
Winkelvier unterschiedlich große Winkel
Diagonalen2 Diagonalen
Symmetriekeine Symmetrie

Zusammengefasst bedeutet das also:

Sofern ein Viereck neben den vier Eckpunkten und vier Seiten keinerlei Besonderheiten aufweist, wird es auch als allgemeines Viereck bezeichnet.

Ein allgemeines Viereck kann jedoch noch in drei weitere Kategorien eingeteilt werden:

  1. Konvexes Viereck
  2. Konkaves Viereck
  3. Überschlagenes Viereck

Aber was unterscheidet diese Arten voneinander?

Konvexes Viereck

Als Erstes geht es um das konvexe Viereck.

Als konvexes Viereck werden Vierecke bezeichnet, bei denen sich die Diagonalen \(e\) und \(f\) innerhalb des Vierecks im Schnittpunkt \(S\) schneiden.

Wie Du anhand der folgenden Abbildung sehen kannst, liegt der Schnittpunkt \(S\) der Diagonalen \(e\) und \(f\) innerhalb des Vierecks.

Vierecke Eigenschaften konvexes Viereck StudySmarterAbb. 2 - konvexes Viereck.

Konkaves Viereck

Das konkave Viereck unterscheidet sich vom konvexen Viereck deutlich. Ganz allgemein kannst Du Dir erst mal folgendes merken.

Im Gegensatz zum konvexen Viereck schneiden sich beim konkaven Viereck die beiden Diagonalen außerhalb des Vierecks. Somit ist einer der vier Eckpunkte nach innen gewölbt.

Verlängerst Du die Diagonale \(f\), die zwischen den Eckpunkten \(B\) und \(D\) verläuft, so schneidet diese die Diagonale \(e\) außerhalb der Vierecksfläche.

Vierecke Eigenschaften konkaves Viereck StudySmarterAbb. 3 - konkaves Viereck.

Überschlagenes Viereck

Das überschlagene Viereck sieht im Vergleich zu den beiden vorigen Viereckstypen ganz anders aus.

Unter einem überschlagenen Viereck wird eine geometrische Figur bezeichnet, bei der die Reihenfolge der Eckpunkte verändert wird und somit diese nicht mehr nebeneinander liegen. Folglich überkreuzen sich die einzelnen Seiten.

Vierecke Eigenschaften überschlagenes Viereck StudySmarterAbb. 4 - überschlagenes Viereck.

verschiedene Vierecke – Flächeninhalt und Umfang

Neben dem allgemeinen Viereck gibt es auch eine Vielzahl von Vierecken, die aufgrund bestimmter Eigenschaften voneinander abgegrenzt werden können.

Das Rechteck

Am geläufigsten ist Dir bestimmt das Rechteck als spezielles Viereck.

Ein Rechteck ist ein Viereck, dessen gegenüberliegende Seiten parallel und gleich lang sind, und das in allen vier Ecken einen rechten Winkel hat. Die Diagonalen \(e\) und \(f\) sind ebenfalls gleich lang.

Vierecke Eigenschaften Rechteck StudySmarterAbb. 5 - Rechteck.

Ein rechter Winkel wird auch mit einem Viertelkreis und einem darin befindlichen Punkt gekennzeichnet, wie Du anhand der Abbildung erkennen kannst.

Dabei sind die Berechnung des Umfangs und der Fläche von besonderer Bedeutung.

Den Umfang \(U\) eines Rechtecks mit den Seiten \(a\) und \(b\) berechnest Du mit folgender Formel:

\[U = 2 \cdot a + 2 \cdot b\]

Den Flächeninhalt \(A\) eines Rechtecks mit den Seiten \(a\) und \(b\) berechnest Du mit folgender Formel:

\[A = a \cdot b\]

Beispiele und Aufgaben findest Du im Artikel Rechteck.

Das Quadrat

Erinnere Dich an den Spruch „Jedes Quadrat ist ein Viereck, aber nicht jedes Viereck ist ein Quadrat“. Die Aussage ist wahr.

Das liegt daran, dass ein Quadrat die Sonderform eines Vierecks ist. Aber was genau macht ein Quadrat so besonders?

Das Quadrat ist eine geometrische Figur, welche durch folgende Merkmale definiert ist:

  • Alle Seiten sind gleich lang.
  • Jeder Innenwinkel ist \(90^\circ\) groß
  • Ein Quadrat hat zwei Diagonalen \(d\), welche gleich lang sind und einander halbieren.

Da alle Seiten bei einem Quadrat gleich lang sind, schneiden sich die Diagonalen in einem rechten Winkel.

Vierecke Eigenschaften Quadrat StudySmarterAbb. 6 - Quadrat.

Auch hier kannst Du den Umfang \(U\) und den Flächeninhalt \(A\) berechnen.

Den Umfang \(U\) eines Quadrats mit der Seite \(a\) berechnest Du mit folgender Formel:

\[ U = 4 \cdot a \]

Den Flächeninhalt \(A\) eines Quadrats mit der Seite \(a\) berechnest Du mit folgender Formel:

\[A = a^2\]

Aufgaben und Beispiele findest Du im Artikel Quadrat.

Die Parallelogramm

Ein Parallelogramm ist ein weiteres spezielles Viereck.

Ein Parallelogramm ist eine geometrische Figur mit vier Ecken, dessen gegenüberliegende Seiten gleich lang sind.

Des Weiteren sind die gegenüberliegenden Winkel immer gleich groß und die Diagonalen treffen sich genau in der Mitte.

Ein Parallelogramm ist darüber hinaus immer punktsymmetrisch.

Vierecke Eigenschaften Parallelogramm StudySmarterAbb. 7 - Parallelogramm.

Natürlich kannst Du auch bei einem Parallelogramm den Umfang \(U\) und den Flächeninhalt \(A\) berechnen.

Der Umfang \(U\) eines Parallelogramms mit den Seiten \(a\) und\(b\) wird mit folgender Formel berechnet:

\[U = 2 \cdot a + 2 \cdot b\]

Der Flächeninhalt \(A\) eines Parallelogramms mit den Seiten \(a\) und \(b\) und der Höhe \(h\) wird mit folgender Formel berechnet:

\[A = a \cdot h\]

Beispiele und Aufgaben findest Du im Artikel Parallelogramm.

Die Raute

Die Raute wird auch als Rhombus bezeichnet und ist ebenso ein spezielles Viereck. Dabei sind die Seiten nicht nur parallel, sondern auch gleich lang. Die Winkel der Raute werden durch die Diagonalen halbiert.

Die Raute ist eine geometrische Figur, die durch folgende Eigenschaften definiert ist:

  • Alle 4 Seiten sind gleich lang, wobei die gegenüberliegenden Seiten jeweils parallel zueinander sind.
  • Die jeweils gegenüberliegenden Innenwinkel sind gleich groß.
  • Die Raute hat zwei Diagonalen, welche einander im Mittelpunkt M der Figur senkrecht halbieren.

Vierecke Eigenschaften Raute StudySmarterAbb. 8 - Raute.

Um den Umfang \(U\) und den Flächeninhalt \(A\) einer Raute berechnen zu können, gibt es auch wieder entsprechende Formeln.

Den Umfang \(U\) einer Raute mit der Seite \(a\) berechnest Du mit folgender Formel:

\[U = 4 \cdot a\]

Den Flächeninhalt \(A\) einer Raute mit den Diagonalen \(e\) und \(f\) berechnest Du mit folgender Formel:

\[A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f \]

Aufgaben und Beispiele findest Du im Artikel Raute.

Das Trapez

Ein Trapez ist ein weiteres spezielles Viereck mit besonderen Eigenschaften.

Ein Trapez ist ein spezielles Viereck, bei dem mindestens zwei gegenüberliegende Seiten parallel zueinander sind.

Die parallelen Seiten heißen bei einem Trapez Grundseiten, wobei die längere Seite davon Basis genannt wird. Die zwei anderen Seiten sind die Schenkel.

Bei einem Trapez bildet die Summe der Winkel auf einer Seite immer \(180\) Grad.

Vierecke Eigenschaften Trapez StudySmarterAbb. 9 - Trapez.

Auch bei dem Trapez wirst Du den Umfang \(U\) und den Flächeninhalt \(A\) mithilfe von Formeln berechnen können.

Den Umfang \(U\) eines Trapezes mit den Seiten \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) berechnest Du mit der folgenden Formel:

\[U = a + b + c + d\]

Den Flächeninhalt eines Trapezes mit den Seiten \(a\) und \(c\) und der Höhe \(h\) berechnest Du wie folgt:

\[ A = \frac{1}{2} \cdot h \cdot (a + c)\]

Beispiele und Aufgaben findest Du im Artikel Trapez.

Das Drachenviereck

Das letzte besondere Viereck ist das Drachenviereck, das, wie der Name schon verrät, die Form eines Flugdrachen hat.

Ein Drachenviereck ist ein Viereck, das folgende drei Eigenschaften erfüllt:

  • Je zwei anliegende Seiten sind gleich lang
  • Die beiden Diagonalen \(e\) und \(f\) stehen senkrecht aufeinander
  • Es ist achsensymmetrisch zu Diagonalen \(e\)

Dadurch, dass die Diagonalen senkrecht zueinander stehen, halbiert der Schnittpunkt der Diagonalen die Diagonale \(f\).

Vierecke Eigenschaften Drachenviereck StudySmarterAbb. 10 - Drachenviereck.

Damit Du auch den Umfang \(U\) und den Flächeninhalt \(A\) eines Drachenvierecks berechnen kannst, lernst Du auch hier die passenden Formeln.

Den Umfang \(U\) eines Drachenvierecks mit den Seiten \(a\) und \(b\) berechnest Du wie folgt:

\[U = 2 \cdot a + 2 /cdot b\]

Den Flächeninhalt \(A\) eines Drachenvierecks mit den Diagonalen \(e\) und \(f\) berechnest Du mit folgender Formel:

\[A = \frac{1}{2} \cdot e \cdot f\]

Beispiele und Aufgaben findest Du im Artikel Drachenviereck.

Haus der Vierecke – Eigenschaften

Du hast jetzt die verschiedenen Vierecksarten und ihre Eigenschaften kennengelernt. Um eine Übersicht über die vielen Vierecke zu bekommen, bietet sich das sogenannte Haus der Vierecke an.

Auf der untersten Ebene, dem Erdgeschoss, befindet sich das allgemeine Viereck. Dies hat außer den vier Eckpunkten und vier Seiten keine besonderen Eigenschaften. Je höher Du gehst, desto mehr spezifische Eigenschaften kannst Du an den jeweiligen Vierecksarten entdecken.

Die Kategorien, die zur Einstufung der verschiedenen Vierecke maßgeblich sind, sind vor allem die Winkel- und Seitenbeziehungen und die Symmetrieeigenschaften.

StockwerkVierecksartBesonderheiten
Erdgeschossallgemeines Viereck
  • keine besonderen Eigenschaften bezüglich der Symmetrie, den Winkeln oder der Seiten
1. Obergeschossallgemeines Trapez
  • zwei parallel verlaufende Seiten
2. ObergeschossDrachenviereck
  • zwei Paare von Seiten, die gleich lang sind
  • zwei der Winkel innerhalb des Drachenvierecks sind gleich groß
Parallelogramm
  • die sich gegenüberliegenden Seiten sind gleich groß und verlaufen parallel zueinander
  • gegenüberliegende Winkel sind gleich groß
symmetrisches Trapez
  • zwei gleich lange Seiten
  • zwei parallel zueinander liegende Seiten
  • zwei der Innenwinkel sind gleich groß
3. ObergeschossRaute
  • vier gleich lange Seiten
  • gegenüberliegende Seiten sind parallel zueinander
Rechteck
  • alle vier Winkel sind gleich groß
  • gegenüberliegende Seiten sind gleich lang und parallel zueinander
DachgeschossQuadrat
  • vier gleich große, rechte Winkel
  • alle Seiten sind gleich lang
  • gegenüberstehende Seiten sind parallel zueinander

Viereck – Das Wichtigste auf einen Blick

  • Ein allgemeines Viereck ist eine geometrische Figur, die durch vier Seiten und vier Eckpunkte gebildet wird
  • Die Summe aller Winkel innerhalb des Vierecks ergibt immer \(360^\circ \)
  • Ein allgemeines Viereck wird jedoch noch in drei weitere Kategorien eingeteilt:
    1. Konvexes Viereck
    2. Konkaves Viereck
    3. Überschlagenes Viereck
  • Als konvexes Viereck werden Vierecke bezeichnet, bei denen sich die Diagonalen \(e\) und \(f\) innerhalb des Vierecks im Schnittpunkt \(S\) schneiden

  • Im Gegensatz zum konvexen Viereck schneiden sich beim konkaven Viereck die beiden Diagonalen außerhalb des Vierecks. Somit ist einer der vier Eckpunkte nach innen gewölbt

  • Unter einem überschlagenen Viereck wird eine geometrische Figur bezeichnet, bei der die Reihenfolge der Eckpunkte verändert wird und somit diese nicht mehr nebeneinander liegen. Folglich überkreuzen sich die einzelnen Seiten

  • Besondere Vierecke sind:

    • Rechteck

    • Quadrat

    • Parallelogramm

    • Raute

    • Trapez

    • Drachenviereck

  • Das Haus der Vierecke sind die verschiedenen Vierecke nach ihren unterschiedlichen Eigenschaften und Besonderheiten angeordnet

Häufig gestellte Fragen zum Thema Viereck

Der Umfang \(U\) kann für jedes geometrische Objekt anders berechnet werden. Bei einem Viereck mit den Seiten a, b, c und d gilt allgemein die folgende Formel:


U = a + b + c + d

Die Diagonale d einer geometrischen Figur wird, je nach Figur, immer etwas anders berechnet. So wird die Diagonale d in einem Quadrat mit der Seite a beispielsweise mit folgender Formel berechnet:


d = a · √2

Die Fläche A wird, je nach Figur, anders berechnet. So lautet die Formel für den Flächeninhalt A eines Quadrats mit der Seitenlänge a beispielsweise:

A = a2

Ein unregelmäßiges Viereck ist ein Viereck, welches keine besonderen Seiten-, Winkel oder Symmetriebeziehungen, wie ein Quadrat, eine Raute, ein Parallelogramm usw., hat. 

Finales Viereck Quiz

Frage

Was ist der Flächeninhalt eines Rechtecks?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Flächeninhalt A eines Rechtecks ist ein Maß für die Größe einer Fläche. Er ist abhängig von der Länge der Seiten des Rechtecks, welche allgemein als a und b bezeichnet werden können. Es gilt:



Frage anzeigen

Frage

In welcher Einheit wird der Flächeninhalt angegeben?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Fläche wird meistens in mm² (Millimeter), cm² (Zentimeter), m² (Meter) oder km² (Kilometer) angegeben.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts A eines Rechtecks mit den Seiten a und b!

Antwort anzeigen

Antwort

A = a · b

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Unterschied zwischen einem Rechteck und einem Quadrat?

Antwort anzeigen

Antwort

Im Gegensatz zum Quadrat, wo alle vier Seiten gleich lang sind, sind beim Rechteck jeweils die zwei gegenüberliegenden Seiten gleich lang.

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Flächeninhalt A eines Rechtecks mit den Seiten  und !

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Seite a eines Rechtecks, welches einen Umfang von  und eine Seite  aufweist!

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Wie viele Symmetrieachsen hat ein Rechteck?

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei.

Frage anzeigen

Frage

Wie wird der Flächeninhalt mathematisch abgekürzt?

Antwort anzeigen

Antwort

Mit dem Großbuchstaben A


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Frage

Was ist der Unterschied zwischen einem Rechteck und einem Quader (beispielsweise einem Schuhkarton)?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Rechteck ist eine Figur in der zweidimensionalen Ebene. Ein Quader ist eine Figur im Dreidimensionalen.


Frage anzeigen

Frage

Welche Eigenschaften lassen sich dem Rechteck zuordnen?

Antwort anzeigen

Antwort

Jeweils zwei Seiten sind gleich lang.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Unterschied zwischen dem Umfang und dem Flächeninhalt?

Antwort anzeigen

Antwort

Die eingeschlossene Fläche beschreibt den Flächeninhalt A, während der Umfang U die Summe der umliegenden Seiten ist.


Frage anzeigen

Frage

Überlege, in welchen Alltagssituationen könnte Dir der Flächeninhalt eines Rechtecks helfen?


Antwort anzeigen

Antwort

Zum Beispiel, wenn Du eine Wand streichen möchtest und die Fläche der Wand ausrechnen willst, um ausreichend Farbe zu besorgen. So kann ein Farbeimer beispielsweise für  ausreichend sein und Du möchtest wissen, wie viele Eimer Du zum Streichen benötigst.

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seitenlängen  und !

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Mithilfe welcher Formel kann die fehlende Seitenlänge a eines Rechtecks bei gegebener Diagonale d und der anderen Seite b berechnet werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Nenne den passenden Begriff für folgende Lücke:


„Ein ....................... beschreibt ein Viereck, bei dem beide Diagonalen innerhalb des Vierecks liegen.“ 

Antwort anzeigen

Antwort

konvexes

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, welche Aussagen korrekt sind. 

Antwort anzeigen

Antwort

Sind die Seiten \(a\), \(b\),\(c\) und \(d\) eines Vierecks gleich lang, so ist dies ein Quadrat.

Frage anzeigen

Frage

Gib an, unter welchen Bedingungen Drachenvierecke auch Rauten sowie Quadrate sind. 

Antwort anzeigen

Antwort

Sind in einem Drachenviereck alle Seiten \(a\), \(b\), \(c\) und \(d\) gleich lang und somit alle Winkel \(\alpha\), \(\beta\), \(\gamma\) und \(\delta\) gleich groß, so ist ein Drachenviereck auch eine Raute und ein Quadrat. 


\begin{align}a&=b=c=d\\ \alpha&=\beta=\gamma=\delta=90°\end{align}

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