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In diesem Artikel geht es um das Viereck als geometrische Figur. Wir erklären dir, welche Eigenschaften ein Viereck hat und welche verschiedenen Arten von Vierecken es gibt.
Ein Viereck ist eine geometrische Figur, die durch vier Seiten und vier Eckpunkte gebildet wird.
Dabei werden die Eckpunkte in der Regel in alphabetischer Reihenfolge mit den Großbuchstaben A, B, C, D gekennzeichnet. Jedoch erfolgt die Bezeichnung entgegen dem Uhrzeigersinn, wie du auch anhand der folgenden Abbildung erkennen kannst.
Die vier Seiten des Vierecks werden zwischen den jeweils nächstgelegenen Eckpunkten gebildet und ebenfalls gegen den Uhrzeigersinn mit den Kleinbuchstaben a, b, c, d gekennzeichnet. Somit wird die Seite zwischen den Punkten A und B auch als a bezeichnet.
Neben den Seiten, die das Viereck umschließen, gibt es innerhalb des Vierecks Strecken, die zwischen den einzelnen Punkten verlaufen. Diese werden auch als Diagonalen definiert und mit den Buchstaben e und f gekennzeichnet. So verläuft zwischen den Eckpunkten A und C die Diagonale e und zwischen den Punkten B und D die Diagonale f.
Unabhängig davon, wie das jeweilige Viereck konstruiert wird, besitzt jedes Viereck vier Winkel, die immer durch zwei Seiten und einem Eckpunkt gebildet werden. Die Winkel dieser Eckpunkte werden mit dem entsprechenden kleingeschriebenen Buchstaben des griechischen Alphabets versehen. Das bedeutet, dass beispielsweise der Winkel, der am Eckpunkt A liegt, mit α (Alpha, Beta, Gamma, Delta) bezeichnet wird. Die Summe aller Winkel innerhalb des Vierecks ergibt immer 360 Grad.
| Zeichen des griechischen Alphabets | Bezeichnung | Eckpunkt |
| α | Alpha | A |
 | Beta | B |
 | Gamma | C |
 | Delta | D |
Vierecke werden anhand ihrer verschiedenen Besonderheiten in allgemeine Vierecke und spezielle Vierecke geteilt. Im Folgenden möchten wir dir die verschiedenen Vierecke kurz vorstellen und dir zeigen, wie du den Umfang (U) und den Flächeninhalt (A) berechnen kannst. Dies ist nicht nur in der Schule von enormer Bedeutung, sondern du kannst in alltäglichen Situationen diese Formeln immer wieder anwenden – sei es bei der Tapezierung deines Zimmers oder dem Rasenmähen.
Sofern ein Viereck neben den vier Eckpunkten und vier Seiten keinerlei Besonderheiten aufweist, wird es auch als allgemeines Viereck bezeichnet.
Das bedeutet, dass beispielweise die Seiten nicht gleich lang sein. Dabei kann ein allgemeines Viereck eine von drei Formen aufweisen:
Schauen wir uns doch mal die verschiedenen Vierecks-Typen etwas genauer an!
Als ersten Vierecks-Typ betrachten wir das konvexe Viereck. Für dieses Viereck gilt folgende Definition!
Als konvexes Viereck werden Vierecke bezeichnet, bei denen sich die Diagonalen innerhalb des Vierecks schneiden.
Wie du anhand der folgenden Abbildung sehen kannst, liegt der Schnittpunkt der Diagonalen e und f innerhalb des Vierecks.
Das konkave Viereck unterscheidet sich vom konvexen Viereck deutlich! Ganz allgemein kannst du dir erstmal folgendes merken!
Im Gegensatz zum konvexen Viereck schneiden sich beim konkaven Viereck die beiden Diagonalen außerhalb des Vierecks. Somit ist einer der vier Eckpunkte nach innen gewölbt.
Verlängert man die Diagonale f, die zwischen den Eckpunkten B und D verläuft, so schneidet diese die Diagonale e außerhalb der Vierecksfläche.
Das überschlagene Viereck sieht im Vergleich zu den beiden vorigen Viereckstypen ganz anders aus!
Unter einem überschlagenen Viereck wird eine geometrische Figur bezeichnet, bei der die Reihenfolge der Eckpunkte verändert wird und somit diese nicht mehr nebeneinander liegen. Folglich überkreuzen sich die einzelnen Seiten.
Neben dem allgemeinen Viereck gibt es auch eine Vielzahl von Vierecken, die aufgrund bestimmter Eigenschaften voneinander abgegrenzt werden können.
Am geläufigsten ist dir bestimmt das Rechteck als spezielles Viereck.
Ein Rechteck hat wie jedes andere Viereck auch vier Eckpunkte und vier Seiten. Allerdings bilden alle vier Innenwinkel jeweils einen rechten Winkel, haben also 90 Grad. Dadurch sind die sich gegenüberliegenden Seiten immer gleich lang, ebenso wie die Diagonalen. Ein Rechteck besitzt also zwei gleich lange Seiten!
Dabei sind die Berechnung des Umfangs und der Fläche von enormer Bedeutung.
1. Umfang
Als Umfang U wird die Länge der Linie verstanden, die eine Fläche begrenzt. Bei einem Viereck ist der Umfang die Gesamtheit der Seitenlängen.
Du kannst dir den Umfang auch als die Seillänge vorstellen, die du bräuchtest um einmal um das Rechteck herumzulaufen. Den Umfang kannst du bei der folgenden Abbildung an den orange markierten Seiten erkennen.
Für die Berechnung des Umfangs eines Rechtecks kannst du folgende Formel anwenden:
2. Flächeninhalt
Unter dem Flächeninhalt wird das Maß einer ebenen, also zweidimensionalen, Figur verstanden. Bei einem Rechteck kannst du dies einfach berechnen, indem du die Länge mit der Breite multiplizierst.
Du willst dein Zimmer neu renovieren und möchtest dazu den alten Teppichboden durch einen PVC-Belag ersetzen. Dein Zimmer hat eine Länge von 4 m und eine Breite von 5,5 m. Wieviel m² PVC-Belag benötigst du?
Um zu wissen, wieviel PVC-Belag du benötigst, wendest du die Formel für den Flächeninhalt eines Rechtecks an:
a = 4 m
b = 5,5 m
Du benötigst 22 m² PVC-Belag, um den alten Teppich in deinem Zimmer zu ersetzen.
Das Quadrat, als besondere Form des Rechtecks, hat vier gleich lange Seiten. Alle Innenwinkel eines Quadrats haben 90 Grad.
Da alle Seiten bei einem Quadrat gleich lang sind, schneiden sich die Diagonalen in einem rechten Winkel.
Damit du auch den Umfang (U) und den Flächeninhalt (A) eines Quadrates berechnen kannst, geben wir dir folgende Formeln mit an die Hand:
Ein Parallelogramm ist ein weiteres spezielles Viereck. Bei einem Parallelogramm sind die gegenüberliegenden Seiten des Vierecks immer parallel zueinander. Aus diesem Grund sind die gegenüberliegenden Winkel auch immer gleich groß.
Natürlich kannst du auch bei einem Parallelogramm den Umfang (U) und den Flächeninhalt (A) berechnen. Allerdings benötigst du dafür neben den Seiten a und b auch die Höhe h.
A = a + b + c + d = 2 ⋅ a + 2 ⋅ b = 2 ⋅ (a + b)
A = a ⋅ h
Die Raute wird auch als Rhombus bezeichnet und ist ebenso ein spezielles Viereck. Dabei sind die Seiten nicht nur parallel, sondern auch gleich lang. Die Winkel der Raute werden durch die Diagonalen halbiert.
Ein Trapez ist ein weiteres spezielles Viereck. Beim Trapez ist die Besonderheit, dass mindestens zwei gegenüberliegende Seiten parallel zueinander sind. Die parallelen Seiten nennt man bei einem Trapez Grundseiten, die zwei anderen Seiten sind die Schenkel. Bei einem Trapez bildet die Summe der Winkel auf einer Seite immer 180 Grad.
Auch bei dem Trapez wirst du den Umfang (U) und den Flächeninhalt (A) mit den nachfolgenden Formeln berechnen können:
A = a + b + c + d
Ein Drachenviereck ist ein Viereck, bei dem eine Diagonale als Symmetrieachse des Vierecks fungiert. Bei einem Drachenviereck sind auch immer zwei benachbarte Seiten gleich lang. Die Diagonalen stehen außerdem senkrecht zueinander, sodass der Schnittpunkt der Diagonalen einen rechten Winkel bildet und die Diagonalen halbiert.
Falls du dich nicht mehr so genau erinnern kannst, was du dir unter Symmetrie und der Symmetrieachse vorstellen kannst, haben wir hier eine kleine Wiederholung für dich:
Unter Symmetrie wird eine geometrische Eigenschaft verstanden, bei der eine Figur auf beiden Seiten einer Achse ein Spiegelbild bildet. Demzufolge bezeichnet man die Symmetrie auch als "spiegelbildliche Gleichheit".
Dabei wird die Achse bzw. Gerade, die die Figur in Spiegelbilder teilt, als Spiegelachse oder Symmetrieachse bezeichnet.
Damit du auch den Umfang (U) und den Flächeninhalt (A) eines Drachenvierecks berechnen kannst, lernst du am besten diese beiden Formeln:
Du hast jetzt die verschiedenen Vierecksarten und ihre Eigenschaften kennengelernt und wahrscheinlich schwirrt dir vor lauter Definitionen und Formeln der Kopf. Um eine Übersicht über die vielen Vierecke zu bekommen, bietet sich das sogenannte Haus der Vierecke an:
Wie du an der Abbildung erkennen kannst, besteht das Haus der Vierecke aus verschiedenen Stockwerken. Dabei sind die verschiedenen Vierecke nach ihren unterschiedlichen Eigenschaften und Besonderheiten angeordnet. Auf der untersten Ebene, dem Erdgeschoss, befindet sich das allgemeine Viereck. Dies hat außer den vier Eckpunkten und vier Seiten keine besonderen Eigenschaften. Je höher du gehst, desto mehr spezifische Eigenschaften kannst du an den jeweiligen Vierecksarten entdecken.
Die Kategorien, die zur Einstufung der verschiedenen Vierecke maßgeblich sind, sind vor allem die Winkel- und Seitenbeziehungen und die Symmetrieeigenschaften. Vielleicht fragst du dich, wie die verschiedenen Vierecke innerhalb der Stockwerke und zwischen Erdgeschoss und Dach angeordnet werden. Dies versuchen wir dir Schritt für Schritt zu erklären:
| Stockwerk | Vierecksart | Erklärung |
| Dachgeschoss | Quadrat | Besonderheiten des Quadrats:
|
| 3. Obergeschoss | Raute, Rechteck | Eigenschaften der Raute:
|
| 2. Obergeschoss | Drachenviereck, Parallelogramm, symmetrisches Trapez | Eigenschaften des Drachenvierecks:
Besonderheiten des Parallelogramms:
Eigenschaften des symmetrischen Trapez:
|
| 1. Obergeschoss | allgemeine Trapez | Besonderheit des allgemeinen Trapez:
|
| Erdgeschoss | allgemeine Viereck | keine besonderen Eigenschaften des allgemeinen Vierecks |
Den Umfang (U) eines Vierecks berechnest du in dem du die Seitenlängen (a, b, c, d) miteinander addierst:
U = a + b + c + d
Die Berechnung der Diagonalen in einem Viereck ist abhängig von der Art des Vierecks. Bei einem allgemeinen Viereck berechnest du die Diagonalen mit Hilfe des Kosinussatzes, während du beim Rechteck den Satz des Pythagoras benötigst.
Du berechnest die Fläche (A) eines Rechtecks, indem du die Längen der Seiten a und b miteinander multiplizierst:
A = a ⋅ b
Ein unregelmäßiges Viereck wird auch als allgemeines Viereck bezeichnet und weist keine weiteren Besonderheiten, außer vier Eckpunkte und vier Seiten, auf.
Frage
Was ist der Flächeninhalt eines Rechtecks?
Antwort
Der Flächeninhalt A eines Rechtecks ist ein Maß für die Größe einer Fläche. Er ist abhängig von der Länge der Seiten des Rechtecks, welche allgemein als a und b bezeichnet werden können. Es gilt:
Frage
Berechne den Flächeninhalt A eines Rechtecks mit den Seiten und
!
Antwort
Frage
Berechne die Seite a eines Rechtecks, welches einen Umfang von und eine Seite
aufweist!
Antwort
Frage
Überlege, in welchen Alltagssituationen könnte Dir der Flächeninhalt eines Rechtecks helfen?
Antwort
Zum Beispiel, wenn Du eine Wand streichen möchtest und die Fläche der Wand ausrechnen willst, um ausreichend Farbe zu besorgen. So kann ein Farbeimer beispielsweise für ausreichend sein und Du möchtest wissen, wie viele Eimer Du zum Streichen benötigst.
Frage
Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seitenlängen und
!
Antwort
Frage
Mithilfe welcher Formel kann die fehlende Seitenlänge a eines Rechtecks bei gegebener Diagonale d und der anderen Seite b berechnet werden?
Antwort
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