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Punktsymmetrie

In dieser Erklärung wird Dir die Punktsymmetrie einfach erklärt. Dir wird eine Definition und Beispiele gegeben. Zudem wird Dir gezeigt, wie du Punktsymmetrie erkennen kannst und wie sie mit einer Formel berechnet wird. Am Ende hast Du noch die Möglichkeit Aufgaben mit Lösungen zur Vertiefung zu berechnen.

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Punktsymmetrie

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In dieser Erklärung wird Dir die Punktsymmetrie einfach erklärt. Dir wird eine Definition und Beispiele gegeben. Zudem wird Dir gezeigt, wie du Punktsymmetrie erkennen kannst und wie sie mit einer Formel berechnet wird. Am Ende hast Du noch die Möglichkeit Aufgaben mit Lösungen zur Vertiefung zu berechnen.

Eine Figur oder Funktion ist punktsymmetrisch, wenn sie ein Symmetriezentrum besitzen, um das die Figur oder Funktion um 180° gedreht werden kann. Die gedrehte Figur ist deckungsgleich mit der Figur in der Ausgangsposition.

Punktsymmetrie Definition – einfach erklärt

Eine Figur wird als punktsymmetrisch bezeichnet, wenn durch eine Punktspiegelung am sogenannten Symmetriepunkt oder auch Symmetriezentrum, die Figur auf sich selbst abgebildet wird. Das bedeutet, dass sich die Figur durch die Spiegelung nicht verändert.

Bei der Punktsymmetrie gibt es zwei Fälle:

  1. eine Figur ist in sich punktsymmetrisch

  2. zwei Figuren sind zueinander punktsymmetrisch

Neben der Punktsymmetrie gibt es auch noch die Achsensymmetrie. Eine Figur oder Funktion ist achsensymmetrisch, wenn sie eine oder mehrere Symmetrieachsen besitzt. Wird die Figur oder Funktion an der Achse gespiegelt, so sind beide Seiten deckungsgleich. Der Unterschied ist, dass bei der Punktsymmetrie an einem Punkt und nicht an einer Achse gespiegelt wird. Mehr dazu kannst Du in der Erklärung "Symmetrie" nachlesen.

Punktsymmetrie erkennen – Beispiele

Wenn es um eine Punktsymmetrie geht, also eine Symmetrie an einem Spiegelpunkt, kann diese an einer Figur oder einer Funktion nachgewiesen werden. Zudem gibt es alltagsbezogene punktsymmetrische Figuren, wie zum Beispiel der Buchstabe \(N\).

Punktsymmetrie Buchstabe StudySmarterAbb - 1: Punktsymmetrie Buchstabe

Wenn Du den Buchstaben N auf ein Blatt schreibst und das Blatt dann einmal auf den Kopf drehst, dann sieht das N immer noch aus wie ein N. Selbst, wenn Du es von oben liest!

Punktsymmetrie Figuren

Es gibt verschiedene geometrische Figuren, die punktsymmetrisch sind. Dazu gehören zum Beispiel das Quadrat, Rechteck, Parallelogramm oder auch der Kreis.

FigurenDarstellung
Quadrat

Hier siehst Du den Symmetriepunkt \(S\) des Quadrates und den gleichen Abstand beider Ecken zum Symmetriepunkt.

Punktsymmetrisches Quadrat StudySmarterAbb - 2: Punktsymmetrisches Quadrat
Rechteck

Hier siehst Du den Symmetriepunkt \(S\) des Rechtecks und den gleichen Abstand beider Ecken zum Symmetriepunkt.

Punktsymmetrisches Rechteck StudySmarterAbb - 3: Punktsymmetrisches Rechteck
Parallelogramm

Hier siehst Du den Symmetriepunkt \(S\) des Parallelogramms und den gleichen Abstand der gegenüberliegenden Ecken zum Symmetriepunkt.

Punktysmmetrie Paralleloframm StudySmarterAbb - 4: Punktsymmetrisches Parallelogramm
Kreis

Hier siehst Du den Symmetriepunkt \(S\) des Kreises und den jeweils gleichen Radius vom Symmetriepunkt zum Kreisumfang.

Punktsymmetrie Kreis StudySmarterAbb - 4: Punktsymmetrie Kreis

Punktsymmetrie Funktion – Formel & Beweisen

Eine Funktion \(f(x)\) ist punktsymmetrisch, wenn die Funktion durch eine Spiegelung am Koordinatenursprung, also am Punkt \((0|0)\), wieder \(f(x)\) ergibt. Mathematisch ist das der Fall, wenn gilt \[f(-x) = -f(x)\]

Wenn Dich interessiert, wie Du herausfindest, ob eine Funktion achsensymmetrisch ist, dann schau in der Erklärung „Achsensymmetrie“ nach.

FunktionBeweisGraph
Lineare Funktion\[f(x)=x\]\[\begin{align}f(-x) &= -x \\&= -(x)\\&=-f(x)\end{align}\]

Hier siehst Du die Punktsymmetrie einer linearen Funktion zum Ursprung.

Punktsymmetrie Lineare Funktion StudySmarterAbb - 5: Punktsymmetrie Lineare Funktion
Funktion dritten Grades\[f(x)=x^3\]\[\begin{align}f(-x) &= (-x)^3 \\&= -(x)^3\\&=-f(x)\end{align}\]

Hier siehst Du die Punktsymmetrie einer Funktion dritten Grades zum Ursprung.

Punktsymmetrie Funktion dritten Grades StudySmarterAbb - 6: Punktsymmetrie Funktion dritten Grades

Funktion fünften Grades\[f(x)=-x^5+2x^3\]

\[\begin{align}f(-x) &= (-x)^5+2(-x)^3 \\&= -(x)^5-2x^3\\&= -(x^5+2x^3)\\&=-f(x)\end{align}\]

Hier siehst Du die Punktsymmetrie einer Funktion fünften Grades zum Ursprung.

Punktsymmetrie Funktion fünften Grades StudySmarterAbb - 7: Punktsymmetrie Funktion fünften Grades

Punktsymmetrie – Aufgaben mit Lösungen

Nun kannst Du Dein Wissen anhand einiger Aufgaben überprüfen.

Punktsymmetrie berechnen – Aufgabe 1

Weise rechnerisch die Punktsymmetrie der Funktion \(f(x)=2x^3\) nach.

Lösung

Um diese Funktion jetzt auf Punktsymmetrie zum Ursprung zu untersuchen, musst Du \(-x\) in die Funktion einsetzen.

\begin{align} f(-x)&= 2\cdot (-x)^3 \\[0.2cm] &=-(2x^3) \\[0.2cm] &=-f(x)\end{align}

Da die Funktionen nach dem Einsetzen gleich sind, ist die Funktion zum Ursprung punktsymmetrisch. Das wird auch deutlich, wenn Du die Funktion um \(180^\circ\) um den Ursprung drehst.

Punktsymmetrie erkennen – Aufgabe 2

Entscheide, welche der Figuren punktsymmetrisch sind und welche nicht und zeichne das Symmetriezentrum ein.

Figur 1Figur 2
Punktsymmetrie Raute StudySmarter
Abb - 8: Raute
Punktsymmetrie Viereck StudySmarter
Abb - 9: Drachenviereck

Lösung

Figur 1 ist punktsymmetrisch:

Punktsymmetrie Raute StudySmarterAbb - 10: Punktsymmetrie Raute

Figur 2 ist nicht punktsymmetrisch und hat somit keinen Symmetriepunkt.

Punktsymmetrie Funktion – Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion \(f(x)=3x^5+7x^3\). Untersuche die Funktion auf Punktsymmetrie zum Ursprung.

Lösung

Die Funktion \(f(x)\) hat nur ungerade Exponenten, was ein Zeichen dafür ist, dass die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Überprüfe das noch einmal rechnerisch, in dem Du \(-x\) in die Funktion einsetzt.

\begin{align} f(-x)&=3\cdot (-x)^5 + 7\cdot (-x)^3 \\[0.2cm] &=3\cdot (-x \cdot -x \cdot -x \cdot -x \cdot -x)^5 + 7 \cdot( -x \dot -x \cdot -x )^3 \\[0.2cm] &= -3x^5-7x^3 \\[0.2cm] &= -(3x^5+7x^3) \\[0.2cm] &=-f(x) \end{align}

Laut Berechnung ist die Funktion f(x) punktsymmetrisch zum Ursprung.

Punktsymmetrie – Das Wichtigste

  • Eine punktsymmetrische Figur oder Funktion hat einen Symmetriepunkt beziehungsweise ein Symmetriezentrum
  • Wird die Figur oder Funktion um \(180^\circ\) um diesen Symmetriepunkt gedreht, so ist sie deckungsgleich mit der Figur oder Funktion in ihrer Ausgangsposition
  • Eine Funktion \(f(x)\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn gilt \(f(-x)=-f(x)\)
  • Figuren können auch zueinander punktsymmetrisch sein
  • zueinander punktsymmetrische Figuren wurden durch einen Punkt gespiegelt.

Nachweise

  1. Becker et al. (2015). Duden Formeln und Werte. Cornelsen Verlag.
  2. Ute Hausleiter (2015). Mathematik - Aktuelles Grundwissen. Circon Verlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Punktsymmetrie

Die Punktsymmetrie ist eine Eigenschaft einer Figur, bei der die Figur spiegelsymmetrisch zu einem Symmetriepunkt ist.Wird diese Figur um \(180^\circ\) um den Symmetriepunkt gedreht, so ist die Figur deckungsgleich mit der Ausgangsfigur.

Eine Punktsymmetrie bei einer Figur erkennst Du, wenn sie einen Punkt hat, der an dem Symmetriepunkt gespiegelt wird. Bei einer Funktion erkennst Du es daran, dass die Funktion nur ungerade Exponenten hat.

Eine Funktion ist punktsymmetrisch, wenn ihre Exponenten alle ungerade sind. Dabei gilt \(f(-x)=-f(x)\).

Es gibt viele Figuren, die Punktsymmetrisch sind. Die gängigsten sind Quadrat, Rechteck, Parallelogramm, Raute und Kreis.

Was verstehst Du unter der Punktsymmetrie?

Eine Figur oder eine Funktion ist punktsymmetrisch, wenn sie an einem Punkt gespiegelt werden kann und sich in sich selbst abbildet. Das heißt, wenn die Funktion oder die Figur um \(180^\circ\) gedreht wird, ist sie deckungsgleich mit der Ausgangsfigur oder Funktion.

Welche Figuren sind punktsymmetrisch?

Quadrat

Nenne, welche zwei Arten der Punktsymmetrie von Funktionen es gibt.

Es gibt sowohl die Punktsymmetrie einer Funktion zum Ursprung, als auch die Punktsymmetrie einer Funktion zu einem beliebigen Punkt.

Nenne, welche drei Bedingungen gelten müssen, sodass eine Funktion \(f(x)\) punktsymmetrisch zum Ursprung ist?

  1. Alle Exponenten sind ungerade.
  2. Die folgende Gleichung ist richtig:  \(f(-x)=-f(x)\).
  3. Die Funktion kann um \(180°\circ\) um den Ursprung gedreht werden und ist dann deckungsgleich mit dem Graphen der Ausgangsfunktion.

Nenne, welche Eigenschaft ein Kreis besitzt.

Achsen - und Punktsymmetrie

Nenne den Unterschied zwischen Achsen- und Punktsymmetrie?


Ist eine Figur oder Funktion achsensymmetrisch, so besitzen sie eine oder mehrere Symmetrieachse(n). An dieser(n) Symmetrieachse(n) kann die Figur oder Funktion gespiegelt werden. Wird die Figur oder Funktion an der Achse zusammengeklappt, so sind beide Hälften deckungsgleich.

Eine Figur oder eine Funktion ist punktsymmetrisch, wenn sie an einem Punkt gespiegelt werden kann und sich in sich selbst abbildet. Das heißt, wenn die Funktion oder die Figur um 180° gedreht wird, ist sie deckungsgleich mit der Ausgangsfigur oder Funktion.


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