Punktsymmetrie

INHALTSANGABE :

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In dieser Erklärung wird Dir die Punktsymmetrie einfach erklärt. Dir wird eine Definition und Beispiele gegeben. Zudem wird Dir gezeigt, wie du Punktsymmetrie erkennen kannst und wie sie mit einer Formel berechnet wird. Am Ende hast Du noch die Möglichkeit Aufgaben mit Lösungen zur Vertiefung zu berechnen.

Eine Figur oder Funktion ist punktsymmetrisch, wenn sie ein Symmetriezentrum besitzen, um das die Figur oder Funktion um 180° gedreht werden kann. Die gedrehte Figur ist deckungsgleich mit der Figur in der Ausgangsposition.

Punktsymmetrie Definition – einfach erklärt

Eine Figur wird als punktsymmetrisch bezeichnet, wenn durch eine Punktspiegelung am sogenannten Symmetriepunkt oder auch Symmetriezentrum, die Figur auf sich selbst abgebildet wird. Das bedeutet, dass sich die Figur durch die Spiegelung nicht verändert.

Bei der Punktsymmetrie gibt es zwei Fälle:

eine Figur ist in sich punktsymmetrisch
zwei Figuren sind zueinander punktsymmetrisch

Neben der Punktsymmetrie gibt es auch noch die Achsensymmetrie. Eine Figur oder Funktion ist achsensymmetrisch, wenn sie eine oder mehrere Symmetrieachsen besitzt. Wird die Figur oder Funktion an der Achse gespiegelt, so sind beide Seiten deckungsgleich. Der Unterschied ist, dass bei der Punktsymmetrie an einem Punkt und nicht an einer Achse gespiegelt wird. Mehr dazu kannst Du in der Erklärung "Symmetrie" nachlesen.

Punktsymmetrie erkennen – Beispiele

Wenn es um eine Punktsymmetrie geht, also eine Symmetrie an einem Spiegelpunkt, kann diese an einer Figur oder einer Funktion nachgewiesen werden. Zudem gibt es alltagsbezogene punktsymmetrische Figuren, wie zum Beispiel der Buchstabe \(N\).

Punktsymmetrie Buchstabe StudySmarter Abb - 1: Punktsymmetrie Buchstabe

Wenn Du den Buchstaben N auf ein Blatt schreibst und das Blatt dann einmal auf den Kopf drehst, dann sieht das N immer noch aus wie ein N. Selbst, wenn Du es von oben liest!

Punktsymmetrie Figuren

Es gibt verschiedene geometrische Figuren, die punktsymmetrisch sind. Dazu gehören zum Beispiel das Quadrat, Rechteck, Parallelogramm oder auch der Kreis.

Figuren	Darstellung
Quadrat	Hier siehst Du den Symmetriepunkt \(S\) des Quadrates und den gleichen Abstand beider Ecken zum Symmetriepunkt. Abb - 2: Punktsymmetrisches Quadrat
Rechteck	Hier siehst Du den Symmetriepunkt \(S\) des Rechtecks und den gleichen Abstand beider Ecken zum Symmetriepunkt. Abb - 3: Punktsymmetrisches Rechteck
Parallelogramm	Hier siehst Du den Symmetriepunkt \(S\) des Parallelogramms und den gleichen Abstand der gegenüberliegenden Ecken zum Symmetriepunkt. Abb - 4: Punktsymmetrisches Parallelogramm
Kreis	Hier siehst Du den Symmetriepunkt \(S\) des Kreises und den jeweils gleichen Radius vom Symmetriepunkt zum Kreisumfang. Abb - 4: Punktsymmetrie Kreis

Punktsymmetrie Funktion – Formel & Beweisen

Eine Funktion \(f(x)\) ist punktsymmetrisch, wenn die Funktion durch eine Spiegelung am Koordinatenursprung, also am Punkt \((0|0)\), wieder \(f(x)\) ergibt. Mathematisch ist das der Fall, wenn gilt \[f(-x) = -f(x)\]

Wenn Dich interessiert, wie Du herausfindest, ob eine Funktion achsensymmetrisch ist, dann schau in der Erklärung „Achsensymmetrie“ nach.

Funktion	Beweis	Graph
Lineare Funktion\[f(x)=x\]	\[\begin{align}f(-x) &= -x \\&= -(x)\\&=-f(x)\end{align}\]	Hier siehst Du die Punktsymmetrie einer linearen Funktion zum Ursprung. Abb - 5: Punktsymmetrie Lineare Funktion
Funktion dritten Grades\[f(x)=x^3\]	\[\begin{align}f(-x) &= (-x)^3 \\&= -(x)^3\\&=-f(x)\end{align}\]	Hier siehst Du die Punktsymmetrie einer Funktion dritten Grades zum Ursprung. Abb - 6: Punktsymmetrie Funktion dritten Grades
Funktion fünften Grades\[f(x)=-x^5+2x^3\]	\[\begin{align}f(-x) &= (-x)^5+2(-x)^3 \\&= -(x)^5-2x^3\\&= -(x^5+2x^3)\\&=-f(x)\end{align}\]	Hier siehst Du die Punktsymmetrie einer Funktion fünften Grades zum Ursprung. Abb - 7: Punktsymmetrie Funktion fünften Grades

Punktsymmetrie – Aufgaben mit Lösungen

Nun kannst Du Dein Wissen anhand einiger Aufgaben überprüfen.

Punktsymmetrie berechnen – Aufgabe 1

Weise rechnerisch die Punktsymmetrie der Funktion \(f(x)=2x^3\) nach.

Lösung

Um diese Funktion jetzt auf Punktsymmetrie zum Ursprung zu untersuchen, musst Du \(-x\) in die Funktion einsetzen.

\begin{align} f(-x)&= 2\cdot (-x)^3 \\[0.2cm] &=-(2x^3) \\[0.2cm] &=-f(x)\end{align}

Da die Funktionen nach dem Einsetzen gleich sind, ist die Funktion zum Ursprung punktsymmetrisch. Das wird auch deutlich, wenn Du die Funktion um \(180^\circ\) um den Ursprung drehst.

Punktsymmetrie erkennen – Aufgabe 2

Entscheide, welche der Figuren punktsymmetrisch sind und welche nicht und zeichne das Symmetriezentrum ein.

Figur 1	Figur 2
Abb - 8: Raute	Abb - 9: Drachenviereck

Lösung

Figur 1 ist punktsymmetrisch:

Punktsymmetrie Raute StudySmarter Abb - 10: Punktsymmetrie Raute

Figur 2 ist nicht punktsymmetrisch und hat somit keinen Symmetriepunkt.

Punktsymmetrie Funktion – Aufgabe 3

Gegeben ist die Funktion \(f(x)=3x^5+7x^3\). Untersuche die Funktion auf Punktsymmetrie zum Ursprung.

Lösung

Die Funktion \(f(x)\) hat nur ungerade Exponenten, was ein Zeichen dafür ist, dass die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Überprüfe das noch einmal rechnerisch, in dem Du \(-x\) in die Funktion einsetzt.

\begin{align} f(-x)&=3\cdot (-x)^5 + 7\cdot (-x)^3 \\[0.2cm] &=3\cdot (-x \cdot -x \cdot -x \cdot -x \cdot -x)^5 + 7 \cdot( -x \dot -x \cdot -x )^3 \\[0.2cm] &= -3x^5-7x^3 \\[0.2cm] &= -(3x^5+7x^3) \\[0.2cm] &=-f(x) \end{align}

Laut Berechnung ist die Funktion f(x) punktsymmetrisch zum Ursprung.

Punktsymmetrie – Das Wichtigste

Eine punktsymmetrische Figur oder Funktion hat einen Symmetriepunkt beziehungsweise ein Symmetriezentrum
Wird die Figur oder Funktion um \(180^\circ\) um diesen Symmetriepunkt gedreht, so ist sie deckungsgleich mit der Figur oder Funktion in ihrer Ausgangsposition
Eine Funktion \(f(x)\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn gilt \(f(-x)=-f(x)\)
Figuren können auch zueinander punktsymmetrisch sein
zueinander punktsymmetrische Figuren wurden durch einen Punkt gespiegelt.

Nachweise

Becker et al. (2015). Duden Formeln und Werte. Cornelsen Verlag.
Ute Hausleiter (2015). Mathematik - Aktuelles Grundwissen. Circon Verlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Punktsymmetrie

Die Punktsymmetrie ist eine Eigenschaft einer Figur, bei der die Figur spiegelsymmetrisch zu einem Symmetriepunkt ist.Wird diese Figur um \(180^\circ\) um den Symmetriepunkt gedreht, so ist die Figur deckungsgleich mit der Ausgangsfigur.

Eine Punktsymmetrie bei einer Figur erkennst Du, wenn sie einen Punkt hat, der an dem Symmetriepunkt gespiegelt wird. Bei einer Funktion erkennst Du es daran, dass die Funktion nur ungerade Exponenten hat.

Eine Funktion ist punktsymmetrisch, wenn ihre Exponenten alle ungerade sind. Dabei gilt \(f(-x)=-f(x)\).

Es gibt viele Figuren, die Punktsymmetrisch sind. Die gängigsten sind Quadrat, Rechteck, Parallelogramm, Raute und Kreis.

Finales Punktsymmetrie Quiz

Frage

Was verstehst Du unter der Punktsymmetrie?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Figur oder eine Funktion ist punktsymmetrisch, wenn sie an einem Punkt gespiegelt werden kann und sich in sich selbst abbildet. Das heißt, wenn die Funktion oder die Figur um \(180^\circ\) gedreht wird, ist sie deckungsgleich mit der Ausgangsfigur oder Funktion.

Frage anzeigen

Frage

Welche Figuren sind punktsymmetrisch?

Antwort anzeigen

Antwort

Quadrat

Frage anzeigen

Frage

Nenne, welche zwei Arten der Punktsymmetrie von Funktionen es gibt.

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt sowohl die Punktsymmetrie einer Funktion zum Ursprung, als auch die Punktsymmetrie einer Funktion zu einem beliebigen Punkt.

Frage anzeigen

Frage

Nenne, welche drei Bedingungen gelten müssen, sodass eine Funktion \(f(x)\) punktsymmetrisch zum Ursprung ist?

Antwort anzeigen

Antwort

Alle Exponenten sind ungerade.
Die folgende Gleichung ist richtig: \(f(-x)=-f(x)\).
Die Funktion kann um \(180°\circ\) um den Ursprung gedreht werden und ist dann deckungsgleich mit dem Graphen der Ausgangsfunktion.

Frage anzeigen

Frage

Nenne, welche Eigenschaft ein Kreis besitzt.

Antwort anzeigen

Antwort

Achsen - und Punktsymmetrie

Frage anzeigen

Frage

Nenne den Unterschied zwischen Achsen- und Punktsymmetrie?

Antwort anzeigen

Antwort

Ist eine Figur oder Funktion achsensymmetrisch, so besitzen sie eine oder mehrere Symmetrieachse(n). An dieser(n) Symmetrieachse(n) kann die Figur oder Funktion gespiegelt werden. Wird die Figur oder Funktion an der Achse zusammengeklappt, so sind beide Hälften deckungsgleich.

Eine Figur oder eine Funktion ist punktsymmetrisch, wenn sie an einem Punkt gespiegelt werden kann und sich in sich selbst abbildet. Das heißt, wenn die Funktion oder die Figur um 180° gedreht wird, ist sie deckungsgleich mit der Ausgangsfigur oder Funktion.

Frage anzeigen

Frage

Welche Eigenschaft besitzt diese Figur?

Antwort anzeigen

Antwort

Punktsymmetrie

Frage anzeigen

Frage

Ist diese Figur punktsymmetrisch?

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Ist der Graph der folgenden Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung?

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Ist die folgende Figur punktsymmetrisch?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein

Frage anzeigen

Frage

Eine gerade Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Antwort anzeigen

Antwort

Wahr

Frage anzeigen

Frage

Wurde dieses Dreieck korrekt am Punkt S gespiegelt?

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Ist diese Figur Punktsymmetrisch?

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

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Punktsymmetrie Definition – einfach erklärt

Punktsymmetrie erkennen – Beispiele

Punktsymmetrie Figuren

Punktsymmetrie Funktion – Formel & Beweisen

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Punktsymmetrie

Was ist Punktsymmetrie?

Wie erkennst Du eine Punktsymmetrie?

Wann ist eine Funktion punktsymmetrisch?

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