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Ein großes N. Was hat das mit Mathematik zu tun? Und was haben dieser Buchstabe und ein Parallelogramm gemeinsam?
Beide Figuren haben eine besondere Eigenschaft, denn sie sind punktsymmetrisch. Was es mit der Punktsymmetrie auf sich hat und wie sich diese Symmetrie in den Figuren äußert, erfährst Du in dieser Erklärung!
Um das Prinzip der Punktsymmetrie zu veranschaulichen, ist es sinnvoll, die allgemeine Definition der Symmetrie zu wiederholen. Symmetrie ist sowohl bei geometrischen Figuren, als auch bei mathematischen Funktionen zu finden.
Symmetrie ist ein Thema, das meist schon in der Grundschule behandelt wird. Wenn Dir die Definition von Symmetrie also entfallen sein sollte, ist das kein Problem! Hier findest Du die Definition der Symmetrie.
Die Symmetrie ist eine Eigenschaft einer geometrischen Figur oder einer mathematischen Funktion. Wenn die Figur oder Funktion durch eine Bewegung (Verschiebung, Drehung...) auf sich selbst abgebildet werden kann, dann besitzt sie eine Symmetrie.
Die Punktsymmetrie gilt - genauso wie die Achsensymmetrie - als eine Eigenschaft von Figuren.
Und was war noch einmal gleich die Achsensymmetrie? Wenn Du Dich das fragst, dann schau gerne bei der Erklärung Achsensymmetrie vorbei!
Für die Punktsymmetrie kannst Du Dir vorerst die allgemeine Definition anschauen.
Eine punktsymmetrische Figur besitzt einen Symmetriepunkt oder ein Symmetriezentrum. Das heißt, dass die Figur keine Symmetrieachsen besitzt (wie bei der Achsensymmetrie), sondern nur einen Symmetriepunkt. Wird diese Figur um 
um den Symmetriepunkt gedreht, so ist die Figur deckungsgleich mit der Ausgangsfigur.
Es gibt bei der Punktsymmetrie zwei Fälle:
eine Figur ist in sich punktsymmetrisch
zwei Figuren sind zueinander punktsymmetrisch
Zu diesen beiden Fällen kannst Du Dir gerne das folgende Beispiel anschauen:
Fall Nummer 1: Eine Figur ist in sich punktsymmetrisch
Dafür kannst Du Dir noch mal den Buchstaben N anschauen. Der Punkt N hat einen Symmetriepunkt. Diesen bestimmst Du folgendermaßen:
Abbildung 1: Symmetriepunkt S des Buchstaben N
Indem Du die Punkte an den Ecken der Figur miteinander verbindest, erzeugst Du Strecken. Diese Strecken schneiden sich in dem Symmetriepunkt S. Jetzt kannst Du die Figur um 
um diesen Symmetriepunkt S drehen.
Abbildung 2: Drehung Buchstabe N
Hier wurde die Figur um 
um den Symmetriepunkt S gedreht. Das siehst Du an dem blassen N.
Abbildung 3: Drehung Buchstabe N
Hier wurde die Figur um 
um den Symmetriepunkt S gedreht.
Abbildung 4: 180 Grad Drehung um Symmetriepunkt S
Und hier ist die Figur um 
um den Symmetriepunkt gedreht worden. Wie Du siehst, ist die um 
gedrehte Figur deckungsgleich mit der Ausgangsfigur.
Wenn Du den Buchstaben N auf ein Blatt schreibst und das Blatt dann einmal auf den Kopf drehst, dann sieht das N immer noch aus wie ein N. Selbst obwohl Du es von oben liest!
Selbst im Alphabet ist die Mathematik zu finden! Überlege Dir doch gerne mal, welche Großbuchstaben noch eine Punktsymmetrie aufweisen!
Es gibt auch zueinander punktsymmetrische Figuren. Das sieht folgendermaßen aus:
Fall Nummer 2: Zwei Figuren sind zueinander punktsymmetrisch
Dafür kannst Du Dir zwei Trapeze anschauen:
Abbildung 5: Trapeze punktsymmetrisch zueinander
Wie Du siehst, wurde das Trapez mit den Eckpunkten A, B, C und D gespiegelt und ist demnach punktsymmetrisch zu dem Trapez mit den Eckpunkten A', B', C' und D'.
Um eine an einem Punkt gespiegelte Figur zu erstellen, gibt es die Möglichkeit eine Punktspiegelung durchzuführen. Wie Du dabei vorgehst kannst Du Dir gerne in der folgenden Vertiefung anschauen.
Eine Figur kannst Du, so wie an einer Achse, an einem einzigen Punkt spiegeln. Diesen Punkt nennst Du dann Spiegelpunkt. Wie Du das machst, kannst Du Dir anhand eines Trapezes anschauen.
Abbildung 6: Konstruktion Punktspiegelung
Gegeben ist das Trapez mit den vier Ecken A, B, C und D. Außerdem siehst Du in der Abbildung den Spiegelpunkt S. An diesem Spiegelpunkt kannst Du das Trapez spiegeln.
Dafür bildest Du einen Umkreis um den Punkt S zu dem Punkt C. Das ist in dem Beispiel der erste Punkt, der gespiegelt wird. Danach zeichnest Du eine Gerade durch den Punkt C und den Punkt S. Der gespiegelte Punkt C' befindet sich auf dem Schnittpunkt von Gerade und Umkreis. Das wiederholst Du mit allen Punkten, bis Du das gespiegelte Trapez erhältst.
Abbildung 7: am Punkt S gespiegelte Trapeze
Du hast eine Punktspieglung durchgeführt. Das bedeutet, dass das Trapez mit den Eckpunkten A', B', C' und D' und das Trapez mit den Eckpunkten A, B, C und D punktsymmetrisch ist.
Die Punktsymmetrie hast Du jetzt anhand von geometrischen Figuren gesehen. Wie schon erwähnt, gibt es die Punktsymmetrie aber auch bei Funktionen.
Wie diese Symmetrie an Funktionen aussieht, erfährst Du in diesem Artikel. Wie bei der Punktsymmetrie an geometrischen Figuren gibt es auch eine allgemeine Definition für die Punktsymmetrie an Funktionen zum Ursprung.
Eine Funktion ist dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn sie um den Ursprung um 
gedreht werden kann und immer noch mit der Ausgangsfunktion deckungsgleich ist.
Allgemein gilt: Wenn eine Funktion nur ungerade Potenzen besitzt, ist sie ungerade und somit auch punktsymmetrisch.
Um die Punktsymmetrie einer Funktion zum Ursprung zu beweisen, gibt es eine Formel.
Die Formel kannst Du immer anwenden, wenn Du Dir nicht sicher bist, ob eine Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist oder wenn Du beweisen sollst, dass eine Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
Eine Funktion ist dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist:
Sind diese Bedingungen also erfüllt, ist eine Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.
Möchtest Du wissen, ob eine Funktion zu einem beliebigen Punkt punktsymmetrisch ist? Dann schau gerne in den Artikel Symmetrie von Funktionen!
Das Ganze kannst Du Dir in folgendem Beispiel anschauen.
Gegeben ist die Funktion 
. Der zugehörige Graph sieht folgendermaßen aus:
Abbildung 8: punktsymmetrische Funktion zum Ursprung
Um diese Funktion jetzt auf Punktsymmetrie zum Ursprung zu untersuchen, schaust Du Dir die Bedingungen für eine punktsymmetrische Funktion an. Zum einen untersuchst Du sie auf ihre Exponenten:
Der Exponent ist ungerade. Das heißt, die Bedingung ist erfüllt.
Danach kannst Du die Funktion in die Formel einsetzen und damit auf Punktsymmetrie zum Ursprung untersuchen.
Da die Funktionen nach dem Einsetzen gleich sind, ist die Funktion zum Ursprung punktsymmetrisch. Das wird auch deutlich, wenn Du die Funktion um 
um den Ursprung drehst.
Das ist die Funktion 
um 
um den Ursprung gedreht.
Das ist die Funktion 
um 
um den Ursprung gedreht.
Und das ist die Funktion 
, wenn sie um 
um den Ursprung gedreht wurde.
Wie Du siehst, ist der Graph Funktion deckungsgleich mit dem Aussehen der Ausgangsfunktion 
. Das bedeutet, dass die Funktion punktsymmetrisch ist.
Wie die Punktsymmetrie aussieht, hast Du jetzt gesehen. Figuren und Funktionen können jedoch auch achsensymmetrisch sein. Was zwischen den beiden Symmetrien der Unterschied ist, findest Du in folgendem Abschnitt.
Die Unterschiede zwischen Punkt - und Achsensymmetrie kannst Du Dir in der folgenden Tabelle anschauen!
| Punktsymmetrie | Achsensymmetrie | |
| Symmetrieobjekt | Eine punktsymmetrische Figur oder Funktion besitzt ein Symmetriezentrum oder Symmetriepunkt. | Eine achsensymmetrische Figur oder Funktion besitzt eine oder mehrere Symmetrieachsen. |
| Definition | Um das Symmetriezentrum kann die Figur oder die Funktion um  gedreht werden und ist deckungsgleich mit der Ausgangsfigur - oder Funktion. | An der Symmetrieachse kann die Figur oder Funktion "zusammengefaltet" werden. Beide Hälften der Figur oder Funktion sind dann deckungsgleich. |
| Funktionen | Eine Funktion ist punktsymmetrisch, wenn alle Exponenten ungerade sind.
| Eine Funktion ist achsensymmetrisch, wenn alle Exponenten gerade sind.
|
| Formel | Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn gilt: | Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y - Achse, wenn gilt: |
Im folgenden Beispiel kannst Du Dir zur Veranschaulichung ein paar achsensymmetrische Figuren und Funktionen anschauen.
Achsensymmetrie sieht beispielsweise so aus:
|
|
|
|
Liegt also eine Achsensymmetrie vor, dann kann eine Figur oder Funktion 
an einer Symmetrieachse gespiegelt werden. Sind die beiden Seiten zusammengefaltet dann deckungsgleich, ist die Figur oder Funktion 
achsensymmetrisch.
In diesem Abschnitt kannst Du Dir ein paar Beispiele und Aufgaben zur Punktsymmetrie anschauen! Wenn Du Dir bei einer Aufgabe nicht sicher bist, oder irgendwo hängst, dann scroll gerne hoch und lies Dir die Definition nochmal durch!
Als Erstes kannst Du Dir Beispiele und Aufgaben zu punktsymmetrischen Figuren anschauen!
Aufgabe 1
Entscheide, welche der Figuren punktsymmetrisch sind und welche nicht und zeichne (wenn möglich) das Symmetriezentrum ein.
Figur 1  Abbildung 16: Figur 1 | Figur 2  Abbildung 17: Figur 2 |
Figur 3
| Figur 4
|
Figur 5 Abbildung 20: Figur 5 | Figur 6 Abbildung 21: Figur 6 |
Lösung
Figur 1 ist punktsymmetrisch:
Abbildung 22: Symmetriepunkt
Figur 2 ist nicht punktsymmetrisch.
Figur 3 ist punktsymmetrisch:
Abbildung 23: Symmetriepunkt
Figur 4 ist punktsymmetrisch:
Abbildung 24: Symmetriepunkt
Figur 5 ist nicht punktsymmetrisch.
Figur 6 ist punktsymmetrisch:
Abbildung 25: Symmetriepunkt
Wenn Du noch mehr Aufgaben zur Punktsymmetrie lösen möchtest, dann kannst Du gerne das finale Quiz lösen!
Hier kannst Du Dir Beispiele und Aufgaben zur Punktsymmetrie von Funktionen zum Ursprung anschauen!
Aufgabe 2
Gegeben sind die Funktionen 
und 
. Untersuche sie auf Punktsymmetrie zum Ursprung.
Lösung
Die Funktion 
ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.
Das kannst Du erstens daran sehen, dass die Exponenten nicht alle ungerade sind. Außerdem kannst Du die Funktion 
in ein Koordinatensystem einzeichnen:
Abbildung 26: Funktion f(x)
Dazu kannst Du die Funktion in die Formel einsetzen, um zu überprüfen, ob sie punktsymmetrisch zum Ursprung ist oder nicht:
Da die Bedingungen für eine Punktsymmetrie bei der Funktion 
nicht erfüllt sind, ist die Funktion 
nicht punktsymmetrisch.
Die Funktion 
ist punktsymmetrisch zum Ursprung.
Wenn Du Dir den Graphen der Funktion 
anschaust, dann siehst Du, dass er durch den Ursprung verläuft. Außerdem kannst Du Dir die Exponenten anschauen. Die sind alle ungerade, das heißt die beiden Bedingungen sind erfüllt.
Abbildung 27: Funktion g(x)
Um die Funktion sicher auf Punktsymmetrie zum Ursprung zu untersuchen, kannst Du die Funktion 
auch in die Formel einsetzen:
Das Ergebnis zeigt, dass die Funktion 
punktsymmetrisch zum Ursprung ist.
um diesen Symmetriepunkt gedreht, so ist sie deckungsgleich mit der Figur oder Funktion in ihrer Ausgangsposition
ist punktsymmetrisch zum Ursprung wenn gilt 
Symmetrie im Allgemeinen bedeutet, dass Objekte durch bestimmte Umformungen wieder auf sich selbst abgebildet werden können. Eine punktsymmetrische Funktion kann um den Symmetriepunkt um 180° gedreht werden und ist deckungsgleich mit der Ausgangsfunktion.
Eine Figur oder Funktion ist achsensymmetrisch, wenn sie eine oder mehrere Symmetrieachse(n) besitzt. Wird die Figur oder Funktion an der Achse gespiegelt, so sind beide Seiten deckungsgleich. Eine Figur oder Funktion ist punktsymmetrisch, wenn sie ein Symmetriezentrum besitzen, um das die Figur oder Funktion um 180° gedreht werden kann. Die gedrehte Figur ist deckungsgleich mit der Figur in der Ausgangsposition.
Eine Funktion oder eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie an einem Punkt, dem sogenannten Symmetriepunkt oder Symmetriezentrum, gespiegelt werden kann und das Aussehen nicht verändert.
Eine Funktion ist punktsymmetrisch, wenn sie an einem Punkt so gespiegelt werden kann, dass sie sich auf sich selbst abbildet, also deckungsgleich ist. Dabei gilt: f(-x) = -f(x).
Frage
Welche drei Bedingungen müssen gelten, sodass eine Funktion f(x) punktsymmetrisch zum Ursprung ist?
Antwort
Frage
Welche Eigenschaft besitzt diese Figur?
Antwort
Punktsymmetrie
Frage
Ist diese Figur punktsymmetrisch?
Antwort
Ja
Frage
Ist der Graph der folgenden Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung?
Antwort
Ja
Frage
Ist die folgende Figur punktsymmetrisch?
Antwort
Nein
Frage
Wurde dieses Dreieck korrekt am Punkt S gespiegelt?
Antwort
Ja
Frage
Spiegle das Viereck an dem Spiegelpunkt S.
Antwort
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