Select your language

Suggested languages for you:
Log In Anmelden
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|

Die All-in-one Lernapp:

  • Karteikarten
  • NotizenNotes
  • ErklärungenExplanations
  • Lernpläne
  • Übungen
App nutzen

Punktsymmetrie

Save Speichern
Print Drucken
Edit Bearbeiten
Melde dich an und nutze alle Funktionen. Jetzt anmelden
Punktsymmetrie

Punktsymmetrie Symmetrie von Buchstaben StudySmarter

Ein großes N. Was hat das mit Mathematik zu tun? Und was haben dieser Buchstabe und ein Parallelogramm gemeinsam?

Beide Figuren haben eine besondere Eigenschaft, denn sie sind punktsymmetrisch. Was es mit der Punktsymmetrie auf sich hat und wie sich diese Symmetrie in den Figuren äußert, erfährst Du in dieser Erklärung!

Punktsymmetrie - einfach erklärt

Um das Prinzip der Punktsymmetrie zu veranschaulichen, ist es sinnvoll, die allgemeine Definition der Symmetrie zu wiederholen. Symmetrie ist sowohl bei geometrischen Figuren, als auch bei mathematischen Funktionen zu finden.

Symmetrie - Wiederholung

Symmetrie ist ein Thema, das meist schon in der Grundschule behandelt wird. Wenn Dir die Definition von Symmetrie also entfallen sein sollte, ist das kein Problem! Hier findest Du die Definition der Symmetrie.

Die Symmetrie ist eine Eigenschaft einer geometrischen Figur oder einer mathematischen Funktion. Wenn die Figur oder Funktion durch eine Bewegung (Verschiebung, Drehung...) auf sich selbst abgebildet werden kann, dann besitzt sie eine Symmetrie.

Die Punktsymmetrie gilt - genauso wie die Achsensymmetrie - als eine Eigenschaft von Figuren.

Und was war noch einmal gleich die Achsensymmetrie? Wenn Du Dich das fragst, dann schau gerne bei der Erklärung Achsensymmetrie vorbei!

Punktsymmetrie - Definition

Für die Punktsymmetrie kannst Du Dir vorerst die allgemeine Definition anschauen.

Eine punktsymmetrische Figur besitzt einen Symmetriepunkt oder ein Symmetriezentrum. Das heißt, dass die Figur keine Symmetrieachsen besitzt (wie bei der Achsensymmetrie), sondern nur einen Symmetriepunkt. Wird diese Figur um um den Symmetriepunkt gedreht, so ist die Figur deckungsgleich mit der Ausgangsfigur.

Es gibt bei der Punktsymmetrie zwei Fälle:

  1. eine Figur ist in sich punktsymmetrisch

  2. zwei Figuren sind zueinander punktsymmetrisch

Zu diesen beiden Fällen kannst Du Dir gerne das folgende Beispiel anschauen:

Fall Nummer 1: Eine Figur ist in sich punktsymmetrisch

Dafür kannst Du Dir noch mal den Buchstaben N anschauen. Der Punkt N hat einen Symmetriepunkt. Diesen bestimmst Du folgendermaßen:

Punktsymmetrie Punktsymmetrie Beispiele StudySmarterAbbildung 1: Symmetriepunkt S des Buchstaben N

Indem Du die Punkte an den Ecken der Figur miteinander verbindest, erzeugst Du Strecken. Diese Strecken schneiden sich in dem Symmetriepunkt S. Jetzt kannst Du die Figur um um diesen Symmetriepunkt S drehen.

Punktsymmetrie Punktsymmetrie Beispiele StudySmarterAbbildung 2: Drehung Buchstabe N

Hier wurde die Figur um um den Symmetriepunkt S gedreht. Das siehst Du an dem blassen N.

Punktsymmetrie Punktsymmetrie Beispiele StudySmarterAbbildung 3: Drehung Buchstabe N

Hier wurde die Figur um um den Symmetriepunkt S gedreht.

Punktsymmetrie Punktsymmetrie Beispiele StudySmarterAbbildung 4: 180 Grad Drehung um Symmetriepunkt S

Und hier ist die Figur um um den Symmetriepunkt gedreht worden. Wie Du siehst, ist die um gedrehte Figur deckungsgleich mit der Ausgangsfigur.

Wenn Du den Buchstaben N auf ein Blatt schreibst und das Blatt dann einmal auf den Kopf drehst, dann sieht das N immer noch aus wie ein N. Selbst obwohl Du es von oben liest!

Selbst im Alphabet ist die Mathematik zu finden! Überlege Dir doch gerne mal, welche Großbuchstaben noch eine Punktsymmetrie aufweisen!

Es gibt auch zueinander punktsymmetrische Figuren. Das sieht folgendermaßen aus:

Fall Nummer 2: Zwei Figuren sind zueinander punktsymmetrisch

Dafür kannst Du Dir zwei Trapeze anschauen:

Punktsymmetrie Punktsymmetrie Figuren StudySmarterAbbildung 5: Trapeze punktsymmetrisch zueinander

Wie Du siehst, wurde das Trapez mit den Eckpunkten A, B, C und D gespiegelt und ist demnach punktsymmetrisch zu dem Trapez mit den Eckpunkten A', B', C' und D'.

Um eine an einem Punkt gespiegelte Figur zu erstellen, gibt es die Möglichkeit eine Punktspiegelung durchzuführen. Wie Du dabei vorgehst kannst Du Dir gerne in der folgenden Vertiefung anschauen.

Eine Figur kannst Du, so wie an einer Achse, an einem einzigen Punkt spiegeln. Diesen Punkt nennst Du dann Spiegelpunkt. Wie Du das machst, kannst Du Dir anhand eines Trapezes anschauen.

Punktsymmetrie Punktsymmetrie Figuren StudySmarterAbbildung 6: Konstruktion Punktspiegelung

Gegeben ist das Trapez mit den vier Ecken A, B, C und D. Außerdem siehst Du in der Abbildung den Spiegelpunkt S. An diesem Spiegelpunkt kannst Du das Trapez spiegeln.

Dafür bildest Du einen Umkreis um den Punkt S zu dem Punkt C. Das ist in dem Beispiel der erste Punkt, der gespiegelt wird. Danach zeichnest Du eine Gerade durch den Punkt C und den Punkt S. Der gespiegelte Punkt C' befindet sich auf dem Schnittpunkt von Gerade und Umkreis. Das wiederholst Du mit allen Punkten, bis Du das gespiegelte Trapez erhältst.

Punktsymmetrie Punktsymmetrie Figuren StudySmarterAbbildung 7: am Punkt S gespiegelte Trapeze

Du hast eine Punktspieglung durchgeführt. Das bedeutet, dass das Trapez mit den Eckpunkten A', B', C' und D' und das Trapez mit den Eckpunkten A, B, C und D punktsymmetrisch ist.

Die Punktsymmetrie hast Du jetzt anhand von geometrischen Figuren gesehen. Wie schon erwähnt, gibt es die Punktsymmetrie aber auch bei Funktionen.

Punktsymmetrie zum Ursprung

Wie diese Symmetrie an Funktionen aussieht, erfährst Du in diesem Artikel. Wie bei der Punktsymmetrie an geometrischen Figuren gibt es auch eine allgemeine Definition für die Punktsymmetrie an Funktionen zum Ursprung.

Eine Funktion ist dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn sie um den Ursprung um gedreht werden kann und immer noch mit der Ausgangsfunktion deckungsgleich ist.

Allgemein gilt: Wenn eine Funktion nur ungerade Potenzen besitzt, ist sie ungerade und somit auch punktsymmetrisch.

Um die Punktsymmetrie einer Funktion zum Ursprung zu beweisen, gibt es eine Formel.

Punktsymmetrie - Formel

Die Formel kannst Du immer anwenden, wenn Du Dir nicht sicher bist, ob eine Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist oder wenn Du beweisen sollst, dass eine Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Eine Funktion ist dann punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn die folgende Bedingung erfüllt ist:

Punktsymmetrie Punktsymmetrie Formel StudySmarter

Sind diese Bedingungen also erfüllt, ist eine Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung.

Möchtest Du wissen, ob eine Funktion zu einem beliebigen Punkt punktsymmetrisch ist? Dann schau gerne in den Artikel Symmetrie von Funktionen!

Punktsymmetrie nachweisen

Das Ganze kannst Du Dir in folgendem Beispiel anschauen.

Gegeben ist die Funktion . Der zugehörige Graph sieht folgendermaßen aus:

Punktsymmetrie Punktsymmetrie zum Ursprung StudySmarterAbbildung 8: punktsymmetrische Funktion zum Ursprung

Um diese Funktion jetzt auf Punktsymmetrie zum Ursprung zu untersuchen, schaust Du Dir die Bedingungen für eine punktsymmetrische Funktion an. Zum einen untersuchst Du sie auf ihre Exponenten:

Der Exponent ist ungerade. Das heißt, die Bedingung ist erfüllt.

Danach kannst Du die Funktion in die Formel einsetzen und damit auf Punktsymmetrie zum Ursprung untersuchen.

Da die Funktionen nach dem Einsetzen gleich sind, ist die Funktion zum Ursprung punktsymmetrisch. Das wird auch deutlich, wenn Du die Funktion um um den Ursprung drehst.

Punktsymmetrie Punktsymmetrie zum Ursprung StudySmarter

Abbildung 9: Funktion um Symmetriepunkt S gedreht

Das ist die Funktion um um den Ursprung gedreht.

Punktsymmetrie Punktsymmetrie zum Ursprung StudySmarter

Abbildung 10: Funktion um Symmetriepunkt S gedreht

Das ist die Funktion um um den Ursprung gedreht.

Punktsymmetrie Punktsymmetrie zum Ursprung StudySmarter

Abbildung 11: Funktion um 180 Grad um Symmetriepunkt S gedreht

Und das ist die Funktion , wenn sie um um den Ursprung gedreht wurde.

Wie Du siehst, ist der Graph Funktion deckungsgleich mit dem Aussehen der Ausgangsfunktion . Das bedeutet, dass die Funktion punktsymmetrisch ist.

Wie die Punktsymmetrie aussieht, hast Du jetzt gesehen. Figuren und Funktionen können jedoch auch achsensymmetrisch sein. Was zwischen den beiden Symmetrien der Unterschied ist, findest Du in folgendem Abschnitt.

Achsensymmetrie und Punktsymmetrie - Unterschied

Die Unterschiede zwischen Punkt - und Achsensymmetrie kannst Du Dir in der folgenden Tabelle anschauen!

PunktsymmetrieAchsensymmetrie
SymmetrieobjektEine punktsymmetrische Figur oder Funktion besitzt ein Symmetriezentrum oder Symmetriepunkt.Eine achsensymmetrische Figur oder Funktion besitzt eine oder mehrere Symmetrieachsen.
DefinitionUm das Symmetriezentrum kann die Figur oder die Funktion um gedreht werden und ist deckungsgleich mit der Ausgangsfigur - oder Funktion.An der Symmetrieachse kann die Figur oder Funktion "zusammengefaltet" werden. Beide Hälften der Figur oder Funktion sind dann deckungsgleich.
FunktionenEine Funktion ist punktsymmetrisch, wenn alle Exponenten ungerade sind.

Eine Funktion ist achsensymmetrisch, wenn alle Exponenten gerade sind.

FormelEine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn gilt:
Eine Funktion ist achsensymmetrisch zur y - Achse, wenn gilt:

Im folgenden Beispiel kannst Du Dir zur Veranschaulichung ein paar achsensymmetrische Figuren und Funktionen anschauen.

Achsensymmetrie sieht beispielsweise so aus:

Punktsymmetrie Achsensymmetrie Punktsymmetrie Unterschied StudySmarterAbbildung 12: Symmetrieachsen Quadrat

Punktsymmetrie Achsensymmetrie Punktsymmetrie Unterschied StudySmarterAbbildung 13: Symmetrieachse M

Punktsymmetrie Achsensymmetrie Punktsymmetrie Unterschied StudySmarterAbbildung 14: Symmetrieachse Funktion

Punktsymmetrie Achsensymmetrie Punktsymmetrie Unterschied StudySmarterAbbildung 15: Symmetrieachse Funktion

Liegt also eine Achsensymmetrie vor, dann kann eine Figur oder Funktion an einer Symmetrieachse gespiegelt werden. Sind die beiden Seiten zusammengefaltet dann deckungsgleich, ist die Figur oder Funktion achsensymmetrisch.

Punktsymmetrie - Beispiele und Aufgaben

In diesem Abschnitt kannst Du Dir ein paar Beispiele und Aufgaben zur Punktsymmetrie anschauen! Wenn Du Dir bei einer Aufgabe nicht sicher bist, oder irgendwo hängst, dann scroll gerne hoch und lies Dir die Definition nochmal durch!

Punktsymmetrie - Figuren

Als Erstes kannst Du Dir Beispiele und Aufgaben zu punktsymmetrischen Figuren anschauen!

Aufgabe 1

Entscheide, welche der Figuren punktsymmetrisch sind und welche nicht und zeichne (wenn möglich) das Symmetriezentrum ein.

Figur 1

Punktsymmetrie Punktsymmetrie Beispiele StudySmarter
Abbildung 16: Figur 1

Figur 2

Punktsymmetrie Punktsymmetrie Beispiele StudySmarter
Abbildung 17: Figur 2

Figur 3

Punktsymmetrie Punktsymmetrie Beispiele StudySmarterAbbildung 18: Figur 3

Figur 4

Punktsymmetrie Punktsymmetrie Beispiele StudySmarterAbbildung 19: Figur 4

Figur 5Punktsymmetrie Punktsymmetrie Beispiele StudySmarter
Abbildung 20: Figur 5
Figur 6Punktsymmetrie Punktsymmetrie Beispiele StudySmarter
Abbildung 21: Figur 6

Lösung

Figur 1 ist punktsymmetrisch:

Punktsymmetrie Punktsymmetrie Beispiele StudySmarterAbbildung 22: Symmetriepunkt

Figur 2 ist nicht punktsymmetrisch.

Figur 3 ist punktsymmetrisch:

Punktsymmetrie Punktsymmetrie Beispiele StudySmarterAbbildung 23: Symmetriepunkt

Figur 4 ist punktsymmetrisch:

Punktsymmetrie Punktsymmetrie Beispiele StudySmarterAbbildung 24: Symmetriepunkt

Figur 5 ist nicht punktsymmetrisch.

Figur 6 ist punktsymmetrisch:

Punktsymmetrie Punktsymmetrie Beispiele StudySmarterAbbildung 25: Symmetriepunkt

Wenn Du noch mehr Aufgaben zur Punktsymmetrie lösen möchtest, dann kannst Du gerne das finale Quiz lösen!

Punktsymmetrie - Funktionen

Hier kannst Du Dir Beispiele und Aufgaben zur Punktsymmetrie von Funktionen zum Ursprung anschauen!

Aufgabe 2

Gegeben sind die Funktionen und . Untersuche sie auf Punktsymmetrie zum Ursprung.

Lösung

Die Funktion ist nicht punktsymmetrisch zum Ursprung.

Das kannst Du erstens daran sehen, dass die Exponenten nicht alle ungerade sind. Außerdem kannst Du die Funktion in ein Koordinatensystem einzeichnen:

Punktsymmetrie Punktsymmetrie zum Ursprung StudySmarterAbbildung 26: Funktion f(x)

Dazu kannst Du die Funktion in die Formel einsetzen, um zu überprüfen, ob sie punktsymmetrisch zum Ursprung ist oder nicht:

Da die Bedingungen für eine Punktsymmetrie bei der Funktion nicht erfüllt sind, ist die Funktion nicht punktsymmetrisch.

Die Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Wenn Du Dir den Graphen der Funktion anschaust, dann siehst Du, dass er durch den Ursprung verläuft. Außerdem kannst Du Dir die Exponenten anschauen. Die sind alle ungerade, das heißt die beiden Bedingungen sind erfüllt.

Punktsymmetrie Punktsymmetrie zum Ursprung StudySmarterAbbildung 27: Funktion g(x)

Um die Funktion sicher auf Punktsymmetrie zum Ursprung zu untersuchen, kannst Du die Funktion auch in die Formel einsetzen:

Das Ergebnis zeigt, dass die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Punktsymmetrie - Das Wichtigste

  • Eine punktsymmetrische Figur oder Funktion hat einen Symmetriepunkt beziehungsweise ein Symmetriezentrum
  • Wird die Figur oder Funktion um um diesen Symmetriepunkt gedreht, so ist sie deckungsgleich mit der Figur oder Funktion in ihrer Ausgangsposition
  • Eine Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung wenn gilt
  • Figuren können auch zueinander punktsymmetrisch sein
  • zueinander punktsymmetrische Figuren wurden durch einen Punkt gespiegelt

Nachweise

  1. Becker et al. (2015). Duden Formeln und Werte. Cornelsen Verlag.
  2. Ute Hausleiter (2015). Mathematik - Aktuelles Grundwissen. Circon Verlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Punktsymmetrie

Symmetrie im Allgemeinen bedeutet, dass Objekte durch bestimmte Umformungen wieder auf sich selbst abgebildet werden können. Eine punktsymmetrische Funktion kann um den Symmetriepunkt um 180° gedreht werden und ist deckungsgleich mit der Ausgangsfunktion.

Eine Figur oder Funktion ist achsensymmetrisch, wenn sie eine oder mehrere Symmetrieachse(n) besitzt. Wird die Figur oder Funktion an der Achse gespiegelt, so sind beide Seiten deckungsgleich. Eine Figur oder Funktion ist punktsymmetrisch, wenn sie ein Symmetriezentrum besitzen, um das die Figur oder Funktion um 180° gedreht werden kann. Die gedrehte Figur ist deckungsgleich mit der Figur in der Ausgangsposition.

Eine Funktion oder eine Figur ist punktsymmetrisch, wenn sie an einem Punkt, dem sogenannten Symmetriepunkt oder Symmetriezentrum, gespiegelt werden kann und das Aussehen nicht verändert.

Eine Funktion ist punktsymmetrisch, wenn sie an einem Punkt so gespiegelt werden kann, dass sie sich auf sich selbst abbildet, also deckungsgleich ist. Dabei gilt: f(-x) = -f(x).

Finales Punktsymmetrie Quiz

Frage

Was versteht man unter der Punktsymmetrie?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Figur oder eine Funktion ist punktsymmetrisch, wenn sie an einem Punkt gespiegelt werden kann und sich in sich selbst abbildet. Das heißt, wenn die Funktion oder die Figur um 180° gedreht wird, ist sie deckungsgleich mit der Ausgangsfigur oder Funktion.

Frage anzeigen

Frage

Welche Figuren sind punktsymmetrisch?

Antwort anzeigen

Antwort

Quadrat

Frage anzeigen

Frage

Welche zwei Arten der Punktsymmetrie von Funktionen gibt es?

Antwort anzeigen

Antwort

Es gibt sowohl die Punktsymmetrie einer Funktion zum Ursprung, als auch die Punktsymmetrie einer Funktion zu einem beliebigen Punkt.

Frage anzeigen

Frage

Welche drei Bedingungen müssen gelten, sodass eine Funktion f(x) punktsymmetrisch zum Ursprung ist?

Antwort anzeigen

Antwort

  1. Alle Exponenten sind ungerade.
  2. Die folgende Gleichung ist richtig:  .
  3. Die Funktion kann um 180° um den Ursprung gedreht werden und ist dann deckungsgleich mit dem Graphen der Ausgangsfunktion.
Frage anzeigen

Frage

Welche Eigenschaft besitzt ein Kreis?

Antwort anzeigen

Antwort

Achsen - und Punktsymmetrie

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Unterschied zwischen Achsen- und Punktsymmetrie?


Antwort anzeigen

Antwort

Ist eine Figur oder Funktion achsensymmetrisch, so besitzen sie eine oder mehrere Symmetrieachse(n). An dieser(n) Symmetrieachse(n) kann die Figur oder Funktion gespiegelt werden. Wird die Figur oder Funktion an der Achse zusammengeklappt, so sind beide Hälften deckungsgleich.

Eine Figur oder eine Funktion ist punktsymmetrisch, wenn sie an einem Punkt gespiegelt werden kann und sich in sich selbst abbildet. Das heißt, wenn die Funktion oder die Figur um 180° gedreht wird, ist sie deckungsgleich mit der Ausgangsfigur oder Funktion.


Frage anzeigen

Frage

Welche Eigenschaft besitzt diese Figur?


Antwort anzeigen

Antwort

Punktsymmetrie

Frage anzeigen

Frage

Ist diese Figur punktsymmetrisch?


Antwort anzeigen

Antwort

Ja

Frage anzeigen

Frage

Ist der Graph der folgenden Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung? 

Antwort anzeigen

Antwort

Ja

Frage anzeigen

Frage

Ist die folgende Figur punktsymmetrisch?


Antwort anzeigen

Antwort

Nein

Frage anzeigen

Frage

Eine gerade Funktion ist punktsymmetrisch zum Ursprung.

Antwort anzeigen

Antwort

Wahr

Frage anzeigen

Frage

Wurde dieses Dreieck korrekt am Punkt S gespiegelt?


Antwort anzeigen

Antwort

Ja

Frage anzeigen

Frage

Spiegle das Viereck an dem Spiegelpunkt S.

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen
Mehr zum Thema Punktsymmetrie
60%

der Nutzer schaffen das Punktsymmetrie Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Gerade angemeldet?

Ja
Nein, aber ich werde es gleich tun

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.