Punktsymmetrie

In dieser Erklärung wird Dir die Punktsymmetrie einfach erklärt. Dir wird eine Definition und Beispiele gegeben. Zudem wird Dir gezeigt, wie du Punktsymmetrie erkennen kannst und wie sie mit einer Formel berechnet wird. Am Ende hast Du noch die Möglichkeit Aufgaben mit Lösungen zur Vertiefung zu berechnen.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Eine Figur oder Funktion ist punktsymmetrisch, wenn sie ein Symmetriezentrum besitzen, um das die Figur oder Funktion um 180° gedreht werden kann. Die gedrehte Figur ist deckungsgleich mit der Figur in der Ausgangsposition.

    Punktsymmetrie Definition – einfach erklärt

    Eine Figur wird als punktsymmetrisch bezeichnet, wenn durch eine Punktspiegelung am sogenannten Symmetriepunkt oder auch Symmetriezentrum, die Figur auf sich selbst abgebildet wird. Das bedeutet, dass sich die Figur durch die Spiegelung nicht verändert.

    Bei der Punktsymmetrie gibt es zwei Fälle:

    1. eine Figur ist in sich punktsymmetrisch

    2. zwei Figuren sind zueinander punktsymmetrisch

    Neben der Punktsymmetrie gibt es auch noch die Achsensymmetrie. Eine Figur oder Funktion ist achsensymmetrisch, wenn sie eine oder mehrere Symmetrieachsen besitzt. Wird die Figur oder Funktion an der Achse gespiegelt, so sind beide Seiten deckungsgleich. Der Unterschied ist, dass bei der Punktsymmetrie an einem Punkt und nicht an einer Achse gespiegelt wird. Mehr dazu kannst Du in der Erklärung "Symmetrie" nachlesen.

    Punktsymmetrie erkennen – Beispiele

    Wenn es um eine Punktsymmetrie geht, also eine Symmetrie an einem Spiegelpunkt, kann diese an einer Figur oder einer Funktion nachgewiesen werden. Zudem gibt es alltagsbezogene punktsymmetrische Figuren, wie zum Beispiel der Buchstabe \(N\).

    Punktsymmetrie Buchstabe StudySmarterAbb - 1: Punktsymmetrie Buchstabe

    Wenn Du den Buchstaben N auf ein Blatt schreibst und das Blatt dann einmal auf den Kopf drehst, dann sieht das N immer noch aus wie ein N. Selbst, wenn Du es von oben liest!

    Punktsymmetrie Figuren

    Es gibt verschiedene geometrische Figuren, die punktsymmetrisch sind. Dazu gehören zum Beispiel das Quadrat, Rechteck, Parallelogramm oder auch der Kreis.

    FigurenDarstellung
    Quadrat

    Hier siehst Du den Symmetriepunkt \(S\) des Quadrates und den gleichen Abstand beider Ecken zum Symmetriepunkt.

    Punktsymmetrisches Quadrat StudySmarterAbb - 2: Punktsymmetrisches Quadrat
    Rechteck

    Hier siehst Du den Symmetriepunkt \(S\) des Rechtecks und den gleichen Abstand beider Ecken zum Symmetriepunkt.

    Punktsymmetrisches Rechteck StudySmarterAbb - 3: Punktsymmetrisches Rechteck
    Parallelogramm

    Hier siehst Du den Symmetriepunkt \(S\) des Parallelogramms und den gleichen Abstand der gegenüberliegenden Ecken zum Symmetriepunkt.

    Punktysmmetrie Paralleloframm StudySmarterAbb - 4: Punktsymmetrisches Parallelogramm
    Kreis

    Hier siehst Du den Symmetriepunkt \(S\) des Kreises und den jeweils gleichen Radius vom Symmetriepunkt zum Kreisumfang.

    Punktsymmetrie Kreis StudySmarterAbb - 4: Punktsymmetrie Kreis

    Punktsymmetrie Funktion – Formel & Beweisen

    Eine Funktion \(f(x)\) ist punktsymmetrisch, wenn die Funktion durch eine Spiegelung am Koordinatenursprung, also am Punkt \((0|0)\), wieder \(f(x)\) ergibt. Mathematisch ist das der Fall, wenn gilt \[f(-x) = -f(x)\]

    Wenn Dich interessiert, wie Du herausfindest, ob eine Funktion achsensymmetrisch ist, dann schau in der Erklärung „Achsensymmetrie“ nach.

    FunktionBeweisGraph
    Lineare Funktion\[f(x)=x\]\[\begin{align}f(-x) &= -x \\&= -(x)\\&=-f(x)\end{align}\]

    Hier siehst Du die Punktsymmetrie einer linearen Funktion zum Ursprung.

    Punktsymmetrie Lineare Funktion StudySmarterAbb - 5: Punktsymmetrie Lineare Funktion
    Funktion dritten Grades\[f(x)=x^3\]\[\begin{align}f(-x) &= (-x)^3 \\&= -(x)^3\\&=-f(x)\end{align}\]

    Hier siehst Du die Punktsymmetrie einer Funktion dritten Grades zum Ursprung.

    Punktsymmetrie Funktion dritten Grades StudySmarterAbb - 6: Punktsymmetrie Funktion dritten Grades

    Funktion fünften Grades\[f(x)=-x^5+2x^3\]

    \[\begin{align}f(-x) &= (-x)^5+2(-x)^3 \\&= -(x)^5-2x^3\\&= -(x^5+2x^3)\\&=-f(x)\end{align}\]

    Hier siehst Du die Punktsymmetrie einer Funktion fünften Grades zum Ursprung.

    Punktsymmetrie Funktion fünften Grades StudySmarterAbb - 7: Punktsymmetrie Funktion fünften Grades

    Punktsymmetrie – Aufgaben mit Lösungen

    Nun kannst Du Dein Wissen anhand einiger Aufgaben überprüfen.

    Punktsymmetrie berechnen – Aufgabe 1

    Weise rechnerisch die Punktsymmetrie der Funktion \(f(x)=2x^3\) nach.

    Lösung

    Um diese Funktion jetzt auf Punktsymmetrie zum Ursprung zu untersuchen, musst Du \(-x\) in die Funktion einsetzen.

    \begin{align} f(-x)&= 2\cdot (-x)^3 \\[0.2cm] &=-(2x^3) \\[0.2cm] &=-f(x)\end{align}

    Da die Funktionen nach dem Einsetzen gleich sind, ist die Funktion zum Ursprung punktsymmetrisch. Das wird auch deutlich, wenn Du die Funktion um \(180^\circ\) um den Ursprung drehst.

    Punktsymmetrie erkennen – Aufgabe 2

    Entscheide, welche der Figuren punktsymmetrisch sind und welche nicht und zeichne das Symmetriezentrum ein.

    Figur 1Figur 2
    Punktsymmetrie Raute StudySmarterAbb - 8: RautePunktsymmetrie Viereck StudySmarterAbb - 9: Drachenviereck

    Lösung

    Figur 1 ist punktsymmetrisch:

    Punktsymmetrie Raute StudySmarterAbb - 10: Punktsymmetrie Raute

    Figur 2 ist nicht punktsymmetrisch und hat somit keinen Symmetriepunkt.

    Punktsymmetrie Funktion – Aufgabe 3

    Gegeben ist die Funktion \(f(x)=3x^5+7x^3\). Untersuche die Funktion auf Punktsymmetrie zum Ursprung.

    Lösung

    Die Funktion \(f(x)\) hat nur ungerade Exponenten, was ein Zeichen dafür ist, dass die Funktion punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

    Überprüfe das noch einmal rechnerisch, in dem Du \(-x\) in die Funktion einsetzt.

    \begin{align} f(-x)&=3\cdot (-x)^5 + 7\cdot (-x)^3 \\[0.2cm] &=3\cdot (-x \cdot -x \cdot -x \cdot -x \cdot -x)^5 + 7 \cdot( -x \dot -x \cdot -x )^3 \\[0.2cm] &= -3x^5-7x^3 \\[0.2cm] &= -(3x^5+7x^3) \\[0.2cm] &=-f(x) \end{align}

    Laut Berechnung ist die Funktion f(x) punktsymmetrisch zum Ursprung.

    Punktsymmetrie – Das Wichtigste

    • Eine punktsymmetrische Figur oder Funktion hat einen Symmetriepunkt beziehungsweise ein Symmetriezentrum
    • Wird die Figur oder Funktion um \(180^\circ\) um diesen Symmetriepunkt gedreht, so ist sie deckungsgleich mit der Figur oder Funktion in ihrer Ausgangsposition
    • Eine Funktion \(f(x)\) ist punktsymmetrisch zum Ursprung, wenn gilt \(f(-x)=-f(x)\)
    • Figuren können auch zueinander punktsymmetrisch sein
    • zueinander punktsymmetrische Figuren wurden durch einen Punkt gespiegelt.

    Nachweise

    1. Becker et al. (2015). Duden Formeln und Werte. Cornelsen Verlag.
    2. Ute Hausleiter (2015). Mathematik - Aktuelles Grundwissen. Circon Verlag.

    Was verstehst Du unter der Punktsymmetrie?

    Eine Figur oder eine Funktion ist punktsymmetrisch, wenn sie an einem Punkt gespiegelt werden kann und sich in sich selbst abbildet. Das heißt, wenn die Funktion oder die Figur um \(180^\circ\) gedreht wird, ist sie deckungsgleich mit der Ausgangsfigur oder Funktion.

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    Häufig gestellte Fragen zum Thema Punktsymmetrie

    Was ist Punktsymmetrie?

    Die Punktsymmetrie ist eine Eigenschaft einer Figur, bei der die Figur spiegelsymmetrisch zu einem Symmetriepunkt ist.Wird diese Figur um \(180^\circ\) um den Symmetriepunkt gedreht, so ist die Figur deckungsgleich mit der Ausgangsfigur.

    Wie erkennst Du eine Punktsymmetrie?

    Eine Punktsymmetrie bei einer Figur erkennst Du, wenn sie einen Punkt hat, der an dem Symmetriepunkt gespiegelt wird. Bei einer Funktion erkennst Du es daran, dass die Funktion nur ungerade Exponenten hat.

    Wann ist eine Funktion punktsymmetrisch?

    Eine Funktion ist punktsymmetrisch, wenn ihre Exponenten alle ungerade sind. Dabei gilt \(f(-x)=-f(x)\).

    Welche Figuren sind punktsymmetrisch? 

    Es gibt viele Figuren, die Punktsymmetrisch sind. Die gängigsten sind Quadrat, Rechteck, Parallelogramm, Raute und Kreis.

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