Oberflächeninhalt Zylinder

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Oberflächeninhalt Zylinder

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Vielleicht weißt Du schon, was ein Zylinder ist und vielleicht sogar, aus welchen Teilen er besteht. Neben dem Volumen eines Zylinders lässt sich auch seine Oberfläche berechnen. Nach welchen Formeln dies erfolgt und wofür Du diese Rechnung benötigst, erfährst Du in diesem Artikel.

Oberflächeninhalt Zylinder Zylinder StudySmarter

Allgemeines zum Oberflächeninhalt eines Zylinders

Der Oberflächeninhalt einer geometrischen Figur ist die gesamte Fläche, welche eine Figur bildet. Der Oberflächeninhalt besteht aus allen äußeren Flächen einer Figur. In Formeln wird für den Oberflächeninhalt meistens der Großbuchstabe O verwendet.

Wenn Du einen Zylinder aufschneidest und in seine Einzelteile zerlegst, erhältst Du zwei Kreise und ein Rechteck. Wenn Du beide Flächeninhalte zusammenaddierst, erhältst Du den Oberflächeninhalt des Zylinders.

Der Oberflächeninhalt einer Figur darf nicht mit deren Volumen verwechselt werden. Während der Oberflächeninhalt die gesamte äußere Fläche einer Figur umfasst, bezeichnet das Volumen den räumlichen Inhalt der Figur.

Der Oberflächeninhalt besteht also aus den Flächeninhalten anderer Formen. Deshalb wird der Oberflächeninhalt in derselben Einheit, wie der Flächeninhalt angegeben.

Der Oberflächeninhalt wird in Quadratmillimetern ( $m m^{2}$ ), Quadratzentimetern ( $c m^{2}$ ), Quadratdezimetern ( $d m^{2}$ ), Quadratmetern ( $m^{2}$ ) oder Quadratkilometern ( $k m^{2}$ ) angegeben.

Die Längeneinheiten werden wie folgt umgerechnet:

$\begin{array}{rcl} 1 c m^{2} & = & 100 m m^{2} \\ 1 c m^{2} & = & 0, 01 d m^{2} \\ 1 m^{2} & = & 10000 c m^{2} \\ 1 m^{2} & = & 1000000 k m^{2} \end{array}$

Um Dich in das Thema zu vertiefen, lies Dir gerne den Artikel zu Flächeneinheiten durch!

Die Mantelfläche eines Zylinders

Man kann nicht nur die Oberfläche und das Volumen eines Zylinders, sondern auch seine Mantelfläche ausrechnen. Die Mantelfläche wird in Rechnungen meistens mit dem Großbuchstaben M ausgedrückt. Da sie die Form eines Rechtecks besitzt, kann sie auch wie ein solches berechnet werden.

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts $A$ eines Rechtecks mit den Seiten $a u n d b$ lautet:

A_{□} = a \cdot b

In diesem Fall entspricht die Seite a dem Umfang U und die Seite b der Höhe h des Zylinders. So entsteht folgende Formel für die Mantelfläche M eines Zylinders:

$M = U \cdot h$

Der Umfang U eines Zylinders lässt sich genauso wie der Umfang U eines Kreises berechnen:

Für den Umfang $U$ eines Zylinders mit dem Radius $r$ gilt:

$U = 2 \cdot π \cdot r$

Dies kann jetzt in die Formel zur Berechnung der Mantelfläche M eines Zylinders eingesetzt werden.

Die Formel zur Berechnung der Mantelfläche $M$ eines Zylinders mit dem Radius $r$ und der Höhe $h$ lautet:

$M = U \cdot h = 2 \cdot π \cdot r \cdot h$

Oberflächeninhalt eines Zylinders berechnen

Um den Oberflächeninhalt berechnen zu können, gibt es eine Formel. Diese leitet sich aus der oben dargestellten Zerlegung des Zylinders ab.

Herleitung der Formel für den Oberflächeninhalt eines Zylinders

Die Formel für den Oberflächeninhalt lässt sich mithilfe der Zerlegung eines Zylinders herleiten. Ein Zylinder besteht aus zwei Kreisen, der Deckfläche D und der Grundfläche G sowie einem Rechteck, der Mantelfläche M.

Die Formel zur Berechnung der Mantelfläche $M$ eines Zylinders mit dem Radius $r$ und der Höhe $h$ lautet:

M = 2 \cdot π \cdot r \cdot h

Jetzt fehlen aber noch die Deckelfläche und die Grundfläche, um den Oberflächeninhalt eines Zylinders zu berechnen. Die Deckelfläche und die Grundfläche sind kreisförmig und können daher wie der Flächeninhalt A eines Kreises berechnet werden.

Die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts $A$ eines Kreises mit dem Radius $r$ lautet:

A_{○} = π \cdot r^{2}

Da die Grundfläche und die Deckfläche gleich groß sind, kann die Formel verdoppelt werden:

$\begin{array}{rcl} G & = & D \\ 2 \cdot G & = & 2 \cdot π \cdot r^{2} \end{array}$

Jetzt muss nur noch die Formel für das Rechteck mit der Formel für die Kreise addiert werden.

Die Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts $O$ eines Zylinders mit der Höhe $h$ und dem Radius $r$ lautet:

O = 2 \cdot π \cdot r \cdot h + 2 \cdot π \cdot r^{2}

Statt dieser Formel kannst Du auch die vereinfachte Formel mit der Mantelfläche und der Grundfläche beziehungsweise Deckfläche verwenden:

$O = M + G + D O = M + 2 G$

Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts eines Zylinders

Formel zur Berechnung des Oberflächeninhaltes O eines Zylinders:

$O = 2 \cdot π \cdot r \cdot h + 2 \cdot π \cdot r^{2}$

Dabei ist O der Oberflächeninhalt, π die Kreiszahl, r der Radius und h die Höhe eines beliebigen Zylinders.

Was tun, wenn der Durchmesser gegeben ist und nicht der Radius? Auch dann kannst Du den Oberflächeninhalt des Zylinders berechnen. Du musst nur den Zusammenhang zwischen Radius und Durchmesser kennen. Der doppelte Radius r entspricht dem Durchmesser d beziehungsweise entspricht der halbe Durchmesser d dem Radius r.

Für den Radius $r$ und den Durchmesser $d$ gilt folgende Beziehung:

d = 2 \cdot r \Leftrightarrow r = \frac{d}{2}

Die folgende Zeichnung verdeutlicht dies:

Diese Formel für den Radius kann jetzt in die Formel für den Oberflächeninhalt eingesetzt werden.

Formel zur Berechnung des Oberflächeninhaltes O eines Zylinders mit gegebenem Durchmesser d:

O = 2 \cdot π \cdot \frac{d}{2} \cdot h + 2 \cdot π \cdot {(\frac{d}{2})}^{2}

In der folgenden Aufgabe wird die Formel beispielhaft angewendet:

Aufgabe

Berechne den Oberflächeninhalt O eines Zylinders mit dem Radius $r = 2 c m$ und der Höhe $h = 4 c m$ .

Lösung

Als Erstes kannst Du Dir die Formel von oben aufschreiben:

$O = 2 \cdot π \cdot r \cdot h + 2 \cdot π \cdot r^{2}$

Im nächsten Schritt kannst Du die bekannten Werte aus der Aufgabenstellung einfach in die Formel einsetzten:

$O = 2 \cdot π \cdot {2 cm \cdot 4 cm + 2 \cdot π \cdot (2 cm)}^{2}$

Zum Schluss muss nur noch das Ergebnis mit dem Taschenrechner ausgerechnet werden:

$O = 2 π \cdot 8 {cm}^{2} + 2 π \cdot 4 {cm}^{2} O = π \cdot 16 c m^{2} + π \cdot 8 c m^{2} O \approx 75, 4 {cm}^{2}$

Der Oberflächeninhalt des Zylinders beträgt also ungefähr $75 c m^{2}$ .

Berechnen von Oberflächeninhalten besonderer Zylinder

Es gibt auch eine besondere Form von Zylindern, nämlich Zylinder "ohne Deckel", wie zum Beispiel ein Glas oder ein Eimer, oder auch Hohlzylinder, wie eine Klopapierrolle oder ein Ring. Auch für diese Objekte kannst Du mit der richtigen Formel den Oberflächeninhalt berechnen.

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Zylinder ohne Deckel

Zylinder ohne Deckel sind Gegenstände und Formen wie beispielsweise Eimer. Sie haben eine Grundfläche und einen Mantel. Allerdings sind sie oben offen, haben also keine Deckfläche.

Die Deckfläche ist einer der Kreisflächen, die den Zylinder bilden. Wie der Name schon sagt, ist die Deckfläche die Fläche, die oben liegt. Ein Zylinder ohne Deckfläche ist also ein Zylinder, der oben offen ist.

Um den Oberflächeninhalt O eines Zylinders ohne Deckfläche D zu berechnen, muss der Oberflächeninhalt O eines "normalen" Zylinders berechnet werden, aber mit nur einer Kreisfläche.

Für den Oberflächeninhalt $O$ eines Zylinders ohne Deckfläche mit der Höhe $h$ und dem Radius $r$ gilt:

O = 2 \cdot π \cdot r \cdot h + π \cdot r^{2}

In diesem Fall fällt die Deckfläche D weg, wodurch der Flächeninhalt A des Kreises nur einmal in die Formel eingeht.

In der Anwendung kann das dann beispielsweise so aussehen:

Aufgabe

Berechne den Oberflächeninhalt O eines Zylinders ohne Deckfläche mit dem Radius $r = 5 c m$ und der Höhe $h = 8 c m$ .

Lösung

Als Erstes kannst Du Dir die passende Formel aufschreiben. In diesem Fall wählst Du die Formel, die nur einmal den Kreisflächeninhalt miteinbezieht:

$O = 2 \cdot π \cdot r \cdot h + π \cdot r^{2}$

Als Nächstes setzt Du die gegebenen Werte in die Formel ein:

$O = 2 \cdot π \cdot 5 cm \cdot 8 cm + π \cdot {(5 cm)}^{2}$

Zum Schluss kannst Du das Ergebnis mit dem Taschenrechner ausrechnen:

$O = 2 π \cdot 40 {cm}^{2} + π \cdot 25 {cm}^{2} O \approx 329, 9 {cm}^{2}$

Der Oberflächeninhalt des Zylinders ohne Deckfläche beträgt ungefähr $329, 9 c m^{2}$ .

Berechnen des Oberflächeninhalts eines Hohlzylinders

Um den Oberflächeninhalt eines Hohlzylinders zu berechnen, wird die äußere Mantelfläche mit der inneren Mantelfläche addiert. Anschließend wird die kleine Kreisfläche von der großen Kreisfläche subtrahiert, um nur den Kreisring zu erhalten. Diese Fläche wird dann wieder verdoppelt, um die Grundfläche und die Deckfläche zu erhalten.

Dieser Sachverhalt kann auch als Formel ausgedrückt werden.

Für den Oberflächeninhalt $O$ eines Hohlzylinders mit dem Innenradius $r_{k}$ , dem Außenradius $r_{g}$ und der Höhe $h$ gilt:

O = 2 \cdot π \cdot h \cdot r_{g} + 2 \cdot π \cdot h \cdot r_{k} + 2 \cdot π \cdot {r_{g}}^{2} - 2 \cdot π \cdot {r_{k}}^{2}

Durch Ausklammern kann die Formel vereinfacht werden:

$O = 2 \cdot π \cdot (h \cdot r_{g} + h \cdot r_{k} + {r_{g}}^{2} - {r_{k}}^{2})$

Aufgabe

Berechne den Oberflächeninhalt O eines Hohlzylinders mit dem Außenradius $r_{g} = 6 c m$ , dem Innenradius $r_{k} = 3 c m$ und der Höhe $h = 5 c m$ .

Lösung

Als Erstes kannst Du wieder die passende Formel aufschreiben:

$O = 2 \cdot π \cdot h \cdot r_{g} + 2 \cdot π \cdot h \cdot r_{k} + 2 \cdot π \cdot {r_{g}}^{2} - 2 \cdot π \cdot {r_{k}}^{2}$

Im nächsten Schritt kannst Du die bekannten Werte einsetzten. Achte dabei darauf auf, dass Du den großen Zylinder nicht mit dem kleinen Zylinder vertauschst.

$O = 2 π \cdot 5 cm \cdot 6 cm + 2 π \cdot 5 cm \cdot 3 cm + 2 π \cdot {(6 cm)}^{2} - 2 π \cdot {(3 cm)}^{2}$

Zum Schluss kannst Du jetzt noch das Ergebnis mit dem Taschenrechner ausrechnen:

$O = 2 π \cdot 30 {cm}^{2} + 2 π \cdot 15 {cm}^{2} + 2 π \cdot 36 {cm}^{2} - 2 π \cdot 9 {cm}^{2} O = π \cdot 60 c m^{2} + π \cdot 30 c m^{2} + π \cdot 72 c m^{2} - π \cdot 18 c m^{2} O \approx 565, 5 c m^{2}$

Der Oberflächeninhalt des Hohlzylinders beträgt ungefähr $566 c m^{2}$ .

Aufgaben mit Lösung zum Oberflächeninhalt eines Zylinders

Mithilfe der folgenden Aufgaben kannst Du nun Dein Wissen vertiefen.

Aufgabe

1. Berechne den Oberflächeninhalt O eines Farbeimers mit dem Radius $r = 4 c m$ und der Höhe $h = 9 c m$ . Gib Dein Ergebnis in $d m^{2}$ an.

2. Berechne die Höhe h eines Zylinders mit dem Radius $r = 2 c m$ und dem Oberflächeninhalt $O = 20 c m^{2}$ .

3. Berechne den Oberflächeninhalt O eines Rings mit dem Außendurchmesser $d_{g} = 10 c m$ , dem Innendurchmesser $d_{k} = 6 c m$ und der Höhe $h = 10 c m$ .

Lösung

1. Als Erstes kannst Du die passende Formel aufschreiben. In diesem Fall ist das die "normale" Formel zur Berechnung des Oberflächeninhalts eines Zylinders:

$O = 2 \cdot π \cdot r \cdot h + 2 \cdot π \cdot r^{2}$

Danach kannst Du die bekannten Werte in die Formel einsetzten:

$O = 2 \cdot π \cdot {4 cm \cdot 9 cm + 2 \cdot π \cdot (4 cm)}^{2}$

Jetzt kannst Du das Ergebnis mit dem Taschenrechner ausrechnen:

$O = 2 π \cdot 36 {cm}^{2} + 2 π \cdot 16 {cm}^{2} O = π \cdot 72 c m^{2} + π \cdot 32 c m^{2} O \approx 326, 7 c m^{2}$

Als Nächstes musst Du das Ergebnis von ${cm}^{2}$ in ${dm}^{2}$ umwandeln. Dabei gilt:

$1 {cm}^{2} = 0, 01 {dm}^{2}$

Mit dem Dreisatz kannst Du jetzt ganz einfach den Oberflächeninhalt in $d m^{2}$ umwandeln.

$1 c m^{2} = 0, 01 d m^{2} 326, 7 c m^{2} = 3, 267 d m^{2}$

Um mehr darüber zu erfahren, lies Dir gerne den Artikel zu Dreisatz durch!

Der Zylinder hat einen Oberflächeninhalt von ungefähr $3, 3 d m^{2}$ .

2. Um die Höhe eines Zylinders aus dem Oberflächeninhalt zu berechnen, musst Du als Erstes wieder die "normale" Formel aufschreiben.

$O = 2 \cdot π \cdot r \cdot h + 2 \cdot π \cdot r^{2}$

Als Nächstes kannst Du dann die Formel nach h umstellen:

$\begin{array}{rcl} O & = & 2 \cdot π \cdot r \cdot h + 2 \cdot π \cdot r^{2} | - 2 {πr}^{2} \\ O - 2 {πr}^{2} & = & 2 πr \cdot h | \div 2 πr \\ \frac{O - 2 {πr}^{2}}{2 πr} & = & h \end{array}$

Jetzt kannst Du die bekannten Werte in die neue Formel für h einsetzten:

$h = \frac{20 {cm}^{2} - 2 π \cdot 2 cm}{2 π \cdot 2 cm}$

Jetzt kannst Du die Formel in Deinen Taschenrechner eingeben und ausrechnen:

$h \approx 0, 59 c m$

Der Zylinder ist ungefähr $0, 6 c m$ hoch.

3. Der Ring in dieser Aufgabe ist ein Hohlzylinder und muss deshalb auch wie ein solcher berechnet werden. Aufgrund dessen kannst Du Dir schon einmal die passende Formel aufschreiben:

$O = 2 \cdot π \cdot h \cdot r_{g} + 2 \cdot π \cdot h \cdot r_{k} + 2 \cdot π \cdot {r_{g}}^{2} - 2 \cdot π \cdot {r_{k}}^{2}$

Jetzt ist jedoch nur der Durchmesser gegeben und nicht der Radius. Deshalb solltest Du den Zusammenhang zwischen Radius und Durchmesser kennen:

$d = 2 \cdot r \Leftrightarrow r = \frac{d}{2}$

Du kannst jetzt also diese Formel für r in die Formel für den Oberflächeninhalt einsetzten:

$O = 2 \cdot π \cdot h \cdot \frac{d_{g}}{2} + 2 \cdot π \cdot h \cdot \frac{d_{k}}{2} + 2 \cdot π \cdot {(\frac{d_{g}}{2})}^{2} - 2 \cdot π \cdot {(\frac{d_{k}}{2})}^{2}$

In diese Formel kannst Du die bekannten Werte einsetzen:

$O = 2 π \cdot 10 cm \cdot \frac{10 cm}{2} + 2 π \cdot 10 cm \cdot \frac{3 cm}{2} + 2 \cdot π \cdot {(\frac{10 cm}{2})}^{2} - 2 \cdot π \cdot {(\frac{3 cm}{2})}^{2}$

Zum Schluss kannst Du die Gleichung in den Taschenrechner eingeben und das Ergebnis ausrechnen.

$\begin{array}{rcl} O & = & 2 π \cdot 10 cm \cdot 5 cm + 2 π \cdot 10 cm \cdot 1, 5 cm + 2 \cdot π \cdot {(5 cm)}^{2} - 2 \cdot π \cdot {(1, 5 cm)}^{2} \\ O & = & 2 π \cdot 50 {cm}^{2} + 2 π \cdot 15 {cm}^{2} + 2 π \cdot 25 {cm}^{2} - 2 π \cdot 2, 25 {cm}^{2} \\ O & = & π \cdot 100 {cm}^{2} + π \cdot 30 {cm}^{2} + π \cdot 50 {cm}^{2} - π \cdot 4, 5 {cm}^{2} \\ O & \approx & 551, 3 {cm}^{2} \end{array}$

Der Oberflächeninhalt des Rings beträgt ungefähr $550 c m^{2}$ .

Oberflächeninhalt Zylinder – Das Wichtigste auf einen Blick

In Formeln wird für den Oberflächeninhalt meistens der Großbuchstabe O verwendet.
Ein Zylinder besteht aus zwei Kreisen, der Grundfläche G und der Deckfläche D sowie einem Rechteck, der Mantelfläche M.
Wenn der Flächeninhalt dieser Formen zusammenaddiert wird, erhältst Du den Oberflächeninhalt eines Zylinders.
Der Oberflächeninhalt wird in Quadratmillimetern ( $m m^{2}$ ), Quadratzentimetern ( $c m^{2}$ ), Quadratdezimetern ( $d m^{2}$ ), Quadratmetern ( $m^{2}$ ) oder Quadratkilometern ( $k m^{2}$ ) angegeben.
Zur Berechnung des Oberflächeninhalts eines Zylinders gilt: $O = 2 \cdot π \cdot r \cdot h + 2 \cdot π \cdot r^{2}$ .
Bei der Berechnung des Oberflächeninhalts eines Zylinders ohne Deckfläche wird der Flächeninhalt des zweiten Kreises weggelassen.
Der Oberflächeninhalt eines Zylinders wird berechnet, indem die äußere Mantelfläche mit der inneren Mantelfläche addiert wird. Anschließend wird die kleine Kreisfläche von der großen Kreisfläche subtrahiert und verdoppelt, um die Grundfläche und die Deckfläche zu erhalten.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Oberflächeninhalt Zylinder

Den Oberflächeninhalt eines Zylinders kannst du mit der Formel O = 2 · π · r² + 2 · π · r · h berechnen.

Den Oberflächeninhalt eines Hohlzylinders berechnet man, indem man die äußere Mantelfläche mit der inneren Mantelfläche addiert. Anschließend wird die kleine Kreisfläche von der großen Kreisfläche subtrahiert, um den Kreisring zu erhalten. Das wird dann wieder verdoppelt, um die Grundfläche und die Deckfläche zu erhalten.

Die Mantelfläche eines Zylinders wird wie ein Quadrat berechnet. Die eine Seit ist der Umfang, die andere Seite die Höhe. Der Umfang eines Zylinders wird wie der Umfang eines Kreises berechnet. Es gilt also:

M = 2 · π · r · h

Du kannst die Mantelfläche eines Zylinders mit der Höhe berechnen, indem du die Formel für die Mantelfläche umstellst. Normalerweise gilt:

M = 2 · π · r · h

Umgestellt lautet die Formel:

h = M:(2 · π · r)

Finales Oberflächeninhalt Zylinder Quiz

Frage

Was ist der Oberflächeninhalt?

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Antwort

Der Oberflächeninhalt einer geometrischen Figur ist die gesamte Fläche, welche eine Figur bildet. Der Oberflächeninhalt besteht aus allen äußeren Flächen einer Figur

Frage anzeigen

Frage

In welche Formen kann ein Zylinder zerlegt werden?

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Antwort

Ein Rechteck und zwei Kreise

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Frage

In welchen Einheiten wird der Oberflächeninhalt O angegeben?

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Antwort

Der Oberflächeninhalt O wird genauso wie der Flächeninhalt anderer Formen angegeben:

In Quadratmillimetern (mm²), Quadratzentimetern (cm²), Quadratdezimetern (dm²), Quadratmetern (m²) oder Quadratkilometern (km²).

Frage anzeigen

Frage

Wie werden die zwei runden Flächen eines Zylinders genannt?

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Antwort

Die runden Flächen sind die Grundfläche G und die Deckfläche D.

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Frage

Berechne den Oberflächeninhalt O eines Hohlzylinders mit dem Außenradius r = 6 cm, dem Innenradius r = 3 cm und der Höhe h = 5 cm.

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Antwort

Der Oberflächeninhalt des Hohlzylinders beträgt ungefähr 565,5 cm².

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