Winkel zwischen Geraden

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Im Alltag bist Du überall von Winkel umgeben. Zusammen mit dem Fußboden bildet alles einen Winkel, egal ob eine Wand, ein Tisch oder sogar ein Flugzeug, welches gerade abhebt. Diese Winkel würdest Du aber nicht unbedingt berechnen, sondern eher messen. Es gibt jedoch auch Winkel, die Du berechnen musst oder bei welchen Du mit den Sätzen, welche Du in dieser Erklärung kennenlernst, schneller den Winkel berechnet hast als gemessen. Um welche Sätze und Formel es sich handelt, erfährst Du jetzt.

Winkel zwischen Geraden Formel

Es existieren mehrere Arten, den Winkel zwischen zwei Geraden zu berechnen. Wie Du sie nutzt und wann Du sie anwendest, erfährst Du jetzt.

Winkel zwischen zwei Geraden – Nebenwinkel

Ein Nebenwinkel entsteht an einer Geradenkreuzung, an dieser gibt es immer mehrere Nebenwinkelpaare.

An einer Geradenkreuzung schneiden sich zwei Geraden. Es entstehen zwischen den Geraden vier Winkel.

Wenn zwei Geraden \(g\) und \(f\) sich schneiden, entstehen Nebenwinkel. Zwei Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) sind Nebenwinkel voneinander, wenn sie an der Kreuzung der Geraden nebeneinander liegen. Nebenwinkel bilden zusammen immer einen gestreckten Winkel.

Es gilt: \[\alpha+\beta=180^\circ\]

Du kannst die Nebenwinkelpaare auf zwei verschiedene Arten einteilen, da jeder Winkel zwei Nebenwinkel besitzt.

Winkel zwischen zwei Geraden Nebenwinkel StudySmarter Abb. 1 - Nebenwinkel.Abb. 2 - Nebenwinkel.

Mehr zu den Nebenwinkeln erfährst Du in der Erklärung „Nebenwinkel“.

Winkel zwischen zwei Geraden – Scheitelwinkel

Der Scheitelwinkel entsteht genauso wie der Nebenwinkel an einer Geradenkreuzung. An einer Geradenkreuzung gibt es immer zwei Scheitelwinkelpaare.

Wenn zwei Geraden \(g\) und \(f\) sich schneiden, entstehen Scheitelwinkel. Zwei Winkel \(\alpha\) und \(\gamma\) sind Scheitelwinkel voneinander, wenn sie an der Kreuzung der Geraden gegenüberliegen. Scheitelwinkel sind immer gleich groß.

Es gilt: \[\alpha=\gamma\]

Winkel zwischen zwei Geraden Winkel zwischen zwei Geraden - Scheitelwinkel StudySmarter Abb. 3 - Scheitelwinkel.

Über weitere Erklärungen zum Scheitelwinkel liest Du in der Erklärung „Scheitelwinkel“.

Winkel zwischen Geraden – Stufenwinkel

Beim Stufenwinkel oder auch F-Winkel sind drei Geraden beteiligt. Dabei sind zwei der Geraden parallel und werden von der Dritten geschnitten.

Wenn zwei Geraden \(g \,\text{und}\, h\) parallel sind (\(g||h\)) und eine dritte Gerade \(f\) die beiden Parallelen schneidet, so sind die Winkel auf einer Seite gleich groß. Dieses Winkelpaar heißt Stufenwinkel.

Es gilt: \[\alpha=\alpha'\]

Bei einer Stufenwinkelfigur gibt es vier zusammengehörige Stufenwinkelpaare.

Winkel zwischen zwei Geraden Winkel zwischen zwei Geraden - Stufenwinkel StudySmarter Abb. 4 - Stufenwinkel.

Wenn Du mehr zum Stufenwinkel erfahren möchtest, schau einmal in der Erklärung „Stufenwinkel“ vorbei.

Winkel zwischen Geraden – Wechselwinkel

Der Wechselwinkel, oder auch Z-Winkel, ist, genauso wie der Stufenwinkel, ein Satz an drei Geraden, wobei die zwei Parallelen von der dritten Geraden geschnitten wird.

Wenn zwei Geraden \(g \,\text{und}\, h\) parallel sind (\(g||h\)) und eine dritte Gerade \(f\) die beiden Parallelen schneidet, so sind die Winkel, welche sich gegenüberliegen, aber nicht auf der gleichen Parallelen liegen, gleich groß. Dieses Winkelpaar heißt Wechselwinkel.

Es gilt: \[\alpha=\alpha'\]

Auch bei der Wechselwinkelfigur gibt es vier zusammengehörige Wechselwinkelpaare.

Winkel zwischen zwei Geraden Winkel zwischen zwei Geraden - Wechselwinkel StudySmarter Abb. 5 - Wechselwinkel.

Mehr zu den Wechselwinkeln erfährst Du in der Erklärung „Wechselwinkel“.

Winkel zwischen Geraden berechnen

Mithilfe all dieser Formeln und Sätze solltest Du alle Winkel zwischen zwei Geraden berechnen können, wenn Du nur einen gegeben hast.

Aufgabe 1

Berechne alle Winkel der Figur. Der Winkel \(\alpha\) beträgt \(50^\circ\).

Winkel zwischen zwei Geraden Winkel zwischen zwei Geraden berechnen StudySmarter Abb. 6 - Winkel zwischen zwei Geraden berechnen.

Lösung

Als Erstes berechnest Du alle Winkel an dem Schnittpunkt von \(f\) und \(g\). Dort beginnst Du mit den Nebenwinkeln von \(\alpha\). \(\beta\) und \(\delta\) sind Nebenwinkel von \(\alpha\) und gleichzeitig Scheitelwinkel voneinander.

\begin {align} \alpha+\beta&=180^\circ &|&-\alpha \\ \beta&=180^\circ -50^\circ \\ \beta&=130^\circ \\ \beta&=\delta=130^\circ\end{align}

Anschließend berechnest Du noch \(\gamma\). \(\gamma\) ist der Scheitelwinkel von \(\alpha\).

\begin{align} \gamma&=\alpha \\ \gamma&=50^\circ \end{align}

Nun berechnest Du über den Stufenwinkel und Wechselwinkel die Winkel an der anderen Geradenkreuzung.

Der Stufenwinkel von \(\alpha\) ist \(\epsilon\).

\begin{align} \epsilon &= \alpha \\ \epsilon&=50^\circ\end{align}

Der Wechselwinkel von \(\alpha\) ist \(\eta\).

\begin{align} \eta&=\alpha \\ \eta&=50^\circ \end{align}

Die anderen beiden Winkel kannst Du als Nebenwinkel oder Wechselwinkel beziehungsweise Stufenwinkel von \(\beta\) berechnen.

\begin{align} \eta+\theta&=180^\circ &|&-\eta \\ \theta&=180^\circ -50^\circ \\ \theta&=130^\circ \\ \theta&=\zeta=130^\circ \end{align}

Die Winkel \(\alpha,\,\gamma,\,\epsilon\) und \(\eta\) sind alle \(50^\circ\) groß. Die Winkel \(\beta,\,\delta,\,\theta\) und \(\zeta\) betragen alle \(130^\circ\).

Winkel zwischen zwei Geraden im Raum

Auch im dreidimensionalen Raum lassen sich Winkel berechnen. Insbesondere kannst Du den Schnittwinkel \(\alpha\) zwischen zwei Geraden, Ebenen oder Vektoren berechnen. Auch den Schnittwinkel \(\alpha\) zwischen einer Geraden und einer Ebenen kannst Du mithilfe der folgenden Formeln berechnen.

Den Schnittwinkel \(\alpha\) zwischen einer Ebene \(E\) und einer Geraden \(g\) berechnest Du mithilfe des Sinus.

Es gilt: \[\sin(\alpha)=\frac{|\vec{a}\cdot \vec{n}|}{|\vec{a}|\cdot|\vec{n}|}\]

Dabei ist \(\vec{a}\) der Richtungsvektor der Geraden und \(\vec{n}\) der Normalenvektor der Ebene.

Den Schnittwinkel \(\alpha\) zwischen zwei sich schneidenden Ebenen oder zwei sich schneidenden Geraden oder Vektoren berechnest Du mithilfe des Cosinus.

Es gilt: \[\cos(\alpha)=\frac{|\vec{n_1}\cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}\]

Wobei \(\vec{n_1}\) und \(\vec{n_2}\) die Normalenvektoren der Ebenen sind. Beziehungsweise ist \(\vec{n_1}\) der Richtungsvektor, der einen Geraden und \(\vec{n_2}\) der Richtungsvektor, der anderen Geraden.

Den Schnittwinkel von zwei Vektoren kannst Du mit bis zu \(180^\circ\) angeben. Wenn zwei Geraden oder Ebenen sich schneiden, dann gibst Du den Schnittwinkel mit \(\leq90^\circ\) an. Wenn Du einen größeren Schnittwinkel für sich schneidende Geraden oder Ebenen berechnet hast, musst Du den eigentlichen Winkel über den Nebenwinkel berechnen.

Du kannst Dir merken, dass der Winkel zwischen gleichen Objekten wird über den Cosinus berechnet. Zwischen unterschiedlichen Objekten wird der Winkel über den Sinus berechnet.

Mehr zu der Winkelberechnung im dreidimensionalen Raum erfährst Du in der Erklärung „Schnittwinkel berechnen“.

Winkel zwischen Geraden – Aufgaben

Jetzt kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.

Aufgabe 2

Berechne den Winkel \(\beta\), wenn \(\alpha\) gleich \(30^\circ\) ist.

Winkel zwischen zwei Geraden Winkel zwischen zwei Geraden Aufgaben StudySmarter Abb. 7 - Winkel zwischen zwei Geraden Aufgaben

Lösung

Als Erstes berechnest Du den Stufenwinkel von \(\alpha\).

\begin{align} \alpha'&=\alpha \\ \alpha'&=30^\circ \end{align}

Jetzt berechnest Du den Nebenwinkel von \(\alpha'\), also \(\beta\).

\begin{align} \alpha'+\beta&=180^\circ &|&-\alpha' \\ \beta&=180^\circ-30^\circ \\ \beta&=150^\circ \end{align}

Der Winkel \(\beta\) beträgt \(150^\circ\).

Aufgabe 3

Berechne den Schnittwinkel \(\alpha\) der beiden Geraden \(g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)+\lambda \cdot \left (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}\right)\) und \(f:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array}\right)+\lambda \cdot \left (\begin{array}{c} 4 \\ -3 \end{array}\right)\).

Lösung

Als Erstes berechnest Du das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren der Geraden.

\begin{align} \vec{a}\circ \vec{b} &= \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}\right)\circ \left (\begin{array}{c} 4 \\ -3 \end{array}\right) \\[0.1cm] &=4\cdot 4+1\cdot (-3) \\ &= 16-3 \\ &=13 \end{align}

Jetzt berechnest Du die Beträge der beiden Richtungsvektoren.

\begin{align} |\vec{a}|&=\left|\left (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}\right) \right| \\[0.1cm] &= \sqrt{4^2+1^2} \\ &=\sqrt{16+1} \\ &=\sqrt{17} \\\\ |\vec{b}|&=\left|\left (\begin{array}{c} 4 \\ -3 \end{array}\right) \right| \\[0.1cm] &= \sqrt{4^2+(-3)^2} \\ &=\sqrt{16+9} \\ &=\sqrt{25} \\ &=5 \end{align}

Zum Schluss setzt Du die Werte in die Formel ein und berechnest den Winkel.

\begin{align} \cos(\alpha)&= \frac{|\vec{a}\circ \vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|} \\[0.1cm] \cos(\alpha)&= \frac{13}{\sqrt{17}\cdot 5} \\[0.1cm] \alpha&=50{,}91^\circ\end{align}

Die beiden Geraden schneiden sich in einem Winkel von \(50{,}91^\circ\)

Winkel zwischen Geraden – Das Wichtigste

Wenn zwei Geraden sich schneiden, entstehen Nebenwinkel. Zwei Winkel sind Nebenwinkel voneinander, wenn sie an der Kreuzung der Geraden nebeneinander liegen. Nebenwinkel bilden zusammen einen gestreckten Winkel.
Es gilt: \[\alpha+\beta=180^\circ\]
Wenn zwei Geraden sich schneiden, entstehen Scheitelwinkel. Zwei Winkel sind Scheitelwinkel voneinander, wenn sie an der Kreuzung der Geraden gegenüberliegen. Scheitelwinkel sind immer gleich groß.
Es gilt: \[\alpha=\gamma\]
Wenn zwei Geraden parallel \(g||h\) sind und eine dritte Gerade \(f\) die beiden Parallelen schneidet, so sind die Winkel auf einer Seite gleich groß. Dieses Winkelpaar heißt Stufenwinkel.
Es gilt: \[\alpha=\alpha'\]
Wenn zwei Geraden \(g||h\) parallel sind und eine dritte Gerade \(f\) die beiden Parallelen schneidet, so sind die Winkel, welche sich gegenüberliegen, aber nicht auf der gleichen Parallelen liegen, gleich groß. Dieses Winkelpaar heißt Wechselwinkel.
Es gilt: \[\alpha=\alpha'\]

Nachweise

Ernst (1977). Geometrie 1. Ehrenwirth Verlag, München.
Faber (1967). Geometrie 1. Klett, Stuttgart.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Winkel zwischen Geraden

Es gibt verschiedene Möglichkeiten, den Winkel zwischen zwei Geraden zu berechnen. Einerseits gibt es eine Formel, mit welcher Du über den Cosinus und die Richtungsvektoren den Winkel berechnen kannst. Andererseits gibt es auch verschiedene Winkelsätze für sich schneidende Geraden, wie den Scheitelwinkel oder Nebenwinkel.

Der größtmögliche Schnittwinkel, unter welchem sich Geraden schneiden können, ist der rechte Winkel.

Zwei Geraden schneiden sich im rechten Winkel, wenn das Skalarprodukt der Richtungsvektoren der Geraden null ist.

Der größtmögliche Schnittwinkel zweier Tangenten ist ebenfalls der rechte Winkel.

Finales Winkel zwischen Geraden Quiz

Frage

Beschreibe, wie Nebenwinkel entstehen.

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Antwort

Nebenwinkel entstehen dadurch, dass sich zwei Geraden schneiden. Es entsteht eine Geradenkreuzung mit vier Winkel. Winkel, die an dieser Geradenkreuzung nebeneinander liegen, sind Nebenwinkel.

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Frage

Gib an, wie viele Nebenwinkelpaare entstehen, wenn sich zwei Geraden schneiden.

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Antwort

Es ergeben sich insgesamt 4 Nebenwinkelpaare.

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Frage

α und β sind Nebenwinkel. Es ist bekannt, dass α 33° beträgt. Bestimme die Größe von β.

Antwort anzeigen

Antwort

Die Größe des Winkels β beträgt 147°.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die beiden Vorteile, die Du hast, wenn Du Winkelgrößen mithilfe Deines Wissens über Winkelpaare berechnest, anstatt sie mit dem Geodreieck auszumessen.

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Antwort

geringerer Zeitaufwand
genauere Ergebnisse

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Frage

Benenne die vier Arten von Winkelpaaren, die an Schnittpunkten von Geraden entstehen.

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Antwort

Nebenwinkel
Scheitelwinkel
Stufenwinkel
Wechselwinkel

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Frage

Wie bezeichnest Du einen 180°-Winkel auch?

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Antwort

gestreckter Winkel

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Frage

Beschreibe, wann Scheitelwinkel entstehen.

Antwort anzeigen

Antwort

Scheitelwinkel entstehen, wenn sich mindestens zwei Geraden an einem Punkt schneiden.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Besonderheit von Scheitelwinkeln.

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Antwort

Ist ein Winkel ein Scheitelwinkel von einem anderen Winkel, so sind die beiden Winkel gleich groß.

Frage anzeigen

Frage

Gib an, wie viele Scheitelwinkelpaare entstehen, wenn sich vier Geraden an einem Punkt schneiden.

Antwort anzeigen

Antwort

Es entstehen vier Scheitelwinkelpaare.

Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob es sich beim Winkel δ um einen Scheitelwinkel vom Winkel α handelt.

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Antwort

Ja, der Winkel δ ist ein Scheitelwinkel vom Winkel α. Die beiden Winkel liegen genau gegenüber voneinander.

Frage anzeigen

Frage

Fasse die wichtigsten Punkte zum Thema Scheitelwinkel zusammen.

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Antwort

Scheitelwinkel entstehen, wenn sich mindestens zwei Geraden an einem Punkt schneiden.
Gegenüberliegende Winkel an dieser Geradenkreuzung sind Scheitelwinkel voneinander.
Scheitelwinkel sind immer gleich groß.

Frage anzeigen

Frage

Welche Winkelart baut auf dem Prinzip der Scheitelwinkel auf?

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Antwort

Die Wechselwinkel

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Frage

Wo entstehen Winkel?

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Antwort

Winkel enstehen an der Schnittstelle zweier Geraden

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Frage

In welcher Einheit werden Winkel angegeben?

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Antwort

Garad

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Frage

Welche Werte können Winkel annehmen?

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Antwort

Werte zwischen 90° und 180°

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Frage

Wie viel Grad hat ein rechter Winkel?

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Antwort

60°

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Frage

Welche Arten von Schnittwinkeln gibt es?

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Antwort

spitze Winkel

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Frage

Wie kannst du deinen Wert beim Messen eines Schnittwinkels überprüfen?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn dein Wert beispielsweise unter 90° ist, muss es ein spitzer Winkel sein und sollte auch dementsprechend aussehen.

Frage anzeigen

Frage

Welche vier Winkelsätze gibt es?

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Antwort

Scheitelwinkelsatz

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Frage

Wie lautet die Umkehrung des Wechselwinkelsatzes?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn Wechselwinkel gleich groß sind, sind die Geraden parallel.

Frage anzeigen

Frage

Mit Hilfe welcher Winkelsätze kannst Du den Wechselwinkelsatz herleiten?

Antwort anzeigen

Antwort

Scheitelwinkelsatz

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wann Wechselwinkel entstehen.

Antwort anzeigen

Antwort

Wechselwinkel entstehen, wenn zwei parallele Geraden von einer dritten geschnitten werden.

Frage anzeigen

Frage

Wie definieren sich Scheitelwinkel?

Antwort anzeigen

Antwort

Schneiden sich zwei Geraden, so heißen gegenüberliegender Winkelpaare Scheitelwinkel. Scheitelwinkel sind immer gleich groß.

Es gilt: α=α'.

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Frage

Wie definieren sich Nebenwinkel?

Antwort anzeigen

Antwort

Schneiden sich zwei Geraden, so heißen benachbarte Winkelpaare Nebenwinkel. Nebenwinkel ergeben zusammen immer 180°.

Es gilt: α+β=180°.

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Frage

Gebe die Bedingungen an, wann zwei Winkel ein Wechselwinkelpaar bilden.

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Antwort

Die Geraden müssen parallel sein.
Sie liegen auf unterschiedlichen Seiten der Schnittgeraden f.
Sie liegen auf unterschiedlichen Seiten der Parallelen g und h.

Frage anzeigen

Frage

Wie werden Stufenwinkel noch genannt?

Antwort anzeigen

Antwort

F-Winkel

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Umkehrung des Stufenwinkelsatzes?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn Stufenwinkel gleich groß sind, so sind die Geraden parallel.

Frage anzeigen

Frage

Mithilfe welcher Bedingungen erkennst Du Stufenwinkel?

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Antwort

Die geschnittenen Geraden sind parallel.
Die Stufenwinkel liegen auf der gleichen Seite der Schnittgerade f.
Sie liegen auf der gleichen Seite der Parallelen g und h.

Frage anzeigen

Frage

Sind Stufenwinkel immer gleich groß?

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Antwort

Stufenwinkel sind nur dann gleich groß, wenn die dritte Gerade zwei Parallelen schneidet. Wenn die Geraden nicht parallel sind, sind die Stufenwinkel nicht gleich groß.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet der Scheitelwinkelsatz?

Antwort anzeigen

Antwort

Scheitelwinkel an zwei sich schneidenden Geraden sind genau gleich groß.

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Frage

Nenne die Formel zur Berechnung des Schnittwinkels zwischen zwei Vektoren. Schreibe sie auf.

Antwort anzeigen

Antwort

\[\cos(\alpha)=\frac{|\vec{a}\circ\vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot |\vec{b}|}\]

Frage anzeigen

Frage

Wie groß ist der Schnittwinkel zweier Geraden maximal?

Antwort anzeigen

Antwort

\[\leq 90^\circ \]

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, was Nebenwinkel sind und welche Besonderheit sie besitzen.

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn zwei Geraden sich schneiden, entstehen Nebenwinkel. Zwei Winkel sind Nebenwinkel voneinander, wenn sie an der Kreuzung der Geraden nebeneinander liegen. Nebenwinkel bilden zusammen immer einen gestreckten Winkel.

Es gilt: \[\alpha+\beta=180^\circ\]

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, was Scheitelwinkel sind und welche Besonderheit sie besitzen.

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn zwei Geraden sich schneiden, entstehen Scheitelwinkel. Zwei Winkel sind Scheitelwinkel voneinander, wenn sie an der Kreuzung der Geraden gegenüberliegen. Scheitelwinkel sind immer gleich groß.

Es gilt: \[\alpha=\gamma\]

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Formel zur Berechnung des Schnittwinkels von Funktionen?

Antwort anzeigen

Antwort

\[\tan(\alpha)= \left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1\cdot m_2}\right|\]

Frage anzeigen

Frage

Schreibe die Formel zur Berechnung des Schnittwinkels einer Geraden und Ebene auf.

Antwort anzeigen

Antwort

\[\sin(\alpha)=\frac{|\vec{a}\cdot \vec{n}|}{|\vec{a}|\cdot|\vec{n}|}\]

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet der Satz des Stufenwinkels?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn zwei Geraden parallel \(g||h\) sind und eine dritte Gerade \(f\) die beiden Parallelen schneidet, so sind die Winkel auf einer Seite gleich groß. Dieses Winkelpaar heißt Stufenwinkel.

Es gilt: \[\alpha=\alpha'\]

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet der Satz des Wechselwinkels?

Antwort anzeigen

Antwort

Wenn zwei Geraden \(g||h\) parallel sind und eine dritte Gerade \(f\) die beiden Parallelen schneidet, so sind die Winkel, welche sich gegenüberliegen, aber nicht auf der gleichen Parallelen liegen, gleich groß. Dieses Winkelpaar heißt Wechselwinkel.

Es gilt: \[\alpha=\alpha'\]

Frage anzeigen

Frage

Wie wird der Wechselwinkel noch genannt?

Schreibe Deine Antwort auf.

Antwort anzeigen

Antwort

Z-Winkel

Frage anzeigen

Frage

Wie wird der Stufenwinkel noch genannt?

Schreibe Deine Antwort auf.

Antwort anzeigen

Antwort

F-Winkel

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Winkel zwischen Geraden

Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Geraden?

Unter welchem Winkel schneiden sich zwei Geraden?

Wann schneiden sich zwei Geraden im rechten Winkel?

Unter welchem Winkel schneiden sich zwei Tangenten?

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