Winkel zwischen Geraden

Im Alltag bist Du überall von Winkel umgeben. Zusammen mit dem Fußboden bildet alles einen Winkel, egal ob eine Wand, ein Tisch oder sogar ein Flugzeug, welches gerade abhebt. Diese Winkel würdest Du aber nicht unbedingt berechnen, sondern eher messen. Es gibt jedoch auch Winkel, die Du berechnen musst oder bei welchen Du mit den Sätzen, welche Du in dieser Erklärung kennenlernst, schneller den Winkel berechnet hast als gemessen. Um welche Sätze und Formel es sich handelt, erfährst Du jetzt.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Winkel zwischen Geraden Formel

    Es existieren mehrere Arten, den Winkel zwischen zwei Geraden zu berechnen. Wie Du sie nutzt und wann Du sie anwendest, erfährst Du jetzt.

    Winkel zwischen zwei Geraden – Nebenwinkel

    Ein Nebenwinkel entsteht an einer Geradenkreuzung, an dieser gibt es immer mehrere Nebenwinkelpaare.

    An einer Geradenkreuzung schneiden sich zwei Geraden. Es entstehen zwischen den Geraden vier Winkel.

    Wenn zwei Geraden \(g\) und \(f\) sich schneiden, entstehen Nebenwinkel. Zwei Winkel \(\alpha\) und \(\beta\) sind Nebenwinkel voneinander, wenn sie an der Kreuzung der Geraden nebeneinander liegen. Nebenwinkel bilden zusammen immer einen gestreckten Winkel.

    Es gilt: \[\alpha+\beta=180^\circ\]

    Du kannst die Nebenwinkelpaare auf zwei verschiedene Arten einteilen, da jeder Winkel zwei Nebenwinkel besitzt.

    Winkel zwischen zwei Geraden Nebenwinkel StudySmarterAbb. 1 - Nebenwinkel.Winkel zwischen zwei Geraden Nebenwinkel StudySmarterAbb. 2 - Nebenwinkel.

    Mehr zu den Nebenwinkeln erfährst Du in der Erklärung „Nebenwinkel“.

    Winkel zwischen zwei Geraden – Scheitelwinkel

    Der Scheitelwinkel entsteht genauso wie der Nebenwinkel an einer Geradenkreuzung. An einer Geradenkreuzung gibt es immer zwei Scheitelwinkelpaare.

    Wenn zwei Geraden \(g\) und \(f\) sich schneiden, entstehen Scheitelwinkel. Zwei Winkel \(\alpha\) und \(\gamma\) sind Scheitelwinkel voneinander, wenn sie an der Kreuzung der Geraden gegenüberliegen. Scheitelwinkel sind immer gleich groß.

    Es gilt: \[\alpha=\gamma\]

    Winkel zwischen zwei Geraden Winkel zwischen zwei Geraden - Scheitelwinkel StudySmarterAbb. 3 - Scheitelwinkel.

    Über weitere Erklärungen zum Scheitelwinkel liest Du in der Erklärung „Scheitelwinkel“.

    Winkel zwischen Geraden – Stufenwinkel

    Beim Stufenwinkel oder auch F-Winkel sind drei Geraden beteiligt. Dabei sind zwei der Geraden parallel und werden von der Dritten geschnitten.

    Wenn zwei Geraden \(g \,\text{und}\, h\) parallel sind (\(g||h\)) und eine dritte Gerade \(f\) die beiden Parallelen schneidet, so sind die Winkel auf einer Seite gleich groß. Dieses Winkelpaar heißt Stufenwinkel.

    Es gilt: \[\alpha=\alpha'\]

    Bei einer Stufenwinkelfigur gibt es vier zusammengehörige Stufenwinkelpaare.

    Winkel zwischen zwei Geraden Winkel zwischen zwei Geraden - Stufenwinkel StudySmarterAbb. 4 - Stufenwinkel.

    Wenn Du mehr zum Stufenwinkel erfahren möchtest, schau einmal in der Erklärung „Stufenwinkel“ vorbei.

    Winkel zwischen Geraden – Wechselwinkel

    Der Wechselwinkel, oder auch Z-Winkel, ist, genauso wie der Stufenwinkel, ein Satz an drei Geraden, wobei die zwei Parallelen von der dritten Geraden geschnitten wird.

    Wenn zwei Geraden \(g \,\text{und}\, h\) parallel sind (\(g||h\)) und eine dritte Gerade \(f\) die beiden Parallelen schneidet, so sind die Winkel, welche sich gegenüberliegen, aber nicht auf der gleichen Parallelen liegen, gleich groß. Dieses Winkelpaar heißt Wechselwinkel.

    Es gilt: \[\alpha=\alpha'\]

    Auch bei der Wechselwinkelfigur gibt es vier zusammengehörige Wechselwinkelpaare.

    Winkel zwischen zwei Geraden Winkel zwischen zwei Geraden - Wechselwinkel StudySmarterAbb. 5 - Wechselwinkel.

    Mehr zu den Wechselwinkeln erfährst Du in der Erklärung „Wechselwinkel“.

    Winkel zwischen Geraden berechnen

    Mithilfe all dieser Formeln und Sätze solltest Du alle Winkel zwischen zwei Geraden berechnen können, wenn Du nur einen gegeben hast.

    Aufgabe 1

    Berechne alle Winkel der Figur. Der Winkel \(\alpha\) beträgt \(50^\circ\).

    Winkel zwischen zwei Geraden Winkel zwischen zwei Geraden berechnen StudySmarterAbb. 6 - Winkel zwischen zwei Geraden berechnen.

    Lösung

    Als Erstes berechnest Du alle Winkel an dem Schnittpunkt von \(f\) und \(g\). Dort beginnst Du mit den Nebenwinkeln von \(\alpha\). \(\beta\) und \(\delta\) sind Nebenwinkel von \(\alpha\) und gleichzeitig Scheitelwinkel voneinander.

    \begin {align} \alpha+\beta&=180^\circ &|&-\alpha \\ \beta&=180^\circ -50^\circ \\ \beta&=130^\circ \\ \beta&=\delta=130^\circ\end{align}

    Anschließend berechnest Du noch \(\gamma\). \(\gamma\) ist der Scheitelwinkel von \(\alpha\).

    \begin{align} \gamma&=\alpha \\ \gamma&=50^\circ \end{align}

    Nun berechnest Du über den Stufenwinkel und Wechselwinkel die Winkel an der anderen Geradenkreuzung.

    Der Stufenwinkel von \(\alpha\) ist \(\epsilon\).

    \begin{align} \epsilon &= \alpha \\ \epsilon&=50^\circ\end{align}

    Der Wechselwinkel von \(\alpha\) ist \(\eta\).

    \begin{align} \eta&=\alpha \\ \eta&=50^\circ \end{align}

    Die anderen beiden Winkel kannst Du als Nebenwinkel oder Wechselwinkel beziehungsweise Stufenwinkel von \(\beta\) berechnen.

    \begin{align} \eta+\theta&=180^\circ &|&-\eta \\ \theta&=180^\circ -50^\circ \\ \theta&=130^\circ \\ \theta&=\zeta=130^\circ \end{align}

    Die Winkel \(\alpha,\,\gamma,\,\epsilon\) und \(\eta\) sind alle \(50^\circ\) groß. Die Winkel \(\beta,\,\delta,\,\theta\) und \(\zeta\) betragen alle \(130^\circ\).

    Winkel zwischen zwei Geraden im Raum

    Auch im dreidimensionalen Raum lassen sich Winkel berechnen. Insbesondere kannst Du den Schnittwinkel \(\alpha\) zwischen zwei Geraden, Ebenen oder Vektoren berechnen. Auch den Schnittwinkel \(\alpha\) zwischen einer Geraden und einer Ebenen kannst Du mithilfe der folgenden Formeln berechnen.

    Den Schnittwinkel \(\alpha\) zwischen einer Ebene \(E\) und einer Geraden \(g\) berechnest Du mithilfe des Sinus.

    Es gilt: \[\sin(\alpha)=\frac{|\vec{a}\cdot \vec{n}|}{|\vec{a}|\cdot|\vec{n}|}\]

    Dabei ist \(\vec{a}\) der Richtungsvektor der Geraden und \(\vec{n}\) der Normalenvektor der Ebene.

    Den Schnittwinkel \(\alpha\) zwischen zwei sich schneidenden Ebenen oder zwei sich schneidenden Geraden oder Vektoren berechnest Du mithilfe des Cosinus.

    Es gilt: \[\cos(\alpha)=\frac{|\vec{n_1}\cdot \vec{n_2}|}{|\vec{n_1}|\cdot|\vec{n_2}|}\]

    Wobei \(\vec{n_1}\) und \(\vec{n_2}\) die Normalenvektoren der Ebenen sind. Beziehungsweise ist \(\vec{n_1}\) der Richtungsvektor, der einen Geraden und \(\vec{n_2}\) der Richtungsvektor, der anderen Geraden.

    Den Schnittwinkel von zwei Vektoren kannst Du mit bis zu \(180^\circ\) angeben. Wenn zwei Geraden oder Ebenen sich schneiden, dann gibst Du den Schnittwinkel mit \(\leq90^\circ\) an. Wenn Du einen größeren Schnittwinkel für sich schneidende Geraden oder Ebenen berechnet hast, musst Du den eigentlichen Winkel über den Nebenwinkel berechnen.

    Du kannst Dir merken, dass der Winkel zwischen gleichen Objekten wird über den Cosinus berechnet. Zwischen unterschiedlichen Objekten wird der Winkel über den Sinus berechnet.

    Mehr zu der Winkelberechnung im dreidimensionalen Raum erfährst Du in der Erklärung „Schnittwinkel berechnen“.

    Winkel zwischen Geraden – Aufgaben

    Jetzt kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.

    Aufgabe 2

    Berechne den Winkel \(\beta\), wenn \(\alpha\) gleich \(30^\circ\) ist.

    Winkel zwischen zwei Geraden Winkel zwischen zwei Geraden Aufgaben StudySmarterAbb. 7 - Winkel zwischen zwei Geraden Aufgaben

    Lösung

    Als Erstes berechnest Du den Stufenwinkel von \(\alpha\).

    \begin{align} \alpha'&=\alpha \\ \alpha'&=30^\circ \end{align}

    Jetzt berechnest Du den Nebenwinkel von \(\alpha'\), also \(\beta\).

    \begin{align} \alpha'+\beta&=180^\circ &|&-\alpha' \\ \beta&=180^\circ-30^\circ \\ \beta&=150^\circ \end{align}

    Der Winkel \(\beta\) beträgt \(150^\circ\).

    Aufgabe 3

    Berechne den Schnittwinkel \(\alpha\) der beiden Geraden \(g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 1 \end{array}\right)+\lambda \cdot \left (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}\right)\) und \(f:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 1 \\ 4 \end{array}\right)+\lambda \cdot \left (\begin{array}{c} 4 \\ -3 \end{array}\right)\).

    Lösung

    Als Erstes berechnest Du das Skalarprodukt der beiden Richtungsvektoren der Geraden.

    \begin{align} \vec{a}\circ \vec{b} &= \left(\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}\right)\circ \left (\begin{array}{c} 4 \\ -3 \end{array}\right) \\[0.1cm] &=4\cdot 4+1\cdot (-3) \\ &= 16-3 \\ &=13 \end{align}

    Jetzt berechnest Du die Beträge der beiden Richtungsvektoren.

    \begin{align} |\vec{a}|&=\left|\left (\begin{array}{c} 4 \\ 1 \end{array}\right) \right| \\[0.1cm] &= \sqrt{4^2+1^2} \\ &=\sqrt{16+1} \\ &=\sqrt{17} \\\\ |\vec{b}|&=\left|\left (\begin{array}{c} 4 \\ -3 \end{array}\right) \right| \\[0.1cm] &= \sqrt{4^2+(-3)^2} \\ &=\sqrt{16+9} \\ &=\sqrt{25} \\ &=5 \end{align}

    Zum Schluss setzt Du die Werte in die Formel ein und berechnest den Winkel.

    \begin{align} \cos(\alpha)&= \frac{|\vec{a}\circ \vec{b}|}{|\vec{a}|\cdot|\vec{b}|} \\[0.1cm] \cos(\alpha)&= \frac{13}{\sqrt{17}\cdot 5} \\[0.1cm] \alpha&=50{,}91^\circ\end{align}

    Die beiden Geraden schneiden sich in einem Winkel von \(50{,}91^\circ\)

    Winkel zwischen Geraden – Das Wichtigste

    • Wenn zwei Geraden sich schneiden, entstehen Nebenwinkel. Zwei Winkel sind Nebenwinkel voneinander, wenn sie an der Kreuzung der Geraden nebeneinander liegen. Nebenwinkel bilden zusammen einen gestreckten Winkel.

      Es gilt: \[\alpha+\beta=180^\circ\]

    • Wenn zwei Geraden sich schneiden, entstehen Scheitelwinkel. Zwei Winkel sind Scheitelwinkel voneinander, wenn sie an der Kreuzung der Geraden gegenüberliegen. Scheitelwinkel sind immer gleich groß.

      Es gilt: \[\alpha=\gamma\]

    • Wenn zwei Geraden parallel \(g||h\) sind und eine dritte Gerade \(f\) die beiden Parallelen schneidet, so sind die Winkel auf einer Seite gleich groß. Dieses Winkelpaar heißt Stufenwinkel.

      Es gilt: \[\alpha=\alpha'\]

    • Wenn zwei Geraden \(g||h\) parallel sind und eine dritte Gerade \(f\) die beiden Parallelen schneidet, so sind die Winkel, welche sich gegenüberliegen, aber nicht auf der gleichen Parallelen liegen, gleich groß. Dieses Winkelpaar heißt Wechselwinkel.

      Es gilt: \[\alpha=\alpha'\]

    Nachweise

    1. Ernst (1977). Geometrie 1. Ehrenwirth Verlag, München.
    2. Faber (1967). Geometrie 1. Klett, Stuttgart.
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Winkel zwischen Geraden

    Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Geraden?

    Es gibt verschiedene Möglichkeiten, den Winkel zwischen zwei Geraden zu berechnen. Einerseits gibt es eine Formel, mit welcher Du über den Cosinus und die Richtungsvektoren den Winkel berechnen kannst. Andererseits gibt es auch verschiedene Winkelsätze für sich schneidende Geraden, wie den Scheitelwinkel oder Nebenwinkel.

    Unter welchem Winkel schneiden sich zwei Geraden?

    Der größtmögliche Schnittwinkel, unter welchem sich Geraden schneiden können, ist der rechte Winkel.

    Wann schneiden sich zwei Geraden im rechten Winkel?

    Zwei Geraden schneiden sich im rechten Winkel, wenn das Skalarprodukt der Richtungsvektoren der Geraden null ist.

    Unter welchem Winkel schneiden sich zwei Tangenten?

    Der größtmögliche Schnittwinkel zweier Tangenten ist ebenfalls der rechte Winkel.

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