Select your language

Suggested languages for you:
Log In App nutzen
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free

Höhenschnittpunkt Dreieck

Save Speichern
Print Drucken
Edit Bearbeiten
Melde dich an und nutze alle Funktionen. Jetzt anmelden
X
Illustration Du hast bereits eine Erklärung angesehen Melde dich kostenfrei an und greife auf diese und tausende Erklärungen zu
Mathe

In diesem Artikel erfährst du alles, was du zum Höhenschnittpunkt eines Dreiecks wissen musst. Das Thema "Höhenschnittpunkt eines Dreiecks" ist inhaltlich dem Themengebiet Geometrie im Fach Mathematik zuzuordnen.


Um den Inhalt dieses Artikels vollständig verstehen zu können, ist es wichtig, dass du mit dem Thema Höhe eines Dreiecks vertraut bist. Falls du nicht mehr genau wissen solltest, was die Höhen eines Dreiecks sind, empfehle ich dir, dich zunächst nochmal mit dem Thema "Höhe eines Dreiecks" zu beschäftigen. 



Was ist der Höhenschnittpunkt eines Dreiecks?


Jedes Dreieck hat genau drei Höhen. Zeichnet man die Höhen in die Skizze des Dreiecks ein, sieht man, dass sich die Höhen an einem Punkt schneiden. Den Schnittpunkt der Höhen nennt man Höhenschnittpunkt H.


Ein Beispiel für ein Dreieck mit seinen drei Höhen ,  und  und dem Höhenschnittpunkt H siehst du hier:


Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt Erklärung StudySmarterAbbildung 1: Dreieck mit seinen drei Höhen und dem Höhenschnittpunkt H


Zur Erinnerung: 

Die Höhe eines Dreiecks ist das Lot einer Dreiecksseite oder deren Verlängerung, das durch den gegenüberliegenden Eckpunkt des Dreiecks verläuft. 

Je nachdem, um welche Dreiecksart es sich handelt, liegt der Höhenschnittpunkt H entweder innerhalb vom Dreieck, außerhalb vom Dreieck oder auf einem Eckpunkt des Dreiecks. 


Merke dir:


  • Bei einem spitzwinkligen Dreieck liegt der Höhenschnittpunkt H innerhalb vom Dreieck.
  • Bei einem stumpfwinkligen Dreieck liegt der Höhenschnittpunkt H außerhalb vom Dreieck. 
  • Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Höhenschnittpunkt H genau auf dem Eckpunkt des Dreiecks, an dessen Winkel sich der rechte Winkel befindet.


Keine Sorge, wenn du dir darunter noch nichts Genaues vorstellen kannst! Im Verlauf des Artikels wird der Höhenschnittpunkt bei spitzwinkligen, stumpfwinkligen und rechtwinkligen Dreiecken noch im Detail betrachtet und für jede Dreiecksart einzeln erläutert. 



Beweis des Höhenschnittpunktes eines Dreiecks


Dass sich die drei Höhen eines Dreiecks in einem Punkt schneiden, wird in diesem Abschnitt bewiesen. Dabei wird zunächst die grundlegende Idee hinter dem Beweis erläutert. Anschließend wird der Beweis anhand eines spitzwinkligen Dreiecks vollständig durchgeführt. 


Beweis des Höhenschnittpunktes – Grundlegende Idee


Folgender Satz soll bewiesen werden:


Die drei Höhen eines Dreiecks ABC schneiden sich in genau einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt H. 


Die grundliegende Idee, auf der der Beweis aufbaut, ist die folgende: 


Die Höhen des Dreiecks ABC verlaufen parallel zu den Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten. Die Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten schneiden sich in genau einem Punkt. Wenn ein zweites Dreieck gefunden wird, dass die Höhen des ersten Dreiecks als Mittelsenkrechten hat, ist der Satz bewiesen. 


Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt Beweis StudySmarterAbbildung 2: Beweis des Höhenschnittpunkts 


Wie du siehst, ist die Mittelsenkrechte  parallel zur Höhe , die Mittelsenkrechte  ist parallel zur Höhe und die Mittelsenkrechte  ist parallel zur Höhe .


Zur Erinnerung: 

Die Mittelsenkrechte einer Strecke  ist diejenige Gerade, die senkrecht auf der Strecke steht und diese dabei in zwei gleich große Hälften teilt. Durch die Mittelsenkrechte werden die Seiten des Dreiecks also in der Mitte halbiert.


Beweis des Höhenschnittpunktes – Durchführung


Der Beweis soll an dem folgenden Dreieck ABC durchgeführt werden:


Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt Beweis StudySmarterAbbildung 3: Beweis – Schritt 1


Um das Dreieck ABC wird ein weiteres Dreieck DEF gezeichnet. Die Seiten des neuen Dreiecks DEF sind parallel zu den Seiten des Dreiecks ABC und verlaufen durch den jeweils gegenüberliegenden Eckpunkt. Das sieht wie folgt aus:


Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt Beweis StudySmarterAbbildung 4: Beweis – Schritt 2


Innerhalb des großen Dreiecks DEF entstehen durch die Seiten des Dreiecks ABC vier kleinere, kongruente Dreiecke. Dabei handelt es sich um die Dreiecke ABC, AFB, BDC und ACE. 


Außerdem lässt sich erkennen, dass die Eckpunkte A, B und C des Dreiecks ABC gleichzeitig die Mittelpunkte der Strecke , der Strecke  und der Strecke  sind.


Daraus folgt, dass die Mittelsenkrechten des Dreiecks DEF durch die Eckpunkte A, B und C des Dreiecks ABC verlaufen. Gleichzeitig stehen sie in einem rechten Winkel auf der Strecke , der Strecke  und der Strecke .


Die Teilstrecken der Mittelsenkrechten, die innerhalb des Dreiecks ABC liegen, sind gleichzeitig die Höhen dieses Dreiecks. 


Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt Beweis StudySmarterAbbildung 5: Beweis – Schritt 3


Wie man erkennen kann, schneiden sich die Mittelsenkrechten des größeren Dreiecks DEF in einem Punkt. Da es sich bei Teilstrecken der Mittelsenkrechten des Dreiecks DEF um die Höhen des Dreiecks ABC handelt, schneiden sich also auch die Höhen des Dreiecks ABC in einem Punkt. q. e. d.


q. e. d. ist eine Abkürzung für den lateinischen Satz "Quod erat demonstrandum". 

Das bedeutet soviel wie "Was zu beweisen war" und steht in der Regel am Ende eines Beweises. 



Höhenschnittpunkt bei verschiedenen Dreiecksarten


In den vorherigen Abschnitten hast du Einiges zum Höhenschnittpunkt im Allgemeinen gelernt. Nun erfährst du, wie sich die Höhenschnittpunkte eines Dreiecks bei den verschiedenen Dreiecksarten unterscheiden. 


Höhenschnittpunkt bei einem spitzwinkligen Dreieck


Bei einem spitzwinkligen Dreieck ist jeder der drei Innenwinkel kleiner als 90°. 

Ein Beispiel für ein spitzwinkliges Dreieck siehst du hier:


Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt bei verschiedenen Dreiecksarten StudySmarterAbbildung 6: Spitzwinkliges Dreieck


Wenn du nun die drei Höhen ,  und des Dreiecks konstruierst, sieht das Dreieck folgendermaßen aus:


Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt bei verschiedenen Dreiecksarten StudySmarterAbbildung 7: Höhen des spitzwinkligen Dreiecks


Wie du erkennen kannst, liegt der Höhenschnittpunkt H innerhalb des Dreiecks:


Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt bei verschiedenen Dreiecksarten StudySmarterAbbildung 8: Höhenschnittpunkt des spitzwinkligen Dreiecks


Merke: Der Höhenschnittpunkt H eines spitzwinkligen Dreiecks liegt innerhalb von diesem Dreieck


Höhenschnittpunkt bei einem stumpfwinkligen Dreieck


Bei einem stumpfwinkligen Dreieck ist einer der drei Innenwinkel des Dreiecks größer als 90°. 

In der folgenden Abbildung siehst du ein Beispiel für ein stumpfwinkliges Dreieck:


Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt bei verschiedenen Dreiecksarten StudySmarterAbbildung 9: Stumpfwinkliges Dreieck


Um die Höhen des Dreiecks zu konstruieren, musst du zunächst die beiden Seiten des Dreiecks, zwischen denen der stumpfe Winkel liegt, verlängern. Wenn du danach die drei Höhen ,  und  des Dreiecks konstruierst, sieht das folgendermaßen aus:


Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt bei verschiedenen Dreiecksarten StudySmarterAbbildung 10: Höhen des stumpfwinkligen Dreiecks


Wie du erkennen kannst, liegt der Höhenschnittpunkt H außerhalb des Dreiecks:


Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt bei verschiedenen Dreiecksarten StudySmarterAbbildung 11: Höhenschnittpunkt des stumpfwinkligen Dreiecks



Merke: Der Höhenschnittpunkt H eines stumpfwinkligen Dreiecks liegt außerhalb von diesem Dreieck.


Höhenschnittpunkt bei einem rechtwinkligen Dreieck


Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Besonderheit, dass einer der Innenwinkel ein rechter Winkel ist. Ein rechter Winkel hat eine Winkelgröße von 90°. 

In dieser Abbildung kannst du ein Beispiel für ein rechtwinkliges Dreieck sehen:


Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt bei verschiedenen Dreiecksarten StudySmarterAbbildung 12: Rechtwinkliges Dreieck


Dadurch, dass es sich bei dem Winkel , der am Eckpunkt C des Dreiecks liegt, um einen rechten Winkel handelt, stehen die Seiten a und b des Dreiecks senkrecht zueinander. Die Seiten a und b sind also Lote der jeweils anderen Seite. 


Deshalb gilt für die Höhen  und  im Zusammenhang mit den Seiten a und b:

 und  


Wenn du nun die übrige Höhe  des Dreiecks konstruierst und die beiden Seiten a und b ebenfalls als Höhen betrachtest, ergibt sich folgendes Bild:


Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt bei verschiedenen Dreiecksarten StudySmarterAbbildung 13: Höhen und Höhenschnittpunkt des rechtwinkligen Dreiecks


Wie du erkennen kannst, liegt der Höhenschnittpunkt H genau auf dem Eckpunkt C des Dreiecks. Bei dem Eckpunkt C handelt es sich um den Eckpunkt, an dessen Winkel sich der rechte Winkel des rechtwinkligen Dreiecks befindet. 


Merke: Der Höhenschnittpunkt H eines rechtwinkligen Dreiecks liegt genau auf dem Eckpunkt des Dreiecks, an dessen Winkel sich der rechte Winkel befindet.


Höhenschnittpunkt eines Dreiecks – Übungsaufgaben


Abschließend kannst du in diesem Abschnitt üben, ob du das theoretische Wissen auch praktisch umsetzen kannst. Versuche dafür die folgenden drei Übungsaufgaben zu lösen.


Höhenschnittpunkt eines Dreiecks – Aufgabe 1


Aufgabe:

Dir liegt die Skizze des Dreiecks ABC mit den Seiten a, b und c vor:


Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt Übungsaufgaben StudySmarterAbbildung 14: Übungsaufgabe 1


Entscheide ohne die Höhen des Dreiecks zu konstruieren, ob der Höhenschnittpunkt H des Dreiecks ABC innerhalb des Dreiecks, außerhalb des Dreiecks oder auf einem Eckpunkt des Dreiecks liegt.



Lösung:

Da der Winkel größer als 90° ist, liegt ein stumpfwinkliges Dreieck vor.

Deshalb liegt der Höhenschnittpunkt H außerhalb des Dreiecks. 


Zur Überprüfung werden die Höhen konstruiert:


Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt Übungsaufgaben StudySmarterAbbildung 15: Überprüfung der Übungsaufgabe 1


Höhenschnittpunkt eines Dreiecks – Aufgabe 2


Aufgabe:

Dir liegt die Skizze des Dreiecks ABC mit den Seiten a, b und c vor:

Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt Übungsaufgaben StudySmarterAbbildung 16: Übungsaufgabe 2


Entscheide ohne die Höhen des Dreiecks zu konstruieren, ob der Höhenschnittpunkt H des Dreiecks ABC innerhalb des Dreiecks, außerhalb des Dreiecks oder auf einem Eckpunkt des Dreiecks liegt.



Lösung:

Da der Winkel ein rechter Winkel ist, handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck. Deshalb liegt der Höhenschnittpunkt H auf dem Eckpunkt B des Dreiecks.


Zur Überprüfung werden die Höhen konstruiert:


Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt Übungsaufgaben StudySmarterAbbildung 17: Überprüfung der Übungsaufgabe 2


Höhenschnittpunkt eines Dreiecks – Aufgabe 3


Aufgabe:

Dir liegt die Skizze des Dreiecks ABC mit den Seiten a, b und c vor:


Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt Übungsaufgaben StudySmarterAbbildung 18: Übungsaufgabe 3


Entscheide ohne die Höhen des Dreiecks zu konstruieren, ob der Höhenschnittpunkt H des Dreiecks ABC innerhalb des Dreiecks, außerhalb des Dreiecks oder auf einem Eckpunkt des Dreiecks liegt. 



Lösung:

Da alle Innenwinkel des Dreiecks kleiner sind als 90°, handelt es sich um ein spitzwinkliges Dreieck. Deshalb liegt der Höhenschnittpunkt H innerhalb des Dreiecks. 


Zur Überprüfung werden die Höhen konstruiert:


Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt Übungsaufgaben StudySmarterAbbildung 19: Überprüfung der Übungsaufgabe 3



Höhenschnittpunkt des Dreiecks - Das Wichtigste auf einen Blick

  • Der Punkt, an dem sich die drei Höhen eines Dreiecks schneiden, wird Höhenschnittpunkt H genannt. 
  • Bei einem spitzwinkligen Dreieck liegt der Höhenschnittpunkt H innerhalb vom Dreieck.
  • Bei einem stumpfwinkligen Dreieck liegt der Höhenschnittpunkt H außerhalb vom Dreieck.
  • Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Höhenschnittpunkt H genau auf dem Eckpunkt des Dreiecks, an dessen Winkel sich der rechte Winkel befindet. 






Häufig gestellte Fragen zum Thema Höhenschnittpunkt Dreieck

Um den Höhenschnittpunkt eines Dreiecks zu zeichnen, zeichnet man zuerst die Höhen des Dreiecks in das Dreieck ein. Der Punkt, an dem sich die drei Höhen schneiden, ist der Höhenschnittpunkt. Diesen Punkt musst du dann nur noch mit dem Buchstaben H als Höhenschnittpunkt markieren. 

Der Höhenschnittpunkt H eines rechtwinkligen Dreiecks liegt genau auf dem Eckpunkt des Dreiecks, an dessen Winkel sich der rechte Winkel befindet.

Der Höhenschnittpunkt bei einem Dreieck ist der Punkt, an dem sich die drei Höhen des Dreiecks schneiden. Er wird auch als Punkt H bezeichnet. 

60%

der Nutzer schaffen das Höhenschnittpunkt Dreieck Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Über 2 Millionen Menschen lernen besser mit StudySmarter

  • Tausende Karteikarten & Zusammenfassungen
  • Individueller Lernplan mit Smart Reminders
  • Übungsaufgaben mit Tipps, Lösungen & Cheat Sheets

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Hol dir jetzt die Mobile App

Die StudySmarter Mobile App wird von Apple & Google empfohlen.

Höhenschnittpunkt Dreieck
Lerne mit der Web App

Alle Lernunterlagen an einem Ort mit unserer neuen Web App.

JETZT ANMELDEN Höhenschnittpunkt Dreieck

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.