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Höhenschnittpunkt Dreieck

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Höhenschnittpunkt Dreieck

In diesem Artikel erfährst du alles, was du zum Höhenschnittpunkt eines Dreiecks wissen musst. Das Thema "Höhenschnittpunkt eines Dreiecks" ist inhaltlich dem Themengebiet Geometrie im Fach Mathematik zuzuordnen.

Um den Inhalt dieses Artikels vollständig verstehen zu können, ist es wichtig, dass du mit dem Thema Höhe eines Dreiecks vertraut bist. Falls du nicht mehr genau wissen solltest, was die Höhen eines Dreiecks sind, empfehle ich dir, dich zunächst nochmal mit dem Thema "Höhe eines Dreiecks" zu beschäftigen.

Höhenschnittpunkt Dreieck: Erklärung

Jedes Dreieck hat genau drei Höhen. Zeichnet man die Höhen in die Skizze des Dreiecks ein, sieht man, dass sich die Höhen an einem Punkt schneiden. Den Schnittpunkt der Höhen nennt man Höhenschnittpunkt H.

Ein Beispiel für ein Dreieck mit seinen drei Höhen , und und dem Höhenschnittpunkt H siehst du hier:

Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt mit drei Höhen StudySmarterAbbildung 1: Dreieck mit seinen drei Höhen und dem Höhenschnittpunkt H

Zur Erinnerung:

Die Höhe eines Dreiecks ist das Lot einer Dreiecksseite oder deren Verlängerung, das durch den gegenüberliegenden Eckpunkt des Dreiecks verläuft.

Je nachdem, um welche Dreiecksart es sich handelt, liegt der Höhenschnittpunkt H entweder innerhalb vom Dreieck, außerhalb vom Dreieck oder auf einem Eckpunkt des Dreiecks.

Merke dir:

  • Bei einem spitzwinkligen Dreieck liegt der Höhenschnittpunkt H innerhalb vom Dreieck.
  • Bei einem stumpfwinkligen Dreieck liegt der Höhenschnittpunkt H außerhalb vom Dreieck.
  • Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Höhenschnittpunkt H genau auf dem Eckpunkt des Dreiecks, an dessen Winkel sich der rechte Winkel befindet.

Keine Sorge, wenn du dir darunter noch nichts Genaues vorstellen kannst! Im Verlauf des Artikels wird der Höhenschnittpunkt bei spitzwinkligen, stumpfwinkligen und rechtwinkligen Dreiecken noch im Detail betrachtet und für jede Dreiecksart einzeln erläutert.

Höhenschnittpunktes Dreieck: Beweis

Dass sich die drei Höhen eines Dreiecks in einem Punkt schneiden, wird in diesem Abschnitt bewiesen. Dabei wird zunächst die grundlegende Idee hinter dem Beweis erläutert. Anschließend wird der Beweis anhand eines spitzwinkligen Dreiecks vollständig durchgeführt.

Beweis des Höhenschnittpunktes: Grundlegende Idee

Folgender Satz soll bewiesen werden:

Die drei Höhen eines Dreiecks ABC schneiden sich in genau einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt H.

Die grundliegende Idee, auf der der Beweis aufbaut, ist die folgende:

Die Höhen des Dreiecks ABC verlaufen parallel zu den Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten. Die Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten schneiden sich in genau einem Punkt. Wenn ein zweites Dreieck gefunden wird, dass die Höhen des ersten Dreiecks als Mittelsenkrechten hat, ist der Satz bewiesen.

Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt Beweis StudySmarterAbbildung 2: Beweis des Höhenschnittpunkts

Wie du siehst, ist die Mittelsenkrechte parallel zur Höhe , die Mittelsenkrechte ist parallel zur Höhe und die Mittelsenkrechte ist parallel zur Höhe .

Zur Erinnerung:

Die Mittelsenkrechte einer Strecke ist diejenige Gerade, die senkrecht auf der Strecke steht und diese dabei in zwei gleich große Hälften teilt. Durch die Mittelsenkrechte werden die Seiten des Dreiecks also in der Mitte halbiert.

Beweis des Höhenschnittpunktes: Durchführung

Der Beweis soll an dem folgenden Dreieck ABC durchgeführt werden:

Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt Beweis StudySmarterAbbildung 3: Beweis – Schritt 1

Um das Dreieck ABC wird ein weiteres Dreieck DEF gezeichnet. Die Seiten des neuen Dreiecks DEF sind parallel zu den Seiten des Dreiecks ABC und verlaufen durch den jeweils gegenüberliegenden Eckpunkt. Das sieht wie folgt aus:

Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt Beweis StudySmarterAbbildung 4: Beweis – Schritt 2

Innerhalb des großen Dreiecks DEF entstehen durch die Seiten des Dreiecks ABC vier kleinere, kongruente Dreiecke. Dabei handelt es sich um die Dreiecke ABC, AFB, BDC und ACE.

Außerdem lässt sich erkennen, dass die Eckpunkte A, B und C des Dreiecks ABC gleichzeitig die Mittelpunkte der Strecke , der Strecke und der Strecke sind.

Daraus folgt, dass die Mittelsenkrechten des Dreiecks DEF durch die Eckpunkte A, B und C des Dreiecks ABC verlaufen. Gleichzeitig stehen sie in einem rechten Winkel auf der Strecke , der Strecke und der Strecke .

Die Teilstrecken der Mittelsenkrechten, die innerhalb des Dreiecks ABC liegen, sind gleichzeitig die Höhen dieses Dreiecks.

Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt Beweis StudySmarterAbbildung 5: Beweis – Schritt 3

Wie man erkennen kann, schneiden sich die Mittelsenkrechten des größeren Dreiecks DEF in einem Punkt. Da es sich bei Teilstrecken der Mittelsenkrechten des Dreiecks DEF um die Höhen des Dreiecks ABC handelt, schneiden sich also auch die Höhen des Dreiecks ABC in einem Punkt. q. e. d.

q. e. d. ist eine Abkürzung für den lateinischen Satz "Quod erat demonstrandum".

Das bedeutet soviel wie "Was zu beweisen war" und steht in der Regel am Ende eines Beweises.

Höhenschnittpunkt bei verschiedenen Dreiecksarten

In den vorherigen Abschnitten hast du Einiges zum Höhenschnittpunkt im Allgemeinen gelernt. Nun erfährst du, wie sich die Höhenschnittpunkte eines Dreiecks bei den verschiedenen Dreiecksarten unterscheiden.

Höhenschnittpunkt bei einem spitzwinkligen Dreieck

Bei einem spitzwinkligen Dreieck ist jeder der drei Innenwinkel kleiner als 90°.

Ein Beispiel für ein spitzwinkliges Dreieck siehst du hier:

Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt bei verschiedenen Dreiecksarten StudySmarterAbbildung 6: Spitzwinkliges Dreieck

Wenn du nun die drei Höhen , und des Dreiecks konstruierst, sieht das Dreieck folgendermaßen aus:

Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt bei spitzwinkligem Dreiecksarten StudySmarterAbbildung 7: Höhen des spitzwinkligen Dreiecks

Wie du erkennen kannst, liegt der Höhenschnittpunkt H innerhalb des Dreiecks:

Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt bei verschiedenen Dreiecksarten StudySmarterAbbildung 8: Höhenschnittpunkt des spitzwinkligen Dreiecks

Merke: Der Höhenschnittpunkt H eines spitzwinkligen Dreiecks liegt innerhalb von diesem Dreieck.

Höhenschnittpunkt bei einem stumpfwinkligen Dreieck

Bei einem stumpfwinkligen Dreieck ist einer der drei Innenwinkel des Dreiecks größer als 90°.

In der folgenden Abbildung siehst du ein Beispiel für ein stumpfwinkliges Dreieck:

Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt bei verschiedenen Dreiecksarten StudySmarterAbbildung 9: Stumpfwinkliges Dreieck

Um die Höhen des Dreiecks zu konstruieren, musst du zunächst die beiden Seiten des Dreiecks, zwischen denen der stumpfe Winkel liegt, verlängern. Wenn du danach die drei Höhen , und des Dreiecks konstruierst, sieht das folgendermaßen aus:

Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt bei verschiedenen Dreiecksarten StudySmarterAbbildung 10: Höhen des stumpfwinkligen Dreiecks

Wie du erkennen kannst, liegt der Höhenschnittpunkt H außerhalb des Dreiecks:

Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt bei verschiedenen Dreiecksarten StudySmarterAbbildung 11: Höhenschnittpunkt des stumpfwinkligen Dreiecks

Merke: Der Höhenschnittpunkt H eines stumpfwinkligen Dreiecks liegt außerhalb von diesem Dreieck.

Höhenschnittpunkt bei einem rechtwinkligen Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Besonderheit, dass einer der Innenwinkel ein rechter Winkel ist. Ein rechter Winkel hat eine Winkelgröße von 90°.

In dieser Abbildung kannst du ein Beispiel für ein rechtwinkliges Dreieck sehen:

Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt bei verschiedenen Dreiecksarten StudySmarterAbbildung 12: Rechtwinkliges Dreieck

Dadurch, dass es sich bei dem Winkel , der am Eckpunkt C des Dreiecks liegt, um einen rechten Winkel handelt, stehen die Seiten a und b des Dreiecks senkrecht zueinander. Die Seiten a und b sind also Lote der jeweils anderen Seite.

Deshalb gilt für die Höhen und im Zusammenhang mit den Seiten a und b:

und

Wenn du nun die übrige Höhe des Dreiecks konstruierst und die beiden Seiten a und b ebenfalls als Höhen betrachtest, ergibt sich folgendes Bild:

Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt bei verschiedenen Dreiecksarten StudySmarterAbbildung 13: Höhen und Höhenschnittpunkt des rechtwinkligen Dreiecks

Wie du erkennen kannst, liegt der Höhenschnittpunkt H genau auf dem Eckpunkt C des Dreiecks. Bei dem Eckpunkt C handelt es sich um den Eckpunkt, an dessen Winkel sich der rechte Winkel des rechtwinkligen Dreiecks befindet.

Merke: Der Höhenschnittpunkt H eines rechtwinkligen Dreiecks liegt genau auf dem Eckpunkt des Dreiecks, an dessen Winkel sich der rechte Winkel befindet.

Höhenschnittpunkt eines Dreiecks: Übungsaufgaben

Abschließend kannst du in diesem Abschnitt üben, ob du das theoretische Wissen auch praktisch umsetzen kannst. Versuche dafür die folgenden drei Übungsaufgaben zu lösen.

Höhenschnittpunkt eines Dreiecks – Aufgabe 1

Aufgabe:

Dir liegt die Skizze des Dreiecks ABC mit den Seiten a, b und c vor:

Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt Übungsaufgaben StudySmarterAbbildung 14: Übungsaufgabe 1

Entscheide ohne die Höhen des Dreiecks zu konstruieren, ob der Höhenschnittpunkt H des Dreiecks ABC innerhalb des Dreiecks, außerhalb des Dreiecks oder auf einem Eckpunkt des Dreiecks liegt.

Lösung:

Da der Winkel größer als 90° ist, liegt ein stumpfwinkliges Dreieck vor.

Deshalb liegt der Höhenschnittpunkt H außerhalb des Dreiecks.

Zur Überprüfung werden die Höhen konstruiert:

Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt Übungsaufgaben StudySmarterAbbildung 15: Überprüfung der Übungsaufgabe 1

Höhenschnittpunkt eines Dreiecks – Aufgabe 2

Aufgabe:

Dir liegt die Skizze des Dreiecks ABC mit den Seiten a, b und c vor:

Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt Übungsaufgaben StudySmarterAbbildung 16: Übungsaufgabe 2

Entscheide ohne die Höhen des Dreiecks zu konstruieren, ob der Höhenschnittpunkt H des Dreiecks ABC innerhalb des Dreiecks, außerhalb des Dreiecks oder auf einem Eckpunkt des Dreiecks liegt.

Lösung:

Da der Winkel ein rechter Winkel ist, handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck. Deshalb liegt der Höhenschnittpunkt H auf dem Eckpunkt B des Dreiecks.

Zur Überprüfung werden die Höhen konstruiert:

Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt Übungsaufgaben StudySmarterAbbildung 17: Überprüfung der Übungsaufgabe 2

Höhenschnittpunkt eines Dreiecks – Aufgabe 3

Aufgabe:

Dir liegt die Skizze des Dreiecks ABC mit den Seiten a, b und c vor:

Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt Übungsaufgaben StudySmarterAbbildung 18: Übungsaufgabe 3

Entscheide ohne die Höhen des Dreiecks zu konstruieren, ob der Höhenschnittpunkt H des Dreiecks ABC innerhalb des Dreiecks, außerhalb des Dreiecks oder auf einem Eckpunkt des Dreiecks liegt.

Lösung:

Da alle Innenwinkel des Dreiecks kleiner sind als 90°, handelt es sich um ein spitzwinkliges Dreieck. Deshalb liegt der Höhenschnittpunkt H innerhalb des Dreiecks.

Zur Überprüfung werden die Höhen konstruiert:

Höhenschnittpunkt Dreieck Höhenschnittpunkt Übungsaufgaben StudySmarterAbbildung 19: Überprüfung der Übungsaufgabe 3

Höhenschnittpunkt Dreieck - Das Wichtigste

  • Der Punkt, an dem sich die drei Höhen eines Dreiecks schneiden, wird Höhenschnittpunkt H genannt.
  • Bei einem spitzwinkligen Dreieck liegt der Höhenschnittpunkt H innerhalb vom Dreieck.
  • Bei einem stumpfwinkligen Dreieck liegt der Höhenschnittpunkt H außerhalb vom Dreieck.
  • Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Höhenschnittpunkt H genau auf dem Eckpunkt des Dreiecks, an dessen Winkel sich der rechte Winkel befindet.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Höhenschnittpunkt Dreieck

Um den Höhenschnittpunkt eines Dreiecks zu zeichnen, zeichnet man zuerst die Höhen des Dreiecks in das Dreieck ein. Der Punkt, an dem sich die drei Höhen schneiden, ist der Höhenschnittpunkt. Diesen Punkt musst du dann nur noch mit dem Buchstaben H als Höhenschnittpunkt markieren. 

Der Höhenschnittpunkt H eines rechtwinkligen Dreiecks liegt genau auf dem Eckpunkt des Dreiecks, an dessen Winkel sich der rechte Winkel befindet.

Der Höhenschnittpunkt bei einem Dreieck ist der Punkt, an dem sich die drei Höhen des Dreiecks schneiden. Er wird auch als Punkt H bezeichnet. 

Finales Höhenschnittpunkt Dreieck Quiz

Frage

Erkläre, was der Höhenschnittpunkt eines Dreiecks ist.
Antwort anzeigen

Antwort

Der Höhenschnittpunkt H eines Dreiecks ist der Punkt, an dem sich die drei Höhen eines Dreiecks schneiden. 

Frage anzeigen

Frage

Gib an, wo der Höhenschnittpunkt H eines spitzwinkligen Dreiecks liegt. 

Antwort anzeigen

Antwort

Der Höhenschnittpunkt H eines spitzwinkligen Dreiecks liegt innerhalb des Dreiecks

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wo der Höhenschnittpunkt eines stumpfwinkligen Dreiecks liegt.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Höhenschnittpunkt eines stumpfwinkligen Dreiecks liegt außerhalb vom Dreieck

Frage anzeigen

Frage

Gib an, wo sich der Höhenschnittpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks befindet.

Antwort anzeigen

Antwort

Der Höhenschnittpunkt eines rechtwinkligen Dreiecks liegt genau auf dem Eckpunkt des Dreiecks, an dessen Winkel sich der rechte Winkel des Dreiecks befindet. 

Frage anzeigen

Frage

Nenne den Namen des Punktes, an dem sich die drei Höhen eines Dreiecks schneiden

Antwort anzeigen

Antwort

Dieser Punkt heißt Höhenschnittpunkt H. 

Frage anzeigen

Frage

Beschreibe, wie man die genaue Lage des Höhenschnittpunkts eines Dreiecks bestimmt. 

Antwort anzeigen

Antwort

Um die genaue Lage zu bestimmen konstruiert man zunächst die drei Höhen des Dreiecks. Der Punkt, an dem sich die Höhen schneiden, wird als Höhenschnittpunkt H gekennzeichnet.

Frage anzeigen

Frage

Fasse die wichtigsten Informationen zum Thema "Höhenschnittpunkt eines Dreiecks" kurz zusammen.

Antwort anzeigen

Antwort

  • Der Punkt, an dem sich die drei Höhen eines Dreiecks schneiden, wird Höhenschnittpunkt H genannt. 
  • Bei einem spitzwinkligen Dreieck liegt der Höhenschnittpunkt H innerhalb vom Dreieck, bei einem stumpfwinkligen Dreieck liegt er außerhalb vom Dreieck und bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt er auf dem Eckpunkt des Dreiecks, an dessen Winkel sich der rechte Winkel befindet.
Frage anzeigen

Frage

Entscheide, ob es theoretisch ausreichen würde nur zwei Höhen eines Dreiecks zu konstruieren, um die Lage des Höhenschnittpunkts zu ermitteln.

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei Geraden können sich an maximal einer Stelle schneiden. Da es sich bei der Verlängerung der Höhen um Geraden handelt, gilt das auch für die Höhen. 

Deshalb reicht es aus, den Schnittpunkt zweier Höhen zu ermitteln.

Frage anzeigen

Frage

Bewerte folgende Aussage:

Der Höhenschnittpunkt H kann mitten auf der Seite a eines Dreiecks liegen. 

Antwort anzeigen

Antwort

Das ist falsch! Der Höhenschnittpunkt kann nur innerhalb des Dreiecks, außerhalb des Dreiecks oder auf einem der Eckpunkte liegen, nicht aber mitten auf einer der Dreiecksseiten. 

Frage anzeigen

Frage

Werte aus, ob man alleine unter Berücksichtigung des Höhenschnittpunkts Rückschlüsse auf das dazugehörige Dreieck schließen kann, wenn sonst keine Informationen über das Dreieck vorliegen.

Antwort anzeigen

Antwort

Nein. Ohne Hintergrundwissen über die Seitenlängen oder Winkelgrößen sind keine Rückschlüsse auf das zugrundeliegende Dreieck möglich. 

Frage anzeigen

Frage

Beurteile, ob zwei verschiedene Dreiecke, die nebeneinander liegen, den gleichen Höhenschnittpunkt haben können. 


Antwort anzeigen

Antwort

Ja, das ist möglich. Das liegt daran, dass je nach Dreiecksart der Höhenschnittpunkt innerhalb des Dreiecks, außerhalb des Dreiecks oder auf einem der Eckpunkte liegt. So kann es passieren, dass der Höhenschnittpunkt von zwei Dreiecken der gleiche ist. 

Frage anzeigen

Frage

Bewerte folgende Aussage:

Ein Dreieck kann mehr als einen Höhenschnittpunkt haben. 

Antwort anzeigen

Antwort

Die Aussage ist falsch! Da sich zwei Geraden an maximal einem Punkt schneiden können, kann es auch nur einen Höhenschnittpunkt geben.

Frage anzeigen
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