Höhenschnittpunkt Dreieck

Höhenschnittpunkt Dreieck: Erklärung

Ein Beispiel für ein Dreieck mit seinen drei Höhen , und und dem Höhenschnittpunkt H siehst du hier:

Abbildung 1: Dreieck mit seinen drei Höhen und dem Höhenschnittpunkt H

Je nachdem, um welche Dreiecksart es sich handelt, liegt der Höhenschnittpunkt H entweder innerhalb vom Dreieck, außerhalb vom Dreieck oder auf einem Eckpunkt des Dreiecks.

Merke dir:

• Bei einem spitzwinkligen Dreieck liegt der Höhenschnittpunkt H innerhalb vom Dreieck.
• Bei einem stumpfwinkligen Dreieck liegt der Höhenschnittpunkt H außerhalb vom Dreieck.
• Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Höhenschnittpunkt H genau auf dem Eckpunkt des Dreiecks, an dessen Winkel sich der rechte Winkel befindet.

Keine Sorge, wenn du dir darunter noch nichts Genaues vorstellen kannst! Im Verlauf des Artikels wird der Höhenschnittpunkt bei spitzwinkligen, stumpfwinkligen und rechtwinkligen Dreiecken noch im Detail betrachtet und für jede Dreiecksart einzeln erläutert.

Höhenschnittpunktes Dreieck: Beweis

Dass sich die drei Höhen eines Dreiecks in einem Punkt schneiden, wird in diesem Abschnitt bewiesen. Dabei wird zunächst die grundlegende Idee hinter dem Beweis erläutert. Anschließend wird der Beweis anhand eines spitzwinkligen Dreiecks vollständig durchgeführt.

Beweis des Höhenschnittpunktes: Grundlegende Idee

Folgender Satz soll bewiesen werden:

Die drei Höhen eines Dreiecks ABC schneiden sich in genau einem Punkt, dem Höhenschnittpunkt H.

Die grundliegende Idee, auf der der Beweis aufbaut, ist die folgende:

Die Höhen des Dreiecks ABC verlaufen parallel zu den Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten. Die Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten schneiden sich in genau einem Punkt. Wenn ein zweites Dreieck gefunden wird, das die Höhen des ersten Dreiecks als Mittelsenkrechten hat, ist der Satz bewiesen.

Abbildung 2: Beweis des Höhenschnittpunkts

Wie du siehst, ist die Mittelsenkrechte parallel zur Höhe , die Mittelsenkrechte ist parallel zur Höhe und die Mittelsenkrechte ist parallel zur Höhe .

Beweis des Höhenschnittpunktes: Durchführung

Der Beweis soll an dem folgenden Dreieck ABC durchgeführt werden:

Abbildung 3: Beweis – Schritt 1

Um das Dreieck ABC wird ein weiteres Dreieck DEF gezeichnet. Die Seiten des neuen Dreiecks DEF sind parallel zu den Seiten des Dreiecks ABC und verlaufen durch den jeweils gegenüberliegenden Eckpunkt. Das sieht wie folgt aus:

Abbildung 4: Beweis – Schritt 2

Innerhalb des großen Dreiecks DEF entstehen durch die Seiten des Dreiecks ABC vier kleinere, kongruente Dreiecke. Dabei handelt es sich um die Dreiecke ABC, AFB, BDC und ACE.

Außerdem lässt sich erkennen, dass die Eckpunkte A, B und C des Dreiecks ABC gleichzeitig die Mittelpunkte der Strecke , der Strecke und der Strecke sind.

Daraus folgt, dass die Mittelsenkrechten des Dreiecks DEF durch die Eckpunkte A, B und C des Dreiecks ABC verlaufen. Gleichzeitig stehen sie in einem rechten Winkel auf der Strecke , der Strecke und der Strecke .

Die Teilstrecken der Mittelsenkrechten, die innerhalb des Dreiecks ABC liegen, sind gleichzeitig die Höhen dieses Dreiecks.

Abbildung 5: Beweis – Schritt 3

Wie man erkennen kann, schneiden sich die Mittelsenkrechten des größeren Dreiecks DEF in einem Punkt. Da es sich bei Teilstrecken der Mittelsenkrechten des Dreiecks DEF um die Höhen des Dreiecks ABC handelt, schneiden sich also auch die Höhen des Dreiecks ABC in einem Punkt. q. e. d.

Höhenschnittpunkt bei verschiedenen Dreiecksarten

In den vorherigen Abschnitten hast du Einiges zum Höhenschnittpunkt im Allgemeinen gelernt. Nun erfährst du, wie sich die Höhenschnittpunkte eines Dreiecks bei den verschiedenen Dreiecksarten unterscheiden.

Höhenschnittpunkt bei einem spitzwinkligen Dreieck

Bei einem spitzwinkligen Dreieck ist jeder der drei Innenwinkel kleiner als 90°.

Ein Beispiel für ein spitzwinkliges Dreieck siehst du hier:

Abbildung 6: Spitzwinkliges Dreieck

Wenn du nun die drei Höhen , und des Dreiecks konstruierst, sieht das Dreieck folgendermaßen aus:

Abbildung 7: Höhen des spitzwinkligen Dreiecks

Wie du erkennen kannst, liegt der Höhenschnittpunkt H innerhalb des Dreiecks:

Abbildung 8: Höhenschnittpunkt des spitzwinkligen Dreiecks

Höhenschnittpunkt bei einem stumpfwinkligen Dreieck

Bei einem stumpfwinkligen Dreieck ist einer der drei Innenwinkel des Dreiecks größer als 90°.

In der folgenden Abbildung siehst du ein Beispiel für ein stumpfwinkliges Dreieck:

Abbildung 9: Stumpfwinkliges Dreieck

Um die Höhen des Dreiecks zu konstruieren, musst du zunächst die beiden Seiten des Dreiecks, zwischen denen der stumpfe Winkel liegt, verlängern. Wenn du danach die drei Höhen , und des Dreiecks konstruierst, sieht das folgendermaßen aus:

Abbildung 10: Höhen des stumpfwinkligen Dreiecks

Wie du erkennen kannst, liegt der Höhenschnittpunkt H außerhalb des Dreiecks:

Abbildung 11: Höhenschnittpunkt des stumpfwinkligen Dreiecks

Höhenschnittpunkt bei einem rechtwinkligen Dreieck

Ein rechtwinkliges Dreieck hat die Besonderheit, dass einer der Innenwinkel ein rechter Winkel ist. Ein rechter Winkel hat eine Winkelgröße von 90°.

In dieser Abbildung kannst du ein Beispiel für ein rechtwinkliges Dreieck sehen:

Abbildung 12: Rechtwinkliges Dreieck

Dadurch, dass es sich bei dem Winkel , der am Eckpunkt C des Dreiecks liegt, um einen rechten Winkel handelt, stehen die Seiten a und b des Dreiecks senkrecht zueinander. Die Seiten a und b sind also Lote der jeweils anderen Seite.

Deshalb gilt für die Höhen und im Zusammenhang mit den Seiten a und b:

und

Wenn du nun die übrige Höhe des Dreiecks konstruierst und die beiden Seiten a und b ebenfalls als Höhen betrachtest, ergibt sich folgendes Bild:

Abbildung 13: Höhen und Höhenschnittpunkt des rechtwinkligen Dreiecks

Wie du erkennen kannst, liegt der Höhenschnittpunkt H genau auf dem Eckpunkt C des Dreiecks. Bei dem Eckpunkt C handelt es sich um den Eckpunkt, an dessen Winkel sich der rechte Winkel des rechtwinkligen Dreiecks befindet.

Höhenschnittpunkt eines Dreiecks: Übungsaufgaben

Abschließend kannst du in diesem Abschnitt üben, ob du das theoretische Wissen auch praktisch umsetzen kannst. Versuche dafür die folgenden drei Übungsaufgaben zu lösen.

Höhenschnittpunkt eines Dreiecks – Aufgabe 1

Aufgabe:

Dir liegt die Skizze des Dreiecks ABC mit den Seiten a, b und c vor:

Abbildung 14: Übungsaufgabe 1

Entscheide ohne die Höhen des Dreiecks zu konstruieren, ob der Höhenschnittpunkt H des Dreiecks ABC innerhalb des Dreiecks, außerhalb des Dreiecks oder auf einem Eckpunkt des Dreiecks liegt.

Lösung:

Da der Winkel größer als 90° ist, liegt ein stumpfwinkliges Dreieck vor.

Deshalb liegt der Höhenschnittpunkt H außerhalb des Dreiecks.

Zur Überprüfung werden die Höhen konstruiert:

Abbildung 15: Überprüfung der Übungsaufgabe 1

Höhenschnittpunkt eines Dreiecks – Aufgabe 2

Aufgabe:

Dir liegt die Skizze des Dreiecks ABC mit den Seiten a, b und c vor:

Abbildung 16: Übungsaufgabe 2

Entscheide ohne die Höhen des Dreiecks zu konstruieren, ob der Höhenschnittpunkt H des Dreiecks ABC innerhalb des Dreiecks, außerhalb des Dreiecks oder auf einem Eckpunkt des Dreiecks liegt.

Lösung:

Da der Winkel ein rechter Winkel ist, handelt es sich um ein rechtwinkliges Dreieck. Deshalb liegt der Höhenschnittpunkt H auf dem Eckpunkt B des Dreiecks.

Zur Überprüfung werden die Höhen konstruiert:

Abbildung 17: Überprüfung der Übungsaufgabe 2

Höhenschnittpunkt eines Dreiecks – Aufgabe 3

Aufgabe:

Dir liegt die Skizze des Dreiecks ABC mit den Seiten a, b und c vor:

Abbildung 18: Übungsaufgabe 3

Entscheide ohne die Höhen des Dreiecks zu konstruieren, ob der Höhenschnittpunkt H des Dreiecks ABC innerhalb des Dreiecks, außerhalb des Dreiecks oder auf einem Eckpunkt des Dreiecks liegt.

Lösung:

Da alle Innenwinkel des Dreiecks kleiner sind als 90°, handelt es sich um ein spitzwinkliges Dreieck. Deshalb liegt der Höhenschnittpunkt H innerhalb des Dreiecks.

Zur Überprüfung werden die Höhen konstruiert:

Abbildung 19: Überprüfung der Übungsaufgabe 3

Höhenschnittpunkt Dreieck - Das Wichtigste

• Der Punkt, an dem sich die drei Höhen eines Dreiecks schneiden, wird Höhenschnittpunkt H genannt.
• Bei einem spitzwinkligen Dreieck liegt der Höhenschnittpunkt H innerhalb vom Dreieck.
• Bei einem stumpfwinkligen Dreieck liegt der Höhenschnittpunkt H außerhalb vom Dreieck.
• Bei einem rechtwinkligen Dreieck liegt der Höhenschnittpunkt H genau auf dem Eckpunkt des Dreiecks, an dessen Winkel sich der rechte Winkel befindet.