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Bogenmaß

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Bogenmaß

Bist Du bereit für einen guten Mathematiker-Witz?

Ein Mathematiker befindet sich in einem kalten Zimmer. Frage: Wo genau im Zimmer stellt er sich hin? Antwort: In eine Ecke. Da sind nämlich 90°.

Zugegeben, so gut ist der Witz nun doch nicht. Die Ecke - als näherungsweise Realisierung eines rechten Winkels - hat zwar 90° als Winkel, aber dort wird es vermutlich genauso kalt sein.

Ein Mathematiker wird den Witz aus einem weiteren Grund schlecht finden: Er würde nicht von 90° reden, sondern von . Das ist derselbe Winkel, gemessen jedoch im Bogenmaß (statt im Gradmaß).

Woher kommt aber das Pi? Wieso sind es? Und wieso heißt es überhaupt "Bogen" in "Bogenmaß"? Sobald ein Pi auftaucht, ist das ein Hinweis dafür, dass Du es mit Kreisen zu tun hast.

Pi und der Einheitskreis – eine kurze Wiederholung

Schnapp Dir Papier und Stift; es wird nämlich ein wenig gezeichnet. Zeichne einen Kreis ein.

Durchmesser und Radius eines Kreises

Eine Strecke, die an einem Punkt des Kreises beginnt, durch den Mittelpunkt geht und an einem weiteren Punkt entlang des Kreises endet, heißt der Durchmesser d des Kreises.

Die Hälfte dieser Strecke wird Radius r des Kreises genannt, also

Bogenmaß Radius entspricht Hälfte des Durchmessers StudySmarter

Für das Folgende hast Du nun zwei Möglichkeiten: Entweder Du behandelst es als ein reines Gedankenexperiment oder Du führst es an Deinem Kreis physisch aus.

Zunächst schneidest Du eine Strecke aus, die den Durchmesser des Kreises darstellt. Jetzt stellst Du Dir folgende Frage: Wie oft passt dieses Stück entlang des Kreises?

Im rechten Teil der Abbildung 1 wird der Versuch dargestellt, Dir die Antwort darauf zu veranschaulichen. Du kannst das aber mit Deinem eigenen Kreis selbst testen.

Bogenmaß Pi an einem Kreis illustriert StudySmarterAbbildung 1: Der Durchmesser eines Kreises passt ungefähr 3 + 0,14 mal entlang des Kreises. Die genaue Anzahl ist Pi.

Der Durchmesser passt auf jeden Fall dreimal entlang des Kreises. Es bleibt nur noch ein kleines Stückchen übrig. Die genaue Anzahl ist .

Umfang eines Kreises

Wanderst Du einmal entlang eines Kreises, wirst Du eine Strecke zurückgelegt haben, die als den Umfang U des Kreises bezeichnet wird.

Wenn Du also den Durchmesser exakt -mal um den Kreis platzieren kannst, so bekommst Du die Gleichung

oder umgeformt auf

In Worten: Die Zahl beschreibt das Verhältnis vom Umfang eines Kreises zu seinem Durchmesser. Und das für alle Kreise, die Du Dir vorstellen kannst; egal, wie groß oder wie klein.

Da der Durchmesser gerade das Doppelte des Radius ist, lässt sich die definierende Gleichung von auch schreiben als

Der Einheitskreis

Den Kreis mit einem Radius von 1, also Bogenmaß Einheitskreis Definition StudySmarter, bekommt den Namen Einheitskreis.

Über welche Längeneinheit wird hier gesprochen? Millimeter, Zentimeter oder vielleicht Meter? Tatsächlich spielt es keine Rolle. Welche Längeneinheit Du Dir auch aussuchst, der Radius des Einheitskreises ist genau eine Einheit davon. Wenn Du zum Beispiel Zentimeter verwendest, so hat der Einheitskreis einen Radius von einem Zentimeter.

Nimmst Du die vorherige Gleichung und setzt ein, so erhältst Du für den Umfang des Einheitskreises

Mit dem Konzept des Einheitskreises und dem genauen Wert seines Umfanges bewaffnet, kann ein erster Blick auf den Bogenmaß geworfen werden. Das sollte dann die Frage beantworten, was denn nun ein Winkel mit "Bogen" zu tun hat.

Bogenmaß eines Winkels am Einheitskreis

Es wird erneut etwas gezeichnet. Du beginnst wieder mit einem Kreis. Dieses Mal soll dieser Kreis einen Radius von 1 besitzen. Dabei spielt es keine Rolle, ob das nun Zentimeter, Meter oder eine sonstige Längeneinheit ist.

Du kannst natürlich den Kreis mit einem Radius von 1 cm zeichnen. Dann aber ist der Kreis ziemlich klein. Besser ist es, z. B. einen Kreis mit einem Radius von 4 cm zu zeichnen und so zu tun, als wäre es der Einheitskreis.

Nun beginnst Du beim Mittelpunkt und zeichnest in irgendeine Richtung einen Strahl ein. Dieser Strahl wird den Einheitskreis in genau einem Punkt schneiden (siehe gelben Punkt im linken Teil der Abbildung 2).

Bogenmaß Bogenmaß am Einheitskreis illustriert StudySmarterAbbildung 2: Bogenmaß am Einheitskreis. In grau ist ein Strahl dargestellt, der beim Mittelpunkt des Einheitskreises beginnt. Der Winkel in türkis, den dieser Strahl relativ zur "x-Richtung" einnimmt, entspricht im Bogenmaß gerade der Länge des rosa Kreisbogens.

Dieser Schnittpunkt gemeinsam mit dem Punkt (1, 0) beschreibt gegen den Uhrzeigersinn einen Kreisbogen (siehe mittleren Teil der Abbildung 2).

Jetzt kommt die entscheidende Beobachtung:

Der Winkel des Strahls relativ zur "horizontalen" Richtung (oder auch "x-Richtung" genannt) entspricht im Bogenmaß gerade der Länge des Kreisbogens vom Punkt (1, 0) zum Schnittpunkt (siehe rechten Teil der Abbildung 2).

Hierin liegt auch die Begründung, weswegen es "Bogen" in "Bogenmaß" heißt: Die Größe eines Winkels wird durch die Länge des entsprechenden Kreisbogens im Einheitskreis angegeben.

Der Radiant – die Einheit des Bogenmaßes

Der Winkel, den der Strahl einnimmt, soll mit bezeichnet werden; die Länge des entsprechenden Kreisbogens im Einheitskreis hingegen mit einem L.

Beachte, dass hier zwar von einer "Länge" gesprochen wird, die Einheit wird aber nicht verwendet. Viel mehr ist L nur die "einheitslose" Zahl, die gemeinsam mit einer Einheit die Länge des Kreisbogens darstellen würde. Wenn also der Kreisbogen eine Länge von 3 cm besitzt, so ist .

Um anzudeuten, dass Du den Winkel im Bogenmaß angibst, verwendest Du das Kürzel rad für Radiant. Die präzise Angabe des Winkels im Bogenmaß wäre also

Wenn aus dem Kontext klar ist, dass Du die Winkel im Bogenmaß angibst, so wird das Kürzel rad oft fallen gelassen. Im Fall des Winkels sieht eine solche "kürzere" Angabe daher so aus:

Innerhalb der Mathematik (und Physik) ist das weitverbreitet. Das war auch zu Beginn des Artikels so, als bloß statt geschrieben wurde. Allgemein ist das Auftauchen eines -Zeichens ein Indiz dafür, dass Du es mit Winkel im Bogenmaß zu tun hast.

Vom Gradmaß zum Bogenmaß – erste hilfreiche Umrechnungen

Auch ohne eine präzise Definition des Bogenmaßes können bereits ein paar nützliche Gleichungen entdeckt werden.

Stelle Dir folgendes Szenario vor: Du befindest Dich an irgendeiner Stelle des Einheitskreises und beginnst von dort aus eine Wanderung entlang des Kreises. Dabei befindet sich im Mittelpunkt des Kreises eine Person, die Deine Wanderung beobachtet.

Wenn Du Dich einmal um den Einheitskreis herum bewegt hast, wird sich die Person im Mittelpunkt um 360° gedreht haben, um Dich während Deiner gesamten Wanderung zu sehen.

Bogenmaß Vollwinkel im Bogenmaß StudySmarterAbbildung 3: 360 Grad Winkel

Du selbst bist dabei einen Weg gegangen, dessen Länge dem Umfang des Einheitskreises entspricht. Der Einheitskreis besitzt aber gerade einen Umfang von . Das führt zu folgender wichtiger Beobachtung.

Beim Vollwinkel im Bogenmaß gilt:

Bogenmaß Vollwinkel StudySmarter

Damit kannst Du nun theoretisch jeden Winkel im Gradmaß zu einem Winkel im Bogenmaß umrechnen, oder umgekehrt vom Bogenmaß zum Gradmaß. Weiter unten findest Du dazu ausführliche Beispiele.

Ein sehr wichtiger Spezialfall davon sind rechte Winkel. Bei einem rechten Winkel bewegst Du Dich nur entlang eines Viertels des Kreises. Ein Viertel von 360° sind 90°; und ein Viertel von sind .

Der rechte Winkel lautet also im Bogenmaß:

Bogenmaß Rechter Winkel im Bogenmaß StudySmarter

Bisher war der Einheitskreis im Fokus. Was aber, wenn es beliebige Kreise sind? Was kannst Du dann unter einem Radianten verstehen? Und gelten weiterhin die beiden obigen Beziehungen zwischen Gradmaß und Bogenmaß?

Bogenmaß an einem beliebigen Kreis – Definition und Formel

Ein Kreis ist (bis auf seine Position) eindeutig durch seinen Radius charakterisiert. Mit dem Radius allein kannst Du den Umfang und Flächeninhalt des Kreises bestimmen.

Das ist eine mathematische Motivation für die Einführung des Bogenmaßes: Das Bogenmaß ist ein Winkelmaß, das eine direkte Verbindung zum Kreis und insbesondere zu seinem Radius hat. Das Gradmaß als Winkelmaß hat eine solche Grundlage nicht.

Historischer Kontext zum Vollwinkel von 360°

Wieso hat der Vollwinkel ein Gradmaß von 360°? Eine Antwort geht auf die Babylonische Mathematik zurück. In dieser Zeit wurde geglaubt, dass ein Jahr 360 Tage hat. Die Umlaufbahn der Erde wurde also auf einen Grad pro Tag aufgeteilt. Diese Aufteilung wird heute noch für Kreise verwendet.

Bogenmaß Definition – ein paar einleitende Worte

Du wirst hier direkt zu Beginn mit der Definition konfrontiert. Danach bleibt Dir frei, ob Du zu den Umrechnungen weiter unten springst oder Du Dir die Erklärung durchliest, woher die Definition überhaupt kommt.

Radiant als Verhältnis von Kreisbogen zu Radius – Bogenmaß Formel

Jeder Winkel definiert einen Kreisbogen s in einem Kreis mit Radius r (siehe etwa den rechten Teil der Abbildung 2). Der Winkel im Bogenmaß ist dann gegeben als

Bogenmaß Definition des Bogenmaßes StudySmarter

In Worten: Das Verhältnis aus einem von einem Winkel aufgespannten Kreisbogen zum Radius des Kreises ergibt denselben Winkel, gemessen in Radiant.

Die Definition des Bogenmaßes enthält nur die beiden Größen Radius und Kreisbogen, die beide eine direkte Verbindung zu Kreisen besitzen.

In der Tat, auch wenn in der Definition der Radius vorkommt, so ist das Bogenmaß unabhängig vom Radius. Wie kann das sein? Wie kann etwas über den Radius definiert, aber gleichzeitig unabhängig vom Radius sein?

Ein Radiant – ein Winkel umgeben von Radien

Der erste Schritt ist das Verständnis eines Bogenmaßes von einem Radiant (1 rad). Dazu beginnst Du wieder mit einem Kreis.

Bogenmaß Konstruktion von einem Radiant StudySmarterAbbildung 4: Konstruktion von einem Radiant (1 rad) an einem beliebigen Kreis mit Radius r.

Die Konstruktion verläuft so ähnlich wie diejenige, die Du bei der Einführung von Pi und dem Einheitskreis gesehen hast. Dieses Mal wird aber nicht der Durchmesser verwendet, sondern der Radius des Kreises (siehe linken und mittleren Teil der Abbildung 4).

Das Szenario ist Dir ebenfalls aus dem vorherigen Abschnitt bekannt: Du wanderst entlang des Kreises und ein Beobachter befindet sich im Mittelpunkt.

Ein Radiant (1 rad) in einem beliebigen Kreis

Ein Radiant ist derjenige Winkel, um den sich eine Person im Mittelpunkt drehen muss, wenn Du entlang des Kreises eine Wanderung der Länge von einem Radius unternimmst (siehe rechten Teil der Abbildung 4).

Zwei Radiant sind dann entsprechend zwei Radien entlang des Kreises, drei Radiant sind drei Radien und so weiter. Wenn sich die Person in einem Kreis von 3 cm um einen Radiant gedreht hat, so bist Du genau 3 cm entlang des Kreises gewandert.

Aufgabe 1: Eine Wanderung entlang der Hälfte des Kreises

Um welchen Winkel im Bogenmaß muss sich die Person im Mittelpunkt drehen, wenn Du den Kreis zur Hälfte bewandert hast?

Lösung

Die Hälfte des Kreises entspricht einer Wanderung der Länge von genau Radien (der gesamte Umfang sind Radien). Also muss sich die Person im Mittelpunkt um genau Radiant drehen.

Das Problem mit der Skalierung

Die Strecke Deiner Wanderung entspricht einem Kreisbogen. Wie schon beim Einheitskreis gibt scheinbar der Kreisbogen vor, welcher Winkel im Bogenmaß vorliegt.

Wenn Du aber den Kreis allmählich vergrößerst, indem Du den Radius vergrößerst, so wird auch der entsprechende Kreisbogen größer. Dann müsste auch der Winkel im Bogenmaß größer werden. Abbildung 5 zeigt Dir jedoch, dass der Winkel von dieser Skalierung unberührt bleibt.

Bogenmaß Skalierung eines Kreises mit Kreisbogen um den Faktor 2 StudySmarterAbbildung 5: Skalierst Du den Radius eines Kreises, so ändern sich zwar die Längen, die Winkel bleiben davon aber unberührt.

Die Abhängigkeit von dieser Skalierung hätte noch ein weiteres Problem: Zum Beispiel wäre der Zusammenhang zwischen dem Vollwinkel im Gradmaß (360°) und dem Vollwinkel im Bogenmaß () nur für den Einheitskreis gültig.

Die Definition des Bogenmaßes

Der Kreisbogen allein reicht also für eine Definition des Bogenmaßes nicht aus. Die fehlende Zutat muss sicherstellen, dass durch Skalierung das Bogenmaß unverändert bleibt.

Die Verdopplung einer Größe kannst Du rückgängig machen, indem Du durch zwei teilst; eine Verdreifachung, indem Du durch drei teilst.

Skalierst Du allgemein eine Größe um den Faktor z, so kannst Du diese Skalierung annullieren, indem Du nach der Skalierung durch den Faktor z teilst.

Der Kreisbogen wurde verdoppelt, weil der Radius verdoppelt wurde. Mit der bisherigen Diskussion springt Dir die "richtige" Kombination aus Radius und Kreisbogen gewissermaßen ins Gesicht.

Radiant als Verhältnis von Kreisbogen zu Radius – Bogenmaß Formel

Jeder Winkel definiert einen Kreisbogen s in einem Kreis mit Radius r. Der Winkel im Bogenmaß ist dann gegeben als

Bogenmaß Definition Winkel Radiant StudySmarter

In Worten: Das Verhältnis aus einem von einem Winkel aufgespannten Kreisbogen zum Radius des Kreises ergibt denselben Winkel, gemessen in Radiant.

Wie bereits erwähnt, wird der Zusatz "rad" oft weggelassen. Dann sollte der Kontext sicherstellen, dass es zu keinen Missverständnissen kommt, welches Winkelmaß nun verwendet wird.

Zurück zum Einheitskreis

Du kannst überprüfen, ob diese Definition des Winkels im Bogenmaß mit der Betrachtung am Einheitskreis übereinstimmt.

Dafür nimmst Du die definierende Gleichung und setzt ein. Dadurch erhältst Du für den Winkel im Bogenmaß:

Genau dasselbe hattest Du auch zuvor. Der einzige Unterschied liegt in der Bezeichnung der Länge des Kreisbogens: Statt einem s wurde ein L verwendet.

Vollwinkel und rechter Winkel im Bogenmaß

Wie sieht es mit dem Vollwinkel und rechten Winkeln im Bogenmaß aus?

Vollwinkel im Bogenmaß

Der Vollwinkel spannt einen Kreisbogen auf, der einmal um den gesamten Kreis herum geht. Für einen allgemeinen Kreis mit Radius r hat der Kreisbogen damit eine Länge von genau .

Nach Definition beträgt der Vollwinkel im Bogenmaß daher

Ähnliches bekommst Du für rechte Winkel.

Rechter Winkel im Bogenmaß

Ein rechter Winkel spannt einen Kreisbogen auf, der nur zu einem Viertel entlang des Kreises geht. Also hat der Kreisbogen eine Länge von. Im Bogenmaß hat daher ein rechter Winkel den Wert

Sowohl für den Vollwinkel als auch für rechte Winkel erhältst Du wieder mit der definierenden Formel dieselben Werte wie zuvor.

Bogenmaß und Gradmaß umrechnen – Beispiele und Tabelle

Du kannst die 360° innerhalb eines Kreises auf unterschiedlichen Weisen aufteilen. Zu jeder solchen Aufteilung im Gradmaß gibt es eine entsprechende Aufteilung im Bogenmaß.

Um vom Gradmaß zum Bogenmaß zu wechseln, verwendest Du die Darstellung des Vollwinkels in zwei unterschiedlichen Winkelmaßen. Konkret gilt die Gleichheit

Nun kannst Du durch 360 teilen und erhältst:

Von Gradmaß zu Bogenmaß

Hast Du allgemein einen Winkel von x Grad, so bekommst Du denselben Winkel im Bogenmaß durch

Bogenmaß Umrechnung Gradmaß zu Bogenmaß StudySmarter

Teilst Du hingegen die Anfangsgleichung durch statt durch 360, so folgt:

Von Bogenmaß zu Gradmaß

Hast Du demnach einen Winkel von x Radiant gegeben, so kannst Du folgende Formel für die Umrechnung von Bogenmaß zu Gradmaß nutzen:

Bogenmaß Umrechnung Bogenmaß zu Gradmaß StudySmarter

Mit diesen Umrechnungsformeln bewaffnet, geht es im Folgenden um drei gängige Aufteilungen des Kreises: die Aufteilung in Schritten von 30°, 45° und 60°.

Schneller Umrechnungsweg von Bogenmaß zu Gradmaß – Übersicht

Die Aufteilung des Kreises in Schritten von 30° ist folgendermaßen zu verstehen: Du beginnst bei 0°; das ist beim Einheitskreis der Punkt (1, 0) (siehe auch Abbildung 6). Dann addierst Du schrittweise einen Winkel von 30°, bis Du einmal um den Kreis herum bist. Bei 30° sieht die Folge dann so aus:

Wenn Du die 360° erreicht hast, bist Du mit der Aufteilung des Kreises fertig. Genauso gehst Du bei den anderen beiden Winkeln vor, nur verwendest Du statt 30° eine Schrittweite von 45° bzw. 60°.

Jede solche Aufteilung im Gradmaß kannst Du in eine Aufteilung im Bogenmaß umwandeln.

30°-Aufteilung im Bogenmaß

Der Winkel von 30° im Bogenmaß ist

Damit hast Du eigentlich schon die gesamte Aufteilung. Wenn Du Dich zum Beispiel für 210° im Bogenmaß interessierst, kannst Du 210° in die Formel einsetzen oder Du erinnerst Dich daran, dass gilt. Daraus folgt direkt, dass

Manchmal kannst Du nach der Umrechnung kürzen. Das ist zum Beispiel bei 300° der Fall. Da gilt, bekommst Du

denn Du kannst einen Faktor von 2 kürzen.

In Abbildung 6 siehst Du die gesamte Aufteilung in Schritten von 30° gemeinsam mit den entsprechenden Angaben im Bogenmaß.

Bogenmaß Aufteilung des Einheitskreises in Schritten von 30° mit Angabe auch im Bogenmaß StudySmarterAbbildung 6: Die Aufteilung des Einheitskreises in Schritten von 30°, mit den entsprechenden Winkeln auch im Bogenmaß. Beachte, dass hier die Angabe "rad" fehlt.

45°- und 60°-Aufteilungen im Bogenmaß

Die Aufteilungen in Schritten von 60° und 45° verlaufen identisch. Zunächst bekommst Du für die "Schrittweiten" im Bogenmaß

und

Möchtest Du dann etwa 240° im Bogenmaß haben, so rechnest Du

Beim Winkel 315° hast Du hingegen

Abbildung 7 zeigt Dir die vollständigen Aufteilungen mit den entsprechenden Winkeln sowohl im Gradmaß als auch im Bogenmaß. Die fehlenden Winkel im Gradmaß, die hier nicht im Bogenmaß explizit umgerechnet wurden, kannst Du als Übung nachrechnen.

Bogenmaß Aufteilung des Einheitskreises in Schritten von 30° mit Angabe auch im Bogenmaß StudySmarterAbbildung 7: Die Aufteilung des Einheitskreises in Schritten von 60° (links) und 45° (rechts, mit jeweiligen Winkeln in Bogenmaß und Gradmaß

Alle drei Aufteilungen können auch in einer einzigen Tabelle dargestellt werden. Die gefärbten Punkte innerhalb der Klammer in der rechten Spalte sollen andeuten, zu welcher der drei Aufteilungen dieser Winkel gehört: blau zur 30°-Aufteilung, pink zur 60°-Aufteilung und türkis zur 45°-Aufteilung.

Winkel im Gradmaß

Winkel im Bogenmaß (Angabe in rad)

30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
210°
225°
240°
270°
300°
315°
330°
360°

Der Vollwinkel 360° wurde in den Abbildungen nicht dargestellt, da dieser mit dem Nullwinkel 0° übereinstimmt. Die grau hinterlegten Winkel sind diejenigen, bei denen es lohnenswert ist, sich diese gut zu merken.

Bogenmaß in Gradmaß – ein paar Beispiele

Zum Abschluss gibt es noch die andere Richtung: Du hast einen Winkel im Bogenmaß und möchtest diesen im Gradmaß berechnen.

Spezielle Winkel im Bogenmaß in Gradmaß umwandeln

Du hast die drei Winkel

und

im Bogenmaß. Um daraus Winkel im Gradmaß zu erhalten, verwendest Du die Formel

,

wobei Du für x den entsprechenden Winkel im Bogenmaß einsetzt. Für die drei gegebenen Winkeln erhältst Du entsprechend

,

und schließlich

Für die Variable x kannst Du jeden beliebigen Winkel im Bogenmaß einsetzen.

Ein paar beliebige Winkel im Bogenmaß in Gradmaß umwandeln

Betrachte die beiden Winkel

und

im Bogenmaß.

Vielleicht ist Dir auch aufgefallen, dass dieses Mal keine -Zeichen auftauchen. Insbesondere in solchen Fällen ist es wichtig, das Kürzel "rad" zu verwenden oder zu erwähnen, dass der Winkel im Bogenmaß angegeben wird.

Damit Du nun dieselben Winkel im Gradmaß erhältst, musst Du nur die Formel mit dem entsprechenden Wert von x verwenden. Wenn Du das machst, bekommst Du

und

Der letzte Winkel ist größer als 360°. Das ist an sich kein Problem. Du kannst aber einen Winkel von 360° abziehen, um denselben Winkel zu erhalten, der sich dann jedoch innerhalb des Bereiches von 0° bis 360° befindet.

Allgemein handelt es sich bei zwei unterschiedlichen Winkeln in Wirklichkeit um denselben Winkel, wenn sie sich um ein Vollwinkel (oder ein Vielfaches davon) unterscheiden. So sind zum Beispiel und dieselben Winkel im Bogenmaß, da ihre Differenz gerade der Vollwinkel im Bogenmaß ist.

In diesem Fall bekommst Du also

Die Umrechnung von Gradmaß zu Bogenmaß (oder umgekehrt) reduziert sich also im Wesentlichen auf das Einsetzen von Zahlen.

Bogenmaß berechnen – Aufgaben

Die Aufgaben spiegeln die zwei Umrechnungstypen wider: einmal die Umrechnung von Gradmaß zu Bogenmaß und einmal die Umrechnung von Bogenmaß zu Gradmaß.

Aufgabe 2 - Gradmaß zu Bogenmaß

Gegeben sind die beiden Winkel

und

Gebe diese Winkel im Bogenmaß wieder.

Lösung

Bei beiden Winkel nimmst Du die Formel zur Umrechnung von Gradmaß zu Bogenmaß

und ersetzt die Variable x mit den entsprechenden Werten der gegebenen Winkel. Dadurch bekommst Du

und

Aufgabe 3 - Bogenmaß zu Gradmaß

Du hast die beiden Winkel

und

gegeben. Bestimme diese Winkel im Gradmaß.

Lösung

Bei Umrechnungen zwischen Winkelmaße brauchst Du nur die entsprechende Umrechnungs-Formel zu nehmen und die Werte der gegebenen Winkel einzusetzen.

Die Formel für die Umrechnung von Bogenmaß zu Gradmaß ist

Das Einsetzen der gegebenen Werte liefert Dir dann

und

Bogenmaß – Das Wichtigste

  • Das Bogenmaß ist (neben dem Gradmaß) eine weitere Möglichkeit, Winkel anzugeben. Das Bogenmaß ist also ein Winkelmaß.
  • Die Einheit des Bogenmaßes ist der Radiant (abgekürzt mit rad).
  • Einen Winkel von einem Radiant kannst Du Dir dabei folgendermaßen vorstellen: Bewegst Du Dich entlang eines Kreises mit dem Radius r - beginnend beim Punkt (r, 0) - und legst eine Strecke mit der Länge von einem Radius zurück, so muss sich ein Beobachter im Mittelpunkt um einen Winkel von genau einem Radiant drehen, um deine Bewegung zu verfolgen.
  • Der Winkel im Bogenmaß ist im Allgemeinen wie folgt definiert: Jeder Winkel erzeugt in einem Kreis von Radius r einen ganz bestimmten Kreisbogen s, der sogenannte vom Winkel aufgespannte Kreisbogen. Das Verhältnis aus Kreisbogen s zu Radius r, also , gibt Dir den Winkel im Bogenmaß.
  • Wichtige Winkel im Grad- und Bogenmaß sind:
  • Allgemein kannst Du aus einem Winkel x im Gradmaß, denselben Winkel im Bogenmaß erhalten, indem Du rechnest:
  • Und umgekehrt, vom Bogenmaß zum Gradmaß:

Häufig gestellte Fragen zum Thema Bogenmaß

Du brauchst dafür den Winkel im Gradmaß. Ist das der Fall, so nimmst Du diese Zahl, multiplizierst sie mit π (Pi) und dividierst das Ergebnis durch 180. Das Ergebnis ist derselbe Winkel, aber im Bogenmaß.

Stelle Dir den Einheitskreis vor. Nun zeichne einen Strahl beginnend beim Mittelpunkt des Kreises, der einen bestimmten Winkel zur x-Achse hat. Dieser Strahl wird den Einheitskreis in genau einem Punkt schneiden. Die Länge des Kreisbogens vom Punkt (1, 0) zu diesem Schnittpunkt entspricht gerade dem Winkel im Bogenmaß.

Das Bogenmaß wird hauptsächlich dann verwendet, wenn Du trigonometrische Funktionen untersuchst, da wichtige Eigenschaften der Funktionen (wie etwa ihre Ableitungen) nur gültig sind, wenn Du das Bogenmaß verwendest. Abgesehen davon, wirst Du (in den meisten Fällen) darauf hingewiesen, ob nun der Winkel in Gradmaß oder Bogenmaß angegeben werden soll.

Sagen wir, Du hast einen Winkel x im Gradmaß. Um diesen Winkel nun im Bogenmaß anzugeben, multiplizierst Du zunächst x mit π (Pi) und dividierst das Ergebnis dann durch 180.

Beginnst Du umgekehrt mit einem Winkel y im Bogenmaß, so multiplizierst Du zuerst mit 180 und dividierst dann durch π (Pi). Das Ergebnis ist derselbe Winkel y, aber im Gradmaß. 

Finales Bogenmaß Quiz

Frage

Was ist das Besondere am Einheitskreis?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Einheitskreis ist der Kreis mit einem Radius von 1. Die Längeneinheit spielt hierbei keine Rolle: Wenn Du zum Beispiel Zentimeter hast, dann hat der Einheitskreis einen Radius von 1 cm.

Frage anzeigen

Frage

Wie lautet die Einheit des Bogenmaßes?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Einheit des Bogenmaßes ist der Radiant. Angegeben wird die Einheit durch das Kürzel "rad".

Frage anzeigen
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