Gradmaß und Bogenmaß

Bist Du bereit für einen guten Mathematik-Witz?

Ein Mathematiker befindet sich in einem kalten Zimmer. Wo genau im Zimmer stellt er sich hin?

In eine Ecke. Da sind nämlich \(90^\circ\).

Zugegeben, so gut ist der Witz nun doch nicht. Die Ecke hat zwar \(90^\circ\) als Winkel, aber dort wird es vermutlich genauso kalt sein.

Eine Person, die sich genauer mit der Mathematik auskennt, wird den Witz aus einem weiteren Grund schlecht finden: Sie würde nicht von \(90^\circ\) reden, sondern von \(\frac{\pi}{2}\). Das ist derselbe Winkel, allerdings in einem anderen Maß angegeben.

Doch woher kommen diese Angaben „Grad“ und \(\pi\) und was haben sie miteinander zu tun?

Gradmaß und Bogenmaß – Wiederholung der Grundlagen

Das \(\pi\) taucht oft in der Verbindung mit Kreisen auf. Tatsächlich spielt ein besonderer Kreis hier eine Rolle. Der sogenannte Einheitskreis wird in der Mathematik gerade im Zusammenhang mit Winkeln genutzt. Wie er mit Pi zusammenhängt, erfährst Du jetzt.

Zunächst solltest Du Dir ansehen, was genau der Einheitskreis überhaupt ist.

Legst Du diesen Kreis mit einer Schnur und rollst sie aus, wirst Du sehen, dass sie genau \(2 \pi\) lang ist, also ungefähr \(\text{6,28}\). Der Einheitskreis hat also einen Umfang von \(2 \pi\).

Abbildung 1: Einheitskreis

Gradmaß und Bogenmaß – Definition & Unterschied

Zurück zu den \(90^\circ\) und \(\pi\) – wofür genau stehen sie jetzt und welchen Zusammenhang haben sie?

Um den genauen Zusammenhang zu verstehen, sieh Dir die folgende Abbildung an.

Dargestellt ist ein Winkel im Einheitskreis. Das Gradmaß beschreibt hier den Winkel \(\alpha\) in Grad, das Bogenmaß \(x\) ist die entsprechende Länge des Bogens, die der Teil des Kreises hat, der zum entsprechenden Winkel gehört.

Wie Du siehst, hat der Winkel \(\alpha=90^\circ\) das Bogenmaß \(\frac{\pi}{2}\), da er genau ein Viertel des gesamten Kreises mit \(2\pi\) einnimmt. Auf gleiche Weise können andere Winkel sowohl im Gradmaß, als auch im Bogenmaß dargestellt werden.

Doch wie kannst Du vorgehen, wenn Du einen Winkel wie \(\frac{3\pi}{2}\) gegeben hast und ihn in Gradmaß umrechnen sollst, oder einen Winkel wie \(66^\circ\) ins Bogenmaß?

Gradmaß und Bogenmaß berechnen – Formel

Für die Umrechnung vom Gradmaß ins Bogenmaß und umgekehrt gibt es bestimmte Formeln, die Dir ersparen, alle Winkel in einen Einheitskreis einzeichnen zu müssen.

Gradmaß in Bogenmaß umrechnen

Hast Du einen Winkel im Gradmaß gegeben, sieht dieser stets so aus, dass ein Grad-Zeichen (\(^\circ\)) auf eine Zahl folgt. Das Gradmaß besitzt also die Einheit Grad.

Möchtest Du diesen Winkel ins Bogenmaß umrechnen, kann schnell eine Formel dafür hergeleitet werden.

Du weißt bereits, dass ein Kreis mit Vollwinkel \(360^\circ\) ein Bogenmaß von genau \(2\pi\) hat, also

\[360^\circ=2\pi.\]

Wenn Du nun auf beiden Seiten durch die

\(360^\circ\) teilst, weißt Du, welchem Bogenmaß genau \(1^\circ\) im Gradmaß entspricht:

\[1^\circ=\frac{2\pi}{360^\circ}=\frac{\pi}{180^\circ}.\] Um nun für jeden beliebigen Winkel im Gradmaß den entsprechenden Winkel im Bogenmaß zu erhalten, müssen also beide Seiten der Gleichung mit dem entsprechenden Winkel \(\alpha\) multipliziert werden. Als Formel für das Bogenmaß ergibt sich entsprechend Folgendes:

Als Beispiel kannst Du direkt einmal versuchen, den Winkel \(\alpha=66^\circ\) in Bogenmaß umzurechnen.

Bogenmaß in Gradmaß umrechnen

Umgekehrt kann ebenfalls eine Formel genutzt werden, um Winkel von Bogenmaß in Gradmaß umzurechnen. Dazu wird obige Formel nach \(x\) umgestellt.

Die Einheit des Bogenmaßes ist der Radiant (rad). Du kannst also hinter das Bogenmaß noch die Einheit schreiben, z. B. \(\frac{3\pi}{2}\) rad.

Auch hier folgt wieder ein Beispiel zur Berechnung bei gegebenem Bogenmaß.

Du kannst nun also beide Winkelmaße mithilfe der Formeln ineinander umrechnen.

Gradmaß und Bogenmaß – Tabelle

Damit Du nicht für jeden Winkel die Formeln für die Umrechnung zwischen Gradmaß und Bogenmaß benutzen musst, findest Du hier eine Tabelle mit besonderen Winkelgrößen, die häufiger für Berechnungen benötigt werden.

Gradmaß und Bogenmaß – Aufgaben

Hier hast Du die Möglichkeit, zu überprüfen, ob Du das Gelernte zum Gradmaß und Bogenmaß auch anwenden kannst.