Volumen Kugel

Dein Volleyball ist mal wieder platt? Um schnell weiterspielen zu können, pumpen dein Freund und du den Ball wieder auf. Dabei fragt ihr euch, wie viel Luft eigentlich in so einen Ball passt.

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Volumen Kugel, Motivation Beachvolleyball, StudySmarterAbbildung 1: BeachvolleyballQuelle: pixabay.com

    Mathematisch betrachtet wird hier nach dem Volumen des Balls gefragt. Um das Volumen des Balls berechnen zu können, musst du wissen, wie man das Volumen einer Kugel berechnet. Und wie das geht, lernst du in diesem Artikel!

    Außerdem zeigen wir dir verschiedene Aufgaben, die mit dem Kugelvolumen zusammenhängen.

    Volumen Kugel Grundlagen

    Bevor wir zum Volumen der Kugel kommen, wiederholen wir zunächst einige wichtige mathematische Grundlagen, die du für das Kugelvolumen und seine Herleitung kennen musst.

    Wiederholung: Die Kugel

    Die Kugel ist eine der klassischen geometrischen Körper. Wenn du einen Kreis um seinen Durchmesser drehst, erhältst du eine Kugel.

    Eine Kugel K sind alle Punkte, die von einem gegebenen Punkt, dem Mittelpunkt M der Kugel, einen Abstand haben, der kleiner oder gleich dem Radius der Kugel ist.

    Volumen Kugel, Darstellung Kugel, StudySmarterAbbildung 2: Darstellung einer Kugel

    Alle Punkte der Kugeloberfläche haben genau den Abstand r zum Mittelpunkt der Kugel.

    Wiederholung: Das Volumen eines Körpers

    Klassischerweise wird von geometrischen Körpern das Volumen bestimmt.

    Als Volumen eines Körpers bezeichnet man dessen räumlichen Inhalt bzw. dessen Fassungsvermögen.

    Das Volumen ist sozusagen das dreidimensionale Pendant zum zweidimensionalen Flächeninhalt einer Figur.

    Anschaulich ist das Volumen eines Körpers die Menge an Flüssigkeit, die man in den hohlen Körper schütten kann, ohne dass er überläuft.

    Wiederholung: Die Kreiszahl π

    Die Kreiszahl π ist eine irrationale Zahl, die für Berechnungen in Kreisen und Kugeln eine wichtige Rolle spielt.

    Die Kreiszahl π beschreibt den Zusammenhang des Umfangs eines Kreises mit seinem Durchmesser. Für jeden beliebigen Kreis gilt.

    π=UmfangDurchmesser

    Die Zahl π lautet ausgeschrieben 3,1415926535… Wegen ihrer unzähligen Nachkommastellen kann man die Zahl nur sehr umständlich genau aufschreiben. Im Schulkontext wird π meist auf 3,14 gerundet.

    Bekannte Formeln, in denen π vorkommt, sind die folgenden:

    • UKreis=d·π=2·r·π
    • AKreis=r2·π

    Eine weitere wichtige Formel, in der π vorkommt, lernst du in diesem Artikel kennen. In unserem Artikel zur Kreiszahl Pi kannst du noch mehr Informationen über diese spannende Zahl und ihre Geschichte nachlesen.

    Wiederholung: Das Prinzip von Cavalieri

    Das Prinzip von Cavalieri ist ein wichtiger Satz aus der Geometrie zur Berechnung von Volumina verschiedener Körper.

    Prinzip von Cavalieri

    Wenn zwei Körper zwei gleich große Grundflächen besitzen und jede Ebene, die zur Ebene der Grundflächen parallel ist, bei beiden Körpern gleich große Schnittflächen erzeugt, dann haben die beiden Körper das gleiche Volumen.

    Volumen Kugel, Wiederholung Prinzip von Cavalieri, StudySmarterAbbildung 3: Das Prinzip von Cavalieri

    Volumen Kugel Herleitung

    Die folgende Herleitung geht auf den berühmten Astronomen und Mathematiker Galileo Galilei zurück. Sie wirkt eventuell auf den ersten Blick ein wenig komplex, ist aber mit Schulwissen und ein wenig Geduld gut verständlich.

    Galileo Galilei wurde Mitte des 16. Jahrhunderts in Italien geboren. Bekannt ist er in erster Linie für seine Begründung des heliozentrischen Weltbilds. Ihm sind außerdem zahlreiche Entdeckungen in Physik, Mathematik, Optik und Astronomie zu verdanken.

    Seine Idee war es, einen zweiten Körper zu finden, dessen Volumen, dem der Kugel entspricht, weil das sich leichter berechnen lässt.

    Seine Gedankenschritte und die daraus resultierende Herleitung des Kugelvolumens sind in der folgenden Tabelle dargestellt:

    SchrittBeschreibungVeranschaulichung(Abbildungen 4 - 14)
    ZielVolumen der Kugel mit Radius r bestimmen

    Volumen Kugel, Herleitung. StudySmarter

    Idee Du nimmst zwei Körper (Halbkugel und ausgebohrter Zylinder). Die Schnittflächen (mit parallelen Ebenen zur Grundfläche) werden verglichen und es wird gezeigt, dass sie für jede Höhe gleich groß sind.Mit dem Prinzip von Cavalieri wird dann gefolgert, dass die beiden Körper das gleiche Volumen haben.Mithilfe des Volumens des ausgebohrten Zylinders wird das Volumen der Halbkugel und damit das Volumen der Kugel berechnet.

    Volumen Kugel, Herleitung, StudySmarter

    Schritt 1: AusgangsfigurBetrachte zunächst den Zylinder, dessen Höhe dem Radius r der Kugel entspricht. Aus diesem Zylinder wird nun ein Kegelstumpf mit Höhe r und Radius der Grundfläche r herausgeschnitten, wie du im Bild erkennst.

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    Schritt 2: Schnittfläche erstellenDie hellgrün gefärbte Fläche rechts im Bild entsteht, indem man eine parallele Ebene zur Grundfläche des Zylinders mit dem Zylinder ohne Kegelstumpf schneidet.

    Volumen Kugel, Herleitung, StudySmarter

    Schritt 3: Schnittfläche des Kreisrings berechnenBerechne nun den Flächeninhalt der hellgrün gefärbten Fläche rechts im Bild.Dazu subtrahierst du den Flächeninhalt des Kegelschnitts auf dieser Höhe vom Flächeninhalt der Zylindergrundfläche.FZylindergrundfläche=r2·πFKegelschnitt=h2·π (siehe Erklärung)FKreisring=FZylindergrundfläche-FKegelschnitt=r2·π-h2·π=(r2-h2)·π

    Volumen Kugel, Herleitung, StudySmarter

    Erklärung zu Schritt 3Für jede beliebige Höhe h des Kegelschnitts gilt, dass der zugehörige Schnittkreis den Radius h hat.Betrachte dazu den Kegel von vorne in zweidimensionaler Perspektive. Dadurch, dass Radius und Höhe des Kegels jeweils r betragen, entsteht ein gleichseitiges Dreieck. Auch durch Verkleinerung des Dreiecks bleibt das Verhältnis von Höhe und Radius Schnittkreis bei 1:1.

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    Schritt 4: Schnittfläche des Kugelschnitts berechnenJetzt muss noch der Flächeninhalt des Schnittkreises der Halbkugel berechnet werden.FKugelschnitt=rk2·π=r2-h2·π(siehe Erklärung)

    Volumen Kugel, Herleitung, StudySmarter

    Erklärung zu Schritt 4Für jede beliebige Höhe h des Kugelschnitts gilt, dass der zugehörige Schnittkreis den Radius r2-h2 hat.Betrachte dazu die Halbkugel von vorne in zweidimensionaler Perspektive.Der Radius der Schnittkugel (hier in orange) kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden.rk2+h2=r2rk2=r2-h2rk=r2-h2

    Volumen Kugel, Herleitung, StudySmarter

    Schritt 5: Prinzip von Cavalieri Es gilt:FKreisring=r2-h2·πFKugelschnitt=r2-h2·πDie beiden Körper haben damit dieselbe Grundfläche (Zylindergrundfläche) und auf jeder Höhe eine gleich große Schnittfläche Vausgebohrter Kreiszylinder=VHalbkugel

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    Schritt 6: Berechnung Volumen ausgebohrter KreiszylinderVKreiszylinder=G·h=r2·π·h=r2·π·r=r3·hVKegel=13·G·h=13·r2·π·h=13·r3·πVausgebohrter Zylinder=VKreiszylinder-VKegel=r3·h-13·r3·h=23·r3·h

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    Schritt 7: Folgerung KugelvolumenMit dem Satz von Cavalieri folgt darausVHalbkugel=23·r3·πDamit folgt für das Kugelvolumendata-custom-editor="chemistry" VKugel=2·VHalbkugel=2·23·r3·π=43r3·π

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    Diese Tabelle musst du dir eventuell mehrmals durchlesen, bis dir das Prinzip klar wird. Aber es lohnt sich! Außerdem ist es doch auch nicht schlecht, bei einer Formel, die man auswendig lernen muss, zu wissen, wo sie herkommt.

    Da jetzt klar ist, wo die Formel herkommt, machen wir uns an die Berechnung des Volumens!

    Volumen Kugel Berechnung

    Aus der Herleitung oben ergibt sich also die Formel für das Kugelvolumen.

    Das Volumen einer Kugel mit Radius r berechnet sich durch:

    VKugel=43·r3·π

    Beachte, dass das Kugelvolumen als Volumeneinheit immer eine Einheit hoch drei, also eine kubische Einheit hat. Mögliche Einheiten von Kugelvolumen sind beispielsweisecm3, dm3oderm3. Man spricht die Einheiten Kubikzentimeter, Kubikdezimeter und Kubikmeter. Falls dein Ergebnis eine falsche Einheit hat, solltest du deine Rechnung noch einmal überprüfen.

    Aufgabe 1

    Eine Kugel hat den Radius r=5 cm. Berechne das Volumen der Kugel.

    Lösung

    Die Formel für das Kugelvolumen lautet

    VKugel=43·r3·π

    Für die Berechnung wird der Radius r in die Formel eingesetzt

    VKugel=43·r3·π=43·5 cm3·π=43·125 cm3·π=524 cm3

    In manchen Aufgaben ist statt dem Radius der Kugel ihr Durchmesser angegeben.

    Weil in der Formel für das Kugelvolumen der Radius der Kugel vorkommt, muss aus dem Durchmesser der Kugel der Radius berechnet werden. Dies ist ganz einfach, weil der Radius der Kugel ja dem halben Durchmesser der Kugel entspricht.

    Volumen Kugel, Zusammenhang Radius Durchmesser, StudySmarterAbbildung 15: Zusammenhang zwischen Durchmesser d und Radius r einer Kugel

    Aufgabe 2

    Eine gegebene Kugel hat einen Durchmesser von 4 m. Berechne ihr Volumen.

    Lösung

    Aus dem Kugeldurchmesser von 4 m folgt, dass die Kugel einen Radius von 2 m hat.

    Daher berechnet sich das Kugelvolumen durch

    VKugel=43·r3·π=43·2 m2·π=43·8 m3·π=33,5 m3

    Volumen Kugel – Aufgaben

    Über die obigen Standardaufgaben hinaus gibt es noch weitere, wichtige Übungsaufgaben zu dem Thema Volumen einer Kugel.

    Berechnung des Radius mithilfe des Volumens

    Bei manchen Aufgaben ist bei gegebenem Kugelvolumen nach dem Radius der Kugel gefragt. Dazu muss die Volumenformel passend umgestellt werden:

    VKugel=43·r3·π=4·π3·r3r3=VKugel·34·π=3·VKugel4·πr = 3·VKugel4·π3

    Um einen Bruch auf die andere Seite einer Gleichung zu bringen, multiplizierst du die gesamte Gleichung mit dem Kehrbruch.In der obigen Gleichung wird mit dem Kehrbruch von 4·π3, also mit 34·π, multipliziert.

    Mit Variablen sieht eine Rechnung oft komplizierter aus als sie ist, deswegen auch hierzu ein kurzes Beispiel.

    Aufgabe 3

    Von einer Kugel ist bekannt, dass ihr Volumen4,2 m3beträgt. Welchen Radius hat die Kugel?

    Lösung

    Für diese Rechnung muss die Volumenformel entsprechend nach dem Radius umgestellt werden.

    VKugel=43·r3·π=4·π3·r3r3=VKugel·34·π=3·VKugel4·πr = 3·VKugel4·π3

    Nun kann in diese Formel, das gegebene Volumen eingesetzt werden.

    r=3·VKugel4·π3=3·4,2 m34·π3=12,6 m34·π3=1,0 m

    Der Radius der Kugel mit dem Volumen von 4,2 m3beträgt damit 1 m.

    Berechnung von flüssigem Volumen

    Manchmal wird Volumen auch in l oder ml angegeben. Hier siehst du eine hilfreiche Tabelle zur Orientierung und zur Umrechnung von klassischen Volumeneinheiten in Milliliter und Liter.

    Volumen (in m3 etc.)Volumen (in l etc.)
    1 dm31 l
    1 cm3 1 ml

    Mit diesem neuen Wissen kehren wir jetzt zurück zur Einstiegsfrage mit dem Volleyball.

    Aufgabe 4

    Ein klassischer Beachvolleyball hat einen Durchmesser von 20 cm. Wie viel Luft passt in einen Volleyball? Gib das Volumen in Litern oder Millilitern an.

    Volumen Kugel, Beachvolleyball, StudySmarterAbbildung 16: BeachvolleyballQuelle: pixabay.com

    Lösung

    Da nur der Durchmesser des Volleyballs angegeben ist, muss zunächst der Radius bestimmt werden.

    r=d2=20 cm2=10 cm

    Anschließend kann mit der klassischen Formel das Volumen des Volleyballs berechnet werden.

    VVolleyball=43·r3·π=43·(10 cm)3·π=43·1000 cm3·π=4188,8 cm3=4,2 dm3

    Wie der obigen Tabelle entnommen werden kann, entspricht1 dm3einem Liter. Daher kann das Volumen des Volleyballs alternativ mit 4,2 l angegeben werden.

    Rechnungen mit der Dichte

    Im Zusammenhang mit dem Volumen von Körpern wird auch oft von der Dichte gesprochen.

    Die physikalische Dichte beschreibt den Zusammenhang von Volumen und Gewicht eines Körpers. Je höher die Dichte, desto schwerer ist ein Körper pro Volumeneinheit.

    Die Dichteρeines Objektes mit Masse m und Volumen V berechnet sich durch:

    ρ=mV

    Die Aufgaben zur Dichte sind nicht sonderlich kompliziert. Meistens muss zunächst das Volumen eines Körpers berechnet werden. Mithilfe der angegebenen Dichte des Körpers wird anschließend sein Gewicht berechnet.

    Für die Berechnung der Masse bei gegebenem Volumen und Dichte muss die Formel entsprechend umgestellt werden.

    ρ=mVm=ρ·V

    Aufgabe 5

    Für eine Kugel soll überprüft werden, ob sie tatsächlich aus Silber ist. Sie hat einen Radius von 1 cm. Von Silber weiß man, dass es eine Dichte von10,49 gcm3hat. Wie schwer müsste die Kugel sein, wenn sie aus echtem Silber ist?

    Volumen Kugel Kugel aus Silber StudySmarterAbbildung 17: Kugel aus SilberQuelle: pixabay.com

    Lösung

    Zunächst berechnest du wie üblich das Volumen der Kugel.

    VKugel=43·r3·π=43·(1 cm)3·π=43 cm3·π=4,2 cm3

    Für die Berechnung der Masse wird nun die Formel der Dichte benötigt, die du noch passend nach der Masse umstellen musst.

    ρ=mVm=ρ·V

    Einsetzen der gegebenen Werte liefert nun:

    m=ρ·V=10,49 gcm3·4,2 cm3=44,1 g

    Wenn die Kugel aus Silber ist, müsste sie also 44,1 g wiegen.

    Veränderung des Kugelradius

    Viele klassische Übungsaufgaben beinhalten die Fragestellung, wie sich eine Änderung des Radius der Kugel auf das Volumen der Kugel auswirkt.

    Aufgabe 6

    Eine Kugel hat den Radiusr=1 m. Nun wird der Radius der Kugel verdoppelt. Wie verändert sich daraufhin das Volumen der Kugel?

    Lösung

    Berechne zunächst das Volumen der ursprünglichen Kugel.

    V1. Kugel=43·r3·π=43·1 m3·π=43·π m3

    Durch die Verdoppelung des Kugelradius hat die zweite Kugel einen Radius von 2 m. Berechne nun das Volumen der zweiten Kugel.

    V2. Kugel=43·r3·π=43·(2 m)3·π=43·8 m3·π=8·43·π m3

    Gerade bei Aufgaben dieser Art, aber generell im Zusammenhang mit der Kreiszahl π, ist es sinnvoll, das π zunächst stehenzulassen und nicht direkt mit 3,14 etc. zu ersetzen. Hier kürzt sich das π durch die anschließende Division weg. Wird vorher gerundet, wird das Ergebnis weniger genau und es können Rundungsfehler entstehen.

    Um die Veränderung des Volumens zu berechnen, müssen die beiden Volumen dividiert werden.

    V2. KugelV1. Kugel=8·43·π m343·π m3=8

    Dies bedeutet, dass sich durch die Verdoppelung des Radius das Volumen der Kugel verachtfacht hat.

    Die Aufgabe 6 gibt es auch in einer allgemeineren Form. Die Rechnung wird dadurch ein wenig komplexer, aber die Aufgabe ist super für das tiefe Verständnis des Themas!

    Aufgabe 7

    Wie wirkt sich eine Ver-x-fachung des Kugelradius auf das Volumen der Kugel aus?

    Lösung

    Wie in Aufgabe 4 wird zunächst das Volumen der ersten Kugel (Kugel mit Radius r) berechnet. Da der Radius nicht gegeben ist, wird er variabel mit r bezeichnet.

    VKugel mit Radius r=43·r3·π

    Nun wird der Radius der Kugel ver-x-facht. Mathematisch ausgedrückt bedeutet das, dass der Radius der zweiten Kugelx·rbeträgt.

    Das Kugelvolumen berechnet sich entsprechend durch:

    VKugel mit ver-x-fachtem Radius=43·(x·r)3·π=43·x3·r3·π

    Um die Veränderung des Volumens zu berechnen, wird wieder dividiert:

    VKugel mit ver-x-fachtem RadiusVKugel mit Radius r=43·x3·r3·π43·r3·π=x3

    Dies zeigt, dass eine Ver-x-fachung des Radius dazu führt, dass sich das Volumen der Kugel ver-x3-facht.

    Volumen Kugel - Das Wichtigste

    • Eine Kugel ist das dreidimensionale Pendant zum Kreis
    • Das Volumen einer Kugel berechnet sich durch VKugel=43·r3·π
    • Die Einheit des Kugelvolumens ist immer in der Form: Längeneinheit3
    • Über ein gegebenes Kugelvolumen kann durch Umstellen der Formel auch der Radius der Kugel berechnet werden
    • Eine Ver-x-fachung des Radius ergibt eine Ver-x3-fachung des Kugelvolumens
    Häufig gestellte Fragen zum Thema Volumen Kugel

    Wie berechnet man das Volumen einer Kugel?

    Das Volumen einer Kugel berechnet man, indem man die entsprechende Formel verwendet. Dabei wird der Radius der Kugel hoch drei genommen und anschließend mit 4/3 und der Kreiszahl π multipliziert.

    Wie kommt man vom Volumen einer Kugel auf den Radius?

    Um vom Volumen einer Kugel auf den Radius zu kommen, muss die Formel für das Kugelvolumen entsprechend umgestellt werden. Dabei wird zunächst auf beiden Seiten der Gleichung mit dem Kehrbruch multipliziert und dann die dritte Wurzel gezogen.

    Wie berechnet man das Volumen einer halben Kugel?

    Das Volumen einer halben Kugel berechnet man, indem man zunächst das Volumen der Kugel berechnet und anschließend halbiert. Dies funktioniert, weil das Volumen der halben Kugel genau dem halben Volumen der ganzen Kugel entspricht.Alternativ kann auch direkt der Radius der Kugel hoch drei genommen und mit 2/3 und der Kreiszahl π multipliziert werden.

    Wie verändert sich das Volumen einer Kugel, wenn man den Radius halbiert?

    Wenn man den Radius einer Kugel halbiert, muss statt dem ursprünglichen Radius der halbierte Radius in die Formel eingesetzt werden. Eine kurze Rechnung ergibt, dass durch die Halbierung des Radius das Volumen einer Kugel nur noch 1/8 des ursprünglichen Volumens beträgt. Die 1/8 ergibt sich dabei dadurch, dass 1/2 hoch drei genommen wird.

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