Ortskurve: Erklärung, bestimmen & berechnen

Q: Was ist eine Ortskurve in der Mathematik?

Eine Ortskurve ist eine Menge von Punkten, die auf einer Kurve liegen und eine bestimmte Bedingung erfüllen. Sie wird dabei auch oft Ortslinie genannt.

Inhaltsangabe

Ortskurve – Wiederholung der Grundlagen

Ortskurven sind sowohl in der Geometrie als auch in der Analysis ein wichtiger Begriff. Deshalb werden hier Grundlagen aus beiden Bereichen, die für den Begriff der Ortskurve bedeutsam sind, kurz wiederholt.

Geometrischer Ort – Definition

Ein geometrischer Ort ist eine Teilmenge der Ebene oder des Raums, die gewisse Bedingungen erfüllt. Die Ebene beziehungsweise der Raum besteht aus mathematischer Sicht einfach aus ganz vielen Punkten.

Ein geometrischer Ort ist eine Menge von Punkten, die eine bestimmte geometrische Eigenschaft erfüllen.

Eine Eigenschaft kann dabei etwa sein, dass ein geometrischer Ort einen bestimmten Abstand zu etwas hat.

Funktionsschar – Definition

Neben dem Bereich der Geometrie tritt der Begriff Ortskurve auch in der Analysis auf, nämlich bei den Funktionsscharen. Eine Funktionsschar ist eine Funktion, die zusätzlich zur Funktionsvariablen (meist ist das x) noch einen weiteren Parameter enthält.

Ein Funktionsterm, der zusätzlich zur Funktionsvariablen noch mindestens einen weiteren Parameter (z. B. k) enthält, definiert mehrere Funktionen gleichzeitig. Die Menge dieser Funktionen wird als Funktionsschar, Kurvenschar oder Funktionenschar bezeichnet.

Alles Wichtige zu Funktionsscharen findest Du in der Erklärung Funktionsschar.

Ortskurve – Erklärung

Was genau eine Ortskurve ist und welche Ortskurven oder Ortslinien es gibt, erfährst Du in diesem Kapitel.

Ortskurve – Definition

Du weißt nun wieder, was ein geometrischer Ort ist. Eine Ortskurve ist eine spezielle Form des geometrischen Orts.

Wenn alle Punkte, die auf einer Kurve liegen, eine bestimmte Bedingung erfüllen, die alle anderen Punkte nicht erfüllen, so heißt die Kurve Ortskurve dieser Punkte. Sie wird oft auch Ortslinie genannt.

Wenn die Punkte eine Fläche bilden, wird der geometrische Ort Ortsbereich genannt.

Ortskurven können dabei verschiedene Formen haben. Ein paar wichtige Beispiele lernst Du in den folgenden Unterkapiteln kennen.

Ein geometrischer Ort kann zum Beispiel auch aus nur einem Punkt bestehen, während eine Ortskurve aus unendlich vielen Punkten besteht, die auf einer Linie liegen.

Ortslinie Kreis

Die Kreislinie bildet eine Ortslinie bzw. Ortskurve. Doch welche Bedingung erfüllt die Kreislinie?

Die Kreislinie ist die Ortskurve aller Punkte, die von einem Punkt die gleiche Entfernung haben.

In der Mathematik wird es so ausgedrückt: $k (M; r) = \{P | \bar{P M} = r\}$ .

Ist also ein Punkt M gegeben, so ist der Kreis k um den Mittelpunkt M mit Radius r die Ortskurve von M. Der Kreis besteht demnach aus allen Punkten P, bei denen die Strecke $\bar{P M}$ die Länge r besitzt.

Ortskurve Kreislinie StudySmarter Abbildung 1: Ortskurve Kreislinie

Andere wichtige Ortskurven

Zusätzlich zu der Kreislinie gibt es noch andere wichtige geometrische Ortskurven bzw. Ortslinien.

Ortskurve Parallelenpaar

Das Parallelenpaar $(p_{1}, p_{2})$ bildet die Ortskurve der Punkte, die den gleichen Abstand

zu einer Geraden m haben.

Ortskurve Parallelenpaar StudySmarter Abbildung 2: Ortskurve Parallelenpaar

Ortskurve Mittelsenkrechte

Die Mittelsenkrechte m zur Strecke $\bar{A B}$ ist die Ortskurve aller Punkte, die von zwei Punkten A und B die gleiche Entfernung haben.

Ortskurve Mittelsenkrechte StudySmarter Abbildung 3: Ortskurve Mittelsenkrechte

Ortskurve Winkelhalbierende

Die Winkelhalbierende w bildet die Ortskurve aller Punkte, die von den beiden Schenkeln den gleichen Abstand haben.

Ortskurve Winkelhalbierende StudySmarter Abbildung 6: Ortskurve Winkelhalbierende

Ortkurve Mittelparallele

Die Mittelparallele m zweier paralleler Geraden g und h ist die Ortskurve aller Punkte, die denselben Abstand zu den beiden Geraden haben.

Ortskurve Mittelparallele StudySmarter Abbildung 5: Ortskurve Mittelparallele

Außerdem ist die Mittelparallele m die Ortskurve aller Mittelpunkte von Kreisen, die die parallelen Geraden g und h berühren, sie aber nicht schneiden.

Ortskurve Mittelparallele StudySmarter Abbildung 6: Ortskurve Mittelparallele

Alle diese Ortskurven besitzen eigene Erklärungen, die Du Dir ansehen kannst. Schau dazu unter den Erklärungen Parallelenpaar, Mittelsenkrechte, Winkelhalbierende und Mittelparallele.

Geometrische Örter, die keine Ortskurven sind

Ja, es heißt tatsächlich „geometrische Örter“ im Plural. Doch welche davon sind keine Ortskurven?

Es gibt einige geometrische Örter, die keine Ortskurven sind. Ein paar davon lernst Du hier in Kurzform kennen.

Der Umkreis- und Inkreismittelpunkt eines Dreiecks sind geometrische Örter, die aus nur einem Punkt bestehen.
- Der Mittelpunkt $M_{1}$ des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Dreiecks. Sein Radius ist der Abstand vom Mittelpunkt zu jeder der Seiten.
- Der Mittelpunkt $M_{2}$ des Umkreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten. Sein Radius ist der Abstand vom Mittelpunkt zu jedem der Eckpunkte.

Ortskurve Inkreis Dreieck StudySmarter Abbildung 7: Inkreis Dreieck Ortskurve Umkreis Dreieck StudySmarter Abbildung 8: Umkreis Dreieck

Der geometrische Ort aller Punkte, deren Abstand vom Punkt M kleiner ist als eine feste Zahl r ist eine offene Kreisscheibe um M mit Radius r. Dabei bedeutet offen, dass die Kreislinie nicht mit dazu gehört. Hier handelt es sich also um einen Ortsbereich.
Genau so gibt es noch andere Ortsbereiche, etwa den Bereich, in dem alle Punkte liegen, deren Abstand zu einer Gerade größer als eine feste Zahl $a$ ist. Sie liegen dann außerhalb des Parallelenpaars, mit Abstand $a$ .

Sieh Dir zum letzten Punkt gerne die Erklärung Parallelenpaar an.

Ortskurve Funktionsschar berechnen & bestimmen

Du kannst in der Analysis die Ortskurve von bestimmten Punkten einer Funktionsschar bestimmen. Diese Punkte können z. B. Extrempunkte, Scheitelpunkte, Wendepunkte oder Ähnliches sein. Dabei sollst Du meist eine Funktionsgleichung angeben. Wie das geht, erfährst Du hier.

Ortskurve aufstellen – Anleitung

Wie Du die Funktionsgleichung für eine Ortskurve einer gegebenen Funktionenschar aufstellst, erfährst Du in folgender Schritt-für-Schritt-Anleitung.

Gegeben ist also eine Funktionenschar in Abhängigkeit von einem Parameter. Dieser heißt hier k.

Zuerst bestimmst Du die gesuchten Punkte in Abhängigkeit vom Parameter k.
Dann stellst Du zwei Gleichungen auf, indem Du die in Schritt 1. gefundene x-Koordinate mit x gleichsetzt sowie die y-Koordinate mit y.
Als Nächstes löst Du die erste der Gleichungen nach k auf und setzt diese in die zweite Gleichung für k ein.
Die Gleichung, die Du dann erhältst, ist die gesuchte Ortslinie. Es ist möglich, dass Du sie noch ordnen oder vereinfachen kannst.

Damit Du Dir besser vorstellen kannst, wie das Ganze konkret funktioniert, findest Du nachfolgend ein Beispiel dazu.

Ortskurve der Hochpunkte & Tiefpunkte aufstellen

Anhand der Ortskurve der Extrempunkte einer bestimmten Funktionenschar wird hier das Vorgehen am Beispiel erläutert.

Gesucht ist die Ortskurve der Extrempunkte der folgenden Funktionenschar:

$f_{k} (x) = \frac{1}{2} x^{2} + k x$ .

In folgender Tabelle kannst Du das Vorgehen anhand des Beispiels verfolgen.

Vorgehen	Beispiel
1. Die gesuchten Punkte in Abhängigkeit vom Parameter k bestimmen.	Die Extrempunkte der Funktionenschar befinden sich in den Punkten $E_{k} (- k \| - \frac{1}{2} k^{2})$ .
2. Mit den Koordinaten zwei Gleichungen für x und y aufstellen.	Du setzt jetzt $x = - k y = - \frac{1}{2} k^{2}$
3. Erste Gleichung nach k auflösen und diese in die zweite Gleichung für k einsetzen.	Du erhältst zunächst die Gleichung $k = - x$ und setzt diese für k in y ein: $y = \frac{1}{2} {(- x)}^{2}$ .
4. Die Gleichung gegebenenfalls vereinfachen.	Vereinfacht erhältst Du folgende Funktionsgleichung für die Ortskurve: $y = - \frac{1}{2} x^{2}$

Wie oben schon erwähnt, kannst Du die Ortskurve auch für Wendepunkte, Scheitelpunkte und ähnliche Punkte einer Funktionenschar bestimmen. Dies funktioniert exakt wie in der Tabelle beschrieben, nur dass Du in Punkt 1. entsprechend die gesuchten Punkte (z. B. die Wendepunkte) berechnest.

Ein weiteres Beispiel dazu findest Du in der Aufgabe 3. Dort kannst Du ausprobieren, ob Du das Prinzip verstanden hast und Dir dann die Lösungen dazu ansehen.

Ortskurve zeichnen

In manchen Aufgaben sollst Du Ortskurven zeichnen. Die Anleitungen für die Konstruktionen der hier genannten Ortskurven bzw. Ortslinien findest Du unter folgenden Erklärungen:

Wie Du eine Kreislinie mit gewissem Radius und Mittelpunkt konstruierst, findest Du in der Erklärung zum Kreis.
Wie Du Inkreise und Umkreise konstruierst, findest Du in den Erklärungen Inkreis Dreieck konstruieren und Umkreis Dreieck.
Die Anleitung für die Konstruktion eines Parallelenpaars findest Du unter der Erklärung zum Parallelenpaar.
Ebenfalls in der Erklärung zum Parallelenpaar findest Du eine kleine Beschreibung dazu, wie Du eine Mittelsenkrechte konstruierst.
Wie Du Winkelhalbierende konstruierst, erfährst Du in der Erklärung Winkelhalbierende
Die Konstruktion der Mittelparallele wird Dir in der Erklärung zur Mittelparallele gezeigt.

In Kurvendiskussionen von Funktionenscharen kann es ebenfalls vorkommen, dass Du die Ortskurve zeichnen sollst. Wenn Du eine Funktionsgleichung als Ortskurve gegeben oder berechnet hast, kannst Du in der Erklärung Graphen zeichnen nachsehen, wie Du diese Funktion einzeichnest. Nachfolgend findest Du die Ortskurve des obigen Beispiels.

Die Ortskurve der Extrempunkte der Funktionenschar

f_{k} (x) = \frac{1}{2} x^{2} + k x

hat den Funktionsterm

- \frac{1}{2} x^{2}

Auf der folgenden Abbildung siehst Du beispielhaft drei Kurven der Funktionenschar (k=2, k=0, k=-3) sowie die Ortskurve der Extrempunkte eingezeichnet. Die Extrempunkte der jeweiligen Funktionenscharen liegen auf der Ortskurve.

Ortskurve Ortskurve der Extrema der Funktionenschar StudySmarter Abbildung 9: Ortskurve der Extrema der Funktionenschar

Ortskurve Aufgaben

Hier findest Du nun Aufgaben zum Zeichnen und Berechnen von Ortskurven, mit denen Du üben kannst.

Aufgabe 1

Zeichne zwei beliebige Punkte A und B in Dein Heft. Konstruiere die Ortskurve aller Punkte, die den gleichen Abstand zu beiden Punkten haben.

Lösung

Für die Konstruktion dieser Ortskurve konstruierst Du die Mittelsenkrechte m zur Strecke $\bar{A B}$ . Das könnte ungefähr so aussehen:

Ortskurve Lösung Aufgabe 1 StudySmarter Abbildung 10: Lösung Aufgabe 1

Aufgabe 2

Bestimme die Ortskurve der Wendepunkte für die Funktionenschar $f_{k} (x) = 2 x^{3} + k x^{2}$ .

Lösung

Am besten gehst Du hier wie oben in der Tabelle vor.

Schritt 1

Zunächst bestimmst Du die Wendepunkte der Funktionenschar. Wie das allgemein geht, erfährst Du in der Erklärung Wendepunkt berechnen.

Zuerst werden dazu die erste bis dritte Ableitung bestimmt:

$\begin{array}{rcl} f_{k} (x) & = & 2 x^{3} + k x^{2} \\ f_{k}' (x) & = & 6 x^{2} + 2 k x \\ f_{k}'' (x) & = & 12 x + 2 k \\ f_{k}''' (x) & = & 12 \end{array}$

Dann wird das notwendige Kriterium geprüft:

$\begin{array}{rcl} f_{k}'' (x) & = & 0 \\ 12 x + 2 k & = & 0 \end{array}$

Hier ergibt sich die Lösung $x = \frac{k}{6}$ .

Als Nächstes überprüfst Du die hinreichende Bedingung:

$f_{k}''' (\frac{k}{6}) = 12 \neq 0$

Das bedeutet, dass an der Stelle $x = \frac{k}{6}$ die Wendepunkte der Funktionenschar liegen.

Du setzt diesen Wert dann für x in $f_{k} (x)$ ein und erhältst

\begin{array}{rcl} f_{k} (\frac{k}{6}) & = & 2 {(\frac{k}{6})}^{3} + k {(\frac{k}{6})}^{2} \\ = & \frac{2 k^{3}}{216} + \frac{k^{3}}{36} \\ = & \frac{k^{3}}{108} + \frac{3 k^{3}}{108} \\ = & \frac{4 k^{3}}{108} \\ = & \frac{k^{3}}{27} \end{array}

Deine Wendepunkte sind also $W_{k} (\frac{k}{6} \frac{k^{3}}{27})$ .

Schritt 2

Nun bildest Du die beiden Gleichungen

$x = \frac{k}{6} y = \frac{k^{3}}{27}$ .

Schritt 3

Dann stellst Du die erste Gleichung nach k um und setzt diese in y ein:

$\begin{array}{rcl} k & = & 6 x \\ y & = & \frac{{(6 x)}^{3}}{27} \end{array}$

Schritt 4

Am Ende vereinfachst Du die Gleichung noch zu

$\begin{array}{rcl} y & = & \frac{{(6 x)}^{3}}{27} \\ y & = & 8 x^{3} \end{array}$

Das ist dann die fertige Funktionsgleichung zur Ortskurve aller Wendepunkte der Funktionenschar.

Aufgabe 3

Zeichne ein beliebiges Dreieck. Konstruiere einen Kreis, der alle drei Seiten berührt.

Lösung

Dieser Kreis bildet den Inkreis des Dreiecks. Der Mittelpunkt M des Kreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden. Zuerst zeichnest Du also die Winkelhalbierenden ein, dann fällst Du ein Lot auf eine der Seiten zum Mittelpunkt M. Die Länge des Lots ist dann Dein Radius, mit dem Du den Kreis um M zeichnen kannst. Das kann dann wie folgt aussehen:

Ortskurve Aufgabe 3 Lösung StudySmarter Abbildung 11: Lösung Aufgabe 3

Ortskurve – Das Wichtigste

Wenn alle Punkte, die auf einer Linie liegen, eine bestimmte Bedingung erfüllen, die alle anderen Punkte nicht erfüllen, so heißt die Linie Ortskurve oder Ortslinie dieser Punkte.
Die Kreislinie ist die Ortskurve aller Punkte, die von einem Punkt die gleiche Entfernung haben. Die mathematische Definition lautet $k (M; r) = \{P | \bar{P M} = r\}$ .
Das Parallelenpaar bildet die Ortskurven der Punkte, die den gleichen Abstand
zu einer Geraden haben.
Die Mittelsenkrechte ist die Ortskurve aller Punkte, die von zwei Punkten die gleiche Entfernung haben.
Die Winkelhalbierende bildet die Ortskurve aller Punkte, die von den beiden Schenkeln den gleichen Abstand haben.
Die Mittelparallele zweier paralleler Geraden ist die Ortskurve aller Punkte, die denselben Abstand zu den beiden Geraden haben. Zudem ist die Mittelparallele die Menge aller Mittelpunkte von Kreisen, die die parallele Gerade berühren, sie aber nicht schneiden.
Inkreis und Umkreis im Dreieck sind geometrische Örter:
- Der Mittelpunkt $M_{1}$ des Inkreises ist der Schnittpunkt der Winkelhalbierenden des Dreiecks. Er bildet einen geometrischen Ort, da er den gleichen Abstand zu allen Dreiecksseiten hat.
- Der Mittelpunkt $M_{2}$ des Umkreises ist der Schnittpunkt der Mittelsenkrechten der Dreiecksseiten. Dieser ist ein geometrischer Ort mit gleichem Abstand zu allen Ecken.
Eine Ortskurve zu gegebener Funktionenschar berechnest Du wie folgt:
1. Gesuchte Punkte in Abhängigkeit von k bestimmen.
2. Zwei Gleichungen aufstellen, bei denen x gleich der x-Koordinate und y gleich der y-Koordinate der Punkte gesetzt wird.
3. Erste Gleichung nach k auflösen und in zweite Gleichung einsetzen.
4. Gleichung ggf. vereinfachen.

Nachweise

Fricke (2020). Mathematik verstehen Band 1: Von den Grundlagen bis zum Integral. BoD - Books on Demand.
Gernerth (1880). Grundlehren der ebenen Geometrie. 4. Aufl. Carl Gerold's Sohn.

Karteikarten in Ortskurve 9

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Nenne einen anderen Namen für den Begriff Ortskurve.

Eine Ortskurve wird auch Ortslinie genannt.

Erkläre den Unterschied zwischen einem geometrischen Ort und einer Ortskurve.

Ein geometrischer Ort ist eine Menge von Punkten, die eine bestimmte Eigenschaft erfüllen. Dabei kann es sich auch um nur einen einzelnen Punkt handeln. Die Ortskurve ist dabei ein spezieller geometrischer Ort. Sie besteht aus unendlich vielen Punkten, die auf einer Linie oder Kurve liegen.

Benenne, wie ein geometrischer Ort genannt wird, bei dem die Punkte eine Fläche bilden.

Ein geometrischer Ort, dessen Punkte eine Fläche bilden, wird Ortsbereich genannt.

Bewerte die folgende Aussage:

Eine Ortslinie ist immer eine Gerade.

Das ist falsch, eine Ortslinie kann auch eine Kurve, Kreislinie oder Ähnliches sein.

Entscheide, welches der folgenden geometrischen Objekte benötigt wird, um die Ortskurve aller Punkte zu konstruieren, die den gleichen Abstand zu einer Gerade besitzen.

Winkelhalbierende

Gib an, welche geometrischen Örter am Dreieck zu finden sind.

Am Dreieck kannst Du den Mittelpunkt des Inkreises und den Mittelpunkt des Umkreises finden. Der Mittelpunkt des Inkreises ist der geometrische Ort des Punktes, der von allen Seiten des Dreiecks den gleichen Abstand hat. Der Mittelpunkt des Umkreises ist der geometrische Ort des Punktes, der den gleichen Abstand von den Ecken des Dreiecks besitzt.

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Häufig gestellte Fragen zum Thema Ortskurve

Was ist eine Ortskurve in der Mathematik?

Eine Ortskurve ist eine Menge von Punkten, die auf einer Kurve liegen und eine bestimmte Bedingung erfüllen. Sie wird dabei auch oft Ortslinie genannt.

Was bringt die Ortskurve?

Die Ortskurve kann Dir Auskunft darüber geben, wo alle Extrempunkte, Wendepunkte, Scheitelpunkte etc. einer Funktionsschar liegen.

Welche Ortskurven gibt es?

Es gibt viele verschiedene Ortskurven. Die bekanntesten Ortskurven sind dabei die Ortskurven von bestimmten Punkten (Extrema, Wendepunkte etc.) einer Funktionsschar sowie die Kreislinie, das Parallelenpaar, die Mittelsenkrechte, die Winkelhalbierende und die Mittelparallele.

Wie macht man eine Ortskurve?

Die Ortskurve bestimmter Punkte einer Funktionsschar kannst Du wie folgt aufstellen:

Gesuchte Punkte in Abhängigkeit des Parameters bestimmen.
Zwei Gleichungen aufstellen, bei denen x gleich der x-Koordinate und y gleich der y-Koordinate der Punkte gesetzt wird.
Erste Gleichung nach k auflösen und in zweite Gleichung einsetzen.
Gleichung ggf. vereinfachen.

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