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Stell dir vor, du bist mit deinen Freund*innen in Berlin und ihr wollt euch verschiedene Sehenswürdigkeiten anschauen.
Auf dem Stadtplan sucht ihr euch für den heutigen Tag den Dom, das Pergamonmuseum und den Fernsehturm aus. Euer Hostel ist direkt in der Nähe des Fernsehturms.
Nun möchtet ihr wissen, wie weit es ist, vom Fernsehturm über den Dom zum Pergamonmuseum und wieder zurück zum Fernsehturm zu laufen.
Abbildung 1: Berliner Sehenswürdigkeiten
Dies ist eine typische Fragestellung, bei der es um den Umfang des Dreiecks geht.
Bevor es an die Berechnung geht, werden kurz wichtige inhaltliche Aspekte wiederholt.
Man kann ein Dreieck folgendermaßen definieren:
Ein Dreieck ist eine geometrische Figur, die aus drei Punkten (die nicht auf einer Linie liegen) und ihren Verbindungsstrecken besteht.
Abbildung 2: Klassisches Dreieck
Von allen geometrischen Figuren kann man den Umfang bestimmen. Doch was ist das genau?
Der Umfang einer Figur ist die Länge ihrer Randlinie.
Von der Idee her kannst du also eine Schnur entlang aller Randlinien der Figur legen. Wenn du die Schnur abschneidest und ihre Länge misst, entspricht sie dem Umfang der Figur.
Hier siehst du beispielsweise einen Kreis um den Punkt M und seine Randlinie l in abgewickelter Form. Die Länge der Strecke l entspricht dabei dem Umfang des Kreises.
Abbildung 3: Randlinie l des Kreises um M in abgewickelter Form
Wie beim Kreis musst du eine Möglichkeit finden, die Länge der Randlinie des Dreiecks zu berechnen. Die Vorgehensweise ist eigentlich relativ klar.
Sieh dir dazu noch einmal das Dreieck von oben an. Wie lässt sich die Länge der Randlinie bestimmen?
Abbildung 4: Klassisches Dreieck
Dazu musst du einfach die Längen der drei Seiten addieren. Von der Vorstellung her drehst du die Dreiecksseiten passend und legst sie hintereinander, sodass eine neue Strecke entsteht.
Abbildung 5: Umfang eines Dreiecks als Strecke
Der Umfang eines Dreiecks mit den Seitenlängen a, b und c ergibt sich durch:
Aufgrund des Kommutativgesetz ist es egal, in welcher Reihenfolge du die Seitenlängen addierst.
Gegeben ist folgendes Dreieck. Berechne seinen Umfang.
Abbildung 6: Dreieck zu Aufgabe 1
Die Umfangsformel für das Dreieck lautet:
Setzt du die gegebenen Werte ein, ergibt das:
Die Idee der Umfangsberechnung ist bei allen Dreiecken gleich. Für einzelne Dreieckstypen vereinfacht sich allerdings aufgrund der Eigenschaften die Rechnung.
Die Besonderheit des gleichseitigen Dreiecks ist es, dass alle Seiten gleich lang sind. In jedem gleichseitigen Dreieck hat außerdem jeder der drei Innenwinkel genau 60°:
Abbildung 7: Gleichseitiges Dreieck
Der Umfang eines gleichseitigen Dreiecks ergibt sich durch:
Berechne den Umfang des gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge.
Mit der Formel für gleichseitige Dreiecke gilt:
Beim gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang und die beiden Basiswinkel gleich groß.
Abbildung 8: Gleichschenkliges Dreieck
Der Umfang des gleichschenkligen Dreiecks ergibt sich durch:
Berechne den Umfang des gegebenen gleichschenkligen Dreiecks:
Abbildung 9: Dreieck zu Aufgabe 3
Mit der Formel berechnet man leicht:
Abbildung 10: Rechtwinkliges Dreieck
Die Berechnung des Umfangs funktioniert wie beim allgemeinen Dreieck. Oft fehlen bei der Umfangsberechnung des rechtwinkligen Dreiecks Seitenangaben. Diese können dann mithilfe von Sinus und Kosinus berechnet werden.
Wie das geht, kannst du auch nochmal im Artikel "Sinus, Kosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck" nachlesen.
Berechne den Umfang des rechtwinkligen Dreiecks:
Abbildung 11: Dreieck zu Aufgabe 4
Zur Berechnung des Umfangs fehlt die Seitenlänge a.
Wegen der Rechtwinkligkeit des Dreiecks gilt:
Daher gilt:
Für den Umfang des Dreiecks gilt somit:
Nun soll noch die Einstiegsaufgabe der Berliner Sehenswürdigkeiten gelöst werden:
Ausgehend von einem Stadtplan möchtest du herausfinden, wie weit es für dich und deine Freund*innen ist, wenn ihr von eurem Hostel in der Nähe vom Fernsehturm über den Dom und das Pergamonmuseum wieder zum Fernsehturm lauft:
Abbildung 12: Berliner SehenswürdigkeitenQuelle: googlemaps
Für diese Fragestellung musst du dir ein Hilfsdreieck in deinen Stadtplan einzeichnen. Der Umfang dieses Dreiecks entspricht der gesamten Strecke. Um die Gesamtstrecke zu ermitteln, musst du also die drei Seitenlängen des Dreiecks addieren:
Abbildung 13: Hilfsdreieck Berliner SehenswürdigkeitenQuelle: googlemaps
Mit dem angegebenen Maßstab gilt:
Der Umfang des Dreiecks/die Wegstrecke beträgt damit:
Natürlich erhält man auf diese Weise nur eine sehr grobe Schätzung. In der Regel sind die Wege durch die vorgegebene Straßenführung weiter als der direkte Weg per Luftlinie.
Der Weg für dich und deine Freund*innen vom Fernsehturm über die beiden Sehenswürdigkeiten zurück zum Fernsehturm beträgt vermutlich circa 2 km.
Man kann den Umfang bei fehlender Seitenlänge nur berechnen, wenn das Dreieck rechtwinklig ist und ein spitzer Innenwinkel gegeben ist. Mit Sinus und Kosinus kann dann die fehlende Seitenlänge berechnet werden, die benötigt wird, um auch den Umfang zu ermitteln.
Den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet man genau wie den Umfang jedes gewöhnlichen Dreiecks mit den Seitenlängen a, b und c mithilfe der Formel U=a+b+c. Ist eine Seitenlänge des Dreiecks nicht gegeben, muss diese mit Sinus, Kosinus und einem gegebenen spitzen Innenwinkel berechnet werden.
Den Umfang von einem gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge a berechnet man mit der Formel U=a+a+a=3•a. Dies funktioniert, weil die drei Seiten des gleichseitigen Dreiecks alle gleich lang sind.
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