Stell Dir vor, Du bist mit Deinen Freund*innen in Berlin und ihr möchtet Euch verschiedene Sehenswürdigkeiten anschauen.
Auf dem Stadtplan sucht ihr Euch für den heutigen Tag den Dom, das Pergamonmuseum und den Fernsehturm aus. Euer Hostel ist direkt in der Nähe des Fernsehturms.
Nun möchtet ihr wissen, wie weit es ist, vom Fernsehturm über den Dom zum Pergamonmuseum und wieder zurück zum Fernsehturm zu laufen.
Abb. 1 - Berliner Sehenswürdigkeiten
Dies ist eine typische Fragestellung, bei der es um den Umfang des Dreiecks geht.
Umfang Dreieck – Formel
Der Umfang eines Dreiecks ist die Länge der Randlinie der Figur. Um den Umfang zu berechnen, müssen alle drei Seiten \(a,\,b\,, c\,\) des Dreiecks aufaddiert werden.
\[U_{Dreieck}=a+b+c\]
Abb.2 - Umfang eines Dreiecks als Strecke.Umfang Dreieck – Berechnung & Herleitung
Der Umfang einer Figur ist die Länge der Randlinie. Sieh Dir dazu noch einmal das Dreieck in Abb. 3 an. Wie lässt sich die Länge der Randlinie bestimmen?
Abb. 3 - Dreieck mit den Seiten a, b, c.
Dazu musst Du einfach die Längen der drei Seiten addieren. Von der Vorstellung her drehst Du die Dreiecksseiten passend und legst sie hintereinander, sodass eine neue Strecke entsteht.
Abb. 4 - Umfang eines Dreiecks als Strecke.
Der Umfang eines Dreiecks mit den Seitenlängen a, b und c ergibt sich durch:
\[U_{Dreieck} = a+b+c\]
Aufgrund des Kommutativgesetz ist es egal, in welcher Reihenfolge Du die Seitenlängen addierst.
Aufgabe 1
Gegeben ist folgendes Dreieck. Berechne seinen Umfang.
Abb. 5 - Dreieck zu Aufgabe 1.
Lösung
Die Formel für den Umgang eines Dreiecks lautet:
\[U_{Dreieck} = a+b+c\]
Setzt Du die gegebenen Werte ein, ergibt das:
\[U_{Dreieck} = 2\,cm+4\,cm+5\,cm=11\,cm\]
Umfang Dreieck – Besondere Dreiecke
Die Idee der Umfangsberechnung ist bei allen Dreiecken gleich. Für einzelne Dreieckstypen vereinfacht sich allerdings aufgrund der Eigenschaften die Rechnung.
Umfang gleichseitiges Dreieck
Die Besonderheit des gleichseitigen Dreiecks ist es, dass alle Seiten gleich lang sind. In jedem gleichseitigen Dreieck hat außerdem jeder der drei Innenwinkel genau 60°:
Abb. 6 - Gleichseitiges Dreieck.
Der Umfang eines gleichseitigen Dreiecks ergibt sich durch:
\[U_{gleichseitig} = a+a+a=3\cdot a\]
Hier lässt sich die Berechnung vereinfachen, da alle drei Seiten gleich lang sind.
Aufgabe 2
Berechne den Umfang des gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge \(a=2\,m\).
Lösung
Mit der Formel für gleichseitige Dreiecke gilt:
\[U_{gleichseitig} = 3\cdot a=3\cdot 2\,m=6\,m\]
Umfang gleichschenkliges Dreieck
Beim gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang und die beiden Basiswinkel gleich groß.
Abb. 7 - Gleichschenkliges Dreieck.
Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei der drei Seiten gleich lang. Der Umfang des gleichschenkligen Dreiecks ergibt sich dann durch:
\[U_{gleichschenklig} = a+a+a=2\cdot a+c\]
Aufgabe 3
Berechne den Umfang des gegebenen gleichschenkligen Dreiecks:
Abb. 8 - Dreieck zu Aufgabe 3.
Lösung
Mit der Formel berechnet man:
\[U_{gleichschenklig} = 2\cdot a+c=2\cdot3\, cm + 5\, cm = 11\, cm\]
Umfang rechtwinkliges Dreieck
Abb. 9 - Rechtwinkliges Dreieck.
Um den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen, werden die drei Seitenlängen des Dreiecks benötigt. In typischen Aufgaben fehlt hier mindestens eine Seite. Je nachdem welche Information gegeben ist, lassen sich die Seitenlängen berechnen:
- Winkel gegeben \(\rightarrow\) Lösung mit trigonometrischen Funktionen also: Sinus, Kosinus, Tangens
- Flächeninhalt gegeben \(\rightarrow\) Lösung durch Auflösen der Formel für den Flächeninhalt nach einer Seite, z.B. \(A=\frac{1}{2}a\cdot b \rightarrow a = \frac{2\cdot A}{b}\)
- Zwei Seiten gegeben \(\rightarrow\) Auflösen des Satzes von Pythagoras nach einer Seite, z.B. \(a^2+b^2=c^2\rightarrow a^2=c^2-b^2 \Rightarrow a=\sqrt{c^2-b^2}\)
Wie das geht, kannst Du auch nochmal im Artikel "Sinus, Kosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck" nachlesen.
Aufgabe 4
Berechne den Umfang des rechtwinkligen Dreiecks:
Abb. 10 - Dreieck zu Aufgabe 4.
Lösung
Zur Berechnung des Umfangs fehlt die Seitenlänge a.
Wegen der Rechtwinkligkeit des Dreiecks gilt:
\[\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete zu }\alpha}{\text{Hypothenuse}}=\frac{a}{c} \Rightarrow a = \sin(\alpha)\cdot c\]
Daher gilt:
\[\alpha=\sin(53^\circ)\cdot 3\, cm=0{,}80\cdot 3\, cm=2{,}4\, cm\]
Für den Umfang des Dreiecks gilt somit:
\[U_{Dreieck}=a+b+c=2{,}4\,cm+1{,}5\,cm+3\,cm=6{,}9\,cm\]
Nun soll noch die Einstiegsaufgabe der Berliner Sehenswürdigkeiten gelöst werden:
Aufgabe 5
Ausgehend von einem Stadtplan möchtest Du herausfinden, wie weit es für Dich und Deine Freund*innen ist, wenn ihr von Eurem Hostel in der Nähe vom Fernsehturm über den Dom und das Pergamonmuseum wieder zum Fernsehturm lauft:
Abb. 11 - Berliner Sehenswürdigkeiten.
Lösung
Für diese Fragestellung musst Du Dir ein Hilfsdreieck in Deinen Stadtplan einzeichnen. Der Umfang dieses Dreiecks entspricht der gesamten Strecke. Um die Gesamtstrecke zu ermitteln, musst Du also die drei Seitenlängen des Dreiecks addieren:
Abb. 12 - Hilfsdreieck Berliner Sehenswürdigkeiten.
Mit dem angegebenen Maßstab gilt:
\[a=800\,m\;\,b=400\,m\,,\,c=600\,m\]
Der Umfang des Dreiecks/die Wegstrecke beträgt damit:
\[a+b+c=800\,m + 400\,m+600\,m=1800\,m=1{,}8\,km\]
Natürlich erhält man auf diese Weise nur eine sehr grobe Schätzung. In der Regel sind die Wege durch die vorgegebene Straßenführung weiter als der direkte Weg per Luftlinie.
Der Weg für dich und deine Freund*innen vom Fernsehturm über die beiden Sehenswürdigkeiten zurück zum Fernsehturm beträgt vermutlich circa 2 km.
Umfang Dreieck - Das Wichtigste
- Der Umfang einer Figur ist die Länge ihrer Randlinie.
- Der Umfang des Dreiecks ist die Summe der drei Seitenlängen.
- Allgemeine Formel: \(U_{Dreieck}=a+b+c\).
- Für spezielle Dreiecke vereinfacht sich die Formel zur Berechnung des Umfangs:
- \(U_{gleichseitig} = 3\cdot a\).
- \(U_{gleichschenklig}=2\cdot a +c\).
- Für die Berechnung des Umfangs von rechtwinkligen Dreiecken benötigt man häufig Sinus oder Kosinus, um eine fehlende Seitenlänge zu berechnen.
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