Select your language

Suggested languages for you:
Log In Anmelden
StudySmarter - Die all-in-one Lernapp.
4.8 • +11k Ratings
Mehr als 5 Millionen Downloads
Free
|
|

Die All-in-one Lernapp:

  • Karteikarten
  • NotizenNotes
  • ErklärungenExplanations
  • Lernpläne
  • Übungen
App nutzen

Umfang Dreieck

Save Speichern
Print Drucken
Edit Bearbeiten
Melde dich an und nutze alle Funktionen. Jetzt anmelden
Mathe

Stell dir vor, du bist mit deinen Freund*innen in Berlin und ihr wollt euch verschiedene Sehenswürdigkeiten anschauen.

Auf dem Stadtplan sucht ihr euch für den heutigen Tag den Dom, das Pergamonmuseum und den Fernsehturm aus. Euer Hostel ist direkt in der Nähe des Fernsehturms.

Nun möchtet ihr wissen, wie weit es ist, vom Fernsehturm über den Dom zum Pergamonmuseum und wieder zurück zum Fernsehturm zu laufen.

Umfang Dreieck Karte Berlin Beispiel Anwendung StudySmarterAbbildung 1: Berliner Sehenswürdigkeiten

Dies ist eine typische Fragestellung, bei der es um den Umfang des Dreiecks geht.

Umfang Dreieck

Bevor es an die Berechnung geht, werden kurz wichtige inhaltliche Aspekte wiederholt.

Wiederholung: Dreieck Definition

Man kann ein Dreieck folgendermaßen definieren:

Ein Dreieck ist eine geometrische Figur, die aus drei Punkten (die nicht auf einer Linie liegen) und ihren Verbindungsstrecken besteht.

Umfang Dreieck Beispiel StudySmarterAbbildung 2: Klassisches Dreieck

Wiederholung: Umfang Definition

Von allen geometrischen Figuren kann man den Umfang bestimmen. Doch was ist das genau?

Der Umfang einer Figur ist die Länge ihrer Randlinie.

Von der Idee her kannst du also eine Schnur entlang aller Randlinien der Figur legen. Wenn du die Schnur abschneidest und ihre Länge misst, entspricht sie dem Umfang der Figur.

Hier siehst du beispielsweise einen Kreis um den Punkt M und seine Randlinie l in abgewickelter Form. Die Länge der Strecke l entspricht dabei dem Umfang des Kreises.

Umfang Dreieck Randlinie Kreis Beispiel StudySmarterAbbildung 3: Randlinie l des Kreises um M in abgewickelter Form

Umfang Dreieck: Berechnung

Wie beim Kreis musst du eine Möglichkeit finden, die Länge der Randlinie des Dreiecks zu berechnen. Die Vorgehensweise ist eigentlich relativ klar.

Sieh dir dazu noch einmal das Dreieck von oben an. Wie lässt sich die Länge der Randlinie bestimmen?

Umfang Dreieck Beispiel StudySmarterAbbildung 4: Klassisches Dreieck

Dazu musst du einfach die Längen der drei Seiten addieren. Von der Vorstellung her drehst du die Dreiecksseiten passend und legst sie hintereinander, sodass eine neue Strecke entsteht.

Umfang Dreieck Skizze Erklärung Umfang Berechnung StudySmarterAbbildung 5: Umfang eines Dreiecks als Strecke

Der Umfang eines Dreiecks mit den Seitenlängen a, b und c ergibt sich durch:

Aufgrund des Kommutativgesetz ist es egal, in welcher Reihenfolge du die Seitenlängen addierst.

Aufgabe 1

Gegeben ist folgendes Dreieck. Berechne seinen Umfang.

Umfang Dreieck Aufgabe Berechnung StudySmarterAbbildung 6: Dreieck zu Aufgabe 1

Lösung

Die Umfangsformel für das Dreieck lautet:

Setzt du die gegebenen Werte ein, ergibt das:

Umfang Dreieck: Besondere Dreiecke

Die Idee der Umfangsberechnung ist bei allen Dreiecken gleich. Für einzelne Dreieckstypen vereinfacht sich allerdings aufgrund der Eigenschaften die Rechnung.

Umfang gleichseitiges Dreieck

Die Besonderheit des gleichseitigen Dreiecks ist es, dass alle Seiten gleich lang sind. In jedem gleichseitigen Dreieck hat außerdem jeder der drei Innenwinkel genau 60°:

Umfang Dreieck Gleichseitiges Dreieck Beispiel StudySmarterAbbildung 7: Gleichseitiges Dreieck

Der Umfang eines gleichseitigen Dreiecks ergibt sich durch:

Aufgabe 2

Berechne den Umfang des gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge.

Lösung

Mit der Formel für gleichseitige Dreiecke gilt:

Umfang gleichschenkliges Dreieck

Beim gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang und die beiden Basiswinkel gleich groß.

Umfang Dreieck Gleichschenkliges Dreieck Berechnung StudySmarterAbbildung 8: Gleichschenkliges Dreieck

Der Umfang des gleichschenkligen Dreiecks ergibt sich durch:

Aufgabe 3

Berechne den Umfang des gegebenen gleichschenkligen Dreiecks:

Umfang Dreieck Aufgabe Berechnung Umfang Gleichschenkliges Dreieck Berechnung StudySmarterAbbildung 9: Dreieck zu Aufgabe 3

Lösung

Mit der Formel berechnet man leicht:

Umfang rechtwinkliges Dreieck

Umfang Dreieck Rechtwinkliges Dreieck Umfang StudySmarterAbbildung 10: Rechtwinkliges Dreieck

Die Berechnung des Umfangs funktioniert wie beim allgemeinen Dreieck. Oft fehlen bei der Umfangsberechnung des rechtwinkligen Dreiecks Seitenangaben. Diese können dann mithilfe von Sinus und Kosinus berechnet werden.

Wie das geht, kannst du auch nochmal im Artikel "Sinus, Kosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck" nachlesen.

Aufgabe 4

Berechne den Umfang des rechtwinkligen Dreiecks:

Umfang Dreieck Aufgabe rechtwinkliges Dreieck StudySmarterAbbildung 11: Dreieck zu Aufgabe 4

Lösung

Zur Berechnung des Umfangs fehlt die Seitenlänge a.

Wegen der Rechtwinkligkeit des Dreiecks gilt:

Daher gilt:

Für den Umfang des Dreiecks gilt somit:

Nun soll noch die Einstiegsaufgabe der Berliner Sehenswürdigkeiten gelöst werden:

Aufgabe 5

Ausgehend von einem Stadtplan möchtest du herausfinden, wie weit es für dich und deine Freund*innen ist, wenn ihr von eurem Hostel in der Nähe vom Fernsehturm über den Dom und das Pergamonmuseum wieder zum Fernsehturm lauft:

Umfang Dreieck Karte Berlin Beispiel StudySmarterAbbildung 12: Berliner SehenswürdigkeitenQuelle: googlemaps

Lösung

Für diese Fragestellung musst du dir ein Hilfsdreieck in deinen Stadtplan einzeichnen. Der Umfang dieses Dreiecks entspricht der gesamten Strecke. Um die Gesamtstrecke zu ermitteln, musst du also die drei Seitenlängen des Dreiecks addieren:

Umfang Dreieck Karte Berlin Beispiel StudySmarterAbbildung 13: Hilfsdreieck Berliner SehenswürdigkeitenQuelle: googlemaps

Mit dem angegebenen Maßstab gilt:

Der Umfang des Dreiecks/die Wegstrecke beträgt damit:

Natürlich erhält man auf diese Weise nur eine sehr grobe Schätzung. In der Regel sind die Wege durch die vorgegebene Straßenführung weiter als der direkte Weg per Luftlinie.

Der Weg für dich und deine Freund*innen vom Fernsehturm über die beiden Sehenswürdigkeiten zurück zum Fernsehturm beträgt vermutlich circa 2 km.

Umfang Dreieck - Das Wichtigste

  • Der Umfang einer Figur ist die Länge ihrer Randlinie.
  • Der Umfang des Dreiecks ist die Summe der drei Seitenlängen.
  • Allgemeine Formel:.
  • Für spezielle Dreiecke vereinfacht sich die Formel zur Berechnung des Umfangs:
    • .
    • .
  • Für die Berechnung des Umfangs von rechtwinkligen Dreiecken benötigt man häufig Sinus oder Kosinus, um eine fehlende Seitenlänge zu berechnen.

Umfang Dreieck

Man kann den Umfang bei fehlender Seitenlänge nur berechnen, wenn das Dreieck rechtwinklig ist und ein spitzer Innenwinkel gegeben ist. Mit Sinus und Kosinus kann dann die fehlende Seitenlänge berechnet werden, die benötigt wird, um auch den Umfang zu ermitteln.

Den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet man genau wie den Umfang jedes gewöhnlichen Dreiecks mit den Seitenlängen a, b und c mithilfe der Formel U=a+b+c. Ist eine Seitenlänge des Dreiecks nicht gegeben, muss diese mit Sinus, Kosinus und einem gegebenen spitzen Innenwinkel berechnet werden.

Den Umfang von einem gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge a berechnet man mit der Formel U=a+a+a=3•a. Dies funktioniert, weil die drei Seiten des gleichseitigen Dreiecks alle gleich lang sind.

Finales Umfang Dreieck Quiz

Frage

Deine kleine Schwester fragt, was es mit dem Umfang einer Figur auf sich hat und wie man ihn ermitteln kann. Kannst du es ihr erklären?

Antwort anzeigen

Antwort

  • Im Allgemeinen ist der Umfang einer Figur die Länge ihrer 
    Randlinie. Man muss also die Längen der Strecken addieren, die die Figur nach außen hin begrenzen.
  • Beim Kreis ist der Umfang beispielsweise die Länge der 
    Kreislinie, beim Dreieck die Summe der drei Seitenlängen.
Frage anzeigen
60%

der Nutzer schaffen das Umfang Dreieck Quiz nicht! Kannst du es schaffen?

Quiz starten

Finde passende Lernmaterialien für deine Fächer

Alles was du für deinen Lernerfolg brauchst - in einer App!

Lernplan

Sei rechtzeitig vorbereitet für deine Prüfungen.

Quizzes

Teste dein Wissen mit spielerischen Quizzes.

Karteikarten

Erstelle und finde Karteikarten in Rekordzeit.

Notizen

Erstelle die schönsten Notizen schneller als je zuvor.

Lern-Sets

Hab all deine Lermaterialien an einem Ort.

Dokumente

Lade unzählige Dokumente hoch und habe sie immer dabei.

Lern Statistiken

Kenne deine Schwächen und Stärken.

Wöchentliche

Ziele Setze dir individuelle Ziele und sammle Punkte.

Smart Reminders

Nie wieder prokrastinieren mit unseren Lernerinnerungen.

Trophäen

Sammle Punkte und erreiche neue Levels beim Lernen.

Magic Marker

Lass dir Karteikarten automatisch erstellen.

Smartes Formatieren

Erstelle die schönsten Lernmaterialien mit unseren Vorlagen.

Melde dich an für Notizen & Bearbeitung. 100% for free.