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Umfang Dreieck

Stell Dir vor, Du bist mit Deinen Freund*innen in Berlin und ihr möchtet Euch verschiedene Sehenswürdigkeiten anschauen.

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Umfang Dreieck

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Stell Dir vor, Du bist mit Deinen Freund*innen in Berlin und ihr möchtet Euch verschiedene Sehenswürdigkeiten anschauen.

Auf dem Stadtplan sucht ihr Euch für den heutigen Tag den Dom, das Pergamonmuseum und den Fernsehturm aus. Euer Hostel ist direkt in der Nähe des Fernsehturms.

Nun möchtet ihr wissen, wie weit es ist, vom Fernsehturm über den Dom zum Pergamonmuseum und wieder zurück zum Fernsehturm zu laufen.

Umfang Dreieck Karte Berlin Beispiel Anwendung StudySmarterAbb. 1 - Berliner Sehenswürdigkeiten

Dies ist eine typische Fragestellung, bei der es um den Umfang des Dreiecks geht.

Umfang Dreieck – Formel

Der Umfang eines Dreiecks ist die Länge der Randlinie der Figur. Um den Umfang zu berechnen, müssen alle drei Seiten \(a,\,b\,, c\,\) des Dreiecks aufaddiert werden.

\[U_{Dreieck}=a+b+c\]

Umfang Dreieck Skizze Erklärung Umfang Berechnung StudySmarterAbb.2 - Umfang eines Dreiecks als Strecke.

Umfang Dreieck – Berechnung & Herleitung

Der Umfang einer Figur ist die Länge der Randlinie. Sieh Dir dazu noch einmal das Dreieck in Abb. 3 an. Wie lässt sich die Länge der Randlinie bestimmen?

Umfang Dreieck Beispiel StudySmarterAbb. 3 - Dreieck mit den Seiten a, b, c.

Dazu musst Du einfach die Längen der drei Seiten addieren. Von der Vorstellung her drehst Du die Dreiecksseiten passend und legst sie hintereinander, sodass eine neue Strecke entsteht.

Umfang Dreieck Skizze Erklärung Umfang Berechnung StudySmarterAbb. 4 - Umfang eines Dreiecks als Strecke.

Der Umfang eines Dreiecks mit den Seitenlängen a, b und c ergibt sich durch:

\[U_{Dreieck} = a+b+c\]

Aufgrund des Kommutativgesetz ist es egal, in welcher Reihenfolge Du die Seitenlängen addierst.

Aufgabe 1

Gegeben ist folgendes Dreieck. Berechne seinen Umfang.

Umfang Dreieck Aufgabe Berechnung StudySmarterAbb. 5 - Dreieck zu Aufgabe 1.

Lösung

Die Formel für den Umgang eines Dreiecks lautet:

\[U_{Dreieck} = a+b+c\]

Setzt Du die gegebenen Werte ein, ergibt das:

\[U_{Dreieck} = 2\,cm+4\,cm+5\,cm=11\,cm\]

Umfang Dreieck – Besondere Dreiecke

Die Idee der Umfangsberechnung ist bei allen Dreiecken gleich. Für einzelne Dreieckstypen vereinfacht sich allerdings aufgrund der Eigenschaften die Rechnung.

Umfang gleichseitiges Dreieck

Die Besonderheit des gleichseitigen Dreiecks ist es, dass alle Seiten gleich lang sind. In jedem gleichseitigen Dreieck hat außerdem jeder der drei Innenwinkel genau 60°:

Umfang Dreieck Gleichseitiges Dreieck Beispiel StudySmarterAbb. 6 - Gleichseitiges Dreieck.

Der Umfang eines gleichseitigen Dreiecks ergibt sich durch:

\[U_{gleichseitig} = a+a+a=3\cdot a\]

Hier lässt sich die Berechnung vereinfachen, da alle drei Seiten gleich lang sind.

Aufgabe 2

Berechne den Umfang des gleichseitigen Dreiecks mit Seitenlänge \(a=2\,m\).

Lösung

Mit der Formel für gleichseitige Dreiecke gilt:

\[U_{gleichseitig} = 3\cdot a=3\cdot 2\,m=6\,m\]

Umfang gleichschenkliges Dreieck

Beim gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten gleich lang und die beiden Basiswinkel gleich groß.

Umfang Dreieck Gleichschenkliges Dreieck Berechnung StudySmarterAbb. 7 - Gleichschenkliges Dreieck.

Bei einem gleichschenkligen Dreieck sind zwei der drei Seiten gleich lang. Der Umfang des gleichschenkligen Dreiecks ergibt sich dann durch:

\[U_{gleichschenklig} = a+a+a=2\cdot a+c\]

Aufgabe 3

Berechne den Umfang des gegebenen gleichschenkligen Dreiecks:

Umfang Dreieck Aufgabe Berechnung Umfang Gleichschenkliges Dreieck Berechnung StudySmarterAbb. 8 - Dreieck zu Aufgabe 3.

Lösung

Mit der Formel berechnet man:

\[U_{gleichschenklig} = 2\cdot a+c=2\cdot3\, cm + 5\, cm = 11\, cm\] Ugleichschenkliges Dreieck=2·a+c=2·3 cm+5 cm=11 cm

Umfang rechtwinkliges Dreieck

Umfang Dreieck Rechtwinkliges Dreieck Umfang StudySmarterAbb. 9 - Rechtwinkliges Dreieck.

Um den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks zu berechnen, werden die drei Seitenlängen des Dreiecks benötigt. In typischen Aufgaben fehlt hier mindestens eine Seite. Je nachdem welche Information gegeben ist, lassen sich die Seitenlängen berechnen:

  • Winkel gegeben \(\rightarrow\) Lösung mit trigonometrischen Funktionen also: Sinus, Kosinus, Tangens
  • Flächeninhalt gegeben \(\rightarrow\) Lösung durch Auflösen der Formel für den Flächeninhalt nach einer Seite, z.B. \(A=\frac{1}{2}a\cdot b \rightarrow a = \frac{2\cdot A}{b}\)
  • Zwei Seiten gegeben \(\rightarrow\) Auflösen des Satzes von Pythagoras nach einer Seite, z.B. \(a^2+b^2=c^2\rightarrow a^2=c^2-b^2 \Rightarrow a=\sqrt{c^2-b^2}\)

Wie das geht, kannst Du auch nochmal im Artikel "Sinus, Kosinus und Tangens am rechtwinkligen Dreieck" nachlesen.

Aufgabe 4

Berechne den Umfang des rechtwinkligen Dreiecks:

Umfang Dreieck Aufgabe rechtwinkliges Dreieck StudySmarterAbb. 10 - Dreieck zu Aufgabe 4.

Lösung

Zur Berechnung des Umfangs fehlt die Seitenlänge a.

Wegen der Rechtwinkligkeit des Dreiecks gilt:

\[\sin(\alpha) = \frac{\text{Gegenkathete zu }\alpha}{\text{Hypothenuse}}=\frac{a}{c} \Rightarrow a = \sin(\alpha)\cdot c\]

Daher gilt:

\[\alpha=\sin(53^\circ)\cdot 3\, cm=0{,}80\cdot 3\, cm=2{,}4\, cm\]

Für den Umfang des Dreiecks gilt somit:

\[U_{Dreieck}=a+b+c=2{,}4\,cm+1{,}5\,cm+3\,cm=6{,}9\,cm\]

Nun soll noch die Einstiegsaufgabe der Berliner Sehenswürdigkeiten gelöst werden:

Aufgabe 5

Ausgehend von einem Stadtplan möchtest Du herausfinden, wie weit es für Dich und Deine Freund*innen ist, wenn ihr von Eurem Hostel in der Nähe vom Fernsehturm über den Dom und das Pergamonmuseum wieder zum Fernsehturm lauft:

Umfang Dreieck Karte Berlin Beispiel Anwendung StudySmarterAbb. 11 - Berliner Sehenswürdigkeiten.

Lösung

Für diese Fragestellung musst Du Dir ein Hilfsdreieck in Deinen Stadtplan einzeichnen. Der Umfang dieses Dreiecks entspricht der gesamten Strecke. Um die Gesamtstrecke zu ermitteln, musst Du also die drei Seitenlängen des Dreiecks addieren:

Umfang Dreieck Karte Berlin Beispiel StudySmarterAbb. 12 - Hilfsdreieck Berliner Sehenswürdigkeiten.

Mit dem angegebenen Maßstab gilt:

\[a=800\,m\;\,b=400\,m\,,\,c=600\,m\]

Der Umfang des Dreiecks/die Wegstrecke beträgt damit:

\[a+b+c=800\,m + 400\,m+600\,m=1800\,m=1{,}8\,km\]

Natürlich erhält man auf diese Weise nur eine sehr grobe Schätzung. In der Regel sind die Wege durch die vorgegebene Straßenführung weiter als der direkte Weg per Luftlinie.

Der Weg für dich und deine Freund*innen vom Fernsehturm über die beiden Sehenswürdigkeiten zurück zum Fernsehturm beträgt vermutlich circa 2 km.

Umfang Dreieck - Das Wichtigste

  • Der Umfang einer Figur ist die Länge ihrer Randlinie.
  • Der Umfang des Dreiecks ist die Summe der drei Seitenlängen.
  • Allgemeine Formel: \(U_{Dreieck}=a+b+c\).
  • Für spezielle Dreiecke vereinfacht sich die Formel zur Berechnung des Umfangs:
    • \(U_{gleichseitig} = 3\cdot a\).
    • \(U_{gleichschenklig}=2\cdot a +c\).
  • Für die Berechnung des Umfangs von rechtwinkligen Dreiecken benötigt man häufig Sinus oder Kosinus, um eine fehlende Seitenlänge zu berechnen.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Umfang Dreieck

Man kann den Umfang bei fehlender Seitenlänge nur berechnen, wenn das Dreieck rechtwinklig ist und ein spitzer Innenwinkel gegeben ist. Mit Sinus und Kosinus kann dann die fehlende Seitenlänge berechnet werden, die benötigt wird, um auch den Umfang zu ermitteln.

Den Umfang eines rechtwinkligen Dreiecks berechnet man genau wie den Umfang jedes gewöhnlichen Dreiecks mit den Seitenlängen a, b und c mithilfe der Formel U=a+b+c. Ist eine Seitenlänge des Dreiecks nicht gegeben, muss diese mit Sinus, Kosinus und einem gegebenen spitzen Innenwinkel berechnet werden.

Den Umfang von einem gleichseitigen Dreieck mit Seitenlänge a berechnet man mit der Formel U=a+a+a=3•a. Dies funktioniert, weil die drei Seiten des gleichseitigen Dreiecks alle gleich lang sind.

Den Umfang eines Dreiecks berechnet man immer, indem man alle drei Seiten a, b, c aufaddiert. U = a + b + c.

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