Du möchtest mit dem Flugzeug von Düsseldorf nach Berlin fliegen. Wie weit liegen die zwei Städte aber eigentlich entfernt? Entweder befragst Du einen Dienst oder Du kannst selbst den Abstand zweier Punkte berechnen. Denn das Zentrum von Berlin und Düsseldorf entsprechen den Punkten, zwischen denen Du Geraden ziehen kannst. Mithilfe dieser kannst Du den Abstand zwischen Düsseldorf und Berlin dann berechnen.
Schon befindest Du Dich bei Deiner Urlaubsplanung mitten in der Thematik Abstand berechnen aus dem Teilgebiet der ebenen Geometrie. Du wirst einen Überblick erhalten über den Abstand zwischen Punkten, einem Punkt und einer Gerade und weiteren, jedoch nicht über die analytische Geometrie. Viel Spaß!
Gerade, Strecke, Strahl – Wiederholung
Um Dich mit dem Abstand zwischen Punkten und (parallelen) Geraden zu beschäftigen, ist es von Vorteil, zu wissen, was eine Gerade \(g\), eine Strecke \(s\) oder ein Strahl \(t\) ist.
| Unterschied Gerade, Strecke, Strahl | Bild zu Gerade, Strecke, Strahl |
Bei einer Geraden \(g\) handelt es sich um eine Linie, die an beiden Seiten ins Unendliche reicht. Dabei wird diese am besten durch zwei Punkten \(A\) und \(B\) gezeichnet und darüber noch ein Teil hinaus gezeichnet. Eine Gerade \(g\) mit der sogenannten Geradengleichung ausgedrückt werden: \[y = mx + t\] | 
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Eine Strecke \(s\) wiederum ist die kürzeste Entfernung zweier Punkte. Die Strecke ist dabei die kürzeste Entfernung zwischen diesen beiden Punkten und kann über den Satz des Pythagoras berechnet werden, was Du später noch erfahren wirst. | 
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Ein Strahl \(t\) ist nun eine Mischung aus einer Geraden und einer Strecke. Nur auf einer Seite ist der Strahl durch einen Punkt \(P\) begrenzt, während er auf der anderen Seite über einen weiteren Punkt ins Unendliche reicht. | 
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Um nochmals alles etwas aufzufrischen, kannst Du die Inhalte gerne in folgenden Erklärungen nachsuchen:
Abstand berechnen – Grundlagen
Mit dem Abstand zweier Punkte ist immer der kürzeste Abstand zwischen zwei Punkten gemeint. Wie Du diesen Abstand berechnen kannst, erfährst Du im folgenden Abschnitt.
In den nachfolgenden Erklärungen wird oftmals auf die Punkte \(A\) und \(B\) eingegangen, wenn es um den Abstand zweier Punkte geht. Allerdings können in Aufgaben auch andere Punkte gewählt werden.
Der Abstand zweier Punkte ist die Länge der kürzesten Verbindung dieser Punkte. Diese Länge wird mit den Punkten \(A\) und \(B\) über \( \overline{AB} \) dargestellt.
Grafisch wird das dargestellt, indem eine Verbindungslinie zwischen zwei Punkten gesetzt und die Länge dieser Distanz mit \( \overline{AB}\) bezeichnet wird.
Abb. 2 – Abstand berechnen Länge des Abstands
Das bedeutet also, um den Abstand zweier Punkten \(A\) und \(B\) zu ermitteln, ist deren Distanz mit einem Lineal oder Geodreieck zu bestimmen.
In der analytischen Geometrie kannst Du auch den Abstand zwischen Punkten, Geraden und Ebenen im dreidimensionalen Raum berechnen.
Da Du Dich im dreidimensionalen Raum befindest, sind insgesamt drei Koordinaten entscheidend (\(x\), \(y\), \(z\)).
Der dreidimensionale Raum wird genau über diese drei anstelle von zwei Koordinaten aus dem zweidimensionalen Raum aufgespannt. Es gibt also eine zusätzlich \(z\)-Achse.
Dabei kann über die jeweiligen Ortsvektoren der Punkte, deren Abstand bestimmt werden. Es gibt aber auch noch andere Berechnungen, wie zum Beispiel, ob sich ein Punkt im dreidimensionalen Raum auf einer Geraden oder einer Ebene befindet.
Mehr dazu findest Du in den folgenden Erklärungen:
- Abstandsberechnung
- Abstand zweier Punkte
- Abstand Punkt Gerade
- Abstand Punkt Ebene
Abstand zweier Punkte berechnen
Den Abstand zwischen Punkten \(A\) und \(B\) kannst Du sowohl grafisch, als auch rechnerisch mit Koordinaten und den Satz des Pythagoras lösen.
Abstand zweier Punkte messen
Um den Abstand zweier Punkte berechnen zu können, verwendest Du das Geodreieck, indem an einen der Punkten die Markierung 0 gegeben wird und bis zu dem anderen Punkt gemessen wird.
Abb. 3 – Abstand berechnen, Abstand messen
Du kannst aus der vorherigen Grafik erkennen, dass nicht ganz \(2,5\) gemessen werden kann. Dabei hilft das Geodreieck aus. Eine Markierung der kurzen Striche entspricht \(0,1\). Du nimmst so oft diese Zahl hinzu, bis Du zu dem zweiten Punkt \(B\) angelangt bist und addierst die kleinere ganze Zahl hinzu. Damit erhältst Du \(2,3\).
Dabei gibt es grundsätzlich drei Arten, wie Punkte zueinander liegen können. Das Prinzip des Messens ist jedoch immer gleich.
Abstand zwischen übereinander liegenden Punkten bestimmen | Abstand zwischen zwei nebeneinander liegenden Punkten bestimmen | Abstand zwischen zwei schräg liegenden Punkten bestimmen |
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Am Punkt \(A\) wird dabei immer der Nullpunkt des Geodreiecks gelegt. Danach kannst Du den Wert am Punkt \(B\) ablesen. Dieser liegt in den ersten beiden Abbildungen bei ungefähr \(5 \text{ cm}\) und bei \(6 \text{ cm}\) in der dritten.
Abstände zweier Punkte mit Koordinaten berechnen
In diesem Kapitel geht es darum, den Abstand zwischen zwei Punkten \(A\) und \(B\) auch berechnen zu können. Dabei wird der Satz des Pythagoras verwendet, um, über die Koordinaten der zwei Punkten, den Abstand zu berechnen.
Die Punkte \(A\) und \(B\) besitzen dabei die Koordinaten:
\begin{align} &A (2|2) \\ &B(4|3) \end{align}
Dabei wird aus den x- und y-Koordinaten jeweils ein Dreieck gebildet, welches als Steigungsdreieck bezeichnet wird, um dabei über die Länge dieser beiden Strecken über die Formel für den Satz des Pythagoras den Abstand zwischen zwei Punkten zu ermitteln.
Der Satz des Pythagoras lautet allgemein:
\[a^2 + b^2 = c^2\]
Diesen kannst Du anwenden, wenn Du ein rechtwinkliges Dreieck besitzt. c ist dabei immer die Hypotenuse.
Aufgabe 1
Gegeben sind die bereits bekannten Punkte \(A\) und \(B\).
Berechne nun den Abstand zwischen diesen Punkten mit dem Satz des Pythagoras.
Lösung
Dazu wird erst einmal ein neuer Punkt eingeführt, der die x-Koordinate von \(B\) und die y-Koordinate von \(A\) erhält und die Strecken \([AC]\) und \([BC]\) gebildet. An Punkt C gibt es dabei einen rechten Winkel.
Abb. 4 – Abstand berechnen Steigungsdreieck
Dabei kannst Du die Länge der beiden Katheten berechnen oder ablesen. Es gilt:
\begin{align} \overline{AC} &= x_B - x_A \\ &= 4 - 2 \\ &= 2 ( \text{LE}) \end{align}
Die zweite Kathete entspricht:
\begin{align} \overline{BC} &= y_B - y_A \\ &= 3 - 2 \\ &= 1 ( \text{LE}) \end{align}
Abb. 5 – Abstand berechnen Steigungsdreieck Werte
Die Formel lautet also:
\begin{align} \overline{AC}^2 + \overline{BC}^2 &= \overline{AB}^2 \\ 2^2 + 1^2 &= \overline{AB}^2 \\ 1 + 4 &= \overline{AB}^2 \\ 5 &= \overline{AB}^2 \\ \sqrt{5} &= \overline{AB} \end{align}
Damit entspricht der Abstand zwischen den Punkten \(A\) und \(B\) \( \sqrt{5} = 2,24 \text{ LE} \).
Dieses Prinzip kann im zweidimensionalen Raum auch für Geraden verwendet werden.
Abstand Punkt Gerade mit dem Lotfußpunkt ermitteln
Eine Gerade \(g\) besteht im Prinzip aus unendlich vielen Punkten. Um den Abstand zwischen einem Punkt und einer Gerade zu messen, wird ein sogenannter Lotfußpunkt benötigt. Ein Lotfußpunkt ist der Schnittpunkt zweier senkrechter Geraden für den Abstand zweier Punkte.
Du kannst zum Messen so vorgehen. Du verwendest dabei ein Geodreieck und positionierst es auf der Geraden \(g\):
Schritt 1:
Lege die Spitze des Geodreiecks mit dem \(90°\)-Winkel auf die Gerade \(g\) und den Punkt \(A\) auf die lange Seite des Geodreiecks.
Schritt 2:
Du kannst diese Gerade \(g\) einzeichnen und den Schnittpunkt beider Geraden markieren.
Schritt 3:
Am Nullpunkt des Geodreiecks befindet sich der Lotfußpunkt \(F\). Du misst nun von diesem Lotfußpunkt \(F\) bis zum Punkt \(A\).
Mehr zum Lot findest Du unter Lot Mathe oder Lot fällen.
Abb. 6 – Abstand Punkt Gerade berechnen
Nun hast Du die Koordinaten des Lotfußpunkts. Sie entsprechen dabei:
\[ F (3|3) \]
Den Abstand vom Punkt \(A\) nach \(F\) kannst Du messen oder über den Pythagoras berechnen. Diese Verfahren hast Du aber ja bereits in den vorherigen Abschnitten gelernt.
Mehr Informationen findest Du unter Abstand Punkt Gerade.
Abstand zweier paralleler Geraden ermitteln
Den Abstand zweier paralleler Geraden kannst Du auf zwei verschiedene Weisen ermitteln:
- mit einem Geodreieck
- mit einem Zirkel und einem Lineal
Abstand zweier paralleler Geraden – Geodreieck
Das Ermitteln des Abstandes zwischen zwei parallelen Geraden \(f\) und \(g\) mit dem Geodreieck ähnelt dem Verfahren des Messens des Abstandes zwischen einem Punkt \(A\) und einer Geraden \(g\). Bei einer Geraden – in diesem Fall \(f(x)\) – suchst Du Dir einen Punkt \(A\) heraus und setzt das Geodreieck so an, dass sich die Spitze \(S\) des \(90°\)-Winkels des Geodreiecks auf der Geraden befindet und der Punkt \(A\) am Nullpunkt \(0\). Danach misst Du bis zur parallelen Geraden \(g(x)\). Sieh Dir dazu gerne die nachfolgende Grafik an.
Abb. 7 – Abstand zweier paralleler Geraden Geodreieck
Abstand zweier paralleler Geraden – Zirkel
Um den Abstand paralleler Geraden mit dem Zirkel zu ermitteln, kannst Du Dir dazu diese drei Schritte merken:
| Erklärung | Bild |
Markiere einen Punkt \(A\) auf einer der beiden Geraden. Zeichne dann um diesen Punkt einen Kreis \(k\). Den Radius \(r\) kannst Du frei wählen. Nutze eventuell einen etwas kleineren Radius, da Du sonst im späteren Verlauf sehr große Kreise bekommst. | 
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Dabei entstehen zwei Schnittpunkte \(B\) und \(C\) mit dieser Geraden, die Du markierst. | 
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| Von diesen Punkten aus erstellst Du zwei Kreise \(m\) und \(n\). Deren Radius \(r\) mindestens so groß wie die Hälfte der Strecke zwischen beiden Punkten \(B\) und \(C\) ist. Diese beiden Kreise schneiden also in zwei Punkten. | 
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Die beiden neuen Schnittpunkte \(D\) und \(E\) zeichnest Du in die Grafik ein. | 
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Zwischen den erzeugten Schnittpunkten zeichnest Du eine Gerade, die die Parallele nun senkrecht schneidet. Du misst den Abstand von Punkt \(A\) zur anderen Geraden oder zu dem neu erzeugten Schnittpunkt \(F\).Senkrecht bedeutet dabei, dass die neue Gerade in einem \(90°\)-Winkel die andere schneidet. | 
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Du kannst gerne bei der Erklärung Parallele Geraden vorbeisehen und allgemeiner auch unter Parallelenpaar.
Abstand berechnen – Aufgabe
Jetzt kannst Du ein wenig üben, doch vor allem in diesem Kapitel wirst Du mit den einzelnen Erklärungen noch viel Gelegenheit dazu haben. Viel Spaß!
Aufgabe 2
Bestimme den Abstand zwischen dem Punkt \(A\) und der angegebenen Geraden \(f\).
Abb. 8 – Abstand berechnen Aufgaben (Aufgabe 2 Angabe)
Lösung
Dazu legst Du das Geodreieck an, damit die Spitze auf der Geraden liegt und der Punkt \(A\) an der langen Seite. Dabei entsteht auch ein Lotfußpunkt \(F\). Zwischen den beiden Punkten misst Du den Abstand. Dieser beträgt dabei circa \(4,4 \text{ LE}\).
Abb. 9 – Abstand berechnen Aufgaben (Aufgabe 2 Lösung)
Aufgabe 3
Wenn du dich an das Anfangsbeispiel zurückerinnerst, dann möchtest Du jetzt von Düsseldorf \(D\) nach Berlin \(B\) reisen. Auf dem Weg befindet sich auch die Stadt Hannover \(H\). Deine Aufgabe ist es nun, den kürzesten Weg zwischen Düsseldorf und Berlin zu messen. (Dies wird auch als Luftlinie bezeichnet). Dabei besitzen die Punkte folgende Koordinaten:
- \(D (2|2)\)
- \(H (4|3,5)\)
- \(B (6,5|3,5)\)
Abb. 10 – Abstand berechnen Berlin Düsseldorf Angabe
Lösung
Die kürzeste Entfernung läuft tatsächlich nicht über Hannover. Du misst also nur die Entfernung zwischen Düsseldorf \(D\) und Berlin \(B\).
Abb. 11 – Abstand berechnen Berlin Düsseldorf Lösung
Dabei erhältst Du gerundet den Wert \(4,7 \text{ cm}\). In der Realität liegen die beiden Städte Luftlinie ca. \(480 km\) entfernt.
Abstand berechnen – Das Wichtigste auf einen Blick
- Eine Gerade verläuft ins Unendliche, während ein Strahl von einem Punkt aus beginnt und über einen weiteren Punkt ins Unendliche verläuft. Eine Strecke ist der kürzeste Abstand zweier Punkte.
- Den Abstand zweier Punkte kannst Du über das Geodreieck oder das Lineal abmessen oder mit dem Pythagoras berechnen über: \[\overline{AB}^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A) ^2 \]
- Den Abstand zwischen einem Punkt und einer Geraden ermittelst Du darüber, indem Du den Abstand zwischen dem Punkt und einem Lotfußpunkt auf der Geraden misst.
- Für zwei parallele Geraden lässt sich auch mit einem Zirkel der Abstand konstruieren und danach mit dem Lineal messen.
- Markiere einen Punkt \(A\) auf einer der beiden Geraden. Zeichne dann um diesen Punkt einen Kreis.
- Dabei entstehen zwei Schnittpunkte mit dieser Geraden, die Du markierst. Von diesen Punkten aus erstellst Du zwei Kreise, die einen Radius besitzen, der größer als die Hälfte der Strecke der beiden Punkten beträgt (die beiden Kreise sollen sich schneiden).
- Zwischen den erzeugten Schnittpunkten zeichnest Du eine Gerade, die die Parallele nun senkrecht schneidet. Du misst den Abstand von Punkt \(A\) zur anderen Geraden.
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