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Geometrie

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Geometrie

Geometrie beschreibt ein Teilgebiet der Mathematik, bei dem es um die Beschaffenheit des Raumes und von Körpern geht. In diesem Artikel erklären wir dir, was die Geometrie beinhaltet und einige ihrer Grundlagen.

Viel Spaß beim Lernen!

Was versteht man unter Geometrie?

Der Begriff „Geometrie“ stammt aus dem antiken Griechenland und bedeutet so viel wie Erdmaße, Erdmessung oder Landmessung.

Geometrie ist also der Teilbereich der Mathematik, der sich mit dem Messen und Berechnen von Winkeln, Abständen und Geraden beschäftigt. Deren Beziehungen zueinander sind durch bestimmte Grundsätze, sogenannte Axiome, geregelt.

Auch beschäftigt sich die Geometrie mit der Beschaffenheit von Körpern. Hierbei werden Figuren in der Ebene (2-Dimensional) wie Dreiecke oder Quadrate betrachtet, aber auch Figuren im Raum (3-Dimensional) wie Pyramiden oder Zylinder. Mithilfe von geometrischen Formeln können bestimmte Eigenschaften wie Volumen, Oberfläche, Umfang u. v. m. berechnet werden.

In diesem Artikel wird der Fokus auf die Geometrie der Ebene gelegt.

Grundlagen der Geometrie

Um dir den perfekten Start ins Thema Geometrie zu geben, erklären wir dir jetzt ein paar grundlegende Sachen dazu.

Das Koordinatensystem in der Geometrie

Will man die Formen der Geometrie oder auch einfach nur die Lage eines Punktes bestimmen, benötigt man zuerst ein Koordinatensystem. Ein Koordinatensystem besteht aus 2 (2-Dimensional) oder 3 (3-Dimensional) Achsen, die jeweils bestimmte Werte haben. Diese Achsen werden üblicherweise mit X, Y und Z beschriftet. Innerhalb so eines Koordinatensystems kann man nun geometrische Formen anhand von Punkten und Geraden aufzeichnen und ihre Eigenschaften einfach berechnen.

Geometrie Koordinationsystem StudySmarter

Punkte in der Geometrie

Punkte sind einer der wichtigsten Teile der Geometrie, da sie in allen Formen beinhaltet sind. Ein mathematischer Punkt hat keine Fläche, Höhe oder Breite, sondern ist nur ein markierter Ort im Koordinatensystem. Mithilfe solcher Punkte, die man an verschiedenen Stellen im Koordinatensystem zeichnet, kann man nun Strecken und Formen bilden.

Einen Punkt im Koordinatensystem beschreibt man nach der folgenden Form:

P (X I Y)

X beschreibt hier den Wert der x-Achse, und Y den Wert der y-Achse. Der Punkt findet sich dann auf dem Schnittpunkt des x- und y-Wert. Beim Punkt P (2 I 1) musst du also den Schnittpunkt zwischen 2 auf der x-Achse und 1 auf der y-Achse einzeichnen.

Strecken in der Geometrie

Finden sich zwei Punkte in einem Koordinatensystem, die miteinander verbunden sind, hat man eine Strecke. Eine Strecke ist immer eine Gerade, da sie die schnellste Verbindung zwischen den zwei Punkten darstellt. Eine Strecke im Koordinatensystem markierst du so:

IABI

A (2 I 1)

B (-3 I 2)

Hierbei beschreibt IABI also die Strecke zwischen den zwei Punkten A und B. Will man nun die Länge der Strecke berechnen, muss man den Satz des Pythagoras verwenden.

Die Formel für die Berechnung einer Strecke lautet wie folgt:

In unserem Beispiel lautet die konkrete Berechnung der Strecke:

√(-3 - 2)² + (2 - 1)² = 6

Die Länge der Strecke und Entfernung zwischen den zwei Punkten A und B ergibt dementsprechend 6.

Formen in der Geometrie

Verwendest du jetzt mehrere Punkte und Strecken in deinem Koordinatensystem, kannst du damit auch geometrische Formen aufzeichnen. Aus 4 Punkten und Strecken, die die Punkte verbinden, entsteht ein Viereck, aus 3 Punkten ein Dreieck.

Winkel in der Geometrie

Gehen von einem Punkt zwei unterschiedliche Geraden aus oder schneiden sich zwei verschiedene Geraden, bildet diese eine Neigung. Diese Neigung wird als Winkel angegeben. Die zwei Geraden bilden dabei den Schenkel der Winkel, der Schnittpunkt wird üblicherweise als Scheitelpunkt S gekennzeichnet.

Im oben stehenden Schaubild sind die zwei Strecken AB und BC abgebildet. Den Winkel dieses Schnittpunktes bezeichnet man als ∠ABC.

Das Wichtigste zur Geometrie auf einen Blick!

  • Geometrie ist der Teilbereich der Mathematik, der sich mit der Beschaffenheit von Räumen und Objekten in diesen Räumen beschäftigt.
  • Konkret beinhaltet die Geometrie das Messen und Berechnen von solchen Formen. Diese Berechnungen basieren auf sogenannten Axiomen. Das sind Grundsatzregeln, die die Beziehungen zwischen Punkten, Geraden, Winkeln und Formen aufzeigen.
  • Grundlegend für die Berechnung von geometrischen Formen sind Punkte und Strecken.
  • Die Linie zwischen zwei Punkten nennt man Strecke.
  • Mithilfe dieser Punkte und Strecken kann man nun die meisten geometrischen Formen in ein Koordinatensystem aufzeichnen und ihre Eigenschaften berechnen.

Insider Tipp zur Geometrie

Wusstest du, dass Geometrie das älteste mathematische Teilgebiet ist? Viele Hundert Jahre lang war es auch das einzige Teilgebiet der Mathematik, sodass die Mathematik sich nur mit Geometrie beschäftigte.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Geometrie

Der Begriff „Geometrie“ stammt aus dem antiken Griechenland und bedeutet so viel wie Erdmaße, Erdmessung, oder Landmessung. 

Geometrie ist also der Teilbereich der Mathematik, der sich mit dem Messen und Berechnen von Winkeln, Abständen und Geraden beschäftigt. Deren Beziehungen zueinander sind durch bestimmte Grundsätze, sogenannte Axiome, geregelt. 

Finales Geometrie Quiz

Frage

Was ist der Flächeninhalt eines Rechtecks?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Flächeninhalt A eines Rechtecks ist ein Maß für die Größe einer Fläche. Er ist abhängig von der Länge der Seiten des Rechtecks, welche allgemein als a und b bezeichnet werden können. Es gilt:



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Frage

In welcher Einheit wird der Flächeninhalt angegeben?

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Antwort

Eine Fläche wird meistens in mm² (Millimeter), cm² (Zentimeter), m² (Meter) oder km² (Kilometer) angegeben.

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Frage

Nenne die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts A eines Rechtecks mit den Seiten a und b!

Antwort anzeigen

Antwort

A = a · b

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Frage

Was ist der Unterschied zwischen einem Rechteck und einem Quadrat?

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Antwort

Im Gegensatz zum Quadrat, wo alle vier Seiten gleich lang sind, sind beim Rechteck jeweils die zwei gegenüberliegenden Seiten gleich lang.

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Frage

Berechne den Flächeninhalt A eines Rechtecks mit den Seiten  und !

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Antwort

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Frage

Berechne die Seite a eines Rechtecks, welches einen Umfang von  und eine Seite  aufweist!

Antwort anzeigen

Antwort

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Frage

Wie viele Symmetrieachsen hat ein Rechteck?

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Antwort

Zwei.

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Frage

Wie wird der Flächeninhalt mathematisch abgekürzt?

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Antwort

Mit dem Großbuchstaben A


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Frage

Was ist der Unterschied zwischen einem Rechteck und einem Quader (beispielsweise einem Schuhkarton)?

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Antwort

Ein Rechteck ist eine Figur in der zweidimensionalen Ebene. Ein Quader ist eine Figur im Dreidimensionalen.


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Frage

Welche Eigenschaften lassen sich dem Rechteck zuordnen?

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Antwort

Jeweils zwei Seiten sind gleich lang.

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Frage

Was ist der Unterschied zwischen dem Umfang und dem Flächeninhalt?

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Antwort

Die eingeschlossene Fläche beschreibt den Flächeninhalt A, während der Umfang U die Summe der umliegenden Seiten ist.


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Frage

Überlege, in welchen Alltagssituationen könnte Dir der Flächeninhalt eines Rechtecks helfen?


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Antwort

Zum Beispiel, wenn Du eine Wand streichen möchtest und die Fläche der Wand ausrechnen willst, um ausreichend Farbe zu besorgen. So kann ein Farbeimer beispielsweise für  ausreichend sein und Du möchtest wissen, wie viele Eimer Du zum Streichen benötigst.

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Frage

Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seitenlängen  und !

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Mithilfe welcher Formel kann die fehlende Seitenlänge a eines Rechtecks bei gegebener Diagonale d und der anderen Seite b berechnet werden?

Antwort anzeigen

Antwort

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Frage

Was unterscheidet ein Rechteck von einem Drachenviereck?

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Antwort

Beim Drachenviereck sind die Winkel nicht 90° groß.

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Frage

Welche der folgenden Figuren stellen ein Rechteck dar?

Antwort anzeigen

Antwort

Seite eines Schuhkartons.

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