Geometrie

Geometrie Grundlagen

In der Geometrie gibt es einige wichtige Grundlagen wie zum Beispiel die wichtigsten Geometrie-Begriffe, die verschiedenen Formen und Figuren in der Ebene und im Raum sowie die Konstruktion dieser. Alle wichtigen Grundlagen findest Du in dieser Erklärung kurz zusammengefasst. Ausführlicher kannst Du sie in den Erklärungen der einzelnen Themen nachlesen.

Geometrie Begriffe

In der Geometrie gibt es einige Begriffe, die grundlegend für das Verständnis der gesamten Geometrie sind: die geometrischen Grundbegriffe. Das sind die Begriffe Koordinatensystem, Punkt und Linie.

Geometrie Koordinatensystem

Das sogenannte „kartesische Koordinatensystem“ kann in der zweidimensionalen Ebene und im dreidimensionalen Raum liegen. Es besitzt dementsprechend zwei oder drei Koordinatenachsen. Das sind zwei bzw. drei Geraden, die sich schneiden, gleich lang sind und den gleichen Abstand zueinander haben. Die Koordinatenachsen in der Ebene heißen \(x\)-Achse und \(y\)-Achse (zweidimensional), die zusätzliche dritte Achse im Raum ist die \(z\)-Achse (dreidimensional).

Abb. 1 – Zweidimensionales Koordinatensystem.

Abb. 2 – dreidimensionales Koordinatensystem.

Im Koordinatensystem können Punkte an bestimmten Koordinaten eingezeichnet werden, die auch miteinander zu Linien oder Figuren verbunden werden können.

Geometrie Punkt

Einen Punkt hast Du vielleicht schon mal mit einem Stift gesetzt. Allerdings ist ein Punkt in der Mathematik etwas genauer definiert:

Ein Punkt ist die Stelle, an der zwei gerade Linien sich kreuzen. Er wird geschrieben als \(P(x|y)\), wobei \(x\) die Koordinate auf der \(x\)-Achse ist und \(y\) die Koordinate auf der \(y\)-Achse.

Ein Punkt hat keine Ausdehnung, was genauer bedeutet, dass er keine Länge, Breite oder Höhe besitzt. Die Hauptaufgabe eines Punktes ist es, eine genaue Position auf einer Ebene oder im Raum zu definieren.

Geometrie Linie

Eine Linie ist ein Strich, der gekrümmt oder gerade verlaufen kann. Sie kann unendlich, aber auch endlich lang sein und verschiedene Formen bilden. Aus der Linie können Geraden, Strecken, Kurven, Kreise und andere Figuren entstehen.

Abb. 4 – Linien.

Geometrie Formen und Figuren

Bestimmt sind Dir schon einige zweidimensionale Figuren bekannt, wie zum Beispiel ein Kreis oder ein Viereck. In der Mathematik gibt es viele verschiedene Geometrische Figuren. Ein paar davon siehst Du in dieser Abbildung:

Abb. 5 – Geometrische Figuren.

Zu den wichtigsten Figuren gehören

• das Dreieck,
• das Viereck (von dem es viele verschiedene gibt),
• das Vieleck,
• den Kreis,
• Gerade Strecke Strahl,

sowie zusammengesetzte Figuren aus diesen Formen. Alles Wichtige über diese geometrischen Formen und Figuren findest Du in der Erklärung Geometrische Figuren sowie in den einzelnen Erklärungen der Figuren.

Geometrie Konstruktion

Viele dieser genannten Figuren kannst Du konstruieren. Der Unterschied zwischen dem Konstruieren und dem Zeichnen von Figuren in der Geometrie ist tatsächlich der, dass beim Konstruieren einer geometrischen Figur als Hilfsmittel nur ein Lineal und ein Zirkel erlaubt sind. Beim Zeichnen darfst Du auch das Geodreieck nutzen, z. B. für das Fällen des Lots oder das Zeichnen einer parallelen Gerade.

Wichtige Konstruktionen, die Du Dir genauer ansehen kannst, sind folgende:

• Abtragen von Strecken
• Winkel abtragen
• Mittelsenkrechte und Winkelhalbierende konstruieren
• Lot konstruieren
• Parallele konstruieren
• Inkreis Dreieck und Umkreis Dreieck
• Schwerpunkt Dreieck
• Kreis konstruieren
• Achsenspiegelung und Punktspiegelung

Zu diesen Konstruktionen findest Du Zusammenfassungen in der Erklärung Konstruieren. Genaueres erfährst Du auch hier in den Erklärungen der einzelnen Themen.

Geometrie Körper (Raumgeometrie)

Einen Körper kannst Du Dir wie etwas vorstellen, was Du in die Hand nehmen kannst oder was in alle Richtungen verläuft. Es ist also etwas, das nicht flach ist und damit nicht in einer Ebene liegt.

Ein geometrischer Körper ist ein dreidimensionales Gebilde. Er hat einen Rauminhalt.

Eine Möglichkeit, einen geometrischen Körper darzustellen, ist das Schrägbild. Dieses kannst Du auch auf den Abbildungen in der obigen Tabelle für die verschiedenen Körper erkennen. Dies ist eine dreidimensional wirkende Darstellung des Körpers auf einer ebenen, zweidimensionalen Fläche.

Geometrie Trigonometrie

Die Trigonometrie, abgeleitet vom griechischen Wort für „Dreieck“, beschäftigt sich mit der Beziehung zwischen Seiten und Winkeln eines Dreiecks.

Besonders an rechtwinkligen Dreiecken können viele Beobachtungen und Berechnungen gemacht werden. Dafür werden die Seiten nach ihrer Lage und ihrer Länge benannt:

Mithilfe dieser Bezeichnungen und dem Sinus, Kosinus und Tangens lassen sich nun verschiedene Aussagen treffen.

Der Sinus, Kosinus und Tangens beschreiben die Verhältnisse von Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck:

• \(\sin{(\alpha})=\dfrac{{\text{Gegenkathete}}}{{\text{Hyp}\text{otenuse}}}\)

• \(\cos({\alpha})= \dfrac{{\text{Ankathete}}}{{\text{Hyp}\text{otenuse}}}\)

• \(\tan({\alpha})= \dfrac{{\text{Gegenkathete}}} {{\text{Ankathete}}}\)

Analytische Geometrie

Die analytische Geometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie, in dem Hilfsmittel aus der Algebra genutzt werden, um geometrische Probleme zu lösen. Oft wird diese Art der Geometrie auch Vektorgeometrie genannt, da sie sich mit Vektoren im zwei- und dreidimensionalen Koordinatensystem befasst.

Ein Vektor ist eine Strecke in der Ebene (zweidimensional) oder im Raum (dreidimensional), welche auf eine bestimmte Länge begrenzt ist und einen Pfeil am Ende besitzt. Bezeichnet wird er meist als Kleinbuchstabe mit einem horizontalen Pfeil darüber, z. B. \(\vec{a}\).

Mit Vektoren können Geraden beschrieben oder Ebenen aufgespannt werden, Lagebeziehungen und Abstände bestimmt oder auch Figuren dargestellt werden. Alles wissenswerte zur Vektorgeometrie findest Du in der Erklärung Analytische Geometrie.

Geometrie Formeln

Hier findest Du eine kleine Formelsammlung mit den wichtigsten Geometrie Formeln für die Umfangs- und Flächenberechnung sowie die Volumenberechnung von Figuren.

Geometrie Aufgaben

Hier kannst Du direkt testen, was Du schon alles über die Geometrie weißt.

Aufgabe 1

Ordne die Bezeichnungen den passenden Bildern und Schreibweisen zu!

Bezeichnung	Bild bzw. Schreibweise
Punkt Vektor Linien Hypotenuse \(c\) Ecken, Kanten, Flächen \(x\)-Achse Schrägbild	\(\vec{v}\) \(A(3|7)\)

Lösung

Die folgende Tabelle besitzt die richtige Zuordnung:

Bezeichnung	Bild bzw. Schreibweise
a. Punkt	6. \(A(3|7)\)
b. Vektor	3. \(\vec{v}\)
c. Linien	5.
d. Hypotenuse \(c\)	2.
e. Ecken, Kanten, Flächen	1.
f. \(x\)-Achse	7.
g. Schrägbild	4.