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Geometrie

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Geometrie

Wie lautet die Definition der Geometrie? Welche Geometrie Begriffe solltest Du kennen? Welche geometrischen Formeln sind wichtig? In der folgenden Erklärung wird Dir die Geometrie einfach erklärt.

Geometrie Mathe – Definition einfach erklärt

Der Begriff „Geometrie“ stammt aus dem antiken Griechenland und bedeutet so viel wie Erdmaße, Erdmessung oder Landmessung.

In der Mathematik ist die Geometrie ein Teilbereich, der sich mit dem Messen, Berechnen und Konstruieren von Winkeln, Abständen und Figuren beschäftigt.

In der Mathematik wird der gesamte Bereich der Geometrie in etwa so definiert:

Geometrie bezeichnet die Lehre von zweidimensionalen Figuren wie Punkten, Geraden oder Vielecken sowie dreidimensionalen Körpern wie Kugeln oder Würfeln.

Die Geometrie, die Du in der Schule lernst, wird meist als Elementargeometrie oder euklidische Geometrie bezeichnet, benannt nach dem griechischen Mathematiker Euklid (3. Jh. v. Chr.).

Geometrie Grundlagen

In der Geometrie gibt es einige wichtige Grundlagen wie zum Beispiel die wichtigsten Geometrie-Begriffe, die verschiedenen Formen und Figuren in der Ebene und im Raum sowie die Konstruktion dieser. Alle wichtigen Grundlagen findest Du in dieser Erklärung kurz zusammengefasst. Ausführlicher kannst Du sie in den Erklärungen der einzelnen Themen nachlesen.

Geometrie Begriffe

In der Geometrie gibt es einige Begriffe, die grundlegend für das Verständnis der gesamten Geometrie sind: die geometrischen Grundbegriffe. Das sind die Begriffe Koordinatensystem, Punkt und Linie.

Geometrie Koordinatensystem

Das sogenannte „kartesische Koordinatensystem“ kann in der zweidimensionalen Ebene und im dreidimensionalen Raum liegen. Es besitzt dementsprechend zwei oder drei Koordinatenachsen. Das sind zwei bzw. drei Geraden, die sich schneiden, gleich lang sind und den gleichen Abstand zueinander haben. Die Koordinatenachsen in der Ebene heißen \(x\)-Achse und \(y\)-Achse (zweidimensional), die zusätzliche dritte Achse im Raum ist die \(z\)-Achse (dreidimensional).

Geometrie Koordinatensystem StudySmarterAbb. 1 – Zweidimensionales Koordinatensystem.

Geometrie Koordinatensystem StudySmarterAbb. 2 – dreidimensionales Koordinatensystem.

Im Koordinatensystem können Punkte an bestimmten Koordinaten eingezeichnet werden, die auch miteinander zu Linien oder Figuren verbunden werden können.

Mehr darüber erfährst Du in der Erklärung Koordinatensystem.

Geometrie Punkt

Einen Punkt hast Du vielleicht schon mal mit einem Stift gesetzt. Allerdings ist ein Punkt in der Mathematik etwas genauer definiert:

Ein Punkt ist die Stelle, an der zwei gerade Linien sich kreuzen. Er wird geschrieben als \(P(x|y)\), wobei \(x\) die Koordinate auf der \(x\)-Achse ist und \(y\) die Koordinate auf der \(y\)-Achse.

Der Punkt (P(2|3)\) liegt im Koordinatensystem dort, wo sich folgende beiden Geraden treffen:

Geometrie Punkt im Koordinatensystem StudySmarterAbb. 3 – Punkt im Koordinatensystem.

Ein Punkt hat keine Ausdehnung, was genauer bedeutet, dass er keine Länge, Breite oder Höhe besitzt. Die Hauptaufgabe eines Punktes ist es, eine genaue Position auf einer Ebene oder im Raum zu definieren.

Alles Wichtige über Punkte kannst Du in der Erklärung Punkt Geometrie nachlesen.

Geometrie Linie

Eine Linie ist ein Strich, der gekrümmt oder gerade verlaufen kann. Sie kann unendlich, aber auch endlich lang sein und verschiedene Formen bilden. Aus der Linie können Geraden, Strecken, Kurven, Kreise und andere Figuren entstehen.

Geometrie Linien StudySmarterAbb. 4 – Linien.

Wenn Du mehr über Linien erfahren möchtest, schau Dir am besten die Erklärung Linie an.

Geometrie Formen und Figuren

Bestimmt sind Dir schon einige zweidimensionale Figuren bekannt, wie zum Beispiel ein Kreis oder ein Viereck. In der Mathematik gibt es viele verschiedene Geometrische Figuren. Ein paar davon siehst Du in dieser Abbildung:

Geometrie Formen und Figuren StudySmarterAbb. 5 – Geometrische Figuren.

Zu den wichtigsten Figuren gehören

sowie zusammengesetzte Figuren aus diesen Formen. Alles Wichtige über diese geometrischen Formen und Figuren findest Du in der Erklärung Geometrische Figuren sowie in den einzelnen Erklärungen der Figuren.

Geometrie Konstruktion

Viele dieser genannten Figuren kannst Du konstruieren. Der Unterschied zwischen dem Konstruieren und dem Zeichnen von Figuren in der Geometrie ist tatsächlich der, dass beim Konstruieren einer geometrischen Figur als Hilfsmittel nur ein Lineal und ein Zirkel erlaubt sind. Beim Zeichnen darfst Du auch das Geodreieck nutzen, z. B. für das Fällen des Lots oder das Zeichnen einer parallelen Gerade.

Wichtige Konstruktionen, die Du Dir genauer ansehen kannst, sind folgende:

Zu diesen Konstruktionen findest Du Zusammenfassungen in der Erklärung Konstruieren. Genaueres erfährst Du auch hier in den Erklärungen der einzelnen Themen.

Geometrie Körper (Raumgeometrie)

Einen Körper kannst Du Dir wie etwas vorstellen, was Du in die Hand nehmen kannst oder was in alle Richtungen verläuft. Es ist also etwas, das nicht flach ist und damit nicht in einer Ebene liegt.

Ein geometrischer Körper ist ein dreidimensionales Gebilde. Er hat einen Rauminhalt.

Eigenschaften geometrischer KörperBeispiele für geometrische Körper
Ein geometrischer Körper ist dreidimensional.

Geometrie Körper StudySmarter

Geometrie Kugel StudySmarter

Ein geometrischer Körper wird von (ebenen oder gebogenen) Flächen begrenzt.
Ein geometrischer Körper besitzt meistens Kanten (außer die Kugel).
Ein geometrischer Körper besitzt meist Ecken oder auch eine Spitze (außer die Kugel).

Eine Möglichkeit, einen geometrischen Körper darzustellen, ist das Schrägbild. Dieses kannst Du auch auf den Abbildungen in der obigen Tabelle für die verschiedenen Körper erkennen. Dies ist eine dreidimensional wirkende Darstellung des Körpers auf einer ebenen, zweidimensionalen Fläche.

Weitere Informationen über dreidimensionale Figuren erhältst Du in der Erklärung Geometrische Körper.

Geometrie Trigonometrie

Die Trigonometrie, abgeleitet vom griechischen Wort für „Dreieck“, beschäftigt sich mit der Beziehung zwischen Seiten und Winkeln eines Dreiecks.

Besonders an rechtwinkligen Dreiecken können viele Beobachtungen und Berechnungen gemacht werden. Dafür werden die Seiten nach ihrer Lage und ihrer Länge benannt:

BezeichnungLage und LängeBeispiel
HypotenuseEine Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks. Sie liegt dem rechten Winkel gegenüber.

Hier bildet die grüne Seite \(c\) die Hypotenuse, während die Seiten \(a\) und \(b\) die Katheten sind.

Geometrie Trigonometrie StudySmarter

Katheten: Ankathete und GegenkatheteAls Katheten werden die beiden Seiten bezeichnet, die nicht die Hypotenuse sind. Die Gegenkathete liegt gegenüber einem gegebenen Winkel, während die Ankathete an dem gegebenen Winkel anliegt.

Mithilfe dieser Bezeichnungen und dem Sinus, Kosinus und Tangens lassen sich nun verschiedene Aussagen treffen.

Der Sinus, Kosinus und Tangens beschreiben die Verhältnisse von Seitenlängen im rechtwinkligen Dreieck:

  • \(\sin{(\alpha})=\dfrac{{\text{Gegenkathete}}}{{\text{Hyp}\text{otenuse}}}\)
  • \(\cos({\alpha})= \dfrac{{\text{Ankathete}}}{{\text{Hyp}\text{otenuse}}}\)
  • \(\tan({\alpha})= \dfrac{{\text{Gegenkathete}}} {{\text{Ankathete}}}\)

Weitere Erklärungen sowie wichtige Sätze zur Berechnung von Seiten und Winkeln im Dreieck findest Du in der Erklärung Trigonometrie.

Analytische Geometrie

Die analytische Geometrie ist ein Teilgebiet der Geometrie, in dem Hilfsmittel aus der Algebra genutzt werden, um geometrische Probleme zu lösen. Oft wird diese Art der Geometrie auch Vektorgeometrie genannt, da sie sich mit Vektoren im zwei- und dreidimensionalen Koordinatensystem befasst.

Ein Vektor ist eine Strecke in der Ebene (zweidimensional) oder im Raum (dreidimensional), welche auf eine bestimmte Länge begrenzt ist und einen Pfeil am Ende besitzt. Bezeichnet wird er meist als Kleinbuchstabe mit einem horizontalen Pfeil darüber, z. B. \(\vec{a}\).

Du kannst Dir einen zweidimensionalen Vektor zum Beispiel so vorstellen:

Geometrie zweidimensionaler Vektor StudySmarterAbb. 6 – Zweidimensionaler Vektor

Mit Vektoren können Geraden beschrieben oder Ebenen aufgespannt werden, Lagebeziehungen und Abstände bestimmt oder auch Figuren dargestellt werden. Alles wissenswerte zur Vektorgeometrie findest Du in der Erklärung Analytische Geometrie.

Geometrie Formeln

Hier findest Du eine kleine Formelsammlung mit den wichtigsten Geometrie Formeln für die Umfangs- und Flächenberechnung sowie die Volumenberechnung von Figuren.

FlächeUmfangFlächeninhalt
Quadrat\(U=4\cdot a\)\(A=a^2\)
Rechteck\(U=2\cdot a+2\cdot b\)\(A=a\cdot b\)
Dreieck\(U=a+b+c\)

\(A=\frac{1}{2}\cdot g \cdot h\)

Kreis\(U=\pi \cdot d=2\cdot \pi \cdot r\)

\(A=r^2 \cdot \pi\)

KörperVolumen
Würfel\(V=a^3\)
Quader\(V=a\cdot b \cdot c\)
Kugel\(V=\frac{4}{3}\cdot \pi \cdot r^3\)

Suchst Du eine Formel, die Du hier nicht findest, sieh am besten in der einzelnen Erklärung zum Thema Deiner Figur nach!

Geometrie Aufgaben

Hier kannst Du direkt testen, was Du schon alles über die Geometrie weißt.

Aufgabe 1

Ordne die Bezeichnungen den passenden Bildern und Schreibweisen zu!

Bezeichnung
Bild bzw. Schreibweise
  1. Punkt
  2. Vektor
  3. Linien
  4. Hypotenuse \(c\)
  5. Ecken, Kanten, Flächen
  6. \(x\)-Achse
  7. Schrägbild
  1. Geometrie Aufgabe Würfel StudySmarter
  2. Geometrie Aufgabe Hypotenuse StudySmarter
  3. \(\vec{v}\)
  4. Geometrie Aufgabe Schrägbild StudySmarter
  5. Geometrie Linien Aufgabe StudySmarter
  6. \(A(3|7)\)
  7. Geometrie Aufgabe x-Achse StudySmarter

Lösung

Die folgende Tabelle besitzt die richtige Zuordnung:

BezeichnungBild bzw. Schreibweise
a. Punkt6. \(A(3|7)\)
b. Vektor3. \(\vec{v}\)
c. Linien5. Geometrie Linien Lösung StudySmarter
d. Hypotenuse \(c\)2. Geometrie Lösung Hypotenuse StudySmarter
e. Ecken, Kanten, Flächen1. Geometrie Lösung Würfel StudySmarter
f. \(x\)-Achse7. Geometrie Lösung x-Achse StudySmarter
g. Schrägbild4. Geometrie Lösung Schrägbild StudySmarter

Aufgabe 2

Sieh Dich einmal um: Entdeckst Du bereits eine der Formen, die Du hier kennenlernen konntest? Wo findest Du Geometrie in Deinem Umfeld wieder?

Lösung

Für diese Aufgabe gibt es keine feste Lösung. Möglicherweise sitzt Du aber gerade am Schreibtisch, dessen Tischplatte meist ein Rechteck bildet. Oder vielleicht bist Du heute durch einen Kreisverkehr gefahren, der die Form eines Kreises besitzt. Sieh Dich gerne weiter um – Du wirst verblüfft sein, wie oft Dir im Alltag die Geometrie begegnet: Auf Plakaten, an Gebäuden, auf Kleidung oder Schmuck, im Verkehr ...

Geometrie – Das Wichtigste

  • Geometrie bezeichnet die Lehre von zweidimensionalen Figuren wie Punkten, Geraden oder Vielecken sowie dreidimensionalen Körpern wie Kugeln oder Würfeln.
  • Es gibt einige geometrische Grundbegriffe, die grundlegend für das Verständnis der gesamten Geometrie sind, wie z. B. das Koordinatensystem, der Punkt und die Linie.
  • Ein geometrischer Körper ist ein dreidimensionales Gebilde. Er hat einen Rauminhalt.
  • Die Trigonometrie beschäftigt sich mit der Beziehung zwischen Seiten und Winkeln eines Dreiecks.
  • Die analytische Geometrie, auch Vektorgeometrie genannt, ist ein Teilgebiet der Geometrie, in dem Hilfsmittel aus der Algebra genutzt werden, um geometrische Probleme zu lösen.

Nachweise

  1. Helmerich, Lengnink (2015). Einführung Mathematik Primarstufe – Geometrie. Springer Berlin-Heidelberg.
  2. Kasten, Vogel (2018). Grundlagen der ebenen Geometrie. Springer-Verlag.

Häufig gestellte Fragen zum Thema Geometrie

Die Elementargeometrie befasst sich mit Punkten, Geraden, Winkeln und Figuren und der Berechnung von Flächen, Umfängen, Volumina etc.

Es gibt verschiedene Arten der Geometrie. Die in der Schule wichtigste Geometrie ist wohl die euklidische Geometrie, auch Elementargeometrie genannt.

Geometrie bezeichnet das Wissen über zweidimensionale Figuren wie Punkte, Geraden oder Vielecke sowie über dreidimensionale Körper wie Kugeln oder Würfel. Die Geometrie beschäftigt sich mit dem Messen, Berechnen und Konstruieren von Winkeln, Abständen und den eben genannten Figuren.

Zu den geometrischen Grundformen gehören Begriffe wie der Punkt, die Linie, das Dreieck, das Viereck, der Kreis sowie die Gerade, die Strecke und der Strahl.

Finales Geometrie Quiz

Frage

Was ist der Flächeninhalt eines Rechtecks?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Flächeninhalt A eines Rechtecks ist ein Maß für die Größe einer Fläche. Er ist abhängig von der Länge der Seiten des Rechtecks, welche allgemein als a und b bezeichnet werden können. Es gilt:



Frage anzeigen

Frage

In welcher Einheit wird der Flächeninhalt angegeben?

Antwort anzeigen

Antwort

Eine Fläche wird meistens in mm² (Millimeter), cm² (Zentimeter), m² (Meter) oder km² (Kilometer) angegeben.

Frage anzeigen

Frage

Nenne die Formel zur Berechnung des Flächeninhalts A eines Rechtecks mit den Seiten a und b!

Antwort anzeigen

Antwort

A = a · b

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Unterschied zwischen einem Rechteck und einem Quadrat?

Antwort anzeigen

Antwort

Im Gegensatz zum Quadrat, wo alle vier Seiten gleich lang sind, sind beim Rechteck jeweils die zwei gegenüberliegenden Seiten gleich lang.

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Flächeninhalt A eines Rechtecks mit den Seiten  und !

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Berechne die Seite a eines Rechtecks, welches einen Umfang von  und eine Seite  aufweist!

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Wie viele Symmetrieachsen hat ein Rechteck?

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei.

Frage anzeigen

Frage

Wie wird der Flächeninhalt mathematisch abgekürzt?

Antwort anzeigen

Antwort

Mit dem Großbuchstaben A


Frage anzeigen

Frage

Was ist der Unterschied zwischen einem Rechteck und einem Quader (beispielsweise einem Schuhkarton)?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Rechteck ist eine Figur in der zweidimensionalen Ebene. Ein Quader ist eine Figur im Dreidimensionalen.


Frage anzeigen

Frage

Welche Eigenschaften lassen sich dem Rechteck zuordnen?

Antwort anzeigen

Antwort

Jeweils zwei Seiten sind gleich lang.

Frage anzeigen

Frage

Was ist der Unterschied zwischen dem Umfang und dem Flächeninhalt?

Antwort anzeigen

Antwort

Die eingeschlossene Fläche beschreibt den Flächeninhalt A, während der Umfang U die Summe der umliegenden Seiten ist.


Frage anzeigen

Frage

Überlege, in welchen Alltagssituationen könnte Dir der Flächeninhalt eines Rechtecks helfen?


Antwort anzeigen

Antwort

Zum Beispiel, wenn Du eine Wand streichen möchtest und die Fläche der Wand ausrechnen willst, um ausreichend Farbe zu besorgen. So kann ein Farbeimer beispielsweise für  ausreichend sein und Du möchtest wissen, wie viele Eimer Du zum Streichen benötigst.

Frage anzeigen

Frage

Berechne den Flächeninhalt des Rechtecks mit den Seitenlängen  und !

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Mithilfe welcher Formel kann die fehlende Seitenlänge a eines Rechtecks bei gegebener Diagonale d und der anderen Seite b berechnet werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Frage anzeigen

Frage

Was unterscheidet ein Rechteck von einem Drachenviereck?

Antwort anzeigen

Antwort

Beim Drachenviereck sind die Winkel nicht 90° groß.

Frage anzeigen

Frage

Welche der folgenden Figuren stellen ein Rechteck dar?

Antwort anzeigen

Antwort

Seite eines Schuhkartons.

Frage anzeigen

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