Geometrie

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Geometrie


Geometrie beschreibt ein Teilgebiet der Mathematik, bei dem es um die Beschaffenheit des Raumes und von Körpern geht. In diesem Artikel erklären wir dir was die Geometrie beinhaltet, und einige ihrer Grundlagen.


Viel Spaß beim Lernen!



Was versteht man unter Geometrie?


Der Begriff „Geometrie“ stammt aus dem antiken Griechenland und bedeutet so viel wie Erdmaße, Erdmessung, oder Landmessung

Geometrie ist also der Teilbereich der Mathematik, der sich mit dem Messen und Berechnen von Winkeln, Abständen und Geraden beschäftigt. Deren Beziehungen zueinander sind durch bestimmte Grundsätze, sogenannte Axiome, geregelt. 


Auch beschäftigt sich die Geometrie mit der Beschaffenheit von Körpern. Hierbei werden Figuren in der Ebene (2-Dimensional) wie Dreiecke oder Quadrate betrachtet, aber auch Figuren im Raum (3-Dimensional) wie Pyramiden oder Zylinder. Mit Hilfe von geometrischen Formeln können bestimmte Eigenschaften wie Volumen, Oberfläche, Umfang u.v.m. berechnet werden.


In diesem Artikel wird der Fokus auf die Geometrie der Ebene gelegt.



Grundlagen der Geometrie


Um dir den perfekten Start ins Thema Geometrie zu geben, erklären wir dir jetzt ein paar grundlegende Sachen dazu.



Geometrie - Das Koordinatensystem


Will man die Formen der Geometrie oder auch einfach nur die Lage eines Punktes bestimmen, braucht man zuerst ein Koordinatensystem. Ein Koordinatensystem besteht aus 2 (2-Dimensional) oder 3 (3-Dimensional) Achsen, die jeweils bestimmte Werte haben. Diese Achsen werden üblicherweise mit X,Y und Z beschriftet. Innerhalb so eines Koordinatensystems kann man nun geometrische Formen anhand von Punkten und Geraden aufzeichnen und ihre Eigenschaften einfach berechnen.





Punkte in der Geometrie


Punkte sind einer der wichtigsten Teile der Geometrie, da sie in allen Formen beinhaltet sind. Ein mathematischer Punkt hat keine Fläche, Höhe oder Breite, sondern ist nur ein markierter Ort im Koordinatensystem. Mit Hilfe solcher Punkte, die man an verschiedenen Stellen im Koordinatensystem zeichnet, kann man nun Strecken und Formen bilden. Einen Punkt im Koordinatensystem markierst du so: 


P (X I Y)


X beschreibt hier den Wert der x-Achse, und Y den Wert der y-Achse. Der Punkt findet sich dann auf dem Schnittpunkt des x- und y-Wert. Beim Punkt P (2 I 1) musst du also den Schnittpunkt zwischen 2 auf der x-Achse und 1 auf der y-Achse einzeichnen.



Strecken in der Geometrie


Finden sich zwei Punkte in einem Koordinatensystem, die miteinander verbunden sind, hat man eine Strecke. Eine Strecke ist immer eine Gerade, da sie die schnellste Verbindung zwischen den zwei Punkten darstellt. Eine Strecke im Koordinatensystem markierst du so:


IABI 


A    (2 I 1)

B    (-3 I 2) 


Hierbei beschreibt IABI also die Strecke zwischen den zwei Punkten A und B. Will man nun die Länge der Streck berechnen, muss man den Satz des Pythagoras verwenden. Die Formel für die Berechnung lautet also wie folgt:




In unserem Beispiel würde das also so aussehen:


√(-3 - 2)² + (2 - 1)² = 6


Die Länge der Strecke und Entfernung zwischen den zwei Punkten A und B ist also 6.



Formen in der Geometrie


Verwendest du jetzt mehrere Punkte und Strecken in deinem Koordinatensystem, kannst du damit auch geometrische Formen aufzeichnen. Aus 4 Punkten und Strecken, die die Punkte verbinden, entsteht ein Viereck, aus 3 Punkten ein Dreieck.



via nachgeholfen.de

 

Winkel in der Geometrie


Gehen von einem Punkt zwei unterschiedliche Geraden aus oder schneiden sich zwei verschiedene Geraden, bildet diese eine Neigung. Diese Neigung wird als Winkel angegeben. Die zwei Geraden bilden dabei den Schenkel der Winkel, der Schnittpunkt wird üblicherweise als Scheitelpunkt S gekennzeichnet.


via wikipedia.org

 

Im Beispielbild haben wir also die zwei Strecken AB und BC. Den Winkel dieses Schnittpunktes bezeichnet man deshalb als ∠ABC.



Das Wichtigste zur Geometrie auf einen Blick!


  • Geometrie ist der Teilbereich der Mathematik, der sich mit der Beschaffenheit von Räumen und Objekten in diesen Räumen beschäftigt.


  • Konkret beinhaltet die Geometrie das Messen und Berechnen von solchen Formen. Diese Berechnungen basieren auf sogenannten Axiomen. Das sind Grundsatzregeln, die die Beziehungen zwischen Punkten, Geraden, Winkeln und Formen aufzeigen.


  • Grundlegend für die Berechnung von geometrischen Formen sind Punkte und Strecken.


  • Punkte zeichnet man anhand ihrer x- und y-Werte in ein Koordinatensystem ein.


  • Die Linie zwischen zwei Punkten nennt man Strecke.


  • Mit Hilfe dieser Punkte und Strecken kann man nun die meisten geometrischen Formen in ein Koordinatensystem aufzeichnen und ihre Eigenschaften berechnen.



Insider Tipp zur Geometrie


Wusstest du, dass Geometrie das älteste mathematische Teilgebiet ist? Viele Hundert Jahre lang war es auch das einzige Teilgebiet der Mathematik, sodass die Mathematik sich nur mit Geometrie beschäftigte.

Finales Geometrie Quiz

Frage

Durch was wird eine Gerade bestimmt?

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Antwort

Eine Gerade g ist durch zwei Punkte A und B eindeutig bestimmt; man schreibt g = AB.

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Frage

Was kann bei zwei Geraden auftreten?

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Antwort

Zwei Geraden g, h in der Ebene können einander in einem Punkt S schneiden oder parallel zueinander sein. Sind g und h parallel, so schreibt man g || h.

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Frage

Wie bemisst sich der Abstand der parallelen Geraden g und h?

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Antwort

Der Abstand zwischen den parallelen Geraden g und h bemisst sich als die Länge der Strecke PQ auf der Lotgeraden ℓ  ⊥ g, ℓ  ⊥ h, wobei P und Q die Schnittpunkte von ℓ  mit den Geraden g und h sind.

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Frage

Wie wird der Abstand zwischen einem Punkt P und einer Geraden g bestimmt?

Antwort anzeigen

Antwort

Der Abstand zwischen einem Punkt P und einer Geraden g wird folgendermaßen bestimmt: Man fällt das Lot ℓ  von P auf g; g und ℓ  schneiden sich in einem Punkt Q. Der Abstand d des Punktes P von g ist dann die Länge d=PQ der Strecke PQ.

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Frage

Was bilden zwei senkrecht aufeinander stehende Zahlengeraden?

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Antwort

Zwei senkrecht aufeinander stehende Zahlengeraden bilden ein rechtwinkliges (kartesisches) Koordinatensystem. Der Schnittpunkt der beiden Zahlengeraden ist der Ursprung O.

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Frage

Wie wird der x-Wert bezeichnet?

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Antwort

Der x-Wert wird auch als Abszisse und der y-Wert als Ordinate bezeichnet.

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Frage

Benennen Sie die Winkelsummen.

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Antwort

Winkelsumme im Dreieck: 180°
Winkelsumme im Viereck: 360°
Winkelsumme im n-Eck: 

(n – 2) ⋅ 180°

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Frage

Wie lässt sich die Achsenspiegelung definieren?

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Antwort

• Eine Achsenspiegelung wird durch eine Spiegelachse s
festgelegt.
• Die Verbindungsgerade eines Punktes P ∉ s mit seinem
Bildpunkt P ' steht senkrecht auf s, d. h. PP '⊥ s.
• Ein Punkt P ∉ s und sein Bildpunkt P' sind von s gleich weit
entfernt.
• Jeder Punkt Q auf der Spiegelachse s fällt mit seinem Bildpunkt zusammen.

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Frage

Wie nennt man eine Figur, die bei Spiegelung an s auf sich selbst abgebildet wird?

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Antwort

Wenn eine Figur bei Spiegelung an s auf sich selbst abgebildet wird, heißt sie achsensymmetrisch und die Spiegelachse s wird Symmetrieachse genannt.

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Frage

Was sind Eigenschaften der Punktspiegelung?

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Antwort

• Strecke und Bildstrecke sind gleich lang.
• Winkel und Bildwinkel sind gleich groß.
• Figur und Bildfigur haben denselben Umlaufsinn.
• Gerade und Bildgerade sind parallel zueinander.

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Frage

Wann heißt ein Dreieck spitzwinklig?

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Antwort

Ein Dreieck heißt spitzwinklig,
wenn jeder Winkel kleiner als 90° ist.

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Frage

Was ist der Umfang eines beliebigen Dreiecks?

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Antwort

Umfang eines beliebigen Dreiecks:

u = a+b+c

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Frage

Wie heißen die Seiten eines Dreiecks, die den rechten Winkel einschließen?

Antwort anzeigen

Antwort

Beim rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel gleich 90°. Die beiden Seiten (hier: a und b), die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten. Die Hypotenuse (hier: c) liegt dem rechten Winkel gegenüber.

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Frage

Was besagt der Satz des Thales?

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Antwort

Satz des Thales
Errichtet man über AB einen Kreis, so bildet jeder Punkt Cn auf der Kreislinie zusammen mit A und B ein rechtwinkliges Dreieck ABCn mit dem rechten Winkel bei C. Dieser Kreis mit dem Durchmesser AB wird Thaleskreis genannt.

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Frage

Was ist die Mittelsenkrechte?

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Antwort

Die Mittelsenkrechten der Seiten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der von allen Eckpunkten des Dreiecks gleich weit entfernt ist, dem Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Winkelhalbierende?

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Antwort

Die Winkelhalbierenden der Winkel
eines Dreiecks schneiden sich in ei-
nem Punkt, der von allen Seiten des
Dreiecks gleich weit entfernt ist, dem
Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks.

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Frage

Was besagt der Kongruenzsatz sss?

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Antwort

Zwei Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie in drei Seiten übereinstimmen.

Frage anzeigen

Frage

Was besagt der Kongruenzsatz sws?

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Antwort

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem von den Seiten eingeschlossenen Zwischenwinkel übereinstimmen.

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Frage

Was besagt der Kongruenzsatz wsw?

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen.

Frage anzeigen

Frage

Was besagt der Kongruenzsatz Ssw?

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem der längeren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen.

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Frage

Wie berechnen Sie den Flächeninhalt eines Rechtecks?

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Antwort

Flächeninhalt eines Rechtecks:

A = Länge ⋅ Breite
A = a ⋅ b

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnen Sie den Umfang eines Rechtecks?

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Antwort

Umfang eines Rechtecks:
u = 2 ⋅ a + 2 ⋅ b = 2 ⋅ (a + b)

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnen Sie den Umfang und den Flächeninhalt eines Quadrats?

Antwort anzeigen

Antwort

Quadrat
• Flächeninhalt eines Quadrats:

A = a2
• Umfang eines Quadrats:
u = 4 ⋅ a

Frage anzeigen

Frage

Wie berechnen Sie den Flächeninhalt und den Umfang eines Parallelogramms?

Antwort anzeigen

Antwort

Parallelogramm
• Flächeninhalt eines Parallelogramms:

A = Grundseite ⋅ Höhe
A = a ⋅ ha = b ⋅ hb
• Umfang eines Parallelogramms:

u = 2 ⋅ a + 2 ⋅ b = 2 ⋅ (a + b)

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Frage

Wie entsteht eine Kresilinie?

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Antwort

Eine Kreislinie entsteht, indem ein
Punkt in einem festen Abstand r,
dem Radius, um einen festen
Punkt, den Mittelpunkt M, wandert.

Frage anzeigen

Frage

Was gilt für den Durchmesser d eines Kreises?

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Antwort

Für den Durchmesser d des Kreises gilt d = 2r.

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Frage

Woraus besteht ein Kreissektor?

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Antwort

Ein Kreissektor (auch Kreisausschnitt) besteht aus der vom Kreisbogen b und den Schenkeln des Winkels ϕ eingeschlossenen Fläche.

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Frage

Wovon wird ein Kreisring begrenzt?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Kreisring wird von zwei Kreislinien um denselben Mittelpunkt begrenzt.

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Frage

Wann heißen zwei Figuren ähnlich zueinander?

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Antwort

Ähnliche Figuren
Zwei Figuren F und G heißen ähnlich zueinander (in Zeichen
F ∼ G), wenn
• ihre entsprechenden Winkel 

gleich groß sind (Winkeltreue) und
• sie im Verhältnis der entsprechenden Streckenlängen übereinstimmen (Verhältnistreue).

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Frage

Was ist die zentrische Streckung?

Antwort anzeigen

Antwort

Die zentrische Streckung ist eine sogenannte Ähnlichkeitsabbildung, die zu einer Figur eine ähnliche Figur erzeugt. Eine zentrische Streckung ist durch das Streckzentrum Z und den Streckfaktor k festgelegt.

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Frage

Was liegt für positive und negative k vor?

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Antwort

Für positive k liegen Original- und Bildpunkt auf der Geraden durch Z auf der gleichen Seite von Z.
Für negative k liegen Original- und Bildpunkt auf der Geraden durch Z auf verschiedenen Seiten von Z.

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Frage

Was ist Voraussetzung bei Strahlensätzen?

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Antwort

Voraussetzung bei den beiden Strahlensätzen (auch: Vierstreckensätze) ist, dass zwei Geraden, die sich in einem Punkt (meist Zentrum Z genannt) schneiden, von zwei parallelen Geraden g und h geschnitten werden.

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Frage

Wann heißt ein Dreieck spitzwinklig?

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Antwort

Ein Dreieck heißt spitzwinklig, wenn jeder Winkel kleiner als 90° ist.

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Frage

Wie heißen die beiden Seiten die den rechten Winkel eines Dreiecks einschließen?

Antwort anzeigen

Antwort

Beim rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel gleich 90°. Die beiden Seiten (hier: a und b), die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten.

Frage anzeigen

Frage

Was besagt der Satz des Thales?

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Antwort

Satz des Thales
Errichtet man über AB einen Kreis, so bildet jeder Punkt Cn auf der Kreislinie zusammen mit A und B ein rechtwinkliges Dreieck ABCn mit dem rechten Winkel bei C. Dieser Kreis mit dem Durchmesser AB wird Thaleskreis genannt.

Frage anzeigen

Frage

Wie groß ist der Winkel bei einem stumpfwinkligen Dreieck?

Antwort anzeigen

Antwort

Im stumpfwinkligen Dreieck ist ein Winkel größer als 90°.

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Frage

Wie lang sind die Seiten bei einem gleichschenkligen Dreieck?

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Antwort

Im gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten („Schenkel“ genannt) gleich lang.

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Frage

Wie groß und land sind Winkel und Seiten bei einem gleichseitigen Dreieck?

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Antwort

Im gleichseitigen Dreieck sind alle
Seiten gleich lang und alle Winkel
gleich groß.

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Frage

Was ist die Mittelsenkrechte?

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Antwort

Die Mittelsenkrechten der Seiten eines Dreiecks schneiden sich in
einem Punkt, der von allen Eckpunkten des Dreiecks gleich weit
entfernt ist, dem Mittelpunkt des
Umkreises des Dreiecks.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Winkelhalbierende?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Winkelhalbierenden der Winkel
eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der von allen Seiten des Dreiecks gleich weit entfernt ist, dem Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks.

Frage anzeigen

Frage

Was ist die Seitenhalbierende?

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Antwort

Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt S des Dreiecks. Der Schwerpunkt S teilt die Längen der Seitenhalbierenden jeweils im Verhältnis 2 : 1.

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Frage

Was besagt der Kongruenzasatz sss?

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Antwort

Zwei Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie in
drei Seiten übereinstimmen.

Frage anzeigen

Frage

Was besagt der Kongruenzsatz sws?

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem von den Seiten eingeschlossenen Zwischenwinkel übereinstimmen.

Frage anzeigen

Frage

Was besagt der Kongurenzsatz wsw?

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen.

Frage anzeigen

Frage

Was besagt der Kongruenzsatz Ssw?

Antwort anzeigen

Antwort

Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem der längeren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen.

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Frage

Für welche Art von Dreieck gilt die Satzgruppe des Pythagoras?

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Antwort

Für ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c sowie der Höhe h und den Hypotenusenabschnitten p und q g

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Frage

Benennen Sie die Namen der Satzgruppe des Pythagoras.

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Antwort

1. Satz des Pythagoras

2. Kathetensatz

3. Höhensatz

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Frage

Was ermöglicht die Trigonometrie?

Antwort anzeigen

Antwort

Die Trigonometrie ermöglicht die Berechnung von Dreiecken und damit von beliebigen geradlinig begrenzten geometrischen Figuren.

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Frage

In welchem Modus muss der Taschenrechner sein, wenn Winkelwerte im Gradmaß verwendet werden sollen?

Antwort anzeigen

Antwort

Werte für weitere Winkel kann man dem Taschenrechner entnehmen. Will man Winkelwerte im Gradmaß verwenden, muss der Rechner im DEG-Modus sein.

Frage anzeigen

Frage

Auf welche Dreiecke können  die Berechnungsmöglichkeiten des Sinussatzes und des Kosinussatzes übertragen werden?

Antwort anzeigen

Antwort

Mithilfe des Sinussatzes und des Kosinussatzes können die Berechnungsmöglichkeiten durch trigonometrische Funktionen auf beliebige Dreiecke übertragen werden.

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