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Geometrie
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Inhaltsangabe:
INHALTSANGABE
Geometrie
Geometrie beschreibt ein Teilgebiet der Mathematik, bei dem es um die Beschaffenheit des Raumes und von Körpern geht. In diesem Artikel erklären wir dir was die Geometrie beinhaltet, und einige ihrer Grundlagen.
Viel Spaß beim Lernen!
Was versteht man unter Geometrie?
Der Begriff „Geometrie“ stammt aus dem antiken Griechenland und bedeutet so viel wie Erdmaße, Erdmessung, oder Landmessung.
Geometrie ist also der Teilbereich der Mathematik, der sich mit dem Messen und Berechnen von Winkeln, Abständen und Geraden beschäftigt. Deren Beziehungen zueinander sind durch bestimmte Grundsätze, sogenannte Axiome, geregelt.
Auch beschäftigt sich die Geometrie mit der Beschaffenheit von Körpern. Hierbei werden Figuren in der Ebene (2-Dimensional) wie Dreiecke oder Quadrate betrachtet, aber auch Figuren im Raum (3-Dimensional) wie Pyramiden oder Zylinder. Mit Hilfe von geometrischen Formeln können bestimmte Eigenschaften wie Volumen, Oberfläche, Umfang u.v.m. berechnet werden.
In diesem Artikel wird der Fokus auf die Geometrie der Ebene gelegt.
Grundlagen der Geometrie
Um dir den perfekten Start ins Thema Geometrie zu geben, erklären wir dir jetzt ein paar grundlegende Sachen dazu.
Geometrie - Das Koordinatensystem
Will man die Formen der Geometrie oder auch einfach nur die Lage eines Punktes bestimmen, braucht man zuerst ein Koordinatensystem. Ein Koordinatensystem besteht aus 2 (2-Dimensional) oder 3 (3-Dimensional) Achsen, die jeweils bestimmte Werte haben. Diese Achsen werden üblicherweise mit X,Y und Z beschriftet. Innerhalb so eines Koordinatensystems kann man nun geometrische Formen anhand von Punkten und Geraden aufzeichnen und ihre Eigenschaften einfach berechnen.
Punkte in der Geometrie
Punkte sind einer der wichtigsten Teile der Geometrie, da sie in allen Formen beinhaltet sind. Ein mathematischer Punkt hat keine Fläche, Höhe oder Breite, sondern ist nur ein markierter Ort im Koordinatensystem. Mit Hilfe solcher Punkte, die man an verschiedenen Stellen im Koordinatensystem zeichnet, kann man nun Strecken und Formen bilden. Einen Punkt im Koordinatensystem markierst du so:
P (X I Y)
X beschreibt hier den Wert der x-Achse, und Y den Wert der y-Achse. Der Punkt findet sich dann auf dem Schnittpunkt des x- und y-Wert. Beim Punkt P (2 I 1) musst du also den Schnittpunkt zwischen 2 auf der x-Achse und 1 auf der y-Achse einzeichnen.
Strecken in der Geometrie
Finden sich zwei Punkte in einem Koordinatensystem, die miteinander verbunden sind, hat man eine Strecke. Eine Strecke ist immer eine Gerade, da sie die schnellste Verbindung zwischen den zwei Punkten darstellt. Eine Strecke im Koordinatensystem markierst du so:
IABI
A (2 I 1)
B (-3 I 2)
Hierbei beschreibt IABI also die Strecke zwischen den zwei Punkten A und B. Will man nun die Länge der Streck berechnen, muss man den Satz des Pythagoras verwenden. Die Formel für die Berechnung lautet also wie folgt:
In unserem Beispiel würde das also so aussehen:
√(-3 - 2)² + (2 - 1)² = 6
Die Länge der Strecke und Entfernung zwischen den zwei Punkten A und B ist also 6.
Formen in der Geometrie
Verwendest du jetzt mehrere Punkte und Strecken in deinem Koordinatensystem, kannst du damit auch geometrische Formen aufzeichnen. Aus 4 Punkten und Strecken, die die Punkte verbinden, entsteht ein Viereck, aus 3 Punkten ein Dreieck.
via nachgeholfen.de
Winkel in der Geometrie
Gehen von einem Punkt zwei unterschiedliche Geraden aus oder schneiden sich zwei verschiedene Geraden, bildet diese eine Neigung. Diese Neigung wird als Winkel angegeben. Die zwei Geraden bilden dabei den Schenkel der Winkel, der Schnittpunkt wird üblicherweise als Scheitelpunkt S gekennzeichnet.
via wikipedia.org
Im Beispielbild haben wir also die zwei Strecken AB und BC. Den Winkel dieses Schnittpunktes bezeichnet man deshalb als ∠ABC.
Das Wichtigste zur Geometrie auf einen Blick!
- Geometrie ist der Teilbereich der Mathematik, der sich mit der Beschaffenheit von Räumen und Objekten in diesen Räumen beschäftigt.
- Konkret beinhaltet die Geometrie das Messen und Berechnen von solchen Formen. Diese Berechnungen basieren auf sogenannten Axiomen. Das sind Grundsatzregeln, die die Beziehungen zwischen Punkten, Geraden, Winkeln und Formen aufzeigen.
- Grundlegend für die Berechnung von geometrischen Formen sind Punkte und Strecken.
- Punkte zeichnet man anhand ihrer x- und y-Werte in ein Koordinatensystem ein.
- Die Linie zwischen zwei Punkten nennt man Strecke.
- Mit Hilfe dieser Punkte und Strecken kann man nun die meisten geometrischen Formen in ein Koordinatensystem aufzeichnen und ihre Eigenschaften berechnen.
Insider Tipp zur Geometrie
Wusstest du, dass Geometrie das älteste mathematische Teilgebiet ist? Viele Hundert Jahre lang war es auch das einzige Teilgebiet der Mathematik, sodass die Mathematik sich nur mit Geometrie beschäftigte.
Finales Geometrie Quiz
Frage
Durch was wird eine Gerade bestimmt?
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Antwort
Eine Gerade g ist durch zwei Punkte A und B eindeutig bestimmt; man schreibt g = AB.
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Frage
Was kann bei zwei Geraden auftreten?
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Antwort
Zwei Geraden g, h in der Ebene können einander in einem Punkt S schneiden oder parallel zueinander sein. Sind g und h parallel, so schreibt man g || h.
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Frage
Wie bemisst sich der Abstand der parallelen Geraden g und h?
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Antwort
Der Abstand zwischen den parallelen Geraden g und h bemisst sich als die Länge der Strecke PQ auf der Lotgeraden ℓ ⊥ g, ℓ ⊥ h, wobei P und Q die Schnittpunkte von ℓ mit den Geraden g und h sind.
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Frage
Wie wird der Abstand zwischen einem Punkt P und einer Geraden g bestimmt?
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Antwort
Der Abstand zwischen einem Punkt P und einer Geraden g wird folgendermaßen bestimmt: Man fällt das Lot ℓ von P auf g; g und ℓ schneiden sich in einem Punkt Q. Der Abstand d des Punktes P von g ist dann die Länge d=PQ der Strecke PQ.
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Frage
Was bilden zwei senkrecht aufeinander stehende Zahlengeraden?
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Antwort
Zwei senkrecht aufeinander stehende Zahlengeraden bilden ein rechtwinkliges (kartesisches) Koordinatensystem. Der Schnittpunkt der beiden Zahlengeraden ist der Ursprung O.
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Frage
Wie wird der x-Wert bezeichnet?
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Antwort
Der x-Wert wird auch als Abszisse und der y-Wert als Ordinate bezeichnet.
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Frage
Benennen Sie die Winkelsummen.
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Antwort
Winkelsumme im Dreieck: 180°
Winkelsumme im Viereck: 360°
Winkelsumme im n-Eck:
(n – 2) ⋅ 180°
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Frage
Wie lässt sich die Achsenspiegelung definieren?
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Antwort
• Eine Achsenspiegelung wird durch eine Spiegelachse s
festgelegt.
• Die Verbindungsgerade eines Punktes P ∉ s mit seinem
Bildpunkt P ' steht senkrecht auf s, d. h. PP '⊥ s.
• Ein Punkt P ∉ s und sein Bildpunkt P' sind von s gleich weit
entfernt.
• Jeder Punkt Q auf der Spiegelachse s fällt mit seinem Bildpunkt zusammen.
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Frage
Wie nennt man eine Figur, die bei Spiegelung an s auf sich selbst abgebildet wird?
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Antwort
Wenn eine Figur bei Spiegelung an s auf sich selbst abgebildet wird, heißt sie achsensymmetrisch und die Spiegelachse s wird Symmetrieachse genannt.
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Frage
Was sind Eigenschaften der Punktspiegelung?
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Antwort
• Strecke und Bildstrecke sind gleich lang.
• Winkel und Bildwinkel sind gleich groß.
• Figur und Bildfigur haben denselben Umlaufsinn.
• Gerade und Bildgerade sind parallel zueinander.
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Frage
Wann heißt ein Dreieck spitzwinklig?
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Antwort
Ein Dreieck heißt spitzwinklig,
wenn jeder Winkel kleiner als 90° ist.
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Frage
Was ist der Umfang eines beliebigen Dreiecks?
Antwort anzeigen
Antwort
Umfang eines beliebigen Dreiecks:
u = a+b+c
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Frage
Wie heißen die Seiten eines Dreiecks, die den rechten Winkel einschließen?
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Antwort
Beim rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel gleich 90°. Die beiden Seiten (hier: a und b), die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten. Die Hypotenuse (hier: c) liegt dem rechten Winkel gegenüber.
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Frage
Was besagt der Satz des Thales?
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Antwort
Satz des Thales
Errichtet man über AB einen Kreis, so bildet jeder Punkt Cn auf der Kreislinie zusammen mit A und B ein rechtwinkliges Dreieck ABCn mit dem rechten Winkel bei C. Dieser Kreis mit dem Durchmesser AB wird Thaleskreis genannt.
Frage anzeigen
Frage
Was ist die Mittelsenkrechte?
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Antwort
Die Mittelsenkrechten der Seiten eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der von allen Eckpunkten des Dreiecks gleich weit entfernt ist, dem Mittelpunkt des Umkreises des Dreiecks.
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Frage
Was ist die Winkelhalbierende?
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Antwort
Die Winkelhalbierenden der Winkel
eines Dreiecks schneiden sich in ei-
nem Punkt, der von allen Seiten des
Dreiecks gleich weit entfernt ist, dem
Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks.
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Frage
Was besagt der Kongruenzsatz sss?
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Antwort
Zwei Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie in drei Seiten übereinstimmen.
Frage anzeigen
Frage
Was besagt der Kongruenzsatz sws?
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Antwort
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem von den Seiten eingeschlossenen Zwischenwinkel übereinstimmen.
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Frage
Was besagt der Kongruenzsatz wsw?
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Antwort
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen.
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Frage
Was besagt der Kongruenzsatz Ssw?
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Antwort
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem der längeren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen.
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Frage
Wie berechnen Sie den Flächeninhalt eines Rechtecks?
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Antwort
Flächeninhalt eines Rechtecks:
A = Länge ⋅ Breite
A = a ⋅ b
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Frage
Wie berechnen Sie den Umfang eines Rechtecks?
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Antwort
Umfang eines Rechtecks:
u = 2 ⋅ a + 2 ⋅ b = 2 ⋅ (a + b)
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Frage
Wie berechnen Sie den Umfang und den Flächeninhalt eines Quadrats?
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Antwort
Quadrat
• Flächeninhalt eines Quadrats:
A = a2
• Umfang eines Quadrats:
u = 4 ⋅ a
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Frage
Wie berechnen Sie den Flächeninhalt und den Umfang eines Parallelogramms?
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Antwort
Parallelogramm
• Flächeninhalt eines Parallelogramms:
A = Grundseite ⋅ Höhe
A = a ⋅ ha = b ⋅ hb
• Umfang eines Parallelogramms:
u = 2 ⋅ a + 2 ⋅ b = 2 ⋅ (a + b)
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Frage
Wie entsteht eine Kresilinie?
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Antwort
Eine Kreislinie entsteht, indem ein
Punkt in einem festen Abstand r,
dem Radius, um einen festen
Punkt, den Mittelpunkt M, wandert.
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Frage
Was gilt für den Durchmesser d eines Kreises?
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Antwort
Für den Durchmesser d des Kreises gilt d = 2r.
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Frage
Woraus besteht ein Kreissektor?
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Antwort
Ein Kreissektor (auch Kreisausschnitt) besteht aus der vom Kreisbogen b und den Schenkeln des Winkels ϕ eingeschlossenen Fläche.
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Frage
Wovon wird ein Kreisring begrenzt?
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Antwort
Ein Kreisring wird von zwei Kreislinien um denselben Mittelpunkt begrenzt.
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Frage
Wann heißen zwei Figuren ähnlich zueinander?
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Antwort
Ähnliche Figuren
Zwei Figuren F und G heißen ähnlich zueinander (in Zeichen
F ∼ G), wenn
• ihre entsprechenden Winkel
gleich groß sind (Winkeltreue) und
• sie im Verhältnis der entsprechenden Streckenlängen übereinstimmen (Verhältnistreue).
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Frage
Was ist die zentrische Streckung?
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Antwort
Die zentrische Streckung ist eine sogenannte Ähnlichkeitsabbildung, die zu einer Figur eine ähnliche Figur erzeugt. Eine zentrische Streckung ist durch das Streckzentrum Z und den Streckfaktor k festgelegt.
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Frage
Was liegt für positive und negative k vor?
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Antwort
Für positive k liegen Original- und Bildpunkt auf der Geraden durch Z auf der gleichen Seite von Z.
Für negative k liegen Original- und Bildpunkt auf der Geraden durch Z auf verschiedenen Seiten von Z.
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Frage
Was ist Voraussetzung bei Strahlensätzen?
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Antwort
Voraussetzung bei den beiden Strahlensätzen (auch: Vierstreckensätze) ist, dass zwei Geraden, die sich in einem Punkt (meist Zentrum Z genannt) schneiden, von zwei parallelen Geraden g und h geschnitten werden.
Frage anzeigen
Frage
Wann heißt ein Dreieck spitzwinklig?
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Antwort
Ein Dreieck heißt spitzwinklig, wenn jeder Winkel kleiner als 90° ist.
Frage anzeigen
Frage
Wie heißen die beiden Seiten die den rechten Winkel eines Dreiecks einschließen?
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Antwort
Beim rechtwinkligen Dreieck ist ein Winkel gleich 90°. Die beiden Seiten (hier: a und b), die den rechten Winkel einschließen, heißen Katheten.
Frage anzeigen
Frage
Was besagt der Satz des Thales?
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Antwort
Satz des Thales
Errichtet man über AB einen Kreis, so bildet jeder Punkt Cn auf der Kreislinie zusammen mit A und B ein rechtwinkliges Dreieck ABCn mit dem rechten Winkel bei C. Dieser Kreis mit dem Durchmesser AB wird Thaleskreis genannt.
Frage anzeigen
Frage
Wie groß ist der Winkel bei einem stumpfwinkligen Dreieck?
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Antwort
Im stumpfwinkligen Dreieck ist ein Winkel größer als 90°.
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Frage
Wie lang sind die Seiten bei einem gleichschenkligen Dreieck?
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Antwort
Im gleichschenkligen Dreieck sind zwei Seiten („Schenkel“ genannt) gleich lang.
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Frage
Wie groß und land sind Winkel und Seiten bei einem gleichseitigen Dreieck?
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Antwort
Im gleichseitigen Dreieck sind alle
Seiten gleich lang und alle Winkel
gleich groß.
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Frage
Was ist die Mittelsenkrechte?
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Antwort
Die Mittelsenkrechten der Seiten eines Dreiecks schneiden sich in
einem Punkt, der von allen Eckpunkten des Dreiecks gleich weit
entfernt ist, dem Mittelpunkt des
Umkreises des Dreiecks.
Frage anzeigen
Frage
Was ist die Winkelhalbierende?
Antwort anzeigen
Antwort
Die Winkelhalbierenden der Winkel
eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, der von allen Seiten des Dreiecks gleich weit entfernt ist, dem Mittelpunkt des Inkreises des Dreiecks.
Frage anzeigen
Frage
Was ist die Seitenhalbierende?
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Antwort
Die Seitenhalbierenden eines Dreiecks schneiden sich in einem Punkt, dem Schwerpunkt S des Dreiecks. Der Schwerpunkt S teilt die Längen der Seitenhalbierenden jeweils im Verhältnis 2 : 1.
Frage anzeigen
Frage
Was besagt der Kongruenzasatz sss?
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Antwort
Zwei Dreiecke sind kongruent (deckungsgleich), wenn sie in
drei Seiten übereinstimmen.
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Frage
Was besagt der Kongruenzsatz sws?
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Antwort
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem von den Seiten eingeschlossenen Zwischenwinkel übereinstimmen.
Frage anzeigen
Frage
Was besagt der Kongurenzsatz wsw?
Antwort anzeigen
Antwort
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in einer Seite und den beiden anliegenden Winkeln übereinstimmen.
Frage anzeigen
Frage
Was besagt der Kongruenzsatz Ssw?
Antwort anzeigen
Antwort
Zwei Dreiecke sind kongruent, wenn sie in zwei Seiten und dem der längeren Seite gegenüberliegenden Winkel übereinstimmen.
Frage anzeigen
Frage
Für welche Art von Dreieck gilt die Satzgruppe des Pythagoras?
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Antwort
Für ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c sowie der Höhe h und den Hypotenusenabschnitten p und q g
Frage anzeigen
Frage
Benennen Sie die Namen der Satzgruppe des Pythagoras.
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Antwort
1. Satz des Pythagoras
2. Kathetensatz
3. Höhensatz
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Frage
Was ermöglicht die Trigonometrie?
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Antwort
Die Trigonometrie ermöglicht die Berechnung von Dreiecken und damit von beliebigen geradlinig begrenzten geometrischen Figuren.
Frage anzeigen
Frage
In welchem Modus muss der Taschenrechner sein, wenn Winkelwerte im Gradmaß verwendet werden sollen?
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Antwort
Werte für weitere Winkel kann man dem Taschenrechner entnehmen. Will man Winkelwerte im Gradmaß verwenden, muss der Rechner im DEG-Modus sein.
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Frage
Auf welche Dreiecke können die Berechnungsmöglichkeiten des Sinussatzes und des Kosinussatzes übertragen werden?
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Antwort
Mithilfe des Sinussatzes und des Kosinussatzes können die Berechnungsmöglichkeiten durch trigonometrische Funktionen auf beliebige Dreiecke übertragen werden.
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