Dreiecksungleichung

Hast du jemals versucht, ein Dreieck zu zeichnen, bei dem eine Dreiecksseite länger war, als die anderen beiden Seiten zusammen? 

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Dein Versuch ist dabei sicher ähnlich geendet wie dieser hier:

    Dreiecksungleichung unvollständiges Dreieck StudySmarterAbbildung 1: unvollständiges Dreieck

    Das liegt daran, dass die Dreiecksungleichung, die eine Voraussetzung für die Existenz eines jeden Dreiecks ist, nicht eingehalten wird.

    Was die Dreiecksungleichung ist und wann sie eingehalten wird, erfährst du in diesem Artikel. Neben der Dreiecksungleichung gibt es auch noch die umgekehrte Dreiecksungleichung.

    Dreiecksungleichung einfach erklärt

    Am Anfang dieses Artikels erhältst du einen Überblick darüber, was die Dreiecksungleichung überhaupt ist. Das ist wichtig, um sie später anwenden und beweisen zu können.

    Die Dreiecksungleichung ist ein wichtiger Satz in der Geometrie. Der Satz besagt:

    Die Summe der Längen der Seiten a und b eines Dreiecks ABC ist größer als die Länge der Seite c des Dreiecks.

    Anders ausgedrückt: Eine Seitenlänge des Dreiecks ABC ist kleiner als die Summe der beiden anderen Seitenlängen des Dreiecks.

    Gemäß der Dreiecksungleichung gilt also für die Seiten a, b und c des Dreiecks ABC:

    Dreiecksungleichung Definition Formel StudySmarter

    Um die Idee der Dreiecksungleichung zu verstehen, bietet es sich an, das folgende Dreieck ABC zur Hilfe zu nehmen:

    Dreiecksungleichung Erklärung Beispiel StudySmarter

    Abbildung 2: Beispieldreieck ABC

    Die Idee, die hinter dem Satz der Dreiecksungleichung steckt, ist folgende:

    Es gibt zwei Möglichkeiten, um vom Eckpunkt A zum Eckpunkt C zu kommen, indem man die Seiten a, b und c des Dreiecks als Wegstrecken verwendet:

    • Möglichkeit 1: Man nimmt den direkten Weg von Eckpunkt A über die Seite b zum Eckpunkt C:

    Dreiecksungleichung Erklärung Beispiel StudySmarterAbbildung 3: Wegmöglichkeit 1

    • Möglichkeit 2: Man nimmt den indirekten Weg von Eckpunkt A über die Seite c zum Eckpunkt B und von da aus über die Seite a zum Eckpunkt C:

    Dreiecksungleichung Erklärung Beispiel StudySmarterAbbildung 4: Wegmöglichkeit 2

    Dir fällt sicher schnell auf, dass der Weg über den Eckpunkt B ein Umweg ist. Daraus resultiert, dass die Summe der Seitenlängen der Seiten c und a größer ist als die Länge der Seite b.

    Mit anderen Worten: Die Seite b ist kürzer als die Seiten c und a zusammen.

    Diese Idee kann genauso auf die Verbindung der Eckpunkte A und B sowie die Verbindung der Eckpunkte B und C übertragen werden.

    Dreiecksungleichung Satz

    Ganz mathematisch korrekt war die Definition der Dreiecksungleichung im vorherigen Abschnitt nicht. Sofern du aber noch nicht mit Vektoren sondern nur mit den Seitenlängen eines Dreiecks rechnest, reicht die oben erläuterte Definition der Dreiecksungleichung für dich vollkommen aus. Du solltest diesen Artikel aber jetzt nicht voreilig schließen. Am Ende dieses Artikels findest du noch Übungsaufgaben zur Dreiecksungleichung.

    Du bist schon in der Oberstufe und rechnest bereits mit Vektoren? Dann solltest du dir den folgenden Abschnitt unbedingt anschauen.

    Satz der Dreiecksungleichung

    Gemäß der Dreiecksungleichung gilt für die Seiten a, b und c eines Dreiecks ABC:

    |a||b|+|c| und|b||a|+|c| und|c||a|+|b|

    Diese Definition weicht nur kaum von der obigen Definition ab.

    Die Unterschiede sind folgende: Sie beinhaltet Betragsstriche für jede der drei Dreiecksseiten und erweitert dasKleiner-Zeichen um den Gleichheitsfall.

    Wendest du die Formel der Dreiecksungleichung für ein ganz normales Dreieck an, ist es egal, ob du die Formel mit oder ohne Betragsstriche verwendest. Das liegt daran, dass die Seitenlängen von Dreiecken immer positiv sind. Wenn du die Formel der Dreiecksungleichungen aber bei Vektoren anwendest, musst du unbedingt an die Betragsstriche denken!

    Man kann den Gleichheitsfall auch auf Dreiecke übertragen, jedoch erhält man dann kein normales Dreieck.

    Ist die Summe zweier Seitenlängen genauso groß wie die dritte Seite, so liegen alle drei "Eckpunkte des Dreiecks" auf einer Strecke.

    Bei einem solchen Dreieck handelt es sich um ein entartetes Dreieck.

    Ein Beispiel für ein solches Dreieck siehst du hier:

    Dreiecksungleichung entartetes Dreieck StudySmarterAbbildung 5: Entartetes Dreieck

    Wie du siehst, handelt es sich bei zwei der Seiten des Dreiecks, also den Strecken und um Teilstrecken der dritten Seite, die durch die Strecke dargestellt wird.

    Die Strecke ist demnach die längste Seite des Dreiecks und genauso lang, wie die Strecken und zusammen. Es gilt:

    Das ist der Grund, warum der Satz der Dreiecksungleichung den Gleichheitsfall berücksichtigt.

    Satz der umgekehrten Dreiecksungleichung

    Super, du kennst nun die Dreiecksungleichung. Doch was hat es mit der umgekehrten Dreiecksungleichung auf sich?

    Die Antwort auf diese Frage erhältst du in diesem Abschnitt des Artikels.

    Die umgekehrte Dreiecksungleichung wird auch inverse Dreiecksungleichung genannt.

    Sie ergibt sich, indem die reguläre Dreiecksungleichung in mehreren Schritten umgeformt wird.

    Gemäß der umgekehrten Dreiecksungleichung gilt für die Seiten a, b und c eines Dreiecks ABC:

    Dreiecksungleichung Formel umgekehrte Dreiecksungleichung StudySmarter

    Wie genau man die umgekehrte Dreiecksungleichung aus der Dreiecksungleichung herleitet, musst du nicht im Detail wissen. Im Beweis der umgekehrten Dreiecksungleichung kannst du dir aber anschauen, wie man die umgekehrte Dreiecksungleichung zurück in die Form der Dreiecksungleichung überführen kann.

    Umgekehrte Dreiecksgleichung Beweis

    Dreiecksungleichung Beweis StudySmarter

    Nachdem du nun gelernt hast, was die Dreiecksungleichung und die umgekehrte Dreiecksungleichung sind, erfährst du in diesem Abschnitt wie die beiden Ungleichungen bewiesen werden können.

    Beweis der Dreiecksungleichung

    Die Dreiecksungleichung kann bewiesen werden, indem man sie quadriert. Das ist nur möglich, da es sich bei allen Bestandteilen der Ungleichung um Beträge handelt. Da aus diesem Grund mit keiner negativen Zahl gerechnet wird, ist das Quadrieren an dieser Stelle erlaubt.

    Wenn man die Dreiecksungleichung in der Form quadriert, ergibt sich folgende Ungleichung:

    Um die Dreiecksungleichung zu quadrieren, wurde die erste binomische Formel angewandt. Du weißt nicht mehr ganz genau, wie man die binomischen Formeln verwendet? Kein Problem, lies dir einfach nochmal unseren Artikel zum Thema "Binomische Formeln" durch.

    Wie du siehst, beinhalten beide Seiten der Ungleichung die Summanden und .

    Im nächsten Schritt subtrahierst du diese beiden Summanden auf beiden Seiten der Ungleichung. Daraus resultiert:

    Diese Ungleichung gilt für alle reellen Zahlen. Sind a und b beide positiv oder negativ, so sind beide Seiten der Ungleichung gleich groß. Ist einer der beiden Faktoren negativ, so ist kleiner als .

    Deshalb ist die Dreiecksungleichung hiermit bewiesen.

    q. e. d.

    q. e. d. ist eine Abkürzung für den lateinischen Satz "Quod erat demonstrandum".

    Das bedeutet so viel wie "Was zu beweisen war" und steht in der Regel am Ende eines Beweises.

    Beweis der umgekehrten Dreiecksungleichung

    Der Beweis der umgekehrten Dreiecksungleichung baut auf der regulären Dreiecksungleichung, die bereits bewiesen wurde, auf.

    Dazu soll gezeigt werden, dass die umgekehrte Dreiecksungleichung zurück in die Form der regulären Dreiecksungleichung überführt werden kann.

    Zu Beginn dieses Beweises muss eine Fallunterscheidung vorgenommen werden. Man unterscheidet die Fälle und .

    Beweis der umgekehrten Dreiecksungleichung für a ≥ b

    Zunächst soll die umgekehrte Dreiecksungleichung für den Fall bewiesen werden.

    Wenn , gilt für

    Deshalb reicht es in diesem Fall zu zeigen, dass die folgende Ungleichung gilt:

    Im ersten Schritt formt man in um. Eine solche Umformung macht man sich in vielen mathematischen Beweisen zu Nutze. Diese Umformung ist zulässig, da der der Wert von b zuerst subtrahiert und dann wieder addiert wird. Der Betrag ändert sich deshalb nicht.Die Umformung vonwird nun in die zu beweisende Ungleichung eingesetzt:
    Als Nächstes wird der Betrag von b auf beiden Seiten der Ungleichung hinzuaddiert. Es ergibt sich:
    Wenn nun jedes durch ein ersetzt wird, folgt diese Ungleichung:
    Da diese Ungleichung die Form der regulären Dreiecksungleichung hat, ist die umgekehrte Dreiecksungleichung für bewiesen.

    Beweis der umgekehrten Dreiecksungleichung für a < b

    Abschließend muss die umgekehrte Dreiecksungleichung noch für den Fall bewiesen werden.

    Dafür wird eine ähnliche Vorgehensweise gewählt.

    Wenn , gilt für

    Deshalb reicht es zu zeigen, dass die folgende Ungleichung gilt:

    Im ersten Schritt wird der Betrag von b umgeformt: Statt wird nun geschrieben.

    Diese Umformung wird jetzt in die zu beweisende Ungleichung eingesetzt. Es folgt:

    Als Nächstes wird auf beiden Seiten der Ungleichung der Betrag von a addiert. Daraus resultiert:

    Zum Schluss wird nur noch durch ersetzt. Da für die Beträge der Differenzen von a und b gilt , kann auch durch ersetzt werden.

    Deshalb folgt:

    Auch diese Ungleichung hat die Form der regulären Dreiecksungleichung. Daher ist die umgekehrte Dreiecksungleichung hiermit auch für bewiesen.

    Dreiecksungleichung Aufgaben

    Dreiecksungleichung Übungsaufgaben StudySmarter

    Super gemacht! Du weißt nun alles, was du in der Theorie über die Dreiecksungleichung und die umgekehrte Dreiecksungleichung wissen musst. In den folgenden drei Aufgaben kannst du überprüfen, ob du alles zu diesem Thema verstanden hast.

    Aufgabe 1

    Entscheide unter Berücksichtigung der Dreiecksungleichung, ob das Dreieck ABC mit den angegebenen Längen der Seiten a, b und c konstruiert werden kann.

    Es gilt:

    Lösung

    Um zu entscheiden, ob das Dreieck konstruiert werden kann, muss zunächst geprüft werden, ob der Satz der Dreiecksungleichung eingehalten wird.

    Die längste Seite des Dreiecks ABC ist die Seite c. Die Bedingungen und der Dreiecksungleichung sind daher erfüllt.

    Deshalb reicht es zu prüfen, ob gilt.

    Dazu setzt du die Werte der Seitenlängen a, b und c in die Ungleichung ein. Es resultiert:

    Weil 9 größer ist als die Summe von 5 und 3, kann das Dreieck ABC mit den gegebenen Seitenlängen a, b und c nicht konstruiert werden.

    Aufgabe 2

    Entscheide unter Berücksichtigung der Dreiecksungleichung, ob das Dreieck ABC mit den angegebenen Längen der Seiten a, b und c konstruiert werden kann.

    Es gilt:

    Lösung

    Um zu entscheiden, ob das Dreieck konstruiert werden kann, muss zunächst geprüft werden, ob der Satz der Dreiecksungleichung eingehalten wird.

    Die längste Seite vom Dreieck ABC ist die Seite a. Die Bedingungen und der Dreiecksungleichung sind daher automatisch erfüllt.

    Es ist also ausreichend zu prüfen, ob auch die dritte Bedingung gilt. Dafür setzt man die Werte der Seitenlängen a, b und c in die Ungleichung ein. Es folgt:

    Da 10 kleiner ist als die Summe aus 5 und 7, kann das Dreieck ABC mit den gegebenen Seitenlängen a, b und c eindeutig konstruiert werden.

    Aufgabe 3

    Untersuche, ob die Dreiecksungleichung von den folgenden drei Vektoren, die zusammen ein Dreieck bilden sollen, eingehalten wird:

    Lösung

    Die Dreiecksungleichung wird eingehalten, wenn gilt:

    Um das zu überprüfen, werden zunächst die Längen der Vektoren berechnet:

    Da gilt

    wird die Dreiecksungleichung eingehalten.

    Dreiecksungleichung – Das Wichtigste

    • Die Dreiecksungleichung ist ein wichtiger Satz in der Geometrie.
    • Die Dreiecksungleichung besagt, dass die Summe der Längen der Seiten a und b eines Dreiecks ABC größer ist als die Länge der Seite c des Dreiecks.
    • Oder mit anderen Worten: Eine Seitenlänge des Dreiecks ABC ist kleiner als die Summe der beiden anderen Seitenlängen des Dreiecks.
    • Die Dreiecksungleichung kann in die umgekehrte Dreiecksungleichung umgeformt werden.

    Häufig gestellte Fragen zum Thema Dreiecksungleichung

    Wie lautet die Dreiecksungleichung?

    Die Dreiecksungleichung lautet: Die Summe der Längen der Seiten a und b eines Dreiecks ABC ist mindestens so groß wie die Länge der Seite c des Dreiecks. 

    Anders ausgedrückt: Eine Seitenlänge des Dreiecks ABC ist höchstens so groß wie die Summe der beiden anderen Seitenlängen des Dreiecks.

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