Winkel zwischen Vektoren

Q: Was ist das Skalarprodukt von Vektoren?

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ergibt als Ergebnis eine skalare (reelle) Zahl . Es entspricht dem Produkt der Vektorlängen beider Vektoren und dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels.

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Angenommen, zwei Hunde laufen voneinander weg. Du könntest Dir nun die Frage stellen, in welchem Winkel sie voneinander weglaufen.

Winkel zwischen Vektoren Hund StudySmarter

Winkel zwischen Vektoren – Grundlagen

Ein Vektor wird als gerichteter Pfeil gezeichnet, welcher in einem Koordinatensystem von einem Anfangspunkt zu einem Endpunkt zeigt. Sowohl zweidimensionale als auch dreidimensionale Vektoren können anhand von Vektorkoordinaten definiert werden.

Darstellung eines Vektors $\vec{v}$ durch seine Vektorkoordinaten $v_{1}$ und $v_{2}$ in der Ebene:

$\vec{v} = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \end{matrix})$

Darstellung eines Vektors $\vec{v}$ durch seine Vektorkoordinaten $v_{1}$ , $v_{2}$ und $v_{3}$ im Raum:

$\vec{v} = (\begin{matrix} v_{1} \\ v_{2} \\ v_{3} \end{matrix})$

Ein Vektor besitzt sowohl einen Anfangspunkt als auch einen Endpunkt (Pfeilspitze). Sind diese angegeben, so kann der Vektor anhand dieser beiden Punkte berechnet werden.

Hast Du beispielsweise einen Anfangspunkt A mit den Koordinaten $A (a_{1} a_{2})$ und einen Endpunkt B mit den Koordinaten $B (b_{1} b_{2})$ in einem Koordinatensystem vorliegen und möchtest den Vektor $\vec{A B}$ von A zu B berechnen, dann ist dies über die Koordinaten möglich. Dafür subtrahierst Du den Fuß des Vektors (Punkt A) von der Spitze des Vektors (Punkt B).

Der Verbindungsvektor $\vec{A B}$ zwischen dem Anfangspunkt $A (a_{1} a_{2})$ und dem Endpunkt $B (b_{1} b_{2})$ in der Ebene berechnet sich durch: "Spitze – Fuß"

$\vec{A B} = (\begin{matrix} b_{1} - a_{1} \\ b_{2} - a_{2} \end{matrix})$

Analog ist dieses Vorgehen zur Berechnung des Verbindungsvektors auch im Raum möglich.

Der Vektorpfeil gibt in dieser Form mit seinen Vektorkoordinaten aber noch keinen Aufschluss darüber, wie lang dieser Pfeil überhaupt ist. Diese kann aber über den Vektor berechnet werden.

Vektorlänge berechnen

Die Vektorlänge eines Vektors wird berechnet, in dem die Zahlen zum Quadrat genommen und innerhalb einer Wurzel addiert werden. Die Wurzel muss gezogen werden und so wird die Vektorlänge berechnet.

Berechnung der Vektorlänge $|\vec{b}|$ eines Vektors $\vec{b}$ im zweidimensionalen Koordinatensystem:

$|\vec{b}| = \sqrt{{b_{1}}^{2} + {b_{2}}^{2}} mit \vec{b} = (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix})$

Berechnung der Vektorlänge $|\vec{a}|$ eines Vektors $\vec{a}$ im dreidimensionalen Koordinatensystem:

$|\vec{a}| = \sqrt{{a_{1}}^{2} + {a_{2}}^{2} + {a_{3}}^{2}} mit \vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})$

Das Ergebnis der Berechnung ist eine skalare Größe. Kurz gesagt, ein Zahlenwert. Im folgenden Beispiel wird dies veranschaulicht:

Aufgabe 1

Berechne die Vektorlänge vom Vektor $\vec{A B}$ .

Winkel zwischen Vektoren Vektor Ebene StudySmarter Abbildung 1: Vektor in der Ebene

Lösung

Zunächst musst Du anhand der Punkte A und B den Vektor $\vec{A B}$ bestimmen.

$\vec{A B} = (\begin{matrix} 2 & - & 1 \\ 4 & - & 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 1 \\ 3 \end{matrix})$

Jetzt nimmst Du die Vektorkoordinaten des Vektors $\vec{A B}$ zum Quadrat und addierst sie unterhalb der Wurzel. Danach ziehst Du die Wurzel.

$|\vec{A B}| = \sqrt{1^{2} + 3^{2}} = \sqrt{1 + 9} = \sqrt{10} \approx 3, 16$

Die Vektorlänge $|\vec{A B}|$ des Vektors liegt bei etwa $|\vec{A B}| = 3, 16 L E$ .

Die Vektorlänge wird zum Berechnen eines Winkels zwischen zwei Vektoren benötigt.

Winkel zwischen zwei Vektoren – Erklärung und Formel

Ein von zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingeschlossener Winkel α in einem Koordinatensystem wird als der Winkel zwischen zwei Vektoren bezeichnet. Dabei kann dies beispielsweise auch der Winkel zwischen einem Vektor $\vec{a}$ mit seiner Koordinatenachse x, y oder z sein. Dies entspricht dem sogenannten Richtungswinkel.

Der Winkel α, den zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ in einem Koordinatensystem einschließen, kann zwischen 0° und 180° groß sein. Ein zweiter Winkel $β$ ergibt sich aus der Differenz von 360° und α:

$β = 360 ° - α$

Ein Beispiel dafür wären etwa die folgenden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ in einem zweidimensionalen Koordinatensystem.

Winkel zwischen Vektoren Beispiel Winkel zwischen Vektoren StudySmarter Abbildung 2: Winkel zwischen Vektoren

Sie schließen einen Winkel α von $α = 131, 5 °$ ein. Der Winkel α bildet zusammen mit dem Winkel $β = 228, 5 °$ einen vollen Winkel von 360°.

Wie lässt sich der Winkel α bestimmen? Durch Einzeichnen und Abmessen der Vektoren? Das ist leider nicht immer möglich. Daher kann der Winkel auch mithilfe einer Formel berechnet werden.

Winkel zwischen zwei Vektoren – Formel und Herleitung

Den eingeschlossenen Winkel zwischen zwei Vektoren kannst Du mithilfe des Skalarprodukts und der Vektorlängen ermitteln. Dazu benötigst Du folgende Formel, die sowohl für Vektoren in der Ebene als auch im Raum gilt.

Berechnung des Winkels α zwischen zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ :

$α = \cos^{- 1} (\frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|})$

Da die Formel mehrere Komponenten aufweist, die zunächst berechnet werden müssen, kannst Du Dich gerne an dieser Vorgehensweise orientieren. Natürlich kannst Du die Schritte auch vertauschen.

Zuerst wird das Skalarprodukt $\vec{a} \circ \vec{b}$ zwischen den beiden gegebenen Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ berechnet.
Als Nächstes werden die Vektorlängen $|\vec{a}|$ und $|\vec{b}|$ der Vektoren berechnet und multipliziert.
Dann wird das Skalarprodukt $\vec{a} \circ \vec{b}$ der beiden Vektoren durch das Produkt der Vektorlängen $|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|$ geteilt.
Zuletzt wird der gewonnene Wert in $\cos^{- 1} ()$ im Taschenrechner eingesetzt und Du erhältst die Größe des zu ermittelnden Winkels.

Apropos Skalarprodukt: Was ist denn eigentlich das Skalarprodukt zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ?

Das Skalarprodukt $\vec{a} \circ \vec{b}$ zweier Vektor $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist das Produkt der Vektorlängen $|\vec{a}|$ und $|\vec{b}|$ der Vektoren und dem Kosinus des Winkels α, den beide Vektoren einschließen.

$\vec{a} \circ \vec{b} = |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (α)$

$(0 ° \leq α \leq 180 °)$

Durch Umstellen dieser Beziehung ergibt sich die obige Formel zur Berechnung des Winkels α.

$\begin{array}{rcl} \vec{a} \circ \vec{b} & = & |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \cdot \cos (α) : |\vec{a}| \cdot |\vec{b}| \\ \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|} & = & \cos (α) \cos^{- 1} () \\ \cos^{- 1} (\frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}) & = & α \end{array}$

Damit Du dann direkt mit der Berechnung eines Winkels zwischen zwei Vektoren beginnen kannst, siehst Du hier noch einmal eine kurze Übersicht zur Berechnung des Skalarprodukts.

Winkel zwischen zwei Vektoren – Skalarprodukt

In der Ebene und im Raum lässt sich das Skalarprodukt wie folgt berechnen:

Skalarprodukt der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ im zweidimensionalen Koordinatensystem:

$\vec{a} \circ \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix}) = a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2}$

Skalarprodukt der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ im dreidimensionalen Koordinatensystem:

$\vec{a} \circ \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}) = a_{1} \cdot b_{1} + a_{2} \cdot b_{2} + a_{3} \cdot b_{3}$

Ein Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Multiplikation zweier Vektoren miteinander. Dafür werden die jeweils gegenüberstehende Zahl der Vektoren multipliziert. Danach werden die Produkte addiert.

Mehr Infos und Übungsbeispiele zum Skalarprodukt findest Du in der Erklärung "Skalarprodukt".

Wenn ein Skalarprodukt zweier Vektoren gleich 0 ist, dann liegen diese Vektoren orthogonal (rechtwinklig) zueinander. Ihr Winkel ist also 90° groß, bedeutet, dass sie senkrecht aufeinander stehen.

$\vec{a} ⊥ \vec{b} \Leftrightarrow \vec{a} \circ \vec{b} = 0$

Der Grund dafür ist, dass $\cos (90 °) = 0$ .

Somit hast Du alle Grundlagen zur Berechnung eines Winkels zwischen zwei Vektoren zusammen. Wie wird dieser in der Ebene berechnet?

Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen – Beispiel in der Ebene

Jetzt wird die oben genannte Formel angewandt, um den einschließenden Winkel zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ in der Ebene zu berechnen.

Aufgabe 2Berechne den Winkel α zwischen den beiden Vektoren $\vec{a} = (\begin{matrix} - 4 \\ 2 \end{matrix})$ und $\vec{b} = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix})$ .

Lösung

Die beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ werden zuerst in die Formel zur Winkelberechnung eingesetzt.

$\cos (α) = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

$\cos (α) = \frac{(\begin{matrix} - 4 \\ 2 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix})}{|\begin{matrix} (\begin{matrix} - 4 \\ 2 \end{matrix}) \end{matrix}| \cdot |\begin{matrix} (\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix}) \end{matrix}|}$

Danach berechnest Du das Skalarprodukt der Vektoren $\vec{a} = (\begin{matrix} - 4 \\ 2 \end{matrix})$ und $\vec{b} = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix})$ .

$\vec{a} \circ \vec{b} = (\begin{matrix} - 4 \\ 2 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix}) = (- 4) \cdot 2 + 2 \cdot 5 = (- 8) + 10 = 2$

Das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec{a} \circ \vec{b}$ beträgt $2$ .

Danach werden die Vektorlängen der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ berechnet und diese Längen werden miteinander multipliziert.

$|\vec{a}| = \sqrt{{(- 4)}^{2} + 2^{2}} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$

$|\vec{b}| = \sqrt{2^{2} + 5^{2}} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$

$|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| = \sqrt{20} \cdot \sqrt{29} = 2 \sqrt{145}$

Du teilst jetzt das Skalarprodukt durch den Wert, der bei der Multiplikation festgestellt wurde und setzt es bei $\cos^{- 1} ()$ im Taschenrechner ein.

$\cos (α) = \frac{2}{2 \sqrt{145}}$

$α = \cos^{- 1} (\frac{2}{2 \sqrt{145}}) \approx 85, 24 °$

Der Winkel α zwischen den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ist $α = 85, 24 °$ groß. In der folgenden Abbildung 3 sind die beiden Vektoren und der dazwischenliegende Winkel α beispielhaft mit Beginn im Ursprung eingezeichnet.

Winkel zwischen Vektoren Winkel Alpha zwischen zwei Vektoren StudySmarter Abbildung 3: Winkel Alpha zwischen zwei Vektoren

Ebenfalls bestimmt werden kann noch der Winkel β, der zusammen mit dem Winkel α einen vollen Winkel bildet.

$β = 360 ° - α β = 360 ° - 85, 24 ° β = 274, 76 °$

Wie bereits erwähnt, lassen sich durch die Winkelberechnung zwischen Vektoren auch die Richtungswinkel eines Vektors bestimmen.

Richtungswinkel eines Vektors berechnen

Ein Vektor kann eine beliebige Position in einem Koordinatensystem haben, solange er nicht ortsgebunden (wie der Ortsvektor) ist. Seine Richtung und sein Betrag ändern sich aber auch durch Verschieben nicht. In diesem Fall können demnach die Richtungswinkel bestimmt werden, die der Vektor mit seinen Koordinatenachsen einschließt.

Richtungswinkel, die der Vektor $\vec{a}$ im zweidimensionalen Koordinatensystem mit seinen Koordinatenachsen x und y einschließt.

$\cos (α_{x}) = \frac{\vec{a} \circ \vec{x}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{x}|} und \cos (α_{y}) = \frac{\vec{a} \circ \vec{y}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{y}|}$

Wie sich diese Richtungswinkel bestimmen lassen, siehst Du im folgenden Beispiel.

Aufgabe 3

Berechne die beiden Richtungswinkel $α_{x}$ und $α_{y}$ , die der Vektor $\vec{a} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix})$ mit den Koordinatenachsen einschließt.

Winkel zwischen Vektoren Richtungswinkel Ebene StudySmarter Abbildung 4: Richtungswinkel

Zum besseren Verständnis wird der Vektor mit Beginn im Ursprung eingezeichnet. Er muss aber nicht dort beginnen.

Lösung

Um einen Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen zu können, benötigst Du zunächst zwei Vektoren. Der Vektor $\vec{a}$ ist bereits gegeben. Ohne einen zweiten Vektor kann keine Berechnung erfolgen.

Um die Koordinatenachsen vektoriell zu beschreiben, lassen sich diese mit Einheitsvektoren vereinfacht abbilden.Es werden also Vektoren gebildet, die sich auf der Koordinatenachse befinden.

Mehr zu den Einheitsvektoren kannst Du im entsprechenden Artikel Einheitsvektor nachlesen.

Für die beiden Koordinatenachsen können somit folgende Vektoren gebildet werden:

$\vec{x} = (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})$ und $\vec{y} = (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix})$

Es muss sich nicht um einen Einheitsvektor handeln, sondern ist beispielsweise für den Vektor in Richtung x-Achse auch möglich:

$\vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 0 \end{matrix})$ oder $\vec{x} = (\begin{matrix} 3 \\ 0 \end{matrix})$

Jetzt hast Du also insgesamt drei Vektoren $\vec{a}$ , $\vec{x}$ und $\vec{y}$ und kannst die Richtungswinkel $α_{x}$ und $α_{y}$ bestimmen.

Für den Richtungswinkel $α_{x}$ , den der Vektor mit der x-Achse einschließt, gilt:

$\cos (α_{x}) = \frac{\vec{a} \circ \vec{x}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{x}|}$

$\cos (α_{x}) = \frac{(\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix})}{|\begin{matrix} (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) \end{matrix}| \cdot |\begin{matrix} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) \end{matrix}|}$

Zuerst wird das Skalarprodukt der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{x}$ berechnet.

$\vec{a} \circ \vec{x} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) = 2 \cdot 1 + 1 \cdot 0 = 2 + 0 = 2$

Hier erkennst Du, dass nur die Vektorkoordinate $a_{1}$ relevant ist, die Vektorkoordinate $a_{2}$ fällt durch Multiplikation mit der Null weg.

Als Nächstes werden die Vektorlängen der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{x}$ berechnet und miteinander multipliziert.

$|\vec{a}| = |\begin{matrix} (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) \end{matrix}| = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} = \sqrt{4 + 1} = \sqrt{5}$

$|\vec{x}| = |\begin{matrix} (\begin{matrix} 1 \\ 0 \end{matrix}) \end{matrix}| = \sqrt{1^{2} + 0^{2}} = \sqrt{1 + 0} = \sqrt{1} = 1$

$|\vec{a}| \cdot |\vec{x}| = \sqrt{5} \cdot 1 = \sqrt{5}$

Nun werden die Werte in die Formel eingesetzt.

$\cos (α_{x}) = \frac{2}{\sqrt{5}}$

Danach wird der Wert in $\cos^{- 1} ()$ eingesetzt, um die Winkelgröße zu berechnen.

$α_{x} = \cos^{- 1} (\frac{2}{\sqrt{5}}) \approx 26, 6 °$

Analog wird mit der Berechnung des Richtungswinkels $α_{y}$ verfahren.

$α_{y} = \cos^{- 1} (\frac{\vec{a} \circ \vec{y}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{y}|})$

Nach Berechnung des Skalarprodukts und der Vektorlängen ergibt sich:

$\vec{a} \circ \vec{y} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 0 \\ 1 \end{matrix}) = 2 \cdot 0 + 1 \cdot 1 = 1 |\vec{a}| \cdot |\vec{y}| = \sqrt{2^{2} + 1^{2}} \cdot \sqrt{0^{2} + 1^{2}} = \sqrt{5} \cdot 1 = \sqrt{5}$

Jetzt noch in die Formel einsetzen und für den Richtungswinkel $α_{y}$ erhältst Du:

$α_{y} = \cos^{- 1} (\frac{1}{\sqrt{5}}) = 63, 4 °$

Da in der Rechnung öfter die Null auftaucht und somit zum Teil Zahlen wegfallen, kann die Berechnung der Richtungswinkel verkürzt werden.

Verkürzte Berechnung der Richtungswinkel, die der Vektor $\vec{a}$ mit seinen Koordinatenachsen in der Ebene einschließt:

$\cos (α_{x}) = \frac{a_{1}}{|\vec{a}|} mit \vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}) \cos (α_{y}) = \frac{a_{2}}{|\vec{a}|} mit \vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix})$

Nicht nur in der Ebene lässt sich ein Winkel zwischen Vektoren bestimmen. Dies ist auch im dreidimensionalen Koordinatensystem möglich.

Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen – Beispiel im Raum

Damit Du Dir besser vorstellen kannst, wie eine Winkelberechnung zweier Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ im Raum aussieht, ist im Folgenden eine Rechnung des Beispiels der beiden voneinander weglaufenden Hunde aus der Einleitung aufgeführt.

Aufgabe 4

Berechne den Winkel α zwischen den beiden weglaufenden Hunden anhand der folgenden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ sowie den Winkel β, der zusammen mit α einen vollen Winkel bildet.

$\vec{a} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) und \vec{b} = (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix})$

Lösung

Zuerst setzt Du die beiden Vektoren der Laufrichtung der Hunde in die Formel zur Winkelberechnung ein.

$\cos (α) = \frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

$\cos (α) = \frac{(\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix})}{|\begin{matrix} (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) \end{matrix}| \cdot |\begin{matrix} (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix}) \end{matrix}|}$

Danach berechnest Du das Skalarprodukt der Vektoren $\vec{a} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix})$ und $\vec{b} = (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix})$ .

$\vec{a} \circ \vec{b} = (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix}) = 1 \cdot 3 + 2 \cdot (- 2) + 2 \cdot 3 = 3 + (- 4) + 6 = 5$

Das Ergebnis musst Du durch die multiplizierte Vektorlänge teilen. Diese wird jetzt berechnet.

$|\vec{a}| = |\begin{matrix} (\begin{matrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}) \end{matrix}| = \sqrt{1^{2} + 2^{2} + 2^{2}} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3$

$|\vec{b}| = |\begin{matrix} (\begin{matrix} 3 \\ - 2 \\ 3 \end{matrix}) \end{matrix}| = \sqrt{3^{2} + {(- 2)}^{2} + 3^{2}} = \sqrt{9 + 4 + 9} = \sqrt{22}$

$|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| = 3 \cdot \sqrt{22} = 3 \sqrt{22}$

Nun teilst Du das Skalarprodukt durch die Zahl $3 \sqrt{22}$ .

$\cos (α) = \frac{5}{3 \sqrt{22}}$

Diese Zahl setzt Du nun in $\cos^{- 1} ()$ ein und berechnest die Größe des Winkels.

$α = \cos^{- 1} (\frac{5}{3 \sqrt{22}}) \approx 69, 2 °$

Der Winkel α zwischen den Laufrichtungen der beiden Hunden beträgt demnach $α = 69, 2 °$ . Der Winkel β kann schließlich noch durch Subtraktion gebildet werden:

$β = 360 ° - α β = 360 ° - 69, 2 ° β = 290, 8 °$

Die folgende Abbildung 5 zeigt dabei beispielhaft die Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ mit Beginn im Ursprung und die beiden Winkel α und β.

Winkel zwischen Vektoren Winkel im Raum StudySmarter Abbildung 5: Winkel zwischen Vektoren im Raum

Nicht nur in der Ebene, auch im Raum können Richtungswinkel berechnet werden.

Richtungswinkel im Raum berechnen

Hier ist es ebenfalls möglich, die Richtungswinkel mit den Koordinatenachsen x, y und z zu bestimmen, indem für die jeweilige Koordinatenachse ein Vektor gebildet wird. Wie Du im Kapitel zur Ebene schon gesehen hast, sind die Richtungswinkel auch mit einer verkürzten Formel berechenbar.

Verkürzte Berechnung der Richtungswinkel, die der Vektor $\vec{a}$ mit seinen Koordinatenachsen im Raum einschließt:

$\cos (α_{x}) = \frac{a_{1}}{|\vec{a}|} \cos (α_{y}) = \frac{a_{2}}{|\vec{a}|} mit \vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \cos (α_{z}) = \frac{a_{3}}{|\vec{a}|}$

Wie die Berechnung bei einem beliebigen Vektor $\vec{a}$ im Raum aussieht, siehst Du im nächsten Beispiel.

Aufgabe 5

Berechne die Richtungswinkel, die der Vektor $\vec{a}$ mit den Koordinatenachsen x, y und z einschließt.

$\vec{a} = (\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{matrix})$

Lösung

Für die drei Winkel gilt:

$\cos (α_{x}) = \frac{a_{1}}{|\vec{a}|} \cos (α_{y}) = \frac{a_{2}}{|\vec{a}|} \cos (α_{z}) = \frac{a_{3}}{|\vec{a}|}$

Aus der Angabe des Vektors können die Komponenten $a_{1}$ , $a_{2}$ und $a_{3}$ bestimmt werden.

$\vec{a} = (\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix})$

Nun wird die Vektorlänge des Vektors $\vec{a}$ berechnet.

$|\vec{a}| = |\begin{matrix} (\begin{matrix} 4 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) \end{matrix}| = \sqrt{4^{2} + 1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{16 + 1 + 4} = \sqrt{21}$

Somit kannst Du direkt die drei Richtungswinkel $α_{x}$ , $α_{y}$ und $α_{z}$ bestimmen.

$α_{x} = \cos^{- 1} (\frac{4}{\sqrt{21}}) = 29, 2 ° α_{y} = \cos^{- 1} (\frac{1}{\sqrt{21}}) = 77, 4 ° α_{z} = \cos^{- 1} (\frac{2}{\sqrt{21}}) = 64, 1 °$

Fragst Du Dich, wie sich das Ganze bildlich darstellen lässt? In der Abbildung 6 kannst Du den Vektor beispielhaft mit Beginn im Ursprung sehen und die drei zugehörigen Richtungswinkel.

Winkel zwischen Vektoren Richtungswinkel Vektor Raum StudySmarter Abbildung 6: Vektor mit Richtungswinkel

Möchtest Du jetzt noch ein paar Aufgaben berechnen, um Dein Wissen zu festigen? Dann sieh Dir die nachfolgenden Übungsaufgaben an.

Winkel zwischen zwei Vektoren – Aufgaben

Falls Du die Formeln zur Berechnung der Winkel nicht auswendig wissen musst, kannst Du sie Dir aufschreiben und zur Übung danebenlegen.

Aufgabe 6

Berechne den Winkel α und den Winkel β zwischen den Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ .

$\vec{a} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) und \vec{b} = (\begin{matrix} 5 \\ 2, 5 \\ 3 \end{matrix})$

Lösung

Die Vektoren werden in die Formel zur Winkelberechnung eingesetzt.

$\cos (α) = \frac{(\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 5 \\ 2, 5 \\ 3 \end{matrix})}{|\begin{matrix} (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) \end{matrix}| \cdot |\begin{matrix} (\begin{matrix} 5 \\ 2, 5 \\ 3 \end{matrix}) \end{matrix}|}$

Zuerst wird das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ berechnet.

$\vec{a} \circ \vec{b} = (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 5 \\ 2, 5 \\ 3 \end{matrix}) = 2 \cdot 5 + 1 \cdot 2, 5 + 2 \cdot 3 = 10 + 2, 5 + 3 = 15, 5$

Nun werden die Vektorlängen der Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ ausgerechnet und miteinander multipliziert.

$|\vec{a}| = |\begin{matrix} (\begin{matrix} 2 \\ 1 \\ 2 \end{matrix}) \end{matrix}| = \sqrt{2^{2} + 1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3$

$|\vec{b}| = |\begin{matrix} (\begin{matrix} 5 \\ 2, 5 \\ 3 \end{matrix}) \end{matrix}| = \sqrt{5^{2} + 2, 5^{2} + 3^{2}} = \sqrt{25 + 6, 25 + 9} = \frac{\sqrt{161}}{2}$

$|\vec{a}| \cdot |\vec{b}| = 3 \cdot \frac{\sqrt{161}}{2} = \frac{3 \sqrt{161}}{2}$

Das Skalarprodukt wird jetzt durch dieses Produkt geteilt.

$\cos (α) = \frac{15, 5}{\frac{3 \sqrt{161}}{2}} = \frac{31}{3 \sqrt{161}}$

Zum Schluss wird die Zahl noch in $\cos^{- 1} ()$ eingesetzt, um den Grad des Winkels α zu berechnen.

$α = \cos^{- 1} (\frac{31}{3 \sqrt{161}}) = 35, 5 °$

Somit ist der Winkel $α = 35, 5 °$ groß. Für die Winkel β muss der Winkel α lediglich vom vollen Kreis abgezogen werden.

$β = 360 ° - 35, 5 ° β = 324, 5 °$

Aufgabe 7

Gegeben sind drei Punkte $A (3 | - 2); B (1 | 4); C (5 | 3)$ . Berechne zuerst die beiden Vektoren $\vec{A B}$ und $\vec{A C}$ und danach den Winkel α zwischen diesen beiden Vektoren.

Lösung

Zuerst berechnest Du die beiden Vektoren $\vec{A B}$ und $\vec{A C}$ über "Spitze minus Fuß“.

$\vec{A B} = = (\begin{matrix} 1 & - & 3 \\ 4 & - & - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 2 \\ 6 \end{matrix}) \vec{A C} = (\begin{matrix} 5 & - & 3 \\ 3 & - & - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix})$

Diese beiden Vektoren werden jetzt in die Formel zur Winkelberechnung eingesetzt.

$\cos (α) = \frac{\vec{A B} \circ \vec{A C}}{|\vec{A B}| \cdot |\vec{A C}|}$

$\cos (α) = \frac{(\begin{matrix} - 2 \\ 6 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix})}{|\begin{matrix} (\begin{matrix} - 2 \\ 6 \end{matrix}) \end{matrix}| \cdot |\begin{matrix} (\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix}) \end{matrix}|}$

Danach wird das Skalarprodukt der beiden Vektoren $\vec{A B}$ und $\vec{A C}$ berechnet.

$\vec{A B} \circ \vec{A C} = (\begin{matrix} - 2 \\ 6 \end{matrix}) \circ (\begin{matrix} 2 \\ 5 \end{matrix}) = (- 2) \cdot 2 + 6 \cdot 5 = - 4 + 30 = 26$

Jetzt werden die Vektorlängen der Vektoren $|\vec{A B}|$ und $|\vec{A C}|$ berechnet und miteinander multipliziert.

$|\vec{A B}| = \sqrt{{(- 2)}^{2} + 6^{2}} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40}$

$|\vec{A C}| = \sqrt{2^{2} + 5^{2}} = \sqrt{4 + 25} = \sqrt{29}$

$|\vec{A B}| \cdot |\vec{A C}| = \sqrt{40} \cdot \sqrt{29} = 2 \sqrt{290}$

Die multiplizierte Vektorlänge liegt bei $2 \sqrt{290}$ . Diese wird wieder in die Formel eingesetzt.

$\cos (α) = \frac{26}{2 \sqrt{290}}$

Das Ergebnis setzt Du jetzt in $\cos^{- 1} ()$ ein und berechnest die Winkelgröße mit dem Taschenrechner.

$α = \cos^{- 1} (\frac{26}{2 \sqrt{290}}) = 40, 2 °$

Die Größe des Winkels zwischen Vektor $\vec{A B}$ und $\vec{A C}$ beträgt $α = 40, 2 °$ .

Aufgabe 8

Berechne den Winkel $α_{y}$ zwischen dem Vektor $\vec{a}$ und der y-Achse.

$\vec{a} = (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ - 6 \end{matrix})$

Lösung

Da der Richtungswinkel zwischen dem Vektor und der y-Achse gesucht ist, kann die verkürzte Formel genutzt werden.

$\cos (α_{y}) = \frac{a_{2}}{|\vec{a}|}$

In diesem Fall gilt $a_{2} = 2$ . Nun berechnest Du den Betrag des Vektors $\vec{a}$ .

$|\vec{a}| = |\begin{matrix} (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ - 6 \end{matrix}) \end{matrix}| = \sqrt{2^{2} + 2^{2} + {(- 6)}^{2}} = \sqrt{4 + 4 + 36} = \sqrt{44}$

Diese Werte werden nun wieder in die Formel eingesetzt.

$\cos (α_{y}) = \frac{2}{\sqrt{44}}$

Den gewonnenen Wert setzt Du in $\cos^{- 1} ()$ und berechnest somit den Winkel.

$α_{y} = \cos^{- 1} (\frac{2}{\sqrt{44}}) = 72, 5 °$

Der Winkel zwischen Vektor $\vec{a}$ und z-Achse ist $α_{y} = 72, 5 °$ groß.

Winkel zwischen Vektoren – Das Wichtigste

Der Winkel α, der von zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ eingeschlossen wird, kann zwischen 0° und 180° liegen.
Zusammen mit dem Winkel β wird ein voller Kreis gebildet. Daher gilt: $β = 360 ° - α$ .
Ein Winkel $α$ zwischen zwei Vektoren $\vec{a}$ und $\vec{b}$ wird anhand der Formel berechnet:

$α = \cos^{- 1} (\frac{\vec{a} \circ \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|})$

Für die Berechnung der Richtungswinkel zwischen einem Vektor $\vec{a}$ und seinen Koordinatenachsen kann eine verkürzte Formel genutzt werden:

$\cos (α_{x}) = \frac{a_{1}}{|\vec{a}|} \cos (α_{y}) = \frac{a_{2}}{|\vec{a}|} mit \vec{a} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) \cos (α_{z}) = \frac{a_{3}}{|\vec{a}|}$

Häufig gestellte Fragen zum Thema Winkel zwischen Vektoren

Der Winkel zwischen zwei Vektoren berechnet sich aus dem Arkuskosinus, dem Skalarprodukt beider Vektoren und dem Produkt ihrer Vektorlängen.

cos(α) = Skalarprodukt / Produkt Vektorlängen

Zwei Vektoren sind senkrecht/orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt gleich 0 ist und ihr Winkel 90° groß ist.

Wenn das Skalarprodukt nicht 0 ist, dann ist der Winkel α zwischen zwei Vektoren nicht 90° groß, sondern besitzt einen beliebigen anderen Winkel zwischen 0° und 180°.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ergibt als Ergebnis eine skalare (reelle) Zahl. Es entspricht dem Produkt der Vektorlängen beider Vektoren und dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels.

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Was ist ein Vektor?

Ein Vektor wird in einem Koordinatensystem als gerichteter Pfeil dargestellt, mit einem Anfangspunkt und einem Endpunkt (Pfeilspitze). Er hat eine definierte Richtung und einen definierten Betrag.

Beurteile, ob ein Vektor mit einem Punkt A gebildet werden kann.

Um einen Verbindungsvektor zu bilden, werden zwei Punkte benötigt. Einzig der Ortsvektor lässt sich auch mit einem Punkt abbilden, da der Ortsvektor seinen Anfangspunkt immer im Ursprung hat.

Lässt sich bei der Winkelberechnung zwischen zwei Vektoren lediglich ein Winkel bestimmen?

Nein, der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel α kann berechnet werden. Zudem aber auch der Winkel β, der zusammen mit dem Winkel α einen vollen Winkel von 360° bildet.

Welche Eigenschaft weisen zwei Vektoren auf, deren Skalarprodukt gleich 0 ist?

Die Vektoren sind orthogonal (rechtwinklig) zueinander.

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