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Winkel zwischen Vektoren

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Winkel zwischen Vektoren

Angenommen, zwei Hunde laufen voneinander weg. Du könntest Dir nun die Frage stellen, in welchem Winkel sie voneinander weglaufen.

Winkel zwischen Vektoren Hund StudySmarter

Winkel zwischen Vektoren – Grundlagen

Ein Vektor wird als gerichteter Pfeil gezeichnet, welcher in einem Koordinatensystem von einem Anfangspunkt zu einem Endpunkt zeigt. Sowohl zweidimensionale als auch dreidimensionale Vektoren können anhand von Vektorkoordinaten definiert werden.

Darstellung eines Vektors durch seine Vektorkoordinaten und in der Ebene:

Winkel zwischen Vektoren Definition Vektor Ebene StudySmarter

Darstellung eines Vektors durch seine Vektorkoordinaten , und im Raum:

Winkel zwischen Vektoren Definition Vektor Raum StudySmarter

Ein Vektor besitzt sowohl einen Anfangspunkt als auch einen Endpunkt (Pfeilspitze). Sind diese angegeben, so kann der Vektor anhand dieser beiden Punkte berechnet werden.

Hast Du beispielsweise einen Anfangspunkt A mit den Koordinaten und einen Endpunkt B mit den Koordinaten in einem Koordinatensystem vorliegen und möchtest den Vektor von A zu B berechnen, dann ist dies über die Koordinaten möglich. Dafür subtrahierst Du den Fuß des Vektors (Punkt A) von der Spitze des Vektors (Punkt B).

Der Verbindungsvektor zwischen dem Anfangspunkt und dem Endpunkt in der Ebene berechnet sich durch: "Spitze – Fuß"

Winkel zwischen Vektoren Formel Vektor 2D Definition StudySmarter

Analog ist dieses Vorgehen zur Berechnung des Verbindungsvektors auch im Raum möglich.

Der Vektorpfeil gibt in dieser Form mit seinen Vektorkoordinaten aber noch keinen Aufschluss darüber, wie lang dieser Pfeil überhaupt ist. Diese kann aber über den Vektor berechnet werden.

Vektorlänge berechnen

Die Vektorlänge eines Vektors wird berechnet, in dem die Zahlen zum Quadrat genommen und innerhalb einer Wurzel addiert werden. Die Wurzel muss gezogen werden und so wird die Vektorlänge berechnet.

Berechnung der Vektorlänge eines Vektors im zweidimensionalen Koordinatensystem:

Winkel zwischen Vektoren Formel Vektorlänge StudySmarter

Berechnung der Vektorlänge eines Vektors im dreidimensionalen Koordinatensystem:

Winkel zwischen Vektoren Formel Vektorlänge StudySmarter

Das Ergebnis der Berechnung ist eine skalare Größe. Kurz gesagt, ein Zahlenwert. Im folgenden Beispiel wird dies veranschaulicht:

Aufgabe 1

Berechne die Vektorlänge vom Vektor.

Winkel zwischen Vektoren Vektor Ebene StudySmarterAbbildung 1: Vektor in der Ebene

Lösung

Zunächst musst Du anhand der Punkte A und B den Vektor bestimmen.

Jetzt nimmst Du die Vektorkoordinaten des Vektors zum Quadrat und addierst sie unterhalb der Wurzel. Danach ziehst Du die Wurzel.

Die Vektorlänge des Vektors liegt bei etwa .

Die Vektorlänge wird zum Berechnen eines Winkels zwischen zwei Vektoren benötigt.

Winkel zwischen zwei Vektoren – Erklärung und Formel

Ein von zwei Vektoren und eingeschlossener Winkel α in einem Koordinatensystem wird als der Winkel zwischen zwei Vektoren bezeichnet. Dabei kann dies beispielsweise auch der Winkel zwischen einem Vektor mit seiner Koordinatenachse x, y oder z sein. Dies entspricht dem sogenannten Richtungswinkel.

Der Winkel α, den zwei Vektoren und in einem Koordinatensystem einschließen, kann zwischen 0° und 180° groß sein. Ein zweiter Winkel ergibt sich aus der Differenz von 360° und α:

Winkel zwischen Vektoren Winkel Beta StudySmarter

Ein Beispiel dafür wären etwa die folgenden Vektoren und in einem zweidimensionalen Koordinatensystem.

Winkel zwischen Vektoren Beispiel Winkel zwischen Vektoren StudySmarterAbbildung 2: Winkel zwischen Vektoren

Sie schließen einen Winkel α von ein. Der Winkel α bildet zusammen mit dem Winkel einen vollen Winkel von 360°.

Wie lässt sich der Winkel α bestimmen? Durch Einzeichnen und Abmessen der Vektoren? Das ist leider nicht immer möglich. Daher kann der Winkel auch mithilfe einer Formel berechnet werden.

Winkel zwischen zwei Vektoren – Formel und Herleitung

Den eingeschlossenen Winkel zwischen zwei Vektoren kannst Du mithilfe des Skalarprodukts und der Vektorlängen ermitteln. Dazu benötigst Du folgende Formel, die sowohl für Vektoren in der Ebene als auch im Raum gilt.

Berechnung des Winkels α zwischen zwei Vektoren und :

Winkel zwischen Vektoren Formel Winkel zwischen Vektoren StudySmarter

Da die Formel mehrere Komponenten aufweist, die zunächst berechnet werden müssen, kannst Du Dich gerne an dieser Vorgehensweise orientieren. Natürlich kannst Du die Schritte auch vertauschen.

  1. Zuerst wird das Skalarprodukt zwischen den beiden gegebenen Vektoren und berechnet.
  2. Als Nächstes werden die Vektorlängen und der Vektoren berechnet und multipliziert.
  3. Dann wird das Skalarprodukt der beiden Vektoren durch das Produkt der Vektorlängengeteilt.
  4. Zuletzt wird der gewonnene Wert in im Taschenrechner eingesetzt und Du erhältst die Größe des zu ermittelnden Winkels.

Apropos Skalarprodukt: Was ist denn eigentlich das Skalarprodukt zweier Vektoren und ?

Das Skalarprodukt zweier Vektor und ist das Produkt der Vektorlängen und der Vektoren und dem Kosinus des Winkels α, den beide Vektoren einschließen.

Winkel zwischen Vektoren Skalarprodukt Definition StudySmarter

Durch Umstellen dieser Beziehung ergibt sich die obige Formel zur Berechnung des Winkels α.

Damit Du dann direkt mit der Berechnung eines Winkels zwischen zwei Vektoren beginnen kannst, siehst Du hier noch einmal eine kurze Übersicht zur Berechnung des Skalarprodukts.

Winkel zwischen zwei Vektoren – Skalarprodukt

In der Ebene und im Raum lässt sich das Skalarprodukt wie folgt berechnen:

Skalarprodukt der Vektoren und im zweidimensionalen Koordinatensystem:

winkel zwischen Vektoren Formel Skalarprodukt StudySmarter

Skalarprodukt der Vektoren und im dreidimensionalen Koordinatensystem:

winkel zwischen Vektoren Formel Skalarprodukt StudySmarter

Ein Skalarprodukt zweier Vektoren ist die Multiplikation zweier Vektoren miteinander. Dafür werden die jeweils gegenüberstehende Zahl der Vektoren multipliziert. Danach werden die Produkte addiert.

Mehr Infos und Übungsbeispiele zum Skalarprodukt findest Du in der Erklärung "Skalarprodukt".

Wenn ein Skalarprodukt zweier Vektoren gleich 0 ist, dann liegen diese Vektoren orthogonal (rechtwinklig) zueinander. Ihr Winkel ist also 90° groß, bedeutet, dass sie senkrecht aufeinander stehen.

Der Grund dafür ist, dass .

Somit hast Du alle Grundlagen zur Berechnung eines Winkels zwischen zwei Vektoren zusammen. Wie wird dieser in der Ebene berechnet?

Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen – Beispiel in der Ebene

Jetzt wird die oben genannte Formel angewandt, um den einschließenden Winkel zweier Vektoren und in der Ebene zu berechnen.

Aufgabe 2Berechne den Winkel α zwischen den beiden Vektoren und .

Lösung

Die beiden Vektoren und werden zuerst in die Formel zur Winkelberechnung eingesetzt.

Danach berechnest Du das Skalarprodukt der Vektoren und .

Das Skalarprodukt der beiden Vektoren beträgt .

Danach werden die Vektorlängen der Vektoren und berechnet und diese Längen werden miteinander multipliziert.

Du teilst jetzt das Skalarprodukt durch den Wert, der bei der Multiplikation festgestellt wurde und setzt es bei im Taschenrechner ein.

Der Winkel α zwischen den Vektoren und ist groß. In der folgenden Abbildung 3 sind die beiden Vektoren und der dazwischenliegende Winkel α beispielhaft mit Beginn im Ursprung eingezeichnet.

Winkel zwischen Vektoren Winkel Alpha zwischen zwei Vektoren StudySmarterAbbildung 3: Winkel Alpha zwischen zwei Vektoren

Ebenfalls bestimmt werden kann noch der Winkel β, der zusammen mit dem Winkel α einen vollen Winkel bildet.

Wie bereits erwähnt, lassen sich durch die Winkelberechnung zwischen Vektoren auch die Richtungswinkel eines Vektors bestimmen.

Richtungswinkel eines Vektors berechnen

Ein Vektor kann eine beliebige Position in einem Koordinatensystem haben, solange er nicht ortsgebunden (wie der Ortsvektor) ist. Seine Richtung und sein Betrag ändern sich aber auch durch Verschieben nicht. In diesem Fall können demnach die Richtungswinkel bestimmt werden, die der Vektor mit seinen Koordinatenachsen einschließt.

Richtungswinkel, die der Vektor im zweidimensionalen Koordinatensystem mit seinen Koordinatenachsen x und y einschließt.

Winkel zwischen Vektoren Richtungswinkel berechnen StudySmarter

Wie sich diese Richtungswinkel bestimmen lassen, siehst Du im folgenden Beispiel.

Aufgabe 3

Berechne die beiden Richtungswinkel und , die der Vektor mit den Koordinatenachsen einschließt.

Winkel zwischen Vektoren Richtungswinkel Ebene StudySmarterAbbildung 4: Richtungswinkel

Zum besseren Verständnis wird der Vektor mit Beginn im Ursprung eingezeichnet. Er muss aber nicht dort beginnen.

Lösung

Um einen Winkel zwischen zwei Vektoren berechnen zu können, benötigst Du zunächst zwei Vektoren. Der Vektor ist bereits gegeben. Ohne einen zweiten Vektor kann keine Berechnung erfolgen.

Um die Koordinatenachsen vektoriell zu beschreiben, lassen sich diese mit Einheitsvektoren vereinfacht abbilden. Es werden also Vektoren gebildet, die sich auf der Koordinatenachse befinden.

Mehr zu den Einheitsvektoren kannst Du im entsprechenden Artikel Einheitsvektor nachlesen.

Für die beiden Koordinatenachsen können somit folgende Vektoren gebildet werden:

und

Es muss sich nicht um einen Einheitsvektor handeln, sondern ist beispielsweise für den Vektor in Richtung x-Achse auch möglich:

oder

Jetzt hast Du also insgesamt drei Vektoren , und und kannst die Richtungswinkel und bestimmen.

Für den Richtungswinkel , den der Vektor mit der x-Achse einschließt, gilt:

Zuerst wird das Skalarprodukt der Vektoren und berechnet.

Hier erkennst Du, dass nur die Vektorkoordinate relevant ist, die Vektorkoordinate fällt durch Multiplikation mit der Null weg.

Als Nächstes werden die Vektorlängen der Vektoren und berechnet und miteinander multipliziert.

Nun werden die Werte in die Formel eingesetzt.

Danach wird der Wert in eingesetzt, um die Winkelgröße zu berechnen.

Analog wird mit der Berechnung des Richtungswinkels verfahren.

Nach Berechnung des Skalarprodukts und der Vektorlängen ergibt sich:

Jetzt noch in die Formel einsetzen und für den Richtungswinkel erhältst Du:

Da in der Rechnung öfter die Null auftaucht und somit zum Teil Zahlen wegfallen, kann die Berechnung der Richtungswinkel verkürzt werden.

Verkürzte Berechnung der Richtungswinkel, die der Vektor mit seinen Koordinatenachsen in der Ebene einschließt:

Winkel zwischen Vektoren Richtungswinkel Ebene StudySmarter

Nicht nur in der Ebene lässt sich ein Winkel zwischen Vektoren bestimmen. Dies ist auch im dreidimensionalen Koordinatensystem möglich.

Winkel zwischen zwei Vektoren bestimmen – Beispiel im Raum

Damit Du Dir besser vorstellen kannst, wie eine Winkelberechnung zweier Vektoren und im Raum aussieht, ist im Folgenden eine Rechnung des Beispiels der beiden voneinander weglaufenden Hunde aus der Einleitung aufgeführt.

Aufgabe 4

Berechne den Winkel α zwischen den beiden weglaufenden Hunden anhand der folgenden Vektoren und sowie den Winkel β, der zusammen mit α einen vollen Winkel bildet.

Lösung

Zuerst setzt Du die beiden Vektoren der Laufrichtung der Hunde in die Formel zur Winkelberechnung ein.

Danach berechnest Du das Skalarprodukt der Vektoren und .

Das Ergebnis musst Du durch die multiplizierte Vektorlänge teilen. Diese wird jetzt berechnet.

Nun teilst Du das Skalarprodukt durch die Zahl .

Diese Zahl setzt Du nun in ein und berechnest die Größe des Winkels.

Der Winkel α zwischen den Laufrichtungen der beiden Hunden beträgt demnach. Der Winkel β kann schließlich noch durch Subtraktion gebildet werden:

Die folgende Abbildung 5 zeigt dabei beispielhaft die Vektoren und mit Beginn im Ursprung und die beiden Winkel α und β.

Winkel zwischen Vektoren Winkel im Raum StudySmarterAbbildung 5: Winkel zwischen Vektoren im Raum

Nicht nur in der Ebene, auch im Raum können Richtungswinkel berechnet werden.

Richtungswinkel im Raum berechnen

Hier ist es ebenfalls möglich, die Richtungswinkel mit den Koordinatenachsen x, y und z zu bestimmen, indem für die jeweilige Koordinatenachse ein Vektor gebildet wird. Wie Du im Kapitel zur Ebene schon gesehen hast, sind die Richtungswinkel auch mit einer verkürzten Formel berechenbar.

Verkürzte Berechnung der Richtungswinkel, die der Vektor mit seinen Koordinatenachsen im Raum einschließt:

Winkel zwischen Vektoren Richtungswinkel Raum StudySmarter

Wie die Berechnung bei einem beliebigen Vektor im Raum aussieht, siehst Du im nächsten Beispiel.

Aufgabe 5

Berechne die Richtungswinkel, die der Vektor mit den Koordinatenachsen x, y und z einschließt.

Lösung

Für die drei Winkel gilt:

Aus der Angabe des Vektors können die Komponenten , und bestimmt werden.

Nun wird die Vektorlänge des Vektors berechnet.

Somit kannst Du direkt die drei Richtungswinkel , und bestimmen.

Fragst Du Dich, wie sich das Ganze bildlich darstellen lässt? In der Abbildung 6 kannst Du den Vektor beispielhaft mit Beginn im Ursprung sehen und die drei zugehörigen Richtungswinkel.

Winkel zwischen Vektoren Richtungswinkel Vektor Raum StudySmarterAbbildung 6: Vektor mit Richtungswinkel

Möchtest Du jetzt noch ein paar Aufgaben berechnen, um Dein Wissen zu festigen? Dann sieh Dir die nachfolgenden Übungsaufgaben an.

Winkel zwischen zwei Vektoren – Aufgaben

Falls Du die Formeln zur Berechnung der Winkel nicht auswendig wissen musst, kannst Du sie Dir aufschreiben und zur Übung danebenlegen.

Aufgabe 6

Berechne den Winkel α und den Winkel β zwischen den Vektoren und .

Lösung

Die Vektoren werden in die Formel zur Winkelberechnung eingesetzt.

Zuerst wird das Skalarprodukt der beiden Vektoren und berechnet.

Nun werden die Vektorlängen der Vektoren und ausgerechnet und miteinander multipliziert.

Das Skalarprodukt wird jetzt durch dieses Produkt geteilt.

Zum Schluss wird die Zahl noch in eingesetzt, um den Grad des Winkels α zu berechnen.

Somit ist der Winkel groß. Für die Winkel β muss der Winkel α lediglich vom vollen Kreis abgezogen werden.

Aufgabe 7

Gegeben sind drei Punkte . Berechne zuerst die beiden Vektoren und und danach den Winkel α zwischen diesen beiden Vektoren.

Lösung

Zuerst berechnest Du die beiden Vektoren und über "Spitze minus Fuß“.

Diese beiden Vektoren werden jetzt in die Formel zur Winkelberechnung eingesetzt.

Danach wird das Skalarprodukt der beiden Vektoren und berechnet.

Jetzt werden die Vektorlängen der Vektoren und berechnet und miteinander multipliziert.

Die multiplizierte Vektorlänge liegt bei . Diese wird wieder in die Formel eingesetzt.

Das Ergebnis setzt Du jetzt in ein und berechnest die Winkelgröße mit dem Taschenrechner.

Die Größe des Winkels zwischen Vektor und beträgt .

Aufgabe 8

Berechne den Winkel zwischen dem Vektor und der y-Achse.

Lösung

Da der Richtungswinkel zwischen dem Vektor und der y-Achse gesucht ist, kann die verkürzte Formel genutzt werden.

In diesem Fall gilt . Nun berechnest Du den Betrag des Vektors .

Diese Werte werden nun wieder in die Formel eingesetzt.

Den gewonnenen Wert setzt Du in und berechnest somit den Winkel.

Der Winkel zwischen Vektor und z-Achse ist groß.

Winkel zwischen Vektoren – Das Wichtigste

  • Der Winkel α, der von zwei Vektoren und eingeschlossen wird, kann zwischen 0° und 180° liegen.
  • Zusammen mit dem Winkel β wird ein voller Kreis gebildet. Daher gilt: .
  • Ein Winkel zwischen zwei Vektoren und wird anhand der Formel berechnet:

  • Für die Berechnung der Richtungswinkel zwischen einem Vektor und seinen Koordinatenachsen kann eine verkürzte Formel genutzt werden:

Häufig gestellte Fragen zum Thema Winkel zwischen Vektoren

Der Winkel zwischen zwei Vektoren berechnet sich aus dem Arkuskosinus, dem Skalarprodukt beider Vektoren und dem Produkt ihrer Vektorlängen.

   

cos(α) = Skalarprodukt / Produkt Vektorlängen

Zwei Vektoren sind senkrecht/orthogonal zueinander, wenn ihr Skalarprodukt gleich 0 ist und ihr Winkel 90° groß ist.

Wenn das Skalarprodukt nicht 0 ist, dann ist der Winkel α zwischen zwei Vektoren nicht 90° groß, sondern besitzt einen beliebigen anderen Winkel zwischen 0° und 180°.

Das Skalarprodukt zweier Vektoren ergibt als Ergebnis eine skalare (reelle) Zahl. Es entspricht dem Produkt der Vektorlängen beider Vektoren und dem Kosinus des eingeschlossenen Winkels.

Finales Winkel zwischen Vektoren Quiz

Frage

Was ist ein Vektor?

Antwort anzeigen

Antwort

Ein Vektor wird in einem Koordinatensystem als gerichteter Pfeil dargestellt, mit einem Anfangspunkt und einem Endpunkt (Pfeilspitze). Er hat eine definierte Richtung und einen definierten Betrag.

Frage anzeigen

Frage

Beurteile, ob ein Vektor mit einem Punkt A gebildet werden kann.

Antwort anzeigen

Antwort

Um einen Verbindungsvektor zu bilden, werden zwei Punkte benötigt. Einzig der Ortsvektor lässt sich auch mit einem Punkt abbilden, da der Ortsvektor seinen Anfangspunkt immer im Ursprung hat.

Frage anzeigen

Frage

Lässt sich bei der Winkelberechnung zwischen zwei Vektoren lediglich ein Winkel bestimmen?

Antwort anzeigen

Antwort

Nein, der von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel α kann berechnet werden. Zudem aber auch der Winkel β, der zusammen mit dem Winkel α einen vollen Winkel von 360° bildet.

Frage anzeigen

Frage

Welche Eigenschaft weisen zwei Vektoren auf, deren Skalarprodukt gleich 0 ist?
 

Antwort anzeigen

Antwort

Die Vektoren sind orthogonal (rechtwinklig) zueinander.

Frage anzeigen
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