Die Winkelsumme im Kugeldreieck, auch sphärisches Dreieck genannt, wird Dir vielleicht in der Geometrie über den Weg laufen. Da es sich um ein Dreieck auf einer Kugel handelt, spielt sich das Ganze im dreidimensionalen Bereich ab, doch was kann man sich darunter vorstellen? Wie passen Dreiecke, Kugeln und Winkel zusammen? In dieser Erklärung bekommst Du eine Übersicht über die Definition, die Formel und wie Du das berechnen kannst.
Winkelsumme Kugeldreieck Erklärung
Wenn Dich ein Mitschüler nach einer Erklärung der Winkelsumme im Kugeldreieck fragt, könntest Du darauf antworten? Falls nicht, hast Du hier eine kurze Übersicht.
Winkelsumme – Sphärisches Dreieck
Du beginnst am besten damit, was ein sphärisches Dreieck, oder auch Kugeldreieck eigentlich ist.
Ein Kugeldreieck ist ein Teil einer Kugeloberfläche, der von drei Kreisbögen begrenzt wird. Diese Fläche besitzt wie ein zweidimensionales Dreieck drei Eckpunkte und drei Innenwinkel.
Das, was aber in einem zweidimensionalen Dreieck die Seitenlängen sind, heißt im Fall des Kugeldreiecks Mittelpunktswinkel oder Zentriwinkel. Dieser wird im Bogenmaß berechnet, indem die Länge des Kreisbogens durch den Radius der Kugel geteilt wird:
\[\text{Zentriwinkel}=\frac{\text{Länge Kreisbogen}}{\text{Radius}}\]
Üblicherweise spricht man bei der Behandlung von Kugeldreiecken von eulerschen Kugeldreiecken. Diese Kugeldreiecke haben die Eigenschaft, dass alle Winkel kleiner als \(\pi\) oder \({180}^{\circ}\) sind und daher auch alle Seiten kleiner als \(r\cdot \pi\) sind.
Winkelsumme Kugeldreieck Definition
Die Winkelsumme im Kugeldreieck ist ähnlich, wie im normalen Dreieck die Summe aus den drei Innenwinkeln des Kugeldreiecks, mit jedoch einem Unterschied:
Die Winkelsumme im Kugeldreieck ist immer größer als \(\pi\) aber kleiner als \(5\pi\):
\[\pi<\alpha + \beta + \gamma < 5\pi\]
In einem eulerschen Dreieck gilt:
\[\pi<\alpha + \beta + \gamma < 3\pi\]
Abb. 1: Kugeldreieck
In einem kleinen Kugeldreieck, in dem die Innenwinkelsumme nur leicht größer als \(\pi\) ist, verebnet sich das Kugeldreieck. Das bedeutet, es nähert sich aufgrund der kürzeren Seitenlängen einem zweidimensionalen Dreieck an.
Wenn Du bereits mit der Winkelsumme im normalen Dreieck gearbeitet hast, dann kannst Du Dich daran bei der Berechnung im Kugeldreieck orientieren:
Aufgabe 1
Berechne die Winkelsumme eines Kugeldreiecks mit den Winkeln \(\alpha= {53}^{\circ}\), \(\beta={75}^{\circ}\) und \(\gamma={90}^{\circ}\).
Lösung
Setze zum Lösen der Aufgabe die Werte in die Formel ein und berechne das Ergebnis:
\begin{align}&\alpha + \beta + \gamma\\&={53}^{\circ}+{75}^{\circ}+{90}^{\circ}\\&={218}^{\circ}\end{align}
Die Winkelsumme des Kugeldreiecks beträgt \({218}^{\circ}\).
Winkelsumme Kugeldreieck Formel
Insgesamt gibt es neben der Formel zur Berechnung der Winkelinnensumme noch eine weitere, die für die Winkelsumme im Kugeldreieck relevant ist.
Der sphärische Exzess beschreibt, um wie viel die Innenwinkelsumme den Wert \(\pi\) übersteigt:
\[\alpha+\beta+\gamma-\pi\]
Wenn Du dies in Verbindung mit dem Abschnitt darüber setzt, dann kannst Du Dir merken, dass ein kleinerer sphärischer Exzess auch automatisch eine größere Verebnung bedeutet.
Wenn Du bereits mit der Winkelsumme im normalen Dreieck gearbeitet hast, dann kannst Du Dich daran bei der Berechnung im Kugeldreieck orientieren:
Seien also \(a\), \(b\) und \(c\) die Kreisbögen des Kugeldreiecks, dann ergibt sich Folgendes:
Der Sinussatz in einem Kugeldreieck lautet:
\[\frac{\sin a}{\sin \alpha}=\frac{\sin b}{\sin \beta}= \frac{\sin c}{\sin \gamma}\]
Beim Kosinussatz wird die Länge der Dreiecksseiten diesmal im Winkelmaß angegeben und daraus ergibt sich:
Der Kosinussatz in einem Kugeldreieck lautet:
\[\cos c=\cos a \cdot \cos b + \sin a \cdot \sin b \cdot \cos \gamma\]
Auch hier ist die Rechnung fast gleich zum ebenen Dreieck:
Aufgabe 3
Berechne den Winkel \(\beta\) für ein Kugeldreieck mit dem Winkel \(\alpha={43}^{\circ}\) und den Dreiecksseiten \(a={60}^{\circ}\) und \(b={70}^{\circ}\)Lösung
1. Schritt:
Stelle den Sinussatz so um, dass nur \(\sin{\beta}\) auf einer Seite allein steht:
\begin{align}\frac{\sin a}{\sin{\alpha}}&=\frac{\sin b}{\sin{\beta}}&&|{(\;)}^{-1}\\[0.2 cm]\frac{\sin{\alpha}}{\sin a}&=\frac{\sin{\beta}}{\sin b} &&|\cdot \sin b\\[0.2 cm]\frac{\sin\alpha}{\sin a}\cdot \sin b&=\sin{\beta}\end{align}
2. Schritt:
Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus:
\begin{align}\sin {\beta}&=\frac{\sin{\alpha}}{\sin a}\cdot \sin b&\\[0.2 cm]\sin{\beta}&=\frac{\sin{43}^{\circ}}{\sin{60}^{\circ}}\cdot \sin{{70}^{\circ}}\\[0.2 cm]\sin{\beta}&=0{,}74\\[0.2cm]\beta&={\sin}^{-1}(0{,}74)\\[0.2cm]\beta&=47{,}73^{\circ}\end{align}
Der Winkel \(\beta\) entspricht \(47{,}73^{\circ}\).
Winkelsumme Kugeldreieck – Übungsaufgaben
In diesem Abschnitt kannst Du das bisher gelernte noch mit ein paar Übungsaufgaben festigen.
Aufgabe 4
Berechne die Winkelsumme eines Kugeldreiecks mit den Winkeln \(\alpha= {72}^{\circ}\), \(\beta={93}^{\circ}\) und \(\gamma={60}^{\circ}\).
Lösung
Setze zum Lösen der Aufgabe die Werte in die Formel ein und berechne das Ergebnis:
\[\alpha + \beta + \gamma={72}^{\circ}+{93}^{\circ}+{60}^{\circ}={225}^{\circ}\]
Die Winkelsumme des Kugeldreiecks beträgt \({225}^{\circ}\).
Aufgabe 5
Berechne den sphärischen Exzess aus Aufgabe 1:
Lösung
Die Winkelsumme aus Aufgabe 1 beträgt \({225}^{\circ}\). Setze diese Zahl in die Formel für den sphärischen Exzess ein:
\[\alpha + \beta + \gamma - \pi={225}^{\circ}- {180}^{\circ}={45}^{\circ}\]
Der sphärische Exzess des Kugeldreiecks entspricht \({45}^{\circ}\).
Aufgabe 6
Berechne den Winkel \(\beta\) für ein Kugeldreieck mit dem Winkel \(\alpha={31}^{\circ}\) und den Dreiecksseiten \(a={120}^{\circ}\) und \(b={70}^{\circ}\)Lösung
1. Schritt:
Stelle den Sinussatz so um, dass nur \(\sin{\beta}\) auf einer Seite allein steht:
\begin{align}\frac{\sin a}{\sin{\alpha}}&=\frac{\sin b}{\sin{\beta}} &&| {(\;)}^{-1}\\[0.2 cm] \frac{\sin{\alpha}}{\sin a}&=\frac{\sin{\beta}}{\sin b} &&|\cdot \sin b\\[0.2 cm]\frac{\sin{\alpha}}{\sin a}\cdot \sin b&=\sin{\beta}\end{align}
2. Schritt:
Setze die Werte in die Formel ein und rechne sie aus:
\begin{align}\sin {\beta}&=\frac{\sin{\alpha}}{\sin a}\cdot \sin b&\\[0.2 cm]\sin{\beta}&=\frac{\sin{31}^{\circ}}{\sin{120}^{\circ}}\cdot \sin{{70}^{\circ}}\\[0.2 cm]\sin{\beta}&=0,56\\\beta&={\sin}^{-1}(0{,}56)\\\beta&=34{,}06^\circ\end{align}
Der Winkel \(\beta\) entspricht \(34{,}06^\circ\).
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