Zentrische Streckung

Stell Dir vor, Du fügst an Deinen Computer ein Bild in ein Dokument ein. Meist hat dieses Bild dann nicht sofort die richtige Größe. Daher willst Du dieses Bild vergrößern oder verkleinern. Dazu wählst Du einen Eckpunkt aus (wie in Abbildung 1) und ziehst das Bild auf die gewünschte Größe. 

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Inhaltsverzeichnis
Inhaltsangabe

    Zentrische Streckung Logo Vergrößern StudySmarterAbbildung 1: Logo, das im Dokument zum Vergrößern ausgewählt ist

    Das Bild wird nun vergrößert dargestellt. Dabei bleibt es unverzerrt, die Größenverhältnisse stimmen also weiterhin.

    Der Grund dafür ist, dass das Computerprogramm eine zentrische Streckung durchführt. Diese hat genau die Eigenschaft, dass das Originalbild und die Bildfigur zueinander ähnlich sind.

    Zentrische Streckung Logo vergrößert StudySmarterAbbildung 2: vergrößertes Logo

    Zentrische Streckung – Definition

    Zentrische Streckungen kannst Du verwenden, um eine Figur zu vergrößern oder zu verkleinern.

    Die zentrische Streckung ist eine Abbildung, die eine Figur mit einem bestimmten Maßstab vergrößert oder verkleinert. Jede zentrische Streckung hat ein Streckzentrum Z und einen Streckfaktor k.

    In Abbildung 3 siehst Du ein Dreieck ABC, dass durch eine zentrische Streckung vergrößert wurde.

    Zentrische Streckung Dreieck vergrößern StudySmarterAbbildung 3: Zentrische Streckung des Dreiecks ABC

    Das Streckzentrum ist der Punkt Z. Die Bildfigur ist doppelt so groß wie Originalfigur. Der Streckfaktor ist k=2.

    Zentrische Streckung – Erklärung

    Nicht jede Vergrößerung oder Verkleinerung einer Figur ist eine zentrische Streckung. Die Figur muss unverzerrt bleiben. Eine zentrische Streckung kannst Du an einigen Eigenschaften erkennen.

    Zentrische Streckung – Eigenschaften

    • Die Originalfigur und die Bildfigur einer zentrischen Streckung haben dieselben Winkel. Eine zentrische Streckung ist also winkeltreu.

    • Durch eine zentrische Streckung bleiben die Längenverhältnisse erhalten.

    • Eine Gerade in der Originalfigur wird auf eine Gerade in der Bildfigur abgebildet. Dasselbe gilt für einen Kreis.

    • Die Originalfigur und die Bildfigur sind ähnlich zueinander.

    In Abbildung 4 wurde ein Viereck mit dem Streckfaktor k=2 und Streckzentrum Z zentrisch gestreckt.

    Zentrische Streckung Viereck StudySmarterAbbildung 4: Zentrische Streckung eines Vierecks

    Es ist

    α=α'β=β'γ=γ'δ=δ'

    Die Winkelgrößen von Originalfigur und Bildfigur stimmen also überein.

    Die Strecke AB wird auf die Strecke A'B' abgebildet. Gleiches gilt für die weiteren Strecken.

    Das Verhältnis ABBC entspricht dem Verhältnis A'B'B'C'. Die Seitenverhältnisse bleiben erhalten.

    Das Viereck ABCD ist ähnlich zum Viereck A'B'C'D'.

    Winkel werden immer mit griechischen Buchstaben beschriftet. α wird "alpha" ausgesprochen, β ist "beta", γ steht für "gamma" und δ für "delta".

    Die Originalfigur und die Bildfigur einer zentrischen Streckung sind ähnlich zueinander. Doch was bedeutet das überhaupt?

    Bestimmt hast Du den Begriff "ähnlich" schon einmal in Deinem Alltag gehört. Zwei Menschen können sich ähnlich sehen oder zum Beispiel ein ähnliches Shirt tragen.

    Auch in der Sprache der Mathematik wird der Begriff "ähnlich" verwendet. Zwei Figuren sind genau dann zueinander ähnlich, wenn ihre Winkel gleich groß sind und die Seitenlängen mit demselben Faktor vergrößert oder verkleinert wurden.

    Du kannst feststellen, dass diese beiden Bedingungen für ähnliche Figuren genau zu den Eigenschaften einer zentrischen Streckung gehören. Deswegen kannst Du auch sagen: Eine zentrische Streckung ist eine Ähnlichkeitsabbildung.

    In der Erklärung "Ähnlichkeitsabbildungen und ähnliche Figuren" kannst Du mehr über zueinander ähnliche Figuren lernen.

    Zentrische Streckung – Formel

    Die Länge von Strecken in der Bildfigur kannst Du berechnen, wenn Du die Streckenlänge in der Originalfigur kennst.

    Ist AB eine Strecke in der Originalfigur und A'B' die zugehörige Strecke in der Bildfigur nach einer zentrischen Streckung, dann kannst Du die Streckenlänge A'B' berechnen, indem Du die Streckenlänge von AB mit dem Streckfaktor k multiplizierst.

    A'B'=k·AB¯

    Dies gilt für jede beliebige Strecke in der Bildfigur.

    Zentrische Streckung Strecke Länge StudySmarterAbbildung 5: Zentrische Streckung der Strecke AB

    Die Länge der Strecke AB in Abbildung 5 beträgt zwei Längeneinheiten.

    AB=2

    Diese Strecke wurde zentrisch gestreckt, mit dem Streckfaktor k=3.

    Jetzt kannst Du die Länge der Strecke A'B' berechnen. Es ist

    A'B'=3·AB=3·2=6

    Die Streckenlänge von A'B' kannst Du auch in Abbildung 4 erkennen.

    Zentrische Streckung – Flächeninhalt

    Durch eine zentrische Streckung verändert sich auch der Flächeninhalt einer Figur.

    Wird eine Figur mit Flächeninhalt A zentrisch gestreckt, so gilt für den Flächeninhalt A' der neuen Figur:

    A'=k2·A

    Wenn Du eine Figur mit dem Faktor k streckst, so verändert sich der Flächeninhalt der Figur um den Faktor k2.

    Zentrische Streckung Rechteck Flächeninhalt StudySmarterAbbildung 6: zentrisch gestrecktes Rechteck

    Das Rechteck ABCD in Abbildung 6 hat den Flächeninhalt A=10 cm2. Es wird mit dem Faktor k=2 gestreckt. Das bedeutet, dass sich jede Seitenlänge der Figur verdoppelt. Dann ist der Flächeninhalt A' der neuen Figur A'B'C'D'

    A'=22·10 cm2=4·10 cm2=40 cm2

    Nimm die Seitenlänge einer Form, zum Beispiel eines Rechtecks, und berechne den Flächeninhalt. Verdopple die Seitenlängen. Wie groß ist der Flächeninhalt jetzt?

    Konstruktionsbeschreibung zentrische Streckung

    Wie kannst Du nun vorgehen, wenn Du eine Figur zentrisch strecken möchtest?

    Geben ist die Originalfigur (hier ein Dreieck), das Streckzentrum Z und ein Streckfaktor.

    Zentrische Streckung Konstruktionsbeschreibung StudySmarterAbbildung 7: Dreieck mit Streckzentrum

    Das Dreieck ABC soll mit dem Faktor k=2 zentrisch gestreckt werden. Du beginnst mit einem Punkt (hier Punkt A) und zeichnest einen Strahl beginnend in Z durch diesen Punkt wie in Abbildung 8.

    Zentrische Streckung Konstruktionsbeschreibung StudySmarterAbbildung 8: Dreieck mit eingezeichneter Gerade durch das Streckzentrum

    Jetzt misst Du die Länge der Strecke von Punkt Z zu Punkt A, zum Beispiel mit einem Lineal.

    In Abbildung 8 ist

    ZA=3,61

    Diese Länge multiplizierst Du mit dem Streckfaktor.

    3,61·2=7,22

    Das ist die Länge der Strecke vom Punkt Z zum neuen Punkt A' auf dem Strahl. Trag diese Strecke auf dem Strahl ab und zeichne den Punkt A' ein.

    Zentrische Streckung Konstruktionsbeschreibung StudySmarterAbbildung 9: Dreieck mit konstruiertem Punkt A'

    Genauso gehst Du für die Punkte B und C vor.

    Zentrische Streckung Konstruktionsbeschreibung StudySmarterAbbildung 10: konstruierte Punkte A', B', C'

    Im letzten Schritt verbindest Du die Punkte A', B' und C' zur Bildfigur A'B'C'.

    Zentrische Streckung Konstruktionsbeschreibung StudySmarterAbbildung 11: Bildfigur A'B'C'

    Beachte: Wenn Du eine Figur zentrisch streckst, liegen das Streckzentrum, der Originalpunkt und der zugehörige Bildpunkt stets auf einer Geraden. Auch hier gilt für das Streckzentrum Z, den Originalpunkt A, den Bildpunkt A' sowie den Streckfaktor k:

    ZA'=k·ZA

    Zentrische Streckung – Streckzentrum und Streckfaktor

    Das Streckzentrum und der Streckfaktor sind für jede zentrische Streckung von Bedeutung. Durch das Streckzentrum wird die Lage der Bildfigur festgelegt. Der Streckfaktor bestimmt die Größe und Ausrichtung der Bildfigur.

    Bedeutung des Streckfaktors k

    In den vorherigen Beispielen wurde das Originalbild immer vergrößert. Bei einer Vergrößerung ist der Streckfaktor k größer als 1. Ist der Streckfaktor genau 1, bleibt die Originalfigur unverändert.

    Verkleinern durch zentrische Streckung

    Du kannst die Originalfigur aber auch durch eine zentrische Streckung verkleinern. Dann ist der Streckfaktor k zwischen 0 und 1.

    In Abbildung 12 ist das türkisfarbene Viereck ABCD die Originalfigur. Sie wurde mit dem Streckfaktor k=0,4 gestreckt. Dadurch ist die lilafarbene Bildfigur A'B'C'D' kleiner als die Originalfigur.

    Zentrische Streckung Stauchung Verkleinern StudySmarterAbbildung 12: zentrische Streckung mit k=0,4

    Ist k zwischen 0 und 1, kannst Du auch "zentrische Stauchung" sagen. k ist dann der Stauchfaktor.

    Wird eine Figur größer, streckst Du sie. Wenn Du sie aber verkleinerst, ist sie gestaucht.

    Zentrische Streckung mit negativem Streckfaktor

    Ist der Streckfaktor größer als 1, wird die Originalfigur vergrößert. Ist er zwischen 0 und 1, wird sie verkleinert. In beiden Fällen liegen die Originalfigur und die Bildfigur auf derselben Seite des Streckzentrums.

    Der Streckfaktor kann aber auch kleiner als 0 sein. Dann liegt die Bildfigur auf der anderen Seite des Streckzentrums als die Originalfigur. Sie ändert die Orientierung.

    In Abbildung 13 wird das Rechteck ABCD mit dem Streckfaktor k=-1,5 gestreckt. Der Streckfaktor ist negativ. Deswegen liegt die Bildfigur A'B'C'D' auf der anderen Seite des Streckzentrums.

    Zentrische Streckung negativer Streckfaktor StudySmarterAbbildung 13 Zentrische Streckung mit negativem Streckfaktor

    Wenn Du eine zentrische Streckung mit negativem Streckfaktor konstruieren möchtest, beachte die folgenden Punkte:

    Zeichne durch das Streckzentrum Z und einen Punkt der Originalfigur eine Gerade und keinen Strahl. Die Linie geht auf der anderen Seite des Streckzentrums weiter.

    Auch hier misst Du den Abstand des Punktes vom Streckzentrum Z und multiplizierst ihn mit dem Streckfaktor k. Da k negativ ist, ist auch das Produkt negativ. Das negative Vorzeichen gibt Dir an, dass Du auf der anderen Seite abträgst. Als Abstand verwendest Du das Produkt ohne negatives Vorzeichen.

    Der Abstand des Punktes D von der Originalfigur in Abbildung 13 zum Streckzentrum Z ist

    ZD=5

    Der Streckfaktor ist k=-1,5. Du rechnest

    -1,5·5=-7,5

    Am negativen Vorzeichen erkennst Du, dass der Punkt D' der Bildfigur auf der anderen Seite des Streckzentrums liegt. Der Abstand vom Punkt D' zum Streckzentrum Z ist

    ZD'=7,5

    Auch hier gilt: Liegt der negative Streckfaktor k zwischen 0 und -1, handelt es sich um eine Stauchung. Die Bildfigur ist kleiner als die Originalfigur.

    Die Bedeutung des Streckfaktors kannst Du zusammenfassen.

    Für eine zentrische Streckung mit Streckzentrum Z hat der Streckfaktor k folgenden Bedeutung:

    • k>0: Originalfigur und Bildfigur liegen auf derselben Seite des Streckzentrums Z
      • k>1: die Bildfigur ist größer als die Originalfigur
      • k=1: die Bildfigur entspricht der Originalfigur
      • 0<k<1: die Bildfigur ist kleiner als die Originalfigur
    • k=0: alle Punkte der Bildfigur liegen im Streckzentrum Z
    • k<0Originalfigur und Bildfigur liegen auf unterschiedlichen Seiten des Streckzentrums Z. Die Orientierung ändert sich.
      • -1<k<0: die Bildfigur ist kleiner als die Originalfigur
      • k=-1: die Bildfigur ist genauso groß wie die Originalfigur
      • k<-1: die Bildfigur ist größer als die Originalfigur

    Streckfaktor k berechnen

    Es gibt auch Aufgaben, in denen die zentrische Streckung bereits durchgeführt wurde und Du den Streckfaktor k berechnen sollst.

    Dazu kannst Du den Abstand eines Punktes A zum Streckzentrum Z messen. Dann betrachtest Du den Bildpunkt A' und misst auch hier den Abstand zum Streckzentrum Z. Jetzt rechnest Du:

    k=ZA'ZA

    Eine zentrische Streckung ist gegeben. Der Abstand des Punktes A zum Streckzentrum Z ist

    ZA=6 cm

    Der Bildpunkt A' hat folgenden Abstand zum Streckzentrum Z:

    ZA'=9 cm

    Um den Streckfaktor k zu bestimmen, rechnest Du:

    k=ZA'ZA=9 cm6 cm=1,5

    Der Streckfaktor ist hier k=1,5.

    Alternativ kannst Du auch eine beliebige Strecke in der Bildfigur messen und sie durch die zugehörige Strecke in der Originalfigur teilen.

    Streckzentrum bestimmen

    Das Streckzentrum einer zentrischen Streckung ist ein Fixpunkt. Dieser Punkt bleibt unverändert. In ihm schneiden sich alle Geraden, die durch einen Originalpunkt und den zugehörigen Bildpunkt verlaufen.

    Manchmal sollst Du das Streckzentrum bestimmen, wenn die Originalfigur und die Bildfigur der zentrischen Streckung gegeben sind. Dann kannst Du genau die Eigenschaft verwenden, dass alle Geraden, die durch einen Originalpunkt und den zugehörigen Bildpunkt verlaufen, sich im Streckzentrum schneiden.

    Aufgabe 1

    In Abbildung 14 siehst Du ein Rechteck ABCD⁣, aus dem durch zentrische Streckung das Rechteck A'B'C'D' entstanden ist. Bestimme das Streckzentrum.

    Zentrische Streckung Streckzentrum bestimmen StudySmarterAbbildung 14: Zentrische Streckung mit fehlendem Streckzentrum

    Lösung

    Um das Streckzentrum zu bestimmen, zeichnest Du zuerst Geraden durch je einen Eckpunkt und den dazugehörigen Bildpunkt. Diese vier Geraden schneiden sich alle in einem Punkt. Dieser Punkt ist genau das Streckzentrum Z.

    Zentrische Streckung Streckzentrum StudySmarterAbbildung 15: Streckzentrum bestimmen

    Liegt ein Punkt der Originalfigur im Streckzentrum, so bleibt dieser durch die zentrische Streckung unverändert.

    Erinnere Dich einmal an das Einstiegsbeispiel mit der Vergrößerung eines Bildes in einem Dokument. Klickst Du dort auf eine Ecke und ziehst das Bild größer, bleibt ein Eckpunkt meistens unverändert an derselben Stelle. Dieser Eckpunkt ist dann genau das Streckzentrum.

    Zentrische Streckung – Aufgaben

    Die folgenden Aufgaben kannst Du verwenden, um zentrische Streckungen zu üben.

    Aufgabe 2

    Strecke die Figur in Abbildung 16 zentrisch mit dem gegebenen Streckzentrum und Streckfaktor k=3.

    Zentrische Streckung Viereck StudySmarterAbbildung 16: Viereck ABCD

    Lösung

    Zuerst zeichnest Du je einen Strahl durch Z und die Eckpunkte des Vierecks. Dann misst Du den Abstand von Z zu einem Eckpunkt und multiplizierst ihn mit dem Streckfaktor 3. Das Ergebnis trägst Du als neuen Abstand wieder von Z auf dem Strahl ab und zeichnest den neuen Eckpunkt ein.

    Zentrische Streckung Viereck Lösung StudySmarterAbbildung 17: Zentrische Streckung des Vierecks ABCD

    Aufgabe 2

    In Abbildung 18 siehst Du die Originalfigur und die Bildfigur einer zentrischen Streckung. Bestimme das Streckzentrum und berechne den Streckfaktor.

    Zentrische Streckung Originalfigur Bildfigur StudySmarterAbbildung 18: Originalfigur und Bildfigur einer zentrischen Streckung

    Lösung

    Um das Streckzentrum zu bestimmen, zeichnest Du je eine Gerade durch die Eckpunkte und ihre Bildpunkte. Du zeichnest also eine Gerade durch A und A', eine durch B und B', eine durch C und C' und eine durch D und D' wie in Abbildung 19.

    Zentrische Streckung Streckzentrum bestimmen StudySmarterAbbildung 19: Geraden durch Originalpunkt und Bildpunkt

    Diese Geraden schneiden sich in einem Punkt. Das ist das Streckzentrum.

    Es wäre auch ausreichend, wenn Du nur zwei der Geraden zeichnest und den Schnittpunkt bestimmst.

    Den Streckfaktor bestimmst Du rechnerisch. Dazu misst Du eine beliebige Strecke in der Bildfigur und teilst sie durch die zugehörige Länge in der Originalfigur. In Abbildung 18 bietet sich die Strecke A'D' an. Es ist

    A'D'=6 LEAD=4 LE

    Jetzt kannst Du den Streckfaktor k berechnen:

    k=A'D'AD=6 LE4 LE=1,5

    Der Streckfaktor der zentrischen Streckung ist k=1,5.

    Zentrische Streckung – Das Wichtigste auf einen Blick

    • Eine zentrische Streckung vergrößert oder verkleinert eine Originalfigur zu einer Bildfigur.
    • Wichtige Eigenschaften einer zentrischen Streckung:
      • Die Winkel der Originalfigur und der Bildfigur sind identisch.
      • Die Längenverhältnisse bleiben erhalten.
    • Für eine Strecke A'B' in der Bildfigur mit Streckfaktor k gilt: A'B'=k·AB¯
    • Um eine zentrische Streckung durchzuführen, gehst Du wie folgt vor:
      • Du zeichnest eine Gerade durch das Streckzentrum und einen Eckpunkt.
      • Du misst den Abstand des Streckzentrums zum Eckpunkt.
      • Du multiplizierst diesen Abstand mit dem Streckfaktor.
      • Du trägst den neuen Abstand auf der Geraden ab. Dies ist der Bildpunkt.
    • Für den Streckfaktor k gilt: k=A'B'AB
    • Das Streckzentrum kannst Du bestimmen, indem Du Geraden durch den Originalpunkt und den zugehörigen Bildpunkt zeichnest und den Schnittpunkt der Geraden bestimmst.

    Nachweise

    1. Böer et al. (2008). mathe live 9 E, Mathematik für Sekundarstufe I. Ernst Klett Verlag GmbH.
    2. Krauter, Bescherer (2013). Die zentrische Streckung. In: Erlebnis Elementargeometrie. Mathematik Primarstufe und Sekundarstufe I + II. Springer Spektrum.
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    Häufig gestellte Fragen zum Thema Zentrische Streckung

    Was ist das Streckzentrum? 

    Das Streckzentrum einer zentrischen Streckung ist ein Fixpunkt. Dieser Punkt bleibt durch die zentrische Streckung unverändert. Im Streckzentrum schneiden sich alle Geraden, die durch einen Originalpunkt und den zugehörigen Bildpunkt verlaufen.

    Wie führe ich eine zentrische Streckung durch? 

    Um eine zentrische Streckung durchzuführen, zeichnest Du zuerst einen Strahl beginnend im Streckzentrum durch einen Eckpunkt der Figur. Dann misst Du den Abstand des Punktes zum Streckzentrum und multiplizierst diesen mit dem Streckfaktor.

    Den neuen Abstand trägst Du auf dem Strahl beginnen am Streckzentrum ab. Dadurch entsteht der Bildpunkt.

    Wie berechne ich die zentrische Streckung? 

    Bei einer zentrischen Streckung kannst Du die Länge von Strecken in der Bildfigur berechnen. Dazu multiplizierst Du die Länge der zugehörigen Strecke in der Originalfigur mit dem Streckfaktor.

    Du kannst auch den Streckfaktor berechnen, wenn Originalfigur und Bildfigur gegeben sind. Dann teilst Du eine Streckenlänge der Bildfigur durch die zugehörige Streckenlänge der Originalfigur.

    Was ist der Streckfaktor? 

    Der Streckfaktor gibt Dir an, in welchen Verhältnis die Bildfigur zur Originalfigur steht. Du verwendest den Streckfaktor, um die eine Streckenlänge der Bildfigur zu bestimmen. Dazu multiplizierst Du die Streckenlänge der Originalfigur mit dem Streckfaktor.

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