Stell Dir vor, Du legst einen Ball auf den Fußboden. Dann haben der Ball und der Fußboden keinen Abstand. Schießt Du den Ball nun in die Luft, hat der Ball einen Abstand zum Fußboden. Diesen Abstand kannst Du messen, wenn Du ein Maßband hast. Du könntest den Abstand aber auch berechnen. Dann würdest Du den Abstand zwischen einem Punkt (dem Ball) und einer Ebene (dem Fußboden) berechnen. Dafür benötigst Du das Lotfußpunktverfahren.
Wie Du das Lotfußpunktverfahren anwendest und wo Du es anwenden kannst, erfährst Du in dieser Erklärung.
Grundlagenwissen – Punkt, Gerade & Ebene
Im dreidimensionalen Koordinatensystem gibt es neben dem Punkt und der Geraden auch die Ebene. Der Punkt und die Gerade existieren ebenfalls im zweidimensionalen Koordinatensystem.
Ein Punkt P ist ein geometrisches Objekt, ohne Ausdehnung. Dabei repräsentiert ein Punkt eine Position in einem Koordinatensystem.
Ein Punkt wird dargestellt durch Koordinaten.
\begin{align} P(x|y|z) \end{align}
Mehrere Punkte können zusammen eine Gerade bilden.
Eine Gerade g ist eine Linie, welche weder Anfangspunkt noch Endpunkt besitzt.
Sie wird definiert durch zwei Punkte, durch die sie verläuft, oder einen Punkt P und einen Vektor .
Die Geradengleichung lautet:
\begin {align} g: \vec{X}=\vec{p}+\lambda\cdot\vec{u} \end{align}
Der Vektor \(\vec{p}\) ist der Stützvektor der Geraden. Der Richtungsvektor wird als Vektor \(\vec{u}\) bezeichnet.
Unbegrenzte, gerade Flächen werden als Ebenen bezeichnet und können mathematisch auf mehrere Weisen definiert werden.
Ebenen E werden durch drei Punkte, welche nicht auf einer Geraden liegen, definiert.
Alternativ kann eine Ebene auch durch zwei nicht parallele Vektoren und einen Punkt dargestellt werden.
Des Weiteren lässt sich eine Ebene durch zwei parallele Geraden oder zwei sich schneidende Geraden veranschaulichen.
Abbildung 1: Ebene Definition
| | Koordinatenform |
| \[E:\vec{x}=\overrightarrow {\color{#00dcb4}OA}+s\cdot \vec{\color{#8363e2}u}+t\cdot \vec{\color{#fa3273}v}\] | \[E:[\vec{x}-\vec{\color{#00dcb4}p}]\cdot\vec{\color{#ffcd00}n}=0,\, \vec{\color{#ffcd00}n}=\overrightarrow {AB}\times \overrightarrow {AC}\] | \[E:ax+by+cz=d\] |
| Die Parametergleichung (oder Vektorgleichung) besteht aus den beiden Spannvektoren \(\vec{u}\) und \(\vec{v}\), den dazugehörigen Variablen s und t und dem Stützvektor \(\overrightarrow {OA}\) oder \(\vec{p}\). Die beiden Spannvektoren dürfen hier nicht parallel sein. | Der Stützvektor \(\vec{p}\) und der Normalenvektor\(\vec{n}\) definieren die Normalenform. Der Normalenvektor steht auf allen Strecken der Ebene senkrecht. | Die Koordinatenform bildet sich aus der ausmultiplizierten Normalenform. |
Wenn Du wissen möchtest, wie Du die Ebenengleichungen genau umformst, schau einmal in der Erklärung „Ebenengleichung umformen“ vorbei.
Lotfußpunktverfahren – Definition
Das Lotfußpunktverfahren hilft Dir, den Abstand zwischen den geometrischen Objekten des dreidimensionalen Koordinatensystems zu berechnen.
Das Lotfußpunktverfahren beruht auf dem Lot.
Ein Lot ist eine Gerade l, die durch einen Punkt P senkrecht zu einer Ebene E oder einer Geraden g verläuft. Die Gerade l steht im rechten Winkel auf der Ebene E oder der Geraden g.
Der Schnittpunkt F des Lotes mit der Ebene E oder der Geraden wird Lotfußpunkt genannt.
| Ebene | Gerade |
 Abbildung 2: Lotgerade Ebene |  Abbildung 3: Lotgerade Gerade |
Mehr zum Lot erfährst Du in der Erklärung „Lot fällen“.
Ein Lot steht immer senkrecht, also im rechten Winkel, auf geometrischen Objekten. Diese Eigenschaft des Lotes ist wichtig für das Lotfußpunktverfahren, den der kürzeste Abstand zwischen zwei Objekten ist immer die Senkrechte.
In der Abbildung siehst Du zwei Geraden. Eine der Geraden steht senkrecht auf der Ebenen. Diese Gerade l beinhaltet eine Strecke von 5 [LE] zwischen den Punkten A und P. Die andere Gerade g beinhaltet eine Strecke von 6 [LE] zwischen den Punkten B und P und ist damit deutlich länger als die Strecke zwischen Punkt A und P. Die senkrechte Strecke ist also immer die kürzeste.
Abbildung 4: kürzester Abstand
Lotfußpunktverfahren – Vorgehen
Es gibt keine Formel zur Berechnung des Abstandes mit dem Lotfußpunktverfahren. Es gibt jedoch einige Schritte, die Du bei der Anwendung des Lotfußpunktverfahrens befolgen solltest:
Lotfußpunktverfahren:
- Lotgerade aufstellen
- Lotfußpunkt ermitteln
- Abstand zwischen Lotfußpunkt und Stützpunkt der Lotgerade berechnen
Dies ist ein allgemeines Vorgehen, jedoch kann es sein, dass Du diese Schritte zum Teil anpassen musst, wenn Du den Abstand von parallelen Geraden oder den Abstand zwischen einer Geraden und einem Punkt berechnen willst. Wie Du den Abstand zwischen den einzelnen geometrischen Objekten genau berechnest, erfährst Du im folgenden Abschnitt.
Lotfußpunktverfahren – Gerade, Punkt
Wenn ein Punkt P nicht auf einer Geraden g liegt, hat er einen bestimmten Abstand zur Geraden g.
Den Abstand zwischen der Geraden g und dem Punkt P kannst Du mithilfe der folgenden Schritte berechnen.
- Stelle eine Hilfsebene Eh auf, die durch den Punkt P geht und senkrecht zur Geraden g ist.
- Berechne den Schnittpunkt S der Geraden g mit der Hilfsgeraden Eh.
- Zum Schluss berechnest Du den Abstand des Punktes P und S.
Die Hilfsebene Eh ersetzt hier die Lotgerade. Den Schnittpunkt S der Hilfsebene Eh mit der Geraden g kannst Du als Lotfußpunkt der Hilfsebene bezeichnen.
Abbildung 5: Lotfußpunktverfahren Gerade Punkt
Lotfußpunktverfahren – Aufgabe 1
Berechne den Abstand des Punktes \(P(2|1|0)\) zur Geraden \(g:\vec{x}= \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} -5 \\ -3 \\ 2\end{array}\right)\).
Lösung
Zuerst stellst Du die Hilfsgerade Eh auf. Dabei ist der Richtungsvektor \(\vec{u}\) der Geraden g der Normalenvektor \(\vec{n}\) der Hilfsebene Eh.
Der Normalenvektor einer Ebene steht immer senkrecht auf der Ebene. Die Gerade soll senkrecht auf der Ebene stehen, also ist der Richtungsvektor der Geraden auch der Normalenvektor der Ebene.
Setze nun den Punkt P in die Koordinatenform ein und berechne d.
\begin {align}-5x-3y+2z&=d \\-5 \cdot 2-3\cdot 1+2\cdot 0&=d \\-13&=d \\ \\E_h: -5x-3y+2z&=-13\end{align}
Berechne jetzt den Schnittpunkt S der Hilfsebene Eh mit der Geraden g. Zuerst setzt Du dafür die allgemeinen Punkte der Geradengleichung g in die Ebenengleichung Eh ein und berechnest \(\lambda\).
\begin {align}-5x-3y+2z&=-13 \\-5\cdot (3-5\lambda)-3\cdot(2-3\lambda)+2\cdot(-2+2\lambda)&=-13 \\-15+25\lambda -6+9\lambda-4+4\lambda&=-13 \\-25+38\lambda&=-13 &|&+25 \\38\lambda&=12 &|&:38 \\\lambda&=\frac{6}{19}\end {align}
Nachdem Du \(\lambda\) berechnet hast, setzt Du dieses in die Geradengleichung von g ein und berechnest den Punkt S.
\begin {align}g:\vec{x}&= \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} -5 \\ -3 \\ 2\end{array}\right) \\ \\g:\vec{x}&= \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ -2 \end{array}\right)+ \frac{6}{19} \cdot \left(\begin{array}{c} -5 \\ -3 \\ 2\end{array}\right) \\ \\g:\vec{x}&= \left(\begin{array}{c} \frac {27}{19} \\ \frac {20}{19} \\ -\frac {26}{19} \end{array}\right) \rightarrow S\left(\begin{array}{c} \frac {27}{19} | \frac {20}{19} | -\frac {26}{19} \end{array}\right)\end {align}
Zum Schluss berechnest Du den Abstand zwischen den Punkten P und S. Bilde dafür den Betrag des Vektors \(\overrightarrow{PS}\).
\begin {align}\overrightarrow{PS}&= \left (\begin{array}{c} \frac {27}{19}-2 \\ \frac {20}{19}-1 \\ -\frac {26}{19}-0 \end{array}\right) \\ \\\overrightarrow{PS}&= \left (\begin{array}{c}- \frac {11}{19}\\ \frac {1}{19} \\ -\frac {26}{19}\end{array}\right)\end {align}
\begin {align}|\overrightarrow{PS}|&= \sqrt {\left (\begin{array}{c}- \frac {11}{19}\end{array}\right)^2+\left (\begin{array}{c} \frac {1}{19}\end{array}\right)^2+\left (\begin{array}{c}- \frac {26}{19}\end{array}\right)^2}\\\\|\overrightarrow{PS}|&= \sqrt {\frac{121}{361}+\frac {1}{361}+\frac {676}{361}}\\\\|\overrightarrow{PS}|&= \sqrt{\frac{42}{19}} \\\\|\overrightarrow{PS}|&= \frac {\sqrt {798}}{19}\, [LE] \approx 1,487\,[LE]\end {align}
Der Abstand des Punktes P zur Gerade g beträgt rund 1,487 [LE].
Lotfußpunktverfahren – Ebene, Punkt
Die Ebene E und der Punkt P haben einen Abstand, wenn der Punkt nicht innerhalb der Ebene liegt. Wenn der Punkt innerhalb der Ebene liegt, ist der Abstand null.
Um den Abstand von einer Ebene E und einem Punkt P zu berechnen, kannst Du folgende Schritte anwenden.
- Stelle die Lotgerade auf, die durch den Punkt P verläuft und senkrecht auf der Ebene E steht.
- Jetzt berechnest Du den Schnittpunkt S der Lotgerade mit der Ebene. Dieser Schnittpunkt wird auch Lotfußpunkt genannt.
- Abschließend berechnest Du den Abstand zwischen den Punkten P und S.
In der Abbildung siehst Du, dass Du den Abstand zwischen den Punkten P und S berechnest, um den kürzesten Abstand zwischen dem Punkt P und der Ebene E zu erhalten. Bevor Du diesen berechnen kannst, musst Du jedoch S ermitteln.
Abbildung 6: Lotfußpunktverfahren Ebene Punkt
Lotfußpunktverfahren – Aufgabe 2
Berechne den Abstand zwischen dem Punkt \(P(-2|1|4)\) und der Ebene \(E:-5x+2z=-4\).
Lösung
Zu Beginn stellst Du die Lotgerade l durch den Punkt P auf. Bei dem Richtungsvektor der Lotgerade l handelt es sich um den Normalenvektor der Ebene E.
Die Lotgerade soll senkrecht auf der Ebene stehen und der Normalenvektor steht senkrecht auf der Ebene. Also kann der Normalenvektor der Ebene als Richtungsvektor der Lotgerade genutzt werden.
\[l:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 4 \end {array}\right) + \lambda \cdot \left (\begin{array}{c} -5 \\ 0 \\ 2\end {array}\right)\]
Jetzt berechnest Du den Lotfußpunkt, also den Schnittpunkt der Ebene E mit der Lotgeraden l. Dafür setzt Du zunächst die Lotgeradengleichung l in die Ebenengleichung E ein und berechnest \(\lambda\).
\begin {align}-5x+2z&=-4 \\-5\cdot (-2-5\lambda)+2\cdot(4+2\lambda)&=-4 \\10+25\lambda+8+4\lambda&=-4 \\18+29\lambda&=-4 &|&-18\\29\lambda&=-22 &|&:29 \\\lambda&=-\frac {22}{29}\end {align}
Anschließend setzt Du \(\lambda\) in die Lotgerade l ein und berechnest den Punkt S.
\begin {align}l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 4 \end {array}\right) + \lambda \cdot \left (\begin{array}{c} -5 \\ 0 \\ 2\end {array}\right)\ \\\\l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} -2 \\ 1 \\ 4 \end {array}\right) - \frac {22}{29} \cdot \left (\begin{array}{c} -5 \\ 0 \\ 2\end {array}\right)\ \\\\l:\vec{x}&= \left(\begin{array}{c} \frac{52}{29} \\ 1 \\ \frac{72}{29} \end {array}\right) \rightarrow S\left(\begin{array}{c} \frac{52}{29}| 1 |\frac{72}{29} \end {array}\right)\end {align}
Zum Schluss berechnest Du den Abstand zwischen den Punkten P und S. Bilde dafür den Betrag des Vektors \(\overrightarrow{PS}\).
\begin{align}\overrightarrow {PS}&=\left(\begin{array}{c} \frac{52}{29}+2 \\ 1-1 \\ \frac{72}{29}-4 \end {array}\right) \\\\\overrightarrow {PS}&=\left(\begin{array}{c} \frac{110}{29} \\ 0 \\ -\frac{44}{29} \end {array}\right)\end{align}
\begin {align}|\overrightarrow {PS}|&=\sqrt {\left(\begin{array}{c} \frac{110}{29} \end {array}\right)^2+0^2+ \left(\begin{array}{c} -\frac{44}{29} \end {array}\right)^2 }\\\\|\overrightarrow {PS}|&=\sqrt {\frac {12100}{841}+\frac{1936}{841}}\\ \\|\overrightarrow {PS}|&=\sqrt {\frac {484}{29}}\\ \\|\overrightarrow {PS}|&= \frac {22\sqrt {29}}{29}\,[LE]\approx 4,085 \, [LE]\end{align}
Der Abstand zwischen dem Punkt P und der Ebene E beträgt rund 4,085 [LE].
Lotfußpunktverfahren – Ebene, Ebene
Es ist beim Lotfußpunktverfahren immer der kürzeste Abstand gesucht. Zwei Ebenen, die sich schneiden, haben im Schnittpunkt den kürzesten Abstand zueinander. Also ist der Abstand gleich null. Deshalb kannst Du nur den Abstand von parallelen Ebenen berechnen.
Den Abstand paralleler Ebenen E1 und E2 kannst Du mithilfe der folgenden Schritte ermitteln.
- Wähle einen beliebigen Punkt P aus der Ebene E1 aus.
- Stelle nun die Lotgerade durch den Punkt P auf. Die Lotgerade steht senkrecht auf der Ebene E2.
- Berechne den Schnittpunkt S (Lotfußpunkt) der Ebene E2 mit der Lotgerade.
- Jetzt berechnest Du den Abstand zwischen den Punkten P und S.
In der Abbildung erkennst Du, dass Du genauso vorgehst wie bei der Abstandsberechnung von einem Punkt und einer Ebene.
Abbildung 7: Lotfußpunktverfahren parallele Ebenen
Lotfußpunktverfahren – Aufgabe 3
Berechne den Abstand der beiden parallelen Ebenen \(E_1:-2y+3z=8\) und \(E_2:-2y+3z=0\).
Lösung
Bestimme als Erstes einen Punkt P aus der Ebene E1.
Erinnerung: Um den Punkt einer Ebene zu bestimmen, setzt Du beliebige Zahlen in die Ebenengleichung ein und überprüfst, ob diese die Gleichung erfüllen. Wenn die Ebenengleichung nicht als Koordinatenform gegeben ist, kannst Du auch den Stützvektor der Ebenengleichung als Punkt nutzen.
\[P(2|2|4)\]
Stelle nun die Lotgerade l auf. Der Punkt P ist der Stützvektor und der Normalenvektor \(\vec{n}\) der Ebene E2 ist der Richtungsvektor der Lotgeraden l.
Die Lotgerade soll senkrecht auf der Ebene stehen und der Normalenvektor der Ebene steht senkrecht auf der Ebene. Also kann der Normalenvektor als Richtungsvektor genutzt werden.
\begin{align} l:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 4 \end {array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 3 \end {array}\right) \end{align}
Anschließend berechnest Du den Schnittpunkt S der Lotgerade l mit der Ebene E2. Dafür setzt Du die Lotgeradengleichung in die Ebenengleichung ein und berechnest \(\lambda\).
\begin {align}-2y+3z&=0 \\-2\cdot (2-2\lambda)+3\cdot (4+3\lambda) &=0 \\-4+4\lambda+12+9\lambda&=0 \\8+13\lambda&=0 &|&-8\\13\lambda&=-8 &|&:13 \\\lambda&=-\frac{8}{13}\end {align}
Dann setzt \(\lambda\) in die Lotgerade l ein und berechnest den Punkt S.
\begin{align}l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 4 \end {array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 3 \end {array}\right) \\ \\l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 4 \end {array}\right)-\frac{8}{13} \cdot \left(\begin{array}{c} 0 \\ -2 \\ 3 \end {array}\right) \\ \\l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} 2 \\ \frac{42}{13} \\ \frac{28}{13} \end {array}\right) \rightarrow S\left(\begin{array}{c} 2| \frac{42}{13} | \frac{28}{13} \end {array}\right)\end{align}
Zum Schluss berechnest Du den Abstand der Punkte P und S.
\begin{align}\overrightarrow {PS}&=\left(\begin{array}{c} 2-2 \\ \frac{42}{13}-2 \\ \frac{28}{13}-4 \end {array}\right) \\\\\overrightarrow {PS}&=\left(\begin{array}{c} 0 \\ \frac {16}{13} \\ -\frac{24}{13} \end {array}\right)\end{align}
\begin {align}|\overrightarrow {PS}|&=\sqrt {\left(0^2+\begin{array}{c} \frac{16}{13} \end {array}\right)^2+ \left(\begin{array}{c} -\frac{24}{13} \end {array}\right)^2 }\\\\|\overrightarrow {PS}|&=\sqrt {\frac {256}{169}+\frac{576}{169}}\\ \\|\overrightarrow {PS}|&=\sqrt {\frac {64}{13}}\\ \\|\overrightarrow {PS}|&= \frac {8\sqrt {13}}{13}\,[LE]\approx 2,219 \, [LE]\end{align}
Der Abstand der Ebene E zum Punkt P beträgt rund 2,219 [LE]
Lotfußpunktverfahren – Gerade, Gerade
Im zweidimensionalen Koordinatensystem können Geraden sich schneiden, identisch sein und parallel sein. Im dreidimensionalen Koordinatensystem können Geraden zusätzlich windschief zueinander liegen.
Bei parallelen und windschiefen Geraden kannst Du den Abstand berechnen und dementsprechend das Lotfußpunktverfahren anwenden.
Lotfußpunktverfahren – Abstand paralleler Geraden
Parallele Geraden besitzen als Richtungsvektor Vielfache voneinander.
Für die Berechnung des Abstandes von parallelen Geraden g und h wende folgende Schritte an.
- Wähle einen beliebigen Punkt P aus der Geraden g.
- Stelle eine Hilfsebene Eh durch den Punkt P auf. Die Hilfsebene Eh steht senkrecht auf der Geraden h.
- Berechne den Schnittpunkt S der Hilfsebene Eh mit der Geraden h.
- Zum Schluss berechne den Abstand der Punkte P und S.
Die Hilfsebene Eh fungiert wie die Lotgerade l als ein senkrechtes Objekt auf einem anderen. Durch sie erhältst Du den Punkt S mit dem kürzesten Abstand zu Punkt P.
Abbildung 8: Lotfußpunktverfahren parallele Geraden
Lotfußpunktverfahren – Aufgabe 4
Berechne den Abstand der parallelen Geraden \( g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} -3 \\ -2 \\ 0 \end {array}\right) + \mu \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end {array}\right)\) und \( h:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ -2 \end {array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1 \end {array}\right)\)
Lösung
Wähle zuerst einen beliebigen Punkt P, der auf der Geraden g liegt, aus.
Du kannst den Stützvektor der Geradengleichung nutzen.
\[P(-3|-2|0)\]
Stelle nun mithilfe des Punktes P und dem Richtungsvektor \(\vec{u}\) der Geraden h die Hilfsebene Eh auf.
Der Normalenvektor einer Ebene steht immer senkrecht auf der Ebene. Die Gerade soll senkrecht auf der Ebene stehen, also ist der Richtungsvektor der Geraden auch der Normalenvektor der Ebene.
\begin {align}3x+2y+z&=d \\3 \cdot (-3)+2\cdot (-2)+0&=d \\-13&=d \\ \\E_h: 3x+2y+z&=-13\end{align}
Danach setzt Du die Geradengleichung von h in die Ebenengleichung Eh ein und berechnest \(\lambda\), um den Schnittpunkt der Ebene Eh mit der Geraden h zu ermitteln.
\begin {align} 3x+2y+z&=-13 \\ 3\cdot (-2+3\lambda)+2\cdot(-2-2\lambda)-2+\lambda&=-13 \\ -6+9\lambda -4-4\lambda-2+\lambda&=-13 \\ -12+6\lambda&=-13 &|&+12 \\ 6\lambda&=1 &|&:6 \\ \lambda&=\frac{1}{6} \end {align}
Anschließend setzt Du \(\lambda\) in die Geradengleichung von h ein und berechnest den Punkt S.
\begin {align}h:\vec{x}&= \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ -2 \end{array}\right)+ \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right) \\ \\h:\vec{x}&= \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ -2 \end{array}\right)+ \frac{1}{6} \cdot \left(\begin{array}{c} 3 \\ 2 \\ 1\end{array}\right) \\ \\h:\vec{x}&= \left(\begin{array}{c} -1,5 \\ -\frac {5}{3} \\ -\frac {11}{6} \end{array}\right) \rightarrow S\left(\begin{array}{c} -1,5 | -\frac {5}{3} | -\frac {11}{6} \end{array}\right)\end {align}
Zum Schluss berechnest Du den Abstand der beiden Punkte P und S. Dafür berechnest Du zuerst den Vektor \(\overrightarrow{PS}\) und danach den Betrag davon.
\begin {align}\overrightarrow{PS}&= \left (\begin{array}{c} -1,5+3 \\ -\frac {5}{3}+2 \\ -\frac {11}{6}-0\end{array}\right)\\ \\\overrightarrow{PS}&= \left (\begin{array}{c} 1,5 \\ \frac {1}{3} \\ -\frac {11}{6}\end{array}\right)\end {align}
\begin {align}|\overrightarrow{PS}|&= \sqrt {1,5 ^2+\left (\begin{array}{c} \frac {1}{3}\end{array}\right)^2+\left (\begin{array}{c}- \frac {11}{6}\end{array}\right)^2}\\\\|\overrightarrow{PS}|&= \sqrt {2,25+\frac {1}{9}+\frac {121}{36}}\\\\ |\overrightarrow{PS}|&= \sqrt{\frac{103}{18}} \\\\|\overrightarrow{PS}|&= \frac {\sqrt {206}}{6}\, [LE] \approx 2,392\,[LE]\end {align}
Der Abstand der beiden Geraden beträgt rund 2,392 [LE].
Lotfußpunktverfahren – Abstand windschiefer Geraden
Zur Berechnung des Abstandes von windschiefen Geraden gibt es ein spezielles Lotfußpunktverfahren. Dabei werden laufende Punkte angewendet.
Wende folgende Schrittfolge an, um den Abstand der windschiefen Geraden und die dazugehörigen Punkte auf der jeweiligen Geraden zu berechnen.
- Stelle den allgemeinen Verbindungsvektor \(\overrightarrow {S_gS_h}\) auf.
- Anschließend bildest Du das Skalarprodukt des Verbindungsvektors \(\overrightarrow {S_gS_h}\) mit dem Richtungsvektor \(\vec{u}\) von der Geraden g und h.
- Danach löst Du das Gleichungssystem der Skalarprodukte.
- Rechne die Lotfußpunkte und den Abstand zwischen diesen aus.
Mit dem Lotfußpunktverfahren berechnest Du zuerst die Lotfußpunkte auf den Geraden und dann den Abstand zwischen diesen. Wenn Du die Lotfußpunkte für weitere Berechnungen nicht benötigst, kannst Du auch die folgende Formel nutzen.
\begin {align} d=\frac{|(\vec{p}-\vec{q})\cdot \vec{n}|}{|\vec{n}|}\end {align}
Dabei ist \(\vec{n}\) das Kreuzprodukt aus den Richtungsvektoren der Geraden \(\vec{u}\times\vec{v}\) und die Vektoren \(\vec{p}\) und \(\vec{q}\) die Ortsvektoren der Stützvektoren der Geraden.
Lotfußpunktverfahren – Aufgabe 5
Berechne den Abstand der windschiefen Geraden \(g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ -4 \\ 0 \end {array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} -5 \\ 4 \\ 0 \end {array}\right)\) und \(h:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 2 \\ 2 \\ 0 \end {array}\right) + \mu \cdot \left(\begin{array}{c} -2 \\ -2 \\ 2 \end {array}\right)\).
Lösung
Zu Beginn schreibst Du Dir die laufenden Punkte der Geraden g und h auf.
Unter laufenden Punkten wird ein Punkt verstanden, welcher auf einer Geraden nicht genau definiert ist. Er wird mit der Gleichung der Geraden angegeben.
\begin {align} S_g&(2-5\lambda|-4+4\lambda|0)\\ S_h&(2-2\mu|2-2\mu|2\mu) \end {align}
Danach berechnest Du den allgemeinen Verbindungsvektor \(\overrightarrow {S_gS_h}\).
\begin {align}\overrightarrow {S_gS_h}&=\left(\begin{array}{c} 2-5\lambda-(2-2\mu) \\ -4+4\lambda-(2-2\mu) \\ 0-2\mu \end {array}\right) \\\\ \overrightarrow {S_gS_h}&=\left(\begin{array}{c} -5\lambda+2\mu \\ -6+4\lambda+2\mu \\ -2\mu \end {array}\right)\end {align}
Jetzt suchst Du eine Gerade, welche senkrecht auf den beiden Geraden g und h steht. Dafür muss das Skalarprodukt beider Richtungsvektoren mit dem allgemeinen Verbindungsvektor gleich null sein.
\begin {align}g:\left(\begin{array}{c} -5\lambda+2\mu \\ -6+4\lambda+2\mu \\ -2\mu \end {array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} -5\\4\\0\end {array}\right)&=0 \\ \\(-5\lambda+2\mu) \cdot (-5)+(-6+4\lambda+2\mu)\cdot 4+ (-2\mu)\cdot 0&=0 \\25\lambda-10\mu -24+16\lambda+8\mu&=0 \\ 41\lambda -2\mu-24&=0\end {align}
\begin {align}h:\left(\begin{array}{c} -5\lambda+2\mu \\ -6+4\lambda+2\mu \\ -2\mu \end {array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} -2\\-2\\2\end {array}\right)&=0 \\ \\(-5\lambda+2\mu) \cdot (-2)+ (-6+4\lambda+2\mu)\cdot (-2)+(-2\mu)\cdot 2&=0\\ 10\lambda -4\mu +12-8\lambda-4\mu-4\mu&=0 \\ 2\lambda-12\mu+12&=0\end {align}
Anschließend stellst Du ein Gleichungssystem mit den beiden Gleichungen auf und berechnest \(\lambda\) und \(\mu\).
\begin{align*}\text{I)} && 41\lambda -2\mu -24 &= 0 &|& \cdot (-6)\\\text{II)} && 2\lambda-12\mu+12 &= 0 \\\text{I)} && -246\lambda+12\mu+144 &= 0 \\\text{II)} && 2\lambda-12\mu+12&= 0 \\\text{I+II)} &&-248\lambda+156&=0 &|&-156 \\&& -248\lambda&=-156 &|&:(-248) \\&& \lambda&=-\frac{39}{62} \\\text {II)}&& 2\cdot \left(\begin {array}{c}-\frac {39}{62}\end {array}\right) -12\mu+12&=0 &|&-\left(\begin{array}{c}-\frac{39}{31} +12\end{array}\right) \\&& -12\mu&= -\frac {333}{31} &|&:(-12) \\&& \mu&=\frac{111}{124}\end{align*}
Dann berechnest Du mit \(\lambda\) und \(\mu\) die dazugehörigen Punkte. Setze dafür \(\lambda\) und \(\mu\) in die laufenden Punkte ein.
\begin {align}S_g&\left(\begin{array}{c}-\frac{71}{62}|-\frac {46}{31}|0\end{array}\right)\\S_h&\left(\begin{array}{c}\frac{13}{62}|\frac{13}{62}|\frac{111}{62}\end{array}\right)\end {align}
Zum Schluss berechnest Du über den Betrag den Abstand der beiden Punkte.
\begin {align}\overrightarrow{S_gS_h}&= \left (\begin{array}{c} \frac{13}{62} + \frac{71}{62} \\ \frac{13}{62}+ \frac {46}{31}\\ \frac{111}{62} -0 \end{array}\right) \\ \\\overrightarrow{PS}&= \left (\begin{array}{c} \frac{42}{31} \\ \frac {105}{62} \\ \frac {111}{62}\end{array}\right)\end {align}
\begin {align}|\overrightarrow{PS}|&= \sqrt {\left (\begin{array}{c} \frac {42}{31}\end{array}\right)^2+\left (\begin{array}{c} \frac {105}{62}\end{array}\right)^2+\left (\begin{array}{c}- \frac {111}{62}\end{array}\right)^2}\\\\|\overrightarrow{PS}|&= \sqrt {\frac {1764}{961}+\frac {11025}{3844}+\frac {12321}{3844}}\\\\|\overrightarrow{PS}|&\approx 2,812\,[LE]\end {align}
Der Abstand der windschiefen Geraden beträgt rund 2,812 [LE].
Lotfußpunktverfahren – Übungsaufgaben
Jetzt kannst Du Dein eben erlerntes Wissen testen.
Lotfußpunktverfahren – Aufgabe 6
Berechne den Abstand des Punktes \(P(3|3|0)\) zur Ebene \(E:-3x+2z=4\).
Lösung
Als Erstes stellst Du die Lotgerade auf.
\[l:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 0 \end {array}\right) + \lambda \cdot \left(\begin{array}{c} -3 \\ 0 \\ 2\end {array}\right)\]
Anschließend berechnest Du den Schnittpunkt der Lotgeraden mit der Ebene. Setze dafür die Geradengleichung der Lotgerade in die Ebenengleichung ein und berechne zunächst \(\lambda\).
\begin{align}-3x+2z&=4 \\ -3\cdot(3-3\lambda)+2\cdot2\lambda&=4 \\-9+9\lambda+4\lambda&=4 &|&+9 \\ 13\lambda&=13 &|&:13 \\\lambda &= 1\end {align}
Setze \(\lambda\) nun in die Lotgerade ein und berechne den Punkt S.
\begin{align}l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 0 \end {array}\right) + \lambda \cdot \left (\begin{array}{c} -3 \\ 0 \\ 2\end {array}\right) \\l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} 3 \\ 3 \\ 0 \end {array}\right) + \left (\begin{array}{c} -3 \\ 0 \\ 2\end {array}\right) \\l:\vec{x}&=\left(\begin{array}{c} 0 \\ 3 \\ 2 \end {array}\right) \rightarrow S\left(\begin{array}{c} 0|3 | 2 \end {array}\right)\end {align}
Zum Schluss berechnest Du noch den Abstand zwischen den Punkten P und S.
\begin {align}\overrightarrow{PS}&= \left (\begin{array}{c} 0-3\\ 3-3\\2-0\end{array}\right) \\\\\overrightarrow{PS}&= \left (\begin{array}{c} -3\\ 0\\ 2\end{array}\right)\end {align}
\begin {align}|\overrightarrow{PS}|&= \sqrt {(-3)^2+2^2}\\|\overrightarrow{PS}|&= \sqrt {13}\,[LE]\approx3,606\,[LE]\end {align}
Der Abstand des Punktes zur Ebene beträgt rund 3,606 [LE].
Lotfußpunktverfahren – Aufgabe 7
Berechne den Abstand der Geraden \(g:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 5 \\ 3 \\ -2 \end {array}\right) + \lambda \cdot \left (\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ 4\end {array}\right)\) und \(h:\vec{x}=\left(\begin{array}{c} 4 \\ 1\\ 0 \end {array}\right) + \mu \cdot \left (\begin{array}{c} 3 \\ 0 \\ 0 \end {array}\right)\).
Lösung
Zu Beginn schreibst Du Dir die laufenden Punkte der Geraden g und h auf.
\begin {align} S_g& (5|3|-2+4\lambda)\\S_h& (4+3\mu|1|0)\end {align}
Danach berechnest Du den allgemeinen Verbindungsvektor \(\overrightarrow {S_gS_h}\).
\begin {align}\overrightarrow {S_hS_g}&=\left(\begin{array}{c} 5-(4+3\mu) \\ 3-1 \\ -2+4\lambda -0 \end {array}\right) \\ \\\overrightarrow {S_hS_g}&=\left(\begin{array}{c} 1-3\mu \\ 2 \\ -2+4\lambda \end {array}\right)\end {align}
Nun wird eine Gerade gesucht, welche senkrecht auf den beiden Geraden g und h steht. Dafür muss das Skalarprodukt beider Richtungsvektoren mit dem allgemeinen Verbindungsvektor gleich null sein. Bilde die Skalarprodukte.
\begin {align}g:\left(\begin{array}{c} 1-3\mu \\2 \\ -2+4\lambda \end {array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 0\\0\\4\end {array}\right)&=0 \\ \\(1-3\mu) \cdot 0+2\cdot 0+ (-2+4\lambda)\cdot 4&=0 \\ -8+16\lambda&=0\end {align}
\begin {align}h:\left(\begin{array}{c} 1-3\mu \\ 2 \\ -2+4\lambda \end {array}\right) \cdot \left(\begin{array}{c} 3\\0\\0\end {array}\right)&=0 \\ \\(1-3\mu) \cdot 3+2\cdot 0+(-1+4\lambda)\cdot 0&=0 \\ 3-9\mu&=0\end {align}
Anschließend würdest Du ein Gleichungssystem aufstellen und \(\lambda\) und \(\mu\) berechnen. In diesem Fall brauchst Du dies nicht und stellst nur die Gleichungen nach \(\lambda\) und \(\mu\) um.
\begin{align}-8+16\lambda&=0 &|&+8 \\16\lambda&=8 &|&:16\\\lambda&=0,5 \\\\3-9\mu&=0 &|&-3 \\-9\mu&=-3 &|&:(-9)\\\mu&= \frac{1}{3}\end{align}
Dann berechnest mit \(\lambda\) und \(\mu\) die dazugehörigen Punkte.
\begin {align}S_g&\left(\begin{array}{c}5|3|0\end{array}\right)\\S_h&\left(\begin{array}{c}5|1|0\end{array}\right)\end {align}
Zum Schluss berechnest Du den Abstand der eben ausgerechneten Punkte.
\begin {align}\overrightarrow{S_gS_h}&= \left (\begin{array}{c} 5-5\\ 1-3\\0-0\end{array}\right) \\\\ \overrightarrow{PS}&= \left (\begin{array}{c} 0\\ -2\\ 0\end{array}\right)\end {align}
\begin {align}|\overrightarrow{PS}|&= \sqrt {(-2)^2}\\|\overrightarrow{PS}|&= \sqrt {4}\\|\overrightarrow{PS}|&=2\,[LE]\end {align}
Der Abstand der beiden Geraden beträgt 2 [LE].
Lotfußpunktverfahren – Das Wichtigste
- Das Lotfußpunktverfahren beruht auf dem Lot. Ein Lot ist eine Gerade, welche senkrecht, also im rechten Winkel, auf einer Geraden oder einer Ebenen steht und durch einen Punkt P verläuft. Den Schnittpunkt von der Lotgerade mit der Geraden oder der Ebenen nennt man Lotfußpunkt.
- Um den Abstand zwischen den verschiedenen geometrischen Objekten mit dem Lotfußpunktverfahren berechnen zu können, musst Du die verschiedenen Anwendungsschritte kennen.
- Gerade – Punkt: Den Abstand zwischen der Geraden g und dem Punkt P kannst Du mithilfe der folgenden Schritte berechnen.
- Stelle eine Hilfsebene Eh auf. Die Ebene Eh verläuft durch den Punkt P und ist senkrecht zur Geraden g.
- Berechne den Schnittpunkt S der Geraden g mit der Hilfsgerade Eh.
- Zum Schluss berechnest Du den Abstand des Punktes P und S.
- Ebene – Punkt: Um den Abstand von einer Ebene E und einem Punkt P zu berechnen, kannst Du folgende Schritte anwenden.
- Stelle die Lotgerade auf, die durch den Punkt P verläuft und senkrecht auf der Ebene E steht.
- Jetzt berechnest Du den Schnittpunkt S der Lotgerade mit der Ebene.
- Abschließend berechnest Du den Abstand zwischen den Punkten P und S.
- Ebene – Ebene: Den Abstand paralleler Ebenen kannst Du mithilfe der folgenden Schritte ermitteln.
- Wähle einen beliebigen Punkt P aus der Ebene E1 aus.
- Stelle nun die Lotgerade durch den Punkt P auf. Die Lotgerade steht senkrecht auf der Ebene E2.
- Berechne den Schnittpunkt S (Lotfußpunkt) der Ebene E2 mit der Lotgerade.
- Jetzt berechnest Du den Abstand zwischen den Punkten P und S.
- parallele Geraden: Für die Berechnung des Abstandes von parallelen Geraden wende folgende Schritte an.
Wähle einen beliebigen Punkt P aus der Geraden g1.
Stelle eine Hilfsebene Eh durch den Punkt P auf. Die Hilfsebene Eh steht senkrecht auf der Geraden g2.
Berechne den Schnittpunkt S der Hilfsebene Eh mit der Geraden g2.
Zum Schluss berechne den Abstand der Punkte P und S.
- windschiefe Geraden: Wende folgende Schrittfolge an, um den Abstand der windschiefen Geraden und die dazugehörigen Punkte auf der jeweiligen Geraden zu berechnen.
- Stelle den allgemeinen Verbindungsvektor \(\overrightarrow {S_gS_h}\) auf.
- Anschließend bildest Du die Skalarprodukte des Verbindungsvektors \(\overrightarrow {S_gS_h}\) mit den Richtungsvektoren der Geraden g und h.
- Danach löst Du das Gleichungssystem der Skalarprodukte.
- Rechne die Lotfußpunkte aus und dann den Abstand zwischen diesen.
Nachweise
- Schmidt (2014). Basiswissen Mathematik: der smarte Einstieg in die Mathematikausbildung an Hochschulen. Springer-Verlag.
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