Hypotenuse

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Hypotenuse


In diesem Artikel erklären wir dir, was es mit der Hypotenuse auf sich hat und zeigen dir anhand von Beispielaufgaben, wie du garantiert zum richtigen Ergebnis kommst. Dieser Artikel gehört zum Fach Mathematik und erweitert das Thema Geometrie.



Was ist überhaupt eine Hypotenuse?


Das aus dem Griechischen stammende Wort Hypotenuse bedeutet soviel wie „Seite gegenüber dem rechten Winkel“. Gemeint ist dabei die geometrische Form eines rechtwinkligen Dreiecks. Die Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks anliegend an den rechten Winkel werden Katheten genannt und die Hypotenuse beschreibt dabei die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks wie folgendes Schaubild verdeutlicht:



Berechnet werden kann die Länge der Hypotenuse mit Hilfe des Satz des Pythagoras oder den trigonometrischen Eigenschaften des Sinus und des Kosinus. Dazu seht ihr später mehr im Abschnitt Berechnung der Hypotenuse.



Wann benötige ich die Hypotenuse?


Die Hypotenuse wird benötigt um die Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks zu bestimmen. So können mit Hilfe der Hypotenuse beispielsweise die Seitenlängen der Katheten und die Innenwinkel eines gleichschenkligen Dreiecks bestimmt werden. Meist ist jedoch die Länge der Hypotenuse eine interessante Unbekannte, die es zu ermitteln gilt. 


Sind die Längen der beiden Katheten bekannt erfolgt die Berechnung mit Hilfe des Satz des Pythagoras. Ist jedoch nur eine Kathete gegeben in Kombination mit den Innenwinkeln des Dreiecks, so kann die Hypotenuse über den Sinus oder den Kosinus berechnet werden.


Berechnung der Hypotenuse


Grundsätzlich wird in der Trigonometrie ein rechtwinkliges, bzw. gleichschenkliges Dreieck mit allen definierten Eigenschaften wie folgt abgebildet:



Zu beachten ist dabei, dass die Innenwinkel eines Dreiecks stets 180° ergeben. Die Seiten des rechtwinkligen Dreiecks sind dabei wie folgt beschrieben:


  • Gegenkathete = a
  • Ankathete = b
  • Hypotenuse = c


Die Berechnung der Hypotenuse, also die Länge der Seite c des Dreiecks erfolgt über den Satz des Pythagoras, sofern die Längen a und b gegeben sind:


Satz des Pythagoras:


Der Satz beschreibt die folgende Gleichung:


[𝑎2+𝑏2=𝑐2]


Mit Hilfe dieser Gleichung kann die Länge c, also die Hypotenuse ganz einfach ermittelt werden wie folgendes Beispiel verdeutlicht:


Beispiel: [a=2cm 𝑏=4𝑐𝑚]


[𝑎2+𝑏2=𝑐2]

[(2𝑐𝑚)2+(4𝑐𝑚)2=𝑐2]

[4𝑐𝑚2+16𝑐𝑚2=𝑐2]

[20𝑐𝑚2=𝑐2] I√

[√20cm2=√𝑐2]

[√20𝑐𝑚=𝑐]


Nach diesem Beispiel ist die Seite c, also die Hypotenuse, genau 𝑐=√20𝑐𝑚≈4,47𝑐𝑚 lang.


Ebenso kann die Berechnung der Hypotenuse, also die Länge der Seite c des Dreiecks über den Sinus erfolgen, sofern die Längen a, also die Gegenkathete und der Winkel 𝜶 gegeben sind:


Sinus von 𝜶:


Der Sinus beschreibt die folgende Gleichung:

[sin(α)=ac=GegenkatheteHypotenuse]

[Hypotenuse=c=asin⁡(α)=Gegenkathetesin⁡(α)]


Mit Hilfe dieser Gleichung kann die Länge c, also die Hypotenuse ganz einfach ermittelt werden wie folgendes Beispiel verdeutlicht:


Beispiel: [α=30° 𝑎=4𝑐𝑚]


[sin(α)=ac] I∙c I÷sin(∝)

[𝑐=asin⁡(α)]

[𝑐=4cmsin⁡(30°)]

[𝑐=8cm]


Nach diesem Beispiel ist die Seite c, also die Hypotenuse, genau 𝑐=8𝑐𝑚 lang.


Ebenso kann die Berechnung der Hypotenuse, also die Länge der Seite c des Dreiecks über den Kosinus erfolgen, sofern die Längen b, also die Gegenkathete und der Winkel 𝜶 gegeben sind:


Kosinus von 𝜶:


Der Kosinus beschreibt die folgende Gleichung:


[cos(α)=bc=AnkatheteHypotenuse]

[Hypotenuse=c=bcos⁡(α)=Ankathetecos⁡(α)]


Mit Hilfe dieser Gleichung kann die Länge c, also die Hypotenuse ganz einfach ermittelt werden wie folgendes Beispiel verdeutlicht:


Beispiel: [α=25° 𝑏=5𝑐𝑚]


[cos(α)=bc] I∙c I÷cos(∝)

[𝑐=bcos⁡(α)]

[𝑐=5cmcos⁡(25°)]

[𝑐≈5,52cm]


Nach diesem Beispiel ist die Seite c, also die Hypotenuse, genau 𝑐≈5,52𝑐𝑚 lang.


TIPP zur Hypotenuse:

Grundsätzlich liegt die Gegenkathete immer gegenüber dem Winkel 𝛼 und die Ankathete ist die Seite direkt am Winkel 𝛼, was sich aus den Namen bereits ableiten lässt.


Das Wichtigste zur Hypotenuse auf einen Blick!


Die Hypotenuse ist die längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks und kann mithilfe trigonometrischer Eigenschaften, wie dem Sinus oder dem Kosinus, aber auch über den Satz des Pythagoras bestimmt werden.


Hast du alles verstanden? Hier ist eine Checkliste, mit der du Schritt für Schritt deinen Weg zur Ermittlung der Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks überprüfen kannst:


  • Die Hypotenuse ist die Längste Seite eines rechtwinkligen Dreiecks


  • Mit Hilfe der Hypotenuse können alle Eigenschaften eines rechtwinkligen Dreiecks wie die beiden Katheten oder die Innenwinkel bestimmt werden


  • Die Länge der Hypotenuse kann je nach gegebenen Größen über den Satz des Pythagoras, den Sinus oder den Kosinus bestimmt werden



INSIDER TIPP

“Hey, cool das du dich für das Thema Hypotenuse interessierst! Wusstest du, dass es nur bei rechtwinkligen Dreiecken eine Hypotenuse und Katheten gibt? Für beliebige Dreiecke ist die Anwendung des Satz des Pythagoras noch nicht einmal falsch, aber im Grunde komplett sinnlos … . Mehr Infos dazu findest du auf dieser Learning Page! Bei Fragen nutze gerne auch unseren Kommentarbereich! Check it out!”

Leon Jerg

StudySmarter Institute

Finales Hypotenuse Quiz

Frage

Für welche Art von Dreieck gilt die Satzgruppe des Pythagoras?

Antwort anzeigen

Antwort

Für ein rechtwinkliges Dreieck mit den Katheten a und b und der Hypotenuse c sowie der Höhe h und den Hypotenusenabschnitten p und q g

Frage anzeigen

Frage

Benennen Sie die Namen der Satzgruppe des Pythagoras.

Antwort anzeigen

Antwort

1. Satz des Pythagoras

2. Kathetensatz

3. Höhensatz

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